UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE - TIPO DURACIÓN MÁ..5 HORAS MIÉRCOLES DE JUNIO DE NOMBRE. E el grupo de Probabldad y Estadístca al observarse las calfcacoes, se regstró u promedo de 75 y ua desvacó estádar de tres. S cada ua de las calfcacoes se cremeta cco udades, determar la meda y la varaca de las uevas calfcacoes. 5 Putos Resolucó La meda está defda por = = para los uevos datos, cremetado 5 udades cada calfcacó + c, + c,..., + c susttuyedo = ( + c+ + c+,..., + + c) = ( + c) = = por propedades c = + c= + = + c = = = etoces la meda sumado 5 udades a cada calfcacó es = 75 + 5 = 8 La varaca está defda por S = = para los uevos datos, cremetado 5 udades a cada calfcacó + c, + c,..., + c y co meda + c, susttuyedo = ( + ) = ( ) = = S c c que es gual, por lo tato la varaca de los uevas calfcacoes es s = 9. Ua ofca tee cuatro secretaras que maeja respectvamete, 6, 5 y 5 % del archvo de reportes. La probabldad de que archve mal tales reportes es.5,.,. y.5, respectvamete. a) Cuál es la probabldad de teer u reporte mal archvado? b) Cuál es la probabldad de que u reporte mal archvado haya sdo causa de la secretara uo? 5 Putos Resolucó PyE_ EF_TIPO_-
Sea I el eveto que represeta la secretara uo maeja el archvo de reportes. II el eveto que represeta la secretara dos maeja el archvo de reportes. III el eveto que represeta la secretara tres maeja el archvo de reportes. IV el eveto que represeta la secretara cuatro maeja el archvo de reportes. M el eveto que represeta archva mal los reportes. Del eucado P M I =. P I =.5 P( II ) =.6 P( M II ) =. P( III ) =.5 P( M III ) =. P( IV ) =.5 P( M IV ) =.5 a) La probabldad de teer u reporte mal archvado, etoces P M = P I M + P II M + P III M + P IV M P ( M) = P( I) PMI + P( II) PMII + P( III) PMIII + P( IV) PMIV susttuyedo P( M ) = (.)(.5 ) + (.6)(. ) + (.5)(.) + (.5)(.5) =.875 b) La probabldad de que u reporte mal archvado haya sdo causa de la secretara uo, por el Teorema de Bayes se tee P ( I M) P( I) P( M I) P( I M) = = P( M) P( M) susttuyedo (.)(.5). P( I M ) = =.4.875.875. E los alrededores de CU, e los últmos años, las autordades de la Delegacó Coyoacá ha proporcoado lcecas de uso de suelo a comercates, co el argumeto de que el gro es almetos. Dadas las codcoes por la falta de supervsores e la zoa de Coyoacá. La Delegacó recetemete tee deucas de los vecos e dode mafesta que los gros o so los de orge, por ello pde a la Delegacó ua supervsó a dchos egocos. Los resposables se dero a la tarea de hacer u aálss y ecotraro que los supervsores vsta al año los comercos, co la sguete fucó de probabldad, sedo la varable aleatora que represeta el úmero de vstas a los establecmetos co el gro de almetos. 4 f.4.4..5.5 a) Obteer la probabldad de que u egoco de ese gro y ubcado e esa zoa, sea vstado por u supervsor al meos dos veces e u año. b) Co la fucó de probabldad acumulada, obteer la probabldad de que uo de estos egocos, sea vstado etre dos y cco veces, clusve. c) Obteer las meddas de tedeca cetral. Usted como estudate de la FI y asesor de u despacho de cosultoría, cuál sería su sugereca al ser abordado por u posble versosta e este tpo de gros y bajo las codcoes cales establecda? Putos PyE_ EF_TIPO_-
