Apuntes Sistemas de Control

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1 Universia e Coneión Faulta e Ingeniería Deto. e Ingeniería Elétria Auntes Sistemas e Control S/T m (t) nm (t) y (t) Controlaor Atuaor u(t) Proeso y(t) S/T 5 ava eiión Prof. José R. Esinoza C. Agosto 5

2 Auntes: ii Tabla e ontenios PRÓLOGO... IV NOMENCLATURA... V ABREVIACIONES... VIII INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL..... Sistemas en Lazo Abierto (L.A.) y en Lazo Cerrao (L.C.)..... Terminología y Definiiones Reresentaión Matemátia Control en los iferentes Tios e Sistemas Otras Estrategias e Control Clasifiaión e Sistemas e Control Alanes el Curso Ejeriios Prouestos SISTEMAS HÍBRIDOS..... Introuión..... Sistemas Equivalentes en z Sistemas Equivalentes en kt Retaros Intrínseos Polos e un Sistema Disreto Equivalente Maeo e Polos e Sistemas e er y o Oren Seleión el Tiemo e Muestreo Ejeriios Prouestos ESTADO ESTACIONARIO EN SISTEMAS REALIMENTADOS Introuión Efetos e la Realimentaión Estabilizaión utilizano Realimentaión Errores en Estao Estaionario Controlaores ara Premisas e Error Estaionario Ejeriios Prouestos RÉGIMEN TRANSIENTE EN SISTEMAS REALIMENTADOS Comortamiento Transitorio e Sistemas e Primer Oren Comortamiento Transitorio e Sistemas e Seguno Oren Eseifiaiones en el Dominio e la Freuenia Polos Dominantes y Reuión e Oren Sistemas on Retaro Ejeriios Prouestos LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Introuión El Métoo el L.G.R Reglas Aiionales ara la Construión el L.G.R Análisis e Sistemas y Ejemlos e Sintonizaión

3 Auntes: iii 5.5 Ejeriios Prouestos CRITERIO DE NYQUIST Introuión Teorema e Cauhy Criterio e Nyquist ara Sistemas Continuos Criterio e Nyquist ara Sistemas Disretos Estabilia Relativa Ejeriios Prouestos DISEÑO Y COMPENSACIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL Introuión Comensaión en Aelanto ara Sistemas Continuos Comensaión en Atraso ara Sistemas Continuos Comensaión on Rees e Primer Oren Disretas Comensaión AelantoAtraso Comensaor P.I.D. Análogo Comensaor P.I.D. Disreto Ejeriios Prouestos BIBLIOGRAFÍA ÍNDICE ALFABÉTICO... 4

4 Auntes: iv Prólogo. El urso "Sistemas e Control" es obligatorio ara alumnos e regrao e la arrera e Ingeniería Civil Elétria Eletrónia y Bioméia e la Universia e Coneión y ertenee al lan e asignaturas orientaas al Área e Control Automátio el Deartamento e Ingeniería Elétria. En éste se entregan herramientas ara el tratamiento e sistemas lineales ontinuos y isretos inámios e invariantes en el tiemo tio SISO (una entraa una salia) transformánose en una aliaión natural e los temas y herramientas revisaas en el urso Sistemas Lineales Dinámios. Los tóios aquí revisaos ermiten analizar sistemas lineales on énfasis en estruturas realimentaas. En artiular se aboran temas omo el análisis en estao estaionario y inámio e sistemas que se araterizan or tener una entraa y una salia también se introuen herramientas omo son el Lugar Geométrio e las Raíes y el Criterio e Nyquist. Finalmente se revisa el iseño e ontrolaores utilizano las herramientas anteriores. Los temas son ilustraos on aliaiones a sistemas ontinuos isretos e híbrios. El alumno ebe tener ominio e los temas entregaos en el urso e Sistemas Lineales Dinámios ara avanzar fluiamente en las materias e este texto. En artiular el uso e transformaiones omo lo son la Transformaa Z y la e Lalae y toas sus roieaes. Aemás un holgao manejo e rogramas e simulaión es efinitivamente neesario ara seguir los ejemlos y esarrollar los ejerios rouestos en el aunte. Se reomiena MatLab TM y/o MathCa TM. El oumento fue igitao enteramente en Wor for Winows e MiroSoft TM y los ejemlos fueron esarrollaos en MatLab TM y/o MathCa TM. Se esea agraeer sineramente a los alumnos que ursaron la asignatura en años anteriores or su omrensión y ooeraión en orregir las versiones reliminares e estos auntes. Dr. José R. Esinoza C. Profesor Titular Deto. e Ingeniería Elétria of. Faulta e Ingeniería Universia e Coneión Casilla 6C Correo 3 Coneión CHILE Tel: 56 (4) 35 Fax: 56 (4) htt://www.ue.l/jose.esinoza

