57 Derivación e funciones trascenentes. Como en el caso e las funciones algebraicas eisten teoremas para erivar las funciones trascenentes como se muestra a continuación: Teoremas e erivación: Sean u y v funciones e, y sea c una constante que pertenece a los números reales. Entonces se cumple que:.. (ln u) = u (log u) = (u) e (u) u log 3. (a u ) = a u ln a (u) 4. 5. 6. 7. 8. 9. (e u ) = e u (u) (u v ) = v u v- (sen u) = cos u (cos u) = sen u (tg u) = sec u (ctg u) = - csc u (u) + ln u u v (u) (u) (u) (u) (v) 0. (sec u) = sec u tg u (u). (csc u) = csc u ctg u (u). u (arc sen u) = u 3. u (arc cos u) = u 4. u (arc tg u) = u 5. u (arc ctg u) = u u 6. (arc sec u) = u u u 7. (arc csc u) = u u
58 Ejemplo : Calcular la erivaa e la función f ( ) cos f ( ) cos sen sen cos sen f ( ) cos f ( ) sen Ejemplo : Calcular la erivaa e 3 f ( ) sen ln 3 3 sen cos f 3 cos ln 3 f ( ) sen ln f ( ) 3 cos Ejemplo 3: Hallar la erivaa e h ln Debemos utilizar la fórmula el proucto e funciones vista en el tema anterior: uv u v v u u v ln u ( ) h ln ln v (ln )
59 h ln h ln Ejemplo 4: Hallar la erivaa e h( ) sen Nuevamente usamos la fórmula el proucto. ( ) cos sen u u h v sen v cos cos sen h( ) cos sen h( ) sen Ejemplo 5: Hallar la erivaa e sen y cos u v v u u Utilizamos la fórmula el cociente: v v u sen u cos (cos )(cos ) (sen )( sen ) y v cos v sen cos cos sen cos Recorano que cos sen tenemos: y sec sec cos cos sen y cos y sec
60 Ejemplo 6: Hallar la erivaa e y sec Sabemos que sec cos, por lo que utilizamos la fórmula e la ivisión: u v v u u v v cos sen sen cos u u 0 0 y v cos v sen cos sen cos cos Utilizano las ientiaes: tan sen cos y sec cos y tan sec y sec y tan sec Este problema también se puo haber resuelto con la fórmula e la potencia n n u n u u y sec cos tenemos que: cos Si transformamos la función u cos u sen n Sustituyeno en la fórmula: y (cos ) ( ) (cos ) ( sen ) sen (cos ) sen sen y tan sec cos cos cos Ejemplo 7: Hallar la erivaa e cos y Para resolver este ejercicio utilizamos la fórmula el cociente u v v u u v v
6 u cos u cos cos cos cos 0 u sen cos sen cos v v Sustituyeno estos resultaos en la fórmula: y sen cos cos sen cos cos 4 y 3 3 sen cos cos 4 4 cos sen cos y y 4 cos sen 3 Ejemplo 8: Hallar la erivaa e y tg cos ln Usamos nuevamente la fórmula el cociente. u tan cos u tan cos tan cos tan tan sen u sec tan sen sec tan sen Por otra parte: v ln v
6 Sustituyeno en la fórmula: y y ln ln sec tan sen tan cos ln sec tan sen tan cos ln tg cos y ln ln sec tan sen tan cos y ln Ejemplo 9: Calcular la erivaa e la función y sin La fórmula e erivación es: sinu cos u u u sin cos cos u y sin y cos Ejemplo 0: Calcular la erivaa e la función y ln Utilizamos la fórmula e logaritmo natural: y u u
63 u u 4 3 3 y u 3 3 u y ln y Ejemplo : Hallar la erivaa e y lnsen Utilizamos otra vez la fórmula e logaritmo natural: y u u sin cos cos ctg u sin cos sin sin y ln sin ctg u Ejemplo : Calcular la erivaa e y 4 sin La fórmula que ebemos emplear es la siguiente: u u y a a lna u a 4 u sin u sin sin sin cos sin
64 sin sin sin y 4 4 ln 4 cos sin ln 4 4 cos sin y 4 sin ln44 sin cos sin y Ejemplo 3: Calcular la erivaa e y e Utilizamos la fórmula: u u (e ) e ( u ) u e e u y e e Ejemplo 4: Calcular la erivaa e y sinsin u sin cos sin cos cos cos sin u cos Utilizamos la fórmula: sinu cos u u y sinsin cos cos sin Ejemplo 5: Hallar la erivaa e ysec La fórmula e la secante es: sec u sec utan u u u u sec sec tan sec tan
65 sec y sec tan 3 Ejemplo 6: Calcular la erivaa e y sin La función también la poemos escribir como 3 fórmula e la potencia: u sin y sin por lo que utilizaremos la n n u n u u u cos cos cos 3 3 sin cos 6 cos sin y sin 3 6 cos sin Ejemplo 7: Calcular la erivaa e y sin y sin La función también se puee escribir e la siguiente manera: Se trata utiliza nuevamente la fórmula e la potencia: u sin n u sin sin cos n n u n u u sin cos sin cos cos sin cos sin
66 y sen cos sen Ejemplo 8: Calcular la erivaa e arc sin y arc sin u Aplicamos la fórmula: u u u u arc sin 4 arc sin y 4
67 Ejemplo 9: Calcular la erivaa e ln y arc tan arc tan u u u Usamos la fórmula ln u ln ln ln u ln ln arc tan ln ln ln ln ln ln ln ln y arc tan ln ln Ejemplo 0: Calcular la erivaa e y arc csc arccsc u u u u Aplicamos la fórmula u u
68 arccsc u y arc csc
69 Ejercicios A continuación se presentan iversas funciones y sus respectivas erivaas. Compruebe los resultaos en caa caso.. y sen cos y cos sen. y lncos y tg 3. 3 y sen y sen3 ln 3 cos 3 4. y e tg tg y e sec 5. y sen 3 y 6sen 3 cos 3 6. y sec ln y sec ln tg ln 7. sen y arc y 4 8. y arccos e y e e 9. y arctg para y 4 0. sen y para y cos sen
70 UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS I ALUMNO: SERIE # 9 Resuelva las siguientes erivaas usano los teoremas e erivación. Escriba únicamente sus resultaos en esta hoja con tinta azul. Anear los proceimientos en hojas blancas.. yln y 3. y sec3 4 y 3. y arc cos y 4. y arc tg ( 3 ) y 5. y 3 y 6. 5 y e y 7. y y 8. y arc sec y 9. 3 y arc csc y 0. 3 y cos y
7 UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS I ALUMNO: SERIE # 0 Resuelva las siguientes erivaas usano los teoremas e erivación. Escriba únicamente sus resultaos en esta hoja con tinta azul. Anear los proceimientos en hojas blancas.. y ln y ysen y. 3 3. y cos 3 3 y 4. y sen cos 3 y 5. tg y y sec 6. cos y e y 7. sen y y 8. y arc sen e y 9. y lnsen y 0. sec y ln csc y