Programación lineal flexible con restricciones difusas

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1 REVISTA INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 28 No., ABRIL DE 28 (62-68) Programacó leal flexble co restrccoes dfusas Flexble lear programmg wth fuzzy costrats Héctor Adrés López Ospa y Maurco Restrepo López 2 RESUMEN El presete trabao tee como obetvo presetar los coceptos báscos de la programacó leal flexble o progremacó leal co restrccoes dfusas. Dado que la lteratura preseta dcha metodología para restrccoes de desgualdad, se formula ua metodología para restrccoes de gualdad y de caa. Se muestra cómo u problema de este tpo equvale a uo de optmzacó paramétrca. Falmete, se preseta dos eemplos lustratvos e los cuales se muestra la vetaa de la metodología al meorar la solucó óptma y, por otro lado, la obtecó de ua regó factble e problemas co espaco de solucoes vacío. Palabras clave: coutos dfusos, programacó leal, optmzacó paramétrca. ABSTRACT The preset wor shows the basc cocepts uderlyg flexble lear programmg or lear programmg wth fuzzy costras. The lterature ofte presets ths methodology related to equalty costrats. Ths wors deals wth a methodology for box ad equalty costras; t shows how ths type of problem s smlar to parametrc optmsato. Two examples are gve to show the advatage of usg ths methodology. Keywords: fuzzy set, lear programmg, parametrc optmsato. Recbdo: septembre 2 de 27 Aceptado: febrero 29 de 28 Itroduccó E muchos modelos de optmzacó, la solucó obteda puede o ser satsfactora para que toma decsoes, y por eso se hace ecesaro geerar uevos modelos, co el obetvo de alcazar las dversas metas trazadas. Esto se puede lograr aumetado la capacdad de produccó o vetaro de algú artículo o producto, cremetado o dsmuyedo la demada, elevado la capacdad de carga o trasporte, etre otros. Por otro lado, cuado se realza la modelacó matemátca e el sector dustral por medo de optmzacó, debdo a la catdad de parámetros y restrccoes, e muchos casos o es posble ecotrar ua solucó factble. Por lo expuesto aterormete, se preseta ua metodología de optmzacó flexble u optmzacó co restrccoes dfusas que permte dar solucó a dchos problemas a través de la flexblzacó de las restrccoes. Para tal efecto, se hace la descrpcó de u método usual de optmzacó dfusa que coverte el problema orgal e u modelo de optmzacó paramétrca. E la mayoría de la lteratura se descrbe dcha técca para restrccoes de desgualdad (Cárdeas y Verdegay, 999; Jaroslav, 2). El presete documeto també propoe ua formulacó para restrccoes de gualdad y restrccoes de caa para las varables de decsó. Las restrccoes de gualdad so muy mportates e modelos de programacó leal como trasporte y plaeacó de la produccó, dode se debe cumplr co ua demada determada (Taha, 24), problemas de versó y mezcla de productos (Wsto, 25), dstrbucó de bees, fluo máxmo, problema del agete vaero, etre otros, dode es ecesaro modelar ecuacoes de balace (Taha, 24; Wsto, 25). Las restrccoes de caa so muy comues e todos los modelos reales de optmzacó. Por eemplo, capacdad máxma y míma de vetaro, produccó y trasporte. E problemas de versoes es atural teer ua restrccó de catdad míma y máxma de versó e cada u- a de las opcoes. E los modelos de fluo máxmo sempre se debe supoer que etre los arcos exste ua capacdad máxma y míma de fluo, etre otros (Wsto, 25). Icalmete se preseta alguos prelmares. Luego se descrbe la metodología para ecotrar la solucó de problemas de optmzacó leal flexble, y falmete, la se preseta alguos eemplos lustratvos de la teoría desarrollada. Prelmares Represetacó de u problema de optmzacó Todo modelo de optmzacó leal se puede escrbr de la forma: Matemátco, Uversdad Nacoal de Colomba. M.Sc., e Matemátca Aplcada, Uversdad Nacoal de Colomba. Matemátco-Uversdad Nacoal de Colomba. Profesor, Facultad de Igeería, Uversdad de la Sabaa, Colomba. hector.lopez@usabaa.edu.co 2 Magíster, e Matemátcas, Uversdad Nacoal de Colomba. Profesor, Facultad de geería, Uversdad de La Sabaa, Colomba. maurco. restrepo@usabaa.edu.co 62

