56. Qué significan los llamados Grados de libertad 1?

Transcripción

1 Qué son los llamados grados de lbertad? 56. Qué sgnfcan los llamados Grados de lbertad? El concepto de grados de lbertad es de mucha mportanca en la estadístca moderna, no obstante que los lbros de texto, generalmente no dejan satsfechos a sus lectores con los ntentos que hacen para explcar este concepto. Los matemátcos que leen los artículos orgnales y que manejan las deas de espacos vectorales n-dmensonales, van con ventaja en la comprensón de las deas asocadas a los grados de lbertad, pues a decr verdad, no es un concepto fácl de transmtr s la ayuda de la geometría vectoral. Walter (949), hzo un muy buen esfuerzo para dejar en claro el sgnfcado de los llamados grados de lbertad, lo hzo ncalmente de una manera muy ntutva, para un publco que no tene los conocmentos matemátcos menconados, pero luego, avanza tambén en la abstraccón para que aquellos con más bases geométrcas, puderan reforzar las prelmnares deas ntutvas. Estas deas son las que hemos adaptado para nuestros lectores. Este concepto de la estadístca moderna, no se encuentra referencado en la lteratura centífca antes del artculo de Student (908), sendo Ronald Fsher (95) el prmero que hace referenca en forma explícta al msmo, en su artículo sobre la dstrbucón del coefcente de correlacón, no obstante que Gauss y sus astrónomos asocados estaban famlarzados con la dea esencal de grados de lbertad, pues en 86, en su trabajo clásco Theory of the combnaton of Observatons en la cual presenta la generalzacón del método de los mínmos cuadrados, el da fé de la necesdad de nclur la dea de grados de lbertad (sn llamarlos de esta manera), cuando lo plantea no solo con palabras sno tambén en las fórmulas. Gauss expresa que el número de observacones será dsmnudo por el número de parámetros desconocdos estmados con los datos, cuando sea usado como dvsor en el estmado del error estándar de un conjunto de observacones. Pero, que son los llamados grados de lbertad? Consderemos, en prncpo la lbertad de movmento que poseen algunos objetos de la cotdandad, los cuales serán tratados como s fueran solo puntos sn tamaño. Consderemos por ejemplo, una partícula de acete que se deslza por una tubería o una cuenta que se mueve ensartada en un alambre, tenen un solo grado de lbertad pues su movmento solo es posble en una sola dmensón que está defnda por la ruta del tubo o del alambre respectvamente, sn mportar que tan complcada sea la ruta. ( es decr, no tene que ser una recta). Un mosquto volando lbremente en un espaco trdmensonal, tene tres grados de lbertad. Consderado como un punto en movmento, un tren puede moverse solo haca delante o haca atrás sobre una ruta undmensonal (las vías del ferrocarrl) que permanecen sobre un espaco bdmensonal que es la superfce de la terra, la cual se encuentra en el espaco trdmensonal del unverso. Una sola coordenada, dstanca de algún orgen, es sufcente para localzar el tren en cualquer momento dado, es decr que el tren tene un solo grado de lbertad. Basado en Walter M. Helen (940). Degree Freedom. Journal of Educatonal Psychology. 3(4), Roberto Behar y Pere Grma robehar@pno.unvalle.edu.co

