Laboratoro de Bases Físcas del Medo Ambente Teoría de errores Todas las meddas epermentales venen afectadas de una mprecsón nherente al proceso de medda. Medr es, báscamente, comparar con un patrón y esta comparacón se hace con un aparato (por smple que sea-una regla, por ejemplo- podemos nclurlo en la denomnacón generalzada de aparato ), la medda dependerá de la mínma cantdad que aquel sea capaz de medr. Error: dferenca que este entre la medda y el valor verdadero Todas las meddas tene un error. La teoría de errores proporcona cotas a estos errores
TIPOS DE ERROR Error sstemátco: aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medda y, por tanto, afecta a todas las meddas de un modo defndo y es el msmo para todas ellas. Estos errores tenen sempre un sgno determnado y las causas probables pueden ser: Errores nstrumentales (de aparatos); por ejemplo, el error de calbrado de los nstrumentos. Error personal: Este es, en general, dfícl de determnar y es debdo a las lmtacones de carácter personal. Como, por ejemplo, los errores de paralaje, o los problemas de tpo vsual. Errores de método de medda, que corresponden a una eleccón nadecuada del método de medda; lo que ncluye tres posbldades dstntas: la nadecuacón del aparato de medda, del observador o del método de medda propamente dcho. Errores accdentales son aquellos que se deben a las pequeñas varacones que aparecen entre observacones sucesvas realzadas por el msmo observador y bajo las msmas condcones. Las varacones no son reproducbles de una medcón a otra y se supone que sus valores están sometdos tan sólo a las leyes del azar y que sus causas son completamente ncontrolables para un observador. Los errores accdentales poseen, en su mayoría, un valor absoluto muy pequeño y s se realza un número sufcente de meddas se obtenen tantas desvacones postvas como negatvas. Y, aunque con los errores accdentales no se pueden hacer correccones para obtener valores más concordantes con los reales, s pueden emplearse métodos estadístcos, medante los cuales se pueden llegar a algunas conclusones relatvas al valor más probable en un conjunto de medcones. EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD Eacttud: grado de concordanca entre el valor verdadero y el epermental. Un aparato es eacto s las meddas realzadas con él son todas muy prómas al valor verdadero de la magntud medda. Precsón: concordanca entre las meddas de una msma magntud realzadas en condcones sensblemente guales. Un aparato es precso cuando la dferenca entre dferentes medcones de una msma magntud son muy pequeñas. La eacttud mplca, normalmente, precsón, pero la afrmacón nversa no es certa, ya que pueden estr aparatos muy precsos que posean poca eacttud, debdo a errores sstemátcos, como el error de cero, etc. En general, se puede decr que es más fácl conocer la precsón de un aparato que su eacttud (báscamente, debdo a la ntroduccón del térmno verdadero ). Sensbldad: valor mínmo de la magntud que es capaz de medr. Que la sensbldad de una balanza es de 5 mg sgnfca que, para masas nferores a ésta, la balanza no acusa nnguna desvacón. Normalmente, se admte que la sensbldad de un aparato vene ndcada por el valor de la dvsón más pequeña de la escala de medda. En ocasones, de un modo erróneo, se toman como déntcos los conceptos de precsón y sensbldad.
