Defcó Número obtedo a partr del aálss de ua varable estadístca. Procedmeto de cálculo be defdo: aplcacó de fórmula artmétca Cuatfca uo o varos aspectos de la formacó (cofrmacó de tabla o gráfco) S calculados a partr de muestras se deoma estadístcos. S calculados a partr de ua poblacó, recbe el ombre de parámetros.
Tpos De tedeca cetral o cetraldad De dspersó De forma
De tedeca cetral Idca e toro a qué valor (cetro) se dstrbuye los datos. Meda Artmétca (poderada) Geométrca Armóca Moda Medaa
De tedeca cetral Meda artmétca El parámetro meda se re preseta por µ. El estadístco meda se deota como X Valor obtedo al sumar todos los datos y dvdr el resultado etre el úmero total de elemetos. X X N N 3...
De tedeca cetral Meda artmétca Ejemplo: peso (kg) 84, 9, 7, 68, 87 y 78 kg. El peso medo es
De tedeca cetral Meda artmétca Para varables dscretas agrupadas X 3 N 3 7 7 8 56 9 6 74... X N 30 7 0 3 8 48 3 3 96 33 3 99 34 34 X 944 3 30,45 3 944
De tedeca cetral Meda artmétca Varables cotuas agrupadas X... N L -, L [0, 0) 5 5 [0, 30) 5 8 00 [30,40) 35 0 350 [40, 50) 45 9 405 [50, 60 55 8 440 [60,70) 65 4 60 [70, 80) 75 50 4 80 3 3 X X N 80 4 43,33
De tedeca cetral Meda artmétca Observacoes Sólo para varables cuattatvas. Idepedete de la ampltud de los tervalos Sesble a valores etremos La suma de las desvacoes de todas las putuacoes respecto a la meda es gual a cero. Iflueca de u cambo de orge: s a todos los valores de ua muestra se le suma/resta ua costate c, la meda de la ueva muestra es gual a la meda de la muestra cal más /meos) la costate. Iflueca de u cambo de escala: s todos los valores de ua muestra so multplcados/dvddos) por ua costate c, la meda de la ueva muestra es gual a la meda de la muestra cal multplcada/dvdda por c.
De tedeca cetral Meda artmétca poderada Cuado o todos los elemetos tee la msma mportaca o preseta varacoes acumulatvas Para promedar porcetajes, tasas, úmeros ídces etc. CÁLCULO multplcar cada uo de los úmeros por u valor específco ( peso o poderacó represeta el úmero de veces que el valor de la varable es más mportate que el de otra). w k k w w
De tedeca cetral Meda artmétca poderada Vetajas: Itervee todos los valores de la dstrbucó. Los valores etremos tee meor flueca que e la meda artmétca. Icoveetes Cálculo complcado.
De tedeca cetral Meda geométrca Raíz N-ésma del producto de los valores G... Usada cuado los datos o varía lealmete su valor depede de varos factores a la vez. CÁLCULO: temperaturas de u proceso químco 4 4 3. 4. 8. 93. 6 7758. 7968
Estadístcos De tedeca cetral Meda armóca Datos: 3.,.8,.84, 3.05, 3.09, / / / H 09 3 05 3 84 8 3 5. /. /. /. /. / H 9703 6833 5 336 0 379 0 35 0 357 0 36 0 5.......
