Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

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1 Sceta Et echca ISSN: -7 Uversa ecológca e Perera Colomba GOMEZ CARMONA, OSCAR; GALLEGO P., LUIS ALFONSO; GARCES N., LINA PAOLA MEODO DE PUNOS INERIORES PARA PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADO A PROBLEMAS CON ÓPIMOS ALERNAIVOS Sceta Et echca, vol. XI, úm. 7, abrl, 5, pp. -6 Uversa ecológca e Perera Perera, Colomba Dspoble e: Cómo ctar el artículo Número completo Más formacó el artículo Pága e la revsta e realyc.org Sstema e Iformacó Cetífca Re e Revstas Cetífcas e Amérca Lata, el Carbe, España y Portugal Proyecto acaémco s fes e lucro, esarrollao bao la catva e acceso aberto

2 Sceta et echca Año XI, No 7, Abrl 5. UP. ISSN -7 MEODO DE PUNOS INERIORES PARA PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADO A PROBLEMAS CON ÓPIMOS ALERNAIVOS RESUMEN E problemas e programacó leal que preseta óptmos alteratvos es posble etermar la solucó más atractva e acuero a etermaas cocoes el problema. E este ocumeto se preseta ua mofcacó al métoo e Putos Iterores Prmal-Dual para ser aplcao a problemas e optmzacó co múltples solucoes. PALABRAS CLAVES: Dreccoes e Búsquea, Métoo e Barrera Logarítmca, Óptmos Alteratvos, Programacó Leal, Putos Iterores. ABSRAC I problems of lear programmg that preset optmal alteratve t s possble to eterme the attractve soluto but accorg to the cotos of ths problem. I ths ocumet a mofcato to the metho of Iteror Pots Prmal-Dual appears to be apple to problems of optmzato wth multple solutos. KEYWORDS: Drectos search, Metho of Logarthmc Barrer, Optmal Alteratve, Lear programmg, Iteror Pots. OSCAR GOMEZ CARMONA Igeero Electrcsta Profesor Uversa ecológca e Perera r@utp.eu.co LUIS ALFONSO GALLEGO P. Igeero Electrcsta Uversa ecológca e Perera lagalleg@hotmal.com LINA PAOLA GARCES N. Igeera Electrcsta Profesor Uversa ecológca e Perera lpgarces@utp.eu.co Grupo e Ivestgacó e Plaeameto e Sstemas Eléctrcos. INRODUCCIÓN La programacó leal es ua metoología e optmzacó que permte resolver problemas e la va real, e los cuales ua fucó obetvo es optmzaa sueta a u couto e restrccoes. Fgura. Problemas e Programacó Leal. Geeralmete, los problemas e la va real puee ser escrtos a través e u moelo matemátco seleccoao aecuaamete las varables e ecsó (a caa varable e ecsó está asocaa ua actva), plateao la fucó obetvo y toas las restrccoes el problema. U problema matemátco es leal s f (X, X,...,X ) y caa g (X, X,..., X ) ( =,,...,m) se a como fucoes matemátcas y como relacoes fucoales. Aemás, so leales e caa uo e sus argumetos; esto es, s: f ( X, X,..., X ) = C X + C X C X. g ( X, X,..., X ) = a X + a X a X oe C y a ( =,,..., m; =,,..., ) Fecha e Recepcó: 3 Eero e 5 Fecha e Aceptacó: 8 Marzo e 5 So costates coocas. [], [] El espaco e solucó el couto e ecuacoes leales smultáeas es u couto coveo que tee u úmero fto e putos etremos (puto que o puee ser epresao como ua combacó covea e otros os putos el couto). S S es u couto coveo co u úmero fto e putos etremos, etoces S es el couto e toas las solucoes factbles al problema leal. La fucó obetvo logra su óptmo (ya sea mámo o mímo) e u puto etremo e S, sempre y cuao cho óptmo esta. [] Este també la posbla e que esta u óptmo que o es u puto etremo. E este caso, el couto e solucoes óptmas es ao por el couto e combacoes coveas e los putos etremos el problema. E problemas oe este óptmos alteratvos, es posble etermar e too ese couto, ua solucó que persga otro obetvo acoal. Por eemplo, strbucó uforme e los recursos o agotar u recurso para preservar otro que se tee e meor cata. Las metoologías tracoales, ecuetra solucoes que correspoe a putos etremos, s brar la posbla e eplorar too el couto e solucoes

