POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

Transcripción

1 PLÍGNS. RELINES MÉTRIS JETIVS onoer ls rterístis, fundmentos y prtiulriddes que enierr el trzdo de polígonos: triángulos, udriláteros y métodos generles de onstruión. Verifir l importni que tiene l geometrí de ls forms poligonles pr el estudio de l estrutur intern de los ojetos nturles o de los redos por el homre. ividir, on preisión y soltur, l irunfereni en un número ulquier de prtes igules o, lo que es igul, insriir polígonos regulres en un irunfereni. FRMS PLIGNLES Ls figurs más senills, y fundmentles en l onfigurión de un form, son los polígonos. L plr polígono proviene del griego, poli (vrios) y gono (ángulos). Se definen omo figurs plns limitds por un líne querd y errd. d segmento querdo se le llm ldo del polígono. Los vérties se designn on un letr myúsul (,,, ) siguiendo el orden lfétio. tros elementos ásios son ls digonles (segmentos que unen dos vérties no onseutivos); ángulos interiores (los formdos en el interior de un polígono entre dos ldos dyentes); ángulo exterior (el formdo por un ldo ulquier y l prolongión de un ldo dyente); y perímetro (l sum de ls longitudes de los ldos). Según el numero de ldos, los polígonos pueden lsifirse en: triángulos, udiláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, otógonos, eneágonos, deágonos Si un polígono tiene su ldos igules se die que es equilátero y si tiene todos sus ángulos igules equiángulo. El umplimiento de ms ondiiones ser equilátero y equiángulo tre onsigo l denominión de polígono regulr. En los polígonos regulres y sólo en éstos, preen otros nuevos elementos: entro (punto interior que se enuentr igul distni de sus vérties); potem (perpendiulr trzd desde el entro ulquier de sus ldos); rdio (distni del entro ulquier de sus vérties); y ángulo en el entro (quel que formn dos potems o dos rdios onseutivos). Si un polígono tiene sus vérties en un irunfereni se die está insrito en ell; y si sus ldos son tngentes l mism se die está irunsrito l irunfereni. TRIÁNGULS. efiniión y propieddes. El triángulo es el polígono de tres ldos y, por tnto, el más senillo de los polígonos que se pueden onstruir. En él podemos destr ls siguientes propieddes: «L sum de los ángulos internos vle 80». Esto es: + + = 80. «Un ldo de un triángulo es siempre menor que l sum de los otros dos y myor que su difereni». sí: < ( + ) ; > ( - ). «En un triángulo, myor ldo se opone, siempre, myor ángulo». digonl digonl potem ldo Ángulo interior rdio α PLÍGN LS α Σα ι Triángulo udrdo Pentágono Hexágono Heptágono 7 8,6 900 tógono Eneágono eágono Undeágono 47,.60 odeágono n-ágono n α (* ) nα E α (*).. siendo: α = 80 ( n ) / n G F Ángulo exterior. lsifiión y rterístis... En funión de sus ldos. Equilátero: ldos y ángulos igules. Isóseles: dos ldos y dos ángulos igules. Esleno: ldos y ángulos distintos... En funión de sus ángulos. Equilátero = = Retángulo: on un ángulo reto. El ldo opuesto este ángulo se denomin hipotenus y tetos los otros dos. utángulo: on los tres ángulos gudos. tusángulo: on un ángulo otuso... En funión de sus línes. Retilíneo: on los tres ldos línes rets. urvilíneo: on los tres ldos línes urvs. Mixtilíneo: on dos ldos línes rets y uno urvo y vievers... Isóseles Esleno Retángulo En funión de sus ldos. H LSIFIIÓN E LS TRIÁNGULS = = = = = 90º.. lturs (h, h, h )... rtoentro (H). Triángulo órtio (H H H ). M.. h m h H / H m H h Medins (m, m, m ). rientro o.d.g. (G)... utángulo liuángulos tusángulo En funión de sus ángulos. RETS Y PUNTS NTLES EN LS TRIÁNGULS G M / m M. Línes y puntos notles... lturs ( h,h,h ). Son ls distnis de d vértie (,,) l ldo opuesto. El punto omún ls tres lturs se llm rtoentro (H). Se denomin triángulo órtio l que tiene por vérties los pies H, H,H de ls lturs del triángulo onsiderdo... Meditries ( n,n,n ). Son ls meditries de d uno de los ldos del triángulo. Ls tres rets se ortn en un mismo punto llmdo irunentro ( ), que es entro de l irunfereni irunsrit l triángulo. L unión de los puntos medios de los ldos ( M, M, M ) determinn el triángulo omplementrio del ddo. n M n M M > 90º Meditries (n, n, n ). irunentro (). Triángulo omplementrio (M M M )...4 T v T I v v T isetries (v, v, v ). Inentro ( I )... Medins ( m,m,m ). Son ls distnis de d vértie (,, )l punto medio del ldo opuesto (M, M, M ). El punto omún se llm rientro (G ), entro de grvedd (.d.g.) del triángulo, y dist de d vértie ls dos terers prtes de su longitud orrespondiente...4 isetries ( v, v, v ). Son ls isetries de los ángulos del triángulo. Su punto omún reie el nomre de Inentro ( I ); esto es, el entro de l irunfereni insrit l triángulo (tngente los ldos en los puntos T,T,T ). n 7

