RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 3º ESO

Transcripción

1 RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO (Mtemátics Pedietes de º de ESO) Deprtmeto de Mtemátics

2 Despcito y bue letr, que el hcer ls coss bie, import más que el hcerls. Atoio Mchdo

3 º de ESO IES Complutese Tem 1. Números eteros Resume El cojuto de los úmeros eteros es Z {...,, 1, 0, 1,,...}. Est formdo por los positivos y los egtivos. Los úmeros egtivos so los opuestos de los positivos; sí es el opuesto de +. Puede represetrse e l rect sí: Sum y rest Pr sumr dos úmeros e teros co el mismo sigo se sum los vlores bsolutos de mbos úmeros y se poe el sigo que teí los sumdos. Ejemplos: ) (+) + (+7) +10 b) (7) + () 1 Pr sumr dos úmeros co distito sigo hy que restrlos y poerle l resultdo el sigo que lleve el úmero myor e vlor bsoluto. Ejemplos: ) (+) + (7) (7 ) b) (6) + (+11) +(11 6) + Pr restr dos úmeros eteros hy que teer e cuet que: (+) ; () + Ejemplos: ) (+ 9) 9; b) (10) +10 Ejemplos: ) (7) (+9) (7) 9 16 b) (+6) (10) (+6) U sigo meos delte de u prétesis cmbi el sigo de todos los térmios que brc. Ejemplos: ) ( + ) + 6 b) ( + 7 1) Multiplicció y divisió. E todos los csos hy que teer e cuet ls regls de los sigos: [+] [+] [+] [+] [] [] [] [+] [] [] [] [+] [+] : [+] [+] [+] : [] [] [] : [+] [] [] : [] [+] Ejemplos: (+) (+) +1; (+7) () 1; () (+6) 0; (1) (9) +9 (+18) : (+) +6; (+1) : () 6; () : (+8) ; (8) : (7) +. Opercioes combids. El orde es el siguiete: 1) Prétesis; ) Productos; ) Sums. Ejemplos: ) 1 (9 ) 10 : () (7) b) (1 ) (9 ) 10 : [() (7)] : (+) Potecis de úmeros eteros. Se hce igul que co úmeros turles, pero hy que teer e cuet el sigo de l bse y si el expoete es pr o impr, cumpliédose: siempre positivo. Ejemplo: ; 81, si es pr. Ejemplo: 16., si es impr. Ejemplo:. Propieddes de ls potecis: m m m m 7 m m : b b : b : b Ejemplos: ) 18 b) ( ) c) : d) Ríz cudrd: Otrs ríces: b, > 0 b. Ejemplo: 1 1, pues 1 1. b, N b. Ejemplo:, pues. 6 1 Mtemátics º de ESO

4 º de ESO IES Complutese Tem 1. Números eteros Autoevlució 1. Represet e l rect rel los úmeros:, +, 1. Represet tmbié sus opuestos.. Hll: ) (+1) + (+7) () + () b) () () (+6) + (7) c) (7) (+8) + () (9) d) (+10) (+9) + (8) (7). Hll: ) () ( 6 + 9) b) (7 ) ( + 8 9) c) (1) : () () (+ 7 10) d) (+0) : () () (+6). Clcul: ) 1 + () 0 b) 1 ( ) c) () ( + ) ( 9 ) d) 6 + ( ) (+). Hll: ) 8 (9 ) + (1) : () b) 8 [(9 ) + (1) : ()] c) (8 ) [(9 ) + (1)] : () d) 8 [(9 ) + (1)] : () 6. Clcul: ) ( 1) : ( ) 1 : ( ) + b) () () 8 : ( 1 10) c) () ( + ) 1 : ( ) d) [() ( + ) + 1] : ( ) Mtemátics º de ESO

5 º de ESO IES Complutese 7. Clcul: ) b) c) d) 7 8. Clcul: ) ( ) ( ) : 6 b) 6 7 c) ( 1) ( ) ( ) d) 9 6 ( ) : 9. Hll: ) b) (+) ( ) c) (+1) 6 : ( 7) 6 d) (1) (+) + () () 10. Hll, si existe, ls siguietes ríces: ) ( 81) b) ( 9) c) ( 1600) d) ( 1)( ) 11. Hll, si existe, ls siguietes ríces: ) ( 81) b) ( 7) c) ( 1) d) 7 ( 18) 1. Hll, idicdo tods sus solucioes: ) 6 b) 8 c) 6 d) 6 6 Solucioes: 1.. ) +18. b) 1. c) 9. d) 0.. ) 1. b) +1. c) 9. d) +8.. ) 8. b) 1. c) +. d). ) 0. b) 1. c) +1. d). 6. ) +1. b) +. c) 17. d) ) 6. b) 81. c) 1. d) ). b) 6. c). d) ) +1. b). c) +6. d) ) +9. b) No. c) +0. d) ) +. b). c) 1. d) ) ±6. b). c) ±. d) o existe. Mtemátics º de ESO

6 º de ESO IES Complutese Tem. Divisibilidd Resume U úmero es múltiplo por otro b si l divisió de etre b es exct. (Los úmeros y b debe ser turles, uque el cocepto se extiede si dificultd los úmeros eteros). Tmbié puede decirse que b es divisor de. Si es múltiplo de b etoces b es divisor de, y vicevers. Todo úmero etero tiee ifiitos múltiplos, que se obtiee multiplicádolo por 0, 1, Todo úmero es divisor y múltiplo de sí mismo. El úmero 0 es múltiplo de todos los úmeros. El úmero 1 es divisor de todos los úmeros. Divisores de u úmero; úmeros primos U úmero puede teer vrios divisores Los divisores de 1 so 1,,,, 6, y 1. Si u úmero solo es divisible por sí mismo y por l uidd se llm primo. Ejemplos: ) Los úmeros 7, 17 o so primos. b) 8, 9 y 69 o so primos: 8 7; 9 1; 69. Descomposició fctoril de u úmero Descompoer u úmero e fctores es escribirlo como producto de lguos de sus divisores. Ejemplos: ) 7 6; o tmbié, b) Cudo todos los fctores so primos se dice que el úmero está descompuesto como producto de fctores primos. Ejemplos: ) 7 puede escribirse como: 7 7. b) Fctor de u úmero es cd uo de sus divisores. Fctorizr u úmero es escribirlo como producto de lguos de sus divisores. U úmero puede descompoerse fctorilmete de vris mers. U úmero puede descompoerse e producto de sus fctores primos de mer úic, slvo el orde de esos fctores. Ejemplos: Los úmeros 7 y 100 se h escrito más rrib como producto de fctores primos: ) 7 ; el orde o ifluye. 7. b) Criterios de divisibilidd Divisibilidd por. U úmero es divisible por si es pr. Ejemplos:, o 10 so múltiplos de. Los úmeros 1 y o so múltiplos de. Divisibilidd por. U úmero es divisible por si l sum de los vlores de sus cifrs e múltiplo de. Ejemplos: 99, 1 o 1 so múltiplos de, pues sus cifrs sum, respectivmete, 18, 6 o 9, que so úmeros múltiplos de. Los úmeros 1 o o so múltiplos de. Mtemátics º de ESO

7 º de ESO IES Complutese Divisibilidd por. U úmero es divisible por si termi e 0 o e. Ejemplos: 100, 0, 000 y 7 so múltiplos de. Máximo comú divisor y míimo comú múltiplo de dos úmeros Dos úmeros puede teer vrios divisores comues. El myor de ellos se llm máximo comú divisor: m.c.d. Ejemplo: Los divisores de 6 so: 1,,,, 6, 9, 1, 18 y 6. Los divisores de 8 so: 1,,,, 6, 8, 1, 16, y 8. Los úmeros 1,,,, 6 y 1 so divisores comues de 6 y 8. El myor de ellos es 1; este es el m.c.d. de 6 y 8. Se escribe: m.c.d.(6, 8) 1. Dos úmeros tiee ifiitos múltiplos comues. El meor de ellos se llm míimo comú múltiplo: m.c.m. Ejemplo: 100, 0 y 00 so múltiplos comues de 10 y de. Niguo de ellos es el m.c.m.(10, ), pues 0, que es meor que todos ellos, tmbié es múltiplo de mbos: m.c.m.(10, ) 0. Criterio pr hllr el m.c.d. y el m.c.m. de dos úmeros. Pr determir el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más úmeros se descompoe los úmeros ddos e sus fctores primos. El m.c.d. se obtiee multiplicdo los fctores primos comues mbos úmeros (e este criterio suele ñdirse co el meor expoete ). El m.c.m. se obtiee multiplicdo los fctores primos comues y o comues mbos úmeros (fectdos co el myor expoete). Ejemplo: ) Los úmeros y 6 se descompoe sí: ; 6 m.c.d.(, 6) 1. m.c.m.(, 6) 7. b) Pr 10 y : 10 ; m.c.d.(10, ). m.c.m.(10, ) 0. c) Los úmeros y o tiee divisores comues, slvo el 1: se llm primos etre sí. Su m.c.d. es 1; su m.c.m. es su producto. m.c.d.(, ) 1. m.c.m.(, ) 600. U plicció. E u crrer de Fórmul 1 uo de los coches (A) trd miutos e dr u vuelt l circuito; otro coche (B) trd mi, 1 s e dr l mism vuelt. Si sle de met l vez: ) Cuáto tiempo trd el coche A e doblr l coche B? (Doblr cosiste e lczrlo; e deltrlo viiedo desde trás). b) Cuáts vuelts hbrá ddo cd coche e ese mometo? Solució: ) Los coches coicide e los múltiplos comues de mbos tiempos, que debe expresrse e segudos: 10 s el coche A; 1 s el B. Como 10 y 1 m.c.m.(10, 1) 1080 s. b) E ese tiempo el coche A d 9 vuelts (1080 : 10 9) y el coche B d 8 vuelts (1080 : 1 8). Mtemátics º de ESO

8 º de ESO IES Complutese Tem. Divisibilidd Autoevlució 1. Clcul tres múltiplos y tres divisores, si los tiee, de cd uo de los siguietes úmeros: Múltiplos Divisores ) 0 b) 7 c) 16 d) 17. Idic cuáles de los siguietes úmeros so primos (si o lo so, d uo de sus divisores): ) 101 b) 100 c) 00 d) 009. Descompó e fctores primos los úmeros: ) 0 b) 10 c) 97 d) 60. A prtir de su descomposició fctoril, idic todos los divisores de: ) 6 b) c) 11 d) 71. Utilizdo los criterios de divisibilidd, idic pr los siguietes úmeros sus divisores primos meores que 1: ) 1 b) 600 c) 1008 d) 0. Clcul el máximo comú divisor y el míimo comú múltiplo de los siguietes úmeros: ) y b) y 6 c) 10, 0 y 80 d), 6 y 7 6 Mtemátics º de ESO

9 º de ESO IES Complutese 6. Hll todos los divisores comues de: ) 18 y b) 1 y 8 c) y 60 d) 9 y 7. Pr cd u de ls prejs teriores, hll los tres múltiplos comues más pequeños. ) 18 y b) 1 y 8 c) y 60 d) 9 y 8. Hll todos los múltiplos comues de,, y 7 meores que Cuál es el m.c.m. de esos úmeros? 9. Idic, justificdo tu repuest, si ls siguietes prejs de úmeros so o o primos etre sí. ) 1 y 0 b) 1 y c) y 1 d) y E ciert prd de utobús coicide, ls 8:00 h, los vehículos de tres líes diferetes, A, B y C. L líe A tiee u servicio cd 10 miutos, l líe B, cd 0 miutos, y l líe C, cd 1 miutos. A qué hor volverá coicidir los utobuses de ls tres líes e l slid? 11. Pr pvimetr u hbitció de,60 metros se dese empler bldoss cudrds. Cuáto medirá de ldo pr que el úmero de bldoss se míimo, si ecesidd de cortr igu? 1. E u cj hy u úmero idetermido de cics. Si se cuet de 7 e 7, de 8 e 8 y de 9 e 9, siempre sobr. Cuál es el meor úmero de cics que puede hber e l cj? 7 Mtemátics º de ESO

10 º de ESO IES Complutese Solucioes: 1. ) 0, 100 y 10;, 10 y. b) 7, 1 y 70; 6, 18 y 1. c), 8 y 6; 8, y. d) 17, y 1; 1 y 17: es primo y 00.. ) 0. b) c) , primo. d) 60. ) y 617. b), y. c), y 7. d),, y 7. ) y 17. b) 7 y 16. c) 10 y 0. d) 1 y ) 6,,, 1. b) 7, 1. c) 1,,, 1. d) ) 8, 96, 1. b) 8, 168,. c) 180, 60, 0. d) 07, 1, , 0, 60 y ) S. b) No. Divisor comú: 7. c) No. Divisor comú: 11. d) No. Divisor comú: miutos después, ls 9:00 h cm. 90 bldoss Mtemátics º de ESO

