Métodos Combiatoios e la Teoía de Ruia Diego Heádez Ragel Julio 997 Seie Documetos de Tabao Documeto de Tabao No. 7
Ídice Pesetació La Teoía de Riesgo 2 Capítulo Defiicioes 5 Capítulo 2 Revisió de la Liteatua de Ruia Capítulo 3 Teoemas de la Ua 9 Capítulo 4 Fluctuacioes de Sumas de Vaiables Aleatoias 3 Capítulo 5 Fluctuacioes de Realizacioes de Pocesos Estocásticos y Pobabilidad de Ruia Evetual 4 Capítulo 6 Aplicacioes al Poblema de Ruia 52 Apédice A Apédice B Diseño del Algoitmo paa las Pobabilidades de Ruia e el Caso de Motos Discetos 58 Cálculo de Covolucioes Mediate la Tasfomada Rápida de Fouie 63 Notas 67 Refeecias 68
Métodos Combiatoios e la Teoía de Ruia Diego Heádez Ragel* Pesetació Esta tesis busca expoe el poblema de Ruia a tavés de la asombosa heamieta matemática desaollada po Takács(967), de la que se obtiee los picipales esultados de la llamada "Teoía de Ruia" a pati de ua geealizació del coocido "Teoema de la Ua". Duate esta exposició se completaá demostacioes pacialmete mostadas e dicho texto, se ealizaá ua coecció a ua demostació del mismo, así como ua demostació adicioal o icluida e el libo. Al ecoe el camio ete hipótesis y coclusioes, descubiedo el azoamieto seguido po muchas de las metes más billates de la Histoia Matemática, se establece las codicioes paa u aálisis sobe su aplicabilidad y sigificado e los seguos, costituyédose e ua base paa futuas ivestigacioes. La obteció de pobabilidades de uia sobe el Modelo Colectivo de Riesgo, ha sido tatada abudatemete e la liteatua actuaial a pati de los años teita, y seiamete cuestioada e cuato a su aplicabilidad y sigificado. E esta tesis se mostaá ua fómula de uia evetual paa el caso de motos discetos y seá utilizada paa esolve tes poblemas que apaece fecuetemete e la liteatua. Auque o es u obetivo de este tabao ealiza u estudio cítico sobe la Teoía Colectiva de Ludbeg, se busca que el lecto obtega la heamieta itelectual paa uzgala e sus vitudes y limitacioes y utilizala e la foma más coveiete. Ua vez defiidos e el pime capítulo los coceptos básicos de la Teoía Colectiva de Riesgo, e el capítulo 2 se pesetaá ua elació históica de la Liteatua de Ruia, itoduciedo al lecto e esta impotate ama de las matemáticas actuaiales. E el capítulo 3 se expoe los teoemas fudametales e que se basa el método de Takács, paa establece los teoemas sobe fluctuacioes de sumas de vaiables aleatoias del capítulo 4, mismos que seá geealizados a fluctuacioes de ealizacioes de pocesos estocásticos e el capítulo 5. Fialmete el capítulo 6 cotiee ua muesta de la capacidad de esta metodología paa obtee expesioes útiles ate poblemas cocetos de la Teoía de Ruia. El Poblema de Ruia coba sigificado e u etoo bie defiido: "La Teoía de Riesgo", azó po la cual se pesetaá a cotiuació ua beve semblaza sobe esta ama de las ciecias actuaiales.
La Teoía de Riesgo "Most of the isuace wold seems, with some ustificatio, to coside the theoy of isk as a hamless hobby cultivated by actuaies i Cotietal Euope ad paticulaly i Scadiavia couties". Boch, K., The Mathematical Theoy of Isuace. Lexigto Books, Lodo, 974 p73. La Ciecia Actuaial puede etedese como el coocimieto detallado de los "sistemas de seguidad fiaciea" e cuato a su azó de existi, sus matemáticas y la foma e que fucioa y se aplica a la vida ecoómica de la sociedad. Estos sistemas evolucioa coceptualmete del Utilitaismo como filosofía y de la oció de "avesió al iesgo" como ua caacteística del compotamieto humao. 2 Gebe(979) defie a la Teoía de Riesgo como aquella ama de la Ciecia Actuaial que modela al egocio aseguado utilizado vaiables aleatoias paa el úmeo y moto de los siiestos duate los peiodos cotactuales. - defiició ta simple y ta extesa - Esta teoía busca supea las técicas actuaiales covecioales basadas e fecuecias y motos pomedio de eclamacioes, las cuales e ocasioes simplifica excesivamete los hechos, al sustitui los iesgos úicamete po sus valoes espeados. 3 Camé(93) os da ua defiició que aclaa su fialidad: "El obeto de la Teoía de Riesgo es popocioa u aálisis matemático de las fluctuacioes aleatoias e los seguos y discuti los medios de potecció cota sus efectos desfavoables". Se distigue tes etapas e su evolució:. La Teoía Clásica de Riesgo Esta teoía, ogullo de las matemáticas actuaiales po más de u siglo, tiee ete sus pecusoes a Edmud Halley, al desaolla el modelo Tabla de Motalidad e 693 y a Daiel Beoulli, quie e 738 peseta e "Specime Theoiae Novae de Mesua Sotis", ua hipótesis sobe la toma de decisioes e codicioes de icetidumbe y su aplicació a seguos, tambié tatados e su mometo po Laplace. 4 Este documeto, oige diecto de la Teoía de Riesgo y de la Teoía de Juegos, pemitió e 834 a Baois la costucció de ua teoía muy completa y modea sobe el seguo de icedio, peo que desgaciadamete fue igoada po muchas geeacioes de actuaios hasta la seguda mitad de uesto siglo, lo que posiblemete impidió el desaollo opotuo de ua Teoía de Riesgo que cosideaa al seguo como ua mecacía que pudiea se compada y vedida a u pecio (pima) detemiado po la ofeta y demada del Mecado. 5 Es u hecho iteesate que la Teoía de Riesgo e ga pate fue desaolládose aea a los descubimietos de la Teoía de Pobabilidades y la Estadística Matemática. Boch explica esta situació obsevado que duate muchos años las úicas aplicacioes de la Teoía de Pobabilidades ea los uegos de aza y los seguos. E cosecuecia, los actuaios fomulao sus esultados como solució a poblemas de seguos, si tomase la molestia de explica el poblema e foma geeal. Así, cofome la Teoía de Pobabilidades fue ecotado otas 2