5 Auntes: v Nomenlatura Matries A : matriz e arámetros e imensión n n. B : matriz e arámetros e imensión n. C : matriz e arámetros e imensión q n. D : matriz e arámetros e imensión q. E : matriz e arámetros e imensión n m. F : matriz e arámetros e imensión q m. T : matriz e transformaión e imensión e n n. A T : matriz e arámetros transformaa meiante T e imensión n n. A T TAT B T : matriz e arámetros transformaa meiante T e imensión n. B T TB C T : matriz e arámetros transformaa meiante T e imensión q n. C T CT D T : matriz e arámetros transformaa meiante T e imensión q. D T D E T : matriz e arámetros transformaa meiante T e imensión n m. E T TE F T : matriz e arámetros transformaa meiante T e imensión q m. F T F T abαβ : matriz e transformaión e ejes ab a αβ imensión 3 3. T αβab : matriz e transformaión e ejes αβ a ab imensión 3 3. T αβq : matriz e transformaión e ejes αβ a q imensión 3 3. T qαβ : matriz e transformaión e ejes q a αβ imensión 3 3. T abq : matriz e transformaión e ejes ab a q imensión 3 3. T qab : matriz e transformaión e ejes q a ab imensión 3 3. H(s) : matriz e transferenia. H(s) C(sI A) B D. H ˆ ( s) : matriz e transferenia inversa. H ˆ ( s) H (s). H(s) H : matriz onjugaa transuesta e H(s). H(s) H (H(s) * ) T. C : matriz e ontrolabilia. O : matriz e observabilia. L(s) : matriz e transferenia en L.D. Φ(t) : matriz e transiión. Aj{P} : matriz ajunta e la matriz P. iag{x } : matriz iagonal omuesta or los valores x x. Re{X} : matriz arte real e la matriz X. Im{X} : matriz arte imaginaria e la matriz X. Vetores x : vetor e n variables e estaos x [x x x n ] T u : vetor e variables e entraa u [u u u ] T y : vetor e q variables e salia y [y y y q ] T : vetor e m erturbaiones [ m ] T xˆ : vetor e n variables e estaos xˆ [ ˆx ˆx xˆ n ] T (estimaión e x). ŷ : vetor e q variables e estaos ŷ [ ŷ ŷ ŷ q ] T (estimaión e y). x~ : vetor e n variables e estaos ~ x [ ~ x ~ x x~ n ] T (error e estimaión e ~ x x xˆ ). x ab : vetor e tres variables e estaos x ab [x a x b x ] T (ejes estaionarios ab). : vetor e tres variables e estaos x αβ [x α x β x ] T (ejes estaionarios αβ). x αβ

6 Auntes: vi : vetor e tres variables e estaos x q [x x q x ] T (ejes rotatorios q). : oniión iniial el vetor e estaos x [x x x n ] T : vetor e estaos en el unto e oeraión x o [x o x o x no ] T : vetor e entraas en el unto e oeraión u o [u o u o u o ] T : vetor e salias en el unto e oeraión y o [y o y o y qo ] T : vetor eseao (referenia) e q variables e salia y [y y y q ] T : vetor e erturbaiones en el unto e oeraión o [ o o qo ] T x : variaión el vetor e estaos x en torno a x o x [ x x x n ] T u : variaión el vetor e entraas u en torno a u o u [ u u u ] T y : variaión el vetor e salias y en torno a y o y [ y y y q ] T : variaión el vetor e erturbaiones en torno a o [ m ] T x(s) : Lalae e x x(s) [x (s) x (s) x n (s)] T u(s) : Lalae e u u(s) [u (s) u (s) u (s)] T y(s) : Lalae e y y(s) [y (s) y (s) y (s)] T (s) : Lalae e (s) [ (s) (s) m (s)] T v k : késimo vetor roio e A. w k : késimo vetor roio e A T. * v k : onjugao el késimo vetor roio e A. x e : vetor e estaos ara entraa ero. x i : vetor e estaos ara.i. nulas. y e : vetor e salias ara entraa ero. y i : vetor e salias ara.i. nulas. k : késima fila e la matriz C. b k : késima olumna e la matriz B. V(x) : graiente e la funión V(x). V(x) V(x)/ x. x q x x o u o y o y o Esalares x k : késima variable e estao. x k /t x& k : erivaa e la késima variable e estao. a k : késimo oefiiente el olinomio araterístio e A. λ k : késimo valor roio e A. * λ k : onjugao el késimo valor roio e A. λ ij : ganania relativa entre la entraa iésima y la salia jésima. l(s) : funión e transferenia en L.D. ij : elemento ij e la matriz D. h ij (s) : elemento ij e la matriz H(s). hˆ ij ( s) : elemento ij e la matriz H ˆ ( s) H (s). rango{p(s)} : rango e la matriz P(s). et{p(s)} : eterminante e la matriz P(s). arg{x} : ángulo el número omlejo x. tr{p(s)} : traza e la matriz P(s). max ij {w ij } l : máximo elemento e la matriz W l. max{} : máximo valor. min{} : mínimo valor. log{} : logaritmo en base. u(t) : entraa esalón. r(t) : entraa rama.

