Rzones Trigonométrics del Ángulos gudos II RESOLUIÓN E TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Qué es resolver un triángulo rectángulo? Resolver un triángulo rectángulo es clculr sus ldos si se conocen un ldo y un ángulo gudo. Ejemplo Resolver: Resolución 4 30º álculo de ldos Pr clculr ldos, vmos plicr tres propieddes que continución deducimos: onocid l hipotenus () y un Ángulo gudo (q): teto Opuesto Sen = teto Opuesto = ipotenus Sen ipotenus teto dycente os = teto dycente = ipotenus os ipotenus 4 30º 3 t. dycente t. Opuesto cos Sen
Luego firmmos de l figur: 5 { teto opuesto = = 5Sen 13 teto dycente = y = 5os 13 13º y onociendo un cteto dycente () y un Ángulo gudo (): teto Opuesto Tn = teto Opuesto = teto dycente Tn teto dycente ipotenus Sec = ipotenus = teto dycente Sec teto dycente sí por ejemplo en l figur mostrd firmmos: 3 39 teto Opuesto = = 13Tn37º = 13 = 4 4 5 65 ipotenus = y = 13Sec37º = 13 = 4 4 onociendo un cteto opuesto () y un Ángulo gudo () teto dycente ot = teto dycente = teto Opuesto ot teto Opuesto ipotenus sc = ipotenus = teto Opuesto sc teto Opuesto
En bse lo estudido firmmos: teto dycente = = 3 5 ot30º = 3 5 3 = 3 15 ipotenus = y = 3 5 sc30º = 3 5 = 6 5 Áre de l región tringulr onocid l bse y ltur El áre de un región triángulr se clcul multiplicndo l bse (un ldo) por su ltur (reltiv l ldo) dividido entre dos: ÁRE = b h onocidos dos ldos y ángulos entre ellos El áre de de un región triángulr se clcul multiplicndo dos ldos y el seno del ángulo entre ellos dividido entre dos. b RE = b Sen
emostrción Usndo un trzo uilir notmos en l figur que l ltur mide bsen Sbemos: SE LTUR RE = b bsen RE = L.q.q.d bsen Ejemplo (1) En l figur mostrd es un cudrdo clculr Sen. 3 E 1 Resolución Por el Teorem de Pitágors: = 5 3 E 1 b = 17 álculo del áre de l región triángulr E. * Áre E = se ltur = 4 4 4 b 4 b 5 17 ** Áre E = Sen= Sen Igulndo (*) y (**) tenemos: 4 re E = Áre E 5 17 4 4 Sen = 16 16 17 Sen = 5 17 = 85 Not: Recuerde que el cálculo del áre será un herrmient importnte; pr el cálculo de l R.T. Seno.
Ejemplo () lle en función de ; y E Resolución Por resolución del triángulo rectángulo. E: conocid l hipotenus E y :onocid l hipotenus y E os Sen = os Sen os os os os Sen Ejemplo (3) lculr en l siguiente figur:
Resolución : onocido y : onocido y sc csc cot = Luego: ot + = ot = (ot ot ) cot Ejemplo (4) llr en función de, y β E β Resolución plicndo resolución de triángulos rectángulos ) : onocidos y : onocidos y β b) E: onocidos y scβ Sec E Tn Tnβ β Secβ otβ β
Ejemplo (5) llr en función d y = Tn + Secβ = otβ Secβ = otβ Tn Secβ = otβ Tn d Resolución d Xos = dsen os = dsen = dtn Sen = d os Ángulo Verticl Un ángulo se llm verticl, si está contenido en un plno verticl. Por ejemplo, es un ángulo verticl en l siguiente figur: Los ángulos verticles se clsificn en: Plno Verticl Plno orizontl
Ángulo de elevción () Es un ángulo verticl que está formdo por un líne horizontl que ps por el ojo del observdor y su visul que se encuentr por encim de ést. continución ilustrremos con un gráfico los términos epresdos. Ángulo de depresión (β) Es un ángulo verticl que está formdo por un líne horizontl que ps por el ojo del observdor y su líne visul que se encuentr debjo de ést. β VISUL ORIZONTL ORIZONTL VISUL Ejemplos 1. Un person de dos metros de esttur observ l prte más lt de un torre con un ángulo de elevción de 30º. qué distnci se encuentr de l bse de l torre, si ést mide 8 m? Resolución L distnci pedid es 80 3 m 80 3 m 80 3 m. esde l prte más lt de un torre de 60 m. de longitud se observ un hormig con un ángulo de depresión de 37º. qué distnci de l bse de l torre se encuentr l hormig? Resolución L hormig se encuentr un distnci de 80 m = 80m