11 º de ESO IES Complutese Tem. Sistem de umerció deciml y sistem sexgesiml Resume El sistem de umerció deciml utiliz diez dígitos: 0, 1,,, 9. Diez uiddes de culquier orde form u uidd del orde imedito superior. U uidd de culquier orde se divide e diez uiddes del orde imedito iferior. 10 uiddes 1 dece; 10 deces 100 uiddes 1 cete. 1 uidd 10 décims 1 décim 0,1 uiddes 1 décim 10 cetésims 1 cetésim 0,01 uiddes 1 cetésim 10 milésims 1 milésim 0,001 uiddes. El sistem de umerció deciml es posiciol, que sigific que el vlor de u cifr depede de l posició que ocup e el úmero. Pr expresr ctiddes compredids etre dos úmeros se utiliz los úmeros decimles. Así, los úmeros etre y se desig por,1;,;,68 Ejemplo:, , + 0,00 + 0,00 Se lee: trescietos curet y cico uiddes y tresciets cutro milésims,0 + 0,0. Tipos de úmeros decimles Números co u úmero fiito de cifrs decimles:,6; 0,67; 89, Números co ifiits cifrs decimles periódics:, ;, Números co ifiits cifrs decimles o periódics:,01 Pr comprr dos úmeros decimles se cotrst cifr cifr comezdo por l izquierd. Así, y es obvio:, <,01 y,768 >,767 Los úmeros decimles puede represetrse e l rect uméric. Todo úmero represetdo l izquierd es meor que culquier represetdo su derech. Si u úmero tiee muchs cifrs decimles coviee dr u proximció por redodeo. Redoder u úmero cosiste e suprimir ls cifrs decimles prtir de u determido orde; si l primer cifr suprimid es myor o igul que se le sum 1 l últim cifr. El error cometido, que es l difereci etre el vlor rel y el vlor redodedo, es meor que medi uidd del orde que se proxim. Ejemplo: ) El úmero,789 se proxim cetésims por,7. El error que se comete es 0,0089 < 0,00 (medi cetésim). b) El úmero,78 se proxim cetésims por,7. El error que se comete es,7,78 0,00 < 0,00 (medi cetésim). Opercioes co úmeros decimles Sum y rest: pr sumr o restr úmeros decimles se coloc e colum hciedo coicidir los órdees de ls uiddes correspodietes. Multiplicció: se multiplic como si fuese eteros (si l com deciml); el úmero de cifrs decimles del producto es l sum de ls cifrs decimles de los fctores. Divisió: Se ñde ceros l derech l deciml que teg meos cifrs, hst igulr ls cifrs decimles de mbos úmeros. Pr obteer los decimles del cociete se poe l com y se sigue bjdo ceros e el resto, hst que se cosig el orde deciml desedo. (Si tiees duds pich AQUÍ). 9 Mtemátics º de ESO

12 º de ESO IES Complutese El sistem sexgesiml: medid del tiempo Es u sistem de bse 60: 1 hor 60 miutos 1 miuto 60 segudos 1 hor segudos. Pr psr de hors miutos se multiplic por 60. Pr psr de miutos hors se divide por 60. Pr psr de miutos segudos se multiplic por 60. Pr psr de segudos miutos se divide por 60. Ejemplos: ) h mi s 10 mi mi s s + 60 s + s s. b), h h + 0, h h, 0 mi. c) U hor y curto 1 h 1 mi 1, h 7 miutos. OJO! 1, o so 1 h y mi. Ejemplo: Pso de form icomplej complej Pr expresr, por ejemplo 897 segudos e hors miutos y segudos se divide sucesivmete por 60. El primer resto so los segudos; el segudo resto, los miutos; el cociete fil, ls hors mi hors s El sistem sexgesiml: medid de águlos Es u sistem de bse 60: U águlo completo mide 60 grdos: 60º. 1 grdo 60 miutos de águlo 1º segudos Pr psr de grdos miutos se multiplic por 60. Pr psr de miutos grdos se divide por 60. Pr psr de miutos segudos se multiplic por 60. Pr psr de segudos miutos se divide por 60. Ejemplos: ),6º º + 0,6º º 6 0,6º 0, b) : 60 c) : 60 0 º : 60 º y resto Por tto, 11 º Mtemátics º de ESO

13 º de ESO IES Complutese Tem. Sistem de umerció deciml y sistem sexgesiml Autoevlució 1. Escribe cómo se lee los siguietes úmeros: ) 0 b) 0,8 c) 0,8 d) 08 e),001. Escribe co úmeros: ) veite uiddes y treit y dos milésims b) cutrociets cico diezmilésims c) dos mil tresciets uiddes y quiiets veiticico ciemilésims d) siete ciemilésims. Orde de meor myor los siguietes úmeros:,08;,0;,;,189;,0;,01;,0. Itercl u úmero etre cd prej: ),9 < <,91 b) 7, < < 7, c) 0,01 < < 0,0 d), < <,. Redode cetésims: ),61 b),00 c) 9,69 d) 1,67 6. Aproxim ls uiddes: ) 1,09 b) 0,6 c) 90,78 d) 10,6 7. Reliz ls siguietes sums y rests: ),1 + 1, + 678,0067 c) 1,8 d) 0, 889,97 11 Mtemátics º de ESO

14 º de ESO IES Complutese 8. Multiplic: ),7, b) 9 0,09 c),01 7,0 d) 0,008 0,06 9. Divide: ) :, b),0 : 0,1 c) 0,8 : 0,0 d) 1,6 :,0 10. Expres e segudos: ) h b) mi c) h 6 mi d),6 h e) 17,8 mi 11. Expres e hors, miutos y segudos: ) 1000 s b) 7 mi c), h d) 00, mi 1. Expres e grdos, miutos y segudos: ),8º b) 1000 c) 0000 d) 00, 1 Mtemátics º de ESO

15 º de ESO IES Complutese 1. Hll: ) (º 7 9 ) + (6º 1 ) b) (º 7 9 ) (6º 1 ) 1. Pr ir de A B u cmite empleó, h y pr volver trdó 10, mi. Cuál fue el tiempo totl que ecesitó pr ir y volver? 1. Divide u águlo de 18,º e cutro prtes igules. D el resultdo e grdos, miutos y segudos. Solucioes: 1. ) dos mil cutrocietos cico. b) dosciets tres uiddes y ocho décims. c) treit y ocho cetésims. d) veite mil tresciets curet y ocho uiddes. e) tres uiddes y doce diezmilésims.. ) 0,0. b) 0,00. c) 00,00. d) 0, ,0 <,08 <,189 <,0 <, <,0 <,01.. ),90. b) 7,1. c) 0,0109. d),.. ),6. b),00. c) 9,6. d) 1, ) 1. b) 1. c) 91. d) ) 71,67. b) 11,. c) 1, ) 80,8. b),1. c) 1,10. d) 0, ) 7,. b) 0,. c),6. d), ) 700 s. b) 100 s. c) 960 s. d) 896 s. e) 1068 s. 11. ) 6 h 6 mi s. b) 76 h 1 mi. c) h 0 mi. d) h 0 mi s. 1. ) º 1. b) 16º 0. c) 8º 0. d) º ) 0º 9 1. b) 16º 7 1. h mi 6 s. 1. 7º Mtemátics º de ESO

16 º de ESO IES Complutese Tem. Frccioes (I) Resume U frcció suele cosiderse como l prte de u todo que h sido dividido e porcioes igules. Así, idic que se tom trozos de lgo que se h dividido e trozos igules. Es l prte colored e l figur. El úmero de rrib se llm umerdor e idic cuáts so ls prtes que se tom; el úmero de bjo se llm deomidor, e idic e cuáts prtes se h dividido l cos. Pr otrs iterpretcioes, vése, e est web, los Coceptos Básicos del Tem 7 de 1º de ESO. 6 Dos frccioes so equivletes cudo vle lo mismo. Así,. 1 Pr obteer frccioes equivletes u dd bst co multiplicr o dividir el umerdor y deomidor de es frcció por u mismo : úmero distito de cero. Esto es:. b b b : Simplificr u frcció buscr otr, equivlete ell, cuyos térmios se más secillos, más pequeños. Pr ello se divide los dos térmios etre el mismo úmero. U frcció que o se puede simplificr se llm irreducible. : 1 1 : Ejemplos: ). b) : :. 6 6 : : Reducció de dos o más frccioes comú deomidor Pr reducir frccioes comú deomidor se hll u úmero que se múltiplo de los deomidores; cotiució se busc frccioes equivletes ls dds pero co ese deomidor comú. U deomidor comú se obtiee multiplicdo los deomidores de tods ls frccioes. Auque se más costoso, se prefiere hllr frccioes co el meor deomidor comú, que se obtiee clculdo el míimo comú múltiplo de los deomidores. Ejemplo: Dds ls frccioes 8 y 1 7, ls equivletes ells co el mismo deomidor so, respectivmete, y. Esto es: y Si optmos por hllr el míimo comú múltiplo de los deomidores, mcm(8, 1), ls frccioes obteids será: y. Esto es: y. 8 1 (Como el deomidor 8 se multiplic por, 8, tmbié debe multiplicrse por el umerdor correspodiete: 9. Igulmete, como el deomidor 1 se h multiplicdo por, 1, tmbié su umerdor debe multiplicrse por : 7 1). Sum y rest de frccioes Si ls frccioes tiee el mismo deomidor: l frcció sum o rest es l que tiee por umerdor l sum o rest de los umerdores y por deomidor el comú Ejemplo: ). b) Si ls frccioes tiee distito deomidor: se reduce comú deomidor y se procede como tes Ejemplo: ). b) Mtemátics º de ESO

17 º de ESO IES Complutese Sum o rest de úmeros eteros y frccioes Si se escribe el úmero como u frcció co deomidor 1, l operció se reduce lgu de ls teriores. Tmbié puede plicrse directmete ls fórmuls: c d c cb ; c. d d b b Ejemplos: ). b). ) b) Multiplicció de frccioes L frcció resultte tiee como umerdor el producto de los umerdores y como c c deomidor, el producto de los deomidores. Esto es:. b d b d ( ) ( ) Ejemplo: ). b) Multiplicció de u úmero etero por u frcció L frcció resultte tiee como umerdor el producto del úmero por el umerdor; el c c deomidor será el mismo. Esto es: y c c. d d b b Ejemplos: ) 7. b) Divisió de frccioes L frcció resultte tiee como umerdor el producto del umerdor de l primer por el deomidor de l segud, y como deomidor, el producto del deomidor de l primer c d por el umerdor de l segud. Esto es, sus térmios se multiplic e cruz : b d b c ( 6) Ejemplos: ) :. b) : : ( 6) 66 Divisió de u úmero etero por u frcció y de u frcció por u úmero etero Escribiedo el úmero etero como u frcció co deomidor 1 l operció se hce c c d c como se h idicdo e geerl. Esto es: : : ; : c :. d 1 d c b b 1 b c 8 ( ) Ejemplos: ) : :. b) : ( ) : ( ) Prioridd de opercioes y uso de prétesis Cudo ls opercioes prece combids, primero se resuelve los prétesis, después ls multipliccioes y divisioes; por último, ls sums y rests Ejemplos: ) b) Mtemátics º de ESO

18 º de ESO IES Complutese Tem. Frccioes (I) Autoevlució 1. Reduce comú deomidor ls frccioes: ), 1, 6 1 (deomidor comú, 0) 1 0, 10 0, 0. b) 1, 1 7, 1 11 c),, d),, 7 1. Hll: ) b) c) d) Hll: ) b) 1 11 c) d) 7. Clcul y simplific: ) 1 1 b) 7 1 c) 1 1 d) : Hll, simplificdo el resultdo: ) b) c) 10 d) Mtemátics º de ESO

19 º de ESO IES Complutese 6. Clcul, simplificdo el resultdo: ) c) : : 1 1 b) : 0 d) : 7. Clcul: 1 1 ) b) c) : Clcul y simplific: ) 1 1 b) : 10 1 c) 1 7 d) 9. Clcul y simplific: 1 7 ) b) 7 c) Clcul: 1 ) 9 1 b) 9 1 c) : Mtemátics º de ESO

20 º de ESO IES Complutese Tem. Frccioes (II) Resume Apliccioes de ls frccioes pr resolver problems 1. Frcció de u ctidd Ejemplo: Cuáto so los 7 de 0 euros? Los de De otr form: 1 0 L sétim prte de 0 so 0 : 7 0 de Por tto, de Expresió de u prte como u frcció Ejemplo: E u crrer ciclist prticip 180 corredores. Si durte l crrer se retir corredores, qué frcció del totl de ciclist prticiptes termió l crrer? L crrer l termi ciclist. 1 L frcció correspodiete es: Obteció del totl prtir de l frcció Ejemplo: U depósito de gu h vcido los 8 de su cpcidd, lo que equivle 00 litros. Cuál es l cpcidd del depósito? 00 1 Si 00 litros so los 100 litros será de su cpcidd L cpcidd del 8 8 depósito será litros. 00 De otr form: L frcció debe ser equivlete l frcció, siedo C l 8 C 00 cpcidd totl del depósito. Luego Como C C Sum o rest de prtes de u cos Ejemplo: Durte dos dís cosecutivos u depósito de gu h vcido los 8 y los 9 de su cpcidd. Si iicilmete estb lleo: ) qué frcció de gu qued e el depósito?; b) si el depósito coteí 1000 litros, cuátos litros qued? ) Lo vcido es Lo que qued es b) Quedrá de 1000 litros 8, litros Mtemátics º de ESO