Resolucó a) La probabldad a calcular es P( ) = P( = ) + P( = ) + P( = 4) susttuyedo P( ) =.+.5 +.5 =. b) La fucó de dstrbucó acumulatva está dada por F = P( ) = f por lo que = 4 F ( ).4.8.9.95 etoces la probabldad que se va a calcular, usado propedades de F ( ) P( 5) = F ( = 5) F ( = ) + f ( = ) susttuyedo se tee P( 5) =.9 +. =. c) Las meddas de tedeca cetral so: meda, medaa y moda, etoces E = μ = μ = f μ =.4 +. +.5 + 4.5 =.95 se espera ua vsta al año. La medaa está defda por P( ) = etoces es = =.5 4 La moda es la varable aleatora co mayor probabldad asocada, etoces mo =, + f ( ) es bmodal mo = =.5 A crtero del profesor. 4. E u quosco de peródcos se supoe que las vetas daras se dstrbuye ormalmete co meda de y varaca dos. a) Determar la probabldad de que las vetas e u día sea etre y b) Calcular la máma catdad de vetas e u día para que sea del 9% c) Supógase que e ua cudad hay quoscos depedetes del msmo tpo y co las msmas característcas. Determar la probabldad de que más de dos quoscos veda e u día etre y Putos Resolucó Sea la varable aleatora que represeta las vetas daras de u quosco de peródcos. ~ Normal μ =, σ = PyE_ EF_TIPO_-
a) La probabldad de que las vetas e u día sea etre y, está dado por P P Z = P. Z.7 = Fz.7 Fz. susttuyedo valores de la tabla de dstrbucó acumulatva ormal estádar P = F.7 F. =.76.76 z z b) La máma catdad de vetas e u día, para que sea de 9%, está dada por P( ) =.9 apromado medate la dstrbucó ormal estádar μ P P Z.9 σ = = susttuyedo los valores de la tabla de dstrbucó acumulatva ormal estádar, para el valor correspodete =.9 despejado la varable =.9 + =.84 los cuales so vetas al día como mámo. a) Sea Y la varable aleatora que represeta el úmero de quoscos que vede peródcos e la cudad co las característcas dadas Y ~ Bomal ( =, p =.76) la probabldad a calcular es P ( Y > ) = P( Y = ) + P( Y = ) + P( Y = ) = fy ( y ) susttuyedo e el modelo probablístco y= PY> = y y (.76) (.89) PY> =.96.9997 5. Supógase que y Y so varables aleatoras depedetes co fucó de desdad 8 ; > y ; < y < g = hy ( y) = ; e otro caso ; e otro caso y y= a) Obteer la fucó de desdad cojuta de y Y b) Determar el valor esperado de Z = Y 5 Putos Resolucó a) La fucó de desdad cojuta para dos varables aleatoras, está dada defda por f Y ( y, ) = g ( h ) Y ( y) susttuyedo PyE_ EF_TIPO_- 4
6y ; >, < y < fy (, y) = ; e otro caso b) El valor esperado, por depedeca de varables aleatoras y propedades es E( Z) = E( Y) = E E( Y) Calculado los valores esperados co las fucoes de desdad margales R + R 8 E = d= 8 d= 8lm d= 8lm + R E = 8lm 8lm 8 4 = = = R El otro valor esperado es E( Y) = y( y) dy = y dy = y [ ] = = por lo tato 8 E( Z) = E E( Y) = ( 4) =.6667 6. El peso eto por lote e ua marca de sopa tee dstrbucó ormal co meda de 565 [gr] y desvacó estádar de 5 [gr]. S se elge al azar ueve lotes y se aota el peso, cuál es la probabldad de que la meda muestral esté etre 555 y 575 [gr]? 5 Putos Resolucó Sea la varable aleatora que represeta el peso eto por lote. =,,...,9 ( = = ) ~ Normal μ 565, σ 5 etoces σ 5 ~ Normal μ = μ = 565, σ = = 9 La probabldad de que la meda muestral esté etre dos valores, s se cooce σ, por el Teorema del Límte Cetral, es 555 565 μ 575 565 P( 555 575) = P( 555 < < 575) P = 5 σ 5 9 9 = P Z = F F Z Z co valores de la tabla de dstrbucó acumulatva ormal estádar P( 555 575) = FZ FZ ( ) =.977.8.9544 Es muy probable que el peso medo de los lotes esté etre los valores de peso especfcado. PyE_ EF_TIPO_- 5