Problems I 1. lculr el perímetro del mostrdo, en función de "m" y "". m 4. En l figur siguiente, hllr "" en términos de "", "φ" y "". ) m(1+sen +os ) b) m(sen +os ) c) msen -os d) m(1+sen ) e) m(1+os ). llr l longitud del cble que sostiene l esfer de centro "O"; considere r y "φ como dtos. ) r(sc φ +1) b) r(sc φ 1) c) rsc φ d) r(1 sc φ) r(scφ+ 1) e) O r 3. Indicr función de r y φ", el perímetro del rectángulo mostrdo. r O ) otφ+ Tn b) (ot φ + Tn ) c) Tnφ+ ot d) (Tn φ + ot ) e) Tnφ ot 5. lculr en l figur. O 1 ) Tg (Sec +1) b) Tg (Sec -1) c) tg (Sec +1) d) Tg (sc +1) e) tg (sc 1) 6. llr "" ) 3r(+ot φ) b) r(3+ot φ) c) r(1+ot φ) d) r(3+tn φ) e) 3r(+Tn φ) ) os( )Tg b) os( )tg c) os( )Tg d) os( )tg e) os(+)tg
7. llr. ) Sen Tg(+) b) Sen Tg( ) c) Sen Tg( ) d) Sen tg( ) e) Sen tg(+) 8. e l figur, hllr "". ) b c Sen c) bc Sen e) c b Sen b c c b) b Sen b d) c Sen 9. lculr el áre de l región sombred. 3µ 5µ 30 4µ 6µ ) 10 µ² b) 15 µ² c) 0 µ² d) 30 µ² e) 35 µ² 10. lculr 30 37 10 ) 8 b) 10 c) 1 d) 14 e) 15 11. Un person ubicd en l prte más lt de un edificio observ dos puntos opuestos mbos ldos del edificio con ángulos de depresión de 37 y 53. Si los puntos distn entre sí 0 metros, hllr l sum de ls visules. ) 0 m b) m c) 4 m d) 6 m e) 8 m 1. esde un punto en el suelo se observ l prte más lt de un torre con un ángulo de elevción de 60, si se retrocede 40 m y se vuelve observr l prte más lt, el ángulo de elevción es de 30. llr l ltur de l torre. ) 0 3 m b) 10 3 m c) 30 m d)15 3 m e) 10 m 13. Un person se dirige un edificio, y observ lo lto del mismo bjo un ángulo de elevción ; después de cminr 10 m observ l mism ltur con un ángulo de elevción ". Si l ltur del edificio es 30 m, hllr: 1 W = Tg Tg + 3 ) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 14. Un person colocd 36 m de un torre, observ su prte más lt con un ángulo de elevción " (Tg = 7 1 ). Qué distnci hbrí que lejrse pr que el ángulo de elevción se? onde: Tg = 1 4 ) 1 m b) 13 m c) 48 m d) 15 m e) 0 m 15. Un vión vuel horizontlmente un ltur constnte, ntes de psr sobre dos puntos en tierr y los observ con ángulos de depresión de 45 y 37 respectivmente. undo está sobre es visto desde con un ángulo de elevción ". uánto vle Tg? ) 1 b) c) 3
16. esde lo lto de un edificio se ve un punto en tierr con un ángulo de depresión "", y otro punto ubicdo l mitd entre el primer punto y el edificio con un ángulo de depresión 90. lculr "tg ". ) b) c) d) e) 1 4 17. Un vión que inicilmente se encuentr 700 m de ltur, sobre un objeto, empiez cer con un ángulo de 37 por debjo de l líne horizontl, vnzndo 500 m luego retom su posición horizontl vnzndo un distnci y el piloto observ el objeto con un ángulo de depresión de 45. lculr. ) 400 m b) 1800 m c) 400 d) 100 e) 000 m 18. esde el décimo piso de un edificio de 16 pisos, se observ un punto en el suelo con un ángulo de depresión. e l zote del edificio se observ el mismo punto con un ángulo de depresión igul l complemento de. llr: tg. ) 3 b) 1 3 c) 1 visto desde l ciudd, con un ángulo de elevción de 37, cuál es l velocidd constnte del vión en km/h? ) 480 b) 10 c) 960 d) 40 e) 360 LVES I 1.. b 3. b 4. 5. d 6. 7. b 8. 9. b 10. c 11. e 1. 13. 14. c 15. c 16. 17. e 18. d 19. d 0. d Problems II 1. llr el rdio del cudrnte O mostrdo, si O = K. O ) K(Sec + os ) b) K(Sec + sc ) c) K(Sen + os ) c) K(Sen + sc ) e) K Sen os. En l circunferenci mostrd hllr el ldo, conocidos y 4. (O: entro de l circunferenci). d) 4 e) 5 3 3 19. esde un punto se observ l prte más lt de un edificio con un ángulo de elevción ", si después de vnzr ls /3 prtes de l distnci originl que seprb l observdor del pie del edificio, el ángulo de elevción fue el complemento de "". lculr "". ) 15 b) 45 c) 60 d) 30 e) 30' 0. Un vión que vuel un ltur constnte de 6000 m ps sobre un ciudd, minutos después es 4 ) Sen b) 4os c) 4Sen d) 8os e) 8Sen 3. eterminr conocidos. "R" y "8 ". (O: entro de l circunferenci). R O O 8