2 URILÁTERS. efiniión. LSIFIIÓN E LS URILÁTERS NVEXS El udrilátero es el polígono de utro ldos. Sin dud es uno de los polígonos que result más fmilir. No ostnte, no todos los udriláteros tienen l mism form, y l igul que suede on ulquier otr form poligonl, pueden lsifirse en se sus ángulos dos grndes grupos: los onvexos y los ónvos. onvexo TRPEZIE TRPEIS Retángulo Isóseles Esleno onvexo: undo el polígono está situdo en uno de los semiplnos determindos por ulquier de sus ldos. En este so los ángulos interiores son siempre menores de 80. ónvo: undo onsiderndo tods y d un de ls rets que omponen sus ldos, el polígono se enuentr en mos semiplnos. En este so existe siempre un ángulo myor de 80.. udriláteros. ónvo 80 PRLELGRMS Romoide. Propieddes fundmentles. «L sum de los utro ángulos interiores de un udrilátero es igul 60, esto es, l sum de los ángulos de los dos triángulos en que se desompone». «Todo udrilátero onvexo que teng dos ángulos opuestos suplementrios es insriile en un irunfereni». En l figur α y β son ángulos insritos, opuestos y suplementrios; verifiándose que l sum de sus ángulos entrles es igul 60. «En todo udrilátero irunsriile ls sums de los ldos opuestos son igules». Esto es: + = + En efeto, los puntos de ontto dividen d ldo en dos segmentos, siendo igules los segmentos priles onurrentes en un mismo vértie (sido es que desde un punto exterior un irunfereni los segmentos de tngente son igules). Sustituyendo en l expresión nterior, se tiene: ( + ) + ( + d) = ( + d) + ( + ) e lo que se dedue que mos miemros de l iguldd vlen d, que es, por onsiguiente, l sum de dos ldos opuestos del udrilátero. Tringulión de un udrilátero udrilátero irunsrito β α β + = +. α +++ = 60º d udrilátero insrito α +β = 80º Propieddes de los udriláteros. d. Árol genelógio del udrdo. NSIERINES GEMÉTRIS.4. E Retángulo udrdo Romo.4 onsideriones geométris pr l onstruión de udriláteros..4. onstruión de un trpeio onoido los utro ldos. En un trpeio, l prlel un ldo trzd desde un extremo de l se menor, lo desompone en un prlelogrmo E y un triángulo E que tiene omo ldos l difereni de ls ses y los ldos no prlelos del trpeio..4. onstruión de un trpeio onoidos sus ldos prlelos y sus digonles.. lsifiión y rterístis... Trpezoides. udriláteros que no tienen ldos prlelos... Trpeios. udriláteros que tienen, únimente, dos ldos opuestos prlelos llmdos ses, siendo su ltur l distni entre mos. Retángulo: Tiene dos ángulos retos. L unión de sus vérties determin su ltur. Isóseles: Tiene los ldos no prlelos igules. Sus digonles son igules. Esleno: No posee ningun rterísti indid en los dos nteriores... Prlelogrmos. udriláteros que tienen los ldos opuestos igules y prlelos dos dos. Romoide: Tiene sus ldos y ángulos opuestos igules entre sí. Retángulo: Ldos opuestos igules, ángulos retos y digonles igules. Es equiángulo. Romo: uent on ldos igules y ángulos opuestos igules dos dos. Ls digonles son distints y se ortn jo 90. Es equilátero. udrdo: Prlelogrmo de ldos igules y ángulos retos. Sus digonles, igules, se ortn jo 90. Es equilátero y equiángulo E En un trpeio, si se trz un ret E prlel un digonl desde el extremo de l se menor, se form un triángulo E que tiene omo ldos l sum de ls ses y ls digonles del trpeio. En generl, pr diujr un udrilátero es onsejle tringulr el polígono y, sí, su trzdo se limit diujr los triángulos..4. El trpeio isóseles omo udrilátero insriptile en un irunfereni. El únio tipo de trpeio que es insriptile en un irunfereni es el isóseles. Lo que nos viene deir que ls meditries de los ldos de todo trpeio isóseles, onurren en el entro de su irunfereni irunsrit. 74