De tedeca cetral Moda Valor más frecuete El que más se repte E el caso de varables cotuas clase modal Se represeta por Mo Ej: dstrbucó, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo 4
De tedeca cetral Moda Casos partculares S todas las putuacoes tee la msma frecueca o hay moda. Ej:,, 3, 3, 6, 6, 9, 9 S dos putuacoes adyacetes comparte la msma frecueca máma promedo de las dos putuacoes adyacetes. Ej: 0,, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo 4
De tedeca cetral Moda S dos o más putuacoes o adyacetes tee la msma frecueca (máma) dstrbucó bmodal o multmodal Ej:,,, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo, 5, 9 Ojo, puede ser resultado de mezcla de poblacoes/muestras Icoveetes Parámetro poco represetatvo, salvo cuado es clara, por que o tervee todos los valores de la dstrbucó Úca medda de poscó cetral que puede obteerse e las varables de tpo cualtatvo
De tedeca cetral Moda Varables cualtatvas (omales y ordales) y cuattatvas dscretas Valor o valores co la máma frecueca 7 8 9 6 30 7 3 8 3 3 33 3 34 3
De tedeca cetral Moda Varables cotuas (datos agrupados) Caso A tervalos co la msma ampltud Mo L L - límte feror de la clase modal. úmero de casos de la clase modal. - úmero de casos de la clase medatamete feror a la modal - úmero de casos de la medatamete posteror a la modal a ampltud de cada clase Alteratva: ( ) ( Mo L ( ) a ) a
De tedeca cetral Moda Varables cotuas (datos agrupados) Caso A tervalos co la msma ampltud. Prmer paso clase modal? [66,69) L -, L [60, 63) 5 [63, 66) 8 [66, 69) 4 [69, 7) 7 [7, 75) 8 00
De tedeca cetral Moda Caso B tervalos tee ampltudes dsttas. º paso buscar clase modal º paso cálculo altura 3º paso aplcar fórmula Mo L h h a h ( h h ) ( h h a ) Alteratva: Mo L h ( h h ) a
De tedeca cetral Moda Los tervalos tee ampltudes dsttas. Calfcacoes (suspeso, aprobado, otable y sobresalete) de u grupo de 50 alumos. L -, L h [0, 5) 5 5/53 [5, 7) 0 0/0 [7, 9) /6 [9, 0) 3 3/3 50
De tedeca cetral Medaa No lgada al valor umérco de las observacoes so a su poscó relatva detro de los datos poscó cetral cuado está ordeados de meor a mayor Separa ua dstrbucó e dos partes guales valor que deja u 50 % de los datos a su zquerda y el otro 50 % a su derecha. Estadístco Me Sólo varables cuattatvas
De tedeca cetral La medaa Cálculo A partr de los datos ordeados de meor a mayor. El procedmeto depede del formato de los datos de la muestra: Datos orgales Datos agrupados
De tedeca cetral La medaa Cálculo (datos orgales) Número mpar de dvduos: putuacó cetral de la msma Me N 0,5, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Sedo N úmero de dvduos de la sere Número par de dvduos: promedo de las dos putuacoes cetrales Me promedo de N/ y N/ 7, 8, 9, 0,, Me 9,5
De tedeca cetral La medaa Cálculo para dstrbucoes dscretas Buscar prmer valor de N (frecuecas acumuladas) que guale o supere a CASO : o cocde co gú valor de la columa de las frecuecas acumuladas prmera observacó cuya frecueca acumulada supera dcho valor CASO : cocde co u valor de las frecuecas acumuladas meda etre la observacó que preseta dcha frecueca absoluta acumulada y la sguete.
De tedeca cetral La medaa Cálculo para dstrbucoes dscretas N 7 8 3 9 6 9 30 7 6 N 3 6,5 3 8 4 3 3 7 33 3 30 34 3 El prmer valor de N que supera 6.5 es 4 Me 3 3
De tedeca cetral La medaa Cálculo para datos agrupados (cotuas) Buscar el tervalo medao Prmer valor de N que guale o supere a Aplcar la fórmula Me L L - límte feror del tervalo medao N - frecueca acumulada ateror al tervalo medao a ampltud de la clase. La medaa es depedete de las ampltudes de los tervalos N N a
De tedeca cetral La medaa Cálculo para datos agrupados (cotuas) L -, L N 00 [60, 63) 5 5 [63, 66) 8 3 [66, 69) 4 65 [69, 7) 7 9 [7, 75) 8 00 Me L 00 Itervalo medao Prmer valor de N que guale o supere 50 65 Itervalo medao: [66, 69) N N 50 3 a 66 *3 4 00 67.93 50
De dspersó Iforma sobre cuáto se aleja del cetro todos los valores de la dstrbucó. Rago o recorrdo Rago o recorrdo Desvacó respecto a la meda Desvacó meda Varaza Desvacó típca
