ESTADÍSTICA TEÓRICA: CHI-CUADRADO TABLAS DE APLICACIONES CONTINGENCIA

Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emprsarals Dpartamto d Ecoomía Aplcada Profsor: Satago d la Fut Frádz ESTADÍSTICA TEÓRICA: CHI-CUADRADO TABLAS DE APLICACIONES CONTINGENCIA Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

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Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emprsarals Dpartamto d Ecoomía Aplcada Profsor: Satago d la Fut Frádz PRINCIPALES APLICACIONES DE LA CHI CUADRADO Al aalzar ua poblacó u caráctr cualtatvo o cuattatvo l studo rsulta muy tdoso por l gra úmro d lmtos dl qu costa la poblacó. Gralmt, s xama ua mustra tomada d la poblacó, lo qu llva a tr ua sr d datos, y vr hasta qué puto la mustra s pud cosdrar prtct a ua dstrbucó tórca coocda. Smpr xstrá dsvacos tr la dstrbucó mpírca u obsrvada y la dstrbucó tórca. S plata la custó d sabr s stas dsvacos so dbdas al azar o al habr tomado ua dstrbucó tórca adcuada. CONTRASTE DE BONDAD DEL AJUSTE El objtvo dl cotrast d bodad dl ajust s sabr s ua mustra procd d ua poblacó tórca co dtrmada dstrbucó d probabldad. Sa ua poblacó, dod s aalza u caráctr X co (x, x,, x k) modaldads xcluyts, dotado por s l úmro d lmtos qu prsta la modaldad x (frcuca obsrvada dx ), k Por otra part, sa modaldad x.p la frcuca sprada o tórca d cada S orga la TABLA DE CONTINGENCIA: X x x x xk Frcuca obsrvada k Frcuca sprada ( ) ( ) ( ) ( k) Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

La dstrbucó tórca rprsta a Hpótss ula H 0 : la dstrbucó mpírca u obsrvada Para u vl d sgfcacó (o rsgo) S acpta H 0 : stadístco obsrvado k ( ) stadístco tórco,(k ) S rchaza H 0 : stadístco obsrvado k ( ) stadístco tórco,(k ) El stadístco k k ( ) (útl l cálculo) OBSERVACIONES DE LA APLICACIÓN a) El tst d la s pud aplcar stuacos dod s dsa dcdr s ua sr d datos (obsrvacos) s ajusta o o a ua fucó tórca prvamt dtrmada (Bomal, Posso, Normal, tc.) b) Es csaro qu las frcucas spradas d las dsttas modaldads o sa frors a cco. S algua modaldad t ua frcuca sprada mor qu cco s agrupa dos o más modaldads cotguas ua sola hasta cosgur qu la frcuca sprada sa mayor qu cco. c) Los grados d lbrtad d la dpd dl úmro d parámtros qu s csta hallar para obtr las frcucas spradas. E st stdo, s s rqur hallar p parámtros, los grados d lbrtad so (k p) s las modaldads so dpdts y (k p ) cuado las modaldads so xcluyts. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

TABLAS CONTINGENCIA: CONTRASTE DE DEPENDENCIA INDEPENDENCIA Cuado s dsa comparar dos caractrs (X, Y) ua msma poblacó qu admt las modaldads: X(x,x,,x,,x k) Y(y,y,,y j,,y m), s toma ua mustra d tamaño, rprstado por l úmro d lmtos d la poblacó qu prsta la modaldad x d X y j d Y. X Y y y y j ym k x j m x j m x m x k m j j k k kj km j m No xst dfrca tr las Hpótss ula H 0 : dstrbucos mpírcas d X Y Bajo la hpótss ula, cada frcuca obsrvada dod (,, k ; j,, m) d la tabla d cotgca (k x m) hay ua frcuca sprada ( ) qu s obt mdat la xprsó: p x j p. x j k Agrupado frcucas obsrvadas y spradas la TABLA DE CONTINGENCIA k x m Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

X x Y y y y j ym ( ) ( ) j ( j) m ( m ) ( ) j m ( ) ( ) k x ( ) j m x ( ) ( ) ( ) m ( ) x k m j j k ( ) k k ( ) kj ( ) km ( ) k kj m km j m Las codcos csaras para aplcar l tst d la Ch cuadrado xg qu al mos l 80% d los valors sprados d las cldas sa mayors qu 5. Cuado sto o ocurr hay qu agrupar modaldads cotguas ua sola hasta lograr qu la uva frcuca sa mayor qu cco. E ua TABLA DE CONTINGENCIA d x s csaro qu todas las cldas tga frcucas spradas mayors qu cco, s b la práctca sul prmtrs qu ua d llas tga frcucas spradas lgramt por dbajo d 5. El stadístco d cotrast obsrvado aproxmadamt ua Ch cuadrado co lbrtad. k ( ) sgu k m (k ).(m ) j (k ) x (m ) grados d Para u vl d sgfcacó s pud cotrastar la dfrca sgfcatva tr las dos dstrbucos mpírcas o la dpdca d las dstrbucos mpírcas. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD S acpta H o sí: stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j S rchaza H o sí: stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j CONTRASTE DE INDEPENDENCIA Hpótss ula H o : Las dstrbucos mpírcas X Y so dpdts S acpta S rchaza H o sí: H o sí: stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 7

TABLAS CONTINGENCIA x y x 3 Para las tablas d cotgca x y x 3 s obt fórmulas scllas d la utlzado úcamt las frcucas obsrvadas X Y y y x x (.. )... S acpta H o : H :, S rchaza o, X Y y y y3 x 3 x 3 3 3 3 3 3 S acpta H o : S rchaza H o :,, Cofct d CONTINGENCIA Es ua mdda dl grado d rlacó o dpdca tr dos caractrs la tabla d cotgca, s df: C 0C Mayor valor d C dca u grado d dpdca mayor tr X Y Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 8

FACTOR d corrccó d YATES Advértas qu como la mustra 40 s hac acosjabl l uso d la Ch cuadrado co l factor d corrccó d cotudad d Yats: Factor corrccó 0,5 0,5 Para ua tabla d cotgca d x la corrccó d Yats:..... La corrccó o s válda cuado.. E gral, la corrccó d Yats s hac cuado l úmro d grados d lbrtad s. Tst G d la razó d vrosmltud El tst d cotrast d dpdcas por la razó d vrosmltuds (tst G) s ua pruba d hpótss d la Ch cuadrado qu prsta mjors rsultados qu l d Parso. S dstrbuy astótcamt co ua varabl alatora co (k ) x (m ) grados d lbrtad. S df l stadístco S acpta la hpótss ula G l k m j H o sí: k m G l j, (k ). (m ) Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 9

Tst d McNmar El tst d McNmar s utlza para dcdr s s pud acptar o o qu dtrmado tratamto duc u cambo la rspusta d los lmtos somtdos al msmo, y s aplcabl a los dsños dl tpo ats dspués los qu cada lmto actúa como su propo cotrol. Cosst obsrvacos d ua varabl alatora bdmsoal (X,Y). La scala d mdcó para X Y s omal co dos catgorías, tals como postvo o gatvo, hmbra o macho, prsca o ausca, qu s pud domar 0 y. X Y Total a b a b c d c d Total a c b d Los casos qu mustra cambos tr la prmra y sguda rspusta aparc las cldllas b y c U dvduo s clasfcado la cldlla b s camba d a, la cldlla a cuado la rspusta s ats y dspués, la cldlla d cuado la rspusta s ats y dspués. E l tst d McNmar para la sgfcacó d cambos solamt trsa coocr las cldas b y c qu prsta cambos. Pusto qu (b c) s l úmro d dvduos qu cambaro, bajo l supusto d la hpótss ula, s spra qu (b c) / casos camb ua drccó y (b c) / casos camb otra drccó. Hpótss ula H : El tratamto o duc cambos sgfcatvos las rspustas 0 Estadístco d cotrast sí b c 0: S acpta H o sí b McNmar /, Estadístco d cotrast s b c 0: Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 0