2 Qué son los llamados grados de lbertad? Un automóvl se mueve sobre una superfce bdmensonal, la cual es una porcón de un espaco trdmensonal. En un momento dado la poscón del auto es determna por dos coordenadas, por lo tanto, el movmento del automóvl tene dos grados de lbertad. En el msmo sentdo un avón, tene tres grados de lbertad en el unverso del espaco y puede ser localzado, con tres coordenadas, que pueden ser longtud, lattud y alttud. O puede ser alttud, dstanca horzontal desde algún orgen y un ángulo. O puede ser por la dstanca drecta desde algún orgen y dos ángulos. Ahora, hagamos un poco de abstraccón para ntentar establecer un paralelsmo entre las stuacones cotdanas sobre movmento de objetos y los problemas del muestreo. S a usted le pde que elja un par de números (x,y) al azar, usted tene lbertad completa de eleccón de los dos números, tene dos grados de lbertad. Las dos coordenadas, pueden ser representadas por un punto localzado en el plano XY, el cual es un espaco bdmensonal. El punto es lbre de moverse horzontal y vertcalmente, hay dos varables y el punto tene dos grados de lbertad. Ahora supongamos que nos ponen a elegr un par de números cuya suma es 7. Es claro que solo un número puede elegrse lbremente, pues el segundo queda fjado, una vez se conozca el prmero. Aunque aquí hay dos varables, en esta stuacón solo una es ndependente, por lo que el número de grados de lbertad se reduce de dos a solo uno, por la mposcón de la restrccón x+ y = 7, el punto ahora es lbre de moverse en el plano XY pero restrngdo a permanecer sobre la recta x+ y = 7. Esta línea es un espaco undmensonal que está contendo en el espaco bdmensonal orgnal. Supongamos ahora que nos pden escoger un par de números, tal que la suma de sus cuadrados sea 5. De nuevo, es claro que solo somos lbres de escoger solo uno de los números, pues una vez selecconemos el prmero el otro queda fjado. El punto en cuestón, representado por un par de números (x,y), permanece en una crcunferenca de rado 5 y con centro en el orgen. La crcunferenca es un espaco undmensonal, contendo en un plano bdmensonal. El punto solo puede moverse haca delante o haca atrás a lo largo de la crcunferenca y por eso solo tene un grado de lbertad. Hay dos números escogdos (N=) sujetos a una restrccón (r=) y el número resultante de grados de lbertad es N r = =. Supongamos ahora que mponemos smultáneamente las dos condcones x+ y = 7 y tambén x + y = 5. S nosotros resolvemos algebracamente estas ecuacones, obtenemos que solo son posbles dos solucones x = 3, y = 4 o x = 4, y = 3. Nnguna varable puede escogerse a voluntad. El punto está restrngdo por la ecuacón x+ y = 7 a moverse a lo largo de una recta y además está restrngdo por la ecuacón x + y = 5, a moverse a lo largo de una crcunferenca. Las dos restrccones smultaneas lo confnan a la nterseccón entre la recta y la crcunferenca, dejándolo sn lbertad de movmento, es Roberto Behar y Pere Grma robehar@pno.unvalle.edu.co

3 Qué son los llamados grados de lbertad? decr sn grados de lbertad. Aquí, son dos los números a elegr (N=) y r=. El número de grados de lbertad es N r = = 0. Consderemos ahora un punto ( x, yz, ) en un espaco trdmensonal (N=3). S no hay restrccones sobre sus coordenadas, el punto puede moverse lbremente por todo el espaco, en todas las dreccones, tene tres grados de lbertad. Todas las varables son ndependentes. S ahora le colocamos la restrccón x + y+ z = c, donde c es una constante, dos de los tres números pueden ser elegdos lbremente, porque una vez selecconados el tercero queda fjado, es decr, solo dos observacones son ndependentes. Por ejemplo x y z = 0, s nosotros escogemos x=7 y y=9, forzamos a que z tome el valor -. La ecuacón x y z = c es la ecuacón de un plano, es decr un espaco bdmensonal que corta el espaco trdmensonal orgnal y un punto que pertenece a dcho N r = 3 =. S a las coordenadas del espaco tene solo dos grados de lbertad, ( ) punto ( x, yz,, ) se les exge el cumplmento de la condcón x + y + z = k, el punto será forzado a moverse en la superfce de una esfera que tene centro en el orgen y rado k. N = 3, r =, N r = 3 =. La superfce de una esfera es un espaco bdmensonal. ( ) S mponemos ambas condcones al punto ( x, yz,, ) es decr que pertenezca al plano y a la esfera, entonces el punto solo podrá moverse en la nterseccón del plano y la esfera que es una crcunferenca, la cual es una fgura undmensonal, en un espaco orgnal de tres N r = 3 =. S consderamos algebracamente la solucón de las dos dmensones. ( ) ecuacones en tres varables, al despejar una de ellas y reemplazarla en la otra nos resulta una sola ecuacón con dos varables, quedando de nuevo en el caso de poder elegr el valor para una de ellas y quedando fjado así el valor para la otra, es decr, tenemos un solo grado de lbertad. Estas deas pueden ser generalzadas para N más grande que 3 y esta generalzacón necesaramente corresponderá a una abstraccón. Cualquer conjunto de N números, determnan un solo punto en espaco N-dmensonal, cada número proporconando una coordenada para el punto. S no se mpone nnguna restrccón, cada número es lbre de varar ndependentemente de los otros y por lo tanto el número de grados de lbertad es N. Cada relacón necesara mpuesta sobre ellos, reduce el número de grados de lbertad en. Cualquer ecuacón de prmer grado, que conecte las N varables medante la ecuacón, es un espaco de (N-) dmensones. S por ejemplo, consderamos solamente los puntos cuya suma de coordenadas es una constante, x = c, hemos lmtado el punto a un espaco de N- dmensones. S nosotros consderamos solo los puntos que cumplan con x M = k, que corresponde a la superfce de una hperesfera con centro en el ( ) orgen y rado k. Esta superfce es un espaco de dmensón (N-r) dentro de un espaco orgnal de dmensón N y por lo tanto el número de grados de lbertad debería ser N-r. Abordemos ahora la stuacón que corresponde a la problemátca de la estadístca. Roberto Behar y Pere Grma robehar@pno.unvalle.edu.co 3