) R(1+Sen 8 ) b) R(os 8º+tg8 ) c) R(1+sc 8 ) d) R(os 8 + Tg 8 ) e) R(Sec 8 +tg8 ) 4. llr el ldo del cudrdo PQRS inscrito en el triángulo rectángulo. Q P n ) n(tg.φ + tg φ + 1) 1 b) n(tg.φ + tg φ + 1) c) n(tg.φ + tg φ) 1 d) n(tg.φ + tg φ) e) n(tg.φ + tg φ 1) 5. El inrdio de un triángulo vle "r", siendo I su incentro. llr: W = I+I+I S ) r(sen +Sen +Sen ) b) r(sen +Sen +Sen ) c) r(sec +Sec +Sec ) R 7. llr de l figur: Sen Sec P = os3 4 ) 0,80 b) 1,00 c) 1,5 d) 1,60 e),50 8. En l figur, es un cudrdo, hllr: Tg ". (S: áre de l región) 3S S 5 ) 1 b) c) 1 d) 3 e) 1 3 9. En l figur, si: = = 3 llr: 130Sen² d) r(sc +sc +sc ) e) r(sc +sc +sc ) 6. En l figur hllr en términos de m, y β. m E ) 81 b) 7 c) 9 d) 3 e) 1 10. llr tg " de l figur: ) msc Sen β b) mos Sen β c) msec sc β d) msen os β e) msc Sec β 1 3 ) 3/4 b) 4/3 c) 3/5
11. llr "" del triángulo rectángulo mostrdo continución: 30 b ) = + b 3 b c) = + b 3 e) = b + b b b b) = 3 + b b d) = 3 + b 1. Un niño de 100cm de esttur mir un OVNI con un ángulo de elevción de 45. Luego el OVNI ps sobre el niño volndo un ltur constnte y es visto nuevmente hor con un ángulo de elevción de 53. Si l distnci horizontl entre l primer y segund observción fue de 18 m. llr que ltur volb el OVNI. ) 104 m b) 105 m c) 106 m d) 04 m e) 183 m 13. Un mono se encuentr 4 m de ltur en el tronco de un plmer, y ve un mon que está en el suelo con un ángulo de depresión de 53. Luego, mbos se dirigen en form simultáne hci l bse l plmer, y cundo l mon h vnzdo l mitd de l distnci que l seprb de l plmer inicilmente mir l mono con un ángulo de elevción de 45 ; entonces l distnci que los sepr en ese instnte es: ) 9 m b) 9 m c) 9 m d)18 m e) 18 m 14. L elevción ngulr de l prte superior de un torre vist desde el pie de un poste es de 60, y desde l prte superior del poste, que tiene 30 m de ltur, el ángulo de elevción mide 30. Luego l ltur de l torre es: ) 15 m b) 30 m c) 45 m d) 60 m e) 75 m 15. os persons de estturs y h (>h) se encuentrn prds frente frente seprds un ciert distnci. L person de menos esttur observ l cbez de l otr person con un ángulo de elevción y sus pies con un ángulo de depresión "β". llr: "/h". ) 1+Tg Tg β b) 1+Tg tg β c) 1+tg Tg β d) 1+tg tg β e) 1+Sen os β 16. L esttur de un hombre es l,68 m. Observ su sombr ls de l trde, sumiendo que mnece ls 6 de l mñn y que él sol sigue un tryectori circulr sobre el hombre. uánto mide su sombr proimdmente? ) 79 cm b) 48 cm c) 97 cm d) 84 cm e) 63 cm 17. Un rtón observ el borde superior de un muro con un ángulo de elevción de 37 ; luego vnz 8 m cercándose l muro en líne rect y, lo vuelve observr con un ángulo de elevción de 53. Si el rtón trd 3 segundos en llegr l bse del
muro desde su segund posición, determine l velocidd constnte en m/seg con que se desplz el roedor. ) 18 b) 16 c) 14 d) 1 e) 10 18. esde lo lto de un fro 15m sobre el nivel del mr se observ un boy con un ángulo de depresión cuy tngente es 3/; desde l bse del fro 8 m sobre el nivel del mr se vuelve observr l boy, con un ángulo de depresión. lcule el vlor de "Tg " ) 5/4 b) 4/5 s) 3/4 d) 4/3 e) 3/5 19. undo observmos un torre desde un punto en el terreno distnte m más que su ltur el ángulo de elevción mide, pero si se observ de otro punto en el terreno distnte m menos que su ltur el ángulo de elevción mide. Luego l ltur de l torre es: ) 7 m b) ( 6 1) m c) ( 7 1) m d) ( 6 +1) m e) ( 7 +1) m 0. esde dos puntos P y Q situdos l Sur y l Este de un poste de luz se observ su foco con ángulos de elevción que son complementrios. Si l distnci PQ es igul l triple de l ltur del poste, y uno de los ángulos de elevción menciondos mide ". llr: W = Tg + tg ) 1 b) 3 c) 9 d) 11 e) 7 LVES II 1. c. e 3. b 4. 5. d 6. e 7. c 8. c 9. 10. b 11. 1. b 13. c 14. c 15. b 16. c 17. d 18. b 19. e 0. d