INTRODUCCION. Los fenómenos asociados a la electricidad están ligados directamente o indirectamente al

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2 INTODUION Los fenómenos asociados a la electicidad están ligados diectamente o indiectamente al hombe, incluyendo su ceación. El hombe pimitivo obsevó las descagas elécticas atmosféicas con temo y espeto, poque este fogonazo del cielo acompañado de un fuete estuendo, destuía todo donde caía, incluyendo sus vidas. En Gecia, cuna de la civilización, 6 A., se descubió que este fenómeno podía se poducido y manejado po el mismo hombe, po supuesto a escalas muy pequeñas y en otas condiciones. Ea el caso que al fota esinas vegetales petificadas (ambaelekton) con un paño de lana y acecalas a patículas tales como cabellos, pajas secas, éstas ean ataídas po el ámba. El fenómeno asociado a esta expeiencia se le conoce como Electicidad. Asimismo, y casi simultáneamente, se conoció un fenómeno cuyo compotamiento ea paecido al anteio, El Magnetismo. Este se deiva del nombe de una pieda, Magnetita hallada en Magnesia, que en su estado natual podía atae, patículas de hieo u oto metal sin necesidad de fotale. El Objetivo de este cuso de Física II, se centa en el estudio y análisis de estas amas de la ciencia, y abe las puetas al estudiante a conoce las teoías que evolucionaon al mundo modeno, y que gacias a la capacidad desaollada po hombe de maneja los efectos electomagnéticos, ilumina ciudades, aumenta la poductividad en las fábicas, inventa máquinas que pone a su sevicio, viaja a la Luna, tiene satélites atificiales de obsevación y comunicación alededo de la tiea y de otos mundos y mediante sus equipos ha fotogafiado los planetas exteioes del sistema sola y obseva y estudia los confines del univeso.

3 AGAS Y AMPOS La Electicidad y el Magnetismo como amas de la Física se divide en: ELETIIDAD ELETOSTATIA ELETOINETIA ELETONIA ELETOMAGNETISMO MAGNETOSTATIA MAGNETISMO MAGNETOINETIA Electoestática : Estudia las cagas elécticas en eposo. Electocinética: Estudia las cagas en movimiento a tavés de conductoes. Magnetostática: Estudia el magnetismo ceado po imanes natuales y agujas magnéticas. Magnetocinetica: Estudia campos magnéticos en movimiento. Electónica : Estudia el movimiento de electones po efectos electomagnéticos y su aplicación tecnológica. Electomagnetismo: Estudia las acciones ecipocas ente efectos magnéticos y elécticos.

4 ESEÑA HISTOIA hales de oulomb ( ) Michael Faaday ( ) Descubimiento de la Electicidad y el Magnetismo: Tales de Mileto, ( Gecia apox. 6 a.c )... Plinio... Estudio sobe la caga eléctica y la elación ente la electicidad y el magnetismo. Stoney ( )... J.J Thomsom ( )... William Gilbet ( )... Hans Oeted ( )... Stephen Gay ( 179- )... Benjamin Fanklin ( )... Joseph Piestley ( )... hales de oulomb ( )... Jhon Michell ( )... Michael Faaday ( )... onsolidación de teoías y fomulación de ecuaciones que gobienan el electomagnetismo. James Maxwell ( )... Geoge Ohm ( )... Kal Gauss ( ) Ande Ampee ( )... Alejando Volta ( )...

5 Gustav Kichoff ( )... Joseph Heny ( ) James Watt ( )... Heinich Hetz ( )... H.A Loentz ( )... ATIVIDAD: INVESTIGUE Y OLOQUE EN LA LINEA EL APOTE MAS SIGNIFIATIVO AL ESTUDIO DE LA ELETIIDAD Y EL MAGNETISMO DE ADA IENTIFIO ESEÑADO EN LA LISTA ANTEIO. AGA ELETIA ASPETOS UALITATIVOS Popiedades intínsecas de la mateia Masa : Definida po la segunda ley de Newton aga eléctica : ondición que puede cea un estado eléctico exteno.. Magnetización : oncepto asociado al movimiento otacional del electón sobe su mismo eje ( SPIN o momento cinético ) Atacción Gavitacional : ondición definida po la ley de gavitación de Newton

6 Estados elécticos de la mateia. Neutal Positivo ( ) Negativo ( - ) AGAS IGUALES SE EPELEN Y AGAS DIFEENTES SE ATAEN El átomo como sistema eléctico. El átomo en estado nomal es elécticamente neuto. Los componentes fundamentales del átomo son los siguientes: ELETONES: Son patículas que obitan alededo del núcleo y deteminan el estado eléctico del átomo. Su caga eléctica se denomina como negativa y de acuedo al estado físico y caacteística de la mateia que confoman puede salta de niveles y desplazase po esta. Su pesencia fue demostada po pimea vez po el físico. Stoney en el año 1874, que hallo po via indiecta el valo de su caga. Alededo del año 19, mediante el estudio de ionización de los gases se puso de manifiesto su individualidad. La medida exacta expeimental del valo de la caga electónica se debe a. Millikan en la pimea década del siglo. POTONES : Son patícula cuya caga eléctica se denomina como positiva. Están unidos ente sí en el núcleo po la fueza nuclea fuete. La cantidad de potones en un átomo definen el númeo atómico.

7 NEUTONES: Son patículas cuya caga eléctica es neutal. onfoman junto con los potones y ota subpatículas el núcleo atómico. Son inestables en estado libe. Denominación del átomo de acuedo a su estado eléctico: Ión : Atomo con exceso o déficit de electones. atión : Atomo con déficit de electones Anión : Atomo con exceso de electones. Otas caacteísticas de las patículas atómicas. PATIULA MASA (KG ) AGA ELETIA (OULOMB ) SPIN MOMENTO MAGNETIO ELETON 9,1 x ,6 x 1-19 ½ NOMAL POTON 1,6 x 1-7 1,6 x 1 19 ½ NOMAL NEUTON 199 VEES MAYO QUE LA DEL ELETON. NULA ½ NOMAL El antielectón, el antipotón y el antineutón son los anticopusculos de los anteioes y su existencia pedecida po la ecuación de Diac ha sido plenamente pobada expeimentalmente. Extapolando hacia el inteio de la mateia, se encuentan una seie de copúsculos siendo los que a continuación se nomban, los asociados a las fuezas de inteacción o acción a distancia. Fotón: Explica la existencia de las fuezas elécticas y magnéticas y pemite compende las adiaciones electomagnéticas, espuesta que se obtiene analíticamente con las ecuaciones de Maxwell. Tiene masa pácticamente nula, caga eléctica nula. Spin 1 momento magnético nulo.