aplicacioes, esultó más secillo edescubi esos esultados que buscalos e la liteatua existete, dode pemaecía ecubietos e el agot actuaial. Es hasta 99 cuado Bohlma ealiza ua ecopilació de los esultados más impotates de la Teoía de Riesgo, ecamiados a detemia las desviacioes poducidas po las fluctuacioes aleatoias de las pólizas idividuales. Hasta ese mometo el compotamieto del potafolio de pólizas se cosideaba como la suma de los esultados de cada póliza e foma idividual. 6 La teoía así plateada asumía que la situació fiaciea de ua aseguadoa podía descibise completamete po ua distibució de pobabilidades F(x-p) dode x epeseta los pagos po eclamacioes y p las esevas dispoibles paa esos pagos. E el mudo eal esta distibució cambia día a día: las pimas so pagadas, igualmete las eclamacioes, los cotatos expia y uevos egocios se cotata. Esto implicaía ua evisió diaia de la situació de la aseguadoa paa adapta la distibució F a las uevas codicioes, lo cual e la páctica o es posible - meos aú deseable - sugiedo ua ecesidad de modelos alteativos. Este poblema de adecuació a los fies pácticos puede explica la escasa ateció que ecibió la Teoía de Riesgo, agavada tambié po la isistecia de aplica esta metodología al Seguo de Vida, desdeñado otos tipos de seguo sobe los cuales pudiea mosta cieta aplicabilidad. Como se podía espea, la sólida estuctua del Cálculo Actuaial de Vida o hizo sio evidecia los putos débiles de esta teoía. La ecesidad de ua teoía "diámica" del seguo dio oige a ua ueva fase: 2. La Teoía Colectiva de Riesgo. Su ceado fue Filip Ludbeg, quie e 93 pesetó e la Uivesidad de Uppsala los elemetos de su modelo. El plateamieto completo de su teoía se pesetó e el Cogeso Iteacioal de Actuaios de Viea e 99 y pati de etoces fue desaollada po u gupo elativamete pequeño de actuaios, picipalmete escadiavos. Paa la fomulació de su teoía, Ludbeg empleó pocesos estocásticos e tiempo cotiuo uos teita años ates de que este cocepto fuea iguosamete defiido, azó po la que Boch lo compaa co Bachelie, 7 sobe todo po el hecho de que ambos fueo pácticamete igoados po sus cotempoáeos. Su temiología, estictamete actuaial, impidió a los matemáticos o familiaizados co los seguos ecooce e su oba teoemas de validez geeal. Leos de lo que se pudiea espea, los seguidoes de Ludbeg o itetao peseta u paoama clao de sus descubimietos, co excepcioes otables como H. Camé y C.O. Segedahl. Bao esta ueva pespectiva, la compañía aseguadoa se cosidea ua "pesa", hacia la cual "fluye" cotiuamete las pimas, mietas de ésta se extae ua seie de pagos po eclamacioes. Se le cooce como el "Modelo Colectivo de Riesgo". El modelo de Ludbeg es elegate y podeoso: bao su popuesta o es ecesaio cosidea cada póliza e el potafolio paa detemia la distibució de pobabilidades del moto total de las eclamacioes. Po el cotaio, esta distibució se costuye a pati de la distibució del úmeo de eclamacioes e u peiodo detemiado y de la distibució del moto de las eclamacioes efectuadas e ese peiodo, ambas estimables a pati de los egistos de las 3
compañías. Su picipal vitud adica e su aspecto diámico, al icopoa el tiempo al modelo. Es sobe este modelo que suge la "Pobabilidad de Ruia", como ua medida sobe el gado de fluctuació de la solvecia de la aseguadoa: idica la factibilidad de que las esevas que costituye la compañía sea isuficietes paa afota las obligacioes deivadas de sus cotatos. Esta pometedoa teoía, pácticamete olvidada po veite años, fue explotada itesivamete po los actuaios escadiavos ete los años teita y cicueta, cocetado sus ivestigacioes a las distibucioes de la fecuecia y moto de las eclamacioes, así como a la obteció de la "pobabilidad de uia evetual". Si embago, los impesioates esultados obteidos co este efoque o ha teido la aplicabilidad que se espeaba, pese al aálisis pofudo de los fudametos del seguo a que motivó. La catidad de cálculos ecesaios paa obtee paámetos de iesgo como la Pobabilidad de Ruia, la Pédida Máxima Pobable, detemiació de cotatos óptimos de easeguo, ete otos pocedimietos, se pesetao e ua época e la que o existía los medios paa ealizalos. La alteativa de las apoximacioes caecía e ocasioes tato de límites de cofiaza bie defiidos como de supuestos que pudiea veificase e la páctica. 8 Po oto lado, ea evidete que el uso de u sólo úmeo (como la pobabilidad de uia) o podía da ua descipció completa de la situació eal de la compañía, más aú si la estimació de los paámetos del modelo pesetaba ga sesibilidad ate el uso de ifomació poveiete de los achivos de la empesa. Las Ciecias Físicas y la Ivestigació de Opeacioes esultao más favoecidas po estos descubimietos que la misma páctica actuaial. 9 3. La Teoía Modea de Riesgo Eemplos de esta etapa so los tabaos de De Fietti, Boch, Bead, Petikäie, ete otos, diigidos a esolve los poblemas pácticos efetados po las compañías aseguadoas: ) La detemiació de taifas. 2) El cálculo de esevas. 3) La evaluació de la "solidez" fiaciea del aseguado. 4) La caacteizació del cotato de easeguo más adecuado. Podemos señala que esta fase se iicia co u atículo de De Fietti pesetado e el Cogeso Iteacioal de Actuaios e 957, dode se evalúa la validez de los supuestos del modelo colectivo y se establece las bases paa ua Teoía de Riesgo que efectivamete loge modela a la empesa aseguadoa. Esta discusió cotiúa hoy e día, peo bao u etoo muy difeete al de los años de Ludbeg: Los actuaios ya o tiee exclusividad e el campo de la Teoía de Pobabilidad, e icluso sus modelos so cosideados casos paticulaes de las matemáticas puas y aplicadas, ceadas si efeecias diectas al seguo. El actuaio busca ahoa la fomulació adecuada a sus ecesidades paa aplica las heamietas que ya se ecueta a la mao y so utilizadas e Hidáulica, Teoía Electóica y de Comuicacioes, Ivestigació de Opeacioes, Teoía Modea de Fiazas, Teoía de Juegos... Más aú, Boch (974) obseva que si los actuaios e 4
igeieos hubiea plateado sus poblemas de estudio co la suficiete popiedad matemática, había uido fuezas desde hace 5 años. Si embago, múltiples aspectos de la teoía se ecueta todavía e la actualidad e el campo estictamete teóico. Las publicacioes muesta pocos atículos sobe casos pácticos y el úmeo de estos que utiliza datos empíicos dismiuye. E cosecuecia, o so motivo de iteés paa el actuaio pacticate al o esolve los poblemas a los que se efeta cotidiaamete. A aíz del Pime Cogeso Iteacioal sobe Solvecia Aseguadoa e 986, se ha puesto de maifiesto que la becha ete los efoques fiacieos y actuaiales del seguo se está ceado. Las publicacioes subsiguietes eflea la búsqueda de alteativas a los efoques tadicioales del seguo. Asimismo la Teoía Geeal de Cotol de Pocesos, se evela como ua heamieta ideal paa su tatamieto diámico. 