Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate Décimo-quinta clase. Respuesta al impulso. Implementación e sistemas LTI. Ecuaciones e iferencia y iferenciales lineales con coeficientes constantes. De otro lao, cuano ecimos que conocieno la respuesta al impulso e un sistema LTI conocemos su respuesta a cualquier otra entraa gracias a la convolución, queremos ecir que la respuesta al impulso nos ice too lo que necesitamos saber e un sistema LTI. En efecto, toas las propieaes que vimos para los sistemas en general, epenen exclusivamente e la respuesta al impulso cuano se trata e sistemas LTI, como se muestra a continuación. Sistema estático o inámico: Un sistema LTI en tiempo iscreto es estático si y sólo si h[n]= n, ó {h[n], nz} = h[]{[n], nz} En efecto, en ese caso {y[n], nz} = h[]{x[n], nz}, que es la única manera en que un sistema LTI en tiempo iscreto puea exhibir falta e memoria pues, si algún otro valor h[] es iferente e cero para iferente e cero, la salia en el instante n epenerá e la entraa en el instante n- meiante el término aitivo h[]x[n-]. En tiempo continuo, la respuesta al impulso e un sistema LTI estático ebe ser otro impulso en el mismo instante, {h(t), tr} = h {(t), tr}, pues ésta es la única manera e que la salia en el instante t sólo epena e la entraa en el mismo instante, y( t) x( ) h( t ) h x( ) ( t ) h x( t). Sistema causal o no-causal: Si queremos que en la expresión y[ n] h[ ] x[ n ] no participen valores futuros e x[], es necesario y suficiente con tener h[n]= n<. En efecto, en este caso la suma e convolución, y[ n] h[ ] x[ n ] h[ n ] x[ ] n, sólo incluye valores pasaos y presentes e la señal e entraa. De la misma manera, para que un sistema LTI en tiempo continuo sea causal es necesario y suficiente que h(t)= t<, pues entonces t y( t) x( ) h( t ). Sistema BIBO-estable o BIBO-inestable: Si la entraa es acotaa, x[ n] M, n, la salia acotaa requiere y[ n] x[ ] h[ n ] x[ ] h[ n ] M h[ ] h[ ], e x manera que si la respuesta al impulso es absolutamente sumable, se puee garantizar la estabilia BIBO el sistema LTI. Sin embargo, esta conición no sólo es suficiente sino también necesaria: Sea x[n]=signo(h[-n]), acotaa meiante x[n]. Entonces y[] = h(-), lo cual hace que la conición propuesta sea necesaria. De igual manera, un sistema LTI en tiempo continuo es BIBOestable si y sólo si h() t. x
Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 2 Sistema invertible o no-invertible: Un sistema LTI con respuesta al impulso h es invertible si existe otro sistema h - tal que h*h - =. En este caso, e acuero con la asociativia e la convolución, si y=x*h, x=y*h -. Evientemente, la existencia e un h - tal que h*h - = es una propiea e la respuesta al impulso h. 2 2 Quiz: Consiérese el siguiente sistema no lineal: y[ n] x [ n] x [ n ]. Cuál es la respuesta al impulso? Cómo respone a una señal e entraa que vale 2 cuano n=, vale cuano n= y vale para cualquier otro instante n? Cuál sería la corresponiente respuesta e un sistema LTI con la misma respuesta al impulso? Concluya sobre cuánta información ofrece la respuesta al impulso para sistemas lineales y no lineales. Nótese que la respuesta al impulso e un sistema LTI causal en tiempo iscreto puee urar un tiempo finito o infinito. Si la respuesta al impulso es finita (FIR Finite Impulse Response-), esto es, si MN: h[n] nm, la suma e convolución ofrece una forma irecta e implementación el sistema: h[] M y[ n] h[ ] x[ n ] Retaro h[] xn [ 2] Retaro Retaro h[2] x[ n M ] Retaro hm [ ] Figura. La suma e convolución es una manera irecta e implementar un sistema FIR En esta estructura, los términos e la respuesta al impulso se usan como