8 Pión: masa de 7 veces la del electón. Spin nulo y momento magnético nulo. Existe pion negativo, positivo y nulo. Se obtienen po desintegación y su vida es muy cota. El estudio de los piones explican la existencia de las fuezas nucleaes. Gavitón: su existencia se estima hasta los momentos teóicamente. Su masa se cee nula igual que su caga, Spin, momento magnético nulo y explicaía las acciones de la gavitación. omo es el átomo. Modelos atómicos La pimea idea sobe el átomo las intodujo Dalton en 185, confimando que la mateia no es continua y es divisible. Los modelos atómicos que se han sugeido y que han sido espaldados de acuedo al avance científico, en cada época, fueon los siguientes: Modelo de Pastel de Pasas. Modelo típico aceptado a finales del siglo I y sostenía que los electones estaban incustados en un mateial cagado positivamente como un pastel de pasas. Este modelo fue espaldado po J.J.Thomson que agumentaba que los electones tenían que esta en movimiento. Modelo Espacial de uthefod. Sostenía que los electones en movimiento giaban en óbitas ciculaes fijas alededo del núcleo. Deteminó dimensiones y masa del núcleo. Este modelo pedice la emisión de luz en una gama continua de fecuencia y no en especto como ealmente es. Modelo de Boh. Incopoa la ecién fomulada teoía cuántica peo hacia suposiciones de manea que la teoía concodaa con los expeimentos ealizados. Explica la emisión de luz en especto con el salto de electones de un nivel de enegía a oto. Se habla de la emisión de fotones de luz

9 epesentación de cuato modelos atómicos Modelo de Sammefeld. Popuso un modelo elíptico paa eemplaza las condiciones de cuantificación de Boh, posteiomente sobe este mismo modelo Uhlenbeck y Goudsmit intodujeon una otación del electón sobe su popio eje con lo que dieon una explicación pacial de la estuctua fina. Modelo de D Boglie. Se intoduce la idea de la onda patícula, en la cual el electón en una óbita elíptica cumple un fenómeno ondulatoio. Hipevínculo..\Obitales atómicos.doc Modelo de Schodinge y Bon. En este modelo los electones se encuentan alededo del núcleo no en óbitas sino en foma de nube electónica esféica. Modelo de Paul Diac. Al modelo anteio se intoduce el concepto del Spine, vocablo que da la idea de un movimiento giatoio de los electones sobe su mismo eje. Este modelo más eciente explica la mayoía de los fenómenos conocidos expeimentalmente del compotamiento del átomo y ha

10 pemitido poba teóicamente la existencia de las llamadas antipatículas. efeencia: Micosof, Encata (4). Atomo. Explicación del fenómeno eléctico a pati de los modelos Los modelos atómicos nos dan la idea, sin cae en los detalles de su explicación física, que los electones pueden desplazase dento del átomo mismo, así como también, existe la posibilidad que salgan del sistema atómico. La unión de dos o más átomos constituyen las moléculas; estas a su vez se agupan paa foma cuepos físicamente constituidos, cualquiea que sea su estado. peine, el ámba, etc, pueden cagase negativamente. Los cuepos están constituidos po gupos de átomos y pueden adquii una condición eléctica negativa o positiva, siempe y cuando exista un agente exteno que la povoque. Así los mateiales víteos, como los vidios se cagan positivamente y los plásticos y esinas se cagan negativamente. En el pimeo de los casos se cedió electones y en el segundo caso se acepto electones. Es de nota que una caga negativa anula a ota positiva de la misma magnitud. Mateiales conductoes y aislantes. De acuedo a la capacidad que tienen los cuepos de deja pasa o no cagas elécticas a tavés de si, pueden clasificase en : onductoes: Son aquellos mateiales, que pueden tanspota a tavés de si, las cagas elécticas. omo ejemplo se tienen los metales, cuyo enlace ente átomos ( enlace metálico ), pemite que los electones se movilicen a una velocidad deteminada dento de ellos. Los conductoes pueden

11 pesentase en cualquiea de los cuato estados de la mateia, sólido, liquido, gaseoso o como plasma, este último estado se le conoce muy poco en nuesto planeta, peo se haya pesente en el 9% del univeso. Aislantes o dielécticos. Son aquellos mateiales que no dejan tanspota a tavés de si, cagas elécticas. Las cagas elécticas se quedan fijas en el luga que se les poduce. Ejemplos de mateial aislante, es la pocelana, el vidio, la madea seca. Semiconductoes. Son mateiales con caacteísticas intemedias, ente conductoes y aislantes, pues conducen las cagas eléctica en un solo sentido dento del mateial. Ejemplo son el cistal de gemanio y de silicio y su aplicación tecnológica es gan utilidad en la electónica como lo son los diodos, tansitoes, y los llamados cicuitos integados. FOMAS DE PODUI AGAS ELETIAS EN LOS UEPOS Fotamiento o tiboelecticidad: Al fota un peine, ámba o plástico, con un pedazo de lana, los átomos de la lana ceden electones que pasan al mateial, el cual queda cagado negativamente. Po ota pate si se fota un mateial víteo, con un pedazo de seda, los átomos del vidio ceden electones que pasan a la seda, y el vidio queda cagado positivamente. Es de nota que solo el déficit o exceso de electones en mateiales sólidos son los que deteminan el tipo de caga eléctica del mateial.. en oto estado de la mateia, la caga eléctica la deteminan los iones libes ( cationes o aniones ).

12 Inducción o influencia. Si se tiene un cuepo peviamente cagado como po ejemplo, una baa de vidio ( positivo ) y se le aceca sin tocale a un cuepo conducto sin caga ( neuto ), se sucede el siguiente efecto; omo la baa de vidio tiene caga positiva atae a tavés del medio ambiente que sepaa ambos cuepos, a los electones libes del conducto estos se movilizan hasta el luga mas póximo a la baa de vidio. La baa de vidio ejece una inducción electostática sobe el mateial conducto. aga po conducción o contacto. Al tene contacto físico un cuepo cagado con un cuepo descagado este puede cagase del exceso del electones del cuepo cagado, si este tiene caga negativa inicialmente, si el pime cuepo esta cagado elécticamente positivo, los electones libes de los cuepos descagados pasan po el luga del contacto físico paa ellena las vacantes elécticas del cuepo positivo. Pincipio de cuantificación de la caga En 199, obet Millikan demostó que la caga eléctica siempe se pesenta como múltiplo enteo de una cantidad fundamental de caga, es deci el valo e 1,6 x 1-19 cuolomb., es deci siempe se existiá en pequeños paquetes discetos o cuantos de caga.

13 q n.e n 1,,,4... Muay Gell - Mann popone sin demosta aún, la existencia de cagas múltiplos de -1/e llamadas quaks.efeencia: Micosof, Encata (4). Los quaks Pincipio de consevación de la caga En todo poceso, físico o químico, la caga total de un sistema de patículas se conseva. Es lo que se conoce como pincipio de consevación de la caga. PEGUNTAS GENEALES DE ELETIIDAD Y MAGNETISMO 1) UALES SON LAS POPIEDADES DE LA AGA ELÉTIA? esp. -Hay dos tipos de cagas en la natualeza con la popiedad de que, cagas difeentes se ataen y cagas similaes se epelen. - La fueza ente cagas vaía con el inveso del cuadado de la distancia que los sepaa. -. La caga se conseva -. La caga esta cuantizada ) Sí un objeto suspendido A, conducto, es ataido hacia el objeto B, que esta cagando? Podemos conclui que el objeto A esta cagado? esp. No necesaiamente A debe esta cagado. Sí A esta neutal y se aceca un objeto B sin tocale, se poduce una polaización. Las cagas opuestas a la del objeto B, tatan de alejase en la supeficie del objeto A. La caga que se desplaza es la misma que se aceca, en magnitud. La fueza de atacción ejecida sobe B po la caa inducida en el lado cecano de A es ligeamente mayo que la fueza de epulsión ejecida sobe B po la caga inducida en el lado lejano de A. La fueza neta esta diigida de A hacia B.