2 Esta es la situació actual de uo de los desaollos matemáticos más fasciates: ua especializació cotiua y a la vez ua ceciete afiidad co disciplias ates leaas. Al peseta la Teoía de Ruia desde el efoque de Laos Takács, se tata de maifesta pecisamete esa afiidad, esultado u tema paa el ivestigado iteesado e los poblemas de su tiempo. Capítulo Defiicioes El modelo colectivo busca epeseta e témios pobabilísticos el compotamieto de la eseva po iesgo de ua compañía de seguos, mateiedo u equilibio ete simplicidad y explicabilidad de los factoes que iteactúa co este fodo. Al mismo tiempo es u puto de patida paa el desaollo de modelos más completos y diigidos a u mayo coocimieto del egocio aseguado, que gia e too al cocepto de solvecia, más amplio que el de eseva e iesgo. Siguiedo los mismos supuestos simplificadoes utilizados po Ludbeg, paa obtee u modelo accesible se cosideaá que el potafolio de cotatos de seguo se matiee e u gado de balace que pemite modela el fluo de pimas como u moto costate po uidad de tiempo o al meos vaiable e foma detemiística. Además se utilizaá la misma distibució paa el moto de las eclamacioes duate todo el peiodo cosideado. No seá cosideados tato los gastos o diectamete elacioados al pago de los siiestos como aquellos igesos distitos al pago de pima (si ecagos po gastos). 3 Paa ua discusió sobe la iclusió de estos factoes véase Cummis y Deig (989). Comezaemos expoiedo el caso de seguos "odiaios", etediedo po estos los que cosiste e el pago de la aseguadoa al beeficiaio de ua suma aseguada e caso de pesetase la evetualidad pevista e el cotato, mediate el pago de la pima. A este tipo de cotatos se les deomia "de sumas positivas", paa distiguilos de otos seguos de difeete compotamieto y que se expodá posteiomete. 5
. Siiestos Agegados El Modelo Colectivo de Riesgo popuesto po Ludbeg supoe que e el itevalo de tiempo (,) las eclamacioes poveietes de u potafolio de pólizas ocue de acuedo co u λ u, u<, y la sumas pagadas po la compañía { } poceso de Poisso Nu ( ) de itesidad ( ) hasta el mometo u : X, X 2..., X N ( u ) so vaiables aleatoias mutuamete idepedietes e idéticamete distibuidas, así como idepedietes del tiempo e el que ocue las eclamacioes, co ua fució de distibució FX ( x) tal que F X ( ) =, es deci, el moto acumulado de las eclamacioes al tiempo u es ua suma aleatoia: Su = X X2... X N u () ( ) ( ) La distibució Poisso paa el úmeo de eclamacioes, esultado del estudio de Ludbeg sobe los supuestos de estacioaiedad e idepedecia del tiempo 4 es de uso geealizado e los textos y atículos sobe Teoía de Riesgo. Gebe (979) cosidea como alteativas las distibucioes biomial, biomial egativa y geomética, y se puede ecota e Seal (969, cap.2) ua discusió sobe la distibució a utiliza e fució de los datos históicos. El motivo esecial paa cosidea alteativas al Poisso suge de la vaiabilidad de la itesidad del poceso e el tiempo. Bead et. al. (969) sugiee además el uso de u poceso doblemete estocástico, dode la itesidad del poceso es a su vez u poceso aleatoio. Si embago, el popio Ludbeg popoe ua solució elegate paa tata la vaiabilidad e el tiempo: 2. Tiempo Opeacioal Al modelo fomulado e () se le deomia u Poceso de Poisso Compuesto o Homogéeo u, u (es deci, de itesidad vaiable), dode el úmeo de eclamacioes e u itevalo ( 2] u2 tiee ua distibució Poisso de paámeto λ( vdv ) y los icemetos sobe itevalos disutos so vaiables aleatoias idepedietes. De acuedo co esto, la pobabilidad de que al tiempo u exista exactamete eclamacioes es: (2) exp λ( ) u vdv u λ( vdv )!, paa =,2,3,... Este poceso puede, bao la siguiete tasfomació e la escala de tiempo t t( u) foma de u poceso de itesidad costate: = λνdν, λ>. λ (3) t ( ) u u =, toma la 6
La expesió (2) toma la foma: (4) e λt ( λt)! Así el poceso sobe el tiempo opeacioal t, deotado po S ( t) ' seá u Poceso de Poisso Compuesto Homogéeo de itesidad λ, lo que sigifica que el moto total de las sumas pagadas po cocepto de eclamacioes seá u poceso estocástico co icemetos estacioaios e idepedietes, y cuya fució de distibució se deduce de la Ley de Pobabilidades Totales de la siguiete foma: [ () ] () [ ] [ ] N' ( t) () 2 = PS ' t x = PN ' t = PX X... X xn ' t = [ ] (5) '() t λ = PS t x = e ( λt)! F * X ( x) * Dode F ( x) X deota a la eésima covolució de F ( x) X. El tiempo opeacioal pemite peseta la teoía e foma más elegate, peo esecialmete es ua heamieta muy podeosa e la estimació de la distibució de S, pues emplaza el coocimieto detallado de la costitució y pospectos del potafolio de pólizas, co ua estimació del úmeo espeado de eclamacioes duate el peiodo futuo e cosideació. 5 { } E lo sucesivo y po secillez e la otació, se etedeá que los pocesos () desaolla e la escala de tiempo opeacioal. { } St y ( ) Nt se 3. El Modelo Colectivo de la Reseva po Riesgo. E el caso e que 6 (6) p = xdfx ( x) exista, etoces el moto espeado total de siiestos pagados po la compañía e (,t ] seá: (7) E{ S() t } pt = λ Que es pecisamete la pima po iesgo calculada co el picipio del valo espeado. E el caso de aplica u ecago de seguidad b, la pima po iesgo acumulada seá: (8) ( λp b) t, co b>. 7
Si además: = 2 2 (9) σ p ( x p ) df X ( x) etoces la vaiaza del moto total de siiestos pagados po la compañía seá: () Va{ S() t } = σ 2 t dode σ 2 2 2 = λ( p σ p ) Y la eseva po iesgo al tiempo t: () () ( ) λ ( ) Rt = R ( p bt ) St, t< ; (2) () () si c = λ ( ) Rt = w ct St, t< ( p b), R = w. Ua ealizació de este poceso se puede ilusta gáficamete de la siguiete foma: R(t) w Dode la eseva se icemeta a la tasa y dismiuye po los motos de las eclamacioes. Al aplica este modelo (como cualquie oto), se equiee asiga valoes uméicos a sus paámetos y detemia valoes iiciales paa sus vaiables a aaliza. Su obteció a pati de estadísticas y expeiecia dispoibles se ealiza mediate pocedimietos de estimació que o so abodados e esta tesis y so pesetados po eemplo e Basawa y Pakasa (98). Los poblemas causados po el descoocimieto cieto de los paámetos debe se, si o cosideados e el modelo explícitamete, sí tomados e cueta como u facto subyacete de ga impotacia: No seá útil aplica técicas muy avazadas paa loga esultados pecisos si los datos oigiales o so adecuados o suficietes. La elecció de los efoques y apoximacioes cosistetes co el poblema a tata es ua labo cotidiaa de la pofesió actuaial. t 8