3 4 TRZ E PLÍGNS REGULRES INSRITS EN L IRUNFERENI onoer el trzdo y rterístis de los polígonos regulres tiene importni no sólo en l resoluión de prolems ténios pr piezs industriles, sino tmién omo elemento uxilir en l onstruión y, por supuesto, en ls rtes plástis, espeilmente en ls deortivs, donde los elementos ornmentles omo lerís, mosios, et. se fundmentn en esquems poligonles. Por ello, vmos reordr ómo dividir l irunfereni en prtes igules on ojeto de insriir en ell polígonos regulres. Pr su exposiión seguiremos un orden fundmentdo en el rzonmiento lógio, l preisión y l difiultd del trzdo. 4. ivisión en, 6,,... prtes igules. Trnsportndo uerds igules l rdio de l irunfereni se otienen los seis vérties del hexágono regulr. Uniendo lterntivmente, triángulos equiláteros. Si se prolongn ls potems del hexágono se otienen, sore l irunfereni, el resto de los vérties que definen el dodeágono regulr. 4. ivisión en 4, 8, 6,... prtes igules. Los extremos de dos diámetros perpendiulres diujn, sore l irunfereni, un udrdo insrito. Sus isetries determinn otros utro puntos pr insriir el otógono regulr. El trzdo de nuevs isetries determin los polígonos de 6,, ldos. 4. ivisión en 7, 4,... prtes igules. L meditriz de un rdio ulquier (R) determin, on l irunfereni, l mgnitud MN que define el ldo del heptágono regulr. El trnsporte de est mgnitud ( l 7 ), desde un punto ulquier de l irunfereni modo de uerd, determin el polígono regulr de siete ldos. omo en onstruiones nteriores, ls potems (meditries de los ldos) ortrán l irunfereni en los puntos medios de los ros; lo que define el polígono regulr de 4 ldos y, sí, suesivmente. 4.4 ivisión en 5, 0,... prtes igules. on entro M, punto medio de un rdio (otenido en l onstruión nterior), y rdio M se determin el punto P. L mgnitud P es el ldo ( l 5 ) del pentágono regulr insrito. L mgnitud P define el ldo ( l 0 ) del deágono regulr insrito en l irunfereni. 4.5 ivisión en un nº ulquier de prtes igules. ( PREIMIENT GENERL) - Ejemplo: ivisión de l irunfereni en 9 prtes. - Pso.- Se omienz por dividir un diámetro de l irunfereni ( ) en el mismo número de prtes igules en que se dese dividir l irunfereni. En este so, en 9 prtes. on entro en los extremos y, se trzn dos ros, de rdio, que se ortn en P. El punto otenido (P) se une on l mr o división segund del diámetro, prolongndo dih ret hst que orte l irunfereni en el punto. - Pso.- El segmento determin el ldo del polígono soluión, en este so l mgnitud (l 9 ) del ldo del eneágono regulr l Triángulo, hexágono y dodeágono regulr. 4. udrdo y otógono regulr. N l 7 M R 4. Heptágono regulr. 4.4 Pentágono y deágono regulr. 4.5 P Eneágono regulr insrito en l irunfereni. P l0 l 0 l 9 l 5 M 75

4 5 NSTRUIÓN E PLÍGNS REGULRES E L NI 5. Pentágono de ldo onoido. - Pso.- Se trz el segmento = l 5 (dto). Por el extremo se trz un ro de rdio, y un perpendiulr que determin el punto N. ontinuión se diuj l meditriz (m) de, oteniendo su punto medio M. - Pso.- on entro en M y rdio MN se trz un ro que ort en P l prolongión de. ontinuión on entro en y rdio P (digonl del pentágono regulr soluión) se diuj un ro que ort l nterior en E y l meditriz m en el punto, mos vérties del pentágono soluión. - Pso.- on entro en y y on rdio se trzn dos ros que se ortn en el punto, último vértie del pentágono regulr soluión. T: l 5 N m M P 5. onstruión de un pentágono regulr. E N m M P E N 5. N-ágono regulr. (MÉT GENERL) - Ejemplo: onstruión del undeágono regulr de ldo onoido. - Pso.- Se omienz por trzr un irunfereni de entro y rdio ritrrio. ontinuión se divide l irunfereni en tnts prtes igules omo ldos tiene el polígono que se pretende diujr; pr ello se pli el proedimiento generl visto en el prtdo Pso.- Un vez otenido el ldo MQ del undeágono insrito en l irunfereni de rdio ritrrio, se trt de definir el rdio de l irunfereni onéntri que h de ontener l polígono soluión, semejnte l trzdo. Se trt pues, de enjr el segmento ddo = l, en el ángulo entrl MQ. Pr ello, se trsld l mgnitud l (dto) = MR sore l ret MQ, prtir del punto M, y por R se trz l prlel l diámetro MN, que ort l prolongión del rdio Q en el punto, resultndo enjdo el segmento = l. - Pso.- L distni = determin el rdio de l irunfereni irunsrit l polígono usdo; trnsportndo el ldo ddo se diuj el undeágono desedo. l T: M Q M Q R ritrrio 4 N P N E 5. onstruión de un undeágono regulr. PENTÁGN ESTRELL HEPTÁGN ESTRELL TÓGN ESTRELL l l F ENEÁGN ESTRELL 6 PLÍGNS REGULRES ESTRELLS Prtiendo de un polígono regulr, y únimente mindo el orden de l unión de sus vérties, se onstruyen otros polígonos diferentes llmdos estrelldos o ónvos, uyos ldos y ángulos son igules. L lternni en l unión de los vérties o ldos no onseutivos es lo que se denomin pso de un polígono estrelldo. El polígono se ierr en el mismo vértie que se omenzó: su trzdo puede herse sin levntr el lápiz del ppel. Por ejemplo, si prtimos de un pentágono regulr onvexo y unimos sus vérties sltndo de dos en dos (on pso ), se otiene un estrell pentgonl. En este tipo de polígonos ónvos existen dos términos que identifin d form estrelld: - El género: número de uerds utilizds (igul l número de punts o vérties). - L espeie: número de vuelts omplets pr errr l form (igul l pso). 5º género ª espeie 7º género ª espeie 8º género ª espeie 9º género 4ª espeie 76

