.- Dtrmir l cráctr d l sri sgú los vlors d = +. Solució: sido = + = Si = = lim = s divrgt. = Si < < lim = s divrgt. = Si = = lim = s divrgt. = Si >, plicdo l critrio d D`Almrt: + ( + ) ( + ) + lim = lim = lim = < + ( ) + s covrgt. + + =.- Estudir l cráctr d l sri = 369 (3 + 3). (3 3) 3! Solució: sido 369 (3 + 3) = (3 3) 3! =. Aplicdo D`Almrt: + 369 (3+ 3)(3 + 6) (3 3)3! (3+ 6)(3 3) lim = lim = lim = + 3 3 ( )! 369 (3 3) + + 3 3( + ) Aplicdo R-Duhml: + (3+ 6)(3 3) + + lim = lim = lim = lim = < 3 3( ) ( ) + + + s covrgt. = 3.- Clculr l cmpo d covrgci y l sum d l sri d potcis = (+ ) x Solució: S plicrá D`Almrt l sri vlors solutos: + (+ 4) x lim = x < x (,) R= (rdio d covrgci) (+ ) x Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl
E l puto x = E l puto x = Por lo tto = ( + ) s covrgt. = ( ) ( + ) s o covrgt. = (+ ) x s covrgt (solutmt) x (,). Por llo = Y s itgrl l itrvlo [ ] Sx ( ) = (+ ) x x (,), x x (,) : x + () x + x Stdt () = (+ ) = x = x (,) = + = x Drivdo st rsultdo x 4x x S( x) = (+ ) x = = x (,) = x ( x) () Sri gométric d rzó : r = x. 4- Clculr l cmpo d covrgci y l sum d l sri d potcis = x. Solució: Aplicmos D`Almrt l sri d vlors solutos: + + x lim = x < x, R ( ) = x (Rdio d covrgci) + E x = :, qu s divrgt. = ( ) E x = :, codiciolmt covrgt (Liiz). = Lugo, x covrg x, =. Es dcir: Sx ( ) = x x, = Y s drivl x, : () S ( x) = x = x, = x Itgrdo hor st rsultdo ( S () = ): Pro x S( x) = x = dt L( x) f( x) x, = = t = x = Sx ( ) y f ( x) ms cotius. Lugo: Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl
S( x) = x = L( x) x, = () Es u sri gométric: r = x. 5.- Dcir rzodmt si ls siguits firmcios so vrddrs o flss: ) s covrgt s solutmt covrgt ) = = s covrgt s solutmt covrgt = s covrgt = s divrgt = s covrgt { } s covrgt = s divrgt { } s divrgt = c) Si ( ) s covrgt s solutmt covrgt d) Si { } s covrgt ) Si { } s divrgt f) Si g) Si Solució: ) Es fls. ( ) E fcto, st firmció srí cirt. Cotrjmplo: + = o s solutmt covrgt pro si codiciolmt covrgt. ) Es vrddr.. Df. ( ) E fcto, s solutmt covrgt = s covrgt. = = = c) Es fls. Es válido l cotrjmplo dl prtdo ). d) Es fls. Cotrjmplo: { } = s covrgt, y qu lim =. Pro = = = s divrgt. ) Es vrddro. { } s divrgt lim =± No s vrific l codició csri d covrgci d sris. ( lim = ). f) Es vrddro. s covrgt lim = { } = g) Es fls. Es válido l cotrjmplo dl prtdo d). s covrgt. Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl 3
6.- Dd l sri d los prámtros y x. Solució: x studir su covrgci fució d los vlors rls = x =. Si s l plic l critrio d D`Almrt: ( + ) x + x lim lim x = ( + ) =. Etocs: x < < x < x s covrgt.. = x > > x > x s divrgt. = = x = x = o = s covrgt. = = x = 7.- Alizr l turlz d l sri prámtro { }. =, sgú los vlors dl Solució: = pud sr positivo o gtivo ( < ), por lo tto s plic l critrio d D`Almrt l sri vlors solutos:: + + lim = lim =. Etocs: + < > (, ) (, ) s solutmt covrgt. = (,) s divrgt = (,) > < (,) o s solutmt covrgt. = lim = o s covrgt Si s divrgt = = = = = =± Si = = ( ) o s covrgt = Otro modo. Si mpzmos lizdo l codició csri: Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl 4 =
o pud sr covrgt [,] {} = lim = lim = > pud sr covrgt (, ) (, ). = Y hor s l plic D`Almrt sido > : + + lim lim + = = = < s solutmt covrgt (, ) (, ) ( ) 8.- Ecotrr l cmpo d covrgci d l sri d potcis + x y = clculr su sum. Solució: Aplicmos D`Almrt l sri vlors solutos: + x x lim = < x (, ) + ( + ) x + ( ) ( ) Si x= = s divrgt. = = ( ) ( ) Si x= = + + s codiciolmt covrgt. = = Etocs, ( ) + x = s covrgt x (, ] + ( ) x S( x) = x, = + (*) ( ) x / S ( x) = = = x (, ) + x/ x+. Por lo tto: ( ] y s drivl x (, ) = Itgrdo l rsultdo: x x S( x) S () = S( x) = dt = L( t+ ) = L( x+ ) x (, ) t+ = ( ) y s cotiu E l puto x = S x L( x + ) y s cotiu + Etocs, S( x) = = L( x+ ) x (, ] = ( ) x. Esto s: (*) Sri gomtric d rzó x r =. Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl 5