4. Sumas Negativas de Riesgo Existe cotatos de seguo co compotamietos difeetes e la eseva po iesgo. Paa modelalos basta cambia el sigificado de las vaiables cosideadas e el modelo oigial como e el siguiete eemplo: Cosidéese u egocio de pesioes e el cual la compañía paga al aseguado ua eta vitalicia a cambio del pago de la pima. Sea u potafolio de pólizas como las aiba descitas y cuyas sumas aseguadas cotatadas (valo de las aualidades) tiee ua distibució e cualquie mometo igual a ua muesta aleatoia de ua distibució F( ). La istitució paga a los aseguados a ua tasa p b, b>, dode p es el valo espeado de F( ) y b es u ecago a favo de la istitució. La cueta que eúe las pimas etas pagadas tambié egistaá ua distibució F( ) paa dichas pimas y e caso de fallece uo de los aseguados, la pima eta de su cotato igesaá a la eseva. Deótese po S(t) las pimas acumuladas hasta el mometo t que igesao mediate este mecaismo a R(t). Co estas cosideacioes podemos costui la fómula de la eseva de este seguo: Rt () = w ( p bt ) St (), que es el modelo oigial co p <, b<, Xi < i e itesidad uitaia. La cosiguiete ealizació de este poceso tiee como epesetació gáfica: R(t) w t 5. El eveto de Ruia Se etedeá po uia el eveto e el cual la eseva po iesgo toma u valo egativo. Sea { } (9) T ífimo t R() t w = < el tiempo e que ocue la uia. 9
E el caso e que Rt (), paa toda t, la uia uca ocue y se deota T w =. 6. Pobabilidad de uia ates del mometo t Deótese po ψ ( wt, ) la pobabilidad de que R ( ) tome u valo egativo ates del tiempo t, es deci: () ψ ( wt, ) PT [ w t] () ( ) = < o tambié ψ ( wt, ) = P sup[ Su cu] > w u t Sea la pobabilidad del eveto complemetaio: (2) U ( wt, ) = ψ ( wt, ), llamada simplemete la pobabilidad de o uia. 7. Pobabilidad de uia evetual A la pobabilidad de que Rt () tome e algua ocasió u valo egativo, se le llama pobabilidad de uia evetual y es ua cota supeio paa ψ ( wt, ): (3) ψ ( w) límψ ( w t) =, o tambié (4) ( ) t ψ ( w) = P sup[ S u cu] > w u Y el eveto complemetaio seá: (5) U ( w) = ψ ( w). { } Es impotate señala que c p Rt tedá ua tedecia que cece si cota paa t, peo la peguta es si lo hace si toma amás u valo egativo. > λ, implica que cualquie ealizació del poceso ( ) 8. Cambio de uidad moetaia E lo que sigue de esta exposició seá coveiete escoge ua uidad moetaia tal que c =. Las fómulas de pobabilidad de uia esultates seá: ψ ( wt, ) = P sup[ Su u] > w u t (6) ( )
ψ ( w) = P sup[ S u u] > w u (7) ( ) Tato la pobabilidad de uia como la pobabilidad de uia evetual so medidas sobe los efectos desfavoables de la fluctuació de la eseva po iesgo, supoiedo al igual que el modelo sobe el que se defie, ua estabilidad de codicioes sobe los iesgos cubietos e cuato al moto de las eclamacioes y sobe todo que el egocio de seguo cotiuaá duate el peiodo de iteés. Es evidete que e cualquie mometo la admiistació de la compañía puede toma cotol de este poceso. Esta situació debe dea clao que se tata de ua idealizació matemática o equivalete a la isolvecia de la aseguadoa e la vida eal, peo que pemite al actuaio ua oció del gado de iesgo al que se expoe. Capítulo 2 Revisió de la Liteatua de Ruia La Liteatua de Ruia, co más de u siglo de atigüedad, se ha acumulado ápidamete, co éfasis e difeetes aspectos de la teoía, depediedo del gado de evolució de los coceptos actuaiales, la tecología y las teoías matemáticas ivolucadas. E este capítulo se pesetaá úicamete las cotibucioes más impotates, paa ua meo apeciació de la metodología de Takács.. La Teoía Clásica de Ruia La oció de "iesgo" Los efectos egativos de las fluctuacioes de la eseva e iesgo debe se efetados po las compañías de seguos y esulta atual que e la liteatua actuaial se ecuete umeosos itetos po defiilas, medilas y toma pevisioes adecuadas paa su cotol. La mayo pate de los atículos y textos e legua iglesa, ete ellos Boch (974) p. 263, atibuye a Tetes la pime defiició matemática del iesgo iheete a estas fluctuacioes e su atículo: "Eileitug zu Beechug de Leibete ud Awatschafe" de 786. Tetes defie este cocepto de la siguiete maea: Si el cotato cube ua pédida aleatoia X co fució de distibució Fx ( ), cuya pima po iesgo es p = xdf( x) motivo de este cotato po pate de la aseguadoa seá ( x p ) df( x). p, etoces el iesgo Más adelate, Hausdoff e 897 ealiza u estudio detallado de la desviació estáda σ, co = σ 2 2 ( ) ( ) x p df x como medida alteativa. 7 La pobabilidad de uia e el modelo clásico
Co el efoque de Hausdoff, el iesgo de u potafolio de pólizas idepedietes co pimas, esulta de la suma de los iesgos de las pólizas p, p 2,... p y iesgos σ, σ 2,..., σ 2 2 2 idividuales: σ σ... σ. 2 La pimea expesió de la pobabilidad de uia se obtiee de esta defiició. Sea z el valo de la eseva po iesgo ua vez pagadas todas las idemizacioes del potafolio y w la eseva iicial costituida po la empesa pevia al pago de pimas. Po el picipio de equivalecia utilizado e el cálculo de la pima de cada cotato, su valo espeado seá ceo: Ez [ ] =. Co gade y las hipótesis usuales, z tedá ua distibució apoximadamete omal co 2 2 vaiaza σ = σ σ 2 σ 2 y la expesió.8 () ψ { } 2... x 2 w σ = < = = w 2 P z w σ π e 2 dx N 2 σ Deotaá la pobabilidad de que la eseva sea isuficiete paa hace fete a las obligacioes cotaídas. Es deci, la pobabilidad de uia. Co este ivel de la teoía (pevia a Ludbeg) ya es posible da u tatamieto más iguoso a opeacioes cotidiaas e la páctica actuaial: La pimea cosideació usualmete es supoe que la pobabilidad de uia debe mateese debao de cieto ivel, que epeseta el máximo aceptable. Si el valo de w es ta pequeño que la pobabilidad de uia excede este ivel, la compañía debe obtee capital adicioal o establece u cotato de easeguo que gaatice la viabilidad del egocio, es deci, que eduzca el iesgo y po ede la pobabilidad de uia. Ota opció esulta de ecaga la pima po iesgo, po eemplo, po u moto popocioal a la pima eta, así la pima po iesgo paa el cotato i seá ( θ) p i y el valo espeado de la eseva po iesgo Ez [ ] p= p p p 2 (2) ψ = θ p dode,...,, co la siguiete expesió paa la pobabilidad de uia (co gade): = w θp N σ El ivel máximo aceptable paa la pobabilidad de uia es cosideado ua vaiable exógea: Ua codició de solvecia que la compañía debe satisface paa cotiua co las opeacioes de seguo. U eemplo de esta situació lo popocioa el sistema de mágees de solvecia de la Comuidad Ecoómica Euopea. 9 Al asumi el valo ψ como dado, y co w costate (al meos duate u peiodo coto) el poblema se puede coceta a detemia el valo óptimo de θ. Paa ello es ecesaio fomula los obetivos de la compañía y las codicioes del cotato de easeguo que podía obteese. De maea simila, se puede supoe θ costate (detemiado posiblemete e u mecado competitivo o po la egulació Estatal) y detemia el cotato de easeguo más adecuado paa la empesa. Eemplos de estas aplicacioes puede ecotase e Bowes et al. (986) y Boch (974). 2