21 º de ESO IES Complutese. Multiplicció de prtes de u cos Ejemplo: Cuátos litros de gu se ecesitrá pr ller 00 botells de u quito de litro? Hy que multiplicr 00 por Divisió de u cos e prtes igules Ejemplo: U gto ecesit cd dí u rció de 9 de kg de u producto llmdo GtoVip. Cuáts rcioes diris se puede hcer co 0 kg de producto? 60 Hy que dividir 0 etre 0 : Prtes de u prte Ejemplo 1: U depósito de gu h vcido u dí los 8 de su cpcidd; l dí siguiete vcí 1 de lo que quedb. Si iicilmete estb lleo: ) qué frcció de gu se h vcido e los dos dís?; qué frcció qued e el depósito? b) si el depósito coteí 1000 litros, cuátos litros se h vcido? ) Primer dí. Se vcí Qued Segudo dí. Se vcí de Etre los dos dís se h vcido: Qued b) Se h vcido de 1000 litros 7000 litros. Ejemplo : U sltmotes slt tres veces seguids. El primer slto es de metros; el segudo es 8 7 l logitud del primero; y el tercero de l del segudo. Cuáto h sltdo e totl? Primer slto m Segudo slto: de m m Tercer slto: de m E totl h sltdo m,1 m Mtemátics º de ESO

22 º de ESO IES Complutese Tem. Problems de frccioes (I) 1. Pilr h leído 100 págis de u libro, lo que represet /7 del totl. Cuáts págis tiee ese libro?. Crlos está leyedo u libro. L primer sem lee /7 de ls págis, y l segud sem los / del resto. Si todví le qued 8 págis por leer, cuáts págis tiee el libro?. Se h roto los 8/1 de los huevos que coteí u cj. Si h queddo 7 huevos si romper, cuátos huevos coteí l cj?. Sr tiee 8 ; gst l quit prte e psteles, y l curt prte de lo que le qued e cromos de 0,0 cd uo. Clculr: ) El diero que gstó e psteles; b) El úmero de cromos que compró; c) El diero que le sobró.. Mrt llev 00 y Sr 1/ de los / de es ctidd. Cuáto diero llev Sr? 6. U recipiete está lleo de gu hst los / de su cpcidd. Si se sc l mitd del gu que cotiee: ) Qué frcció de l cpcidd totl del recipiete se h scdo? b) Si l cpcidd del recipiete fuer de 80 litros, cuátos litros quedrí e el mismo? 7. U fic se divide e tres prcels. L primer es igul los /7 de l superficie de l fic, y l segud mide l mitd de l primer. ) Qué frcció de l fic represet l superficie de l tercer prcel? b) Si l extesió de l fic es de 1000 m, cuál es l superficie de cd prcel? 0 Mtemátics º de ESO

23 º de ESO IES Complutese 8. U sexto de los de l esttur de Alici es igul 17 cm. Cuál es l esttur de Alici? 9. Tego diez kilos y medio de bomboes distribuidos e cjs de / kg cd u. Cuáts cjs tego? 10. E u bomboerí hy 10 cjs de bomboes. Si el peso eto de los bomboes de cd cj es de 1/ de kg, cuátos kilos de bomboes tiee e totl? 11. U cofitero h distribuido ocho kilos y curto de bomboes e bolss. Qué frcció de kilo cotiee cd bols? 1. Cuáts botells de de litro puede llerse co u grrf de litros? 1. Cuáts botells de 1, litros puede llerse co u grrf de litros? 1. Dos tercios de los lumos de u clse so chics. Si el totl de lumos so 7, cuáts chics hy e l clse? 1. E u clse hy chics por cd chicos. ) Qué frcció del totl represet ls chics? b) Si e l clse hy 1 chicos, cuátos lumos hy e totl? 16. U poste está clvdo e el suelo. L prte eterrd es 1/7 de su logitud. Si l prte visible mide 10 cm, cuál es l logitud totl del poste? Solucioes: ),60. b) 6. c) ) /. b) L. 7. ) 1/7. b) 8000, 000 y 000 m, respectivmete cm kg / kg / cm. 1 Mtemátics º de ESO

24 º de ESO IES Complutese Tem. Problems de frccioes (II) 17. El límite iferior de l zo de ieves perpetus e Espñ está, proximdmete, 000 metros. Sbiedo que l ltur del pico Mulhcé es los 9/ de este límite, cul es l ltur del Mulhcé? Qué ltur de este pico tiee ieves perpetus? 18. Jorge h comprdo u clculdor co los /7 del diero que teí, y u dicciorio co los / de lo que le quedb, si le h sobrdo, Cuáto teí l pricipio? 19. El bibliotecrio Pedro está registrdo todos los libros de l bibliotec. Y h registrdo los / del totl de libros. Si ú le qued por registrr l mitd del totl, más 800 libros, cuátos libros tiee l bibliotec? 0. U gricultor h visto cómo su cosech h dismiuido como cosecueci de u temporl de cutro dís de durció. El primer dí perdió 1/ de l cosech; el segudo, 1/ de lo que perdió el primero; el tercero, 1/ de lo que perdió el segudo; y el curto dí del temporl perdió 1/ de lo que perdió el tercero. Después de ests pérdids su cosech se vloró e 80. ) Qué frcció de su cosech perdió el curto dí? b) Cuál er el vlor de su cosech tes del temporl? c) Cuáto h perdido e los cutro dís? 1. Si el mismo gricultor dice que cd uo de los cutro dís del temporl perdió u tercio de l cosech que le quedb, hbrí teido ls misms pérdids?. U perso sle de comprs. Gst los /7 de su diero e el supermercdo, después 1/ de lo que le quedb e u tied de reglos, y, filmete gst l mitd de lo que le quedb e u libro de. Cuáto diero teí l slir de cs? Cuáto gstó e el supermercdo? Mtemátics º de ESO

25 º de ESO IES Complutese. Erique h comprdo 0 litros de ceite. Si los evs e botells de / de litro, cuáts botells ecesit? Cuál será el precio del litro, sbiedo que el vlor del ceite que cotiee cd botell es de,88?. Por qué frcció hy que multiplicr 0 pr obteer /8?. U torillo vz /10 de cetímetro cd vuelts. Cuáts vuelts deberá dr pr vzr, cm? 6. Se h cosumido los 7/8 de u bidó de ceite. Repoiedo 8 litros, el bidó qued lleo e sus / prtes. Clcul l cpcidd del bidó. 7. Por qué frcció hy que dividir 1/ pr obteer 8/1? 8. Cuál es el vlor de 1 kg de jmó si se vede 6,0 cd medio curto de kilo? 9. El precio de u biciclet se h rebjdo l décim prte. Si hor cuest 1, cuáto vlí tes? 0. He ddo ls dos tercers prtes del cmio, pero ú me qued 100 metros. Qué logitud tiee el cmio? 1. U grifo lle u depósito e 6 hors y otro e 1 hors. Qué frcció de depósito lle cd grifo e u hor? Cuáto tiempo trdrá e ller el depósito cd uo de los grifos?. U grifo lle u depósito e 6 hors y otro e 1 hors. Qué frcció de depósito ller etre mbos grifos durte 1 hor? Cuáto trdrá e ller el depósito etre los dos grifos? Solucioes: m. 80 m ) 1/81. b) 16. c) Aquí, 6/81; tes, 1/81.. 6,. 11, / L. 7. /8. 8. /kg m. 1. 1/6 y 1/1, respecti 6 h y 1 h, respecti.. /1. h. Mtemátics º de ESO

26 º de ESO IES Complutese Mtemátics º de ESO Tem. Potecis y Frccioes (III) Resume L poteci de u frcció tiee el mismo sigificdo que l potecició e geerl, y se cumple ls misms propieddes que e potecició co úmeros eteros. Propieddes de l potecició co úmeros eteros: m m m m m m : b b b b : : Poteci de u frcció. Defiició: b b b b... Propiedd iicil: b b. Tmbié se emple l revés: q p q p. Ejemplos: ) 1 8. b) c) Producto y cociete de potecis de l mism bse: m m b b b m m b b b : Ejemplos: ) ; b) 16 :. Poteci de u producto de frccioes: d c b d c b Ejemplo: Poteci de u cociete de frccioes: d c b d c b : : Ejemplos: : : 1 6 : 1 6 : 1. E este cso, coviee operr tes el prétesis: : 1. Poteci de u poteci: m m b b Ejemplo: 8. Poteci de expoete 0: 1 0 ; 1 0 b Ejemplos: ; Poteci de expoete egtivo: b b ; 1 ; 1 Ejemplos: ). b) c) 8 7.

27 º de ESO IES Complutese Números y potecis de bse 10 L poteci 10 equivle l uidd de orde de mgitud ; esto es, 1 seguido de ttos ceros como idic el expoete. Así: (uidd) (dece: orde de mgitud 1) (cete: mgitud ) (uidd de millr: mgitud ) Si se extiede est otció expoetes egtivos se tiee: ,1 (décim). 10 0,01 (cetésim) ,001 (milésim). 10 0,0001; ; 0, Por tto, culquier úmero etero o deciml, puede escribirse medite potecis de 10. Ejemplos: ) b) 68, ,0 + 0,09 + 0,008. Números muy grdes o muy pequeños Ls potecis de 10 fcilit l expresió de úmeros de muchs cifrs, decimles o o. E muchos de ellos, pr fcilitr l compresió de l ctidd coviee redoder. Ejemplos: ) Tmbié: 1, , b) 0, , Tmbié: 8, Frccioes y úmeros decimles. Al dividir el umerdor etre el deomidor se obtiee u úmero deciml. Por tto, u frcció puede cosiderrse como u úmero deciml. 1 Ejemplos: 0,6; 0,7;,; 0, ; 0, Y l revés, los úmeros decimles (co u úmero fiito de cifrs decimles o co ifiits cifrs decimles periódics) puede escribirse como u frcció Ejemplos: 0,78 ;, ; 0, Pr obteer l frcció equivlete (geertriz) u úmeros deciml periódico hy que multiplicr el úmero ddo por 10, 100,, segú coveg, fi de que l restr los úmeros se cosig elimir ls cifrs decimles. Ejemplo: Si el úmero es, Se escribe F, Se multiplic por 1000: 1000 F 67,6767 Se multiplic por 10: 10 F,6767 Se rest esos úmeros: 990 F Se despej F: F. 990 Los úmeros rcioles, so todos los que puede escribirse e form de frcció. Los úmeros rcioles so: los turles, los eteros, los decimles co u úmero fiito de cifrs decimles, y los úmeros decimles periódicos. Los úmeros decimles co ifiits cifrs decimles o periódics o so rcioles. Se llm úmeros irrcioles. Por ejemplo: 7, Mtemátics º de ESO

28 º de ESO IES Complutese Tem. Potecis y Frccioes (III) Autoevlució 1. Clcul: ) c) 1 1 b) d) 10. Hll: ) c) b) 0 d) Simplific: 1 ) 11 c) 1 b) 6 7 () 16. Simplific l máximo: 8 ) b) Clcul, simplificdo l máximo: ) ( + ) () b) Expres medite u sol poteci: ) b) 7 c) 1 ( 9) d) 7 6 Mtemátics º de ESO

29 º de ESO IES Complutese Mtemátics º de ESO 7. Clcul: ) b) 8 1 c) 8 : d) 1 : 1 8. Clcul, simplificdo l máximo: ) b) : c) 7 7 d) 1 : 9. Clcul: ) 10 1 b) c) Expres e fució de ls potecis de 10 ls siguietes ctiddes: ) b) c) d) 0, e) 0,000 f) 0, Expres e otció deciml ls siguietes ctiddes dds e fució de ls potecis de 10: ), b) 6, c) 10 d), Escribe como úmero deciml cd u de ls siguietes frccioes: ) 1 b) 7 c) 1 d) 7 1. Expres e form de frcció los siguietes úmeros decimles: ) 1,0 b), c), d),1 7