ERROR DE CERO El error más típco que afecta a la eacttud de los aparatos es el error de cero. Causado por un defecto de ajuste del aparato, este da una lectura dstnta de cero cuando lo que mde vale cero. Es fáclmente corregble reajustando el aparato o corrgendo numércamente las lecturas en la cantdad en que dferen el cero real y el de la escala. 7 mv Escala V ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO S medmos una certa magntud físca cuyo valor verdadero es 0, obtenendo un valor de la medda, llamaremos error absoluto de dcha medda a la dferenca = 0, en donde, en general, se supone que << 0. El error absoluto nos da una medda de la desvacón, en térmnos absolutos, respecto al valor verdadero. No obstante, en ocasones nos nteresa resaltar la mportanca relatva de esa desvacón. Para tal fn, se usa el error relatvo. El error relatvo se defne como el cocente entre el error absoluto y el valor verdadero : ε = 0 3
Al dar el resultado de una medda (o de un conjunto de meddas) de una magntud, sempre se ndca el grado de ncertdumbre de la msma, para lo cual acompañamos el resultado de la medda con el error absoluto; epresando el resultado así ±. Dado el sgnfcado de la cota de mprecsón que tene el error absoluto, este, durante el transcurso de estas práctcas de laboratoro, no deberá escrbrse con más de una cfra sgnfcatva (aunque podrían admtrse dos cfras s estas no sobrepasan 4, pero esto se quedará para cursos posterores). S el error se ha obtendo con más de una cfra, se deberá a proceder a suprmr las posterores, aumentando en una undad la prmera, s la segunda fuera 5 o mayor que 5. El valor de la magntud debe de tener sólo las cfras necesaras para que su últma cfra sgnfcatva sea del msmo orden decmal que la últma del error absoluto, llamada cfra de acotamento. Valores ncorrectos Valores correctos 3,48 ± 0,3 3,4 ± 0, 6,3 ± 0,09 6,30 ± 0,09 4688 ± 55 (4,6 ± ) 0 3 48,35 ± 0,7 48,4 ± 0,3 683 ± 0,0058 7 ± 0,006 CIFRAS SIGNIFICATIVAS El número n de cfras sgnfcatvas de una medda es el número n de dígtos fables que dcha medda contene. Ejemplo dudoso : tempo que tarda la luz en recorrer UN MILLÓN de klómetros... 6 0 t = = = 3. 3333333333 s? c 5 3 0 Los ceros a la zquerda no son sgnfcatvos, ndcan la colocacón del punto decmal; así, 0.000345 tene TRES cfras sgnfcatvas. Los ceros a la derecha y después del punto decmal s son sgnfcatvos; como ejemplo, 3.40 tene CINCO cfras sgnfcatvas. En números enteros termnados en ceros, éstos pueden ser sgnfcatvos o no. Debe dstngurse s sólo srven para localzar el punto decmal o forman parte de la medda. 3 0 kg UNA cfra sgnfcatva 3.0 0 kg DOS cfras sgnfcatvas 3.00 0 kg TRES cfras sgnfcatvas 4
DETERMINACIÓN DE ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS Cuando se realce la medda de cualquer magntud, se ndcará sempre una estmacón del error asocado a la msma. Dado que no conocemos el valor verdadero de la magntud que deseamos medr, habrá que segur certos procedmentos para hacer una estmacón, tanto del valor verdadero, como de una cota de error, que nos ndquen la ncertdumbre de la medcón realzada Dstnguremos dos casos ben dferencados: (a) S sólo se puede realzar una sola medda,, de la magntud. En este caso consderaremos que el error absoluto concde con el valor absoluto de la sensbldad (S) del aparato utlzado para realzar la medda. De este modo, el resultado de la medda lo epresaremos así: ± S (b) Caso en el que se realzan varas meddas de una msma magntud. Para alcanzar certa valdez estadístca en los resultados de las meddas, convene repetr varas veces la determnacón del valor de la magntud problema. Los resultados de las meddas ndvduales pueden presentarse poco o muy dspersos y, en funcón de esta dspersón será convenente aumentar o no el número de medcones de la magntud. Para decdr el número de determnacones que hay que efectuar del valor de la magntud físca, se sgue el sguente procedmento: Se realzan tres meddas de la magntud (, y 3 ), se calcula el valor medo de las tres meddas 3 = + se halla la dspersón total, D, de las msmas, es decr, la dferenca entre los valores etremos de las meddas (valor mámo menos el valor mínmo) y se obtene el tanto por cento de dspersón, T, dado por: D T = 3 3 + 3 5