2. Teoía Colectiva de Ruia El compotamieto de la pobabilidad de uia tato e tiempo fiito como ifiito ha sido ampliamete ivestigado o solamete po su iteés páctico, sio tambié po la dificultad que ivoluca el cálculo explícito de las expesioes desaolladas. 2. Pobabilidad de uia e tiempo fiito. Taylo y Buchaa (989) peseta ua expesió atibuida a Afwedso e 95 paa U ( wt, ) = ψ ( wt, ) como la solució a la ecuació difeecial: (3) (, ) Uwt (, ) c Uwt w w (, ) (, ) ( ) = Uwt Uw ytdfx x t La solució fue dada po el mismo Afwedso e 954, e témios de tasfomadas de F X = de la siguiete foma: Laplace supoiedo que ( ) Sea la tasfomada de Laplace-Stieltes: (4) M ( ) = e y df( y) w st (5) (, ) = (, ) ν s e dw e Uwtdt La solució paa ν(,) s es: (6) ν( s) dode = ρ () s X, = ρ () s, y la doble tasfomada de Laplace: [ s c M( ) ] es la úica aíz eal positiva de la ecuació: s c M =, s> (7) ( ) Así la obteció de las pobabilidades de o uia equiee la ivesió de la doble tasfomada de Laplace (5), que implica poblemas de cómputo discutidos po Seal(969). Seal (969) peseta ua fómula alteativa paa U ( wt, ) que evita las tasfomadas de Laplace y so atibuidas a Bees (96) e la liteatua de teoía de Colas. 3
La pobabilidad de o uia e el caso de eseva iicial ceo es: = ct (8) U(, t) F (, ) ct S x t dx Este esultado es utilizado paa evalua la pobabilidad de o uia e el caso de eseva iicial positiva: ( ) Uwt, = FS w ctt, cu, τ fs w ct τ, t τ dτ (9) ( ) ( ) ( ) ( ) dode f ( x t) t s, es la desidad de los siiestos agegados al mometo t. El uso de las fómulas (8) y (9) está limitado po su compleidad y su depedecia e ua foma fucioal específica paa F ( x) 2.2 Pobabilidad de uia evetual. X. La pobabilidad de uia e tiempo ifiito es más tatable matemáticamete y la liteatua es especialmete abudate sobe este tema. Cuado t, la ecuació (3) toma la foma: w cu w U w U w y df y () '( ) = ( ) ( ) ( ) dode U ( w) ' deota difeeciació. Y puede toma la foma alteativa Seal (969): w ( ) () ( ) ( ) ( ) [ F y ] Uw= U Ux y Y la tasfomada de Laplace aáloga a (5): υ e U w dw w (2) ( ) = ( ) (3) υ( ) = ( c ) c M( ) [ ] c dy Ua fómula más accesible es la siguiete, atibuida a Beekma y cuya deducció se puede ecota po eemplo e Bowes et al. (986). 4
{ } Sea el poceso de pédida St () ctt, el cual mide el exceso de eclamacioes agegadas sobe las pimas cobadas. Como hemos visto e el capítulo ateio, la fució de o uia es L= sup S t ct. { } la distibució de este poceso, es deci FL ( w) = U( w), dode () Cosideado los tiempos e que L egista pédidas acumuladas mayoes a las ateioes (pédidas écod), podemos descompoe L como: L= L L2... L N, dode N es el úmeo de veces que se egista ua pédida écod y es la difeecia e témios de pédida agegada ete los écods ( i ) e i. Basado e que N tiee ua distibució geomética y las L i so vaiables aleatoias idepedietes, idéticamete distibuidas e idepedietes de N, se obtiee la Fómula de Covolució de Beekma: θ θ (4) U w w ( ) * ( ) = ψ ( ) = θ H ( w) dode hy ( ) ( y) FX =, y >. p = Auque la ecuació (4) paece ofece u cálculo diecto de ψ ( w ), e la páctica su evaluació es extemadamete difícil salvo los casos e que la distibució del moto de las eclamacioes es expoecial o ua mezcla de expoeciales (véase Bowes et al. 986). Cuado FX ( x) está completamete detemiada, ψ ( w ) puede obteese mediate itegació uméica múltiple paa obtee H * ( w). Shiu (988) povee u estudio cuado los motos de las eclamacioes so eteos o egativos. Si embago es impotate ecalca que e la páctica o se tiee pefecto coocimieto de la distibució de motos, deado e vaias ocasioes fuea del campo de aplicacioes a esta fómula. Mediate la teoía de Matigalas, Gebe(979) peseta la siguiete fómula paa la pobabilidad de uia evetual: ψ w (5) ( ) RR ( t) = e [ Tw <] Ee Rw Dode R es el Coeficiete de Auste (ve expesió 2). E geeal o es posible ealiza la evaluació del deomiado de esta fómula. Este auto obtiee la pobabilidad de uia e los casos e que la distibució de motos es expoecial y e el caso w=. E Bowes et al. (986) p.363, se peseta ua expesió implícita: ( ) w (6) e ψ ( ) θp w dw= ( θ) p M X ( ) t 5
Se equiee etoces de ua ivesió paa obtee la pobabilidad de uia, lo cual úicamete fucioa paa cietas familias de distibucioes del moto de las eclamacioes, como la mezcla de expoeciales. Basado e los tabaos de Takács, Shiu(988) peseta dos fómulas paa ψ ( w ) paa el caso e que las X i toma valoes e los eteos positivos: (7) ψ ( w) (8) ψ ( w) dode: [( θ) ] aw θe = θ a = c λ = p y [ ] w k * c a( k w) e aw k ak e θ k= w = ak k = = k! [ ( )] * θe ck a k w =! * ck = P Xi = k. i= Se puede ecota e Seah (99) u aálisis sobe la aplicació de estas fómulas mediate pogamas eecutables e ua computadoa pesoal, esultado ua guía útil paa cosidea los poblemas de edodeo, desbodamietos de memoia y velocidad de covegecia de seies ifiitas. 2.3 Apoximacioes E vista de las dificultades paa evalua e foma exacta las pobabilidades de uia, ga pate de las ivestigacioes se ha dedicado a la obteció de apoximacioes pácticas. La más secilla y coocida de las apoximacioes paa la pobabilidad evetual de uia es: (9) ψ ( w) e Rw Dode R es llamado el Coeficiete de Auste (o Coeficiete de Ludbeg) y es la úica aíz positiva de la ecuació: c M =, c λ p (2) ( ) 6
Obsévese que la eseva e el mometo de uia, RT ( ) es obviamete egativa y e cosecuecia ( ) >. Utilizado la fómula (5) cocluimos que auque esta apoximació e RR T ψ w. es e geeal poco pecisa, sive como cota supeio de ( ) Bao u agumeto simila Bowes et al. (986) muesta ua cota ifeio paa la pobabilidad ( ) de uia:, dode m es la suma aseguada máxima a paga. e R w m La fómula (9) puede meoase, obteiédose la apoximació Camé-Ludbeg: 2 (2) ψ ( w) θp M R p e ' X ( ) ( θ) Rw Utilizado ua distibució gamma paa apoxima la distibució del moto de eclamacioes se obtiee la apoximació Beekma-Bowes de 969: θ [ ] (22) ψ ( w) G( w) dode Gw ( ) = w b y e Γ a a y/ b ( a) dy es la distibució gamma co paámetos: p 2 θ a = b 2θ p 2 p p 3 2 θ b = 3 p 2θ p 2 Recodado que p = E[ X ] Basado e los estudios de Gadell, Segedahl y Seal, Ramsay (992) idica que la apoximació (22) paece da esultados pecisos úicamete e el caso de eclamacioes expoeciales y que o es ta pecisa como la Camé-Ludbeg. El mismo Ramsay peseta ota apoximació páctica atibuida a De Vylde. Esta cosiste e Rt mediate u poceso más simple { } apoxima todo el poceso de la eseva po iesgo ( ) Rt () tal que { } () = ( θλ ) () Rt w p St 7