7 Auntes: vii e : norma el elemento e. σ l (A) : lésimo valor singular e A. σ (A) : máximo valor singular e A. σ (A) : mínimo valor singular e A. ρ(a) : raio esetral e A. γ(a) : número e oniión e A. V(x) : funión e Lyaunov. Ω : veina en el esaio e estaos e x. G : onjunto invariante. R : onjunto invariante subonjunto e G. e ss : vetor e error en estao estaionario. δ : bana e asentamiento. t s : tiemo e asentamiento. V : valor meio (RMS) e la señal ontinua (alterna) v(t). f(t) : funión en el tiemo ontinuo. f(k) : funión en el tiemo isreto (también esrita f(kt) on T el tiemo e muestreo). f(s) : funión en el lano e Lalae. f(ω) : funión en freuenia ontinua e tiemo ontinuo. f(ω) : funión en freuenia ontinua e tiemo isreta. f(n) : funión en freuenia isreta e tiemo ontinuo. f(m) : funión en freuenia isreta e tiemo isreta.

8 Auntes: viii Abreviaiones. Mayúsulas L.A. : lazo abierto. L.C. : lazo errao. L.D. : lazo ireto. L.I.T. : lineal invariante en el tiemo. S.P.I. : semilano izquiero. S.P.D. : semilano ereho. F. e T. : funión e transferenia. F.D. : funión esritora. M. e T. : matriz e transferenia. B.W. : anho e bana. E.S. : entraa/salia. S.S. : estao estaionario. SISO : sistema e una entraa y una salia (single inut single outut). MIMO : sistema e varias entraas y varias salias (multile inuts multile oututs). L.G.R. : lugar geométrio e las raíes. P.I.D. : ontrolaor roorional integral erivativo. S.P. : sobreaso. M.G. : margen e ganania. M.F. : margen e fase. FCD : forma anónia iagonal. FCC : forma anónia ontrolable. FCO : forma anónia observable. FCJ : forma anónia e Joran. T.L. : Transformaa e Lalae. T.F. : Transformaa e Fourier. T.F.F.D. : Transformaa e Fourier e Freuenia Disreta. T.Z. : Transformaa Z. T.F.T.D. : Transformaa e Fourier e Tiemo Disreta. T.F.D. : Transformaa e Fourier Disreta. D. e B. : Diagrama e Boe Minúsulas.i. l.i. l.....a. a..a. : oniiones iniiales. : linealmente ineeniente. : linealmente eeniente. : orriente ontinua (en Inglés es..). : orriente alterna (en Inglés es a..). : absisa e onvergenia absoluta.

9 Auntes: Introuión a los Sistemas e Control. En este aítulo se introue el oneto e ontrol omo una neesia funamental ara lograr objetivos eseífios en los sistemas físios. Eseial énfasis se a a las estruturas realimentaas y realimentaas y se muestra que la mayoría e las realiaes han funionao ese siemre omo estruturas realimentaas. Prouto e la aariión e los sistemas igitales omo alternativa e imlementaión e tareas e ontrol se introuen los sistemas híbrios que ombinan la tenología tiemo ontinuo y tiemo isreto. Para tener un voabulario uniforme se revisa la terminología inherente a sistemas e ontrol. Finalmente se inian los alanes el urso en el ontexto más general e los sistemas e ontrol.. Sistemas en Lazo Abierto (L.A.) y en Lazo Cerrao (L.C.). A ontinuaión se revisa meiante ejemlos el uso e estrategias e ontrol omo forma inherente e funionamiento. Aemás se muestra que el ser humano ha inluio el ontrol ara onseguir objetivos eseífios ese siemre en las variaas realiaes físias. A. Automóvil. Sea el aso el automóvil que enfrenta una eniente ositiva y que el onutor mantiene la osiión el aeleraor en un ángulo onstante Fig... La eniente luego esaaree or lo que el vehíulo eventualmente llega a su veloia iniial que se suone en km/hr. Las antiaes involuraas son: osiión el aeleraor () θ v v [km/hr] infraión! t Fig.. El automóvil y su erfil e veloia on el eal e aeleraión en una osiión fija.