30 º de ESO IES Complutese Tem. (I) Proporciolidd Resume L rzó de dos úmeros y b es l frcció b. (Es su cociete, e el orde que se dice). Ejemplo: Si e u clse hy chics por cd chicos, l rzó correspodiete, chicschicos, es. L rzó chicoschics es. c U proporció es l iguldd de dos rzoes. Esto es, u iguldd de l form. b d Es iguldd idic que ls ctiddes y c so directmete proporcioles ls ctiddes b y d, respectivmete. Puede leerse sí: es b como c es d. Si dos mgitudes so directmete proporcioles, l rzó etre ls mgitudes correspodietes es l mism. Ejemplo: Ls mgitudes A y B, dds e l tbl djut, so directmete proporcioles. Por tto, tods ls rzoes que se form so igules; esto es: x y 60 k Tbl 1. Directmete proporcioles Mgitud A x 1 Mgitud B 1 0 y 60 k Propiedd: E u proporció, el producto de los extremos ( y d) es igul l producto de los medios (b y c). Esto es: d b c. Est propiedd permite ecotrr el vlor descoocido de uo culquier de los cutro térmios de l proporció, coocidos los otros tres. Ejemplos: ) De y 0 y. y b) E u frutero hy pers y mzs. L rzó persmzs es de. Si hy 1 mzs, cuáts pers hbrá? x L proporció que se obtiee es 1 x 6 x x 9. 1 Reducció l uidd e l proporciolidd direct: costte de proporciolidd E los problems de proporciolidd result útil sber cuáto vle B cudo A 1. Ese vlor se hll dividiedo el vlor de B por su correspodiete e A. (Dividiedo l rzó dd). Ejemplo: E l Tbl 1 el vlor de B cudo A 1 es : 1,. Es el vlor de k e l tbl, 0 1 que tmbié puede obteerse, por ejemplo, de l iguldd. Se como se, k 1,. 0 k Coociedo el vlor de k, los vlores de B se hll multiplicdo los de A por k. Coociedo el vlor de k, los vlores de A se hll dividiedo los de B por k. El vlor de k, pr dos mgitudes proporcioles, es siempre el mismo, y se llm costte de proporciolidd. Ejemplo: ) Pr l Tbl 1, si A B 1, 6; si A 0 B 0 1,. b) E l mism Tbl 1, si B 1 A 1 : 1, 10; si B 60 A 60 : 1, 0. Los problems de regl de tres puede resolverse: plicdo l propiedd de l iguldd de rzoes: cálculo del vlor descoocido medite l costte de proporciolidd: reducció l uidd. 8 Mtemátics º de ESO

31 º de ESO IES Complutese Ejemplo: Si 1 vcs se come 6 kg de pieso l dí, cuátos kg de pieso será ecesrios pr limetr 0 vcs dirimete? Pr resolverlo se hce el siguiete esquem: Si 1 vcs come 6 kg 0 vcs comerá x kg Ls proporcioes socids so: , o bie:. E mbos csos: x 10 kg. 0 x 6 x 1 L solució medite l reducció l uidd cosiste e determir lo que come u vc l dí, que es 6, kg. E cosecueci, 0 vcs comerá:, 0 10 kg. 1 Dos mgitudes so iversmete proporcioles cudo l multiplicr u de ells por u úmero, l otr qued dividid por el mismo úmero; o cudo l dividir l primer por u úmero, l segud qued multiplicd por el mismo úmero. Ejemplo: Ls mgitudes A y B, dds e l tbl djut, so iversmete proporcioles Como puede observrse, l multiplicr l mgitud A (cuyo vlor iicil es ), por, por,, l mgitud B (de vlor iicil 0) se divide por, por, Propiedd: si dos mgitudes so iversmete proporcioles, el producto de ls ctiddes correspodietes es costte: 0 8 1, y x,. Est propiedd permite ecotrr l ctidd y, de B, correspodiete ciert ctidd coocid de A. Y l revés, l ctidd x de A, correspodiete u ctidd coocid de B. Ejemplo: Pr ls mgitudes dds e l tbl, los vlores descoocidos y y x se puede determir fácilmete, y que si 0 0 y, etoces y ; y si 0 x,, etoces x 0. Reducció l uidd e l proporciolidd ivers Es el vlor de k e l Tbl, que puede obteerse de l iguldd 0 1 k k 100. (Es el vlor de B correspodiete l vlor de A 1). Coociedo l costte k, los vlores de B se hll dividiedo k etre los vlores de A. Coociedo l costte k, los vlores de A se hll dividiedo k etre los vlores de B. Ejemplo: ) Pr l Tbl, si A B 100 : 0; si A 0 B 100 : 0. b) Pr l Tbl, si B 10 A 100 : 10 10; si B 8 A 100 : 8 1,. Los problems de regl de tres ivers puede resolverse: plicdo l propiedd de los productos. medite l costte de proporciolidd: reducció l uidd. Ejemplo: Si pitores ecl u pred e 0 hors, cuáts hors trdrí e eclrl etre pitores? Pr resolverlo se hce el siguiete esquem: Si pitores trd 0 h 0 pitores trdrá x h 0 x 0 x x 8 h. L solució medite l reducció l uidd cosiste e determir el tiempo que trdrí u solo pitor. Ese tiempo serí de 0 hors 0 8; el doble que si lo hce etre dos. E cosecueci, etre pitores emplerí 8 Tbl. Iversmete proporcioles Mgitud A 8 0 x 1 Mgitud B 0 1, y, k 0 hors. 9 Mtemátics º de ESO

32 º de ESO IES Complutese Tem. (I) Proporciolidd Autoevlució 1. E u clse hy chics por cd chicos. ) Cuál es l rzó de sexos e es clse? b) Si e es clse hy 0 chics, escribe l proporció que permit determir el úmero de chicos. Cuátos chicos hy e es clse?. E u clse hy chics por cd chicos. ) Qué frcció del totl represet ls chics? b) Si e l clse hy 1 chicos, cuátos lumos hy e totl?. E u istituto que tiee 67 lumos, cico de cd oce so chicos. ) Escribe l rzó de sexos socid. b) Cuátos chicos y chics hy e ese istituto?. E u cest de frut hy mzs por cd rjs. ) Cuál es l rzó defiid por los úmeros de mzs y rjs? b) Si e l cest hy 1 mzs, cuáts rjs hbrá?. E l siguiete tbl, clcul los vlores de y b sbiedo que ls mgitudes A y B so directmete proporcioles A B 1 b 0 6. Por, kg de ptts se h pgdo 1,9. A cuáto sle el kg? Cuáto deberá pgrse por, kg? 7. Co 0 kg de pieso se puede limetr 16 vcs. Cuátos kilos de pieso será ecesrios pr limetr 0 vcs? 0 Mtemátics º de ESO

33 º de ESO IES Complutese 8. Por trbjr, hors Pedro le h pgdo 0. Cuáto le pgrá otro dí por trbjr hors? 9. E l siguiete tbl, clcul los vlores de y b sbiedo que ls mgitudes A y B so iversmete proporcioles A B 1 b Pr vcir u coteedor de ldrillos 8 obreros h empledo hors. Cuáto tiempo emplerí 6 obreros? Y 1 obreros? 11. A l velocidd costte de km/h, u excursioist trd, hors e relizr u tryecto. Cuáto tiempo trdrí e hcer el mismo tryecto u velocidd de km/h? 1. U grjero ecesit cd dí kg de pieso pr dr de comer 70 gllis. Cuátos kilos de pieso ecesitrá pr dr de comer 00 gllis durte u sem? (Observció. Determi cuáto come u glli l dí.) 1. U excvdor, trbjdo 10 hors l dí, bre u zj de 1000 metros e 8 dís. Cuáto trdrí e brir u zj de 600 metros, trbjdo 1 hors l dí? (Observció. Determi cuátos metros excv e u hor.) Solucioes: 0 1. ). b) x 1. x. ). b). 8. ).b) 8 y.. ). b) ; b ,8 ;, kg ,8; b h. h. 11. h. 1., kg. 1. dís. 1 Mtemátics º de ESO

34 º de ESO IES Complutese Tem. (II) Porcetjes Resume U porcetje se puede estudir como u rzó: es u frcció co deomidor Ejemplo: U 16 por cieto (16 %) es l rzó. 100 Los problems de porcetjes so problems de frccioes Ejemplo: El 16 % de 100 l frcció de , U porcetje puede clculrse multiplicdo por el úmero deciml socido. 16 Ejemplo: El úmero deciml socido l 16 % es 0,16. Por tto, pr hllr el 16 %. 100 de culquier ctidd se multiplicrá es ctidd por 0,16. Así 16 % de , Los problems de porcetjes so problems de proporcioes (de regls de tres). E geerl, los problems de porcetjes trt de ecotrr lgú térmio descoocido de l c proporció. Los cutro térmios de l proporció será, o ecesrimete e este b d orde: () el %; (b) 100; (c) l prte (el tto por cie correspodiete); (d) l ctidd totl. Ejemplo: El 16 % de 100 se clcul resolviedo l proporció: 16 c c L regl de tres socid es: Si x 100 x x Cálculo del totl coocidos el % y l prte correspodiete. Ejemplo: Ju h relizdo y el 0 % de u ecrgo, pr lo que h empledo 18 hors. Cuáts hors totles ecesit ese ecrgo pr que lo relice Ju? L regl de tres es: Si el 0 % so 18 h el 100 % será x x 60 hors. 100 x 0 Cálculo del porcetje coocidos el totl y l prte correspodiete ese porcetje. Ejemplo 1: De u deud de 00 se h pgdo 800. Qué porcetje se h pgdo? L regl de tres es: Si de 00 se h pgdo de 100 se h pgdo x x %. 100 x 00 Ejemplo: U ordedor portátil que vlí 0 se vede e rebjs por 67,. Qué porcetje se h rebjdo? L regl de tres es: Si de 0 rebj 8, (0 67, 8,) de 100 rebjrá x 0 8, 100 x 8, 100 x 1 %. 0 Mtemátics º de ESO

35 º de ESO IES Complutese Aumetos porcetules Cudo u ctidd iicil se le ñde u tto por cieto de l mism ctidd, se hbl de umetos porcetules. (Es lo propio de ls subids de precios.) Ejemplo: Si el precio de los libros de texto h umetdo, del ño psdo este, el 1 %, cuáto vldrá este ño lo que vlí 0 el psdo? L ctidd que umet es el 1 % de 0 0,1 0 7,6. El precio que debe pgrse es lo que vlí + el umeto. Esto es: 0 + 7,6 7,6. Clculo directo de umetos porcetules porcetje 1. Pr umetr u porcetje u ctidd se multiplic es ctidd por Ejemplo: Si el precio de los libros de texto h umetdo del ño psdo este el 1 %, cuáto vldrá este ño lo que vlí 0 el psdo? L ctidd pgr será: 0 ( 1 0,1) 01,1 7, 6.. Pr umetr u porcetje u ctidd se puede hcer u regl de tres direct, teiedo e cuet que 100 le correspode porcetje. Ejemplo: Si el precio de u juego de ordedor h umetdo, del ño psdo este, u 7 %, cuáto vldrá este ño si el psdo costb? El pltemieto es: Si (eso es lo que supoe u umeto del 7 %) 107 x 100 x 107 x,. 100 Sugereci. Alter el método de solució e estos dos ejemplos y comprueb que el resultdo es el mismo. Dismiucioes porcetules Cudo u ctidd iicil se le quit u tto por cieto de l mism ctidd, se hbl de dismiucioes porcetules. (Es lo propio de ls rebjs de precios.) Ejemplo: Si el precio de u teléfoo móvil se h rebjdo u 0 %, cuáto costrá si tes de ls rebjs costb? L ctidd rebjd es el 0 % de 0,0 9. El precio que debe pgrse es lo que vlí meos l rebj. Esto es: Clculo directo de umetos porcetules porcetje 1. Pr dismiuir u porcetje u ctidd se multiplic es ctidd por Ejemplo: Si el precio de u teléfoo móvil se h rebjdo u 0 %, cuáto costrá si tes de ls rebjs costb? L ctidd pgr será: (1 0,0) 0, Pr dismiuir u porcetje u ctidd se puede hcer u regl de tres direct, teiedo e cuet que 100 le correspode 100 porcetje. Ejemplo: Si el precio de u juego de ordedor se h rebjdo (dismiuido) u 8 %, cuáto vldrá si tes de l rebj vlí 8? El pltemieto es: Si (eso es lo que supoe u rebj del 8 %) x 100 x 9 8 x 8, Mtemátics º de ESO

36 Mt º ESO IES Complutese Tem 9. (II) Porcetjes Autoevlució 1. Clcul el 10 % de ls siguietes ctiddes: ) 00 b) c) 00 d) 0,. Hll el vlor de los siguietes porcetjes: ) El 18 % de 00 b) El 7 % de 10 c) El 9 % de 100 d) El 6, % de 8,. E u clse de 0 lumos el 60 % so chics, cuáts chics hy?. Crme, que gb 1800 euros l mes, h scedido e l empres y le h subido el sueldo u 1 %. Cuáto grá hor? Por qué úmero hy que multiplicr pr icremetr u ctidd e u 1 %? Icremet ls ctiddes 100, 00 y 0 e u 1 %. 6. Alejdro h pgdo 170 por u biciclet que está rebjd u 0 %, cuáto vlí l biciclet tes de l rebj? 7. Por qué úmero hy que multiplicr pr dismiuir u ctidd e u 6 %? Dismiuye ls ctiddes 10, 980 y 700 e u 6 %. 8. Soi compr u libro que vlí 16,0. Si le hce u 0 % de descueto, cuáto pgó por el libro? 9. Al comprr u frigorífico que vlí 10 os h rebjdo 10. Qué descueto os h hecho? Mtemátics º de ESO