4 Qué son los llamados grados de lbertad? Una muestra de tamaño N, puede ser representada por un punto ( ) X, X, X3,... X N en un espaco N-dmensonal, cuyo orgen tomado como la verdadera meda poblaconal µ. (vector) Defnamos x = X µ, x = X µ, x3 = X 3 µ, etc. Donde X, X, X3,... X N son las meddas crudas (orgnales) que se realzaron a los N ndvduos de la muestra. Sean X y S, la meda y la desvacón estándar para los N ndvduos de la muestra. Cualquer conjunto de observacones determna un solo punto. Este punto tene N grados de lbertad, sempre y cuando no sea mpuesta nnguna restrccón a sus coordenadas. Todas las muestras con la msma meda X, serán representadas por los puntos que pertenecen al hperplano, X = NX, que será un espaco de (N-) dmensones. Veamos ahora que ocurre en el caso de querer ajustar una línea recta al conjunto de datos, usando el método de los Mínmos Cuadrados, que consste en elegr de todas las posbles rectas aquella que tenga la menor suma de cuadrados de los resduos e. Se drá que el modelo hallado ha sdo ajustado por Mínmos Cuadrados. La famla de modelos a consderar es de la forma: y = 0 + x + ε Y e { yˆ x y yˆ = + x 0 X e = y yˆ Predccón en X=x S llamamos SCE a la suma de los cuadrados de los resduos e 5 5 [ ˆ ] ( 0 ) (4) SCE = e = y y = y + x = = 4 Roberto Behar y Pere Grma robehar@pno.unvalle.edu.co

5 Qué son los llamados grados de lbertad? Observemos que en la expresón (4) los datos (, ) x y son conocdos. Por lo tanto lo únco que puede hacer cambar (dsmnur) la SCE, son los valores de 0,. Es decr que SCE es una funcón de 0,. 5 0, 0 (5) = ( ) = ( + ) SCE y x Entre todas las posbles rectas, queremos aquella con parámetros ˆ ˆ 0, que haga que ( ˆ 0, ˆ ) SCE sea la menos posble. Para esto se realza un proceso de optmzacón matemátca, obtenéndose que dchos valores ˆ ˆ 0, que optmzan SCE, deben cumplr con las sguentes restrccones: 3 n e + e + e +... e + e = 0 (5) ex ex ex 3 3 en xn ex n n n = 0 (6) Es funcón de la recta que escojamos Con la restrccón (5), estamos oblgando a pasar la recta por el punto ( x, y ), es decr que la mejor recta sempre debe pasar por ese punto, lo cual dsmnuye los grados de lbertad del error, pues esto sgnfca que la suma de los resduos e de los puntos que se encuentran por encma de la recta debe ser gual a la suma de los resduos e de los puntos que se encuentran por debajo. Conocdos (n-) resduos, queda determnado el restante. Con esta restrccón el error perde un grado de lbertad. Hasta aquí podemos magnarnos que las posbldades se restrngen a un haz de rectas que pasan por ( x, y ), de todas ellas escogeremos aquella que cumpla con la restrccón (6) y es cuando el error perde otro grado de lbertad, quedando con (n-) grados de lbertad. En este caso el cuadrado medo del error CME, podrá calcularse como: SCE CME = n Esta stuacón puede generalzarse. El proceso de mnmzar la SCE, resultará en un número de restrccones (ecuacones normales) gual al número de parámetros en el modelo. El modelo de regresón ordnaro y = 0 + x + ε Supone generalmente que el error ε es una varable aleatora con dstrbucón normal, que tene meda cero y que además tene una varanza constante σ (que no depende de X). SCE Es convenente saber que: CME = es un estmador nsesgado para σ y en general, n para un modelo de regresón múltple con p parámetros (p-) varables predctoras, el Roberto Behar y Pere Grma robehar@pno.unvalle.edu.co 5

6 Qué son los llamados grados de lbertad? SCE número de grados de lbertad del error es (n-p) y por lo tanto CME = es tambén un n p estmador nsesgado para la varanza σ del error. Esta propedad del nsesgamento, hace posble la construccón de mportantes contrastes en estadístca como el famoso F de Snedeccor, para Análss de la Varanza 6 Roberto Behar y Pere Grma robehar@pno.unvalle.edu.co