S acpta H o sí (b c) b c McNmar /, La aproxmacó mustral a la dstrbucó Ch cuadrado s más prcsa s s ralza la corrccó d cotudad d Yats (ya qu s utlza ua dstrbucó cotua para aproxmar ua dstrbucó dscrta). El stadístco corrgdo: S acpta H o sí bc b c McNmar /, COEFICIENTES EN DISTRIBUCIONES DICOTÓMICAS Los cofcts más utlzados varabls dcotómcas so los d corrlacó ph y Q d Yul. Estos cofcts t alguas propdads comus d trés: a) Está ormalzados, las magtuds o dpd dl tamaño d la tabla. b) So muy ssbls a la dstrbucó mpírca obsrvada, traducdo coctracos d casos alguas cldas magtuds. c) T u rcorrdo tórco tr [,] dcado stuacos d asocacó prfcta y d dpdca stadístca. Los cofcts y Q d Yul s dfrca la ssbldad rcoal: El cofct alcaza su máxmo valor sólo cuado ua d las dos dagoals s ha vacado. El cofct Q s muy ssbl a la xstca d ua clda qu térmos rlatvos s stá vacado. Su valor máxmo s alcaza cuado ua clda o hay gú caso, sto s lo qu s cooc como ssbldad rcoal. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

X Y y y Total x a b a b x c d c d Total a c b d Cofct Ph: ad bc 0 (a b)(c d)(a c)(b d) Cofct Q d Yul: ad bc Q 0Q ad bc TEST EXACTO DE FISHER S las dos varabls qu s stá aalzado so dcotómcas, y la frcuca sprada s mor qu 5 más d ua clda, o rsulta adcuado aplcar l tst d la auqu sí l tst xacto d Fshr. El tst xacto d Fshr prmt aalzar s dos varabls dcotómcas stá asocadas cuado la mustra a studar s dmasado pquña y o cumpl las codcos csaras para qu la aplcacó dl tst d la Ch cuadrado sa dóa. X Y y y Total x a b a b x c d c d Total a c b d E ua TABLA DE CONTINGENCIA d x s csaro qu todas las cldas tga frcucas spradas mayors qu cco, s b la práctca sul prmtrs qu ua d llas tga frcucas spradas lgramt por dbajo d 5. El tst xacto d Fshr s basa valuar la probabldad asocada a cada ua d las tablas x qu s pud formar matdo los msmos totals d flas y columas qu los d la tabla obsrvada. Cada uo d Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

stas probabldads s obt bajo la hpótss d dpdca d las dos varabls qu s stá aalzado. La probabldad asocada a los datos qu ha sdo obsrvados v dada por: p (a b)! (c d)! (a c)! (b d)!! a! b! c! d! La fórmula gral d la probabldad dscrta dbrá calculars para todas las tablas d cotgca qu puda formars co los msmos totals d flas y columas d la tabla obsrvada. El valor d la p asocado al tst xacto d Fshr pud calculars sumado las probabldads d las tablas qu rsult mors o guals a la probabldad d la tabla qu ha sdo obsrvada. El platamto s blatral, s dcr, cuado la hpótss altratva asum la dpdca tr las varabls dcotómcas, pro s spcfcar d atmao qué stdo s produc dchas dfrcas, l valor d la p obtdo s multplca por. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

EJERCICIOS APLICACIONES DE LA CHI CUADRADO INTERPRETACIÓN DE DATOS S ha ralzado u studo sobr la stuacó laboral d las mujrs y su stado cvl, los datos obtdos furo: Trabajo Estado cvl rmurado Casada Soltra Total S No Total 45 35 80 Los rsultados obtdos l aálss d la tabla d cotgca furo: Estadístcos Valor p valor Ch cuadrado Parso 5,63436 0,075 Ch cuadrado d Yats 4,54897 0,0357 Tst G 5,789645 0,089 Ch cuadrado NcNmar,94 0,0978 Corrlacó Ph 0,685643 0,078 Q d Yul 0,8345 Co u vl d sgfcacó 0,05, s pd: a) S cutra asocada la stuacó laboral d la mujr a su stado cvl? b) Gralmt, las mujrs qu ralza u trabajo rmurado co soltras? Solucó: a) Para aalzar la dpdca o o d la stuacó laboral d la mujr co su stado cvl (asocacó tr varabls catgórcas ua tabla d ) x s utlza l tst d la d Parso, co o s corrccó d Yats, l tst G d razó d vrosmltuds. El tst d McNmar o s pud utlzar st caso por o tratars d mustras paradas (ats dspués). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

Establcdo la hpótss ula: H : La stuacó laboral d la mujr s dpdt d su stado cvl. 0 Los trs stadístcos prmros, basados la, prsta u p valor < 0,05, co lo qu s rchaza la hpótss ula H 0, cocluydo qu la stuacó laboral d la mujr stá asocada a su stado cvl. b) Partdo d qu la stuacó laboral d la mujr s cutra asocada a su stado cvl, falta por dtrmar la drccó d dcha asocacó, para lo qu s rcurr al cofct d corrlacó Ph y la Q d Yul. Ambos stadístcos so gatvos, co p valor < 0,05, puddo afrmar qu la corrlacó tr la stuacó laboral y l stado cvl d las mujrs s vrsa y sgfcatva al 5%. S pud coclur qu la stuacó laboral d la mujr (sí sta trabajado) sta asocada a las soltras, co u vl d sgfcacó dl 5%. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE Para comprobar s los opraros cotraba dfcultads co ua prsa maual d mprmr, s hzo ua pruba a cuatro opraros aotado l úmro d atascos sufrdos al troducr l msmo úmro d hojas, dado lugar a la sgut tabla: Opraro A B C D Total Obstruccos 6 7 9 8 40 Co u vl d sgfcacó dl 5%, xst dfrca tr los opraros? Solucó: Establcdo la hpótss ula H 0 : No xst dfrca tr los opraros. La probabldad d qu s atascas ua hoja sría 4 / para todos los opraros. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

D st modo, l úmro d atascos sprados para cada uo d llos ( 0) sría,, 4 Tabla d Cotgca x 4: Opraro A B C D Total 6 7 9 8 40 Obstruccos (0) (0) (0) (0) (40) S acpta la hpótss ula, a u vl d sgfcacó sí k k ( ) k ; k stadístco cotrast stadístco tórco k Númro trvalos Rgó d rchazo d la hpótss ula: R co lo cual, k ( ) 4 6 7 9 8 3 0 0 0 0 409 ;k Co l vl d sgfcacó 0,05 l stadístco tórco: Sdo 9 7,85 s vrfca la rgó d rchazo. 3 0,05 ; 3 0,05 ; 3 7,85 E coscuca, s rchaza la hpótss ula, cocluydo qu xst dfrca sgfcatva tr los opraros rspcto al úmro d atascos la prsa d mprmr. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON CON PARÁMETRO DESCONOCIDO E u laboratoro s obsrvó l úmro d partículas qu llga a ua dtrmada zoa procdt d ua sustaca radactva u corto spaco d tmpo smpr gual, obtédos los sguts rsultados: Númro partículas 0 3 4 5 Númro príodos d tmpo 0 00 40 0 0 S pud ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó d Posso, co u vl d sgfcacó dl 5%? Solucó: Hpótss ula H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaposso La hpótss ula s acpta, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco cotrast stadístco tórco k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar Rgó d rchazo d la hpótss ula: R k ( ) χ α ;kp La dstrbucó d Posso s caractrza porqu sólo dpd dl parámtro qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X = Númro d partículas y Númro d príodos d tmpo Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 7

x x P(xk) p 0 0 0 0,30 00 00 0,364 40 80 0,69 3 0 60 0,0867 4 0 40 0,060 5 0 0,006 = 49 590 x 590 x, 49, P(x k) k! k, k 0,,5 Las probabldads co qu llga las partículas k 0,,5 s obt k,, susttuydo los valors d k P(x k) o las tablas co k!, Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acpta o o, mdat ua, hay qu calcular las frcucas spradas (. p ) x 0 3 4 5 Fr 0 00 40 0 0 48, 77,8 06,7 3 4,7 4 5 6 4,8 49.0,30 48, 49.0,364 77,8 3 49.0,69 06,7 49.0,0867 4,7 49.0,060,8 49.0,006 3,05 5 3,05 Dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, dod hay qu agrupar las dos últmas columas por tr la últma columa frcucas spradas mors qu cco. S t la tabla d cotgca x 5: x 0 3 4 y 5 Frcucas 0 00 40 0 48, 77,8 06,7 3 4,7 Así, los grados d lbrtad so trs: k p53 4 5 6 5,8 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 8

