MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II PRUEB ESCRIT. BLOQUE: ÁLGEBR ECH: DE ENERO DE Prte I. Sistems de ecuciones lineles. Mtrices. Ejercicio. Resuelv el siguiente sistem de ecuciones, utilindo, si es posible, el método de Guss-Jordn: b Interprete geométricmente el sistem formdo por ls dos primers ecuciones del sistem nterior. prtir de l mtri mplid del sistem, l plicción del método de Guss-Jordn qued del siguiente modo: Por tnto, l solución del sistem es { },,. b Cd un de ls dos ecuciones represent un plno en el espcio tridimensionl, por lo que el sistem formdo por mbs se corresponde con l intersección de los mismos, por tnto, se puede deducir l posición reltiv de tles plnos. Según el desrrollo por el método de Guss-Jordn del prtdo nterior, el sistem formdo por ls dos primers ecuciones es equivlente l sistem formdo por ls ecuciones correspondientes ls dos primers fils de l tercer mtri del menciondo desrrollo, es decir, es equivlente l sistem, que, como está tringulrido, se observ que es comptible indetermindo con un grdo de indeterminción (dos ecuciones con tres incógnits. Por tnto, el conjunto de soluciones depende de un prámetro (, es decir, el conjunto de soluciones está formdo por infinitos puntos que constituen un conjunto de dimensión uno (un prámetro, es decir, el conjunto de soluciones, por tnto l intersección de los dos plnos, es un rect. Es decir, los dos plnos se cortn en un rect, formd por los puntos del conjunto de soluciones del sistem: Es decir, el conjunto de puntos de l rect en l que se cortn es,,
Ejercicio. En un residenci de estudintes se comprn semnlmente heldos de distintos sbores: vinill, chocolte nt. El presupuesto destindo pr est compr es de euros el precio de cd heldo es de euros el de vinill, euros el de chocolte euros el de nt. Conocidos los gustos de los estudintes, se sbe que entre heldos de chocolte de nt se hn de comprr el % más que de vinill. ( punto Plntee un sistem de ecuciones lineles pr clculr cuántos heldos de cd sbor se comprn l semn. b ( puntos Resuelv, medinte el método de Guss, el sistem plntedo en el prtdo nterior. El plntemiento del sistem es el siguiente: Si v número de heldos de vinill, c número de heldos de chocolte n número de los de nt, entonces l primer ecución es, obvimente, v c n, puesto que el totl de heldos que se comprn es. El precio totl se clculrí sumndo los productos de cd cntidd de heldos por su precio unitrio, por lo que de hí se deduce otr ecución: v c n. demás, l sum de heldos de chocolte nt NO ES EL % DE LOS DE VINILL, sino que si umentmos dicho porcentje los de vinill, se obtiene l sum de los de chocolte nt, es decir, l sum de estos dos últimos es el % % (es decir, el % de los de vinill, de lo que se deduce l tercer ecución: c n v, que se puede escribir como c n v, o bien c n Por tnto, el sistem qued: v c n v c n v c n b Lo hremos usndo l mtri mplid del sistem: Ejercicio. { v, c, n } v. v c n v c v c n c c n n n Es decir, se comprn heldos de vinill, de chocolte de nt. B X B Hlle l mtri X que verific, siendo. B X B X B B X B Vmos hllr, por tnto, en primer lugr, l mtri ( X B ( B por el método de Guss-Jordn:
Por tnto, l mtri invers de B es B,, entonces, l mtri X qued del siguiente modo: ( B X Prte II.Determinntes. Discusión de sistems de ecuciones lineles. Ejercicio. Discut el siguiente sistem, según los vlores de, resuélvlo por el método de Crmer, si es posible, pr : Clculemos el determinnte de l mtri del sistem pr determinr pr qué vlores de es nulo pr cuáles no.. Por tnto, si, lo cul es cierto si o. Por tnto, si es distinto de de, el determinnte de es distinto de cero, por lo que ( ( B rngo rngo, debido que el rngo de l mtri mplid no puede ser mor que. Como demás el sistem tiene ectmente incógnits, se tiene que en tles csos el sistem es comptible determindo (por lo que pr el sistem es de Crmer se puede plicr el método homónimo.