14 esponda las siguientes peguntas. Qué ama de la física estudia los imanes pemanentes? ual fue la expeiencia científica de Plinio? Que es la caga eléctica? Diga cual fue el apote científico que legó a la humanidad Benjamín Fanklin, en lo que al estudio de la electicidad se efiee? Que tipo de inteacción eléctica expeimentan dos cuepos cagados positivamente cecanos? Poque los potones del núcleo atómico no se epelen ente si? Dibuje un modelo geomético del átomo de acuedo al modelo de Schodinge y Bon? Al fota vidio con un paño de seda, poque el vidio queda cagado positivamente? Explique el fenómeno eléctico que sucede. omo puede caga un cuepo negativamente y peviamente neuto, po inducción? Haga un diagama con esfeas. LEY DE OULOMB ASPETOS UANTITATIVOS ENUNIADO: La fueza de atacción y/o epulsión que se ejece ente dos cuepos electizados es diectamente popocional a las cagas elécticas de cada uno de ellos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. Esta fueza se ejece a lo lago de la ecta que une a ambas cagas, que intevienen en la inteacción. Q 1 Q Expesión de la ley de oulomb. F K Q1* Q

15 Magnitud de la fueza electostática omo toda fueza es una cantidad física vectoial, tiene magnitud, diección y sentido. F K Q1* Q U Vecto Fueza Electostática (ec. I1) K constante electostática en el S.I K 9x1 9 Nw x m / coul F ( Newton ) Q1 ; Q caga eléctica ( oulomb ) () ( metos ) Vecto Unitaio en diección y sentido de la fueza. Electostática. U

16 APITULO I aga eléctica. Ley de oulomb. Ejemplo 1.1 Pincipio de cuantización de la caga a) alcule el númeo de electones en un pequeño alfile de plata, elécticamente neuto, que tiene una masa de 1 g. La plata tiene 47 electones po átomo y su masa atómica es de 17,87 g/mol. b) Se añaden electones al alfile hasta que la caga neta es de 1 m (milioulomb). uantos electones se añaden po cada 1 9 electones ya pesentes?. onsideaciones: En un mol de sustancia existen 17,87 gamos (g) del mateial, y 6,167 x 1 átomos los cuales Alfile m 1 g. contienen 47 electones cada uno. De acuedo a esto en un mol de plata hay,8 x 1 5 electones. Solución: Figua 1.1 Electones en un alfile de plata a) Si la masa del alfile es de 1 g, entonces esta masa contiene 9,7 x 1 - mol de acuedo a la egla de tes siguiente: 17,87 g mol 1 g g 1mol 9,7 x 1 - mol 17,87g El númeo de electones del alfile se consigue de la siguiente manea:

17 Númeo de electones totales,8 x 1 5 elect mol x,97 mol Númeo de electones del alfile,6 x 1 4 electones b) Si la caga neta es de 1 m 1 - oulomb () el númeo de electones añadido es: q ne n 1 1, ,4 x 1 15 electones Se divide el númeo total de electones cuando el alfile estaba neuto, es deci:, ,6 x 1 15 (númeo de veces que se epite 1 9 en la cantidad inicial de electones) Entonces los electones añadidos se dividen ente este númeo 6,4 1, ,8 electones Que define que po cada 1 millado (mil millones) de electones añadidos existen,8 electones en el mateial, oiginalmente. Ejemplo 1. Pincipio de la consevación de la caga eléctica. Una caga de 1 µ y una caga de 6 µ están sepaadas 4 mm Qué magnitud de la fueza electostática existe ente ellas? Las esfeas se ponen en contacto unos cuantos segundos y luego se sepaan de nuevo 4 mm. uál es la nueva fueza? Es de atacción o epulsión?

18 onsideaciones: La magnitud F del vecto fueza electostática F en la condición a) puede calculase fácilmente aplicando la Ley de oulomb, sobe el eje hoizontal y como son de difeentes signos, es atactiva. En la condición b) hay una suma de cagas, las cagas negativas tatan de neutaliza las cagas positivas y pevalece la de mayo signo, al sepaase c) la caga total Q se edistibuye en foma equitativa. (1µ 1-6 ) Solución: a) b) c) q 1 Q q q Q 1 epulsión q Q Figua 1. Inteacción eléctica ente esfeas conductoas cagadas. A) 9 m q q 9x1 N F K 1x1 6x1 A 7, 5N ( 4x1 m) B) F B ) q ( q ) (1 6)µ 4 Q µ x1 x1 x1 F c, 5N ( 4x1 ) Nota: En lo sucesivo las cantidades vectoiales se denotaán con una leta y una flecha aiba y su magnitud o módulo sin la flecha.

19 EJEMPLO 1. FUEZA ELETOSTÁTIA Y FUEZA GAVITAIONAL Dos potones en una molécula están sepaados po una distancia de,8 x 1-1 m. a) Encuente la fueza electostática ejecida po un potón sobe el oto. b) omo se compaa la magnitud de esta fueza con la magnitud de la fueza gavitacional ente los dos potones? c) ual debe se la azón ente la caga y la masa de una patícula si la magnitud de la fueza gavitacional es igual a la magnitud de la fueza electostática ente ellas? onsideaciones: La magnitud de la fueza electostática ente dos cagas puntuales puede hallase po la ley de q1 q oulomb. F e K. omo las F e Fg Fg F e cagas de las patículas son iguales q p e 1,6 x 1-19, entonces q p Fe K. Paa calcula la magnitud de la fueza gavitacional se utiliza la ley de gavitación univesal de Newton m p m p Fg G (po se estas dos fuezas consevativas, dependen del inveso de ) Fig. 1. Inteacción eléctica y gavitacional ente dos potones de una molécula.

20 Solución: a) Magnitud de la fueza electostática. F e N m 19 ( 1,6 x1 ) 1 (,8x1 ) m 9 9x1 Fe 1,595 x 1-9 N epulsiva b) Magnitud de la fueza gavitacional. Tomando el valo de G 6,67 x 1-11 N m Kg ( ve apéndice B ) y la masa del potón m p 1,67 x 1-7 kg F G 6,67x1 11 N m Kg 7 ( 1,67x1 Kg) 1 (,8 x1 ) m F G 1,9 x 1-45 N omo se muesta, la magnitud de fueza gavitacional es mucho meno que la magnitud de fueza electostática; paa estas dos patículas la popoción es la siguiente: F F e G 1,4x1 6 q c) azón ente caga y masa m si las magnitudes de las fuezas son iguales. q m F e F G K p p G despejando q m 6,67x1 9x1 9 N m Kg N m b 11 La elación caga masa es: q 11 8,61x1 m Kg

21 Ejemplo 1.4 agas distibuidas discetamente en el plano. En la figua 1.4 a. se localizan tes cagas puntuales ubicadas en las esquinas de un tiangulo equiláteo, calcule la fueza eléctica neta sobe la caga de 7 µ onsideaciones: La fueza electostática esultante sobe la caga q A es la suma vectoial de las fuezas electostáticas de la caga de q B sobe la q A, F B que es epulsiva, más la fueza de la caga q sobe q A, F que es atactiva. De acuedo al diagama entonces la F F F B 6 q A 7µ B - q B µ q 4µ θ a) θ B F B,5 mts F b) Fig. 1.4 a) agas en los vétices de un tiángulo equiláteo. b) Diagama de fuezas sobe q A. Solución: La fueza F B como vecto se calcula multiplicando su magnitud po un vecto unitaio U B en la misma diección y sentido que ella, es deci: F F U B La magnitud de B B F B se calcula aplicando la ley de oulomb

22 q F K B q B A B Esta es la magnitud de la fueza ente las cagas puntuales q B y q A Donde B es la distancia ente las cagas tiángulo equiláteo, B,5 m. q A y q B, y coincide con un lado del El vecto unitaio U B se calcula po la elación siguiente: U B os θ U Sen θ U Y (válida en el plano) Donde θ es un ángulo fomado a pati del eje positivo en sentido contaio a las manecillas del eloj hasta enconta el vecto con el cual se tabaja. U ; U Y y U Z son los vectoes unitaios en diección y sentido de los ejes ; Y y Z positivos espectivamente. En este caso θ B 6.. U os 6 º U Sen 6º U Entonces ( ) ( ) Y F B F B 9x1 9 N m xx1 (,5) 6 m (,5U,44Uy ) N x7x1 6 ( os( 6º ) U Sen( 6º ) U ) y De manea simila el vecto fueza electostática obtiene como sigue: ve figua 1.4.b F ente la caga q y q A se F K q q U A Donde U es un vecto unitaio en la diección y sentido de F.