5 NSTRUIÓN Y RELINES MÉTRIS EN LS TRIÁNGULS ( I ) GEMETRÍ MÉTRI PLI. onstruye el TRIÁNGUL definido por sus ldos = 66 mm., = 75 mm. y = 60 mm. iuj su IRUNFERENI IRUNSRIT.. onstruye el TRIÁNGUL ISÓSELES onoiendo su perímetro p =60 mm. y l ltur h = 54 mm. que prte del vértie desigul. iuj l IRUNFERENI INSRIT l triángulo y ls dos EXINSRITS de igul rdio señlndo, on tod preisión, los PUNTS E N- TT on ls rets que determinn los ldos del triángulo.. iuj el TRIÁNGUL RETÁNGUL de hipotenus = 70 mm. y = 60. Utiliz el método del R PZ. 4. iuj el TRIÁNGUL RETÁNGUL de hipotenus = 60 mm. y uy sum de tetos + = 80 mm. 5. iuj el TRIÁNGUL ESLEN onoido el ldo = 70 mm. y ls medins m = 75 mm. y m = 50 mm. Reuerd l métri que se estlee en ls medins respeto l rientro o.d.g. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh ESLEN ISÓSELES TS: = 66 mm. ; = 75 mm. ; = 60 mm. TS: p = + + = MN = 60 mm. ; h = 54 mm. M N RETÁNGUL TS: = 70 mm. 4 RETÁNGUL TS: = 60 mm. 5 ESLEN = 60º + = 80 mm. TS: = 70 mm. m = 75 mm. m = 50 mm. +

6 NSTRUIÓN Y RELINES MÉTRIS EN LS TRIÁNGULS ( I ) GEMETRÍ MÉTRI PLI. onstruye el TRIÁNGUL definido por sus ldos = 66 mm., = 75 mm. y = 60 mm. iuj su IRUNFERENI IRUNSRIT.. onstruye el TRIÁNGUL ISÓSELES onoiendo su perímetro p =60 mm. y l ltur h = 54 mm. que prte del vértie desigul. iuj l IRUNFERENI INSRIT l triángulo y ls dos EXINSRITS de igul rdio señlndo, on tod preisión, los PUNTS E N- TT on ls rets que determinn los ldos del triángulo.. iuj el TRIÁNGUL RETÁNGUL de hipotenus = 70 mm. y = 60. Utiliz el método del R PZ. 4. iuj el TRIÁNGUL RETÁNGUL de hipotenus = 60 mm. y uy sum de tetos + = 80 mm. 5. iuj el TRIÁNGUL ESLEN onoido el ldo = 70 mm. y ls medins m = 75 mm. y m = 50 mm. Reuerd l métri que se estlee en ls medins respeto l rientro o.d.g. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh ESLEN ISÓSELES TS: = 66 mm. ; = 75 mm. ; = 60 mm. TS: p = + + = MN = 60 mm. ; h = 54 mm. S = h En el M: M = S h S M = = N RETÁNGUL TS: = 70 mm. 4 RETÁNGUL TS: = 60 mm. 5 ESLEN = 60º + = 80 mm. TS: = 70 mm. m = 75 mm. m = 50 mm. ro pz de 90 G: rientro o entro de grvedd del triángulo. = M M G (/) m 60 (/) m = / = 45 + S SLUINES

7 VERIFIINES. onstruir el TRIÁNGUL definido por los ldos = 55 mm., = 64 mm. y = 60º. TRIÁNGUL UTÁNGUL TS: = 55 mm. = 64 mm. = 60. iujr el TRIÁNGUL ISÓSELES de perímetro p = 55 mm. y = = 75º. TRIÁNGUL ISÓSELES TS: p = 55 mm. = = 75 p =

8 VERIFIINES. onstruir el TRIÁNGUL definido por los los ldos = 55 = 55 mm., mm., = 64 = 64 mm. mm. y y = 60º. = 60º. TRIÁNGUL UTÁNGUL TS: = 55 mm. = 64 mm. = 60 ro pz de = 60 M. iujr el TRIÁNGUL ISÓSELES de de perímetro p p = 55 = 55 mm. mm. y y = = = 75º. = 75º. TRIÁNGUL ISÓSELES TRIÁNGUL TS: p = 55 ISÓSELES mm. ; = = 75 TS: p = 55 mm. = = M / = M p = + + / = 7 0 N 78

9 NSTRUIÓN Y RELINES MÉTRIS EN LS TRIÁNGULS (II) GEMETRÍ MÉTRI PLI. iuj el TRIÁNGUL RETÁNGUL, siendo que su perímetro es p = 0 mm. y su = 60.. onstruye el TRIÁNGUL ESLEN, onoiendo el ldo = 70 mm., l ltur h = 50 mm. y l medin m = 55 mm. que prten del mismo vértie.. onstruye el TRIÁNGUL RETÁNGUL de hipotenus = 70 mm. y difereni de tetos (- ) = 8 mm. 4. iuj el TRIÁNGUL ESLEN, onoiendo = 60 mm., h = 55 mm. y h = 50 mm. Trz su TRIÁNGUL ÓRTI. 5. onstruye el TRIÁNGUL, ddo el ldo = 65 mm. y l situión ext de su RIENTR G. iuj su TRIÁNGUL MPLE- MENTRI y l IRUNFERENI IRUNSRIT l primero. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh RETÁNGUL TS: p = + + = 0 mm. ; = 60 ESLEN TS: = 70 mm. ; h = 50 mm. ; m = 55 mm. p RETÁNGUL TS: = 70 mm. - = 8 mm. 4 ESLEN TS: = 60 mm. h = 55 mm. h = 50 mm. 5 ESLEN TS: = = 65 mm. G = rientro (.d.g.) G