37 Mt º ESO IES Complutese 10. El sueldo de los trbjdores de u empres v subir u %. Complet e l tbl siguiete los vlores que flt. Sueldo ctul ( / mes) Nuevo sueldo (+ %) Ls rebjs uci u descueto del 0 %. Idic e l tbl siguiete los precios rebjdos o los iiciles. Ates 100 0,0 Precios rebjdos Los precios de u mrc de coches h subido el % e eero y el, % e febrero, cuáto costrá el dí 1 de mrzo u coche que el 1 de diciembre psdo costb 1.00? 1. U comercite mrc sus productos u 0 % más cro de lo que le cuest. Después uci que todos sus productos está rebjdos u 1 % sobre el precio mrcdo. Cuál es su porcetje de gcis? Cuáto gó u dí que igresó 100 por vets? 1. A 100 km/h u utomóvil trd 90 miutos e recorrer cierto tryecto. Cuáto trdrí si icremet su velocidd e u 0 %? 1. Mrt tiee 0 euros que mete e u bco l % de iterés ul. Cuáto diero tedrá l cbo de u ño? Qué iterés le producirá esos 0 durte ños? Solucioes: 1.) 0. b),. c) 0. d),0.. ) 0. b),. c) 177.d), Por 1,1 171; 800; 8,. 6. 1,0. 7. Por 0,9 1170; 91,; , , % 10. Sueldo ctul ( / mes) Nuevo sueldo (+ %) , Ates ,0 Precios rebjdos ,0, 1. 10, , %. 0, mi Mtemátics º de ESO

38 Mt º ESO IES Complutese Tem 6. (I) Álgebr Resume U expresió lgebric es quell e l que prece úmeros y letrs, uidos por ls opercioes hbitules. El álgebr utiliz ess expresioes pr estblecer relcioes de crácter geérico, pues ls letrs puede tomr culquier vlor. El álgebr permite dr fórmuls geerles. Así, el áre de culquier b trigulo es A, siedo b l bse y l ltur. 8 Si l bse mide 8 y ltur, el áre del triágulo es: A 0. El álgebr permite expresr propieddes geerles. Así, pr idicr que u operció, por ejemplo l sum, cumple l propiedd comuttiv, se escribe: b b. El álgebr permite mejr úmeros de vlor descoocido. Así, si co l letr x se desig u úmero descoocido: El doble de x es x, que sigific x. Por tto, si x vliese 8, x vldrí 16. x x L mitd de x es x : Si x vliese 100, vldrí 0. El cudrdo de x es x, que sigific x x si x vliese 7, x x x x x x x L sum x x es igul 7 x. Igulmete: x x x ; y x. 1 El álgebr permite estblecer relcioes etre úmeros. Así, pr idicr que dos úmeros so cosecutivos se les d vlores x y x + 1. escribe Moomios. So ls expresioes lgebrics más simples. Sólo tiee u térmio. U térmio es: u úmero; u letr; o u producto de úmeros por letrs. Ejemplos: ) Culquier úmero es u térmio. Así, 8, o so térmios, que por o poder vrir se llm costtes. b) Culquier letr es u térmio. Así,, b o x so térmios. c) Culquier producto de úmeros por letrs es u térmio. Así,, x o x x so térmios. Esos térmios suele escribirse omitiedo los putos de multiplicr. Esto es:, x x o x x x. d) L expresió b b o es u moomio, pues est formd por tres térmios. Por tto, si hy sums o rests l expresió o es u moomio. Se llmrá poliomio. E u moomio, l úmero se le llm coeficiete; l letr o letrs que lo multiplic se le llm prte literl. Ejemplo: L prte literl de, x y x es, respectivmete,, x y x. Sus coeficietes, tmbié respectivmete, so:, y 1. Observ que cudo l prte literl o llev úmero, su coeficiete es 1; y si v sol co sigo egtivo, su coeficiete es 1. No se poe por comodidd. Así, los coeficietes de b y de x so, respectivmete, 1 y 1. Vlor umérico de u moomio es el vlor que se obtiee cudo se sustituye ls letrs por úmeros. Así, e b, si y b, su vlor es ( ) 1. 6 Mtemátics º de ESO

39 Mt º ESO IES Complutese El grdo de u moomio es el grdo de l prte literl, que es l sum de los grdos de ls letrs que l form. Ejemplo: El grdo de es 1; el grdo de x es ; el grdo de b es. Dos moomios so semejtes cudo tiee l mism prte literl. Ejemplos: ) Los moomios y so semejtes. b) Tmbié so semejtes los moomios: x y 6x ; y, b y b. c) No so semejtes: y b. Tmpoco lo so x y x. Sum y rest de moomios Solo puede sumrse o restrse los moomios semejtes. Cudo dos moomios o so semejtes, o puede gruprse; l operció se dej idicd. Ejemplos: ) Los moomios y puede sumrse y restrse. Esto es, puede hcerse ls opercioes: y b) Los moomios x y x o puede sumrse i restrse. Ls opercioes x x y x x o puede relizrse, se dej sí. Pr sumr (o restr) moomios se sum (o rest) los coeficietes y se dej l mism prte literl. Ejemplos: ) ( ) 8 ; b) ( ) ; c) x 7x x x. d) x x se dej idicd, como está. e) x 7x 9x. L sum y rest de expresioes lgebrics cumple ls misms propieddes que l sum y rest de úmeros. Hbrá que teer e cuet ls regls de los sigos. Ejemplos: ) 7 7 ; b) 7. Producto de moomios Puede multiplicrse culquier tipo de moomios etre sí. Pr multiplicr dos moomios se multiplic úmeros por úmeros y letrs por letrs. Ejemplos: ) 1 ; b) ( ) 1 ; c) x x x x 6x. x x x x ; d) Divisió de moomios Puede dividirse culquier tipo de moomios etre sí. Pr dividir dos moomios se divide úmeros etre úmeros y letrs etre letrs. L prte de l expresió que o pued simplificrse se dejrá idicd e form de frcció Ejemplos: 1 1 ) ; b) 10 b 10 b 1 ; 1b 1 b b b x x 1 x 10x y 10 x y 1 x c) x ; d) x. 1x 1 x xy x y y y 7 Mtemátics º de ESO

40 Mt º ESO IES Complutese Tem 6. (I) Álgebr Autoevlució 1. Se u rectágulo de bse b y ltur. Idic ls expresioes lgebrics que d el áre y el perímetro de ese rectágulo. Cuál será el vlor umérico de ess expresioes cudo y b 7 cm. (Hz u dibujo decudo).. Idic medite u expresió lgebric ls siguietes relcioes: ) L sum de dos úmeros es b) U úmero es tres uiddes myor que otro c) U úmero más su cosecutivo d) El triple de u úmero vle 1. Idic medite u expresió lgebric ls siguietes situcioes: ) L sum de dos úmeros cosecutivos vle 71 b) U pdre tiee cutro veces l edd de su hijo y etre mbos sum ños. c) U úmero más su cudrdo sum 0. Idic el coeficiete y l prte literl de los siguietes moomios: ) b b) c) x y d) x x. Idic si so semejtes o o los siguietes pres de moomios: ) y b) c) x y x d) y x y x 6. Sum o rest, e los csos que pueds: b) 6 ) 8 c) x x d) e) x x x f) x x x Mtemátics º de ESO

41 Mt º ESO IES Complutese 7. Simplific, sumdo y restdo cudo se pued: ) x 7x x b) c) x x 7 d) x 6x x 1 e) x x x x f) x x 8. Simplific, grupdo los térmios semejtes: ) b) x x x x c) x 6 x 9. Multiplic, hciedo ls opercioes pso pso: ) b) c) d) x e) x f) b g) 7 h) x x x 10. Simplific, idicdo los psos itermedios, ls siguietes expresioes: 18 1x ) b) c) b x 8x y xy 8x d) 10x 18x e) x f) x x x Solucioes. 1. ) A b ; P b. 1 cm ; 18 cm.. ) b. b) x x x 1. d) x 1.. ) x 1 71 y. c) x. b) Hijo x; pdre x. x x. c) x x 0.. ) y b. b) 1 y x. c) y x y. d) y x.. So semejtes: ) y c). 6. ) 10. b). c) x. d) x. f) 19 x ) 8 x. b). c) x 7. d) x x. e) x x. f) x ) 1. b) 1. c) 8. d) 1x. e) 1 16x. f) b. g) 6 8x 9x 10. ). b) x. c). d). e). f) x 1. b x. 8. ). b) 1. h) 6 6x. x. c) x. 9 Mtemátics º de ESO

42 Mt º ESO IES Complutese Tem 6. (II) Poliomios Resume U poliomio es l sum de vrios moomios. Si l sum es de dos moomios se le puede llmr biomio; si es sum de tres moomios, triomio. Y e geerl, poliomio. Cd uo de los moomios que form el poliomio se llm térmio. Como sbes, cd térmio está formdo por u prte uméric (coeficiete) y por u prte literl. El grdo de u poliomio es el myor de los grdos de los moomios que lo form. Ejemplos: ) So biomios: b, x 7 ; x x ; x x. El último es de grdo. b) So triomios: x x ; 1 x x ; x x. Los tres so de grdo. Poliomios e x. E mtemátics l myorí de ls veces se utiliz l letr x. Por eso, csi siempre se emple poliomios como x x 6 o x 7x ; y co frecueci se escribe sí: A ( x) x x 6 o B ( x) x 7x. L expresió más comú es P (x). Ejemplo: L expresió P ( x) x x x 6 es u poliomio de grdo. Los térmios que lo form so: x, de grdo y coeficiete ; x, de grdo y coeficiete ; x, de grdo 1 y coeficiete ; el úmero 6 es el térmio idepediete. Ese poliomio o tiee los térmios de º grdo i de º; pero, si coviee, podrí escribirse sí: P ( x) x 0x x 0x x 6 los coeficietes, ordedos de myor meor grdo, so: (pr idepediete). x ), 0 (pr x ), (pr x ), 0 (pr x ), (pr x); 6 (térmio Vlor umérico de u expresió lgebric es el úmero que result cudo se sustituye ls letrs por úmeros. Ejemplo: El vlor umérico de P( x) x x pr x es 6 7 P() 7. Y pr x es: ( ) ( ) P( ) 1. Opercioes co poliomios Sum y rest de poliomios Pr sumr poliomios se sum o rest los térmios semejtes. Ejemplos: Pr los poliomios: x x 6 y x x 7x : x x 6 x x 7x x x x x 7x ) 6 7x x 1x 6 b) x x 6 x x 7x x x x x 7x 6 x x x 6 Observció: es imprescidible teer e cuet ls regls de los sigos. Multiplicció de u poliomio por u moomio Se multiplic cd térmio del poliomio por el moomio; pr ello se utiliz l propiedd distributiv del producto y ls regls de l potecició. Ejemplo: x x x 7x x x x x x 7 x1x 8x 8x Observció: es imprescidible teer e cuet ls regls de los sigos... 0 Mtemátics º de ESO

43 Mt º ESO IES Complutese Multiplicció de dos poliomios Se multiplic cd térmio del primer poliomio por cd uo de los térmios del segudo: todos por todos. Esto es, se plic l propiedd distributiv del producto y ls regls de l potecició. U vez relizdos los productos debe gruprse los térmios semejtes. Ejemplos: x 6 x x 1 x x x 1 6 x x 1 ) x x ( x) x 1 6 x 6 ( x) 61 x 10x 1x x 1x 18x 6 10x 7x x 6. x x 6 x x 7x x x x ( x ) x 7x + b) + x x x ( x ) x 7 x6 x 6 ( x ) 6 7x 6 1x 8x 8x 1x 10x x 18x 1x x 6 1x 8x x 8x 7x x. Observcioes: 1) Cudo u expresió lgebric o cbe e u líe debe romperse por u sigo + o, uc por u producto. ) Es imprescidible teer e cuet ls regls de los sigos, tto l multiplicr como l sumr; y ls propieddes de ls opercioes co potecis. Productos otbles: Cudrdo de u sum: b Multiplicdo como dos poliomios: b b b b b b b b b b b b Ejemplos: ) x x x 9x 0x. b) 1 x x 1 1 x x 1 x. Cudrdo de u difereci: b Multiplicdo como dos poliomios: b b b ( b) b b ( b) b b b b b Ejemplos: ) x x x 16x x 9. b) x x x 10x x. Sum por difereci: b b Multiplicdo como dos poliomios: b b ( b) b b( b) b b b b Ejemplos: ) x x x 16x 9. b) x x x x. 1 Mtemátics º de ESO