() el valor de la dspersón D no sea mayor que el valor de la sensbldad del aparato de medda D S. En este caso, tomaremos como estmacón del valor verdadero de la magntud el valor medo de las tres meddas, y como error absoluto la sensbldad, es decr, ± S 3 () el valor de la dspersón D es mayor que la sensbldad del aparato, D > S, Se procede a aumentar el número de meddas de la magntud. El crtero a segur en esta aumento vene condconado por el valor del porcentaje dspersón T del modo ndcado en la sguente tabla: Número de meddas en el laboratoro T en las tres prmeras meddas Nº total de meddas necesaras Error Medda T 3 % Bastan las 3 meddas realzadas = S 3 ± S % < T 3 8% Hay que hacer 3 meddas más, hasta un total de 6 8% < T 3 5% Hay que hacer un total de N=5 meddas 5% < T 5 Hay que hacer un mínmo de N=50 meddas = ma (D 6 /6, S) ± 6 ( N ) = N N ± ( N ) = N N ± / / 6
() se han realzado tres meddas, se toma como error absoluto el valor de la sensbldad del aparato = S. () se han realzado ses meddas: se calcula el error de dspersón defndo como D 6 /4 (la cuarta parte de la dspersón total de las ses meddas), y se asgna como error absoluto de las meddas, el mayor de entre este valor y la sensbldad del aparato. Es decr, = ma (D 6 /6, S) (3) se han realzado más de 5 meddas; el error absoluto puede calcularse por la epresón: ( = N Es el error cuadrátco medo en donde son cada una de las meddas realzadas y N es el número total de meddas realzadas. El procedmento segudo en este últmo caso se debe a que, en una sere repetda de meddas de una msma magntud, la dstrbucón estadístca de éstas alrededor del valor medo representa una forma típca, llamada dstrbucón gaussana o dstrbucón normal n ) / DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE La medda ndrecta de una magntud se alcanza medante la aplcacón de una fórmula a un conjunto de meddas drectas (varables ndependentes o datos), que las relaconan con la magntud problema. Esta fórmula ha de servr para obtener el error de dcha magntud. La magntud problema F es funcón de otras magntudes físcas (datos), estando relaconadas con ellas por F = F(, y, z,...) Se han realzado meddas de las ctadas varables, y, z,...y se han determnado su valor medo (al que llamaremos con el msmo nombre, y, z,...) y sus errores absolutos (, y, z,...). 7
Se obtene la dferencal total de F en funcón de las varables, y, z,... df = d + dy + dz +... y z Se asmlan las dferentes dferencales a los errores absolutos y consderamos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable (sempre deseamos tener una cota de error, o sea un valor de la magntud del que podamos estar seguros de que el valor verdadero está dentro de nuestro ntervalo de segurdad ), o sea, el mayor error posble. Lo que sgnfca que consderaremos todos los errores como postvos, es decr, tomaremos, además, los valores absolutos de las dervadas parcales, con lo que obtendremos el valor absoluto de F, es decr F = + y y + z z +... qué son las dervadas parcales? La dervada parcal de una funcón f(,y,z,..) respecto de se calcula como la dervada de f respecto de mantenendo constantes las demás varables. Representa la varacón de f cuando hay un cambo nfntesmal de (y sólo de ) Ejemplo. Sea la funcón P que depende de las varables I y R P = P(I,R) = I R P = I R P = I RI 8