10 m NSTRUIÓN Y RELINES MÉTRIS EN LS TRIÁNGULS (II) GEMETRÍ MÉTRI PLI. iuj el TRIÁNGUL RETÁNGUL, siendo que su perímetro es p = 0 mm. y su = 60.. onstruye el TRIÁNGUL ESLEN, onoiendo el ldo = 70 mm., l ltur h = 50 mm. y l medin m = 55 mm. que prten del mismo vértie.. onstruye el TRIÁNGUL RETÁNGUL de hipotenus = 70 mm. y difereni de tetos (- ) = 8 mm. 4. iuj el TRIÁNGUL ESLEN, onoiendo = 60 mm., h = 55 mm. y h = 50 mm. Trz su TRIÁNGUL ÓRTI. 5. onstruye el TRIÁNGUL, ddo el ldo = 65 mm. y l situión ext de su RIENTR G. iuj su TRIÁNGUL MPLE- MENTRI y l IRUNFERENI IRUNSRIT l primero. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh RETÁNGUL TS: p = + + = 0 mm. ; = 60 ESLEN TS: = 70 mm. ; h = 50 mm. ; m = 55 mm h / = / = 0 p M RETÁNGUL TS: = 70 mm. - = 8 mm. 4 ESLEN TS: = 60 mm. h = 55 mm. h = 50 mm. 5 ESLEN TS: = = 65 mm. G = rientro (.d.g.) GM = / m ; G = / m ro pz de 90 H h H H h M medin G medin M - 45 M H = M = H H H órtio del M M M omplementrio del

11 VERIFIINES. onstruir el TRIÁNGUL, retángulo en, ddo el ldo = = 40 mm. y l medin m = 5 mm.. onstruir el TRIÁNGUL ESLEN, dd l ltur h = 5 mm., l medin m = 44 mm. y el rdio de l irunfereni irunsrit r = 0 mm. TRIÁNGUL RETÁNGUL TRIÁNGUL ESLEN TS: = = 40 mm. m = 5 mm. TS: h = 5 mm. m = 44 mm. r = 0 mm. p h q 80

12 VERIFIINES. onstruir el TRIÁNGUL, retángulo en en,, ddo el el ldo ldo = = = 40 = 40 mm. mm. y l y l medin m m= 5 = mm. 5 mm.. onstruir el TRIÁNGUL ESLEN, dd l ltur h = 5 mm., l medin m = 44 mm. y el el rdio de de l l irunfereni irunsrit r = r 0 = 0 mm. mm. TRIÁNGUL RETÁNGUL TRIÁNGUL ESLEN TS: = = 40 mm. m = 5 mm. TS: h = 5 mm. m = 44 mm. r = 0 mm. ê M p r n p m m ê h m n h = M = q M q MENTRI - El punto M de l hipotenus (desonoid) se proyet sore el teto = en su punto medio M. - Por ello, M se enontrrá en el punto interseión de l meditriz de (n ) y l medin m. - Un vez determindo el punto M, se une on prolongndo l ret hst ortr en el punto l teto perpendiulr l. MENTRI - Se trzn dos rets prlels p y q distntes h. - ontinuión, desde un punto, de un de ells, se trz el ro de rdio m que ort l ret q en M (punto medio del ldo por definir). - on entro en y rdio r se otiene el entro de l irunfereni irunsrit, situdo en l meditriz del ldo que ne en M. - L interseión de l irunfereni irunsrit on l ret q, determin los otros dos vérties y del triángulo soluión. 80

13 NSTRUIÓN Y RELINES MÉTRIS EN LS URILÁTERS GEMETRÍ MÉTRI PLI onstruye, dejndo ptentes los TRZS UXILIRES orrespondientes, los siguientes URILÁTERS:. UR, dd l mgnitud de l digonl d = 50 mm.. RETÁNGUL, teniendo omo dtos el ldo y l digonl d.. RETÁNGUL, teniendo omo dtos el ldo y l sum de l digonl y el otro ldo prlelo ( + d). 4. RM, dd l distni h entre ldos opuestos y l digonl myor d. 5. TRPEI ISÓSELES, onoiendo l digonl d, l difereni entre sus ses ( - ) y el ángulo en. El ejeriio se resuelve plindo l primer onsiderión geométri vist en l teorí. 6. PRLELGRM RMIE, de se 44 mm. y digonles de vlores 60 y 70 mm. Pr resolver el ejeriio, dees de tener en uent l segund de ls onsideriones geométris vists en l prte teóri de est leión. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh UR TS: d = 50 mm. RETÁNGUL TS: = 40 mm. d = 65 mm. RETÁNGUL TS: = 50 mm. + d = 88 mm. d + d 4 RM TS: h = 5 mm. d = 70 mm. 5 TRPEI ISÓSELES TS: d = 70 mm. - = 4 mm. = 75 6 RMIE TS: = 44 mm. d = 60 mm. d = 70 mm. 75 h -