3 Sceta et echca Año XI, No 7, Abrl 5. UP óptmas. El métoo e putos terores tee la capaca e obteer ua solucó ferete a u puto etremo (u puto etro el couto e solucoes). E este ocumeto se propoe ua metoología para resolver problemas e programacó leal co óptmos alteratvos, que mofca el algortmo e Putos Iterores Prmal Dual, permteo obteer solucoes óptmas que satsfaga obetvos acoales.. MEODO DE PUNOS INERIORES Durate écaas el métoo smple ha so el métoo e solucó e los problemas e programacó leal. S embargo, ese el puto e vsta teórco, el tempo e cálculo requero por este métoo crece epoecalmete co el tamaño el problema. Muchos vestgaores ha tratao e esarrollar algortmos cuyos tempos e calculo tuvese u crecmeto polomal co el tamaño el problema. E 984, Karmarar propuso u algortmo cuya complea computacoal es polomal y que resultó altamete compettvo frete al métoo smple para resolver problemas e programacó leal e gra tamaño. El algortmo e Karmarar orgó multtu e trabaos alreeor e su ea la cual ha so meoraa e muchos aspectos. Ua e las más fructíferas varates es el algortmo barrera logarítmca Prmal-Dual. [3]. Métoo Barrera Logarítmca Prmal-Dual El métoo resuelve el problema e PL prmal estáar: m c A = b oe su problema ual estáar, cluyeo las varables e holgura es: m b y A y+ z = c z Se utlza la fucó e barrera logarítmca para pealzar las restrccoes e esguala z. ma b y+ µ A y+ z = c = l z El algortmo geeral e solucó es el sguete: [4]. Calcular u puto cal. Vector prmal: = ηˆ oe: b + η = y ˆ = Aˆ + A + Vector ual. z s c < z = = caso cotraro z c,, =. Calcular el parámetro e barrera. ( ) z µ = 3. Verfcar covergeca. A b Factbla prmal: ε f + A y+ z c Factbla ual: ε f + y + z c b y Cocó e optmala: ε + b y E caso e que los crteros e covergeca se cumpla paré. 4. Calcular los errores para el puto cal ao. r = c A y z p = c = µ r b A r e X Z e 5. Obteer las reccoes e búsquea. = + + ctr ob fac Drecco cetral ctr = µ D P D ( X ) e Drecco obetvo ob = D P D c Drecco factble fac = D A ( AD A ) r p Doe P = I D A ( AD A ) AD y = ( AD A ) [ AD r A( Z ) rc + rp]

4 Sceta et echca Año XI, No 7, Abrl 5. U..P 3 z = r A y 6. Calcular los tamaños e los pasos para las varables prmal y ual. α m, m p = : =,..., < z α m, m = : =,..., z < z 7. Actualzar las varables Prmal y Dual: = + γα + p + = + γα + = + γα y y y z z z Doe.95 γ Reucr el parámetro e barrera: ( z ) µ + = σ empleaos e la preparacó e estos fertlzates como se muestra a cotuacó: [] Matera prma oelaas e matera prma ecesaras para preparar toelaa e Fertlzates Fertlzates tpo A tpo B Cata mesual máma e matera prma spoble oelaas Lucro por $ $ toelaa abla. Datos el eemplo. El moelo matemátco e este problema es: ma z( ) = () + () 5 (3) ; La represetacó gráfca el espaco e solucoes se muestra e la fg.. 9. Volver al paso APLICACIÓN DE LOS MÉODOS DE SOLUCIÓN DE PL A PROBLEMAS CON ÓPIMOS ALERNAIVOS. Etre los métoos tracoales para resolver problemas e programacó leal el más utlzao es el métoo smple y sus varates. Cuao se solucoa problemas e PL por meo el métoo Smple, la solucó ecotraa es u puto etremo, sempre y cuao esta u óptmo. El métoo e Putos Iterores auque es ua técca ueva, ha ao resultaos muy bueos, tato así, que e los últmos tempos se ha cremetao el estuo e este métoo. La solucó a la que llega este métoo e problemas co óptmos alteratvos, puee ser u puto etremo o u puto etro el couto e solucoes óptmas epeeo el puto cal. Normalmete la solucó ecotraa es u puto ferete al etremo. 3. Eemplo Para epoer las feretes solucoes que se tee cuao se aplca los métoos aterores a problemas co óptmos alteratvos, se plateará el sguete eemplo: Ua empresa fabrca tpos e fertlzates, llamaos fertlzates A y B, 3 tpos e matera prma so Fgura. Espaco e solucoes. El segmeto e recta resaltao es el couto e solucoes óptmas el problema, es ecr toos los putos sobre este segmeto tee el msmo valor para la fucó obetvo. La solucó el problema usao el métoo Smple, es: z ( ) = 5 = 5 = 5 Esta solucó correspoe al vértce resaltao e la fg..