23 Utilizando a θ como el ángulo paa detemina a U tenemos: U os º U Sen º U Entonces ( ) ( ) Y F 9 m 9*1 N x4x1 (,5) 6 m x7x1 6 ( os( º ) U Sen( º ) U ) Y F (,54U,87U Y ) N La fueza esultante seá F,756 U,4U ) N ( Y on magnitud F,871. N EJEMPLO 1.5 AGAS DISTIBUIDAS DISETAMENTE EN EL ESPAIO. Tes cagas puntuales q A µ ; q B 5µ y q 6µ, están ubicadas en las coodenadas A:(4, 6, ); B:(, -, 4) y :( x, y, z ) espectivamente. Si es el punto medio ente A y B. Halla la fueza esultante sobe inteacción con q A y q B. q geneada po la onsideaciones: q caga La fueza eléctica esultante sobe la q debido a q A y q B se encuenta sumando la fueza eléctica de q A sobe fueza eléctica de q, es deci F A más la q B sobe q, que es F B, aplicando la Ley de oulomb. Las distancias se asumián en metos.

24 Paa simplifica la epesentación gáfica del poblema, los puntos que tienen tes coodenadas se epesentan en una dimensión, como lo muesta la figua 1.5. Paa ilusta la inteacción eléctica sobe la caga ubicada en el punto. q A F A q q B A: (4, 6, ) F B : ( x, y, z ) B: (, -, 4) Fig. 1.5 epesentación en una dimensión de cagas distibuidas discetamente en el espacio Solución: Las coodenadas x, y, z son el punto medio ente el punto A y el punto B, y se encuentan de la siguiente manea: A B Y A Y B Y Z A Z B Z Sustituyendo valoes tenemos: 4 ( ) 6 4 Y Z Entonces las coodenadas de son: (,, ) De acuedo a la figua 1.5, las fuezas de oulomb. F A y F B se obtienen aplicando la ley F A F A U A q K q A A U A Donde U A es un vecto unitaio en la diección y sentido de la fueza F A.

25 omo F A es atactiva, tiende a diigi a la caga Un método paa consegui tiene la misma diección y sentido que la q en sentido hacia la caga q A. U A es mediante el vecto posición ente y A, A, que F A y su magnitud es la distancia A. Entonces A U despejando U A A A A A A A La ecuación queda: F A k q q A A A A es la magnitud de A A se obtiene aplicando la ecuación siguiente, estando las coodenadas donde llega menos donde sale el vecto posición paa cada caso. A ( A ) U ( AY Y ) U Y ( AZ Z ) U Z llega sale Entonces 4 U 6 U U U 4U A ( ) ( ) Y ( ) Z Y U Z Su magnitud se consigue aplicando el teoema de Pitágoas. ( 1) 1 A 4 m m Sustituyendo F F A A 9x1 9 N m xx1 ( 1) 6 x6x1 6 x ( U 4U U ) 1,1x1 x N ( U 4U U ) (,4x1 U 4,5x1 U 1,1x1 U ) Y Z Y Z Y Z

26 álculo del vecto F B. F B F B U B q K q B B U U B es el vecto unitaio en la diección de anteio puede hallase el vecto sentido coinciden con el vecto epulsiva de q B sobe q ), entonces: B F B ; de la misma manea como en el caso U B, con el vecto posición B, cuya diección y F B, diigido desde B hasta. (debido a la fueza U B k q B B Sustituyendo queda lo siguiente FB B B B q El vecto posición se consigue con: B B ( ) U ( ( ) ) UY ( 4) U Z B (,, ) B (, -, 4) B U 4U Y U y su magnitud B 4 ( 1) m 1m Z Sustituyendo queda F B 9x1 9 N m x5x1 ( 1) m 6 x6x1 6 x( U 4U U )m Z F B,41x1 x N. ( U 4U U ) (4,8x1 U 9,64x1 U,41x1 U ) Z Y Z álculo del vecto F. F F F Aeglando y ealizando la suma vectoial se obtiene: A B

27 F F A,4x1 U 4,5x1 U 9,64x1 U B 4,8x1 U Y Y 1,1x1,41x1 U Z U Z F (7,7x1 U 14,14x1 U,5x1 U ) N Y Z Ejemplo 1.6 Deteminación de las cagas de las esfeas colgantes En la figua 1.6 se muestan tes esfeas idénticas cada una de masa m,1 kg y caga q, colgadas de tes cuedas. Si las longitudes de las cuedas izquieda y deecha son L cm. y el ángulo θ 45º, detemine el valo de q. onsideaciones: Pimeo, paa fines de facilita el planteamiento del poblema, designaemos a cada masa m 1, m y m espectivamente como se muesta y q 1, q y q espectivamente. Sobe la caga q actúan las siguientes fuezas, tensión T de la cueda, con una sola componente, la vetical, el peso W y la fueza electostática esultante ente la fueza epulsiva de la caga q 1 sobe q, hacia la deecha F 1 y la fueza epulsiva de L θ q 1 q q m 1 m m Fig. 1.6 agas en equilibio colgando de cuedas. θ L g la caga q sobe la caga q ( F ) también epulsiva hacia la izquieda.

28 En la figua 1.7a como el sistema esta en equilibio F U y F Y U y si se sustituyen los vectoes coespondientes en el eje x, se tiene F1 U FU O. Si se opea con a) sus componentes escalaes, queda ; F 1 F lo que esulta F 1 F ; De la misma foma se tabaja con las componentes sobe el eje y ; T W entonces T W ( W es la magnitud del peso). on este análisis sobe la q no se consigue despeja el valo de q equeido. Po oto lado si se toma cualquiea de las cagas q 1 ó q se encuenta el sistema de fuezas de la figua 1.7 b. omo se obseva, la tensión T, se descompone en sus componentes T y y a) F q F 1 T b) T θ q T T Y W W F 1 Fig. 1.7 Diagamas de fuezas F T x y la fueza electostática esultante es la suma de vectoial de F 1 y F. Analizando el sistema de fuezas sobe q, se puede calcula el valo de q, que daía el mismo esultado si se estudiaa sobe q 1.

29 Solución: F La fueza esultante sobe la caga q se obtiene de la siguiente manea. donde F1 F F 1 F1U y F FU (hacia la deecha) Aplicando la ley de oulomb q q 1 F 1 K y F K ( ) q q Donde es la distancia de q a q y q 1 espectivamente las cuales con las cuedas confoman tiángulos ectángulos con L de hipotenusa. Sen θ Despejando L θ L L Sen θ Sustituyendo valoes, m. Sen (45º),1 m,1 m Sustituyendo valoes en las ecuaciones de F 1 y F F 1 9 9x1 N m xq Donde q 1 q q ; cancelando unidades esulta: ( x,1) m F 1 5 x 1 1 q N/ esolviendo paa F F 9 9x1 N m xq Donde q q q ; cancelando unidades esulta: (,1) m

30 F x 1 11 q N / La magnitud de la fueza electostática esultante sobe q es: F 5 x 1 1 q x 1 11 q,5 x 1 11 q Las componentes veticales y hoizontales de la tensión T son: T x -T Sen θ y T y T os θ Aplicando la segunda ley de Newton de acuedo al diagama de fuezas de la figua 1.7 se obtiene: omponentes Hoizontales F T x donde F T x T Sen θ omponentes Veticales T y W entonces T os θ m g Despejando T mg T y sustituyendo osθ mg F Senθ m g tanθ ( g 9,8 m/s ) osθ Paa F,5 x 1 11 q queda,5 x 1 11 q m g tanθ despejando q m g tanθ,5x1 q 11,1kgx9,8m s,5x1 11 x tan N ( 45º ) q 1,9x1 la caga de cada esfeita es q 1,98 x 1-6

