Optmzacó de ua cartera de versoes utlzado algortmos geétcos María Graca Leó, Nelso Ruz, Ig. Fabrco Echeverría Isttuto de Cecas Matemátcas ICM Escuela Superor Poltécca del Ltoral Vía Permetral Km 30.5, Guayaqul, Ecuador mgleo@espol.edu.ec, ruz@espol.edu.ec, pechever@espol.edu.ec Resume E el presete trabajo se muestra la aplcacó de los algortmos geétcos a u problema de optmzacó de ua cartera de accoes. Tato la aturaleza del problema de optmzacó como la teoría de los algortmos geétcos so expuestos brevemete y srve de base para la resolucó de dos problemas específcos, ecotrar la mejor asgacó al mometo de vertr e u grupo de accoes mexcaas y otro grupo de accoes ecuatoraas. La exposcó de este teresate tema se apoya e el uso de u software que permte observar paso a paso el proceso de optmzacó utlzado algortmos geétcos. Los coceptos expuestos al co de este trabajo se ve ejemplfcados co el uso del software, el cual cluye tato resultados gráfcos como umércos. Este software es extesble de tal maera que co certas modfcacoes puede ser utlzado para trabajar co cualquer grupo de accoes. E geeral, los lectores teresados e el tema de los algortmos geétcos podrá ecotrar e el presete trabajo ua útl troduccó para estudos posterores. Palabras Claves: Algortmos geétcos, cartera de accoes, optmzacó. Abstract Ths work shows the applcato of the theory of geetc algorthms to a optmzato problem of a portfolo of shares. Both of the optmzato problems ad the theory of geetc algorthms are exposed brefly ad are useful to solve two specfc problems, to fd the best assgmet whe t s ecessary to vest a group of Mexca shares ad aother group of Ecuadora shares. The exposto of ths terestg topc s helped by software that allows seeg the step-by-step optmzato process by usg geetc algorthms. The cocepts exposed at the begg of ths work ca be better leart wth the use of ths software that cludes both graphcal ad umercal results. Ths software ca be exteded by addg some code so t s possble to use t to work wth ay group of shares. Geerally speakg, readers who are terested ths topc ca fd that ths work ca be a useful begg of other studes.
. Itroduccó El dseño de ua cartera de versoes óptma es u problema que ha sdo tratado por más de 50 años. Es claro que la decsó que el versosta debe tomar al escoger las accoes más prometedoras o puede ser guada solamete por la tucó. Es ecesaro que el versosta apoye su decsó utlzado crteros cetífcos. E este resume se resolverá ua varacó del problema clásco propuesto por Markowtz hacedo uso de la ovedosa técca de los algortmos geétcos. 2. Descrpcó del problema Exste dos problemas al mometo que el versosta decde destar sus recursos lmtados e u grupo de accoes, la prmera decsó que tee que efretar es escoger las accoes e las cuales va a vertr y el segudo problema tee que ver co la maera de dstrbur el recurso lmtado que posee detro de este grupo de accoes prevamete escogdas. Es e este problema e el que el presete trabajo cocetrará su atecó, es decr, e la seleccó de los porcetajes a vertr e cada accó. E geeral, el problema cosste e ecotrar la cartera óptma de versoes de accoes cosderado el redmeto esperado de toda la cartera y el resgo de la msma. Dode el redmeto total esperado R p y el resgo σ 2 p so: R p =w R +w 2 R 2 + +w - R - +w R σ 2 p=v[r p ] Sedo w, w 2,..,w -, w los porcetajes del captal vertdo e cada accó y V[R p ] la varaza del redmeto esperado. E resume, el problema aquí tratado cosste e la determacó de los pesos que maxmce el redmeto esperado, teedo e cosderacó el resgo. 