44 Mt º ESO IES Complutese Tem 6. (II) Poliomios Autoevlució 1. Idic el grdo y los coeficietes de cd térmio, ordedos de myor meor, de los siguietes poliomios: grdo coeficietes ) x x b) x c) x x d) x x x 1. Hll el vlor umérico de cd uo de los poliomios teriores pr x 1, x y x 0. x 1 x x 0 ) x x b) x c) x x d) x x x 1. Hll ls siguietes sums y rests de poliomios: ) 6 x 9 b) 6x 9 x x c) x 7 x x d) x x 7x e) x x 6 x x. Ddos los poliomios: A ( x) x x 6 ; B ( x) x x 7x 1; C ( x) x x, hll: ) A( x) B( x) b) A( x) B( x) C( x). Hll el resultdo de ls siguietes opercioes: ) x x 6 b) x 6 x x 6. Clcul: ) x x b) x x x x Mtemátics º de ESO

45 Mt º ESO IES Complutese 7. Hll: ) x x b) x x c) x x d) 6 x x e) x 7 x f) x x 7x 8. Ddos los poliomios: P ( x) x x ; Q ( x) 7x ; R ( x) x x, hll: ) P ( x) Q( x) b) P ( x) R( x) c) Q ( x) R( x) 9. Hll, multiplicdo térmio térmio; después comprueb que plicdo l fórmul correspodiete, el resultdo es el mismo. x x x x x x x 10x 10x x 0x. ) x x x x x 0x x 0x. b) x c) x d) x e) x x f) x x Solucioes. 1. ) ; 1,,. b) 1; 1,. c) ;, 0,, 0. d) ;, 0,,, 1.. ) x 1 ; x 1; x 0. b) ; ;. c) 1; 10; 0. d) ; 6; 1.. ) 8x 1. b) x. c) x 6x. d) x x 1. e) x 8x 6.. ) x x. b) x x 9x.. ) 8x 10x 1. b) x 0x ) 10x 0x 1x. b) 0x 1x. 7. ) x 8x 1. b) x x 0. c) x x 6. d) 0 x x 0. e) 6x 1x 9x 1. f) 0x x 1x. 8. ) 1x 17x x 8. b) x 7x 1x 9x 1. c) 7x 7x 1x ) x x. b) x 6x 9. c) x 1x 9. d) x x. e) x. f) x 9. Mtemátics º de ESO

46 Mt º ESO IES Complutese Tem 7. Ecucioes de primer grdo Resume Ecucioes U ecució es u iguldd e l que prece úmeros y letrs ligdos medite ls opercioes lgebrics. E ls ecucioes ls letrs se llm icógits. L icógit preferid suele ser l letr x. Ejemplos. So ecucioes ls igulddes siguietes: x ; x ; x x 0. Ls ecucioes se emple pr resolver problems, pues l estblecer l relció etre los dtos y el vlor descoocido (l x) suele obteerse u iguldd. Ejemplo: Al itetr ecotrr el úmero que cumple l relció: u úmero más su mitd vle 0, se obtiee u ecució, pues si ese úmero le llmmos x, etoces x x 0. Ls ecucioes se clsific por su grdo y por su úmero de icógits. L ecució x es de primer grdo; x es u ecució de segudo grdo. Solucioes de u ecució so los vlores de l icógit que cumple l ecució. Ejemplo: L ecució x se cumple pr x 17, pues 17. L ecució x tiee dos solucioes: x y x, pues y (). Ecucioes equivletes Dos ecucioes so equivletes cudo tiee ls misms solucioes. Ejemplos: Los siguietes pres de ecucioes so equivletes: ) x 18 y x 6 b) x x 7 y x x c) x x 0 y x x 60 Puedes comprobr que l solució de ls dos primers es x 9; que l solució de ls dos seguds es x ; y que l solució de ls dos últims es x 0. (Compruéblo). Resolució de u ecució Resolver u ecució es ecotrr sus solucioes. Pr resolver u ecució hy que despejr l icógit. Pr resolver u ecució hy que trsformrl e otr equivlete ell, más secill, de mer que ecotrr su solució se fácil. Ls trsformcioes que puede hcerse e u ecució so dos: 1. Sumr el mismo úmero (l mism cos) los dos miembros de l iguldd. Lo que se pretede co est trsformció es cmbir los térmios de u ldo l otro de l iguldd. Esto se llm trsposició de térmios.. Multiplicr (o dividir) por u mismo úmero los dos miembros de l iguldd. Lo que se pretede co est trsformció es quitr los deomidores de l ecució. Ejemplos: ) L ecució x x 7 puede trsformrse como sigue: Se sum cd miembro x x 7 x x 7 x x 10 Se rest x cd miembro x x x 10 x x 10. Así se cosigue despejr l x; esto es, determir su solució. E este cso, x 10. x b) L ecució 1 se trsform sí: Se multiplic por cd miembro x 1 x. Se sum cd miembro x x 7. L solució de l ecució es x 7. Mtemátics º de ESO

47 Mt º ESO IES Complutese Resolució de ecucioes de primer grdo: trsposició de térmios 1. Ecució x b. Se resuelve restdo mbos miembros. Qued: x b. Ejemplos: ) x 8 restdo se tiee: x 8 x. b) x restdo se tiee: x x.. Ecució x b. Se resuelve sumdo mbos miembros. Qued: x b. Ejemplos: ) x 6 sumdo se tiee: x 6 9. L solució es x 9. b) x 0 sumdo se tiee: x 0. L solució es x. Observ: Lo que está restdo e u miembro, ps sumdo l otro miembro: x b x b. Lo que está sumdo e u miembro, ps restdo l otro miembro: x b x b.. Ecució x b. Se resuelve dividiedo por mbos miembros. Qued: b x. Ejemplos: ) x dividiedo por se tiee: x 17. L solució es. x 17. b) x dividiedo por se tiee: x 1,. L solució es x 1, x. Ecució b. Se resuelve multiplicdo por mbos miembros. Qued: x b. x Ejemplos: ) multiplicdo por se tiee: x 6. L solució es x 6. x b) 1 multiplicdo por se tiee: x 1. L solució es x. Observ: Lo que está multiplicdo e u miembro, ps dividiedo l otro miembro; y lo que está b x dividiedo, ps multiplicdo. Esto es: x b x ; b x b. Resolució de ecucioes de primer grdo: cso geerl Se puede resolver plicdo los psos siguietes: 1. Si hy prétesis, se resuelve. Hy que teer e cuet ls regls de los sigos.. Si hy deomidores, se quit. Pr quitrlos hy que multiplicr todos los térmios por el m.c.m. de los deomidores.. Se ps (trspoe) ls x u miembro y los úmeros l otro miembro: lo que está sumdo, ps restdo; lo que está restdo, ps sumdo. Se grup: se sum.. Se despej l x: lo que multiplic l x ps dividiedo l otro miembro; lo que divide l x, ps multiplicdo l otro miembro. Ejemplos: 16 ) x x 6x 7 x x x 6x x 7 10x 16 x 1, b) x x 1 9x x x 1 9x x x 9x 1 6 x 6 x. Mtemátics º de ESO

48 Mt º ESO IES Complutese Tem 7. Ecucioes de primer grdo Autoevlució 1. Resuelve ls siguietes ecucioes: ) x 10 8 b) x 0 c) x. Resuelve ls siguietes ecucioes: ) x x x b) 9 x c) x x. Resuelve ls siguietes ecucioes: ) x x x 6 b) 6 x x c) x 1 x 9 x. Resuelve ls siguietes ecucioes: x ) c) x x b) 1 x d) 0. Resuelve ls siguietes ecucioes: x ) b) x x x x c) 0 d) x 6. Resuelve ls siguietes ecucioes: x 6 ) x x b) x x c) 1 x 6 Mtemátics º de ESO

49 Mt º ESO IES Complutese 7. Resuelve ls siguietes ecucioes: ) x x x 7 6 x x b) 8. Resuelve ls ecucioes: ) x ( x) x b) x x 9. Resuelve: ) b) x x x x 1 x x c) x 10. Resuelve: x x ) 6 x x 7 b) x L edd de Pedro es l curt prte de l de su pdre. Si l sum de sus eddes es 0, cuátos ños tiee cd uo? 1. Los ldos igules de u triágulo isósceles so tres veces más lrgos que su bse. Si el perímetro del triágulo es 10 cm, cuáto mide sus ldos? Solucioes: 1. ) 1. b). c).. ) 1/. b) 8. c) 1.. ) 0. b) 7/. c).. ) 10. b). c) 1/. d) 0.. ). b). c) 8/. d). 6. ) 1. b) 6. c) 16/. 7. ) 7/10. b) ) x. b) x ) x. b) x. c) x. 10. ) x. b) x Pedro, 10; Pdre, 0 ños. 1. Bse, 0; ldos, 60 cd uo. 7 Mtemátics º de ESO

50 Mt º ESO IES Complutese Tem 7. (II) Ecucioes de segudo grdo Resume Ecucioes de segudo grdo L ecució e su form estádr es x bx c 0. (Dode, b y c so úmeros reles, co 0). Ejemplos: So ecucioes de segudo grdo: ) x x 6 0. b) x x 0. c) x x 6 0. Sus solucioes se hll plicdo l fórmul: b b c x. Ejemplos: Ls solucioes de ls ecucioes teriores so: ) ( 6) x x 6 0 x Por tto: x 1 y x 1. Ls solucioes so: x 1 y x b) x x 0 x. Sólo tiee u solució, x. ( ) c) x x 6 0 x No tiee solució, pues l ríz de u úmero egtivo o existe. Ecució icomplet de segudo grdo Es de l form: (1) x c 0, b 0. () x bx 0, c 0. Ejemplos: So ecucioes icomplets de segudo grdo: ) x 9 0. b) x 0. c) x x 0. d) x 6x 0. Pr hllr ls solucioes de u ecució icomplet o es preciso recurrir l fórmul terior (uque puede resolverse plicádol). Ejemplos: Ls solucioes de ls ecucioes teriores so: ) x 9 0 (despejdo x ) x 9 (hciedo l ríz cudrd) x 9. Ls solucioes so x 1 y x. b) x 0 x x 16 x 16. Solucioes: x 1 y x. c) x x 0 (scdo fctor comú) x ( x ) 0 x 0 o x 0 x. Ls solucioes so x 1 0 y x. (Recuerd: pr que u producto vlg 0 lguo de sus fctores debe vler 0. E l iguldd terior, los fctores so x y x ). d) x 6x 0 (scdo fctor comú) x ( x ) 0 x 0 x 0 o x 0 x. Ls solucioes so x 1 0 y x. 8 Mtemátics º de ESO

51 Mt º ESO IES Complutese Tem 7. (II) Ecucioes de segudo grdo Autoevlució 1. Asoci, etre los vlores que se idic, ls solucioes de ls ecucioes siguietes: ) x x 6 0 x 1; x ; x 6; x 0. x 1: x 1 es sol. x : x o es sol. b) x 6x 8 0 x 1; x ; x 0; x. c) x x 0 x 1; x ; x 0; x. d) x 9 0 x 6; x 7; x 0; x 7.. Hll ls solucioes de ls siguietes ecucioes de segudo grdo: ) x x 0 b) c) x x 6x9 0 7x10 0 d) x 6x 0. Hll ls solucioes de ls siguietes ecucioes icomplets: ) x x 0 b) x 6x 0 c) x 8x 0 d) x 6x 0. Hll ls solucioes de ls siguietes ecucioes icomplets: ) x 1 0 b) x c) x 7 0 d) x Mtemátics º de ESO

52 Mt º ESO IES Complutese. Ls siguietes ecucioes está desordeds. Ordéls tes de resolverls. ) x x 1 b) x 9 6x c) 10 x 1 d) x x 6. Oper ls siguietes expresioes lgebrics y después resuelve l ecució obteid. ) x x b) x ( x ) 6 1 c) x x d) ( x 1) ( x ) x 7 7. El producto de dos úmeros eteros cosecutivos es 7. Plte u ecució de segudo grdo pr hllrlos. De qué úmeros se trt? 8. El áre de u rectágulo es 91 dm. Si l bse es 6 decámetros (dm) más lrg que ch, cuáto mide de lrg y cuáto de ch? Solucioes: 1. ) x 1; x 6. b) x ; x. c) x 0; x. d) x 7; x 7.. ) x 1; x. b) x, doble. c) x ; x. d) x ; x.. ) x 0; x 1. b) x 0; x 6. c) x 0; x. d) x 0; x.. ) x 1; x 1. b) x 10; x 10. c) x 6; x 6. d) x ; x.. ) x ; x. b) x, doble. c) x 6; x 6. d) x 0; x. 6. ) x /; x. b) x 1; x 6. c) x 1, doble. d) x ; x. 7. x 9 y x 8; x 8 y x dm. 0 Mtemátics º de ESO