2 LÓPEZ, RESTREPO sueto a max z x = = = cx = a x b, =, K, m, d x = e, =, K, l, r x w, =, K,. dode,, x = x K x R defe las varables de decsó. E este problema se tee m restrccoes de desgualdad y l restrccoes de gualdad. Además, r y w so restrccoes de caa para cada ua de las varables. Por otacó se drá que la regó factble es () Defcó 3 (Bucley y Esfadar, 22) Iterseccó etre coutos dfusos: Dados μ, =, K, coutos dfusos de Y, se defe la terseccó como { μ, μ, μ } = = m 2 K μ, Defcó 4 (Bucley y Esfadar, 22) Uó etre coutos dfusos: Dados μ, =, K, coutos dfusos de Y, se defe la uó como { μ, μ μ } = = max 2, K μ, Los coutos dfusos permte modelar la flexbldad de las restrccoes. X {( x, K, x ): a x b,,, m; d x e,,, l; r x w,,,.}. = K = = K = K = = = El problema () se escrbe e forma matrcal como: max c T sueto a Ax b Dx = e x r x w, m l m l dode: A R, D R, c R, b R, e R, y rw, R. Además, la regó factble se escrbe: { :,, } X = x R Ax b Dx = e r x w. La dea fudametal es flexblzar las restrccoes e este tpo de problemas medate coutos dfusos. Coutos dfusos y λ cortes Defcó (Bucley y Esfadar, 22) Sea Y R u couto o vacío. U subcouto dfuso de Y es ua μ : Y,. fucó [ ] El valor de y e la fucó, μ expresa ua medda o grado μ etoces y Y. Por μ se puede afrmar que y Y. E el caso, dcho valor proporcoa el grado o por- μ recbe el ombre de fucó de perteeca. para el cual y está e Y. S ( y) = otro lado, s ( y) = que < μ ( y) < cetae de perteeca de y e Y. ( x) Defcó 2 (Bucley y Esfadar, 22) Sea μ u subcouto dfuso de Y y < λ, se defe u λ corte como: [ ] = { y Y : ( y) } μ λ μ λ E el caso que λ =, se tee que μ[ λ ] = Y. Programacó leal flexble U problema de programacó leal flexble o co restrccoes dfusas se escrbe de la forma: max z x = sueto a : f = f = f cx = a x b, =, K, m, d x = e, =, K, l, r x w, =, K,. f f La otacó = f y f dca que exste certo grado de flexbldad e las restrccoes. Es decr, se permte alguas volacoes o cumplmeto sobre las msmas. Ua de las maeras de resolver y atacar este tpo de problemas es por medo de coutos dfusos (Cárdeas y Verdegay, 999; Jaroslav, 2). Para realzar u aálss del modelo (2) se estuda cada tpo de restrccó flexble de forma separada. Fucó obetvo flexble Esta seccó está basada e lo expresado por Jaroslav (2). Cuado la fucó obetvo es flexble o dfusa, se supoe que exste u valor de aspracó para la fucó obetvo. Dcho valor se otará d R. Es decr, se espera ecotrar u x X tal que ( z x ) d. E muchos casos o es posble ecotrar u puto factble que satsfaga esta codcó, por lo cual se permte que la fucó obetvo pueda alcazar valores meores a d. Para esto, se fa u valor p que defe el grado mímo de cumplmeto o perteeca al vel de aspracó. De esta forma, s zx d p, se dce que (2) REVISTA INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 28 No., ABRIL DE 28 (62-68) 63