Dode λ es el uevo paámeto Poisso, St ( ) es el poceso de siiestos agegados geeado po motos de eclamacioes expoeciales i.i.d. co media p y el uevo ecago de seguidad es θ. Estos uevos paámetos se obtiee igualado los tes pimeos mometos: [ ] k [ ()] k () ER t = ER t, k = 23,,. Obteiédose: p p3 = 3p 2 θ = 2 pp 3θ 2 3p λ = 9 p 2 p 2 3 2 2 3 λ. Y la apoximació esultate es, como cabe espea, la pobabilidad de uia e el caso expoecial: (23) ψ ( x) wθ exp. θ p ( θ) Paa la pobabilidad de uia e tiempo fiito, se puede utiliza la apoximació de Camé que se puede ecota e Taylo y Buchaa (989): 3 ( γ w γ t) (24) ( ) ( ) ψ w ψ w, t = wt e 2 cuado wt, y w o( t) = y dode γ γ, so costates defiidas e foma implícita e témios de la distibució del moto de las eclamacioes. Nigua de estas fómulas es fácil de evalua: icluso la apoximació (9) equiee de esolve la ecuació (2); además es evidete a pati de esa ecuació que la apoximació (9) es válida solamete si MX ( ) existe. Embechts y Veavebeke (982) peseta u desaollo alteativo cuado esta tasfomada de Laplace-Stieltes o covege. E cualquiea de estas cicustacias se equiee el completo coocimieto de la distibució de motos. U efoque elativamete eciete y que ofece mayoes posibilidades es el pesetado e Goovaets et al. (99), dode se establece cotas paa esta pobabilidad mediate el Odeamieto de Riesgos. 8
Ifomació impotate sobe la elació ete la pobabilidad de uia y la distibució del moto de la eclamació puede apeciase eexpesado al coeficiete de auste: 2 p p p (25) R = O 2η p 2η p p p p p 3 2η 2 3 4 2η 2 3 9 2 p 2 2 Dode η = c y p = x df ( x) 2 X 2 2 2 2 2 2, y se aplica u cambio de escala tal que p =. De esta expesió Taylo afima e foma o iguosa esultados iteesates elativos a la apoximació (9): a) Debido a que R depede de los mometos alededo del oige después del cambio de escala tal que p =, etoces cada p puede eemplazase po p ates de p dicho cambio de escala. Esto implica que la apoximació (9) depede de la foma de la distibució de la eclamació y o de su localizació. b) U icemeto e h causa u icemeto e R y la pobabilidad de uia decece expoecialmete. c) El paámeto de la distibució de la eclamació que más ifluye e la pobabilidad 2 de uia es el coeficiete de vaiació ( p 2 ). Esto establece cieto ode de las distibucioes de eclamació: ua cola más pesada de la distibució implica ua pobabilidad evetual de uia mayo. d) Si h= etoces R= y ocue uia co pobabilidad. Oto tipo de apoximacioes suge del uso de técicas o paaméticas como el emuesteo paa apoxima la pobabilidad de uia evetual. El lecto iteesado puede cosulta Fees (986). Ua técica pometedoa peo sopedetemete poco utilizada es la de Mote Calo. Sobe este tema ua exposició muy completa se ecueta e Bead et al. (984) e impotates ecomedacioes paa su aplicació se expoe e Dufese y Gebe (989). 4 Capítulo 3 Teoemas de la Ua Las defiicioes (6) y (7) del pime capítulo, idica que obtee la distibució del supemo del poceso estocástico St () t coduce diectamete a la pobabilidad de uia. { } Takács (966) esuelve el poblema de obteció de la distibució del supemo e ua amplia gama de pocesos estocásticos mediate ua geealizació del Teoema Clásico de la Ua. La 9
ifluecia de este auto se extiede a umeosos textos y atículos sobe la Teoía de Ruia, siedo la exposició más completa del poblema y su solució. E esta secció se peseta el teoema clásico de la ua, así como su geealizació e implicacioes a las vaiables aleatoias itecambiables; mateial idispesable paa peseta fomalmete la solució al poblema de uia.. Teoema clásico de la ua. Teoema. Si e ua ua existe a votos paa el cadidato A y b votos paa el cadidato B, siedo a μ b y μ u eteo o egativo, etoces la pobabilidad de que duate el poceso de coteo el úmeo de votos egistados paa A sea siempe mayo a m veces el úmeo de votos egistados paa B es: a μb a b siempe que todas las fomas e que se puede da el egisto sea igualmete pobables. Este esultado, paa μ= se atibuye a J. Betad y data de 887, tambié e ese año É. Babie ecueta la expesió paa μ. E el mismo año D. Adé demuesta el caso μ= y hasta 924 A. Aeppli lo hace paa μ. La demostació de este teoema paa μ= es como sigue: Sea dos ugadoes, A y B, que paticipa e ua seie de uegos de aza. E cada uego, idepediete de los demás sucede sólo uo de los siguietes evetos: A gaa ua moeda de B co pobabilidad p ó B gaa ua moeda de A co pobabilidad (-p). Supogamos que A tiee u capital iicial de (a-b) moedas y B tiee u capital ifiito. Cuál es la pobabilidad de que A se auie e el (ab) ésimo uego? Paa esolve esto, obsevemos que la pobabilidad de que e el (ab) ésimo uego A haya pedido a uegos y B haya pedido b uegos es: a b p a b ( p) a. Además la pobabilidad codicioal de que A se auie e el (ab) ésimo uego, dado que e el (ab) ésimo uego A pieda a uegos y B pieda b uegos es 2
a b a b. Po tato, la pobabilidad buscada es: a b a b a b p a b ( p) a. Este esultado fue obteido e 775 po Lagage y Laplace, auque ya e 78 De Moive había plateado el poblema y su solució peo si povee ua demostació. Veamos ua posible ealizació de este uego e dode (a-b)=5 y (ab)=5: 5 4 3 2 Capital de A uego Cosideemos ahoa los uegos e el ode cotaio, es deci, tomado el uego (ab), luego el (ab-), el (ab-2),... E itepetemos ua pédida paa A e el uego oigial como u voto a su favo y lo mismo paa B. La gáfica ivetida hoizotalmete muesta etoces los votos que el cadidato A lleva de vetaa co especto a B. Votos de vetaa de A co especto a B 5 4 3 2 uego 2
Etoces podemos obseva que tambié a b es la pobabilidad de que duate todo el a b poceso de coteo, el cadidato A tega siempe más votos que B. La heamieta matemática de Takács se basa e las siguietes geealizacioes del teoema de la ua: 2. Geealizació del Teoema clásico de la ua. 2. Caso disceto: Teoema 2. Sea k, k 2,..., k eteos o egativos tales que k, k 2,..., k. Ete las pemutacioes cíclicas* de k, k,..., existe exactamete -k paa las cuales la suma de los pimeos 2 k elemetos es meo que, paa toda =,2,...,. Demostació: Esta demostació se basa e Faah (994) 22. Es impotate señala que el texto oigial de Takács peseta ua icoecció, po lo que aquí se muesta la vesió coegida y completa de dicha demostació, fudametal paa etede la metodología de Takács. Sea k = k paa = 2,,... y sea φ = k k2... k, = 2 siguietes fucioes:,,... co φ =. Defíase las δ si i- φi > φ, paa i >, = de ota foma y ψ { i φ i } = if, > paa =,,2,... i Obsévese que las fucioes φ y ψ so o dececietes. La pimea pate de la demostació cosistiá e dos afimacioes especto de las fucioes ψ y δ : Po la mootoía de φ, se sigue que paa toda >i: φ φ φ φ. () ( ) ( i ) = ( i) ( ) ( i) i i Obsévese que e el caso paticula = i, la afimació > es equivalete a i >. Bao esta elecció la desigualdad () toma la foma: 22