3. Modelo del problema De acuerdo al efoque de meda varaza de Markowtz [] el modelo geeral de la optmzacó de cartera es el sguete: Sujeto max m a = _ = = j= R w σ w w j w = w Dóde:, j Ídces de accoes;, j =,2,, _ j 0 R : El valor esperado de la accó ; para =,2,, σ j : La covaraza etre el redmeto de la accó y la accó j. Varables de decsó: W : Peso de la versó e la accó Puesto que o es posble maxmzar y mmzar a la vez estas dos metas e coflcto, se propoe ua fucó objetvo que relacoe tato el redmeto como el resgo de la sguete maera: f = = = j= _ R j w σ w w Dada la aturaleza de esta ueva fucó objetvo, es otoro que tato cualquer cremeto e el redmeto como cualquer dsmucó e el resgo aumetará el valor de la fucó. 4. Teoría de los algortmos geétcos E u problema de optmzacó se trata de escoger los valores de las varables de decsó que optmzará la fucó objetvo detro de u espaco de solucoes. A dfereca de los métodos cláscos de optmzacó el algortmo geétco o escoge ua solucó cal so u cojuto de solucoes coocdas como poblacó cal. Alguas de las fases de u algortmo geétco so las sguetes: Fucó de Ajuste Método de seleccó Operacoes geétcas: o Cruzameto o Mutacó Geeracó de ueva poblacó 4. Fucó de ajuste Cuado se tee la poblacó cal o ua geeracó de cromosomas se debe seleccoar a los cromosomas más dóeos para la sguete etapa. La doedad de los cromosomas o dvduos que e el caso específco de este problema so las -uplas se la determa utlzado lo que se cooce como fucó de ajuste. E el caso específco de esta tess la fucó de ajuste es la fucó objetvo propuesta aterormete e la descrpcó del modelo, el valor de esta fucó depede úcamete de los pesos w : f ( w w w =, 2,..., ) = j = j= _ R j w σ w w 4.2 Operacoes geétcas 4.2. Cruzameto. E esta etapa la aleatoredad juega u papel prepoderate teedo que tomarse dos decsoes: o La pareja de cada uo de los dvduos para el cruzameto. o La poscó e la cual debe realzarse el cruce. j
4.2.2 Mutacó. Co este operador producmos cambos aleatoros espotáeos e varos cromosomas co ua baja probabldad. Ua smple forma de mutacó es alterar uo o más gees. Exste varos métodos de mutacó, el método que se utlza e este caso es del tercambo. Como su ombre lo dca este método cosste e escoger dos gees aleatoramete e tercambarlos. usuaro deberá seleccoar la poblacó cal al presoar el botó correspodete. 4.2.3 Geeracó de ua ueva poblacó. Luego de la etapa de mutacó los cromosomas resultates pasa a ser parte de la ueva geeracó que reemplaza a la ateror. Reptedo este proceso es posble llegar a ua solucó óptma o subóptma, tal como lo muestra el esquema de la fgura. Poblacó cal Seleccó Fgura 2. Seleccoar la poblacó cal por medo del botó seleccoar. Se observa e la patalla de la fgura 3. La seleccó de los cromosomas más dóeos y el paso de éstos a la seguda etapa preva al cruce. K teracoes Cruzameto Mutacó Nueva geeracó Parar? Cromosomas seleccoados Vector de pesos óptmo W Fgura. Dagrama de flujo del algortmo geétco Fgura 3. Proceso de seleccó E el proceso de cruzameto que el usuaro deberá accoar al dar clck e el botó Cruzar se ecuetra aleatoramete las parejas de cada cromosoma y se determa la poscó de cruce. 5. Herrameta formátca aplcada e la solucó del problema Se ha dseñado ua aplcacó específca e Mcrosoft Vsual Basc 6.0 terrelacoada co Mcrosoft Access 2007. Este programa permte aplcar el algortmo geétco a cualquer grupo de 8 accoes. 5. Aplcacó del algortmo geétco paso a paso Esta forma de ejecutar el software permte examar detalladamete el proceso que sgue el algortmo geétco medate los pasos mecoados e la fgura. Tal como se muestra e la fgura 2. El Fgura 4. Cruzameto de cromosomas
Falmete la últma etapa de mutacó tee lugar accoado el botó mutar, esto se ve e la fgura 5. Fgura 7. Resultados del úmero de teracoes gresadas Fgura 5. Proceso de mutacó El método paso a paso permte vsualzar la solucó ecotrada e cualquera de las teracoes. Al presoar el botó Solucó actual el software escogerá el mejor cromosoma del grupo de cromosomas mostrados e la columa Mutados. 5.2 Aplcacó del algortmo geétco por el método abrevado El método abrevado cosste e permtr que el software ejecute e forma automátca el úmero de teracoes que el usuaro decda. Tal como lo muestra la fgura 6. el botó deomado Quck Soluto actva u cuadro de dálogo que solcta al usuaro la catdad de teracoes que desea ejecutar. Luego de lo cual, se muestra la solucó ecotrada al fal del proceso, tal como lo muestra la fgura 7. 