De dspersó Rago o recorrdo: Dfereca etre el mayor y el meor de los datos Cálculo secllo Sólo tee e cueta los valores etremos (cuato mayor sea la dfereca mayor el rago) pero o ecesaramete supoe cremeto de la dspersó
De dspersó La desvacó respecto a la meda Dfereca etre cada dvduo de la varable estadístca y la meda artmétca de toda la dstrbucó. D D La desvacó meda (absoluta) Meda artmétca de los valores absolutos de las desvacoes respecto a la meda. N 3... D N
De dspersó La desvacó meda Cálculo de la desvacó meda de la dstrbucó 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 8
De dspersó La desvacó meda Dstrbucó dscreta -X -X * 7 7 3,55 3,55 8 56,55 4,9 9 6 74,55 8,7 30 7 0 0,55 3, 3 8 48 0,55 4,4 3 3 96,55 4,6 33 3 99,55 7,6 34 34 3,55 3,55 3 944 40,5 X D 944 3 40,5 3 30,45,30
De dspersó La desvacó meda Dstrbucó cotua co datos agrupados D N D N 3 3... L -, L - X - X. [0, 5),5 3 37,5 9,86 7,858 [5, 0) 7,5 5 87,5 4,86,43 [0, 5),5 7 57,5 0,74 4,998 [5, 30) 7,5 4 0 5,74,856 [30, 35) 3,5 65 0,74,48 457,5 98,57
Estadístcos De dspersó La varaza Meda artmétca del cuadrado de las desvacoes respecto a la meda s (muestra); σ (poblacó) s (muestra); σ (poblacó) E forma resumda N σ... N σ N ) ( σ N b ) (... ) ( ) ( σ
De dspersó La varaza Cálculo: Datos 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 8
Estadístcos De dspersó La varaza Datos agrupados ) ( N σ... N σ N ) ( σ N b ) (... ) ( ) ( σ E forma resumda
De dspersó La varaza Varable dscreta (fórmula seclla) 7 7 79 8 56 568 9 6 74 5046 X 944 3 30,45 30 7 0 6300 3 8 48 7688 3 3 96 307 33 3 99 367 34 34 56 σ N 3 944 886 σ 886 (30,45) 3,67
De dspersó La varaza Varables cotuas (fórmula seclla) L -, L [0, 0) 5 5 5 [0, 30) 5 8 00 5000 [30,40) 35 0 350 50 [40, 50) 45 9 405 8 5 [50, 60) 55 8 440 4 00 [60,70) 65 4 60 6 900 [70, 80) 75 50 50 4 80 88050
De dspersó La varaza Datos agrupados (fórmula compleja) L -, L X ( X) ( X) * [0, 0) 5 5-8,33 80,8 80,78 [0, 30) 5 8 00-8,33 336, 688,89 [30,40) 35 0 350-8,33 69,4 694,44 [40, 50) 45 9 405,67,8 5,0 [50, 60) 55 8 440,67 36, 088,89 [60,70) 65 4 60,67 469,4 877,78 [70, 80) 75 50 3,67 00,8 005,56 4 80 983,33 80 X 983,33 43,3 σ 8, 65 4 4
De dspersó La varaza Propedades Sempre u valor postvo o cero (desvacoes elevadas al cuadrado). S a todos los dvduos de la varable se les suma u úmero la varaza o varía se multplca por u úmero la varaza queda multplcada por el cuadrado de dcho úmero S teemos varas dstrbucoes co la msma meda y coocemos sus respectvas varazas se puede calcular la varaza total. S tee el msmo tamaño: S tee dstto tamaño
De dspersó La varaza Observacoes Muy sesble a valores atípcos No epresada e las msmas udades que los No epresada e las msmas udades que los datos orgales (desvacoes elevadas al cuadrado).
Estadístcos De dspersó La desvacó típca (tpo o estádar) Raíz cuadrada de la varaza s (muestra); σ (poblacó) Smplfcado E muestras pequeñas N 30 se suele susttur el deomados por N- N σ... N σ N ) ( σ N b ) (... ) ( ) ( σ
De dspersó La desvacó típca Cálculo dstrbucó: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 8 σ
Estadístcos De dspersó La desvacó típca Para dstrbucoes cotuas ) ( N σ... N σ N ) ( σ N b ) (... ) ( ) ( σ
De dspersó La desvacó típca Cálculo para datos agrupados (fórmula seclla) L -, L [0, 0) 5 5 5 [0, 30) 5 8 00 5000 [30,40) 35 0 350 50 [40, 50) 45 9 405 85 [50, 60) 55 8 440 400 [60,70) 65 4 60 6900 [70, 80) 75 50 50 4 80 88050
De dspersó La desvacó típca Propedades Sempre u valor postvo o cero S todos los valores de la varable se les suma u úmero la desvacó típca o varía. se multplca por u úmero la desvacó típca queda multplcada por dcho úmero. S teemos varas dstrbucoes co la msma meda y coocemos sus respectvas desvacoes típcas se puede calcular la desvacó típca total. S tee el msmo tamaño S tee dstto tamaño
De dspersó La desvacó típca Observacoes Parámetro de dspersó absoluta: Cuato más altos los valores de partda, más alta la desvacó típca Cuata más pequeña mayor será la cocetracó de datos alrededor de la meda. Muy sesble a las putuacoes etremas.