( φ ) ( i φi) paa i >. Co esta desigualdad se puede afima: { z φ z> } ( φ ) ( i φ ) if, Es deci,, i >. z i (2) ψ ( φ ) ( i φ ), i >. i Si el lado deecho de (2) es vedadeo paa toda i ψ φ ψ (3) ( ) > e paticula lo seá paa ψ : Po (3) y la mootoía de ψ obteemos la pimea de las afimacioes: (4) ψ ψ La seguda afimació es la siguiete: (5) δ = ψ ψ Como ψ ψ { } Caso I:, solamete se tiee que poba los siguietes casos: Si δ = etoces, po defiició i φ > φ, i > y e paticula ψ > φ. ψ = if i φ, i > = φ, po lo que ψ ψ = Además { } i Si supoemos ahoa ψ ψ = ψ = φ < ψ i φ i, i > lo cual sigifica que δ =. Caso II: i. > etoces obviamete ψ ψ, lo cual sucede si y sólo si Si δ =, etoces existe ua s > tal que s φ s φ, lo cual implica que ψ = if { i φi, i > } = s φs y ψ = s φ s, pues de lo cotaio φ < s φ s ocuiedo ua cotadicció. Esto afima que δ = implica que ψ ψ = y vicevesa. Quedado así demostada la idetidad (5). 23
Paa temia co la demostació, distiguimos dos casos especto de φ : Caso I: φ. Paa cualquie = 2,,,... se tiee que ( ) φ = ( ) φ φ ( ) ( ) = φ φ φ lo cual implica que paa todo existe s tal que s Caso 2: φ = k <. δ = si y sólo si i φ > φ, i > lo cual es equivalete a: φ i φ < i, i > k k... k < i, i > 2 i i φ φ y po tato δ =, =,,... Po lo que la fució δ es ua idicadoa del eveto e que las sumas paciales de la pemutació cíclica de las k's: ( k, k 2,..., ki) se ecuete po debao del úmeo de sumados de dicha suma pacial. Po eemplo, = idica el eveto: k k... k < i paa todo i >. 2 3 i El caso = idica el eveto coespodiete a la pemutació cíclica que comieza co k k =. De esta foma la suma δ = pemutacioes está po debao del úmeo de sus sumados. Obsévese ahoa que ψ { s φ s } { s φ φ s s } φ if { φ, } = if, > = if, > = s s s> = φ ψ s Es deci, ψ ψ = φ. Po lo que la sumatoia se taduce e: s deota el úmeo de veces que las sumas paciales de esas 24
δ = δ δ 2 δ 3... δ = = ψ ψ ψ ψ... ψ ψ = ψ ψ = φ 2. Co lo que queda demostado el teoema. La fómula geeal paa los dos casos es: = = (6) δ ( φ ) dode ( x) = x si x y ceo de ota foma. U eemplo ilustativo de esta situació es el siguiete: ι κι φι ι φι ψι δι ψι ψι -2 2 2 - -2 2 2-2 3 2 4 - -2 4 5 - -2 5 5-2 6 6-2 7 3 9-2 - 8 9 - - 9 9-9 - 2-2 - 3 2 3-4 4-5 4-6 5-7 3 8-8 8 9 8 2 8 2 2 2 2 22 2 2 23 2 22 24 23 25 23 2 26 24 2 27 3 27 28 27 2 29 27 2 3 3 27 3 3 La epesetació gáfica de estas fucioes se muesta e la siguiete págia. 25
3 25 2 5 5 ι φι ι φι -5 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 ι 3 25 2 5 5 ι φι ψι ψι ψι -5 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 ι 3 25 2 5 5 ι φι ψι δι -5 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 ι 26
2.2 Caso de Paámeto Cotiuo: Teoema 3: Sea φ( u), u t ua fució escaloada o dececiete tal que ( ) Defíase φ( u), u [, ) mediate la expesió φ( ) φ( ) φ( ) Y a la fució δ como: δ ( u) Etoces δ ( u) ( ) φ( ) si v φ v u u paa v u = de ota foma ( ) φ( ) si v φ v u u paa v u = de ota foma φ u, u t. u t = u t, u. Debido a que esta demostació se ve otablemete simplificada supoiedo que existe u úmeo fiito de saltos e (,t ), se pesetaá pimeo este caso y a cotiuació la situació más geeal. Cabe señala que la siguiete demostació o apaece e la Liteatua, ya que es u eecicio paa el lecto, si embago os pemite ecooce los agumetos de Takács e ua foma muy accesible. Demostació cuado existe u úmeo fiito de saltos e (,t): El caso φ() t E el caso φ() t > t tivialmete se cumple. t se apeciaá la simplificació: { } Sabemos que ψ( u) = v φ( v) v u ψ () t ψ ( ) = t φ() t. Como ( ) itevalo (,t ) e subitevalos aeos e los cuales la fució ( ) if, es ua fució cotiua y o dececiete, y además φ u tiee u úmeo fiito de saltos, se puede sepaa el δ u tome los valoes y e foma alteada como se muesta e el esquema, que peseta los itevalos de u eemplo umeados del al 7. ψ(υ) ψ(t)-ψ(ο) t 2 3 4 5 6 7 27
Si δ( u ) = e uo de esos subitevalos, digamos e ( w, w2) etoces ψ ( u) u φ( u) todo u ( w, w ), po lo que: 2 ( w ) ( w ) = w ( w ) w ( w ) ψ ψ φ φ 2 2 2 Como φ( u ) o peseta bicos e ( w w ) etoces: (8) ψ( ) ψ( ) w w = w w 2 2 2 Si δ( u ) = e ( w, w ) etoces ψ( w ) ψ( w ) deseada: t w 2 ( ) ( ) ( ) ( ) w δ u du = δ u du δ u du δ u du... w 2 w w 3 2 = paa,, esta fució es costate e ese itevalo, =. Ahoa podemos calcula la itegal 2 Y todo se educe a ecota la logitud de los itevalos e los cuales δ( u ) =, peo (8) os idica que dicha logitud es igual a la difeecia ψ ( t) ψ ( ) y po ello: t ( udu ) () t ( ) t () t δ = ψ ψ = φ Co lo que temia la demostació. Demostació del caso geeal: Si φ() t Si φ() t > t, etoces δ( u) t, defiimos: { paa } ( ) φ( ) ψ u = if v v v u. Como φ( u t) = φ( u) φ( t), u, se tiee que u t φ( u t) = u φ( u) t φ ( t), u y etoces ψ u t = ψ u t φ t, u. ( ) ( ) ( ) La pimea afimació aáloga a (4) es: =, u y etoces el teoema es vedadeo. 28
(7) ψ ( ) ψ ( ) v u v u, u v. Esto poque ψ es ceciete y paa v u : ( ) φ( ) φ ( ) φ( ) ( φ ( )) ( v) v ( v) v u u ( u) v v u u v u v v v u u u ( ) ψ φ φ y e paticula ψ ψ ( v) v u ψ ( u) ( v) ψ ( u) v u. Esto idica que ψ ( u ) es moótoa o dececiete y absolutamete cotiua, po lo que ψ '( u ) existe e todo su domiio, salvo e u couto a lo más umeable. Además ψ '( u ) y t ( udu ) = () t ( ) = t () t ψ' ψ ψ φ. El siguiete paso seá demosta que ψ '( u) δ( u) umeable: Nótese que = paa toda u salvo po u couto a lo más a) δ( u ) = si y sólo si v φ( v) u φ ( u), v u y esto si y sólo si ψ ( u) u φ( u) b) ψ ( u) u φ( u) siempe es vedadeo. c) ψ '( u ) = paa casi toda u. I) Comezamos demostado que ψ '( u) δ( u) paa casi toda u: Ia) Si ψ '( u ) existe, y si ψ '( u ) =, etoces δ( u ) y queda demostado. Ib) Si ψ '( u ) existe, ψ '( u ) > y φ( u ) = φ( u) Si ψ '( u ) >, etoces ψ ( v) ψ ( u) ( ) φ( ) { } ψ u = if s s, u s v paa v> u. Etoces ( ) ( ) ( ), etoces: > paa v> u y po tato: u φ v ψ u u φ u, v > u y e paticula: ( ) ( ) ( ) u φ u ψ u u φ u, v> u. =. 29