10 Auntes: veloia el automóvil (v) eniente el amino (θ) eso el vehíulo (m) anho e los neumátios (w) veloia el viento en ontra (v v ) el vehíulo () tio e benina (tv) Las antiaes involuraas se ueen lasifiar e la siguiente manera: θ m v v automóvil w tv... Fig.. Diagrama en bloques el ejemlo el automóvil. v v: antia a ontrolar : antia a maniular θ m v v : erturbaiones (que moifian v ero que no son maniulables) w tv: arámetros (que efinen el sistema) las uales se ueen reresentar omo se ilustra en la Fig.. y que orresone a un Sistema en Lazo Abierto (L.A.). Para mantener la veloia fija el onutor observa el oómetro y ambia la osiión el eal Fig..3 e manera e lograr una veloia aa que se onoerá omo la referenia v (también onoia omo onsigna o valor eseao). Este es el objetivo básio que se suone se tiene al onuir en la arretera. Esta estrutura que se funamenta en la orreión e la antia maniulaa e auero a la esviaión entre la antia eseaa y la ontrolaa se onoe omo Sistema en Lazo Cerrao (L.C.). El iagrama e bloques resultante se uee onsierar omo el ilustrao en la Fig..4. En éste el onutor uee ser reresentao or un erebro que reaiona a la iferenia entre la veloia eseaa y la que se tiene y or un sistema que transforma la salia el erebro en un ángulo el eal el aeleraor. Un análisis rimario iniaría que el erebro reaiona a la iferenia la erivaa y la integral e la iferenia entre la veloia eseaa y la que se tiene. Es eir ( v v) u k ( v v) k ki ( v v) t t. Este resultao es muy ausiioso uesto que ermitiría reemlazar al erebro el onutor or un v θ m v v automóvil w tv... oómetro Fig..3 El onutor atualiza la variable maniulaa e auero a la variable a ontrolar. v onutor θ m v v v erebro u ierna Automóvil v Transmisor e señal Sensor e veloia Fig..4 Esquema realimentao ara el sistema onutorautomóvil.

11 Auntes: elemento que tenga una relaión entraa/salia equivalente. Este oría ser el aso e un iruito eletrónio en one aemás la ierna el onutor también es reemlazable or un sistema meánio equivalente. Esta soluión existe hae algún tiemo y es onoia omo ontrol ruero. Una regunta que oría lantearse es: se uee extener esta estrutura e ontrol a otros sistemas?. B. Estanque Simlifiao. Se asume que el flujo e salia no eene e la altura el ontenio el estanque Fig..5 y que está ao or lo que ourre on el onsumo aguas abajo e éste. Por lo tanto se reonoen las siguientes antiaes involuraas: antia a ontrolar: altura (h) antia a maniular: flujo e entraa (f e ) antia erturbaora: flujo e salia (f s ) y arámetros: área el estanque (A) y iámetro e añería (φ). En este aso se esea que el estanque oere on un nivel e agua h onstante e igual a una referenia h. Para esto se utiliza un esquema similar al que utiliza el onutor e un automóvil; es eir un sensor e altura un transmisor e altura una válvula y un ontrolaor e altura omo se ilustra en la Fig..5. Las reguntas que surgen entre otras son: ómo iseñar el ontrolaor e altura e manera que éste umla on iertas remisas? sería osible iseñar esta arte el esquema e manera que la altura h sea siemre igual a h? es siemre onveniente este último objetivo? ómo aborar el roblema matemátiamente?. Una herramienta isonible e análisis es la Transformaa e Lalae que si bien es utilizable en S.L.I. se onstituye en la herramienta más oerosa e análisis y iseño en este urso. Así si se requiere que la altura h sea siemre igual a h entones el objetivo se uee esribir omo h( s) h ( s). En este urso iseñar el ontrolaor onsistirá en enontrar la F. e T. que mejor umla on los objetivos rouestos en una estrutura más general omo la ilustraa en la Fig..6. Una etaa osterior ebiera onsierar la imlementaión rátia e éste la ual uee ser or ejemlo eletrónia (un iruito analógio un sistema igital et.) en ombinaión on una neumátia (válvula). y u f e f s h ontrolaor e altura h h Controlaor e altura u Válvula f e Estánque h l SH TH l f s x Transmisor Sensor (a) (b) Fig..5 Estanque on ontrol e altura; (a) iagrama e oeraión (b) esquema e ontrol.

12 Auntes: Terminología y Definiiones. Def.: La variable ontrolaa es la antia que se mie y se ontrola. (h) Def.: La variable maniulaa es la antia moifiaa a fin e afetar la variable ontrolaa. (f e ) Def.: Las erturbaiones son antiaes que afetan aversamente la variable ontrolaa y que no ueen ser maniulaas iretamente. (f s ) Def.: Control signifia meir el valor e la variable ontrolaa y aliar la variable maniulaa tal que se orrige o limita la variable e salia a un valor eseao. Def.: La variable e salia es la o las variables ontrolaas o funión e ellas que se esea limitar entro e márgenes reestableios urante régimen transiente y/o estaionario. (h) Def.: Un sistema es una ombinaión e omonentes que atúan onjuntamente y umlen on un objetivo eterminao. Los hay físios biológios eonómios et. y ombinaión e ellos. (estanque) Def.: Proeso es una oeraión natural o artifiial araterizao or una serie e ambios grauales rogresivamente ontinuos que onsisten en una serie e aiones ontrolaas o movimientos irigios sistemátiamente haia eterminao resultao o fin. (rouión e ael) Def.: Una lanta es un equio uyo objetivo es realizar una oeraión eterminaa. (estanque oleas) Def.: Un sistema e ontrol realimentao es aquel que tiene a mantener una relaión reestableia entre la salia y la referenia omaránolas y utilizano la iferenia omo meio e ontrol. (también onoio omo sistema e ontrol en L.C.) y e Controlaor v Atuaor u Proeso y y s Transmisor Sensor Fig..6 Esquema general e ontrol on realimentaión.