Pr, l mtri mplid qued del siguiente modo: ( B. Como l últim column es doble de l primer column, est últim no ument el rngo, como h un menor de orden distinto de cero (por ejemplo, ( ( B rngo rngo, por lo que, en este cso, el sistem es comptible indetermindo con grdo de indeterminción igul uno. Pr, l mtri mplid qued del siguiente modo: ( B, en l que, nuevmente, l últim column es doble de l primer, por tnto, no ument el rngo, por lo que, l hber un menor de orden no nulo (por ejemplo,, tenemos tmbién en este cso ( ( B rngo rngo, es decir, el sistem es comptible indetermindo con grdo de indeterminción igul uno. Pr, tenemos que, el sistem es comptible determindo, es decir, de Crmer, plicndo este método, obtenemos ls siguientes soluciones (sustituendo por el vlor :,, Ejercicio. ( puntos Determine si l mtri posee mtri invers,, en cso firmtivo, clcúlel medinte l mtri djunt., l mtri es regulr, por tnto, posee invers. Clculemos l mtri djunt de : Como ( dj ( dj t Luego l mtri invers de es Ejercicio. Discut, según los vlores de ls prámetros b, el siguiente sistem de ecuciones:
b Si l mtri del sistem es, su determinnte es nulo si. Por tnto, si, tenemos que el rngo de es como el rngo de l mtri mplid no puede ser mor que l tener sólo tres fils demás el sistem posee ectmente tres incógnits, tenemos que rngo( rngo( B número de incógnits, por lo que: Si, el rngo de esquin superior iquierd: sistem comptible determindo. es menor que, como tenemos menores de orden distintos de cero (por ejemplo l de orden de l mtri mplid ( B :, se deduce que rngo (. Vemos qué ocurre con los menores C C B b b b b. Este menor es nulo si sólo si b. C C B b b b b, que nuevmente es nulo si sólo si b. C C B b b b b 9, que, l igul que los nteriores, se nul pr b. Por tnto, si b tenemos rngo ( < rngo ( B sistem incomptible. b ( ( Si, tenemos que rngo rngo B en un sistem con incógnits, por lo que, en este cso se trt de un sistem comptible indetermindo con grdo de indeterminción igul uno. Prte III. Progrmción linel. Ejercicio. Dibuje el recinto de puntos del plno definido por ls siguientes restricciones: b Hlle los vértices del recinto nterior. c Clcule el vlor máimo de l función (,, sujet ls restricciones propuests en el prtdo (. En qué punto o puntos del recinto se lcn dicho vlor máimo? Despejndo l vrible en ls dos inecuciones primers en l tercer, obtenemos el sistem de restricciones equivlente:
Representndo ls rects de ls igulddes correspondientes, tomndo el semiplno inferior de l primer, el superior de l segund el de l iquierd l de l tercer, obtenemos l región (no cotd del dibujo. b Los vértices son los puntos de corte de cd prej de rects que delimitn l on nterior: (, ( B, No h un tercer vértice debido que l tercer combinción de rects se form por prlels, que no tienen ningún punto en común. c Un vector director de l colección de rects prlels k es (, que, un ve representdo me indic l dirección de tles rects. Como, hciendo (pr fijrnos en sus puntos de corte con el eje Y, l función tom el vlor, que será máimo pr el mor vlor posible de, pues está multiplicdo por, que es positivo, debemos tomr, de entre tods ests rects prlels l vector director, que toquen l on de restricciones, l que teng un punto de corte con el eje Y más lto. El vértice que está contenido en tl rect es el vértice, 9,., (, pr el que el vlor de l función es Ejercicio. Un orfebre fbric dos tipos de jos. Ls del tipo precisn g de oro, g de plt, vendiéndols euros cd un. Pr l fbricción de ls de tipo B emple, g de oro g de plt, ls vende euros. El orfebre tiene solo en el tller g de cd uno de los metles. Clcule cuánts jos h de fbricr de cd clse pr obtener un vent máim. Ls restricciones se obtienen de, llmndo l cntidd de jos del tipo e, l cntidd del tipo B, imponer ls condiciones de que no sen un cntidd negtiv que tnto el oro (, como l plt (,, no superen l cntidd de g. Es decir, ls restricciones son:
,, Despejndo en l primer e,, en l segund, se obtiene el siguiente sistem de restricciones equivlente: De este sistem se deduce que, un ve representds ls correspondientes rects, h que tomr, dentro del primer cudrnte, l región del semiplno iquierdo de l primer rect del semiplno inferior de l segund rect, quedndo un recinto cotdo como el del dibujo. Como es cotdo conveo, se puede hllr el punto en el que se lcn el vlor máimo de vent sustituendo los vértices en l función de vent observndo en cuál de ellos obtenemos dicho máimo. L función de vent es V, (, los vértices se obtienen hllndo los correspondientes puntos de corte:,,, B,, C, D, Vértice : (, Vértice B: ( Vértice C: ( Vértice D: ( L función de vent tom los siguientes vlores en los vértices: V (, V (, V (, V (, Por tnto el vlor máimo de vent se lcn fbricndo jos de cd tipo, obteniéndose en tl cso un vlor de vent de.
Ejercicio 9. En un grnj de pollos se d un diet "pr engordr" con un composición mínim de uniddes de un sustnci otrs de un sustnci B. En el mercdo solo se encuentrn dos clses de compuestos: el tipo I con un composición de un unidd de cinco de B, el tipo II con un composición de cinco uniddes de un de B. El precio del tipo I es de euros el del tipo II es de euros. Hlle ls cntiddes que se hn de comprr de cd tipo pr cubrir ls necesiddes con un coste mínimo. L tbl con el esquem de los dtos serí l siguiente: Sustnci Sustnci B Coste Tipo I Tipo II Sustnci mínim Si e son ls cntiddes, respectivmente, que se comprn de compuesto de tipo I de tipo II, ls restricciones son: C, ( L función de coste es. L región fctible que represent ls soluciones del conjunto de restricciones es l del dibujo (representndo el semiplno derecho de l primer rect el semiplno superior de l segund rect, siempre tomndo l prte que qued dentro del primer cudrnte. Est región es conve pero no cotd por lo que h que usr el método gráfico pr ver si se lcn el vlor mínimo de l función objetivo. Clculmos en primer lugr los vértices:,, B, C(, k k (,, o tmbién (,. Si nos fijmos en los puntos de corte con el eje Y, hciendo, observmos que el vlor mínimo de k debe lcnrse con el vlor de menor, pues est vrible tiene Vértice : (,,, Vértice B: ( Vértice C: L función coste tom los vlores, pr cd vlor de, obtenemos un rect, tods ells prlels entre sí, con vector director coeficiente, que es positivo, por tnto, cunto menor es, menor es tmbién.
Luego el vlor mínimo se lcn en el vértice (,,, C(,,,., con un coste en tl cso de Es decir, se deben comprr, uniddes de compuesto de cd tipo pr que el coste se mínimo, tomndo en tl cso el vlor de.