53 Mt º ESO IES Complutese Tem 7. Problems de ecucioes de primero y segudo grdo Llámle x L x es l letr más fmos etre los úmeros. L letr x suele emplerse pr sustituir u úmero del que o se sbe su vlor. L letr x puede desigr l edd de u perso; L letr x puede ser l logitud de l bse de u triágulo; L letr x puede idicr l distci etre dos putos; L letr x puede desigr l cpcidd de u depósito, el precio de u determido producto E l resolució de problems, siempre que o seps cuáto vle u cos, llámle x. Co relció ls opercioes, l letr x se mej exctmete igul que u úmero. Así, por ejemplo: El doble de x es x, que sigific x. Por tto, si x vliese 8, x vldrí 16. x x L mitd de x es x : Si x vliese 100, vldrí 0. El cudrdo de x es x, que sigific x x si x vliese 7, x L sum x x es igul 7 x. Igulmete: x x x. x x x x x x Por lo mismo: x. 1 E cosecueci, o tegs miedo l x; trátl como trtrís culquier úmero, pero trátl bie. Fíjte cómo puede trtrse e los siguietes problems. Problem 1 L bse de u triágulo es doble que su ltur. Si su áre mide 00 cm, cuáto vle su bse? Sbes l logitud de l bse? No. Pues, llámle x etoces, su ltur vldrá Como el áre de u triágulo es igul bse por ltur prtido por : bse ltur x x x A, se debe cumplir que x x Por tto, l bse medirá 0 cm; y l ltur el doble, 0 cm. 7 8 x. Problem U depósito se está lledo de gu. Si cudo el depósito está lleo hst u sexto de su cpcidd se le ñde 10 litros, etoces se lle hst los tres quitos, cuál es l cpcidd del depósito? Llmmos x l cpcidd del depósito. Cudo está lleo hst u sexto de su cpcidd tedrá 1 x. 6 1 Si se le ñde 10 litros, tedrá x 10. Pero etoces se lle hst los tres quitos: x. 6 Por tto, se cumple que: 1 x 10 x ( 0) x x 1x 900 x Mtemátics º de ESO

54 Mt º ESO IES Complutese Tem 7. Problems de ecucioes de primero y segudo grdo 1. Si u úmero se le rest su tercer prte el resultdo es 0. Cuál es ese úmero?. L edd de Pedro es l curt prte de l su pdre. Si l sum de sus eddes es 0, cuátos ños tiee cd uo?. U poste está clvdo e el suelo. L prte eterrd es 1/10 de su logitud. Si l prte visible mide 16 cm, hll, pltedo u ecució, l logitud totl del poste. (Hz u dibujo propido).. Escribe l expresió lgebric socid l eucido: u úmero meos su mitd vle 0. De qué úmero se trt?. L medid e grdos de los tres águlos de u triágulo viee dd por tres múltiplos cosecutivos de 10. Plte u ecució que te permit hllr lo que mide cd águlo. Cuáto mide el meor de ellos? 6. Clcul los águlos de u triágulo isósceles, sbiedo que el águlo desigul es 0º más pequeño que los otros dos. 7. Si cierto úmero le rests siete uiddes te d lo mismo que si lo divides por. De qué úmero se trt? 8. E u clse hy lumos. Si hy cico chicos por cd dos chics. Cuátos chicos y chics hy? Mtemátics º de ESO

55 Mt º ESO IES Complutese 9. A u cub de vio, iicilmete lle, se le extre u sexto de su cpcidd más 1 litros. Si ñdiedo u curto de su cpcidd éste vuelve llerse, cuátos litros cbe e l cub? 10. Se h mezcldo dos tipos de vio, uo que cuest euros el litro co otro de euros el litro. Si l mezcl sle,0 euros el litro, cuátos litros se h empledo del más cro si del más brto se h empledo 0? 11. Se h mezcldo x litros de vio, que cuest euros el litro, co 0 litros de vio que cuest euros el litro. Si l mezcl sle, /litro, cuátos litros se h empledo del primer vio? 1. Descompó el úmero 10 e dos sumdos positivos de mer que el cudrdo del myor más el doble del meor vlg L sum de los cudrdos de l edd ctul y de l que tedrá detro de dos ños u muchcho es de 80. Cuátos ños tiee el chico? 1. L sum de los cudrdos de dos úmeros cosecutivos es 1. Qué úmeros so? 1. Si los ldos de u cudrdo se le ñde cm, su áre umet e cm. Cuáto medí el ldo iicil? Solucioes Pedro, 10; Pdre, 0 ños.. 10 cm.... 0º. 6. 0º, 70º y 70º. 7. 1,7. 8. chicos; 10 chics litros litros litros y cm. Mtemátics º de ESO

56 Mt º ESO IES Complutese Tem 8. Sistems de ecucioes lieles Resume Ecucioes de primer grdo co u icógit. So expresioes de l form x by c. Ls icógits so x e y, mietrs que, b y c so úmeros. L solució de ests ecucioes so pres de vlores (uo pr x y otro pr y) que cumple l ecució. Ejemplos: ) x y 8. El pr x e y es solució, pues 8. Tmbié es solució el pr x 1 e y. El pr x e y o es solució de es ecució, pues 1 8. b) L ecució x y 1tiee por solucioes x e y ; x 1 e y, e ifiitos pres más. El pr x 1 e y o es solució de ell. U ecució co dos icógits tiee ifiitos pres de solucioes. Esos pres se correspode co los putos de u rect. Sistems de dos ecucioes lieles co dos icógits. x+by c Su form más simple es. x+by c L solució de u sistem es el pr de vlores de x e y que cumple ls dos ecucioes l vez. x y 8 Ejemplo: Ls dos ecucioes del ejemplo terior determi el sistem. Su x y 1 solució es x 1 e y, y que ese pr es solució de mbs ecucioes. Como puede verse, los vlores solució, x 1 e y, se correspode co ls coordeds del puto (1, ), que es el de corte de ls rects socids cd u de ls ecucioes. Hy vrios métodos de resolució: sustitució, igulció, reducció. Sustitució: Se despej u icógit e u de ls ecucioes y su vlor se sustituye e l otr ecució. Se obtiee u uev ecució, cuy solució permite hllr l del sistem. x y 8 Ejemplo: Pr resolver el sistem : x y 1 1º. Se despej y e l segud ecució ( y 1x ). º. Se llev (se sustituye) su vlor l primer ecució: x 1 x 8. º. Se resuelve l uev ecució: x 1 x 8 x 6x 8 10x 10 x 1. º. El vlor x 1 se llev l ecució despejd: y 11. L solució del sistem es: x 1 e y. Igulció: Se despej l mism icógit e ls dos ecucioes. Iguldo mbs icógits se obtiee otr ecució. L solució de est uev ecució permite hllr l solució del sistem. Mtemátics º de ESO

57 Mt º ESO IES Complutese x y 8 Ejemplo: E el mismo sistem, puede despejrse l icógit y e ls dos x y 1 x 8 y x y ecucioes. Se obtiee:. y 1 x y 1 x Iguldo: x 1x x x 1. El vlor x 1 se llev l culquier de ls ecucioes: y 11. L solució del sistem es: x 1 e y. Reducció: Se multiplic cd ecució por u úmero distito de 0, co el fi de que los coeficietes de u de ls icógits se igules (u opuestos). Restdo (o sumdo) mbs ecucioes se obtiee u uev ecució cuy solució permite hllr l del sistem. x y 8 Ejemplo: E el sistem, si se multiplic l segud ecució por, qued: x y 1 x y 8. Sumdo mbs ecucioes, térmio térmio, se obtiee 10x 10 x 1. 6x y Ese vlor x 1 se sustituye e culquier de ls ecucioes; se obtiee y. Observció: Los sistems que o tiee solució se llm icomptibles. Resolució de problems co yud de sistems: llámle x; llámle y. L plicció de sistems es ecesri cudo e u problem hy dos icógits. A u de ess icógits se le llm x, l otr y. Pr resolver u problem, debes: 1.º Leer deteidmete el problem: sber qué dtos te d y lo que te pide ecotrr..º Descubrir ls relcioes etre los dtos y ls icógits. Escribir ess relcioes e form de iguldd. Co ls ecucioes hllds se form u sistem..º Resolver ese sistem..º Comprobr que l solució obteid es correct. Ejemplo: E u grj, etre gllis y coejos hy 7 cbezs y 18 pts. Cuátos imles hy de cd clse? Se descooce el úmero de gllis y el úmero de coejos. Si se llm x l úmero de gllis, e y l de coejos, debe cumplirse: x y 7 gllis + coejos 7. Cd gllis tiee pts etre ls x gllis tedrá x pts. Cd coejo tiee pts etre los y coejos tedrá y pts. E totl hy 18 pts: x y 18. x y 7 Se obtiee el sistem:. x y 18 x y 88 Multiplicdo por l primer ecució se tiee: (restdo) x y 18 x 10 x (sustituyedo x e l primer ecució) y 0. Por tto, e l grj hy gllis y 0 coejos. Comprobció: Número de cbezs: de cuerdo co el eucido. Número de pts: de cuerdo co el eucido. Mtemátics º de ESO

58 Mt º ESO IES Complutese Tem 8. Sistems de ecucioes lieles Autoevlució 1. D tres pres de solucioes de ls siguietes ecucioes: ) x y 7 Extr 1 b) x y 8 c) x y 0 d) x y. Pr ls ecucioes teriores, idic l ecució de l que es solució lguo de los siguietes prtes (Justifíclo hciedo l comprobció): ) (, 1) d) 1. b) (10, ) c) (1, ) d) (, ). Represet gráficmete ls rects socids ls ecucioes x y 7 y x y 8. Hy lgu solució comú? x y 7. Resuelve el sistem por los tres métodos. Comprueb que l solució es l x y 8 mism. Sustitució Igulció Reducció. Resuelve por sustitució los siguietes sistems: ) x y x y 7 y x x y 7 Se sustituye e l segud ecució: x x 7 x y 7 b) x y 7 6 Mtemátics º de ESO

59 Mt º ESO IES Complutese 6. Resuelve por igulció los siguietes sistems: x y x y 0 ) b) x y 6 x y 7. Resuelve por reducció los siguietes sistems: x y 6 x y ) b) x y 1 x y 8. Hll dos úmeros sbiedo que su sum es 87 y su difereci. Extr 9. Pedro llev billetes de y de 10. E totl so billetes, que supoe 1 euros. Cuátos billetes tiee de cd ctidd? 10. U estudite reliz u exme de tipo test. Por cd respuest certd recibe putos, pero por cd error se le rest putos. Si h cotestdo 0 preguts y su clificció h sido de 9 putos, cuáts respuests cotesto correctmete? 11. E u cj hy pers y mzs. Si se quit tres pers y se reemplz por tres mzs, l rzó de pers y mzs es de 1 1. Si se quit tres mzs y se reemplz por tres pers, l rzó de pers y mzs es de 1 7. Cuáts mzs hy e l cj? Solucioes: 1. Hy ifiitos pres. Por ejemplo: ) (0, 7), (1, 6), (, ); b) (0, 8), (, 0), (, ); c) (0, 0), (1, ), (, 6); d) (0, ), (, 1), (6, 0). Extr 1, 1.. Respectivmete: d), ), c), b).. Sol. (, ).. x ; y.. ) (, 1); b) (, 1); c) (0, ). 6. ) (1, ); b) (, 1). 7. ) (, ); b) (1, 1) y 1. Extr, 0 y de y 8 de ciertos; 11 fllos. 11. pers y 17 mzs. 7 Mtemátics º de ESO

60 Mt º ESO IES Complutese Tem 9. (I) Geometrí. Teorem de Pitágors Resume Teorem de Pitágors. E u triágulo rectágulo, el áre del cudrdo costruido sobre l hipoteus es igul l sum de ls áres de los cudrdos costruidos sobre los ctetos. Esto es: c b. Ejemplo: Si y b, el ldo c cumple que c 9 16 c. Igulmete, si los ldos,, b y c, de u triágulo verific l relció c c el de myor logitud, el triágulo es rectágulo. Ejemplos: ) El triágulo de ldos 1, 9 y 8 o es rectágulo, pues 1 9 8, y que b) El triágulo de ldos 17, 1 y 8 sí es rectágulo, pues , y que b, siedo El teorem de Pitágors permite coocer u ldo descoocido de u triágulo rectágulo, cudo se cooce los otros dos, pues: c b c b b c c b c b b c Ejemplos: ) Si los ctetos de u triágulo rectágulo mide cm y cm, su hipoteus, c, cumple que: c 9 16 c. b) Si l hipoteus vle c 8 cm y u cteto vle 6 cm, el otro cteto, b, cumple: ( b c ) b b 8, 9. Algus pliccioes del teorem de Pitágors E muchs figurs geométrics (cudrdos, rectágulos, triágulos ), el teorem de Pitágors permite clculr digoles, ldos, lturs, potems Pr ello, e todos los csos, hy que costruir el triágulo rectágulo propido. E los cudrdos y e los rectágulos puede hllrse l digol cudo se cooce los ldos. E el cudrdo: d l l l l. Tmbié podrí hllrse el ldo coociedo l digol. E el rectágulo: d b. Tmbié podrí hllrse u ldo coociedo l digol y el otro ldo. Ejemplos: ) Si el ldo de u cudrdo vle 6 cm, su digol es d , 8. b) Si l digol de u rectágulo mide 10 cm y su bse mide 8 cm, etoces puede clculrse su ltur, y vle: cm. 8 Mtemátics º de ESO