El stadístco d cotrast: 5 5 ( ) 3 0 00 40 0 49 3,3 48, 77,8 06,7 4,7 5,8 El stadístco tórco: 0,05 ; 3 7,85 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mayor qu l stadístco tórco (7,85), rchazádos la hpótss ula, s dcr, la dstrbucó NO s pud ajustar a ua dstrbucó d Posso a u vl d sgfcacó dl 5%. S vrfca la rgó d rchazo: k ( ) R ;kp3,3 7,85 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 9

La tabla rflja l úmro d accdts mortals d tráfco qu s produc ua carrtra a lo largo d u príodo d tmpo. Accdts mortals por día 0 3 4 5 Númro d días 3 95 0 60 4 9 S ajusta los datos a ua dstrbucó d Posso?. Utlzar u vl d sgfcacó 0,05 Solucó: Hpótss ula H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaposso La hpótss ula s acpta, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco tórco stadístco cotrast k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar La dstrbucó d Posso s caractrza porqu sólo dpd dl parámtro qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X = Númro d accdts mortals por día y Númro d días x x P(xk) p 0 3 0 0,466 95 95 0,345 0 40 0,47 3 60 80 0,8 4 4 96 0,0395 5 9 45 0,0 = 540 756 x 756 x,4 540,4 P(x k) k! k,4 k 0,,5 Las probabldads co qu llga las partículas k 0,,5 s obt k,4,4 susttuydo los valors d k P(x k) o las tablas co k!,4 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 0

Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acpta o o, mdat ua, hay qu calcular las frcucas spradas (. p ) x 0 3 4 5 Fr 3 33,6 95 86,43 0 30,50 60 60,90 4 5 6 4,3 9 5,97 540.0,466 33,6 540.0,345 86,43 3 540.0,47 30,5 540.0,8 60,90 540.0,0395,3 540.0,0 5,97 Dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, o tdo qu agrupar columas cotguas al o aparcr frcucas spradas mor qu cco. Los grados d lbrtad so cuatro: k p64 Estadístco d cotrast: 6 6 ( ) 3 3 95 0 60 4 9 540 4,87 33,6 86,43 30,5 60,9,3 5,97 Estadístco tórco: 0,05 ; 4 9,488 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mor qu l stadístco tórco (9,488), por lo qu s acpta la hpótss ula, s dcr, co u vl d sgfcacó 0,05, los accdts mortals d tráfco daros la carrtra s ajusta a ua dstrbucó d Posso. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA NORMAL CON PARÁMETROS DESCONOCIDOS. Para ua mustra alatora smpl d 350 días, l úmro d urgcas tratadas daramt u hosptal A quda rfljado la sgut tabla: Nº urgcas 0 5 5 0 0 5 5 0 0 5 5 30 Total días Nº días 0 65 00 95 60 0 350 Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, s la dstrbucó dl úmro d urgcas tratadas daramt l hosptal A s ajusta a ua dstrbucó ormal. Solucó: Para ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó ormal N(, ) d parámtros dscoocdos, s csta stmar los dos parámtros rcurrdo a los stmadors máxmo vrosímls: ( ˆ x, ˆ x ), dod la varabl alatora X = Númro d urgcas daras. S stablc la hpótss ula: H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaormal S acpta la hpótss ula, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco tórco stadístco cotrast k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar S obt la mda y la dsvacó típca: Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

Itrvalos x x x 0 5,5 0 50 5 5 0 7,5 65 487,5 3656,5 0 5,5 00 50 565 5 0 7,5 95 66,5 9093,75 0 5,5 60 350 30375 5 30 7,5 0 75 756,5 6 6 6 = 350 x = 5075 x. 86437,5 = = 6 6 6 x (x x) x. x x 4,5 (x) 36,7 x 6,06 350 350 350 S procd al ajust d ua dstrbucó ormal N(4,5; 6,06), hallado las probabldads d cada uo d los trvalos: Itrvalos p p. ( ) ( ) / 0 5 0 0,0498 7,43 6,6 0,38 5 0 65 0,74 59,99 5, 0,4 0 5 00 0,303 05,8 33,76 0,3 5 0 95 0,867 00,35 8,6 0,9 0 5 60 0,396 48,86 4,,54 5 30 0 0,0366,8 7,9 0,6 350 6 ( ) 0 4,5 x 4,5 54,5 P(0 x 5) P P(,39 z,57) 6,06 6,06 6,06 P(,57 z,39) P(z,57) P(z,39) 0,058 0,0084 0,04978 5 4,5 x 4,5 0 4,5 P(5 x 0) P P(,57z0,74) 6,06 6,06 6,06 P(0,74 z,57) P(z 0,74) P(z,57) 0,96 0,058 0,74 4,57 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

0 4,5 x 4,5 5 4,5 P(0 x 5) P P( 0,74 z 0,08) 6,06 6,06 6,06 P(0,08 z 0,74) P(z 0,74) P(z 0,08) 0,468 0,96 0,303 5 4,5 x 4,5 0 4,5 P(5 x 0) P P(0,08 z 0,9) 6,06 6,06 6,06 P(z 0,08) P(z 0,9) 0,468 0,84 0,867 0 4,5 x 4,5 5 4,5 P(0 x 5) P P( 0,9 z,73) 6,06 6,06 6,06 P(z 0,9) P(z,73) 0,84 0,048 0,396 54,5 x 4,5 30 4,5 P(5 x 30) P P(,73z,56) 6,06 6,06 6,06 P(z,73) P(z,56) 0,048 0,005 0,0366 S calcula las frcucas spradas, multplcado las probabldads por l úmro total d datos p. E l stadístco d cotrast, l úmro d grados d lbrtad s 0 0 k p ( trvalos) ( parámtros a stmar) 6 3, co lo cual, 6 ( ) 3 4,57 Por otra part, l stadístco tórco 0,05 ; 3 7,85 Sdo 3 4,57 0,05 ; 3 7,85, s acpta la hpótss ula a u vl d sgfcacó dl 5%. E coscuca, la varabl alatora úmro d urgcas l hosptal A sgu ua dstrbucó N(4,5; 6,06). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

La tabla rflja l úmro d accdts mortals d tráfco qu s produc ua carrtra a lo largo d u príodo d tmpo. Accdts mortals por día 0 3 4 5 Númro d días 3 95 0 60 4 9 S ajusta los datos a ua dstrbucó d Posso?. Utlzar u vl d sgfcacó 0,05 Solucó: Hpótss ula H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaposso La hpótss ula s acpta, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco cotrast stadístco tórco k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar La dstrbucó d Posso s caractrza porqu sólo dpd dl parámtro qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X = Númro d accdts mortals por día y Númro d días x x P(xk) p 0 3 0 0,466 95 95 0,345 0 40 0,47 3 60 80 0,8 4 4 96 0,0395 5 9 45 0,0 = 540 756 x 756 x,4 540,4 P(x k) k! k,4 k 0,,5 Las probabldads co qu llga las partículas k 0,,5 s obt k,4,4 susttuydo los valors d k P(x k) o las tablas co k!,4 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acpta o o, mdat ua, hay qu calcular las frcucas spradas (. p ) x 0 3 4 5 Fr 3 33,6 95 86,43 0 30,50 60 60,90 4 5 6 4,3 9 5,97 540.0,466 33,6 540.0,345 86,43 3 540.0,47 30,5 540.0,8 60,90 540.0,0395,3 540.0,0 5,97 Dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, o tdo qu agrupar columas cotguas al o aparcr frcucas spradas mor qu cco. Los grados d lbrtad so cuatro: k p64 El stadístco d cotrast: 6 6 ( ) 3 3 95 0 60 4 9 540 4,87 33,6 86,43 30,5 60,9,3 5,97 El stadístco tórco: 0,05 ; 4 9,488 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mor qu l stadístco tórco (9,488), por lo qu s acpta la hpótss ula, s dcr, co u vl d sgfcacó 0,05, los accdts mortals d tráfco la carrtra s ajusta a ua dstrbucó d Posso. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD Para coocr la opó d los cudadaos sobr la actuacó dl alcald d ua dtrmada cudad, s ralza ua custa a 404 prsoas, cuyos rsultados s rcog la sgut tabla: Dsacurdo D acurdo No cotsta Mujrs 84 78 37 Varos 8 6 5 Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, qu o xst dfrcas d opó tr hombrs y mujrs at la actuacó dl alcald. Solucó: S trata d u cotrast d homogdad l qu s dsa comprobar s las mustras procd d poblacos dsttas. S t dos mustras clasfcadas trs vls, dod s dsa coocr s los hombrs y mujrs procd d la msma poblacó, s dcr, s s comporta d mara smjat rspcto a la opó d la actuacó dl alcald. Hpótss ula: H 0 : No xst dfrca tr hombrs y mujrs rspcto a la opó. Rgó d rchazo hpótss ula: Rrchazo (k).(m) ; (k).(m) O b s acpta H 0 cuado (k ). (m ) ; (k ).(m ) S forma ua tabla d cotgca x 3: E cada frcuca obsrvada ( ),, k ; j,, m s t ua frcuca tórca o sprada qu s x j calcula mdat la xprsó: p., dod p so las probabldads d qu u lmto tomado d la mustra prst las modaldads x d X y j d Y. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 7