31 POBLEMAS POPUESTOS AGA ELETIA. LEY DE OULOMB. Popuesto 1.1 Fueza electostática y fueza gavitacional Qué cagas elécticas iguales deben colocase sobe la Tiea y la Luna, paa iguala las magnitudes de las fuezas eléctica y gavitacional ente los dos cuepos?. Indicaciones: Halla la magnitud de la fueza F gavitacional utilizando la ley de mt ml gavitación de Newton Fg G d luego aplicando la ley de oulomb, halla la magnitud de la fueza electostática, se igualan éstas y finalmente se despeja q. Fg F e d d,84 x 1 8 m m T 5,98 x 1 4 Kg m L 7,6 x 1 Kg G 6,67 1 espuesta: 11 N m Kg Fig. 1.8 Inteacción eléctica-gavitacional ente la tiea y la luna espuesta: q 5,7 x 1 1 Popuesto 1. Fueza electostática ente esfeas conductoas Dos esfeas conductoas idénticas se colocan sepaadas po una distancia de, m. Una de ellas tiene una caga de 1 n y la ota de -18 n. a) Encuente la magnitud de la fueza electostática ejecida po una esfea sobe la ota.

32 b) Las esfeas se conectan po un alambe conducto, encuente la magnitud de la fueza eléctica después que se alcanza el equilibio. Indicaciones: En la pate a) aplica diectamente la ley de oulomb, en la pate b) cuando se unen, las cagas son sumadas algebaicamente luego que se alcanza el equilibio. La caga eléctica total se distibuye equitativamente en cada esfea. espuesta: a),16 x 1-5 N b) 9 x 1 7 N Popuesto 1. Inteacción ente cagas localizadas en los vétices de un cubo. En los vétices de un cubo de lado a, m., están localizadas cagas de magnitud Q µ y del mismo signo. Detemine la magnitud de la fueza electostática esultante de todas sobe una de ellas. y Indicaciones: epesente en el cubo en un sistema de coodenadas en el espacio, donde una de las caga la ubica en el oigen. Halla la fueza esultante, vectoialmente apoyándose en los vectoes de posición espectivos, utilizando las coodenadas posicionales de cada vétice. uando se obtenga el vecto F e, halla su 1.9 agas en los vétices de un cubo magnitud. z Q Fig. x

33 espuesta: (,) 6 ( x1 ) 9,9 9x1 Fe Fe 6, 66N Popuesto 1.4 Inteacción ente tes esfeas cagadas y suspendidas. Tes esfeas idénticas, de masa m, kg y caga Q en cada una de ellas, están suspendidas de un punto en común mediante hilos aislantes y ligeos de longitud L 1 m. Las esfeitas se epelen ente si hasta queda en equilibio, fomando un tiángulo equiláteo de lado a,1 cm., como se muesta en la figua. Halla el valo de la caga Q. Indicaciones: Halla la F e esultante sobe una de ellas, en el plano del tiángulo equiláteo, donde su diección pasa po el cento del mismo. En oto gáfico epesenta el conjunto de todas las fuezas que intevienen, es deci, apate de la fueza electostática, la tensión de la cueda y el peso sobe dos ejes coodenados y aplica la espuesta: segunda ley de Newton en equilibio. m L a a L m a L m ESPUESTA El pocedimiento da como esultado a la ecuación siguiente:, 9,8,1 Q Q 7 µ 9 9x1 9 1 ( ),1

34 Popuesto 1.5 Esfeas cagadas en un tazón esféico Dos esfeas idénticas tienen una masa cada una m, kg y caga q. uando se ponen en un tazón esféico con paedes no conductoas sin ficción, las esfeitas se mueven hasta que en la posición de equilibio están sepaadas po una distancia,75 m., si el adio del tazón es también,75 m. Detemine la caga de cada esfeita. Indicaciones: uando se establece el sistema de fuezas en equilibio sobe una de las cagas, la fueza nomal debido al contacto de la esfea con la supeficie del tazón esta inclinada 6º con especto al eje hoizontal. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema en equilibio se despeja la caga. m m espuesta: El pocedimiento conduce a la ecuación siguiente:, 9,8 q,75 q 1, µ 9x1 9 tan ( 6º )

35 POBLEMAS POPUESTOS AGA ELETIA Y LEY DE OULOMB 1) LA FUEZA ELETOSTATIA ENTE DOS IONES SEMEJANTES QUE SE ENUENTAN SEPAADOS PO UNA DISTANIA DE 5 x 1-1 MTS ES DE,7 x 1-9 NW A) UAL ES LA AGA DE ADA UNO DE LOS IONES?. B) UANTOS ELETONES FALTAN EN ADA UNO DE LOS IONES?. ) DOS PEQUEÑAS ESFEAS ESTAN AGADAS POSITIVAMENTE Y LA AGA OMBINADA ES DE 5 x 1 5. OMO ESTA DISTIBUIDA LA AGA TOTAL ENTE LAS ESFEAS, SI LA FUEZA EPULSIVA ENTE ELLAS ES DE 1 Nw. UANDO LAS ESFEAS ESTAN SEPAADAS MTS?. ) DOS ESFEAS SIMILAES DE MASA M UELGAN DE HILOS DE SEDA DE LONGITUD L Y TIENEN AGAS SEMEJANTES Q. SUPONE QUE θ ES LO SUFIIENTEMENTE PEQUEÑA PAA QUE LA tanθ PUEDA EEMPLAZASE PO EL sen θ. A) DEMOSTA QUE : Q L. πε O mg 1/ DONDE ES LA SEPAAION ENTE LAS ESFEAS B) UANTO VALE Q SI L VALE 1 MS M 1 GS Y 5 MS.

36 4) UNA IETA AGA Q SE DIVIDE EN DOS PATES q Y Q-q. UAL ES LA ELAON ENTE Q Y q PAA QUE LAS DOS PATES OLOADAS A UNA IETA DISTANIA DE SEPAAION TENGAN UNA EPULSION OULOMBIANA MAIMA? 5) DOS ESFEAS ONDUTOAS IDENTIAS, ON AGAS DE SIGNO OPUESTO, SE ATAEN ON UNA FUEZA DE.18 N AL ESTA SEPAADAS,5 MTS. LAS ESFEAS SE INTEONETAN ON UN ALAMBE ONDUTO Y A ONTINUAION SE DESONETAN. EN ESTA NUEVA SITUAION SE EPELEN ON UNA FUEZA DE.6 N. UALES EAN LAS AGAS INIIALES DE LAS ESFEAS?. 6) TES PEQUEÑAS ESFEAS DE 1 GS SE SUSPENDEN DE UN PUNTO OMUN, MEDIANTE HILOS DE 1 MTS DE LONGITUD. LAS AGAS DE ADA ESFEA SON IGUALES Y FOMAN UN TIANGULO EQUILATEO UYOS LADOS MIDEN,1 MTS. UAL ES LA AGA DE ADA ESFEA?. 7) EN ADA VETIE DE UN UBO DE LADO a HAY UNA AGA Q. DEMOSTA QUE LA MAGNITUD DE LA FUEZA ESULTANTE SOBE UALQUIEA DE LAS AGAS ES F,6 Q ε O a 8) EN DOS VETIES OPUESTOS DE UN UADADO SE OLOAN AGAS Q. EN LOS OTOS OPUESTO SE OLOAN AGA q. A) SI LA FUEZA ELETIA ESULTANTE SOBE Q ES EO UAL ES LA ELAION ENTE Q Y q?. B) SE PODIA ESOGE A q DEL TAL MANEA QUE LA FUEZA ESULTANTE SOBE ADA UNA DE LAS AGAS SEA EO?