13 Auntes: Def.: Un sistema e ontrol en lazo abierto (L.A.) es aquel en que la salia no tiene efeto sobre la aión e ontrol. De auero a las efiniiones anteriores se tiene que la estrutura general e ontrol realimentao está aa or la Fig..6. Nótese que el atuaor sensor y transmisor no son iseñables a volunta uesto que éstos están isonibles en el merao y or lo tanto su relaión entraa/salia ebe ser onsieraa reestableia. Será menester e este urso rooner y iseñar solamente la estrategia e ontrol y el ontrolaor..3 Reresentaión Matemátia. Como revisao en ursos anteriores los sistemas lineales ermiten os formas e aborar su reresentaión. La rimera es a través e variables e estao y la seguna es a través e la Funión e Transferenia las uales están relaionaas al onsierar las relaiones e entraa y e salia. A. Reresentaión en Variables e Estao. Se onsiera a x(t) [x (t)... x n (t)] T el vetor e variables e estao u(t) la entraa y(t) la salia (t) la erturbaión entones x& ( t) Ax( t) bu( t) e( t) y( t) x( t) f( t) nótese que se ha onsierao omo es en la mayoría e los asos. Por otro lao se onsiera al atuaor omo una ganania k a y la ombinaión sensor/transmisor también omo una ganania k st. Finalmente si se asume que el ontrolaor tiene or variables e estao al vetor ζ(t) y que reaiona al error e(t) y (t) y s (t) entones su entraa es e(t) la salia es v(t) y la relaión entre estas antiaes es ζ & ( t) Aζ( t) b e( t) v( t) ζ( t) e( t) one A b y son matries e arámetros on imensiones aroiaas. Combinano se uee esribir x& ( t) Ax( t) bkav( t) e( t) y( t) x( t) f( t) ζ& ( t) Aζ( t) b ( y ( t) y ( t)) v( t) ζ( t) ( y ( t) y ( t)) ao que y s (t) k st y(t) entones lo que se reue a s s x& ( t) Ax( t) bka ( ζ ( t) ( y ( t) kst y( t))) e( t) y( t) x( t) f( t) ζ& ( t) Aζ( t) b ( y ( t) k y( t)) st x& ( t) ( A bkakst) x( t) bkaζ ( t) bka y ( t) ( e bkakst f ) ( t) y( t) x( t) f( t) ζ& ( t) b k x( t) Aζ( t) b y ( t) b k f( t) st st o esrito en forma matriial. x& ( t) A bkakst bka x( t) bka e bkakst f y ( t) ( t) ( t) k st ( t) kst f ζ & b A ζ b b

14 Auntes: x( t) y( t) [ ] f( t) ( t). ζ Esta reresentaión imlia un nuevo vetor e estaos ao or [x(t) T ζ(t) T ] T y entraas y (t) y (t) queano laro que se esea a y(t) y (t) uano t. B. Reresentaión on Funiones e Transferenia. La F. e T. que relaiona la salia y(s) on la entraa u(s) está aa or y s si A b u s h s u s ( ) ( ) ( ) yu ( ) ( ) similarmente la F. e T. que relaiona la salia y(s) on la erturbaión (s) está aa or or lo que se uee esribir y s si A e f s h s s ( ) { ( ) } ( ) y ( ) ( ) y( s) h ( s) u( s) h ( s) ( s). yu Por otro lao se onsiera al atuaor on una F. e T. aa or u(s) h a (s)v(s) y la ombinaión sensor/transmisor on una F. e T. aa or y s (s) h st (s)y(s). Finalmente si se asume que el ontrolaor tiene or entraa a e(s) y (s) y s (s) y una F. e T. aa or v(s) h (s)e(s) la relaión entre estas antiaes es y( s) h ( s) h ( s) v( s) h ( s) ( s) yu a y h ( s) h ( s) h ( s) e( s) h ( s) ( s) yu a y h ( s) h ( s) h ( s)( y ( s) y ( s)) h ( s) ( s) yu a s y or lo que finalmente se uee esribir que h ( s) h ( s) h ( s)( y ( s) h ( s) y( s)) h ( s) ( s) yu a st y h ( s) h ( s) h ( s) y ( s) h ( s) h ( s) h ( s) h ( s) y( s) h ( s) ( s) yu a yu a st hyu ( s) ha ( s) h ( s) hy ( s) y( s) y ( s) ( s). h ( s) h ( s) h ( s) h ( s) h ( s) h ( s) h ( s) h ( s) yu a st yu a st De auero a los resultaos inmeiatamente anteriores se uee onluir que hyu ( s) ha ( s) h ( s) A bkakst bka bka [ ] si hyu ( s) ha ( s) h ( s) hst ( s) k b st A b hy ( s) A bkakst bka e bkakst f [ ] si f hyu ( s) ha ( s) h ( s) hst ( s) k st kst f b A b onsierano las restriiones iniaas ara el atuaor y sensor/transmisor. Se reuera que en este urso se tratarán sistemas on una entraa y una salia or lo que y (t) y(t) u(t) e(t) y v(t) son en realia esalares. Conseuentemente b y b son vetores y son filas y es un esalar. Para efetos e simliia también se onsierará sólo una erturbaión or lo que (t) es un esalar y or tanto e es un vetor y f un esalar. Es imortante estaar que los olos el sistema en la estrutura resultante están aos or las raíes el olinomio araterístio h yu (s)h a (s)h (s)h st (s). Por lo tanto el fator h (s) a rooner efinirá la inámia y iertamente la estabilia el sistema resultante. y y