Dsacurdo D acurdo No cotsta 84 78 37 Mujrs 99,5 68,96 3 30,53 99 8 6 5 Varos 0, 5 7,03 3 3,46 05 0 40 6 = 404 j 99. 0 99. 40 99. 6 99,5 68,96 3 30,53 404 404 404 05. 0 05. 40 05. 6 0,5 7,03 3 3, 46 404 404 404 Estadístco d cotrast: j ( ) 3 ( ).(3 ) j 3 ( ) (84 99,5) (78 68,96) (37 30,53) 99,5 68,96 30,53 (8 0,5) (6 7,03) (5 3,46) 9,76 0,5 7,03 3,46 sgu ua co dos grados d lbrtad s s crta la hpótss ula co 5, j. E caso cotraro sría csaro agrupar flas o columas cotguas. El stadístco tórco 0,05 ; 5,99 Como 9, 76 0,05 ; 5,99 s cumpl la rgó d rchazo, cocluydo qu las mustras o so homogéas, s dcr, o procd d la msma poblacó, hombrs y mujrs o opa lo msmo. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 8

CONTRASTE DE INDEPENDENCIA Novctos ccuta scolars s clasfcaro d acurdo a sus hábtos almtcos y a su cofct tlctual: Cofct Itlctual < 80 80 90 90 99 00 Total Nutrcó bua 45 8 77 9 869 Nutrcó pobr 3 7 3 0 8 Total 76 55 90 9 950 A u vl d sgfcacó dl 0%, hay rlacó tr las dos varabls tabuladas? Solucó: S trata d u cotrast d dpdca tr l cofct tlctual y los hábtos almtcos. Hpótss ula: H: 0 Las dos varabls aalzadas so dpdts Estadístco d cotrast: ( ) k m k m j = j= E la tabla d cotgca x 4 para cada frcuca obsrvada ( ),, k ; j,, m s t ua frcuca tórca o sprada qu s x j calcula mdat la xprsó: Cofct Itlctual < 80 80 90 90 99 00 Nutrcó 45 8 77 9 bua 5,46 33,5 3 73,8 4 09,47 869 Nutrcó 3 7 3 0 pobr 3,53,74 3 6, 4 9,5 8 76 55 90 9 950 j 869. 76 869. 55 869. 90 869. 9 5, 46 33,5 3 73,8 4 09, 47 950 950 950 950 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 9

8. 76 8. 55 8. 90 8. 9 3,53,74 3 6, 4 9,5 950 950 950 950 4 45 8 77 9 3 7 3 5,46 33,5 73,8 09,47 3,53,74 j 3 0 950 9,75 6, 9,5 O b, 3 4 j ( ) (45 5,46) (8 33,5) (77 73,8) (9 09,47) 5,46 33,5 73,8 09,47 (3 3,53) (7,74) (3 6,) (0 9,5) 9,75 3,53,74 6, 9,5 sgu ua co trs grados d lbrtad s s crta la ( ). (4 ) 3 hpótss ula co 5, j. E caso cotraro sría csaro agrupar flas o columas cotguas. Estadístco tórco 0,0 ;3 6,5 Como 3 9,75 0,0 ; 3 6,5 s rchaza la hpótss ula, habdo por tato dpdca stadístca tr l cofct tlctual y la almtacó. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 30

E u studo sobr la opó d fumar lugars públcos s ralza ua custa a 350 prsoas, obtdo los sguts rsultados: Opó Muy Muy a E cotra A Favor cotra favor Fumador 60 50 0 0 40 No Fumador 0 30 70 00 0 70 80 90 0 350 j Co u vl d sgfcacó d 0,05 s dsa coocr s xst dfrca d opó tr fumadors y o fumadors. Solucó: S stablc las hpótss: H 0: La opó s dpdt d su codcó d fumador o o fumador H : La opó o s dpdt d su codcó d fumador o o fumador S acpta Fumador No Fumador j H o sí: stadístco obsrvado stadístco tórco ( ) 4 c,().(4) 0,05,3 j Muy cotra 60 8 0 4 E cotra 50 3 30 48 Opó A Favor 3 0 36 3 70 54 Muy a favor 0 44 4 00 66 4 40 40 0 0 70 80 90 0 350 40. 70 40. 80 40. 90 40. 0 8 3 3 36 4 44 350 350 350 350 0. 70 0. 80 0. 90 0. 0 4 48 3 54 4 66 350 350 350 350 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

4 4 ( ) c j j 60 50 0 0 0 30 70 00 350 33,46 8 3 36 44 4 48 54 66 Estadístco tórco: 0,05,3 7,85 Sdo c 33,46 0,05,3 7,85 s rchaza la hpótss ula, s acpta por tato la hpótss altratva, puddo afrmar co ua sgfcacó 0,05 qu la opó sobr l tabaco dpd d sí s o o fumador. Cofct d cotgca: 33,46 C 0,55 33,46 350 c c El grado d dpdca s dl 5,5% por lo qu la asocacó tr las varabls s alta. E las tablas d cotgca x k k l valor máxmo d C s Cmáxmo k k Cofct Ph: c 33,46 0,68 350 El stadístco Ph md l grado d asocacó tr las varabls. Cofct V d Cramr: c c 33,46 VCramr 0,68.mí(k,m) 350 E las tablas d cotgca x s détco al stadístco Ph, prsta l problma d substmar l grado d asocacó tr las varabls. Tst G d la razó d vrosmltud: G l k m j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

S acpta la hpótss ula H o sí: G l, ( ). ( 4 ) 4 j Fumador No Fumador j Muy cotra 60 8 g 45,7 0 4 g 4,3 E cotra 50 3 g,3 30 48 g 4, Opó A Favor 0 3 36 g,7 3 70 3 54 g 8, 3 Muy a favor 0 4 44 g 4,8 4 00 4 66 g 4,6 4 40 40 0 0 70 80 90 0 350 60 50 0 0 g 60l 45,7 g 50l,3 g3 0 l,7 g4 0 l 4,8 8 3 36 44 0 30 70 00 g 0 l 4,3 g 30 l 4, g3 70 l 8, g4 00 l 4,6 4 48 54 66 45,7,3,74,84,34,8,4,6 45,475 4 G l j El tst G da la razó d vrosmltud s ua Pruba d hpótss d la Chcuadrado qu prsta mjors rsultados qu l Tst d la Ch cuadrado d Parso. Cofct Lambda (λ) d Goodma y Kruskal, coocdo també como cofct d Goodma Prdccó, s basa la rduccó proporcoal dl rror la prdccó la moda, d s dcr l úmro d acrtos qu proporcoa l coocr la dstrbucó dvdo por l úmro d rrors s coocrla. MY Frcuca modal global my MY YX my Suma d frcucas modals M Y Númro total d casos Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 33

També, E E E E M y E m y Valors Lambda (λ) próxmos a 0 mplca baja asocacó y valors próxmos a dota furt asocacó. Dos varabls so dpdts cuado λ = 0. S mbargo λ = 0 o mplca dpdca stadístca. Opó Muy Muy a E cotra A Favor cotra favor Fumador 60 50 0 0 40 No Fumador 0 30 70 00 0 70 80 90 0 350 j my MY 80 0 Y M 0 YX 0,5 my 60 50 70 00 80 M 350 0 350 Y E y E 40 70 E M 350 0 40 YX 0,5 E 40 E m y 350 80 70 mx MX 60 0 X M 0 XY 0,08 mx 60 00 60 M 350 0 350 E X E 40 90 E M 350 0 40 XY 0,08 E 40 E m X 350 60 90 U Fumador qu stuvra Muy cotra d fumar lugars públcos acrtaría 60 vcs d 70, s dcr fallaría 0 ocasos. U fumador qu stuvra cotra tdría 80 50 30 rrors. X Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 34