5 4 Sceta et echca Año XI, No 7, Abrl 5. UP La solucó el problema usao el métoo e Putos Iterores Barrera Logarítmca Prmal-Dual es: z( ) = 5 = = La fg. 3 muestra el puto cal calculao por el algortmo y el camo seguo hasta ecotrar el óptmo el problema. Nótese que la solucó o correspoe a u puto etremo el couto e solucoes. prmas y 3 puee ser maeaas e tal maera que se agote ua y se coserve la otra, o vceversa. Se pretee por lo tato, mofcar el algortmo e Putos Iterores Barrera Logarítmca Prmal-Dual co el f e que la respuesta obtea sga u obetvo acoal al e obteer el óptmo el problema. Este obetvo acoal está rectamete relacoao co las restrccoes el problema, puesto que s este óptmos alteratvos, se puee obteer solucoes acoales que permta mapular e forma aecuaa los recursos asocaos a caa ua e chas restrccoes. 4. MODIFICACIÓN AL ALGORIMO DE PUNOS INERIORES BARRERA LOGARÍMICA PRIMAL-DUAL PARA PROBLEMAS CON ÓPIMOS ALERNAIVOS. E el algortmo mostrao e la seccó. se observa que la reccó e búsquea el métoo está ao por: = + + ctr ob fac ( ) [ ( ) c p] y = AD A AD r A Z r + r z = r A y Fgura 3. Solucó meate putos terores. Se puee observar que el métoo e putos terores a la posbla e teer respuestas feretes a los vértces el problema oe las restrccoes se ecuetra actvas mplcao el cosumo total e los recursos. Cuao u problema e programacó leal es resuelto por el métoo smple, la solucó es u vértce el couto factble e solucoes. Esto mplca que las restrccoes que forma ese vértce está actvas (su relacó es e guala). Para el caso el eemplo mostrao, las solucoes posbles ecotraas co el métoo smple, poría ser: = 5 ; = 5 (4) = 3 ; = 9 (5) La solucó (4) correspoe al caso oe las restrccoes () y (3) se ecuetra actvas, es ecr, la cata mesual e matera prma spoble y 3 (abla ) se agotaro totalmete. E la solucó (5) las restrccoes () y () se ecuetra actvas, es ecr, la cata mesual e matera prma y se agotaro totalmete. De lo ateror se puee coclur que la matera prma es spesable y ebe gastarse totalmete. Las materas y y z so las reccoes e búsquea ual. es la reccó e búsquea prmal y esta compuesta por tres compoetes: reccó cetral, reccó obetvo y reccó factble. Esta reccó e búsquea os permte obteer ua varacó recta sobre la solucó el problema prmal. Las reccoes cetral y factble tee como obetvo ecotrar u puto factble cerca el cetro el poltope prmal, estas reccoes calmete so preomates ebo a que los parámetros µ y r p so graes. Cuao se ecuetra u puto factble, r p tee a cero y la reccó obetvo es la que oma. Debo a que el puto cal ao e el algortmo se ecuetra ormalmete e la regó factble, la reccó obetvo preoma ese el co el proceso e búsquea, por lo tato, se propoe mofcar cha reccó e tal forma que persga u seguo obetvo ao por las restrccoes. La mofcacó e cha reccó está rectamete relacoaa co los graetes e las restrccoes que se pretee favorecer; por tato la reccó obetvo terá la sguete forma: Drecco obetvo ob = D P D c+ K µ R