61 Mt º ESO IES Complutese E u triágulo equilátero, pr culquier vértice, l ltur divide l triágulo e dos triágulos rectágulos de hipoteus el ldo del triágulo y uo de sus ctetos igul l mitd del ldo (de l bse). Por tto, l ltur podrí hllrse plicdo el teorem de Pitágors. l Esto es: l l l l h h l h. Por lo mismo, coociedo l ltur puede clculrse l medid del ldo. Ejemplos: ) Si el ldo de u triágulo equilátero mide 1 cm, su ltur vldrá: 1 h 1 cm. b) Si l ltur de u triágulo equilátero mide cm, etoces: l l l l 16 l l l l, 61 cm. 6 6 l E u triágulo isósceles l ltur correspodiete l ldo desigul divide l triágulo isósceles e dos triágulos rectágulos de hipoteus el ldo del triágulo y uo de sus ctetos igul l mitd del otro ldo. Por tto, coociedo los ldos, l ltur podrí hllrse plicdo el teorem de Pitágors. Ejemplo: Si e el triágulo djuto el ldo l cm y l bse b 8 cm, se cumple: b l h h h 16 9 h h. E los polígoos regulres puede estblecerse relcioes pitgórics etre el ldo del polígoo, su potem y el rdio de l circufereci circuscrit. Como puede observrse, se estblece l relció: de ls tres medids puede obteerse l otr. r l. Por tto, coociedo dos 9 Mtemátics º de ESO

62 Mt º ESO IES Complutese Tem 9. (I) Geometrí. Teorem de Pitágors Autoevlució (Pr resolver los ejercicios de hoj puede utilizrse clculdor. Hz los dibujos que ecesites). 1. Hll el ldo descoocido e cd uo de los siguietes triágulos rectágulos:. Comprueb si so rectágulos (o o so), los triágulos de ldos: ) 9, 11 y 1 cm NO, pues y b) 1, y 7 cm c) 1,7, 0,8 y 1, m. Hll l digol de los siguietes rectágulos:. De u rectágulo se sbe que su digol mide 9 cm y su bse 1 cm. Hll su ltur, su perímetro y su áre.. Hll l digol de los siguietes cudrdos: 60 Mtemátics º de ESO

63 Mt º ESO IES Complutese 6. L digol de u cudrdo mide 1 cm, cuáto mide su ldo? 7. Hll el áre de u cudrdo de digol 1 cm. 8. El ldo de u rombo mide 10 cm y su digol myor 16 cm. Cuáto vle su digol meor? 9. Ls digoles de u rombo mide 8 y 6 cm. Hll su ldo. 10. Hll el áre de u triágulo equilátero de ldo 8 cm. 11. U triágulo isósceles tiee perímetro 6 cm. Si su ldo desigul mide 10 cm, hll su ltur y su áre. 1. E l figur djut se muestr u petágoo y u hexágoo regulres. Ambos está iscritos e u circufereci de rdio 10 cm. Se pide: ) Si l potem del petágoo vle proximdmete 8,1 cm, clcul el ldo del petágoo y su áre. b) Clcul l potem del hexágoo y su áre. ) b) Solucioes: 1. c 10; 8; b 0.. ) No. b) Sí. c) Sí.. 6; 7;.. 0 cm; 8 cm; 0 cm.. Aprox: 1,1; 11,1; 8, , , cm cm. 9. cm ,71 cm cm; 60 cm. 1. ) 11,7 cm; 7, cm. b) 8,66; 9,8 cm. 61 Mtemátics º de ESO

64 Mt º ESO IES Complutese Tem 9. (II) Geometrí: Semejz, teorem de Tles Resume Ituitivmete, puede decirse que dos figurs so semejtes cudo tiee l mism form: so igules slvo e su tmño; u es más grde que otr, pero si deformcioes. Ls mplicioes o reduccioes fotográfics so semejtes. Mtemáticmete, dos figurs so semejtes cudo ls medids (ls distcis) e u de ells so proporcioles ls medids correspodietes e l otr. El cociete de mbs medids se llm rzó de semejz. Que o hy deformcioes sigific que los águlos formdos e u de ells so igules los correspodietes e l otr. Ejemplos: ) L rzó de semejz etre ls dos fotogrfí de l portd de l ctedrl de Burgos es 0,. Si se divide l medid de culquier distci de l foto pequeñ por su correspodiete e l otr, el cociete es 0,: (distci de A B ) / (distci de A B) 0,. Igulmete, d(a, C ) / d(a, C) 0,. Los águlos de vértice A y A so igules; lo mismo ps co B y C.. b) Los plos, los mps y ls mquets so represetcioes semejtes de sus correspodietes e l relidd. E todos los csos, l rzó de semejz viee expresd por l escl. Así, u plo hecho escl 1 : 100 idic que 1 cm del plo equivle 100 cm (1 metro) e l relidd; y l revés, cd metro de l relidd debe represetrse como 1 cm e el plo. Semejz de triágulos Dos triágulos so semejtes cudo tiee igules los águlos y proporcioles los ldos correspodietes. Se cumple que: Aˆ A ˆ ; Bˆ B ˆ ; Cˆ C ˆ ; b c. b c Si dos triágulos so semejtes puede superpoerse u águlo y los dos ldos que lo form; los ldos o comues serí prlelos. Los triágulos puestos sí se dice que está e posició de Tles. 6 Mtemátics º de ESO

65 Mt º ESO IES Complutese Teorem de Tles El teorem de Tles relcio ls logitudes de los segmetos obteidos l cortr u cojuto de rects prlels por dos rects culesquier. Se puede formulr como sigue: Si se tiee u cojuto de rects prlels y so cortds por otrs dos rects r 1 y r, etoces, ls medids de los segmetos determidos e u de ls rects sectes (e r 1 ) so proporcioles ls medids de los segmetos correspodietes determidos e l otr (e r ). AB BC CD Por tto:. A B B C C D Tmbié puede verse que los triágulos PAA, PBB, PCC so semejtes (está e posició de Tles): tiee dos ldos superpuestos y el tercero, prlelo. Luego, tmbié se cumple que: PA PB PC. AA BB CC De otr mer. Tod prlel u ldo de u triágulo, ABC, determi otro triágulo pequeño, A B C, semejte l grde (Los triágulos ABC y A B C está e posició de Tles). Ejemplos: ) Si dos triágulos so semejtes co rzó de semejz, y si los ldos del pequeño mide cm, 7 cm y 6 cm, los del myor medirá 8 cm, 16 cm y 1 cm, respectivmete. b) Pr trzr el triágulo pequeño prtir del grde bst co uir dos de los putos medios de dos ldos. c) Pr trzr el triágulo grde prtir del pequeño se prolog dos ldos y co medid doble prtir del vértice comú se ue los putos determidos. Figurs semejtes. Dos figurs so semejtes cudo los segmetos determidos e u de ells so proporcioles sus correspodietes e l otr. El cociete de ls logitudes de los dos segmetos correspodietes se llm rzó de semejz o escl, k. E este cso, l rzó de semejz etre el petágoo grde y el pequeño vle. E ls figurs semejtes los águlos so igules y ls distcis proporcioles. 6 Mtemátics º de ESO

66 Mt º ESO IES Complutese Otrs pliccioes de l semejz (del teorem de Tles) Divisió de u segmeto e prtes igules Ejemplo: Pr dividir u segmeto AB e prtes igules se procede como sigue: 1. Se u trz u semirrect que prt de A, y sobre ell se mrc segmetos (cosecutivos) de l mism logitud (eso puede hcerse co yud de u compás). Se P 1, P, P, P y P los extremos de esos segmetos.. Se ue el extremo del quito segmeto (P ) co el puto B.. Se trz rects prlels l rect P B por los putos de divisió P 1, P, P y P.. Los putos M 1, M, M y M obteidos sobre el segmeto AB lo divide e prtes igules. (Debe ser evidete que si los segmetos AP 1, AP so igules tmbié lo será AM 1, AM Medid de l ltur de u objeto verticl por su sombr Ejemplo: Pr medir l ltur de u edificio, de u árbol, de u torre, e u dí de sol, puede procederse como sigue: 1. Se coge otro objeto de medid coocid, pogmos de 1, metros, y se mide l logitud de su sombr: 0,8 m, por ejemplo.. Se mide l logitud de l sombr del edifico, del árbol ; supogmos que l sombr del edifico mide m, y l del árbol,8 m.. Aplicdo Tles se tedrá: 1, x 1, x 1, m. 0,8 0,8 Igulmete: 1, y 1,,8 y 9 m. 0,8,8 0,8 6 Mtemátics º de ESO

67 Mt º ESO IES Complutese Tem 9. (II) Geometrí: Semejz, teorem de Tles Autoevlució 1. U ul rectgulr mide 9 m de lrgo y 7 m de cho. Dibújl escl 1 : 100. Dibuj e ell l mes del profesor que mide 1,0 0,80 metros.. E el plo de u vivied, el sló mide, cm de lrgo y,8 cm de cho. Si l escl es 1:10, cuáles so ls dimesioes del sló?. E u mp escl 1: l distci etre dos pueblos A y B es,8 cm. Cuál es l distci rel etre ellos?. Los ldos del triágulo ddo e l figur djut mide 7, 6 y cm. Si el ldo AC se divide e cutro prtes igules, trzdo prlels l bse por los putos de divisió se obtiee otros tres triágulos más pequeños. ) Cuáles será ls logitudes de los ldos de cd uo de los triágulos obteidos? b) Si l ltur desde A mide, cm, cuáto medirá ls lturs de cd uo de los tres triágulos más pequeños? c) Cuáto vle ls superficies de cd uo de los cutro triágulos semejtes? 6 Mtemátics º de ESO

68 Mt º ESO IES Complutese. Aplicdo el teorem de Tles hll los vlores de x, y, z e l siguiete figur. 6. Divide el segmeto AB: ) E prtes igules. b) E 7 prtes igules. 7. A mide 19 cm y proyect u sombr de cm. A l mism hor, l torre del cmprio de l iglesi y u ciprés proyect sombrs de logitud 1, m y 6, m, respectivmete. Cuál es l ltur de l iglesi y del ciprés? 8. L mquet de u rsccielos e form de prism cudrgulr mide cm de ldo por cm de lto. Si está hech escl 1 : 1000, cuáles so ls medids de ese edificio e l relidd? Qué volume ocup l mquet y cuál será el volume rel del rsccielos? Solucioes:. 7,8,7 metros..,8 km.. ) 1,7, 1, y 1 cm;,, y cm;,,, y cm. b) 0,8; 1,71;,6. c) 0,781 cm ;,99 cm ; 6,71 cm ; 11,97 cm x ; y 6; z. 7. 0, m; 18,6 m. 8. Medids: 0 m de ldo; 0 m de ltur. 9 Volume de l mquet: 0 cm. Volume rel: 000 m. 66 Mtemátics º de ESO

69 Mt º ESO IES Complutese Tem 10. Cuerpos geométricos Resume Prism Volume: V l h Áre totl: A l h l E geerl: Volume áre de l bse ltur Áre totl Sum de ls áres de sus crs. Cilidro Volume: V r h Áre totl: A r h r E geerl: Volume áre de l bse ltur Áre totl Sum de ls áres de sus crs. Pirámide 1 l Volume: V h l H l Áre totl: A E geerl: Volume 1 (áre de l bse ltur) Áre totl Sum de ls áres de sus crs. Coo 1 Volume: V r h Áre totl: A r h r E geerl: Volume 1 (áre de l bse ltur) Áre totl Sum de ls áres de sus crs. 67 Mtemátics º de ESO

70 Mt º ESO IES Complutese Tem 10. Cuerpos geométricos Autoevlució 1. Hll el volume y el áre totl de u cubo de 0 cm de ldo. (Hz u dibujo oriettivo).. U cj de zptos mide cm. Hll su volume y el crtó míimo ecesrio pr costruirl.. U ul tiee form de prism recto. Si sus dimesioes so: 8 m de lrgo, 6,0 m de cho y,80 m de lto, cuátos m de ire cotiee? Si pudiese llerse gu, cuátos litros cbrí? (Hz u dibujo oriettivo).. L mism ul tiee u lterl lrgo cristldo; e otro lterl está l puert, que mide 1,0,0 m. Si se pit ls predes, meos el ldo cristldo y l puert, cuáto mide l superficie pitd?. Hll el volume de u pirámide de bse u petágoo regulr de ldo 8 cm, potem de l bse, cm y ltur 1 cm. Clcul tmbié l potem (H) de sus crs lterles y el áre lterl. 68 Mtemátics º de ESO