14 NSTRUIÓN Y RELINES MÉTRIS EN LS URILÁTERS GEMETRÍ MÉTRI PLI onstruye, dejndo ptentes los TRZS UXILIRES orrespondientes, los siguientes URILÁTERS:. UR, dd l mgnitud de l digonl d = 50 mm.. RETÁNGUL, teniendo omo dtos el ldo y l digonl d.. RETÁNGUL, teniendo omo dtos el ldo y l sum de l digonl y el otro ldo prlelo ( + d). 4. RM, dd l distni h entre ldos opuestos y l digonl myor d. 5. TRPEI ISÓSELES, onoiendo l digonl d, l difereni entre sus ses ( - ) y el ángulo en. El ejeriio se resuelve plindo l primer onsiderión geométri vist en l teorí. 6. PRLELGRM RMIE, de se 44 mm. y digonles de vlores 60 y 70 mm. Pr resolver el ejeriio, dees de tener en uent l segund de ls onsideriones geométris vists en l prte teóri de est leión. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh UR TS: d = 50 mm. RETÁNGUL TS: = 40 mm. d = 65 mm. RETÁNGUL TS: = 50 mm. + d = 88 mm. α d d d + d + d d α E 4 RM TS: h = 5 mm. d = 70 mm. 5 TRPEI ISÓSELES TS: d = 70 mm. - = 4 mm. = 75 6 RMIE TS: = 44 mm. d = 60 mm. d = 70 mm. d d d d 75 h - E

15 VERIFIINES. onstruir un PRLELGRM RETÁNGUL onoid su digonl d = 65 mm. y l sum de sus ldos: + = 90 mm.. onstruir un TRPEI, onoidos sus ldos prlelos y y el vlor de los otros dos y d. plir l NSIERIÓN GEMÉTRI del prtdo teório.4.. PRLELGRM RETÁNGUL TS: d = 65 mm. + = 90 mm. TRPEI ESLEN TS: ses: = 55 mm. y = 5 mm. Ldos: = 40 mm. y d = 50 mm. + 8

16 VERIFIINES. onstruir un PRLELGRM RETÁNGUL onoid su su digonl d d = = mm. y yl l sum de de sus sus ldos: + + = 90 = 90 mm. mm.. onstruir un TRPEI, onoidos sus ldos prlelos y y el vlor de los otros dos y d. plir l NSIERIÓN GEMÉTRI del prtdo teório PRLELGRM RETÁNGUL TS: d = 65 mm. + = 90 mm. TRPEI ESLEN TS: ses: = 55 mm. y = 5 mm. Ldos: = 40 mm. y d = 50 mm. 65 d d d d / = 45 E + - 8

17 MES E PING - PNG 4 GEMETRÍ MÉTRI PLI Ls ilustriones muestrn ls dimensiones de un MES REGLMEN- TRI E PING-PNG, plegle medinte rrs rtiulds en los puntos,,, y sus simétrios. En posiión ESPLEG ls UTR PTS de ls esquins deen quedr VERTILES, y en posiión PLEG, l ISTNI entre los semiplnos vertiles de los tleros dee de ser de m., l N- HUR entre extremos de pts plegds 50 m. y l LTUR totl 80 m., quedndo l rr en posiión vertil. l vist de ls IMENSINES TS, represent gráfimente, esl /0, l PSIIÓN del NU o RTIULIÓN (mgnitudes x, z ) y l PSIIÓN que doptn ls RRS undo l mes se enuentr ESPLEG y PLEG. Pr filitr l posiión de los dtos, se dn situdos lgunos de ellos. Tn solo dees ontinur rzonndo y diujndo el resto de ls posiiones que onformn l representión. ej onstni de ls onstruiones uxilires. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh SLUIÓN 76 X = Z = m. m. 5 X z MES E PING-PNG ESPLEG X z PLEG E L MES 5 e = / 0