3 PROGRAMACIÓN LINEAL FLEXIBLE CON RESTRICCIONES DIFUSAS d z x p tee u grado de cumplmeto de. S zx d, el grado de cumplmeto o vel de perteeca es. Además, s d p z( x) d etoces el grado o porcetae de cumplmeto está dado por. Lo descrto aterormete se puede expresar por medo de la sguete fucó de perteeca trapezodal para la fucó obetvo z :, s t b t b μ () t =, sb t b + t t st> b + t Gráfcamete, la fucó de perteeca μ () t es: 6), s t d d t μz () t =, s d p t d p s t p Gráfcamete, μ ~ ( t) se descrbe de la sguete maera: z Fgura. Fucó de perteeca para la fucó obetvo flexble. Jaroslav, 2. Luego, el problema () co fucó obetvo flexble es equvalete a sueto a : (4) μz% cx λ = x X, λ, [ ] Como puede verse e Jaroslav (2), el problema (4) es e- quvalete al sguete problema de optmzacó paramétrca sueto a : (5) cx d p λ = [ ] x X, λ, cuya solucó óptma ( λ, x ) se cosdera la solucó del problema () co fucó obetvo flexble. Restrccoes de desgualdad flexbles Esta parte está basada e Cárdeas y Verdegay (999) y Jaroslav (2). Para cada ua de las restrccoes de desgualdad se defe las sguetes fucoes de perteeca: Fgura 2: Fucó de perteeca para restrccoes de desgualdad. Jaroslav, 2. x = x x K x R y E este caso, dado u (,,, ) h ( x) = a x, =, K, m, etoces = 2 -S ( x) b o perteeca e la - ésma restrccó de, ( h ( x) ) h se dce que x tee u grado de cumplmeto μ =. tee u grado de cumplmeto o perte- S h ( x) b + t, x eca e la -ésma restrccó de, ( ( x) ) -S b h ( x) b + t μ =. etoces x satsface h ( x) b μ ( h ( x) ) =. Dcho valor defe el grado o t porcetae de perteeca. Restrccoes de gualdad y de caa El aporte fudametal de este trabao está cetrado e la clusó de ua metodología dfusa que volucra restrccoes de gualdad y de caa. Para cada ua de las restrccoes de gualdad se defe las sguetes fucoes de perteeca tragular, que permte u porcetae de cumplmeto tato por défct o por exceso: e t, s e g t < e g t e μ () t =, s e t e + f f, st> e + f, ó, t< e g La represetacó gráfca de μ () se muestra e la Fgura 3. (7) t 64 REVISTA INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 28 No., ABRIL DE 28 (62-68)

4 LÓPEZ, RESTREPO -S w x w + v etoces se tee u grado de perteeca de x w. v -S r u x < r r x etoces μ ( x ) =. u Fgura 3. Fucó de perteeca para restrccoes de gualdad x = x x K x R y E este caso, dado u (,,, ) m ( x) d x, =, K, l, = = etoces -S m ( x) e + f o m ( x) e g 2 se dce que x tee u grado de cumplmeto o perteeca a la -ésma μ x =. restrccó de gualdad de, ( ( ) ) -S e m ( x) e + f x, tee u grado de cumplmeto o perteeca a la -ésma restrccó de m e. f De forma aáloga se hace el aálss s e g t < e. Por otro lado, cada restrccó de caa r x w se puede defr de forma flexble por medo de la fucó de perteeca trapezodal: μ () t m r t, s r u t < r u t w =, s w t w + v (8) v, st> w + v, ó, t< r u, s r t w La represetacó gráfca de μ () t se muestra e la Fgura 4. Fgura 4. Fucó de perteeca para restrccoes de caa Es decr, s -S t = x etoces: x satsface las restrccoes grado de perteeca es, ( = ) -S x + μ. x > w v o x r u r x w etoces su < etoces su grado de cumplmeto de la -ésma restrccó es, ( = ) x μ. Problema de optmzacó paramétrca equvalete Por medo de la terseccó de las fucoes de perteeca (3), (6), (7) y (8), aplcadas a cada tpo de restrccó, la solucó del problema de optmzacó leal (2) es: x R { % ( ) = = ( ) m l max μz z x μ h x μ m x ( x ) } = μ 9 Por la defcó de, (9) es equvalete al sguete problema maxm: { ( ) ( ) max m μ z x, μ h x, μ m x, μ x, z x R } =, K, m, =, K, l, =, K, Hacedo { ( ) λ = m μz z x, μ h x, { z, m, l,} ( m ( x) ) ( x )} μ, μ. () se puede escrbr como u problema de programacó leal, μ z cx = = = λ μ a x λ, =, K, m, μ a x λ, =, K, l, μ ( x) λ, =, K,, λ [,] () dode μ ~ λ, μ ( ) λ, μ ( ) λ, μ ( ) λ, so z λ cortes de cada ua de las fucoes de perteeca. Dcho problema quere alcazar el vel más alto de cumplmeto o perteeca a cada ua de las restrccoes. El modelo ateror es equvalete al sguete problema de optmzacó paramétrca: REVISTA INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 28 No., ABRIL DE 28 (62-68) 65