6. Resultados e mplemetacó E esta seccó se mostrará los resultados obtedos al aplcar el software expuesto e la seccó ateror. 6. Resultados ecotrados co los datos de las accoes mexcaas. Las 8 empresas mexcaas de las cuales se ha tomado el preco de sus accoes e u perodo de eero 2007 a dcembre 2008 se muestra a cotuacó: Tabla. Accoes mexcaas TELMEX-L CONSORCIO ARA FOMENTO ECONOM UTS GFFINA O MEXICHEM GRUPO BIMBO-A AMERICA MOVIL-L GMEXICO-B Esayo Los resultados que se obtee al aplcar el software e este prmer esayo co 200 teracoes se muestra e la fgura 8. Fgura 6. Número de teracoes a ejecutar Fgura 8. Resultado después de 200 teracoes
E este esayo el software permte vsualzar la gra dfereca exstete etre el porcetaje de versó recomedado para las accoes de la empresa GFFINA-O y las accoes de las otras empresas. La fgura 9. Demuestra que esta otable dfereca se matee cuado el úmero de teracoes aumeta a =400. Fgura. Fucó de ajuste e 400 teracoes Fgura 9. Resultado después de 400 teracoes S embargo, el valor de la fucó de ajuste aumeta tal como se espera. Esto se dca e la tabla 2. Tabla 2. Valor de la fucó de ajuste e teracó 200 y 400 Esayo teracoes f. ajuste redmeto resgo 200 8,54,58% 0,00856 400 8,82,63% 0,00852 Además se observa e la tabla ateror que e este esayo partcular el cremeto e el úmero de teracoes també cremeta el redmeto, mateedo el resgo cas costate. La descrpcó gráfca del comportameto de este esayo e lo que se refere a la fucó de ajuste se muestra e las fguras 0. y. para =200 teracoes y =400 teracoes respectvamete. Es otoro por estas 2 fguras que e este esayo el aumeto e el úmero de teracoes logra que la fucó de ajuste se establce y coverja. E cuato al redmeto y resgo se refere por las fguras 2. y 3. se observa que estos se establza cuado se cremeta el úmero de teracoes. Como es de esperarse el resgo decrece e las prmeras teracoes permtedo así u crecmeto e la fucó de ajuste. Fgura 2. Redmeto y resgo e 200 teracoes Fgura 3. Redmeto y resgo e 400 teracoes 6.2 Resultados ecotrados co los datos de las accoes ecuatoraas Las 8 empresas ecuatoraas de las cuales se ha tomado el preco de sus accoes e u perodo de eero 2007 a dcembre 2008 se muestra a cotuacó: Fgura 0. Fucó de ajuste e 200 teracoes
Tabla 3. Accoes ecuatoraas Bco. Bolvarao Bco. del Pchcha Bco. Guayaqul Ca. de Cervez. Nac. Holcm Ecuador Soc. Agr. e Id. Sa Carlos Iversacarlos Corporacó Favorta Además se observa e la tabla ateror que e este esayo partcular el cremeto e el úmero de teracoes també cremeta el redmeto, mateedo el resgo cas costate. La descrpcó gráfca del comportameto de este esayo e lo que se refere a la fucó de ajuste se muestra e las fguras 6. y 7. para =200 teracoes y =400 teracoes respectvamete. Es otoro por estas 2 fguras que e este esayo el aumeto e el úmero de teracoes logra que la fucó de ajuste se establce y coverja. Los resultados que se obtee al aplcar el software e este prmer esayo co 200 teracoes se muestra e la fgura 4. Fgura 6. Fucó de ajuste luego de 200 teracoes Fgura 4. Resultados después de 200 teracoes E este esayo el software permte vsualzar las dos empresas co mayor porcetaje de versó que correspode a Bco. Guayaqul y Holcm Ecuador co pesos de 47.3% y 39.3% respectvamete. Las fgura 5. demuestra que este patró se matee cuado el úmero de teracoes aumeta a =400. Fgura 7. Fucó de ajuste luego de 400 teracoes Fgura 5. Resultados después de 400 teracoes E cuato al redmeto y resgo se refere por las fguras 8. y 9. se observa que estos se establza cuado se cremeta el úmero de teracoes. Como es de esperarse el resgo decrece e las prmeras teracoes permtedo así u crecmeto e la fucó de ajuste. S embargo, el valor de la fucó de ajuste aumeta tal como se espera: Tabla 4. Valor de la fucó de ajuste e teracó 200 y 400 esayo teracoes f. ajuste redmeto resgo 200 24.046 0.783% 0,0003 400 24.23 0.857% 0,0003