18 Meditriz del segmento MES E PING - PNG 4 GEMETRÍ MÉTRI PLI Ls ilustriones muestrn ls dimensiones de un MES REGLMEN- TRI E PING-PNG, plegle medinte rrs rtiulds en los puntos,,, y sus simétrios. En posiión ESPLEG ls UTR PTS de ls esquins deen quedr VERTILES, y en posiión PLEG, l ISTNI entre los semiplnos vertiles de los tleros dee de ser de m., l N- HUR entre extremos de pts plegds 50 m. y l LTUR totl 80 m., quedndo l rr en posiión vertil. l vist de ls IMENSINES TS, represent gráfimente, esl /0, l PSIIÓN del NU o RTIULIÓN (mgnitudes x, z ) y l PSIIÓN que doptn ls RRS undo l mes se enuentr ESPLEG y PLEG. Pr filitr l posiión de los dtos, se dn situdos lgunos de ellos. Tn solo dees ontinur rzonndo y diujndo el resto de ls posiiones que onformn l representión. ej onstni de ls onstruiones uxilires. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh 5 N MES E PING-PNG ESPLEG 80 5 MES E PING-PNG ESPLEG 80 X X PLEG E L MES MENTRI X 50 X 50 z z z Se omienz por situr, de uerdo ls dimensiones otds en el enunido, l posiión del semitlero de l mes (NM) y l situión de l rtiulión en posiión vertil (errd) ; sí omo su posiión horizontl (desplegd): el semitlero M N y l pt T on l rtiulión en. 76 El punto o rtiulión qued definido por l difereni de ots entre l ltur totl del punto N (80 m.) y l ltur del tlero undo l mes está PLEG iert (76 E m.). L Lo MES que dimension l rr on 79 m. ( ). L rtiulión en se enontrrá en un punto de l rr vertil que rrn de y enuentr l meditriz del segmento, y que es el entro de giro que llev el punto (undo l mes está plegd) (on l mes iert). sérvese, simismo, ómo l rr result ser l meditriz del segmento que une l rtiulión on su posiión (mes desplegd). z M 4 74 / = = M M α,5 8 T 5 α 76 Meditriz del segmento 79 SLUIÓN X = 8 m. m. Z =,5 m. N 5 T T e = /0 N

19 VERIFIINES. Reproduir, esl nturl, l TETER del modelo que muestr su vist FRNTL.. onstruir, dejndo ptentes los trzdos uxilires orrespondientes, un PRLEL- GRM, ddos sus ldos y, y l IFERENI de sus ÁNGULS. 4 RMIE TS: = 50 mm. = 60 mm. α - β = TETER e :/ 84

20 VERIFIINES. Reproduir, esl nturl, l TETER del modelo que muestr su vist FRNTL.. onstruir, dejndo ptentes los trzdos uxilires orrespondientes, un un PRLEL- PRLE- LGRM, ddos ddos sus sus ldos ldos y, y, l y l IFERENI de sus de ÁNGULS. sus ÁNGULS. 4 RMIE TS: = 50 mm. = 60 mm. α - β = TETER α = 05 β = 75 ESRRLL Se verifi que: α + β = 80 α - β = 0 α = 0 α = β = 80 β = 75 e :/ 84

21 GÉNESIS Y GEMETRÍ E FRMS PLIGNLES 5 GEMETRÍ MÉTRI PLI. Ls figurs representn l perspetiv y el esquem de un SILL RTIUL en los puntos, y, ompuest por listonillos de mder. iert y poyd en el suelo, el SIENT () on un profundidd de 40 m. qued en posiión horizontl y l ISTNI () entre ls ses de ls pts es de 50 m. simismo, ls PTS y poseen un mgnitud de 70 m. y 80 m. respetivmente. iuj, esl /0, el ESQUEM E L SILL, indindo l PSI- IÓN del punto donde deen rtiulrse ls pts.. Un relión métri entre PENTÁGN y EÁGN REGULRES origin l omposiión del esquem djunto. Trz l figur desrit, siendo que el L de mos polígonos es 5 mm.. do un udrdo de entro y ldo 40 mm., se pide: iujr, sore l mism figur, los TÓGNS REGULRES que verifin, respetivmente: - Que los vérties del udrdo sen tmién vérties del TÓGN. - Que todos sus VÉRTIES estén situdos en los ldos del udrdo. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh SILL RTIUL TS: = 40 m. ; = 50 m. = 70 m. ; = 80 m. ESQUEM E NÁLISIS PERSPETIV ESQUEM 50 e: /0

22 GÉNESIS Y GEMETRÍ E FRMS PLIGNLES 5 GEMETRÍ MÉTRI PLI. Ls figurs representn l perspetiv y el esquem de un SILL RTIUL en los puntos, y, ompuest por listonillos de mder. iert y poyd en el suelo, el SIENT () on un profundidd de 40 m. qued en posiión horizontl y l ISTNI () entre ls ses de ls pts es de 50 m. simismo, ls PTS y poseen un mgnitud de 70 m. y 80 m. respetivmente. iuj, esl /0, el ESQUEM E L SILL, indindo l PSI- IÓN del punto donde deen rtiulrse ls pts.. Un relión métri entre PENTÁGN y EÁGN REGULRES origin l omposiión del esquem djunto. Trz l figur desrit, siendo que el L de mos polígonos es 5 mm.. do un udrdo de entro y ldo 40 mm., se pide: iujr, sore l mism figur, los TÓGNS REGULRES que verifin, respetivmente: - Que los vérties del udrdo sen tmién vérties del TÓGN. - Que todos sus VÉRTIES estén situdos en los ldos del udrdo. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh SILL RTIUL TS: = 40 m. ; = 50 m. = 70 m. ; = 80 m. PERSPETIV ESQUEM ESQUEM E NÁLISIS E 40 G F H e: /0 ESRRLL E L NSTRUIÓN - El udrilátero 50es un trpeio esleno del que se onoen sus dos digonles ( y ) y l mgnitud de los ldos prlelos ( y ). - Se omienz por onstruir el E de ldos ddos. - Por se trz un prlel l plno del suelo () y se llev l dimensión, o ien l e: /0 prlel E, por (). Los vérties,, y determinn el udrilátero. - El punto (rtiulión de ls pts), se enuentr en l interseión de ls digonles. 40 E E MENTRI - L irunfereni irunsrit l udrdo (de ldo 40 mm.) tmién lo es del otógono soluión, uyos vérties lternos son los del udrdo. Éstos quedn situdos en l interseión on los otros dos ejes de simetrí del udrdo. - El giro de 45, respeto l entro, sitú l udrdo se en l posiión EFGH. L interseión de mos determin el otógono pedido (irunsrito l irunfereni de diámetro el ldo del udrdo).