Cofct Tau d Goodma y Kruskal: Al gual qu l cofct Lambda (λ) s u cofct asmétrco, auqu a dfrca dl Lambda part d los rrors comtdos al asgar alatoramt los casos a las catgorías d la varabl dpdt. E E E dod E ( ) k y E m k ( j ) j j Para coocr los rrors s coocr la dstrbucó d la varabl dpdt: S supo qu cada catgoría s clasfcara rróamt por azar u úmro d casos, qu cada catgoría s gual al úmro d casos qu o prtc a la msma. k úmro total d casos ( ) E kúmro d catgorías d la varabl frcuca d la catgoría ésma Opó Muy Muy a E cotra A Favor cotra favor Fumador 60 50 0 0 40 No Fumador 0 30 70 00 0 70 80 90 0 350 j E la catgoría d Fumadors d 40 d u total d 350 s comtría 350 40 0 rrors. Ittado dsgar al azar los 40 casos d Fumadors s ( ) 350 40 comtría u rror promdo d: x x40 84 350 E la catgoría d No Fumadors d 0 d u total d 350 s comtría 350 0 40 rrors. Ittado dsgar al azar los 0 casos d No Fumadors s ( ) 350 0 comtría u rror promdo d: x x0 84 350 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 35

(350 ) E 848468 350 Para coocr los rrors coocdo la dstrbucó d la varabl dpdt: j E m k ( j ) j j frcuca d cada cldlla la catgoría ésma varabl dpdt m úmro d catgorías d la varabl dpdt total parcal d las catgoras d la varabl dpdt Catgoría co la opó Muy cotra: ( ) (70 60) 60 Fumadors: 8,57 70 ( ) (70 0) 0 No Fumadors: 8,57 70 Errors la catgoría E 8,578,577,4 Catgoría co la opó E cotra: Fumadors: No Fumadors: ( ) (80 50) 50 8,75 80 ( ) (80 30) 30 8,75 80 Errors la catgoría E 8,75 8,75 37,5 Catgoría co la opó A favor: Fumadors: No Fumadors: ( 3 3) 3 (90 0) 0 5,56 3 90 ( 3 3) 3 (90 70) 70 5,56 3 90 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 36

Errors la catgoría E3 5,56 5,56 3, Catgoría co la opó Muy a favor: ( 4 4) 4 (0 0) 0 Fumadors: 9,09 4 0 ( 4 4) 4 (0 00) 00 No Fumadors: 9,09 0 4 Errors la catgoría E4 9,099,098,8 4 ( j ) E 7,4 37,5 3, 8,8 03,94 j j E E 6803,94 E 68 0,38 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 37

E l gráfco s prsta la valuacó dl stado gral d salud d ua mustra d prsoas adultas mayors, sgú sa su pso ormal o sobrpso. Aalzar la xstca d ua rlacó sgfcatva tr l pso y l stado gral d salud l adulto mayor, co u vl d sgfcacó dl 5%, Solucó: S trata d dos varabls dcotómcas co datos d frcuca, pudédos aplcar ua pruba d cotrast d asocacó co la Chcuadrado. La hpótss ula H : El stado d salud y l pso so dpdts 0 Llvado la formacó a ua tabla d cotgca d Estado d Salud Pso Normal Sobrpso Buo 8 0 9,4 0,59 0 Malo 4 0 4 6,59 7,4 4 6 8 34 j x La frcuca obsrvada 4 s mor qu lo acosjabl cada clda ( 5), lo qu podría hacr psar ua stabldad dl cálculo. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 38

Como la frcuca sprada 6,59, todas las cldas cumpl co l mímo acosjabl d 5 su valor sprado. E la práctca s acpta hasta u 0% d las cldas qu o cumpl co l rqusto d qu la frcuca sprada sa 5 S calcula los valors d corrspodts a las dos obsrvacos, x j sdo la frcuca sprada 0. 6 9,4 34 0. 8 0,59 34 Estadístco d cotrast: j 4. 6 6,59 34 4. 8 7,4 34 8 4 0 (). () 34 3,65 9, 4 0,59 6,59 7, 4 Estadístco tórco: 0,05, 3,84 Como 3,65 3,84 0,05, s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud dl adulto mayor o stá asocado a su pso. Advértas qu como la mustra 40 s hac acosjabl l uso d la Ch cuadrado co l factor d corrccó d cotudad d Yats: Factor corrccó Para ua tabla d cotgca d 0,5 0,5 x la corrccó d Yats:..... La corrccó o s válda cuado.. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 39

E gral, la corrccó d Yats s hac cuado l úmro d grados d lbrtad s. E st caso, 34 x0 8 x4 0 x4 x6 x8 34,5 Como,5 3,84 s acpta la hpótss ula. 0,05, La valdz dl cotrast també s pud hacr co l p valor ( p ): P,5 0,73 p p, 0,90 p 0,0 0,058,5,706 p p 0,90 0,0 0,058,706 0,0,5,706 ( 0,0) x (0,058,706) (0,90 0,0) x (,5,706) 0,73 Al sr p 0,73 0,05 s acpta la hpótss ula, afrmado qu l stado gral d salud dl adulto mayor s dpdt d su pso. Tst G d la razó d vrosmltud: G l j 8 4 0 l 8l 4l 0l 3,344 9, 4 0,59 6,59 7,4 Cofct Ph: c 3,65 0,30 34 El stadístco Ph md l grado d asocacó tr las varabls. Cofct V d Cramr: c 3,65 3,65 VCramr 0,30.mí(k,m) 34.mí(,) 34 p E tablas d cotgca msmo valor. x l stadístco Ph y V d Cramr t l Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 40

Gamma d Goodma y Kruskal: C D 0 3 0,579 C D 0 3 Estado d Salud Pso Normal Sobrpso Buo 8 0 Malo 4 0 4 6 8 34 j Pars Cocordats: C 0 0 Pars Dscordats: D 8 43 ( ) TX 0.9 4.3 8 Parjas mpatadas X: j ( ) TY 6.5 8.7 73 j j Parjas mpatadas Y:.mí(k, m).(c D)..(0 3) Tau C d Kdall: C 0,304 mí(k, m ). 34 Tau B d Kdall: B B 0 3 34 x33 34 x33 8 73 C D ( ) ( ) T T X Y 0,30 Lambda d Goodma y Kruskal: (X,Y) (Estado Salud, Pso) M 0 Y my MY 0 Y YX 0,43 my 0 M 34 0 34 M Frcuca modal global m Suma d frcucas modals Y Y Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

MX 8 mx MX 8 XY 0,50 mx 0 MX 34 8 34 Tau d Goodma y Kruskal: E E 6,47 4,89 Pso dpdt: YX 0,096 E 6,47 E E ( ) (34 0)0 (34 4)4 34 34 6,47 ( j ) j j (6 ) (6 4)4 (8 8)8 (8 0)0 4,89 6 6 8 8 E E 6,94 5,3 Estado Salud dpdt: YX 0,096 E 6,94 E E ( ) j j j (34 6)6 (34 8)8 34 34 6,94 ( ) j (0 ) (0 8)8 (4 4)4 (4 0)0 5,3 0 0 4 4 Cofct d Icrtdumbr 0 0 4 4 I(X) l l l 0,677 34 34 34 34 6 6 8 8 34 34 34 34 j j I(Y) l l l 0,69 j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

8 8 4 4 0 0 34 34 34 34 34 34 34 34 I(XY) l l l l l j,39 Cofct smétrco: I(X) I(Y) I(XY) 0,677 0,69,39 I 0,07 I(X) I(Y) 0,677 0,69 Estado d salud como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY) 0,677 0,69,39 IX/Y 0,073 I(X) 0,677 Pso como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY) 0,677 0,69,39 IY/X 0,07 I(Y) 0,69 El cofct o ídc d Kappa s ua mdda d cocordaca propusta por Coh 960, s basa comparar la cocordaca obsrvada u cojuto d datos, rspcto a lo qu podría ocurrr por pura casualdad. S pud calcular tablas d cualqur dmsó, l caso d tablas d x t alguas pculardads. X Y y y x x p0 p Ídc d Kappa: p p0 p x Dod p 0 s la proporcó d cocordaca obsrvada y p s la proporcó d cocordaca sprada por azar. Cuado s da la máxma cocordaca posbl. El valor 0dca qu la cocordaca obsrvada s prcsamt la qu s spra por pura casualdad. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 43