9.- Explicr si ls siguits firmcios so vrddrs o o: ) Supoido qu >, covrg > ) y = 5 = c) Si l sucsió { } = ti l mismo cráctr. s divrgt, sido s divrgt. d) Si l sucsió { } s covrgt = = s covrgt. ) El cmpo d covrgci d l sri d potcis itrvlo (,). Solució: ) Es vrddr. E fcto: s u sri gométric d rzó r = >. Por lo tto: = s covrgt r = < > = x pud sr l = ) Es vrddr. E fcto: L turlz d u sri o cmi si s multiplic todos los térmios por u costt o ul. c) Es vrddr. E fcto s divrgt lim = Como o cumpl l codició csri d { } covrgci o pud sr covrgt, y como d) No s cirt: { } = s covrgt lim = / = s covrgt. = s divrgt. Ejmplos: + ) = lim = { } s covrgt. Pro lim o pud 3 5 3 = sr covrgt. ) = lim = { } s covrgt. Pro s divrgt. ) No s cirt: x l cmpo d covrgci d st sri d potcis ti qu sr u itrvlo = simétrico rspcto l orig. = Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl 6
.- Estudir l cráctr y hllr l sum d l sri ( L), = >. Solució: Es u sri gométric d rzó r = L. Por tto: Es covrgt (solutmt) r = L < < L< < < ( y o s covrgt). Su sum: L ( L) =, = L.- Dtrmir l cráctr d l sri vlors d los prámtros > y. Solució:! = ( + ) ( + ) ( + ) sgú los! =. Aplicmos D`Almrt: ( + ) ( + ) ( + ) ( + )! ( + ) ( + ) ( + ) lim = = ( ) ( ) ( ) ( )! + lim ( ) + + + + + + + = lim = ( + + ) Etocs, < > > covrg. = > < < divrg. =! = = = = ( + ) ( + ) ( + ) = Aplicmos R-Duhml: + + + + lim = lim = lim = lim = + + + + + + Lugo, si < divrg. = si > covrg. si =!! = = = = 3 ( + ) ( + )! + = divrg Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl 7
.- ) Si l sri d térmios o gtivos s covrgt, cuál s l cráctr = d l sri L = +? ) Si + =, clculr l sum d l sri. 7+ L c) Si S = + + + =, dtrmir l cráctr d l sri clculr su sum. d) L sri d potcis x? Solució: = x pud sr covrgt x = = y > y divrgt ) Si covrg lim = L = L L( + ) = L( + ) = + Lugo L = + covrg. Not: L. Si plicásmos l critrio d + + comprció, pr comprrl co l sri, drímos por L. Es = = + dcir, qu uqu s cirto qu L, o s pud usr pr justificr qu + L = + s covrgt. (Por jmplo: / covrgt ). = + ) Si = s u sri gométric d rzó = =. = = r = <. Etocs, c) 7+ L lim S = lim = 7 covrg y = = 7. = d) Es imposil pusto qu l cmpo d covrgci d simétrico rspcto l orig. x s u itrvlo = Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl 8
3.- Estudir l cráctr d sido c >. fució d los prámtros, y c, c =! Solució: =. Aplicmos D Almrt: c! ( + ) ( + )! ( + ) ( )! = = = ( )! ( )! ( + ) ( + ) + c + lim lim lim + c + c + ( + ) ( + ) + ( + ) = lim = lim lim( ) = + = c ( + ) c ( + ) c => > divrg c = = < < covrg c = Si c> < covrg c = si = Si c< > divrg c c = Si c= = = c! (*) = = ( ) /! π π Si > < covrg = Si divrg = (*) Stirlig- formul pliktuz. 4.- Estudir l cráctr d si α + = >, α >. Solució: = si y = ( + ) = + α = = = Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl 9
+ covrg y covrg. Y ( ) = = = cov. α > ( α > ) α > = si = div. α ( α ) α α α = cov. > ( < ) = sri gométric, r = = div. ( ) Lugo, si α + = α > y >. Y l rsto d csos s divrgt. 5.- Dtrmir l cráctr d l sri! >. ( ) = + Solució: co = =! ( + ). Aplicmos D Almrt: ( + )! ( + ) ( + ) ( + ) + = = = ( + )! ( + ) ( + ) + + lim lim lim lim + + Y + + + lim = = A LA= lim L lim = + + + + = lim = A= = + < > covrg. = + Etocs: lim = > < divrg. = = = Cso dudoso. () ()! π π π Si, = = = ( + ) ( + ) ( + ) Lugo o s cumpl l codició csri d covrgci y, por lo tto, divrgt. s = Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl
() Stirlig. () lim = lim = ( + ) + cos( π ) 6.- S l sri. = L ) Es covrgt? Rzor l rspust. ) Es solutmt covrgt? Rzor l rspust. Solució: cos( π ) ( ) co = = = L L Sri ltrd. Comcmos studido l sri d vlors solutos: = > L divrg = Y = divrg = = o s solutmt covrgt. = Como s ltrd, plicrmos l torm d Liiz: i) lim = covrg ii) > + = Lugo cos( π ) ) o s solutmt covrgt. = L cos( π ) ) s covrgt. Lugo s codiciolmt covrgt. L = + 7.- S l sri λ. = λ! ) Pr qué vlors d λ s vrific l codició csri d covrgci? ) Alizrt l cráctr d l sri. Solució: ) = co = λ λ! + Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl
Codició csri: lim = si > λ λ lim lim = lim = lim λ! = λ π λ π π si λ Lugo, lim = λ. ) λ < lim divrg.. = λ λ π Si λ = = / π π Comprdo co l sri rmóic, α = < divrg α = = Si λ > Aplicmos D Almrt: + + λ π lim lim = < covrg + λ π( + ) λ = Lugo, covrg λ = > y divrg λ. Jvir Bilo; Oltz Grcí; Migul Rodríguz; Cocpció Vrl