37 9) TES AGAS ELETIAS ESTAN UBIADAS EN LAS OODENADAS A; B Y. HALLA EL VETO FUEZA ELETOSTATIA ESULTANTE SOBE UNA AGA Qo µ UBIADA EN EL OIGEN DE OODENADAS DEBIDO A LA AION DE LAS TES AGAS. Qa - 1 µ Qb - 5 µ Y Qc 15 µ. UYAS OODENADAS A(-, ) ; B(, ); (,-) 1) EN LOS VETIES DE UN TIANGULO ISOSELES UYOS LADOS A 15 MS Y B 5 MS EISTEN TES AGAS DE MAGNITUD Q 1. HALLA LA FUEZA ESULTANTE SOBE UNA AGA DE q - 1 µ UBIADA EN EL OTOENTO DEL TIANGULO. B B A 11) DADAS LAS AGAS UBIADAS EN LAS OODENADAS A( -,4,5) QA µ ; B(,4, ) Q B - 4 µ ; ( -,,5) Q 6 µ. SI LA MAGNITUD DE LA FUEZA ESULTANTE QUE EJEEN LAS TES AGAS SOBE UNA AGA Q ES DE 8,9 x 1 - Nw. HALLA LA MAGNITUD DE LA AGA POSITIVA Q UBIADA EN EL OIGEN DE OODENADAS. 1) EN LA FIGUA SE MUESTAN TES AGAS PUNTUALES IDENTIAS OLGADAS DE TES UEDAS, UYAS MASAS VALEN M,1 Kg Y TIENEN UNA AGA Q. SI LAS LONGITUDES DE LAS UEDAS IZQUIEDA Y DEEHA SON L MS Y EL ANGULO θ 45 ª. DETEMINE EL VALO DE Q.

38 apitulo II AMPO ELETIO Ejemplo.1 en Deteminación de la caga de una esfea suspendida, equilibio po la acción de un campo eléctico. Una pelotita de masa 1 g. que tiene una caga q, está suspendida de un hilo de masa despeciable. Po acción de un campo eléctico unifome 5 E µ 5µ x1 N la pelotita queda suspendida en equilibio a θ 7. ( ) Enconta: Y / a) La aga de la pelotita b) La Tensión del hilo onsideaciones: Ya que la fueza electostática debe esta en la misma diección y sentido que el campo eléctico, induce un efecto de epulsión sobe la pelotita ( F q E ) omo el sistema está en equilibio se aplica la segunda ley de Newton ΣF m.a donde las componentes ectangulaes de a, a x y a y son iguales a ceo (sistema estático) q Fig..1 Pelotita suspendida de una cueda dento de un campo eléctico. θ Ε

39 T θ q qε T θ q y q Ε x T x T y q q Ε W W y W q Ε x Solución: W a) b) Fig.. a) Diagama de fuezas sobe la pelotita. b) omponentes ectangulaes. a) La caga de la pelotita De acuedo con la ecuación vectoial E ( µ 5µ ) Y x1 5 N las componentes escalaes del campo eléctico son: E x x1 5 N/ y E y 5x1 5 N/ Y las componentes escalaes de la tensión T de la cueda son: T x -T Sen(7 ) y T y T os(7 ) omo la fueza electostática es F qe, si se aplica la segunda ley de Newton, entonces las componentes escalaes de las fuezas sobe el eje x se suman. Σ Fx, sustituyendo queda q E x T Sen θ Ecuación (.1) De la misma manea las componentes escalaes de las fuezas sobe el eje y se suman

40 q E y T os θ W Ecuación (.) Peo W m. g despejando T de la ecuación (.1) : T qε x Senθ Ecuación (.) Sustituyendo en la ecuación (.) queda: qe y qε x osθ mg ; Senθ extayendo q como facto común, se tiene: q (E y Ε x ) m g q tanθ Sustituyendo valoes y cancelando unidades Ε y mg Ε x tanθ ( ) ( 1x1 Kg x 9,8m s ) q (5 Tan )1 5 N ( 7º ) se obtiene q 1,9 x 1-8 b) La tensión del hilo Usando el esultado de la pate a) paa q y sustituyendo en la ecuación (.) T 8 1,9x1 xx1 Sen ( 7º ) 5 N lo que esulta T 5,44 x 1 - N

41 Ejemplo. de lado a: ampo eléctico debido a cagas distibuidas discetamente. Tes cagas puntuales iguales están en los vétices de un tiángulo equiláteo a) En que punto en el plano de las cagas (apate de ) el campo eléctico es nulo? b) uál es la magnitud y la diección del campo eléctico en el punto P debido a las dos cagas en la base? onsideaciones: q P Las tes cagas positivas inteactuando, define una epulsión a a mutua ente si. Al coloca una caga de pueba q positiva en el cento del tiángulo, ésta debeía queda en equilibio q a q debido a la influencia de las tes cagas a) de igual magnitud y colocadas a la misma distancia. Si de dibujan las líneas de fueza, que epesenta al campo eléctico E alededo de cada caga se veifica que E O (vecto nulo) en el cento del tiángulo, como se muesta en la figua. b. tiángulo eléctico. Fig. b) a) agas en los vétices de un equiláteo b) Líneas de campo

42 Solución: a) Paa facilita la ejecución se designaá q 1, q y q las cagas en cada vétice como se muesta en la figua.4 y como F 1, F y F las fuezas que actúan sobe q. F F q 1 q o º º q q F 1 cento Fig..4 Diagama de fuezas en el del tiángulo, sobe q o. La fueza electostática esultante es igual a: F F1 F F en el cento del tiángulo F F1 F F po ende E E1 E E Ecuación. (.4) q q q q ada fueza se obtiene aplicando la ley de oulomb, su diección y sentido lo define el ángulo espectivo; F F K q1 q K q 1 ( U y ) entonces E ( ) K q ( os( 15º ) U Sen( 15º ) ) U Y q K q 1 ( ) Entonces E os( 15º ) U Sen( 15º ) U Y U y º F F 1 15º F º

43 F K q ( os( º ) U Sen( º ) ) U Y q K q Entonces E os( º ) U Sen( º ) ( ) U Y Kq Sustituyendo en la ecuación..4 y extayendo facto común se obtiene: E Kq [( os( 15º ) os( º )) U ( Sen( 15º ) Sen( º ) 1) U ] Y (suma vectoial de E1 E E ) omo os (15º) - os (º) y Sen (15º) Sen (º) 1; entonces los componentes hoizontales y veticales se anulan ente sí b) En el punto P la fueza esultante es debido a la suma del efecto de la caga, q y q, que son de P F F F la misma magnitud y están a la misma distancia. a a El efecto de la caga q 1 se ignoa, puesto que no puede ejece fueza sobe si misma. q 6º 6º q 1º caga. Fig..5 Fueza esultante sobe la ubicada en el punto P. El campo eléctico esultante es E E donde E p F E q

44 F K q q ( os( 1º ) U Sen( 1º ) ) q q q a U Y K q E ( os( 1º ) U Sen( 1º ) U Y ) a Paa E F E q K q q F ( os( 6º ) U Sen( 6º ) U Y ) q q q a E K q a ( os( 6º ) U Sen( 6º ) ) U Y omo os (1º) - os (6º) las componentes hoizontales se cancelan mutuamente, y solo quedan las componentes veticales. Sumando los vectoes E, E se obtiene: E K q a K q 1 a ( Sen( º ) Sen( 6º )) U Y U Y Simplificando queda: E K q 1,7 a ( ) U Y N Ejemplo. ampo eléctico debido a una distibución de caga continua. aso: ascaón cilíndico. onsidee un cascaón cilíndico cicula ecto con una caga total Q, adio y lago H. Detemine el campo eléctico E en un punto P localizado a una distancia d del lado deecho del cilindo sobe el eje del mismo (eje ). (Utiliza la ley de oulomb y considee el cilindo como una colección de anillos de caga).