0 p 0,647 34 0 0 x6 4 x8 p x 0, 495 34 p p 0,647 0,495 0 p 0,495 0,30 E l caso d más d dos valuadors, clasfcacos, métodos, tc., Josph L. Flss gralzó l método d Coh, dado lugar a la Kappa d Flss. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 44

E la tabla s rflja la dad d los mplados d ua mprsa y l grado d satsfaccó l trabajo, co u vl d sgfcacó dl 5%, cotrastar s l grado d satsfaccó l trabajo o dpd d la dad d los mplados. Edad Satsfaccó l trabajo A B C D E 5 0 0 0 40 70 5 36 0 0 5 0 30 > 36 60 50 30 0 5 Solucó: Varabls: X 'dad d los mplados' Y 'satsfaccó l trabajo' Hpótss ula H:'El 0 grado d satsfaccó l trabajo o dpd d la dad d los mplados' S acpta H: 0 ;( ).( ) ( ) 3 5 3 5 c 3 5 j j S forma la tabla d cotgca 3 x 5 dod cada frcuca obsrvada ( ),,3 ; j,,5 t ua frcuca tórca o sprada caso d x j dpdca Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E 5 0 0 0 40 70 5 36 > 36 33,75 0,37 60 34,87 3 6,5 0 6,6 50 7, 3 4,37 3 3 5 5,44 30 5,9 33 4 6,5 4 0 6,6 0 7, 34 39,37 5 5 30 4,94 5 40,69 35 50 (50) 95 (95) 55 (55) j 90 70 65 70 05 400 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 45

50. 90 95. 90 55. 90 33,75,37 34,87 3 400 400 400 50. 70 95. 70 55. 70 6,5 6,6 7, 3 400 400 400 50. 65 95. 65 55. 65 4,37 5, 44 5,9 3 3 33 400 400 400 50. 70 95. 70 55. 70 6,5 6,6 7, 4 4 34 400 400 400 50. 05 95. 05 55. 05 39,37 4,94 40,69 5 5 35 400 400 400 Estadístco obsrvado: 3 5 3 5 ( ) c j j 0 0 0 40 70 0 0 5 0 30 33,75 6,5 4,37 6,5 39,37,37 6,6 5,44 6,6 4,94 60 50 30 0 5 400 43, 458 34,87 7, 5,9 7, 40,69 Estadístco tórco: 0,05 ; (3).(5) 0,05; 8 5,507 Como 8 43, 458 5,507 0,05 ; 8 s rchaza la hpótss ula d dpdca tr la dad y la satsfaccó l trabajo. E coscuca, la dad fluy sgfcatvamt la satsfaccó l trabajo. ESTADÍSTICOS VARIABLES NOMINALES: FUERZA DE LA RELACIÓN c 43,5 Cofct Ph: 0,599 400 El stadístco Ph md l grado d asocacó tr las varabls. Cofct V d Cramr: c 43,5 43,5 VCramr 0, 43. mí(k, m ) 400.mí(3, 5 ) 400. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 46

El stadístco V d Cramr s ua mdda smétrca qu cuatfca la rlacó tr dos o más varabls d la scala omal. Quzás s l stadístco más utlzado. U valor dl stadístco V d Cramr próxmo a 0 dca la falta d asocacó d las varabls, mtras qu próxmo a rflja mayor asocacó tr las varabls studo. Como VCramr 0,43 s dtcta ua rlacó modrada d las varabls. Cofct d cotgca: c 43,5 C 0,54 43,5 400 c El grado d dpdca s dl 5,4% por lo qu la asocacó tr las varabls s alta. Tst G d la razó d vrosmltud: S acpta la hpótss ula H 0 sí: G l k m j G l, ( 3 ). ( 5 ) 3 5 j Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E 0 0 0 40 70 5 5 36 > 36 j 33,75 g,6 0,37 g,33 60 34,87 3 g 3,56 3 6,5 g 9,65 0 6,6 g 5,08 50 7, 3 g 30,59 3 4,37 3 g 3,95 3 3 5 5,44 g 0,43 3 33 30 5,9 g 5,4 33 4 6,5 g 6,85 4 4 0 6,6 g 3,7 34 4 0 7, g 9,98 34 5 39,37 g 40,8 5 5 30 4,94 g 5,54 5 35 5 40,69 g 0,48 35 50 (50) (3,37) 95 (95) (,4) 55 (55) (47,93) 90 70 65 70 05 400 (8,7) 3 5 G l.8,667 63,334 5,507 j 0,05;8 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 47

S rchaza la hpótss ula d dpdca tr la dad y la satsfaccó l trabajo, cocluydo qu la dad fluy sgfcatvamt la satsfaccó l trabajo. 0 g 0l,6 33,75 0 g 0 l 9,65 6,5 0 g3 0l 3,95 4,37 40 g4 40 l 6,85 6,5 70 g5 70l 40,8 39,37 0 g 0 l,33,37 0 g 0l 5,08 6,6 5 g3 5l 0,43 5,44 0 g4 0l 3,7 6,6 30 g5 30 l 5,54 4,94 60 g3 60 l 3,56 34,87 50 g3 50 l 30,59 7, 30 g33 30 l 5,4 5,9 0 g34 0l 9,98 7, 5 g35 5l 0,48 40,69 El tst G da la razó d vrosmltud s ua Pruba d hpótss qu prsta mjors rsultados qu l Tst d la Ch cuadrado d Parso. MEDIDAS DE ASOCIACIÓN DE VARIABLES ORDINALES Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E 5 0 0 0 40 70 50 5 36 0 0 5 0 30 95 > 36 60 50 30 0 5 55 j 90 70 65 70 05 400 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 48

Pars Cocordats: C 0 05030503005 05 0 30 30 0 5 00 30 0 5 4030 5 0 50 30 0 5 030 0 5 50 5 05 875 Pars Dscordats: D 70 00506050300 400 0 5 60 50 30 00 0 60 50 00 60 30 6050300 060 50 30 560 50 060 35600 La Gamma d Goodma y Kruskal md la furza d asocacó d los datos cuado las varabls s md l vl ordal. 0 dca la ausca d asocacó. C D C D C D 875 35600 0,66 C D 875 35600 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 49

El cofct d rago d Kdall ( C) a mudo s utlza como u stadístco cotrol ua pruba d hpótss stadístca para stablcr s dos varabls pud cosdrars stadístcamt dpdts. Es ua pruba o paramétrca, ya qu o s basa suposcos sobr las dstrbucos d X o Y o la dstrbucó d (X, Y). Bajo la hpótss ula d dpdca d X Y, la dstrbucó mustral d Tau C ( ) t u valor sprado d cro. C.mí(k, m).(c D) Para mustras pquñas: C mí(k, m ). E mustras grads, s utlza ua aproxmacó a N(0, ): C ( 5) 9( ).mí(k, m).(c D).mí(3, 5).(875 35600).3.( 745) C 0,54 mí(k, m ). mí(3, 5 ).400.400 Parjas mpatadas X o Y: T X k ( ) T Y m j ( ) j j 3 ( ) TX 50.49 95.94 55.547575 5 j(j ) TY 90.89 70.69 65.64 70.69 05.046375 j El cofct Tau B d Kdall ( B) s ua mdda o paramétrca d la corrlacó para varabls ordals o d ragos qu t cosdracó los mpats. El sgo dl cofct dca la drccó d la rlacó y su valor absoluto dca la furza d la rlacó. Varía tr y sgú sa l stdo d la asocacó tr las varabls. Los valors mayors dca qu la rlacó s más strcha. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 50