Ejemplo numérco del cálculo de errores Calculemos el error de una magntud ( + y) z F = ( u v) w Se han determnado las valores medos de las varables y sus errores absolutos, = 7,33 ± y =,45 ± 0.05 z = 0,0 ± 0, u = 50, ± 0, v =,033 ± 0,00 w = 3,6 ± 0,0 El valor de la magntud F es F =,8579... y el error correspondente F = + y + z + u + v + w y z u v w z z + y ( + y) z ( + y) z ( + y) z F = + y + z + u + v + w ( u v) w ( u v) w ( u v) w ( u v) w ( u v) w ( u v) w Tras realzar los cálculos numércos, se obtene: F = 0,04458... Tenendo en cuenta el número mámo de cfras sgnfcatvas del error absoluto, F =,86 ± 0,04 CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS Gráfcas en papel mlmetrado con los ejes ben trazados, ndcando en sus etremos la magntud representada en ese eje, así como la undad en que ha sdo medda. El título de la gráfca se pondrá en la parte superor. La varable ndependente del fenómeno estudado se representará en abscsas y la dependente en ordenadas. Las escalas, sobre ambos ejes, han de permtr una lectura rápda y senclla. Se elegrán escalas con ntervalos sencllos de,, 5, 0, 0,... undades. Sobre los ejes sólo se ndcarán los valores correspondentes a las dvsones enteras de la escala ( que quedarán unformemente espacadas). No se señalarán los valores correspondentes a las meddas realzadas. Los valores meddos se representarán sobre el papel mlmetrado por el punto correspondente a sus dos coordenadas ( punto epermental ) y rodeado por el rectángulo de error, cuya base abarca desde - hasta +, y cuya altura desde y - y hasta y + y, sendo e y las coordenadas del punto epermental. S o y son desprecables en comparacón con la escala utlzada, el rectángulo de error quedará reducdo a un smple segmento vertcal u horzontal (barra de error), según el caso. En el caso de que ambos errores sean smultáneamente desprecables, el punto epermental quedaría reducdo a un punto. Las gráfcas han de ser líneas fnas y contnuas, nunca quebradas. Han de pasar por todos los rectángulos de error, aunque para ello dejen muchas veces de pasar por los puntos epermentales, que pueden quedar a derecha o a zquerda de la gráfca. S al hacer esta operacón, alguno de los rectángulos de error, queda ecesvamente alejado de la forma contnua de la gráfca, es prueba de que esa medda es falsa, por alguna causa accdental, y debería repetrse. 9
Ejemplos I (ma) I V (mv) V 5 34 0 5 0 78 37 0 0 6 V (mv) 5 0 440 53 0 0 6 9 5 0 0 00 00 300 400 500 600 700 I (ma) 589 0,5 T (s),97,4 T 0,0 0,0 T (s ) 3,88 4,58 (T ) 0,08 0,09 L (m) 0,85,0 L,0,5,39,70,9 0,0 0,0 0,0 5,7 7,9 8,47 0,0 0, 0,,46,78,05 L (m),0 0,5 T = T T 0,0 0 4 6 8 0-0,5 T^ ( s^) AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓN MEDIANTE MÍNIMOS CUADRADOS Con frecuenca, se plantea el problema de encontrar una epresón matemátca y = f() de la ley físca que rge el comportamento de un determnado fenómeno, a partr de una sere de N meddas, (, y ), de las magntudes e y que lo caracterzan. Cuando la representacón gráfca del fenómeno estudado proporcona una dstrbucón de los puntos epermentales que parecen tener la forma de una curva determnada, es convenente obtener la ecuacón de esta curva que probablemente será la epresón de la ley físca que rge el fenómeno estudado. El método más potente (y, sobre todo, el más smple) conocdo es el de regresón por los mínmos cuadrados. Estos métodos son aplcables a dversas curvas de dstntos grados. El caso más smple es ley físca lneal, lo que lleva a obtener una recta de regresón. 0
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Dcha recta debe de cumplr la condcón de que los puntos epermentales queden dstrbudos smétrcamente a ambos lados y lo más prómos posble a la msma. Esta condcón se tene s la recta, de ecuacón y = a + b verfca que la cantdad sea mínma. C(, y) = Σ (y a b) Y X Para mnmzar C(, y) = Σ (y a b) se derva respecto a a y b, y se gualan ambas dervadas a cero. C( a, b) C( a, b) = 0 = 0 a b Lo que da un sstema de ecuacones con dos ncógntas, a y b. N N N a + b = y = = = N N an + b = y = = Y y b a (, y ) N C = ( y b a ) = y = b + a X Su solucón es a = N N y y y = ( ) Nb Pendente b = y N y ( ) = y a N Ordenada en el orgen