que e 0 de los 20 esayos la fucó de ajuste fue mayor que 27. 7. Coclusoes y recomedacoes E u expermeto de 20 esayos utlzado los datos de las accoes mexcaas el valor máxmo de la fucó de ajuste que se obtuvo fue de 8.9628 co u redmeto de.6692% y resgo de 0.00862. Sedo los pesos obtedos 9.5%; 0.20%; 2.30%; 78.0%; 9.5%; 0.20%; 0.20% y 0.20% Fgura 8. Redmeto y resgo e 400 teracoes (accoes ecuatoraas) E el msmo expermeto de 20 esayos para las accoes mexcaas se obtuvo que el 40% de los esayos obtuvero fucoes de ajuste mayores que 8; el 25% tuvero fucoes de ajuste etre 7 y 8; el 30% etre 6 y 7; y apeas el 5% obtuvo valores meores que 6. Por lo cual podemos coclur que el algortmo geétco pocas veces produce valores deseables. E u expermeto de 20 esayos utlzado los datos de las accoes ecuatoraas el valor máxmo de la fucó de ajuste que se obtuvo fue de 28.9549 co u redmeto de 0.86% y resgo de 0.000297. Sedo los pesos obtedos 0.00%; 0.00%; 60.40%; 4.7%; 30.20%; 4.7%; 0.00% y 0.00%. Fgura 9. Redmeto y resgo e 550 teracoes (accoes ecuatoraas) Falmete, se mostrará u expermeto de 20 esayos depedetes para cada grupo de accoes co el f de obteer ua dea global del comportameto del algortmo. 6.3 Accoes mexcaas: Expermeto de 20 esayos Al realzar los esayos co 500 teracoes, se tee que exste ua certa regulardad puesto que a pesar de los dferetes resultados obtedos e la fucó de ajuste y los pesos, el mayor porcetaje e cualquera de los esayos es destado a la cuarta empresa (GFFINA O), sedo su valor máxmo 90.60% y su valor mímo 63.0% 6.4 Accoes ecuatoraas: Expermeto de 20 esayos Co los 20 esayos de las accoes ecuatoraas cada uo de 500 teracoes, se tee que exste ua certa regulardad puesto que a pesar de los dferetes resultados obtedos e la fucó de ajuste y los pesos, el mayor porcetaje e cualquera de los esayos es destado a la tercera empresa (Bco. de Guayaqul), sedo su valor máxmo 74.30% y su valor mímo 44.90%. Al ordear la fucó de ajuste se obtuvo el valor de 28.9549. Co los datos obtedos se pudo observar E el msmo expermeto de 20 esayos para las accoes ecuatoraas se obtuvo que el 30% de los esayos obtuvero fucoes de ajuste mayores que 28; el 20% tuvero fucoes de ajuste etre 27 y 28; el 5% etre 26 y 27; el 5% etre 25 y 26; el 5% etre 24 y 25; el 5% etre 23 y 24; el 20% etre 22 y 23; y el 0% obtuvo valores etre 2 y 22. Puesto que el algortmo geétco puede producr valores o óptmos e certos esayos se recomeda ejecutar el software varas veces para escoger la mejor solucó. Auque el redmeto correspodete al esayo que obtuvo el mayor valor de la fucó de ajuste para las accoes mexcaas o es el más alto s embargo su resgo es meor al obtedo e el esayo de máxmo redmeto. 8. Agradecmetos Nuestros agradecmetos va drgdos a las persoas que os ayudaro a lograr este proyecto. Al Ig. Echeverría por drgr uestro proyecto, al Ec. Fabrco Arellao membro de la bolsa de valores de Guayaqul, por creer e osotros al facltaros los datos de las accoes y al Ig. César Noboa por su apoyo codcoal.
9. Referecas bblográfcas [] Appled Mathematcal Sceces, Vol., 2007, o. 5, 203 204 [2] ALAITZ MENDIZÁBAL ZUBELDIA, LUIS M.ª MIERA ZABALZA, MARIAN ZUBIA ZUBIAURRE, A LM 2002, El modelo de Markowtz e la gestó de carteras, Obtedo el 26 de Julo de 2009, de http://www.ehu.es/cuaderosdegesto/documetos/2 2.pdf [3] Rya, R 978, Presetacó del problema de optmzacó de carteras de versó, Obtedo el 25 de Julo de 2009, de http://catara.udlap.mx/u_dl_a/tales/documetos/lat/m ora_r_tx/captulo.pdf [4] Yahoo Fazas, (.d.). Precos Hstórcos del mercado mexcao, Obtedo el 23 de Julo de 2009, de http://mx.face.yahoo.com/q/hp?s=amxl.mx&a=0 0&b=&c=2007&d=&e=&f=2008&g=m [5] Ec. Fabrco Arellao, Bolsa de valores de Guayaqul, Obtedo el 3 de agosto de 2009 2:58:57 medate u correo electróco Ec. Fabrco Arellao <farellao@bvg.f.ec>