CAPÍTULO IV CORRESPONDENCIA: TEORÍA. El análisis de tablas de contingencia es una aplicación del análisis de

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1 36 CAÍTULO IV 4. ANÁLISIS E CONTINGENCIA Y ANÁLISIS E CORRESONENCIA: TEORÍA. 4. Aálss de Tablas de Cotgea. El aálss de tablas de otgea es ua aplaó del aálss de tablas X. La hpótess ula que se desea poba po medo de las tablas de otgea es que ua vaable X es depedete de ua vaable Y. E geeal, s θ es la pobabldad de que u elemeto aeá e la elda que peteee al ésmo egló y la ésma oluma, θ. es la pobabldad de que u elemeto aeá e el ésmo egló, y θ. es la pobabldad de que u elemeto aeá e la ésma oluma, la hpótess ula que queemos poba es θ = θ.. θ. paa =,,..., y =,,... Coespodetemete, la hpótess alteatva es θ θ..θ. paa al meos u pa de valoes de y.

2 37 eotaemos la euea obsevada e el ésmo egló y la ésma oluma o, los totales de los egloes o., los totales de las olumas o., y el ga total, la suma de todas las eueas de las eldas, o. Co esta otaó, estmamos las pobabldades θ. y θ. omo: ˆ.. y ˆ.. Y bao la hpótess ula de depedea se obtee: e ˆ. ˆ..... paa la euea espeada paa la elda e el ésmo egló y la ésma oluma. Adveta que e así obteda al multpla el total del egló al al peteee la elda po el total de la oluma a la ual peteee y después dvd ete el ga total. Ua vez que se ha alulado la e, basamos uesta desó e el valo de e e

3 38 y ehazamos la hpótess ula s exede a,( )( ). El úmeo de gados de lbetad es (-)(-), y e elaó o esto hagamos la sguete obsevaó: sempe que se estme eueas de eldas e ómulas de uadada o base e datos de oteo muestales, el úmeo de gados de lbetad es s-t-, dode s es el úmeo de témos e la suma y t es el úmeo de paámetos depedetes eemplazados po estmadoes. Cuado se hae la pueba paa depedea e ua tabla de otgea X se tee que s = y t = --, puesto que los paámetos θ. y los paámetos θ., o so todos depedetes; sus sumas espetvas debe se gual a. Así se obtee s-t- = - ( - - ) - = (-)(-). uesto que la estadísta de pueba que se ha desto sólo tee apoxmadamete ua dstbuó uadada o (-)(-) gados de lbetad, es ostumbe usa esta pueba sólo uado gua de las e es meo que 5; esto alguas vees equee que se ombe alguas de las eldas o ua pédda oespodete e el úmeo de gados de lbetad. 4.. Aálss de Coespodeas Aálss de Coespodeas Smple. esaollado po los aeses, el aálss de oespodea es u poedmeto gáo paa epeseta asoaoes e ua tabla de eueas o oteo. El aálss de oespodea

4 39 smple se oeta e ua tabla de euea de dos vías o tabla de otgea. S la tabla de otgea tee egloes y olumas, el gáo de putos podudo po el aálss de oespodeas smple otee dos outos de putos: u outo de putos oespodete a los egloes y u outo de putos oespodete a las olumas. La posó de los putos elea las asoaoes. Los putos egloes que está muy póxmos da que los egloes tee peles smlaes (dstbuoes odoales) a lo lago de las olumas. Los putos oluma que se eueta póxmos da olumas o peles smlaes (dstbuoes odoales) po las. Falmete, putos la que está muy eaos a putos oluma epeseta ombaoes que oue o mayo euea que s se espeaa u modelo de depedea, es de, u modelo e el ual las ategoías dadas e las las o está elaoadas o las ategoías expesadas e las olumas. El esultado usual de u aálss de oespodea smple luye la meo epesetaó bdmesoal de los datos y ua medda (deomada ea) de la atdad de omaó eteda e ada dmesó.

5 40 esaollo algebao del aálss de oespodea smple. Supógase que X, o elemetos x, es ua tabla de otgea I X J. E esta dsusó tomemos I<J y asumamos que X es de ago oluma ompleto J. Las las y las olumas de la tabla de otgea X oespode a deetes ategoías de dos deetes aateístas. Es oveete basa la epesetaó gáa de asoaó e ua tabla de otgea, e ua matz sutlmete etada y esalada. S es el total de las eueas e X, pmeo se ostuá ua matz de popooes = { p } dvdedo ada elemeto de X po. Etoes: x p, =,,, I, =,,, J, o (4.) ( IXJ) X ( IXJ) La matz se deoma matz de oespodea. Luego, es etada medate la sustaó del poduto ete el total de los egloes y el total de las olumas paa ada etada. Esta opeaó podue: p p, =,,, I, =,,, J, o ' (4.) ode

6 4 J J x p,,, I, (4.3) o ( IX) ( IXJ) ( IXJ) I I x p,,, J, o (IX) ' ( IXJ) ( IXJ) y =[,, ]. Notemos que ago ( ) J patedo de que ' 0. eamos las mates dagoales = dag (,,, I ) y = (,,, J ) (4.4) y ostuyamos la matz esalada (IxJ) * / (IXI) (IXJ) / C (JXJ) (4.5) de tal maea que la elda (, ) ésma de * es p * p,,, I,,, J (4.6) A otuaó se peseta los pasos que guía a u gáo de asoaó e ua tabla de dos vías. aso. Eota la desomposó de valoes sgulaes de *. Se tee:

7 4 * (IXJ) U IX(J ) (J Λ )X(J ) V' (J )XJ (4.7) dode ago ( ) J, U' U V'V I y la matz dagoal Λ = dag( λ, λ,, λ J- ) otee los valoes sgulaes, odeados del más gade al más pequeño, a lo lago de la dagoal ppal. aso. e U / U y V / C V, luego, usado (4.5) y (4.7) la desomposó de valoes sgulaes de es: ' UΛV' J u v ' (4.8) ode u es el -ésmo veto oluma de U y v es el -ésmo veto oluma de V. E esta epesetaó, los vetoes sgulaes zquedo y deeho está omalzados paa tee logtud utaa e las métas de: y, espetvamete. Es U U ' ((J )XI) (IXI) (IX(J ) V V ' C ((J )XJ) (JXJ) (JX(J )) I ((J )X(J )) (4.9) Las olumas de U dee las oodeadas paa los putos que epeseta los peles oluma de. Smlamete, las olumas

8 43 de V dee las oodeadas paa los putos que epeseta los peles la de. aso 3. Calula las oodeadas de los peles la. Y (IX(J )) U Λ (IXI) (IX(J )) ((J )X(J )) (4.0) y las oodeadas de los peles oluma. Z (IX(J )) V Λ C (JXJ) (JX(J )) ((J )X(J )) (4.) Las pmeas olumas de Y otee los paes de oodeadas de los putos la e la meo epesetaó bdmesoal de los datos. Las pmeas dos olumas de Z otee los paes de oodeadas de los putos oluma e la meo epesetaó e dos dmesoes de los datos. Los putos oespodetes a estos dos outos de oodeadas puede se supepuestos e el msmo gáo. aa u outo de putos la, o paa u outo de putos oluma, la dstaa Euldaa e el gáo de dos dmesoes oespode a la dstaa estadísta ete paes de peles oluma (la) e los datos ogales. Es mpotate eoda que o exste elaó de dstaa deta

9 44 ete u puto que epeseta a u pel la y oto puto que epeseta a u pel oluma. aso 4. La Iea es el uadado de los valoes sgulaes oespodete a ada dmesó. La ea total se dee omo la suma de los uadados de todos los valoes sgulaes deetes de eo. Iea Total K (4.) dode λ λ, λ K > 0 so los elemetos de la dagoal de Λ deetes de eo. Aquí, K = ago ( ) y, odaamete, ago ( ) = m (I -,J -). Aálss de Asoaó J uadado y el Aálss de Coespodea. El estadísto paa med el gado de asoaó ete las vaables la y oluma e ua tabla de otgea de dos vías o I las y J olumas es I J e e (4.3)

10 45 ode = x es la euea obsevada paa la (,) ésma elda y e = es la euea espeada e la (,) ésma elda s la vaable la es depedete de la vaable oluma. espués de ua pequeña mapulaó, y usado (4.6), se puede esb: I J p =, * p (4.4) E otaó matal, taza ( ') ( ')' taza( * *'), * p Iea. (4.5) El -ésmo pel la o el -ésmo elemeto x x p,,, J es la -ésma la de X dvdda paa su suma. o lo tato, la matz de peles la está dada po:

11 46 R (IXJ) I (IXI) (IXJ) (4.6) Smlamete, los peles oluma, =,,, J, so las olumas de X dvdda po sus sumas, de tal maea que el - ésmo elemeto de es p,,, I E otaó matal C (JXI) J ' (JXJ) (JXI) (4.7) Cosdeemos el pomedo podeado R ' de los peles la, o etode la. Ahoa, R ' = ' ' po (4.3). Luego debdo a (4.6), tee elemetos p. Falmete = etoes ' (4.8)

12 47 Smlamete, el pomedo podeado C ' de los peles oluma, o etode oluma, es ' (4.9) Ahoa estamos e posó de de la ea. La ea total es la suma podeada de las dstaas uadadas de los peles la (o peles oluma) haa el etode. Coseuetemete, es ua medda de la vaaó total, o deeas, e los putos que epeseta los peles la (o peles oluma). La ea asoada a los putos la es la msma que la ea asoada a los putos oluma. Usado la elaó ' J u v ' La esala (4.5), y las odoes de otogoaldad paa los u ' s y los v ' s Iea= J taza ( ') ( ')' k k

13 Aálss de Coespodeas Múltples. Se apla a tablas de otgeas e las que po las se tee dvduos y po olumas s vaables ategóas o p =,..., s ategoías mutuamete exluyetes y exhaustvas. La tabla de datos tee, po lo tato, la oma: Z = [Z, Z,..., Z s ] o Z matz xp de oma que z = s el dvduo -ésmo ha elegdo la modaldad z = s el dvduo -ésmo o ha elegdo la modaldad o =,..., y =,..., p=p + p p s El Aálss de Coespodeas Múltples se basa e ealza u Aálss de Coespodeas sobe la llamada matz de But: B = Z'Z ha matz se ostuye po supeposó de aas. E los bloques dagoales apaee mates dagoales oteedo las eueas magales de ada ua de las vaables aalzadas. Fuea de la dagoal apaee las tablas de eueas uzadas oespodetes a todas las ombaoes a de las vaables aalzadas Se toma omo dmesoes aquellas uya otbuó a la ea supea /p.

14 49 staas χ E este aso vee dadas po las expesoes staa ete modaldades staa ete dvduos