15 Auntes: Control en los iferentes Tios e Sistemas. A ontinuaión se ilustran algunos ejemlos en one se muestra que las realiaes físias que tienen la neesia e ontrol tienen istintos graos e omlejia. Esto se ebe en arte a las múltiles entraas múltiles salias nolinealiaes variables que no se ueen meir erturbaiones antiaes isretas et. que se ueen enontrar en los sistemas reales. A. Sistema MultiVariable. Si bien en esta asignatura se estuiarán sistemas on una entraa y un salia (sistemas SISO) en ingeniería abunan los sistemas en one se tienen varias entraas y varias salias (sistemas MIMO). Estos sistemas quean mejor reresentaos or las euaiones x& Ax Bu E y Cx Du F one u e y (y eventualmente si hay más e una erturbaión) tenrán imensiones mayores a. La reresentaión e estos sistemas en el lano e Lalae toma la forma e Matriz e Transferenia tema reservao ara ursos sueriores. Un aso tíio en ingeniería elétria se muestra en el Ejemlo. en one os motores elétrios mueven un molino. Las entraas son los os voltajes e armmaura y las salias son la veloia el tambor y la otra es generalmente la reartiión e arga entre los motores. Sistemas e os entraas y os salias omo el ejemlo anterior se onoen también omo sistemas TITO (two inuts two oututs). Ejemlo.. Es e interés el aso ilustrao en la Fig..7 en one se esea que el tambor mayor gire a una veloia aa y que la reartiión e arga entre los motores sea equitativa; es eir que ambos onsuman igual otenia. Lo anterior ineeniente el torque e arga que es variable entro e un rango (erturbaión). En este sistema se onsieran omo variables e estao a x [x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ] T [i a i a ω o ω m ω m t m t m ] T a las entraas u [u u ] T [v a v a ] T la erturbaión t o y a las salias ω o y a i a i a uesto que si esta última iferenia es ero entones se asegura una reartiión e arga simétria. Claramente el sistema tiene os entraas y os salias y or lo tanto onebir alguna estrategia que ermita ontrolar ambas salias simultáneamente se torna omleja. Basta ensar en lo omliao que sería ara un ser humano el maniular ambas tensiones ontinuas ara regular la veloia y la reartiión e arga ante ambios e torque e arga. Esto quea e manifiesto or lo omliao e las euaiones inámias e este sistema aas or la forma general x& Ax Bu e y Cx one las matries y vetores están aos or i a v a ω θ J T /k n : ω o θ o J o t o v a i a ω θ J T /k n : Fig..7 Control e veloia y reartiión e arga.

16 Auntes: Ra / La km / La Ra / La km / La n / Jo n / J A km / J m / J m k / J / J nk k nk k C. m m m o / La / L a B / J o e y B. Sistema NoLineal. La naturaleza rara vez es lineal sin embargo la mayoría e los sistemas en ingeniería amiten linealizaión. En general si onsieramos un sistema nolineal MIMO omo o en sus omonentes x& M x& n x & f ( x u ) y h( x u ) f f x u ) M ( x u ) y h ( x u ) M M yq hq ( x u ) ( n una reresentaión lineal en torno a un unto e oeraión ao or u o x o o y o es one f ( x u ) E f ( x u ) A x x xo u uo o x& A x B u E y C x D u F x x u u o o o h( x u ) F f ( x u ) B u x xo u uo o x x u u o o o f ( x u ) C x x xo u uo o h( x u ) D u x xo u uo o ; y x u y y son variaiones e x u e y resetivamente en torno al unto e oeraión ao or u o x o o y o. Es eir x x o x u u o u o e y y o y. Nótese que en el aso nolineal u o x o y o satisfaen f(x o u o o ). Este el aso e un iruito onmutao omo el ilustrao en el Ejemlo.. Ejemlo.. Moelar el iruito reutor/elevaor ilustrao en la Fig..8(a) R Ω L mh C 5 µf o.5 v v i e o. R.: Se umle que ara el swith ON S w Fig..8(b) C y e L y que ara el swith OFF Fig. t R t v v i v v i.8() S w i C y L v. Lo que se uee esribir omo i( Sw) C y esw L v( Sw). t R t t R t La razón entre el tiemo enenio y el tiemo e enenio más aagao es (t) en la rátia ara la oeraión el iruito se omara una señal ontinua (t) on una ortaora s(t) (or ejemlo triangular o iente e sierra Fig..8() (e)) y ara (t) > s(t) Sw(t) (swith ON) y ara (t) < s(t) Sw(t) (swith OFF). El moelo anterior se uee aroximar v v i i v e or su moelo romeio reemlazano Sw(t) or (t). Así el moelo es ( ) y ( ). t RC C t L L