6 Sceta et echca Año XI, No 7, Abrl 5. U..P 5 Doe: : Es el umero e restrccoes que se clurá para el auste e la reccó obetvo. K : Es u factor etre cero y uo, que ca el porcetae e cotrbucó el parámetro e barrera. µ : Es el parámetro e barrera, ebe clurse ebo a que la reccó aa por el graete ebe smur urate el proceso. R : Es el graete e las restrccoes que se pretee favorecer. 4. Eemplo e aplcacó Se aplcará la metoología epuesta al eemplo tratao e la seccó 3.. Para realzar la comparacó se parte el resultao mostrao e la fg. 3. z( ) = 5 = = E este, los recursos e las restrccó fuero agotaos ebo a que sobre esta recta se ecuetra el espaco e solucoes, e cuato a las restrccoes y 3, cueta co recursos ebo a que la solucó obtea o actva chas restrccoes. Se pretee repartr los recursos e las restrccoes y 3 e tal forma que la solucó sga seo óptma. Fgura 4. Eemplo e aplcacó caso. Caso : Coservar ua buea cata e la matera prma 3, y a la vez, mateer spoble e bao porcetae la matera prma. La reccó el graete e la restrccó 3 ca gastar recursos metras que el graete egatvo mplca ahorro e cho recurso. Para este eemplo se clurá formacó e ambas restrccoes (, 3 ) para ver el comportameto e la reccó e búsquea. Se fará el factor K e.6 y K e para los porcetaes e cotrbucó el parámetro e barrera sobre la reccó e auste. El resultao obteo es: z ( ) = 5 = = Caso : Coservar ua buea cata e la matera prma, y a la vez, mateer spoble e bao porcetae la matera prma 3. La reccó postva el graete e la restrccó ca gastar recursos metras que el graete egatvo mplca ahorro e cho recurso. La proporcó que se esee coservar está sueto a otro tpo e restrccoes que puee ser acoaas al problema. Para este caso solo se utlzará formacó e la restrccó. Se fará el factor K gual a.6 que ca ua cotrbucó el 6% el parámetro e barrera sobre la reccó e auste. Este valor ebe ser stozao e acuero al obetvo que se persgue. El resultao obteo e este caso es: z ( ) = = = Fgura 5. Eemplo e aplcacó caso. Lo ateror muestra que etre más formacó tega la reccó e auste, mas eacta será la covergeca el métoo. 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Alguos problemas e Programacó Leal tee la característca e teer más e ua solucó óptma. Esta

7 6 Sceta et echca Año XI, No 7, Abrl 5. UP propea puee ser utlzaa co la fala e escoger etre ese úmero fto e solucoes ua que sea meor que las otras e relacó a u propósto acoal. El métoo e Putos Iterores obtee solucoes feretes a los putos etremos cuao este óptmos alteratvos, esta propea me permte eplorar ua fa e posbles solucoes a las cuales o tea acceso meate las metoologías tracoales. El métoo e Putos Iterores Prmal-Dual preseta la partculara que sempre teta ecotrar u puto factble el problema ubcao e el cetro el poltope y ese allí realza ua búsquea el óptmo actualzao las varables el problema. Este comportameto permte que sea posble esarrollar algortmos que meore el proceso e búsquea ya sea para volverlo más efcete o para que tega u obetvo acoal. Ua mofcacó posble e el algortmo cosste e la varacó e la reccó obetvo el vector e búsquea prmal, pues urate el proceso e evolucó el algortmo preoma sobre las reccoes cetral y factble. El graete e las restrccoes el problema que acota el espaco e solucoes, permte austar e maera recta la reccó obetvo el vector e búsquea prmal, e tal forma que coserao aspectos acoales al problema se obtega ua solucó gualmete óptma. 6. BIBLIOGRAFÍA [] GALLEGO, Ramó A., Escobar Atoo H., Romero Rubé A. Optmzacó e Sstemas Eléctrcos I. Programacó Leal, Prmera ecó, Uversa ecológca e Perera, Perera, 3. [] BRONSON, Rchar. Ivestgacó e Operacoes, Mc Graw Hll, Méco 996. [3] CASILLO, Erque, Coeo Atoo, Peregal Pablo, García Rcaro, Alguacl Natala. Formulacó y Resolucó e Moelos e Programacó Matemátca e Igeería y Ceca. Febrero,. [4] RIDER, Marcos J. Métoo e Putos Iterores para Optmzacó e Sstemas e Poteca. Uversa ecológca e Perera, Perera 4.