23 VERIFIINES. Sore un MES E ILLR IRULR de diámetro 80 m., se sitú un ol 5 m. de su entro. iujr, esl /0, l TRYETRI E L L pr que, sin psr por el entro de l mes, después de IN RETES en l nd irulr, vuelv psr por l PSIIÓN INIIL. e: /0. onstruir uno de los PLÍGNS REGULRES ESTRELLS, insritos en ls IRUNFERENIS dds, seleionndo entre los que se relionn: - ENEÁGNS de psos (espeies): p = ó p = 4. - EÁGN de pso (espeie): p =. - EÁGN de pso (espeie): p = 5. 86

24 VERIFIINES. Sore un MES E ILLR IRULR de de diámetro m., m., se se sitú sitú un un ol ol 5 5 m. m. de de su su entro. iujr, esl esl /0, /0, l l TRYETRI E L E L L pr que, pr sin que, psr sin psr por el por entro el entro de l de mes, l mes, después después IN de IN RETES RETES en l nd en l nd irulr, irulr, vuelv vuelv psr por psr l PSIIÓN por l PSIIÓN INIIL. INIIL. e: /0 P α β P NSTRUIÓN L tryetori de l ol será l que mr un pentágono regulr estrelldo. Respeto l norml l irunfereni, el ángulo de inideni (α) de l ol sore l nd h de ser igul l ángulo de reflexión (β). omo punto (P) de prtid puede onsiderrse ulquier de los perteneientes l irunfereni onéntri l nd irulr de l mes, de rdio P.. onstruir uno de los PLÍGNS REGULRES ESTRELLS, insritos en ls en ls IRUNFERENIS dds, dds seleionndo entre entre los que los se que relionn: se relionn: - ENEÁGNS de psos (espeies): p p = = óó p p = = EÁGN de pso (espeie): p p = =.. - EÁGN de pso (espeie): p p = = ENEÁGN p = ENEÁGN p = 4 EÁGN p = EÁGN p = 5 86

25 LERÍ ESTIL ÁRE 6 GEMETRÍ MÉTRI PLI El motivo deortivo que se ompñ es un representión pril de un LERÍ de ESTIL ÁRE. Su geometrí ne del RSETÓN entrl on simetrí rdil (6 ejes), onstituíd por dos HEXÁGNS REGULRES, homotétios y onéntrios. El myor ontiene los entros de ls irunferenis tngentes entre sí y entrelzds que onformn un nuevo HEXÁGN E LS URVS, muy propio de l deorión rquitetóni áre. El HEXÁGN NÉNTRI y semejnte l myor es l prte omún de dos triángulos equiláteros idéntios enfrentdos, que diujn un ESTRELL HEXGNL. L prolongión de los enintdos tringulres dn ontinuidd un lerí de grn ellez y fáil nálisis ompositivo, que se onjugn en ls esquins on otros hexágonos estrelldos y entrelzdos más pequeños. L NHUR del intedo es NSTNTE e igul l distni entre ldos semejntes de los hexágonos onvexos, se entrl del diujo. Se trt de que reproduzs, on tod preisión y ESL NTURL, el diujo de INTES que onformn el RSETÓN ENTRL, delimitdo por el HEXÁGN REGULR URVILÍNE. TS: ldo del hexágono myor 45 mm. y nhur de l int 5 mm. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh 45 5

26 LERÍ ESTIL ÁRE 6 GEMETRÍ MÉTRI PLI El motivo deortivo que se ompñ es un representión pril de un LERÍ de ESTIL ÁRE. Su geometrí ne del RSETÓN entrl on simetrí rdil (6 ejes), onstituíd por dos HEXÁGNS REGULRES, homotétios y onéntrios. El myor ontiene los entros de ls irunferenis tngentes entre sí y entrelzds que onformn un nuevo HEXÁGN E LS URVS, muy propio de l deorión rquitetóni áre. El HEXÁGN NÉNTRI y semejnte l myor es l prte omún de dos triángulos equiláteros idéntios enfrentdos, que diujn un ESTRELL HEXGNL. L prolongión de los enintdos tringulres dn ontinuidd un lerí de grn ellez y fáil nálisis ompositivo, que se onjugn en ls esquins on otros hexágonos estrelldos y entrelzdos más pequeños. L NHUR del intedo es NSTNTE e igul l distni entre ldos semejntes de los hexágonos onvexos, se entrl del diujo. Se trt de que reproduzs, on tod preisión y ESL NTURL, el diujo de INTES que onformn el RSETÓN ENTRL, delimitdo por el HEXÁGN REGULR URVILÍNE. TS: ldo del hexágono myor 45 mm. y nhur de l int 5 mm. PLÍGNS. RELINES MÉTRIS nomre y pellidos nº urso/grupo feh 45 5