Parámetros de dspersó El coefcete de varacó Relacó etre la desvacó típca y la meda Se epresa e porcetajes CV σ 00 Permte comparar las dspersoes de dos dstrbucoes dsttas, sempre que sus medas sea postvas A mayor coefcete de varacó mayor dspersó
Putuacoes Putuacoes típcas Resultado de dvdr la desvacó respecto a la meda etre la desvacó típca (tpfcacó) Se utlza para comparar las putuacoes obtedas e dsttas dstrbucoes (parámetro de dspersó relatva Se represeta por Z Z σ
Putuacoes Putuacoes típcas Observacoes La meda artmétca de las putuacoes típcas es 0 La desvacó típca de las putuacoes típcas es Admesoales depedetes de las udades utlzadas
Putuacoes Putuacoes típcas X ( X ) z 3,65-0,64 4 0,08-0,4 5 0,5 0,4 σ X 30 7 44,3 7 4,8,5 0,79 -,44 Para 3 (prmer caso) 5, -,04 6,93 0,54 9,,74 30 Z σ 3 4,8,5 0,64
De poscó (estructura) Dvde u cojuto de datos e grupos co el msmo úmero de dvduos So: Cuartles: dvde la sere de datos e cuatro Cuartles: dvde la sere de datos e cuatro partes guales Decles: dvde la sere de datos e dez partes guales Percetles: dvde la sere de datos e ce partes guales
Meddas de poscó (estructura) Los cuartles Tres valores que dvde u cojuto de datos ordeados e cuatro partes guales. C, C y 3C valores correspodetes al 5%, al 50% y al 75% de los datos. C medaa.
Meddas de poscó (estructura) Obtecó cuartles Ordear los datos de meor a mayor Buscar el lugar que ocupa cada cuartl Número mpar de datos, 5, 3, 6, 7, 4, 9 Número par de datos, 5, 3, 4, 6, 7,, 9
De poscó (estructura) Cálculo de cuartles para datos agrupados Buscar la clase dode N > C k L k N N 4 a L - límte feror de la clase seleccoada N - frecueca acumulada ateror a la clase seleccoada frecueca absoluta de la clase seleccoada a ampltud de la clase
De poscó (estructura) Cálculo de los cuartles para datos agrupados Ejemplo L -, L N C [50, 60) 8 8 [60, 70) 0 8 [70, 80) 6 34 [80, 90) 4 48 C [90, 00) 0 58 [00, 0) 5 63 [0, 0) 65 65 3C
Meddas de poscó (estructura) Decles Nueve valores que dvde la sere de datos e dez partes guales Equvale a los valores correspodetes al 0%, al 0%... al 90% de los datos. D 5 cocde co la medaa D k L k N 0 N a
Meddas de poscó (estructura) Decles L -, L N [50, 60) 8 8 [60, 70) 0 8 [70, 80) 6 34 [80, 90) 4 48 [90, 00) 0 58 [00, 0) 5 63 [0, 0) 65 65
De poscó (estructura) Gráfco de caja y bgotes Proporcoa: dea tutva de la smetría de la dstrbucó de los datos Detecta valores atípcos Necestamos saber valores mímo y mámo, cuartles C (5% de los datos), C o medaa (el 50% de los datos) y 3C (75% de los datos) Rago Iter Cuartílco (RIC): (3C-C) Ls Límtes superor 3C.5*RIC Lm Límte feror C-.5*RIC Atípcos: < C-3*RIC y > 3C3*RIC
De poscó (estructura) Desvacó cuartílca L -, L N [50, 60) 8 8 [60, 70) 0 8 [70, 80) 6 34 [80, 90) 4 48 [90, 00) 0 58 [00, 0) 5 63 [0, 0) 65 65 DC 3C C 90,75 68,5,5