coeficientes para ponerar M muestras e la señal e entraa, por lo que a los sistemas así implementaos se les enomina e "promeios móviles" (MA Moving Average-). Sin embargo, en sistemas con respuesta infinita al impulso (IIR Infinite Impulse Response-), la suma e convolución no poría ser un algoritmo e implementación válio porque se necesitaría un número infinito e términos en la "escalera" e la figura anterior. Por esta razón, no es posible implementar cualquier respuesta IIR arbitraria, aunque muchas respuestas al impulso se pueen implementar inirectamente meiante estructuras recursivas. En estas estructuras recursivas la respuesta al impulso no está explícitamente efinia, pero sí se representa e manera implícita a través e los coeficientes e la recursión. Por ejemplo, el acumulaor n y[ n] x[ ] x[ n ] tiene una respuesta al impulso infinita, h[n]=u[n], lo cual imposibilita su implementación irectamente meiante la suma e convolución, esto es, meiante una estructura MA. Sin embargo, no es necesario consierar una memoria infinita, pues el mismo sistema se puee expresar recursivamente:
Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3 y[ n] x[ n ] x[ n] x[ n ] x[ n] x[( n ) ] x[ n] y[ n ] y[ n] x[ n] y[ n ] Retaro Figura 2. Algunos sistemas IIR, como el acumulaor, se pueen implementar recursivamente Generalizano el ejemplo anterior, un sistema recursivo puee ponerar e iferentes maneras caa uno e los términos e la recursión, N a y[ n ] x[ n] Bajo la suposición e que a =, con la cual no se piere generalia, icho sistema recursivo se puee implementar así: yn [ ] N y[ n] x[ n] a y[ n ] a a 2 Retaro Retaro Retaro yn [ ] yn [ 2] an Figura 3. Forma general e un sistema puramente recursivo En este caso, como la salia se calcula a través e muestras anteriores e la misma salia que se realimentan a la entraa, esta estructura se conoce como Auto-Regresiva (AR autoregressive-). Aunque la respuesta al impulso no está explícitamente escrita, como en el caso e los sistemas MA one la respuesta FIR está en los coeficientes, es fácil calcularla meiante la relación N a h[ n ] [ n] Retaro y[ n M ] La forma más general que toma un sistema LTI causal en tiempo iscreto que se puea implementar es la e una Ecuación Lineal e Diferencias con Coeficientes Constantes: N M a y[ n ] b x[ n ] Suponieno, sin perer generalia, que a =, la forma anterior sugiere una forma irecta e implementación:
Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4 b M N y[ n] b x[ n ] a y[ n ] Retaro b a Retaro yn [ ] xn [ 2] Retaro b 2 a 2 Retaro yn [ 2] Retaro Retaro Retaro x[ n M ] bm an Retaro y[ n N ] Figura 4. Forma general e un sistema IIR En el sistema anterior simplemente pusimos en serie un sistema AR espués e un sistema MA, por lo que este tipo e sistemas se conoce como sistema ARMA (Auto-Regressive, Moving-Average). En este caso, los coeficientes e la parte MA ya no son la respuesta al impulso, pues ahora se trata e un sistema IIR. Nótese que, en tiempo iscreto, la suma e convolución es un algoritmo irecto e implementación e los sistemas FIR. Esto no ocurre con sistemas en tiempo continuo, pues en ellos la misma respuesta al impulso casi nunca se escribe e manera explícita. De hecho, generalmente se expresan las tasas e cambio e algunas variables en términos e los valores actuales e las mismas variables. Por ejemplo, recoremos el circuito RC y la masa sometia a fuerzas e empuje y e fricción que se mostraron en la tercera clase, los cuales se moelaban meiante el mismo sistema lineal e primer oren: v i (t) i(t) v o (t) F(t) M v(t) - - v(t) vi( t) v( t) vr( t) F( t) v( t) M v( t) vi ( t) v( t) R i( t) M F( t) v( t) v( t) vi( t) v( t) RC vo( t) Figura 5. Dos sistemas iferentes que conucen a una misma forma e abstracción matemática x(t) / x( t) y( t) y( t) y(t) _ x( t) y( t) y( t) Figura 6. Abstracción matemática para los os sistemas anteriores
Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5 Ese tipo e expresiones son típicos al escribir sistemas naturales en tiempo continuo. Por ejemplo, si una población e iniviuos e alguna especie, y(t), crece según una tasa e natalia por iniviuo, a>, y ecrece según una tasa e mortalia por iniviuo, b>, poríamos escribir y ( t ) ay ( t ) by ( t ) y ( t ) ab Si, aemás, hay un flujo neto e inmigración o emigración con respecto al ecosistema que se esté consierano, x(t), el sistema se moificaría así: y ( t ) y ( t ) x ( t ) que es, funamentalmente, el mismo sistema lineal e primer oren: x(t) y(t) Figura 7. Moelo simple e crecimiento poblacional. Es un sistema LTI, pero la respuesta al impulso, h(t)=e t, no aparece explícitamente en la escripción el sistema Nótese que otro iagrama e bloques para el mismo sistema, que implementa más irectamente el anterior moelo, incluiría la evaluación e la erivaa, como se muestra en la siguiente figura. Sin embargo, se suele preferir utilizar integraores para hacer los sistemas más inmunes al ruio, como se muestra a continuación. / - x(t) y(t) Figura 8. El mismo moelo e crecimiento poblacional, pero usano un iferenciaos. Esta implementación no es común por su sensibilia al ruio / - 2 4 6-2 4 6-2 4 6-2 4 6-2 4 6.5 -.5-2 4 6-2 4 6-5 2 4 6 Figura 9. Derivar es una operación mucho más sensible al ruio que integrar 5
Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6 En general, una forma típica en que se representan los sistemas en tiempo continuo es meiante relaciones puramente autoregresivas, iferenciaores así, xt () N ( ) x( t) a y( t), que se pueen implementar meiante ( ) /a yt () a/ a / yt () a2 / a / / 2 () 2 yt / an / a N yt () N Figura. Sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo aunque se prefiera el uso e integraores, así: / N x(t) a y(t) a / a N2 N a / a N3 N a/ an a / an Figura. El mismo sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo e la figura anterior Generalizano, una clase importante e sistemas LTI en tiempo continuo obeecen a una Ecuación Lineal Diferencial con Coeficientes Constantes, a y( t) b x( t) N ( ) M ( ) ( ) ( ) Que se poría implementar, al menos teóricamente, como se muestra a continuación: xt () b M N y( t) b x( t) a y( t) xt () / b a / yt () 2 () 2 xt / / b 2 a 2 / / 2 () 2 yt M M xt () / bm a N Figura 2. Forma general e un sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo escrito meiante una ecuación iferencial lineal con coeficientes constantes / N yt () N
Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 7 Tanto en tiempo continuo como en tiempo iscreto, las ecuaciones lineales con coeficientes constantes proporcionan una especificación completa el sistema sin especificar explícitamente su respuesta al impulso, pues permiten eterminar la señal e salia a partir e la señal e entraa, aas unas coniciones iniciales suficientes. Aunque la búsquea e una expresión cerraa para la señal e salia es un tema ya estuiao en cursos e ecuaciones iferenciales y matemáticas especiales, en muchas ocasiones nos interesa es la solución numérica a través el computaor o e un circuito que implemente la ecuación misma. Para el análisis y iseño, utilizaremos técnicas basaas en transformaciones que cambian la base e los impulsos unitarios a las exponenciales complejas, en one el problema e encontrar la solución cerraa se vuelve un problema algebraíco. En consecuencia, es hora e empezar el estuio e ese tipo e transformaciones.