Probabilidad condicionada. Probabilidad Total. Teorema de Bayes
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- Antonio Ponce Villalobos
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1 robabldad odoada. robabldad Total. Teorema de aes utor: Olvá alzada Emlaa (Leada e Matemátas rofesora de Matemátas e Eduaó Seudara). úblo: lumos de ahllerato de eas. Estudates de matemátas profesores de matemátas. Matera: Matemátas (robabldad). Idoma: Español. Título: robabldad odoada. robabldad Total. Teorema de aes. Resume Este tema se lue e los otedos de Matemátas I de ahllerato e el puto: rofudzaó e el estudo de las probabldades odoadas totales a posteror. El alumo debe ooer maear todos los oeptos vstos a lo largo de este tema. Este artíulo auda a ompreder la base teóra de dhos oeptos. l fal del artíulo ha u eemplo que alara meor los otedos. uede ser de gra utldad para el públo al que va drgdo. alabras lave: robabldad odoada. robabldad Total. Teorema de aes. Ttle: odtoal probablt. Total robablt. aes' Theorem. bstrat Ths top s luded the otets of Mathemats I of ahllerato the pot: "eepeg the stud of odtoed probabltes total probabltesad a posteror probabltes". The studet must ow ad hadle all the oepts see alog ths top. Ths artle helps to uderstad the theoretal bass of these oepts. t the ed of the artle there s a example that larfes the otets better.it a be ver useful for the target audee. Kewords: odtoal probablt. Total robablt. aes' Theorem. Rebdo 7-8-8; eptado 7-8-4; ublado 7-9-5; ódgo : 876 INTROUIÓN Este tema se lue e los otedos de Matemátas I de ahllerato e el puto: rofudzaó e el estudo de las probabldades ompuestas odoadas totales a posteror. El alumo debe ooer maear todos los oeptos vstos a lo largo de este tema. Este artíulo auda a ompreder la base teóra de dhos oeptos. l fal del artíulo ha u eemplo que alara meor los otedos. ROILI ONIION. ROILI OMUEST... efó (probabldad odoada): Sea u espao probablísto. Sea o ( ). Sea. Se llama probabldad del sueso odoado al sueso (es der probabldad de que ourra supuesto que ha ourrdo ) deotado ( ) al oete ( ) ( ) ( ) Nota: S ( ) ( ) o estará defda. Teorema: Sea dode odoal. u espao probablísto. Sea u sueso tal que ( ) ( ) ( ) ( ) etoes es u espao probablísto al que se deoma espao de probabldad 4 de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7
2 5 de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7 emostraó: ado que es u espao probablzable basta demostrar que defe ua medda de probabldad es der que umple la axomáta de Kolmogoroff (los tres axomas sguetes): xoma : xoma : xoma : Sea dsutos dos a dos es der p ropedades:.- emostraó: ) (.- tal que s. Etoes: emostraó: Sea xoma.- emostraó: 4.- emostraó: Nota: La gualdad se da e el aso. S etoes: 5.- emostraó: 6.- emostraó: que 7.- emostraó:
3 6 de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7 Sumado: Geeralzado para tres suesos: Geeralzado para suesos: l l l este aso le llamamos prpo de lusó- exlusó. emostraó: plado duó Nota: La gualdad se da s emostraó: Imedata utlzado la propedad emostraó: Utlzado duó: : erto la propedad 8. Supogamos el resultado erto para Veamos que el resultado es erto para. duó hpótess.- emostraó: efmos o. Es der:. Los así defdos verfa: defó. emostraó: S s defó defó S s defó defó
4 7 de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7 emostraó: que defó Veamos que s S S mímo que tal de defó Luego sí.- emostraó: or 8.- emostraó: or.. robabldad ompuesta e la defó de probabldad odoada se dedue que: o o Esta maera de expresar la probabldad odoada se llama Teorema de la robabldad ompuesta o Regla de la multplaó. Teorema: Geeralzaó del Teorema de la robabldad ompuesta Sea tal que. Etoes: emostraó: or duó:
5 8 de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7 : vsto defó. : Supoemos el resultado erto para es der: Veamos que també es erto para : duó hp.. Idepedea estoásta efó: Sea o. remos que es estoástamete depedete de s. Equvaletemete se umple s Nota: omo s so estoástamete depedetes se tee que. sí obteemos otra defó equvalete. Notas:.- uque alguo de los suesos tega probabldad ula la araterzaó ateror sgue sedo válda. emostraó: S or otra parte Etoes:.- es depedete de emostraó: a). Etoes so depedetes. b). Etoes so depedetes. efoes: S se de que es depedete de. S se de que es depedete de. roposó: S es ua parea de suesos depedetes també lo so las pareas emostraó: omo so depedetes
6 9 de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7 depedetes so que.4. Idepedea ompleta efó: Sea se de que esta famla es depedete dos a dos s efó: Sea se de que esta famla ompleta o mutuamete depedete s para ualquer subfamla se tee orolaro: Idepedea ompleta de suesos de la famla Idepedea dos a dos: s odoe Idepedea tres a tres: s odoe Idepedea a : s odoe Nota: No ha que ofudr ompatbldad o depedea. os suesos ompatbles o puede ser depedetes salvo e algú aso espeal (s la probabldad es ero e alguo de ellos). emostraó: S so ompatbles o tes No so depede S ompatbles ó Nota: sí para la depedea ompleta de suesos se debe umplr: odoes. emostraó: Nota: Idepedea a o mpla depedea a
7 Idepedea a o mpla depedea ompleta. SISTEM OMLETO E SUESOS: TEOREM E L ROILI TOTL. TEOREM E YES efó: Ua famla fta de suesos Ω osttue u sstema ompleto de suesos s se verfa: Nota: uede geeralzarse a ua famla umerable (sstema fto de suesos). aso partular: forma u sstema ompleto de suesos. Teorema: (robabldad Total) ado u sstema ompleto de suesos ooemos las etoes: s es u sueso del que ooemos las emostraó: que es u sstema ompleto de suesos. Etoes: para que esté be defda además (S algú o p se elma de la lsta se osdera el sstema o u sueso meos). Teorema: Teorema de aes Sea u sstema ompleto de suesos. S es u sueso o p del que ooemos las p además ooemos las p etoes: p emostraó: p p p p defóde probabldad odoada probabldad total Nota: ara aplar el Teorema de la robabldad Total el Teorema de aes problemas o probabldades de expermetos ompuestos se suele utlzar los dagramas e árbol. de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7
8 Eemplo: U médo ruao se espealza e rugías estétas. Etre sus paetes el % se realza orreoes faales u 5% mplates mamaros el restate e otras rugías orretvas. Se sabe además que so de géero masulo el 5% de los que realza orreoes faales 5% mplates mamaros 4% otras rugías orretvas. S se seleoa u paete al azar: a) etermar la probabldad de que sea de géero masulo. b) S resulta que es de géero masulo determar la probabldad de que se haa realzado ua rugía de mplates mamaros. Soluó: Sea el sueso F: aetes que se realza rugías faales. Sea el sueso M: aetes que se realza mplates mamaros. Sea el sueso O: aetes que se realza otras rugías orretvas. Sea el sueso H: aetes de géero masulo. Sea el sueso H : aetes de géero o masulo. a) La probabldad de que sea de géero masulo se refere a u problema de probabldad total a que es el sueso odoado las rugías los odoates. H F H F M H M O O H b) omo el sueso odoado ha ourrdo etoes se apla el teorema de aes luego el valor de la probabldad será: M H M H M F H F M H M O O M ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7 de 59
9 blografía RMER H.: Elemetos de la teoría de las probabldades. ENGEL.: robabldad estadísta. GMURMN V. E.: Teoría de las probabldades estadísta matemáta. FELLER W.: Itroduto to probablt theor ad ts applatos. RÍOS S: álss estadísto aplado. de 59 ublaoesdatas.om Nº 87 Otubre 7
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arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que
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10 MUESTREO. n 1 9/ / σ σ 1
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