5 CAPIULO 0 CONCEPOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Este capítulo proporcioa u pequeño resume acerca de coceptos básicos de álgebra y programació lieal que resulta fudametales para el bue etedimieto de este trabajo 0 Algebra lieal E esta secció se idicará la otació y alguos hechos bie coocidos sobre el campo del álgebra lieal y teoría de poliedros Este material es estádar por lo tato puede ser ecotrado e muchos de los libros de teto (ver por ejemplo [] [3] [4] [5] [6]) 0 Notació básica Por R Z N C deotaremos el cojuto de los úmeros reales eteros aturales y complejos respectivamete Sí E y R so cojutos etoces R E es el cojuto de mapeos de E a R El cojuto N de úmeros aturales o cotiee al cero Los cojuto R + y Z + deota los úmeros reales y eteros o-egativos respectivamete Para
6 N el símbolo R deota el cojuto de vectores de compoetes es decir u cojuto ordeado de úmeros R Adició y multiplicació de vectores co escalares so operacioes bastate comues co estas operacioes R es u espacio vectorial sobre el campo de R Para dos cojutos M y N la epresió M N sigifica que M es subcojuto de N ó N mismo mietras que M N deota u coteido estricto Para idicar que los elemetos de cierto cojuto M o perteece a otro cojuto N escribimos M \ N es decir { M N } 0 Vectores U vector regló de compoetes es u cojuto ordeado de úmeros escritos de la siguiete maera: ( ) Por otro lado u vector columa de compoetes es u cojuto ordeado de úmeros escritos de la siguiete maera: M Por otació cuado se hable de u vector se estará haciedo referecia a u vector columa a meos que otra cosa sea especificada El superídice deota trasposició de los elemetos de u vector así que el vector para u vector R es u vector fila ) Sí a = ( a a y b = (b b ) so vectores etoces a b se cumple siempre y cuado esto sea válido para todos y cada uo de los elemetos relacioados
7 uo a uo por la desigualdad es decir sí producto itero (euclideao) defiido como: a b i i i = R es dotado de u y = y i i= i para y R 03 Matrices La epresió R m deota el cojuto de matrices cuyos datos correspode al cojuto de los úmeros reales R Para ua matriz m comúmete se asume que el ídice asociado al cojuto de filas de ua matriz A es { i m } mietras que el cojuto de columas es{ j } Ua matriz cuadrada es ua matriz co u úmero de filas m igual al úmero de columas es decir m= por lo tato puede ser represetada como A meos que se especifique lo cotrario los elemetos o datos de la m matriz A R so deotados por ( ) i m j Los vectores co compoetes so tambié cosiderados matrices de dimesió a ij La matri idetidad deotada por I es ua matriz cuadrada Cuado se desea efatizar su dimesió de etoces se deota por I Para matrices co todos sus elemetos igual a cero (0) el símbolo 0 es el utilizado para deotar este tipo de matrices Cabe mecioar que esto se matiee para cualquier matriz de tamaño apropiado y de maera similar para cualquier vector cero El símbolo deota u vector que posee todos sus compoetes iguales a uo () El vector j-ésimo uitario e R deotado por ej es u vector cuyo j-ésimo compoete es uo y sus compoetes restates so todos iguales a cero Si = ( ) es u vector etoces la matri cuadrada co los datos diag() sobre su diagoal pricipal y ceros fuera de ésta se deota por
8 e R Sí A R y B R etoces ( AB ) (o simplemete (A B)) deota la matriz m( p+q ) so las de B mp mq cuyas primeras p columas correspode a la matriz A y las q restates El determiate de ua matriz A R se deota como det(a) y su trasa por tra(a) La trasa de ua matriz es la suma de los elemetos de la diagoal pricipal de la matriz Cuado se utilice fucioes tales como det tra o diag omitiremos los parétesis por ejemplo escribir det A e lugar de det(a) etc La iversa de ua matriz es deotada por A - Ua matriz para la cual eista su matriz iversa es llamada matriz o-sigular de otro modo matriz sigular Ua matriz es o-sigular si y solo si su det A 0 El rago de ua matriz A deotado por rago(a) es la cardialidad del cojuto de sus vectores columa (vectores fila) liealmete idepedietes Ua matriz A R se dice que posee rago de fila completo (rago de columa completo) sí el rago(a) =m (rago(a)=) (ver [3] [4]) Dada ua matriz todo úmero complejo λ co la propiedad Au = λu dode u es u vector o-cero y u C es u autovalor o valor propio de A El vector u es llamado autovector de A asociado a λ (ver [] p-4] La fució f ( λ ) : = det( λ I poliomial característica de A Por lo tato la ecuació A ) es ua poliomial de grado llamada fució det( λ I A ) = 0 tiee raíces (múltiples raíces complejas tomado e cueta su multiplicidad) Estas raíces so los autovalores (o ecesariamete distitos) de A
9 Ua matriz simétrica es aquella matriz tal que A=(aij) co a ij = a ji i j Es fácil observar que todos los autovalores de matrices reales simétricas so úmeros reales Eiste útiles relacioes etre los autovalores λ λ de ua matriz A su determiate y su traza las cuales se muestra a cotiuació: det A λ i tra = λ = i= Ua matriz A R es llamada positiva defiida (semidefiida positiva) sí A i= i es simétrica y sí además cumple co que A > 0 para todo R \{0} ( A 0 para todo R ) Si A es defiida positiva etoces A es o sigular y su iversa es tambié defiida positiva De hecho para ua matriz simétrica codicioes so equivaletes: las siguietes (i) A es defiida positiva (ii) A - es defiida positiva (iii) odos los autovalores de A so úmeros positivos reales (iv) A=B B para algua matriz o sigular B (v) El det A k > 0 para k= dode A k es la k-ésima submatriz pricipal dirigida de A Es bie coocido que para cualquier matriz defiida positiva A eiste eactamete ua úica matriz etre las matrices B posibles que satisface (iv) y que e sí misma es defiida positiva Esta matriz es llamada la raíz (cuadrada) de A deotada por A / Las matrices semi-defiidas positivas puede ser caracterizadas de maera similar es decir para ua matriz simétrica A R las siguietes codicioes so equivaletes: (i) (ii) A es semi-defiida positiva odos los autovalores de A so úmeros o-egativos reales
0 (iii) A=B B para algua matriz B (iv) El det A II 0 para todas las submatrices A II de A Nota: Si I es el subcojuto del cojuto de ídices M de las filas de A y J es u subcojuto del cojuto de ídices N de las columas de A etoces A IJ deota la submatriz de A geerada por aquellas filas y columas correspodietes a I y J respectivamete E lugar de A MJ (A IN respectivamete) escribiremos A J (A I ) Ua submatriz A de la forma A II es llamada submatriz pricipal dirigida de A 04 Normas de los vectores bolas Ua fució se cumple: (i) N : R R es llamada ua orma si las siguietes tres codicioes N() 0 para R N() = 0 sí y solo sí =0 (ii) N(α) = α N() para todo R α R (iii) N( + y) N() + N(y) para todo y R (desigualdad (iv) triagular) Figura 0 Represetació gráfica de u vector u = + y y v = + y + z oda orma N sobre R iduce ua distacia d N defiida por d N ( y): = N( y) para y R