17 Auntes: Estas euaiones son no lineales or uanto la entraa (t) multilia a las variables e estao v e i y a la erturbaión e(t). Dao que la entraa (t) es onstante en S.S. a iferenia e la entraa Sw(t) se uee enontrar la relaión e las variables en S.S. la que es v Ri ( ) y v ( ) e. Claramente la tensión e salia está aa or o o o o o o o o vo eo lo que imlia que v o ara o que v o e o ara o.5 y que v o ara o. Lo que le vale el o nombre e iruito reutor/elevaor e tensión. v o io i Al ser linealizao resulta en v i y o vo o v e. Normalmente las t RC C C t L L L euaiones son normalizaas entre y el valor e la variable en S.S.. Así se efinen las variables normalizaas i in y n io o o v vn v lo que resulta en un moelo romeio lineal normalizao vn o v i t RC RC RC n n n o in R( o ) R( o ) R( o ) vn n en. El moelo anterior t L L L o RC RC RC o se uee esribir matriialmente on A b e R( R( o ) R( o ) o ) y [ ]. Formas L L L e ona simulaas se muestran en la Fig..8(f) (g) y (h). No hay uas e que el moelo lineal se equivoa tanto ara o e(t) Sw(t) i(t) L a) v(t) C R iente e sierra (t) ) e(t) Sw(t) i(t) L b) v(t) C R e) S w(t) e(t) Sw(t) i(t) L ) v(t) C R 4 3 i(t) v(t) f) v(t) real g) rom eio lineal i(t) real h) rom eio lineal Fig..8 Convertior / reutor/elevaor e tensión; a) iruito b) equivalente S w (ON) ) equivalente S w (OFF) ) generaión e S w e) señal S w f) simulaión moelo real (on swith) g) omaraión e voltajes h) omaraión e orrientes.

18 Auntes: régimen transiente omo ara estaionario. No hay oión e obtener mejores resultaos exeto que las entraas y las erturbaiones sean sólo equeñas esviaiones. C. Sistemas Disretos. En este aso se onsiera que la lanta es isreta y or tanto el moelo más aroiao ara ésta es x( kt T ) Ax( kt ) Bu( kt ) E ( kt ) y( kt ) Cx( kt ) Du( kt ) F ( kt ). Este es el aso e muhos e los roblemas enontraos en eonomía (eósitos a lazo) y estuios e oblaión (Ejemlo.3) en one los atos están isonibles o se neesitan a instantes aos (ías semanas meses et.). Estos no son el tio e sistemas a estuiar en este urso. Sin embargo se emostrará que los sistemas enontraos en ingeniería y que se ontrolen meiante un sistema igital quearán mejor reresentaos or un equivalente isreto. Por lo tanto gran arte e este material estará eiao a sistemas isretos. Ejemlo.3. El ingreso naional e un aís y(kt) en el año kt se uee esribir en términos el gasto e los onsumiores (kt) inversiones rivaas i(kt) y el gasto el gobierno g(kt) e auero a y( kt ) ( kt ) i( kt ) g( k). Estas antiaes están relaionaas e auero a las siguientes suosiiones. Primero el gasto el onsumior en el año (k )T es roorional al ingreso naional en el año kt; es eir (kt) αy(kt). Seguno la inversión rivaa en el año (k )T es roorional al inremento el gasto e los onsumiores el año kt al año (kt T); es eir i(ktt) β{(ktt) (kt)}. Tíiamente < α < β >. De las suosiiones anteriores se uee esribir ( kt T ) α ( kt ) α i( kt ) α g( k) i( kt T ) ( βα β ) ( kt ) βα i( kt ) βα g( k) efinieno a las variables e estao a x(kt) [x (kt) x (kt)] T [(kt) i(kt)] T a la entraa u(kt) g(kt) y a la salia y(kt) y(kt) se obtiene la reresentaión final aa or x α α α ( kt T ) ( kt ) u( kt ) β( α ) βα βα x y ( kt ) [ ] x ( kt ) u ( kt ). El resultao e la moelaión es un sistema isreto e seguno oren. Es e eserarse que el ontrolaor en este aso genere señales isretas u(kt) e manera que la salia y(kt) sea igual a una referenia aa y (kt)..5 Otras Estrategias e Control. En la onuión e un vehíulo el onutor no sólo mira el oómetro ara eiir uánto resionar o liberar el eal el aeleraor también onsiera elementos aiionales omo lo es la eniente el amino θ (erturbaión). Es eir se onsiera la resenia e la erturbaión antes e que esta afete la variable e salia. La estrutura más robable e roesamiento ara este aso se muestra en la Fig..9 en one se uee areiar una rama más que se onoe omo realimentaión. No hay uas que esta alternativa e aelantarse a los efetos e la erturbaión sobre la variable ontrolaa es benefiiosa or lo tanto es e interés estuiarla ara tal vez inororarla en el iseño e ontrolaores. La fatibilia eenerá e variaos fatores; e heho uno e ellos ya es eviente: la erturbaión ebe ser meible o estar isonible. Por ejemlo en el aso el automóvil la veloia el viento no está isonible y or tanto el onutor no tiene alternativa e realimentar. Al igual que la estrategia e realimentaión hay otras estruturas on benefiios ara el ontrol; entre éstas se uenta el ontrol e razón y ontrol en asaa. A. Control Prealimentao. Hay varias formas e imlementar una estrutura realimentaa. En el ejemlo el estanque se emostrará que una buena seleión el ontrolaor realimentao ermite que la erturbaión f s altere