Cuado la tabla o s cuadrada st cofct o pud llgar a valr dado qu xstrá más pars mpatados la varabl qu tga más catgorías. B B C D ( ) ( ) T T X Y 875 35600 79800 757579800 6375 0,477 El stadístco D d Somrs stablc s las varabls ordals so dpdts o dpdts tr sí. El cofct D d Somrs varía tr y, s ua mdda asmétrca como l cofct Lambda, los dos valors qu s pud obtr d la tabla dpd d qu s tom como dpdt la varabl X o Y. Valors dl stadístco D crcaos a 0 dca qu o hay gua o muy poca asocacó tr las varabls. D d Somrs: D Númro d pars: X C D ( ) TX D Y C D ( ) TY ( ) 400(400 ) 79800 C D 875 35600 DX 0,55 ( ) T 79800 7575 X C D 875 35600 DY 0,43 ( ) T 79800 6375 X Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

MEDIDAS BASADAS EN EL ERROR PROPORCIONAL Cofct Lambda (λ) d Goodma y Kruskal, coocdo també como cofct d Goodma Prdccó, s basa la rduccó proporcoal dl rror la prdccó la moda. Estadístco utlzado para dtrmar s usar los rsultados d ua d las varabls pud utlzars para prdcr los rsultados d la otra varabl. Valors Lambda (λ) próxmos a 0 mplca baja asocacó y valors próxmos a dota furt asocacó. Dos varabls so dpdts t λ = 0. S mbargo λ = 0 o mplca dpdca stadístca. Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E 5 0 0 0 40 70 50 5 36 0 0 5 0 30 95 > 36 60 50 30 0 5 55 j 90 70 65 70 05 400 MY Frcuca modal global my MY YX my Suma d frcucas modals M Y Númro total d casos E També, E E E M y E m y MY 55 my MY 50 55 YX 0,388 my 605030407050 MY 400 55 400 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

MX 05 mx MX 60 05 XY 0,86 mx 70 30 60 60 MX 400 05 400 Tau d Goodma y Kruskal ( ) cosdra todas las catgorías d rspusta y o úcamt la qu cotmpla más casos tr dos varabls omals (varabls cualtatvas). El valor d Tau d Goodma y Kruskal ( ) s trprta como l porctaj qu mjora l rror al clur la varabl dpdt la prdccó d los valors d la varabl dpdt. S parc a la Lambda (λ), sdo su cálculo más compljo. Lo msmo qu Lambda adopta valors tr 0 y, dód 0 s dpdca y l total d dpdca. E E E Errors s coocr la dstrbucó d la varabl dpdt: k úmro total d casos ( ) E k úmro d catgorías d la varabl frcuca d la catgoría ésma Errors coocdo la dstrbucó d la varabl dpdt: j E m k ( j ) j j frcuca d cada cldlla la catgoría ésma varabl dpdt m úmro d catgorías d la varabl dpdt total parcal d las catgoras d la varabl dpdt Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 53

Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E 5 0 0 0 40 70 50 5 36 0 0 5 0 30 95 > 36 60 50 30 0 5 55 j 90 70 65 70 05 400 E ( ) 3 (400 50)50 (400 95)95 (400 55)55 6,5 400 400 400 E 5 3 j ( ) j j (90 0)0 (90 0)0 (90 60)60 90 90 90 (70 0)0 (70 0)0 (70 50)50 70 70 70 (65 0)0 (65 5)5 (65 30)30 65 65 65 (70 40)40 (70 0)0 (70 0)0 70 70 70 (05 70)70 (05 30)30 (05 5)5 05 05 05 06,93 E E 6,5 06,93 E 6,5 0,08 dad varabl dpdt Cuado la varabl dpdt s la satsfaccó l trabajo: E ( ) 5 j j j (400 90)90 (400 70)70 (400 65)65 (400 70)70 (400 05)05 37,5 400 400 400 400 400 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 54

E ( ) 3 5 j (50 0)0 (50 0)0 (50 0)0 (50 40)40 (50 70)70 50 50 50 50 50 (95 0)0 (95 0)0 (95 5)5 (95 0)0 (95 30)30 95 95 95 95 95 (55 60)60 (55 50)50 (55 30)30 (55 0)0 (55 5)5 55 55 55 55 55 85,38 E E 37,5 85,38 E 37,5 0,00 satsfaccó varabl dpdt El Cofct d Icrtdumbr s ua mdda d asocacó basada la rduccó proporcoal dl rror. Es ua mdda smjat a Lambda cuato a su cocpcó d la asocacó d las varabls, rlacó a la capacdad prdctva y la dsmucó dl rror d dcha prdccó. El cofct d crtdumbr (I) dpd d toda la dstrbucó y o sólo d los valors modals (caso d Lambda), varía tr 0 y, tomado l valor 0 l caso total d dpdca. Es más dfícl d trprtar qu Lambda. T vrsos asmétrcas (dpddo d cual d las dos varabls sa dpdt) y ua smétrca (dod o s dstgu tr varabl dpdt dpdt). La vrsó asmétrca s trprta como la proporcó d crtdumbr rducda al prdcr los valors d ua varabl a partr d los d valors d la otra varabl. La vrsó smétrca s trprta como la proporcó d crtdumbr rducda al prdcr los valors d cualqura d las dos varabls mdat la tabla d cotgca. S obt mdat la fórmula: I Y/X I(X) I(Y) I(XY) I(Y) Para obtr I X/Y basta co trcambar los papls d I(X) I(Y). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 55

I(X) I(Y) I(XY) La vrsó smétrca: I I(X) I(Y) dod: k m k m j j I(X) l I(Y) l I(XY) l j j Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E 5 0 0 0 40 70 5 36 > 36 0,09 0 0,50 3 60 0,84 90 j 0,335 0,09 0 0,09 3 50 0,60 70 0,305 0,50 3 3 5 0,3 33 30 0,94 65 0,95 4 0,30 4 0 0,50 34 0 0,09 70 0,305 0,305 5 5 30 0,94 35 5 0,055 05 0,35 50 0,368 95 0,34 55 0,367 400 50 50 95 95 55 55 l 0,368 l 0,34 3 l 0,367 400 400 400 400 400 400 3 I(X) l 0,368 0,34 0,367,076 90 90 70 70 65 65 l 0,335 l 0,305 3 l 0,95 400 400 400 400 400 400 70 70 05 05 4 l 0,305 5 l 0,35 400 400 400 400 5 j j I(Y) l 0,335 0,305 0,95 0,305 0,35,59 j 0 0 0 0 60 60 l 0,09 l 0,50 3 l 0,84 400 400 400 400 400 400 0 0 0 0 50 50 l 0,09 l 0,09 3 l 0,60 400 400 400 400 400 400 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 56

0 0 5 5 30 30 3 l 0,50 3 l 0,3 3 l 0,94 400 400 400 400 400 400 40 40 0 0 0 0 4 l 0,30 4 l 0,50 34 l 0,09 400 400 400 400 400 400 70 70 30 30 5 5 5 l 0,305 5 l 0,94 35 l 0,055 400 400 400 400 400 400 3 5 I(XY) l, 463 j Cofct d Icrtdumbr, Satsfaccó como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY),076,59, 463 IY/X 0,8 I(Y),59 Cofct d Icrtdumbr, Edad como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY),076,59, 463 IX/Y 0,90 I(X),076 Cofct d Icrtdumbr smétrco: I(X) I(Y) I(XY),076,59,463 I 0,53 I(X) I(Y),076,59 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 57

H: Las varabls so dpdts 0 Ch cuadrado d Parso Prubas sgfcacó stadístca Razó d vrosm ltud Ch cuadrado H: La asocacó tr las varabls s ula (so dpdts) 0 Ph Cofct d Cotgca Estadístcos NomalsV d Cramr Varabls Cualtatvas Lambda Cofct d Icrtdumbr Q d Yul H: La asocacó tr las varabls s ula (so dpdts) 0 Estadístcos Ordals Varabls Cuattatvas Gamma d Goodma y Kruskal D d Somrs Tau B d Kdall Tau C d Kdall Rsgo rlatvo Aálogos a las mddas d asocacó, aplcabls a las varabls qu s computa fucó d acurdos dsacurdos o cocordacas dscrpacas Ídc d Cocordaca Prubas d Cocordaca Cofct Kappa d Coh Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 58