5 PROGRAMACIÓN LINEAL FLEXIBLE CON RESTRICCIONES DIFUSAS = = ( λ ) cx d p ( λ ) a x b + t, =, K, m, ( λ) ( λ) e g d x e + f, =, K, l, = ( λ) ( λ) [, ] r u x w + v, =, K,, λ (2) Matrcalmete, (2) se expresa de la sguete maera: T c x d p Ax b t e g Dx e+ f, r u x w+ v λ ( λ ) + ( λ ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) [, ] Exste métodos umércos propos de optmzacó paramétrca que puede ser aplcados para ecotrar la solucó de (2), y además es posble utlzar téccas propas de optmzacó leal relaado el espaco factble. Eemplos Eemplo Produccó para utldad máxma: U fabrcate de uguetes prepara u programa de produccó para dos tpos de uguetes, muñecas y soldados, co base e la formacó cocerete a sus tempos de produccó dados e la sguete tabla: Máqua A Máqua B Máqua C Muñecas Soldados 2 horas hora hora hora hora 3 horas Para la operacó de la máqua A se dspoe de 7 horas; para la máqua B 4 horas; para la máqua C 9 horas. Las utldades e cada muñeca y cada soldado so $4 y $6, respectvamete. El modelo matemátco de optmzacó que represeta dcha stuacó es: max z = 4x+ 6y 2x+ y 7 x+ y 4 x+ 3y 9 x, y, (3) Fgura 5. Regó factble para problema (3) Supogamos que el fabrcate desea obteer utldades de $3 o como mímo $26. Para esto es posble amplar el úmero de horas para cada ua de las máquas de la sguete forma: Máqua A, hasta 8 horas (es decr, horas extras); máqua B, hasta 7 horas (3 horas extras). Máqua C, hasta 2 horas (3 horas extras). De esta forma, el modelo de programacó flexble se escrbe: 4x+ 6y 3 + ( λ ) 4 2x+ y 7+ ( λ ) x+ y 4 + ( λ ) 3 x+ 3y 9+ ( λ ) 3 x, y, λ. (4) Se trata de ecotrar el meor λ que satsfaga la utldad deseada co los mímos recursos e horas adcoales. Ua aproxmacó gráfca de (4) es la que se preseta e la fgura 6. dode x es el úmero de muñecas a fabrcar y y el úmero de soldados. Por medo del paquete de optmzacó LINDO se obtee la sguete solucó óptma: z = 2, x = 5, y = 25. Gráfcamete, (3) se expresa como se muestra e la Fgura 5. Fgura 6. Regó factble problema (3) co restrccoes flexbles 66 REVISTA INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 28 No., ABRIL DE 28 (62-68)

6 LÓPEZ, RESTREPO 3 Además, co la relaacó del espaco factble a R se obtee la solucó λ =, 25, x = 24, y = 29. El factor de cumplmeto o satsfaccó para cada restrccó es: Porcetae Restrccó Valor obtedo de cumplmeto fucó obetvo Máqua A Máqua B Máqua C 25% 3% 56,7% 3% $ horas 53 horas horas E todos los casos, es ecesaro utlzar horas extras. Auque el úmero de horas extras de la máqua A: 7 horas (7% de las horas adcoales) es meor que el úmero de horas para la máqua B: 3 horas (43,3% de las horas adcoales), el porcetae o vel de cumplmeto de la restrccó de dcha máqua es mayor puesto que utlzó u meor porcetae del recurso adcoal. E la fucó obetvo se logra u porcetae de cumplmeto del 25% sobre la meta de $3 tomado u valor de $27, pero se cremetó e u total de $6, sobre la solucó orgal. Eemplo 2 Regó factble vacía: Ua compañía de ecuestas telefócas ha sdo cotratada para llevar a cabo ua ecuesta sobre hábtos televsvos etre las famlas de las zoas rurales y urbaas de ua cudad determada. El clete ha determado que se debe etrevstar 5 famlas, etre ellas mímo 3 debe ser de zoas rurales y máxmo 6. De las famlas de la zoa urbaa se debe etrevstar como mímo 4 y máxmo. Por este servco, la empresa recbe $6. por cada etrevsta a famlas de la zoa rural y $5. por cada etrevsta a las famlas de zoa urbaa. Por la expereca obteda aterormete, se determa que la compañía realzará u gasto de $2.5 por cada llamada a las zoas rurales y $2. a