Como φ( u ) = φ( u) etoces u φ( u) ψ ( u) u φ ( u), es deci ψ ( u) u φ( u) defiició se tiee que δ( u ) = y queda demostado. II) Ahoa demostaemos que ψ '( u) δ( u) paa casi toda u: IIa) Si δ( u ) = y ψ '( u ) existe, etoces ψ '( u ) y queda demostado. IIb) Si δ( u ) =, ψ '( u ) existe, ( ) D= u δ( u) =, u [, ) etoces demostaemos que ( ) { } =, y po φ' u = y u es u puto de acumulació del couto ψ ' u = : Supogamos u D, tal que u= lim u Po defiició del couto D : ψ ψ ( u) = u φ( u) ( u ) = u φ( u ) co u D u u,. Si ψ '( u ) existe y φ' ( u ) = etoces ( ) ( ) ( ) ( ) ψ ψ φ φ ψ '( u) lim u u lim u u u u = = u u u u φ( ) φ( ) ψ '( u) lim u u = = φ' ( u) = u u Y como { u } es u couto umeable, queda demostada la desigualdad. Las dos desigualdades pesetadas e I) y II) implica que ψ '( u) δ( u) = paa toda u salvo po u couto a lo más umeable. Esto temia la demostació del teoema. Capítulo 4 Fluctuacioes de Sumas de Vaiables Aleatoias E este capítulo se obtiee uevos esultados a pati de los teoemas 2 y 3 del capítulo ateio, co la fialidad de ecota expesioes paa la distibució del máximo de vaiables aleatoias, descubiedo la capacidad del método de Takács paa su obteció y pepaado el camio paa la geealizació de estos esultados a las fluctuacioes de ealizacioes de los pocesos estocásticos que os iteesa. Nótese que tato los teoemas como las demostacioes o so sio aalogías de los esultados básicos ya pesetados: tal es la elegacia del método de Takács. 3
Vaiables aleatoias cíclicamete itecambiables. Sucesió fiita de v.a. cíclicamete itecambiables Se dice que las vaiables aleatoias v, v 2,..., v so cíclicamete itecambiables si todas sus pemutacioes cíclicas tiee la misma distibució couta. Obsévese que si v, v 2,..., v so vaiables aleatoias idepedietes e idéticamete distibuidas so tambié cíclicamete itecambiables. Supógase que v, v 2,..., v puede toma valoes e los eteos o egativos, y v = v, =,...,. Sea las fucioes N = i= v i co N = y si i N > N paa i >, = de ota foma. δ i Al se v, v 2,..., v cíclicamete itecambiables, δ seá ua vaiable aleatoia co la misma distibució paa toda = 2,,,... Si δ = etoces N <, paa =,,..., po lo que teemos ua vaiable idicadoa de este eveto y podemos calcula su pobabilidad: { } { <, =,..., } = { <, =,..., } = EE{ δ N} P N E P N N = E E { N} δ = = EE { δ N } = Po el esultado (6) del capítulo 3 podemos simplifica esta última expesió como: { } [ ] EE N E N E N δ = = = Resumiemos este aálisis e el siguiete teoema: 3
Teoema 4 Sea v, v,..., vaiables aleatoias cíclicamete itecambiables que toma valoes e los 2 v eteos o egativos. Sea N = v N P{ N <, = 2,,..., } = E i= i paa = 2,,...,. Etoces Paa geealiza esta expesió a ua sucesió ifiita de vaiables aleatoias ecuiemos al cocepto de distibució límite y a la Ley Débil de los Gades Númeos..2 Ley Débil de los Gades Númeos: Si v, v 2,..., v,... es ua sucesió ifiita de vaiables aleatoias itecambiables, existe ua Gx tal que fució de distibució ( ) lim P N x G x = ( ) Si v, v,...,,... so vaiables aleatoias idepedietes e idéticamete distibuidas co 2 v media, etoces la distibució límite toma la foma: Gx ( ) dode si x < γ, = si x γ () γ = lim N e pobabilidad. 23.3 Sucesió ifiita de v.a. idepedietes e idéticamete distibuidas Ahoa bie, gacias al teoema de cotiuidad paa pobabilidades: 24 { < co = 2,,...} = { < co = 2,,..., } P N limp N Po defiició, paa toda fiita, v, v 2,..., v so vaiables aleatoias cíclicamete itecambiables, así que po el teoema 4 de este capítulo: P{ N < co =, 2,... } = lime N 32
N = γ e pobabilidad y al esta acotado Po (): lim [ ] N se afima que N lim E = γ [ ] Podemos esumi este esultado de la siguiete maea: Teoema 5 Sea v, v,...,,... vaiables aleatoias idepedietes, idéticamete distibuidas co media 2 v γ y que toma valoes e los eteos o egativos. Sea N γ, si γ <, P{ N < co = 2,,...} = si γ. 2. La Distibució del Máximo de { N } Teoema 6 v = i= v i paa = 2,,... Etoces: Sea v, v,..., vaiables aleatoias itecambiables que toma valoes e los eteos o 2 egativos. Etoces: (2) { ( ) < } = { < } PmaxN k PN k l P N = k, N = k l = l= { } paa k =, ±, ± 2,... Si k< etoces ambos lados so ceo. v Si e paticula v, v,..., so idepedietes e idéticamete distibuidas: 2 (3) { ( ) } { } PmaxN < k = PN < k N P{ N = k} E = 33
Demostació El lado izquiedo de (2) es: P{ N < k, = 2,,..., y N < k} = P{ N < k, = 2,,..., y N k } (4) = P{ N k } P N k paa algua = 2,,..., y N k Paa obtee el sustayedo de (4) defiimos: { } = max N k Etoces N = k y N < k paa =, 2,...,. Es deci, N N <, =,...,. Po el teoema 4 sabemos que: { <, =,..., =, = } P N N N k N N l l = Y mediate la Ley de Pobabilidades Totales se obtiee el sustayedo de (4). Obsévese que l = N N < y = 2 l, so l. Esto temia la demostació de (2).,,...,, po tato, los posibles valoes de ( ) Cuado v, v,..., so vaiables aleatoias idepedietes e idéticamete distibuidas 2 v { N = k N = k l} = { N = k} { N N = l} P, P P Peo N N = v,..., v tiee la misma distibució que v, v 2,..., v, pues las v i so P N N = l = P N = l itecambiables, etoces { } { } (2) es: y el sustayedo del lado deecho de = l= l P = P = { N k} { N l} 34
= l = P{ N k} P{ N = l} = = P{ N k} l= N = = y (3) queda demostado. Ua vez especificada la distibució del máximo del poceso { N }, ecotaemos su valo espeado paa el caso de vaiables aleatoias idepedietes e idéticamete distibuidas. 3. El valo Espeado del máximo de { N } Teoema 7 Sea v, v,..., vaiables aleatoias idepedietes e idéticamete distibuidas co media 2 v γ, que toma valoes e los eteos o egativos. Etoces { } [ = ] (5) E max( N ) Demostació 25 Como (6) ( ) = EN { } = { ( ) < } E max N P max N k k = El lado deecho de (6) es, po el teoema 6 l { } [ N = k N = k l] P < P, (7) [ N k] k = k = = l= Po el teoema 6, sabemos que paa k< los dos lados de la ecuació (2) so ceo, así que "sumamos ceo" a (7) paa obtee: k = l [ N k] [ N = k N = k l] P P, k = = l= { } [ N k] P max( N ) P < < k = y témio a témio se obtiee: 35
N E N E = (8) EN [ ] E [ ] N Nótese que EN [ ] E [ N ] = EN [ ] (9) = E[ N ] = γ = ( γ ) Aplicado (9) a (8) y utado el segudo y cuato témios: () ( ) γ E = N y aplicado uevamete (9): () ( ) E N E N γ = = E N = = = ( γ ) ( γ ) E N = ( γ ) ( γ ) = = E N [ ] = EN = = que es el lado deecho de (5), co lo que queda demostado. 4. Distibució del Supemo de { N } 4. Ua expesió explícita paa la distibució E esta secció se busca geealiza el teoema 6 a ua sucesió ifiita de vaiables aleatoias idepedietes e idéticamete distibuidas. Esto se loga mediate el siguiete teoema: 36