La tabla adjuta rflja u aálss d la obsdad 4 sujtos. Co u vl d sgfcacó d 0,05, s dsa aalzar s xst dfrcas la prvalca d obsdad tr hombrs y mujrs o s, por l cotraro, l porctaj d obsos o varía tr sxos. Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 4 5 Hombrs 7 9 Total 8 6 4 Solucó: El tst xacto d Fshr prmt aalzar s dos varabls dcotómcas stá asocadas cuado la mustra a studar s dmasado pquña y o cumpl las codcos csaras para qu la aplcacó dl tst d la Ch cuadrado sa dóa. Las codcos csaras para aplcar l tst d la Ch cuadrado xg qu al mos l 80% d los valors sprados d las cldas sa mayors qu 5. D st modo, ua tabla d cotgca d x srá csaro qu todas las cldas vrfqu sta codcó, s b la práctca sul prmtrs qu ua d llas tga frcucas spradas lgramt por dbajo d 5. S las dos varabls qu s stá aalzado so dcotómcas, y la frcuca sprada s mor qu 5 más d ua clda, o rsulta adcuado aplcar l tst d la, auqu sí l tst xacto d Fshr. El tst xacto d Fshr s basa valuar la probabldad asocada a cada ua d las tablas x qu s pud formar matdo los msmos totals d flas y columas qu los d la tabla obsrvada. Cada uo d stas probabldads s obt bajo la hpótss d dpdca d las dos varabls qu s stá aalzado. Probabldad asocada a los datos qu ha sdo obsrvados: (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! p! a! b! c! d! Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 59

La fórmula gral d la probabldad dscrta dbrá calculars para todas las tablas d cotgca qu puda formars co los msmos totals d flas y columas d la tabla obsrvada. El valor d la p asocado al tst xacto d Fshr pud calculars sumado las probabldads d las tablas qu rsult mors o guals a la probabldad d la tabla qu ha sdo obsrvada. El cotrast blatral asum qu la hpótss altratva stablzca la dpdca tr las varabls dcotómcas, pro s spcfcar d atmao qué stdo s produc dchas dfrcas. Hpótss ula H: 0 El sxo y sr obso so dpdts Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs (a) 4 (b) 5 (a+ b) Hombrs 7 (c) (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! 5! 9! 8! 6! p 0,0599!a!b!c!d! 4!!4!7!! Las sguts tablas mustra todas las posbls combacos d frcucas qu s pud obtr co los msmos totals d flas y columas: Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 4 (a) (b) 5 (a+ b) Hombrs 4 (c) 5 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () p = 0,098 (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! 5! 9! 8! 6! p 0,098!a!b!c!d! 4!4!!4!5! Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 60

Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs (a) 3 (b) 5 (a+ b) Hombrs 6 (c) 3 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 3 (a) (b) 5 (a+ b) Hombrs 5 (c) 4 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () p = 0,797 p = 0,496 (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! 5! 9! 8! 6! p 0, 496!a!b!c!d! 4!3!!5!4! Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 0 (a) 5 (b) 5 (a+ b) Hombrs 8 (c) (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 5 (a) 0 (b) 5 (a+ b) Hombrs 3 (c) 6 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () p = 0,0030 p = 0,080 Sumado las probabldads d las tablas qu so mors o guals a la probabldad d la tabla obsrvada (p = 0,0599 ) s t: p = 0,0599 + 0,0030 + 0,080 = 0,0909 Sdo p valor = 0,0909 > 0,05 s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l sxo y l hcho d sr obso so dpdts, s dcr, o xst asocacó tr las varabls studo, co u vl d sgfcacó α =0,05 Otro método d calcular l p valor cosst sumar las probabldads asocadas a aqullas tablas qu sa más favorabls a la hpótss Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

altratva d los datos obsrvados. La tabla xtrma d los datos obsrvados s la qu o s obsrva gua mujr obsa, p = 0,0030 p = 0,0599 + 0,0030 = 0,069 SPSS para l cómputo dl tst d Fshr, calcula l p valor corrspodt a u cotrast blatral (p = 0,0909) y l p valor asocado a u cotrast ulatral (p = 0,069). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

Para aalzar la rprcusó qu t los dbats tlvsvos la tcó d voto, u qupo d vstgacó rcogó datos tr 40 dvduos ats y dspués dl dbat, rsultado la sgut tabla: Dspués dl dbat Ats dl dbat (caddatos) (caddatos) A B Total A 46 50 96 B 85 59 44 Total 3 09 40 S dsa sabr s l dbat tlvsvo cambó la tcó d voto, co u vl d sgfcacó dl 5%. Solucó: S trata d ua mustra parada ua stuacó ats dspués, co lo qu s dóo u cotrast stadístco Ch cuadrado d McNmar. Dspués dl dbat Ats dl dbat (caddatos) (caddatos) A B Total A 46 (a) 50 (b) 96 (a+b) B 85 (c) 59 (d) 44 (c + d) Total 3 (a + c) 09 (b + d) 40 () Hpótss ula H: La tcó d voto s la msma ats y dspués dl dbat 0 E sta pruba para la sgfcacó d cambos solo trsa coocr las cldas qu prsta cambos (cldas b y c) y sdo (b c) l úmro d prsoas qu cambaro, d acurdo co la hpótss ula platada s b c spra qu casos camb ua drccó y b c casos a otra drccó. Estadístco d cotrast sí b c 0 S acpta H o sí b McNmar /, Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 63

Estadístco d cotrast sí b c 0: McNmar bc b c La aproxmacó mustral a la dstrbucó Ch cuadrado llga a sr muy bua s s ralza ua corrccó por cotudad, cosdrado qu s utlza ua dstrbucó cotua para aproxmar ua dstrbucó dscrta (bomal), por lo qu s ralza la corrccó d Yats. S acpta H o sí bc b c McNmar /, E st caso, b c 50 85 35 0 Estadístco mustral: Estadístco tórco: 50 85 McNmar 8,563 50 85 /, 0,05, 5,04 Como McNmar 8,563 5,04 0,05, s rchaza la hpótss ula, cocluydo qu la tcó d voto cambó sgfcatvamt dspués dl dbat, co u vl d sgfcacó dl 5%. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 64

E ua mustra alatora d prsoas s aalza alguos hábtos d la vda, habdo rcogdo datos d las sguts varabls: X= Estado gral d salud: muy buo (3), buo (), rgular (), malo (0) X= Sxo: mujr (), hombr (0) X= 3 Nvl dl jrcco daro: tso (), modrado (), guo (0) Ralzadas las tablas d cotgca corrspodts, s calcularo los sguts stadístcos para cotrastar la asocacó: a) (X, X ) 8 b) (X, X 3) 4,5 c) (X, X ) 6, 3 Co la formacó facltada, a u vl d sgfcacó dl 5%, laborar u dagóstco para cada ua d las parjas d varabls. Solucó: Calculado los p valor ( p ) d cada stadístco s obt: a) H: 0 X X so dpdts E (X, X ) 8 l úmro d grados d lbrtad s (4 ) x( ) 3 P( 8). Itrpolado la tabla d la Ch cuadrado: p p,3 0,05 p 0,05 0,05 0,05 7,85 9,348 7,85 8 9,348 p 0,05 8 9,348 ( 0,05) x (7,85 9,348) (0,05 0,05) x (8 9,348) 0,0469 p Sdo p 0,0469 0,05 s rchaza la hpótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud stá asocado al sxo. b) H: 0 X X 3 so dpdts E (X, X ) 4,5 l úmro d grados d lbrtad s ( ) x(3 ) 3 P( 4,5). Itrpolado la tabla d la Ch cuadrado: p p, 0,90 p 0,0 0,90 0,0 0, 4,605 0, 4,5 4,605 p 0,0 4,5 4,605 p Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 65

( 0,0) x (0, 4,605) (0,90 0,0) x (4,5 4,605) 0,9 p Sdo p 0,9 0,05 s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l sxo s dpdt dl vl dl jrcco daro. c) H: 0 X X 3 so dpdts E (X, X ) 6, l úmro d grados d lbrtad s (4 ) x(3 ) 6 3 P( 6,). Itrpolado la tabla d la Ch cuadrado: p p,6 0,90 p 0,0 0,90 0,0,04 0,645,04 6, 0,645 p 0,0 6,0,645 ( 0,0) x (,04 0,645) (0,90 0,0) x (6, 0,645) 0,530 p Sdo p 0,530 0,05 s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud s dpdt dl vl dl jrcco daro. p p Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emprsarals Dpartamto d Ecoomía Aplcada Profsor: Satago d la Fut Frádz Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 66