Meddas de poscó (estructura) Desvacó percetílca L -, L N [50, 60) 8 8 [60, 70) 0 8 [70, 80) 6 34 [80, 90) 4 48 [90, 00) 0 58 [00, 0) 5 63 [0, 0) 65 DP D D 0 58, 9 0 90 6,37 65
Meddas de forma Iforma la smetría de los datos respecto al valor cetral So Coefcetes de asmetría o de sesgo Coefcete de asmetría de Pearso As X Mo S As 3 ( X S Me) As < 0 As 0 As > 0 X Mo X Mo Mo X
Meddas de forma Iforma del grado de smetría de los datos respecto al valor cetral (forma aplastada o aputada de la campaa) So Coefcetes de asmetría o de sesgo Coefcete de asmetría de Fsher g S 3 k ( N X ) 3
Meddas de forma Coefcetes de asmetría o de sesgo Coefcete de secgo cuartílco (Bowley-Yule) SC ( Q Q ) ( Q Q ) 3 ) Q 3 Q
Meddas de forma Coefcete de aputameto o curtoss Ap 4 S k ( N X 4 ) Mesocúrtca Ap3 Leptocúrtca Ap > 3 Platcúrtca Ap < 3
Meddas de forma Iforma del grado de smetría de los datos respecto al valor cetral (forma aplastada o aputada de la campaa) So Coefcete de aputameto o curtoss
Meddas de forma L -, L X ( X) ( X) 3 ( X) 4 [0, 0) 5 0-7,5 540,3-4738,47 8599,5 [0,0) 5 5 75-7,75 575,3 796,80 4963,9 [0,30) 5 9 5-7,75 540,56-489,36 3467,5 [30,40) 35 40,5 60,75 36,69 307,5 [40,50) 45 8 360,5 00,50 4706,3 8050,0 [50,60) 55 4 0,5 980,5 44060,56 980347,5 40 30 6897,50-5968,5 875587
Estadístcos Meddas de forma 3,75 40 30 X 3 3, 40 6897,50 ) ( N S,4 40 875587 3,3 ) ( 4 4 4 N X S Ap k 0,7 40 5968,5 3,3 ) ( 3 3 3 N X S g k
Parámetros de cocetracó Cuatfca el grado de gualdad e el reparto de los valores de ua varable Idcadores del grado de dstrbucó de la varable Ídce de G Curva de Lorez
Parámetros de cocetracó Ídce de G: gresos per cápta
Parámetros de cocetracó Ídce de G I G k k ( ) p q p
Parámetros de cocetracó Ídce de G L - - L N p (N / ) * 00 u u * q (u / u ) * 00 p - q (0 50] 5 3 3 8,85 575 575,48 7,37 (50 00] 75 7 95 36,54 5400 5975 5,38,6 (00 50] 5 6 57 60,38 7750 375 35,33 5,06 (50 00] 75 48 05 78,85 8400 5 56,95,90 (00 50] 5 9 4 86,5 475 6400 67,95 8,0 (50 300] 75 8 3 89,3 00 8600 73,6 5,6 (300 350] 35 4 46 94,6 4550 3350 85,33 9,9 (350 400] 375 7 53 97,3 65 35775 9,08 5, (400 450] 45 5 58 99,3 5 37900 97,55,68 (450 500] 475 60 00,00 950 38850 00,00 0,00 60 65,5 38850 5,48
Parámetros de cocetracó Ídce de G I G k k ( ) p q p 5,48 65,5 0,93 Número etre 0 y 0 gualdad máma poca cocetracó desgualdad máma mucha cocetracó
Parámetros de cocetracó Curva de Lorez Represetacó gráfca de p e % (abscsa) y q e % (ordeada) Cuato más cerca de la dagoal, meor cocetracó/más homogeedad e la dstrbucó. Cuato más cerca de los ejes (parte feror), mayor cocetracó/meor homogeedad
Parámetros de cocetracó Curva de Lorez 0,0 00,0 80,0 q % 60,0 40,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 00, 0 p % 0, 0