zoas urbaas y sólo se dspoe de $32. para realzar dchas llamadas. E este problema el obetvo es maxmzar las gaacas. Las varables de decsó so: - x : úmero de llamadas a famlas de zoas rurales - y : úmero de llamadas a famlas de zoas urbaas El modelo matemátco que represeta dcha stuacó es max z = 35x+ 3y x+ y = 5 3 x 6 4 y 25x+ 2y 32 Este problema o tee solucó factble, por lo cual se hace ecesaro que alguas restrccoes tega algú vel de flexbldad (restrccoes dfusas). Para esto el clete permte que el úmero de etrevstados pueda estar etre 4 y 55. Además, que el máxmo úmero de famlas a etrevstar de la zoa rural sea 65. No se hace modfcacoes e el resto de las restrccoes. Es mportate otar que e este caso, la fucó obetvo o se coverte e flexble. Por lo cual el problema co restrccoes dfusas se puede ver como u problema de optmzacó co dos obetvos: = ( + λ ) ( λ ) x y ( λ ) 3 x 6 + ( λ ) 5 max z 35x 3 y, y 25x+ 2y 32 (5) La regó factble para el problema (5) se puede descrbr gráfcamete como se muestra e la Fgura 7. Fgura 7. Aproxmacó gráfca de la regó factble del problema (5) Utlzado el método de la ε - restrccoes de programacó multobetvo descrto e Smth et al. (2), (5) se puede escrbr como: max z = 35x+ 3y ( λ ) x y ( λ ) 3 x 6 + ( λ ) 5 4 y 25x+ 2y 32 λ ε (6) dode la varacó paramétrca de ε geera la frotera de Pareto. E la sguete tabla se descrbe las solucoes obtédas λ z x y Llamadas totales, , , , ,7 X X X X A partr de λ =, 7 o se obtee putos factbles. Es decr, el máxmo valor de perteeca obtedo e la terseccó de todas las restrccoes es,6. REVISTA INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 28 No., ABRIL DE 28 (62-68) 67

7 PROGRAMACIÓN LINEAL FLEXIBLE CON RESTRICCIONES DIFUSAS Coclusoes La programacó leal flexble es ua herrameta de programacó dfusa que srve para resolver problemas de optmzacó, dode la solucó óptma o es satsfactora para el tomador de decsoes o la gra catdad de restrccoes y lmtacoes o geera putos factbles. La metodología que cluye las restrccoes de gualdad y de caa dfusas permtó meorar solucoes óptmas y ecotrar solucoes factbles e problemas co espaco factble vacío. Además, este desarrollo permte abarcar problemas más geerales de programacó leal. Sería teresate aplcar esta técca e modelos dode el valor de los parámetros correspodetes al lado derecho de cada ua de las restrccoes sea certo o dfuso. Por otro lado, depededo de la aplcacó se puede explorar la utlzacó de fucoes de perteeca de tpo o leal como lo desarrollado e Taha (24). Además, es posble comparar los resultados obtedos por medo de progremacó leal flexble co modelos de programacó por metas Smth et al. (2). Auque el desarrollo matemátco es dstto, se puede otar que la flosofía es muy parecda. Bblografía Bucley, J., Esfadar E. A troducto to fuzzy logc ad fuzzy sets., Hedelberg: Physca-Verlag, 22. Cárdeas, J., Verdegay, J., Modelos de optmzacó co datos mprecsos Servco de Publcacoes., Uversdad de Murca, 999. Jaroslav, R., Soft Computg: Overvew ad Recet Developmets Fuzzy Optmzato., Ostravsá uverzta. Lstopad, 2. Smth, R., Jaramllo, P., Poveda, G., Mesa, O., Dyer, I., Valeca, D., Decsoes co múltples obetvos e certdumbre., Facultad de Mas Uversdad Nacoal de Colomba, Sede Medellí, 2 Edcó, 2. Taha, H., Ivestgacó de Operacoes., Séptma edcó, Edtoral Pearso, 24. Vasat, P., Optmzato product mx problem usg fuzzy lear programmg., Departmet of Mathematcs, Amerca degree Program, Nla Iteratoal College. Malasa, 24. Wsto, W., Ivestgacó de Operacoes: Aplcacoes y algortmos., Séptma edcó, Edtoral Thomso, REVISTA INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 28 No., ABRIL DE 28 (62-68)