45 Eje y H Q d P Eje Fig..6 ascaon cilíndico ecto Solución H q d P Fig..7 Fueza de un anillo sobe el punto P. F El campo eléctico E debido al cilindo es E q donde q es una caga de pueba positiva colocada en P, y F es el vecto fueza electostática esultante que ejece el cilindo sobe q ; esta fueza a su vez es el apote de las fuezas de muchos anillos paa confoma el cilindo (ve figua.7) y esta diigida en el sentido positivo del eje. Si Q c es la caga total del cilindo y Q a es la caga del anillo. dq c Q anillo y de c E anillo Ecuaciones (.5) El campo E del anillo es:

46 E a K Q a U (ve tabla.1) Ecuación (.6) donde ( ) Sustituyendo las ecuaciones.5 en la ecuación.6 de c K dq c U integando ambos lados ( ) E c K cálculos y se dq c ( ) U en lo sucesivo se omitiá asumiá solo la magnitud de E. U paa facilita los Paa esolve la integal definida se intega ente los límites y H y se toma como la vaiable. Paa sustitui dq c se utiliza el coeficiente de distibución unifome de caga po unidad de áea, es deci : dq σ c si A es el áea del cilindo A π h ; entonces da da π dh sustituyendo queda dq c σ π dh De la figua.7 h d h d dh d d constante ambiando dq c y sacando las constantes de la integal E c h H d K σ π ealizando el cambio de vaiable siguiente ( ) h

47 U du d sustituyendo, se obtiene ( ) H O c K U du K E 1 1 π σ π σ ( ) ( ) ( ) 1 1 d d H K E c π σ ( ) ( ) ( ) 1 1 d H d K E c π σ si H Q π σ y finalmente esulta ( ) ( ) ( ) c U d H d H Q K E 1 1 Ejemplo.4 ampo eléctico de una baa aislante cagada y doblada en semicículo. Una baa aislante cagada de manea unifome de 14 cm de lago se dobla en foma de semicículo. Si la baa tiene una caga total q -7,5 µ, encuente, la magnitud y diección y sentido del campo eléctico en O, el cento del semicículo.

48 onsideaciones: Paa calcula el campo eléctico E pimeo debe tomase un elemento difeencial de longitud del semicículo, es deci un ds. Este elemento contiene una cantidad de caga infinitesimal de la baa, o sea, dq y ambos se elacionan mediante el coeficiente dq λ. Al aplica la ley de oulomb ds paa halla la fueza electostática ente dq y q o, colocada en el punto O, puede conseguise la ecuación deseada q Fig..8 Baa cagada aislante doblada. en semicículo. O paa calcula E. Solución De acuedo a la figua.9 en un punto A cualquiea sobe el semicículo se escoge un ds que contiene un dq ( s θ, longitud de un aco en metos, de adio y ángulo θ en adianes). Paa obtene el campo eléctico geneado po ese elemento de caga, en el punto O, debe colocase q o allí y halla la fueza electostática sobe ella. ds df B dq - d F A θ θ dq - A B q o dθ dθ Fig.9 Diagama de fuezas.

49 de A df A donde FA q o d es un difeencial de la fueza electostática total del semicículo ejecida sobe q o. De la misma manea, se escoge oto ds en el punto B, apovechando la simetía dfb B donde FB qo de semicículo sobe q o. d es un difeencial de la fueza electostática total del Entonces df df df (suma vectoial) A B Aplicando la ley de oulomb se obtiene la magnitud de los difeenciales de fueza; df dq q o A K y df K B misma magnitud. Diección y sentido del vecto dq qo ; como pueden obsevase ambos tienen la d d y FA Si aislamos la fueza en un sistema de coodenadas en el plano, podemos obseva que los componentes sobe el eje y se cancelan x mutuamente y las componentes sobe el eje x se suman quedando en diección negativa en este eje. df Ay df By F A θ θ df B df Ax df Bx fueza. Fig..1 omponentes ectangulaes. de los vectoes difeenciales

50 Tomando en cuento esto, queda: df df Ax df Bx donde df Ax df ( U ) y df df ( U ) Ax Bx Bx donde las magnitudes son espectivamente: df Ax df osθ y df df osθ A Bx B donde θ es el ángulo que foma queda d F con el eje x ; sustituyendo df A y df B df Ax qo dq qo os ( U ) y df ( ) Bx K osθ U dq K θ entonces df k dq q o osθ ( U ) dividiendo ente q o se obtiene un df k dq de osθ ( U ) q o de (difeencial del campo esultante en O) tomando en cuenta solo la magnitud, se esuelve aplicando cálculo integal. qf kdqosθ E qi qf k osθdq qi

51 peo dq λ ds λ dθ se sustituye y queda E K λ θ f θ i osθdθ al intega los d θ se desplazaán 9º a pati de los puntos A y B, lo que poduciá el E en O. Po simetía se considea la influencia de un solo dq multiplicado dos veces. E K λ π K λ π osθ dθ [ Senθ ] E K λ π [ Sen Sen( ) ] Volviendo a la notación vectoial queda E K λ ( ) U ampo eléctico esultante en O. Q sustituyendo valoes λ S,14 m y S,14 m π λ 6 7 5,5 1,14m 5,57 1 m E E m N 5,57 1 U, ,56 1 N ( ) 7 U m m ( )

52 EJEMPLO.5 AMPO ELÉTIO DE UNA ONHA ILÍNDIA. onsidee una lámina infinitamente laga que está doblada de tal foma que constituye pate de un cilindo de adio. El semicilindo o concha cilíndica abaca un ángulo θ y tiene una densidad supeficial de caga unifome σ. Detemine el m vecto campo eléctico E en el punto P cualquiea sobe el eje del cilindo. onsideaciones: El vecto campo eléctico E de la concha puede tomase como la suma de los apotes difeenciales de campo, de muchas vaillas infinitas cagadas. P θ σ Fig..11 oncha ilíndica cagada Paa una vailla ecta infinita E V K λ (ve tabla.1); dq λ donde dl se considea dl también como la una pequeña pate de la longitud del semicículo, entonces dl dθ según la gáfica.1. Al suma los apote de campo eléctico de de de los difeenciales dl siméticamente opuestos e integando desde º hasta θ se obtiene el campo eléctico total en P dl θ θ P θ θ dl dθ La concha cilíndica vista al cote

53 Fig..1 Diagama vectoial Solución: La magnitud del campo eléctico de una vailla a la distancia es: E V K λ ecuación.7 peo E V ahoa significa un pequeño apote a la magnitud del campo eléctico total de la concha, es deci siguiente de T y λ adquiee una foma difeencial de acuedo a lo λ dq dl dq dθ dl dl dq dl dθ dl dq dl da Donde dθ dl da (difeencial de áea de la concha), entonces si dq σ da λ σ dl sustituyendo en la ecuación.7 de T en P. K σ dl magnitud del difeencial de campo eléctico de la concha Si se obseva el diagama aislado de vectoes de coodenadas -Y, se nota que las componentes hoizontales se cancelan mutuamente, peo las veticales se suman, contibuyendo a un vecto d E con sentido hacia aiba. dey de d E Y θ θ d E de dey