19 Auntes: la altura sólo en régimen transiente. Si se esea mitigar aún más su efeto se oría anexar un ontrolaor realimentao omo ilustrao en la Fig.. en one m(s) se ebe esoger aroiaamente. En este aso se umle que h h ( fe fs ) h ( hav fs ) h ( ha ( v ' mfs ) fs ) h ( hav ' hamf s fs ) hh ah ( h hst h) h ( ham ) fs ( ) h h h h h h h h h h h m f a a st a s onutor θ m v v v erebro z ierna Automóvil v Transmisor e señal Sensor e veloia Fig..9 Prealimentaión en la onuión e un automóvil. m(s) realimentaión f s h Controlaor h (s) v' v Válvula f e h a(s) Sensor/Transmisor Estánque As h h st(s) Fig.. Control el estanque que inluye realimentaión y realimentaión. S/T m (t) nm (t) y (t) Controlaor Atuaor u(t) Proeso y(t) S/T Fig.. Estrutura general que inluye realimentaión y realimentaión.

20 Auntes: e one or lo que finalmente se tiene que ( ) ( ) h gh h h h h h h h h m f a st a a s h h h ( h m ) a a h h fs hh ahhst hh ahhst e one laramente se ve que si m(s) se esoge omo m(s) /h a (s) se elimina el efeto e la erturbaión f s en la salia h. Esto se ilustra en la Fig..(f). Así se tiene que la F. e T. resultante es simlemente h h h h h a h. hh ahhst Es eir la erturbaión es totalmente eliminaa e la salia. Como es e eserarse esto orresone a la situaión ieal y se a uano se onoe totalmente la F. e T. e v(s) es osible e imlementar su inversa y es osible meir la totalia e las erturbaiones. Estas oniiones no siemre son atenibles en la rátia. En el aso más general ilustrao en la Fig.. se uee tener que el vetor e erturbaiones T [ m T nm T ] que afeta la salia y se uee searar en las erturbaiones meibles m y en las no meibles nm. En este aso la mejor imlementaión eliminará sólo el efeto e m en la salia. La siguiente tabla muestra algunos asetos omarativos e la estrutura realimentaa y realimentaa. Estrutura Mie Requiere Comortamiento Posibles Problemas Prealimentao erturbaión onoer y/ erturbaión no afeta irrealizable Realimentao salia ebe rouirse error inestabilia Nótese que las erturbaiones son variables e entraa y omo tal no tienen erfiles efinios ueen ser fijas variables erióias et. El ángulo el sol θ sol en la Fig..3 es erióia y se asemeja a una iente e sierra on un eríoo e 4 horas. Ejemlo.4. Estuiar el omortamiento el estanque en L.A. y luego en L.C.. R.: El moelo el estanque omo ilustrao V h en la Fig..(a) está ao or A f s f e. Tomano Lalae se tiene: f s fe Ash(s) lo que es t t reresentao omo se ilustra en la Fig..(a). Si la válvula tiene or F. e T. a h a (s) y se onsiera que A.5 entones el moelo es h( s) ( v f s ). Si se onsiera que v f s la altura es onstante matemátiamente se tiene.5s t que h( s) ( v f s ) or lo que h( t) ( v fs ) t h() h().5s. Si or el ontrario la erturbaión f s está aa or: f s (t) u(t ) se tiene que t h( t) ( u ( t )) t h() r ( t ) h(). Esta situaión está ilustraa en la Fig..(). Si or otro lao la entraa a la válvula se etermina en un esquema realimentao omo el ilustrao en la Fig..(b) k onsierano que los bloques sensor y transmisor tienen F. e T. unitaria y el ontrolaor tiene una F. e T. h ( s) τ s

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