Cómo evaluar la bondad del ajuste? Coefcente de correlacón lneal, r : da una medda del grado de correlacón (de apromacón) entre los valores de las varables e y, es decr, hasta que punto e y están relaconados medante una funcón lneal. N y y r = ([ N ( ) ( N y ( y ) ) Varía entre cero (correlacón nestente) y ± (correlacón completa). r r < Errores en la pendente a y en la ordenada en el orgen b ( y ) a b a = ( N ) ( ) ( ) y a b b = + ( ) ( ) N N Ejemplo Se ha usado un péndulo smple para medr la aceleracón de la gravedad. El procedmento consste en medr el perodo de osclacón T para varas longtudes dferentes L, y usar la relacón entre el perodo, la longtud del péndulo y la aceleracón de la gravedad: T = π Con el método de mínmos cuadrados, transformando la ecuacón anteror, se puede obtener la aceleracón de la gravedad. Las longtudes están meddas con ± cm y los perodos con ±0.0 s g La transformacón necesara para resolver el problema es lnealzar la ecuacón del perodo del péndulo: L = T 4π Medante el ajuste de L frente a T obtenemos una recta cuya pendente es g/4π, de la cual obtendremos un valor de g. Los errores en L son conocdos drectamente; para determnar los errores en T aplcamos la propagacón de errores: T (s),97,4,39,70,9 T (s) 3,88 4,58 5,7 7,9 8,47 T 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 L (m) 0,08 0,09 0,0 0, 0, 0,85,0,46,78,05 (T ) L L (m) y 0,85,0,46,78,05 L y T ( T ) = T = T T T y 3,30 5,47 8,34,94 7,36 g = g = ^ 5,,0 3,6 53, 7,7 9,7 0,3 m/s m/s y^ 0,7,43,3 3,5 4,0 L (m) L g,5,0,5,0 0,5 0,0 0 4 6 8 0-0,5 a = a = a = b = b = ( ) N y N y 0,46 0,007-0,008 0,04 m/s m/s m m y y r = N ( ) y ( y) N N T^ ( s^) y y b = ( ) N r = 0,98877 9,93 0,48 7,33 0,05 47,4 93,5,6
INTERPOLACIÓN LINEAL EN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA La tablas de smple entrada proporconan el valor de una varable dada en funcón de otra z, y vceversa. Se quere determnar el valor de z que corresponde a uno de no tabulado, o vceversa, se supone que, para ntervalos pequeños de las varables la funcón z = z() es lneal y por tanto los ncrementos de las msmas son proporconales. Para resolver el problema se determnan prevamente los valores tabulados de e y entre los que se encuentran los de nuestro problema ( << ; z <z < z ), z z La relacón que lga con z puede escrbrse,, según la fórmula lneal z = z El error absoluto de z resulta ser z z + ( ) z = z z T (ºC) e s (hpa) e (hpa) L c (kj kg - ) -40 0.89 0.8 599-35 0.34 0.3-30 0.509 0.380 57-5 0.807 0.63-0.54.03 545-5.9.65-0.863.600 5-5 4.5 4.05 0 6.08 6.07 50 5 8.79 0.7 473 5 7.044 0 3.373 449 5 3.67 30 4.430 46 35 56.36 40 73.777 40 Ejemplo cuánto vale e s para una temperatura de 7º C? En los 5 ºC que hay entre 0 y 5º C, e s camba de.7-8.79 HPa= 3.553 HPa. Por cada ºC 3.553 = 0.706 HPa /º C 5 3.553 HPa es (7º C) = es (5º C) + = 5 º C HPa (8.79HPa + º C 0.706 ) = 0.40HPa º C 3
T (ºC) e s (hpa) e (hpa) L c (kj kg - ) -40 0.89 0.8 599-35 0.34 0.3-30 0.509 0.380 57-5 0.807 0.63-0.54.03 545-5.9.65-0.863.600 5-5 4.5 4.05 0 6.08 6.07 50 5 8.79 0.7 473 5 7.044 0 3.373 449 5 3.67 30 4.430 46 35 56.36 40 73.777 40 Ejemplo cuánto vale e s para una temperatura de 7º C? =7ºC z= e s (7ºC) =5ºC =0ºC z = e s (5ºC)=8.79 HPa z = e s (0ºC)=.7 HPa z z z = z + ( ) =.77HPa 8.79HPa 8.79 HPa + (7º C 5º C) 0º C 5º C e (7º C) = 0.40HPA s z z.77hpa 8.79HPa 0º C 5º C z = = º C = 0.706HPa 0.7HPa e (7º C) = (0. ± 0.7) HPA s INTERPOLACIÓN LINEAL EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA En las tablas de doble entrada, para cada pareja de valores e y se sumnstra el valor correspondente de una tercera varable relaconada con las dos anterores medante una funcón z = z (, y). En este caso el trazo de tablas (cuyos ntervalos se consderan ahora trplemente lneales), entre cuyos valores se encuentran el z buscado, presentan el aspecto ( << ; y < y< y ), y y z z z z La relacón apromada lnealmente que permte el cálculo es z = z z z z z ( ) + ( y ) y y + y El error absoluto de z resulta ser z = z z + z y z y y 4