54 de T de U de U de U Y Y Y Y Y Y de del tiángulo ectángulo se calculan las cantidades escalaes de θ de Y de Y de os K σ dl ( θ ) os( θ ) sustituyendo de T 4 K σ dl os ( θ ) 4 K σ dθ os( θ ) U Y U Y integando E T 4 K σ θ os ( θ ) dθ U Y donde los límites de la integación coesponden al apote de un solo dl hasta la mitad del ecoido en ángulo. (La ota mitad ya fue incopoada en el pocedimiento). esolviendo el integal: E T θ 4 K σ Sen( θ ) U Y lo que esulta E T 4 K σ Sen( θ ) U Y

55 AMPO ELÉTIO PAA VAIAS DISTIBUIONES DE AGA Distibución de caga ampo eléctico Gáfica aga puntual E K Q U - Positiva Negativa Dipolo eléctico en un punto ρ fuea de su eje K Q d Y ( Y ) Y E x K Q d Y E y 1 ( Y ) Y Eje Y Q d/ d/ -Q 1 1 x E 1 E y Eje Línea infinita de caga unifomemente distibuida. E en un punto P ubicado a una distancia. E λ π U Y dq dx x P θ q de Línea finita de caga unifomemente distibuida (longitud L). Punto P ubicado en la mitad, a una distancia de la línea. E K λ L L 4 U Y P θ x L de Tabla.1 ( pate I)

56 AMPO ELÉTIO PAA VAIAS DISTIBUIONES DE AGA Distibución de caga ampo eléctico Gáfica En un punto P sobe el eje de un anillo de adio cagado unifomemente E K Q ( ) U Si: cento del anillo E ( ) ds θ p θ de eje En un punto P sobe el eje de un disco de adio cagado unifomemente E π K σ 1 Si: >> D σ E π K σ D ( D ) 1 Uy y de D P Tabla.1 (pate II)

57 POBLEMAS POPUESTOS AMPO ELETIO Popuesto.1 ampo eléctico y campo gavitacional Un objeto que tiene una caga neta de 4 µ se coloca en un campo eléctico unifome de 61 N/ que esta diigido veticalmente hacia aiba. uál es la masa de este objeto si flota en el campo? Indicaciones F e Utiliza la ecuación que define el campo eléctico en función de la fueza eléctica, y elaciona ésta con la fueza gavitacional F g m g m E F g espuesta: m 1,5 x 1 - Kg Popuesto. ampo eléctico dento de una nube Un avión vuela a tavés de un nubaón a una altua de m. Si hay una concentación de caga de 4 a una altua de m dento de la nube y de 4

58 a una altua de 1 m. uál es la magnitud del campo eléctico E en la aeonave? Indicaciones: Halla la magnitud de la fueza electostática, colocando q (caga de pueba positiva) en la mitad ente las dos cagas, es deci a 1 m luego se divide ente q y se obtiene la magnitud de E. E 4 Avión 4 m m 1 m espuesta: E 6 1 N Popuesto. Esfeas cagadas colgantes en pesencia de un campo eléctico. Dos esfeas pequeñas cada una de g de masa, están suspendidas po medio de una cueda ligea de 1 cm de lago, como se muesta en la figua. Un campo eléctico unifome se aplica en la diección. Si las esfeas tienen cagas iguales - 5x1-8 b y 5x1-8 µ, detemine el campo eléctico que pemite a las esfeas esta en equilibio a un ángulo de θ 1º Indicaciones: Plantea un sistema de fuezas en un plano de efeencia aislado, que contemple la fueza electostática esultante, la tensión de la cueda y el peso. oloca la F e en función del campo eléctico E - θ θ E

59 espuesta E 5 N 4,4 1 (Magnitud del E ) Popuesto.4 ampo eléctico en el cento de un tiángulo equiláteo. Tes cagas puntuales q A µ ; q B 5µ y q 1µ están ubicadas en los vétices de un tiángulo equiláteo de lado a 1 cm. Halla el E en el otocento del tiángulo. Indicaciones: oloque una caga de pueba q en el cento del tiángulo, halla la fueza esultantes de todas las cagas sobe q y luego aplique la elación: F E q q B a a q A a Otocento q espuesta: E 1, U N POPUESTO.5 AMPO ELÉTIO EN UN VÉTIE DE UN PAALELOGAMO Tes cagas puntuales q1 1 ; q 1 y q 1 1 están en las esquinas de un paalelogamo ( omboide) cuyos lados son a m y b, como se muesta en la figua. uál es el vecto campo eléctico E en el vétice que no tiene caga?.

60 Indicaciones: y De la misma foma que el ejemplo anteio, detemine la fueza electostática esultante sobe q. La b q 1 a distancia diagonal se detemina así: ( a b os( θ )) ( b Sen θ ) q θ º q x espuesta: E (176U Uy) N

61 APITULO III FLUJO ELÉTIO Y LEY DE GAUSS EJEMPLO.1 FLUJO ELÉTIO A TAVÉS DE UNA ESFEA Un cascaón esféico se ubica en un campo eléctico unifome. Detemine el flujo eléctico total a tavés del cascaón. E Ф sale Ф enta Ф neto Fig..1 Líneas de campo eléctico a tavés de un cascaón esféico. SOLUIÓN: álculo del flujo que sale po una mitad del cascaón. Flujo eléctico que sale n ρ θs E Eje Fig.. Líneas de campo eléctico que salen de un hemisfeio del cascaón. Auto : Huga apella 58

62 Sea θs el ángulo ente n y Ē; donde n es un vecto unitaio nomal al elemento de áea da del cascaón ( el da del cascaón es un anillo que se desplaza hasta completa la supeficie de la esfea). Ф sale E nda po la ley de Gauss esolviendo el poducto escala Ē n da E n da EdA cos θs Si la magnitud del campo eléctico es constante, sale de la integal E cos θs da Paa este caso θs ρ Peo da π sen ρ dρ ( ve apéndice A) Donde ρ es el ángulo que foma la línea ecta (adio) que desplaza al anillo desde hasta 9 paa confoma la mitad de la esfea. ( ve figua.) Ф sale E cosθ π senθ dθ s s s Ф sale π E cos θ senθ dθ como s s s cos θs sen θs 1 sen θs Ф sale π E 9 sen θ s d θ s Se toma los limites de integación ente y 9 paa hace desplaza el elemento da hasta la mitad del cascaón esféico Auto : Huga apella 59

63 omo Sen θs dθs - 1 osθ 9º Entonces; Ф sale - 1 E π (cos x 9 - cos ) Ф sale - 1 E π (-1-1) - 1 E π (-) Entonces queda Ф sale E π Flujo eléctico que enta α n n ρ α θe E (18 α) θ e Fig.. Líneas de campo eléctico que entan al oto hemisfeio. os (18 α) os α osθ e paa α < 9º Entonces Ф enta Ε. nda EdAosθ e omo E es constante sale de la integal Auto : Huga apella 6

64 Ф enta E osθ e da sustituyendo da π Sen ρ dρ donde ρ θ e Ф enta E π Sen ρ dρ os θ e Sacando las constantes Ф enta π E Sen ρ dρ os θ e Peo el os θ e en el segundo cuadante es negativo tomado θ e a pati del eje Ф enta π E 18 9 Sen θ e os θ e dθ e Sen θ e os θ e - 1 Sen θe Ф enta -π E Sen θ e dθ e Ф enta - 1 π E (os θ e ) 18º 9 º Ф enta - 1 π E (os x18º os x9º) Ф enta - 1 π E (1-(-1)) - 1 π E () Entonces queda Ф enta -π E omo las líneas de campo que entan son iguales a las que salen, la sumatoia del flujo total da el flujo neto, entonces; Ф sale Ф enta Ф neto sustituyendo Ф neto π E - π E Ф neto a tavés de la esfea. Auto : Huga apella 61