Conquistando terrenos y haciendo pompas de jabón

Transcripción

1 Conquistndo terrenos y hciendo pomps de jbón Crlos Prieto de Cstro Universidd Ncionl Autónom de México 2º Encuentro con los números Envigdo, Antioqui, Colombi 19 de octubre de

2 El origen de Crtgo 2

3 L fundción de Crtgo En el siglo noveno ntes de nuestr er, l ciudd fenici de Tiro, en el Oriente Medio, tení un rey llmdo Belus. Belus tení dos hijos, l hermos princes Dido y el fmoso Pigmlión. A l muerte de Belus, Pigmlión sumió el reindo. Cuent l leyend que Dido se hbí csdo con un cudldo hombre llmdo Siqueo, quien Pigmlión sesinó pr robr sus riquezs. 3

4 El fntsm de Siqueo se le preció Dido pr contrle los trágicos contecimientos, decirle dónde tení escondido su tesoro y pedirle que lo buscr y, llevándoselo, bndonr Tiro. Así, Dido decidió prtir, encbezndo un flot de nves, tods bien crgds del oro y l plt que hbí recibido de Siqueo. 4

5 Atrvesó el Mediterráneo en busc de nuevs tierrs en donde sentrse. Finlmente rribó un sitio en el norte de Áfric, muy cerc de l ctul ciudd de Túnez. Reinb hí Irbs, quién le compró un pedzo de tierr junto l mr. Acordó con Irbs que, por el dinero pgdo, podrí fundr su ciudd en l porción de tierr que pudier roder con l piel de un buey, que el propio Irbs le hbí obsequido, confido en que con un piel de vc serí poco lo que Dido podrí roder. 5

6 No obstnte, Dido cortó l piel en tirs mucho muy ngosts, que unió cuiddosmente pr formr un lrg tir y con ell ceñir un grn espcio; el myor que fuese posible. En él fundó l ciudd de Crtgo de l cul se convirtió en rein. 6

7 Dido medit sobr l form que deberá tener su terreno pr obtener l myor áre posible, donde poder fundr su grndios ciudd. Hbrí formdo un triángulo? De ser sí, serí éste equilátero o rectángulo? O hbrí quizá formdo un rectángulo? Pero de qué proporciones? Quizás hbrá sido un semicírculo? O un círculo? 7

8 Problem Si tenemos un cordón con el que desemos roder un ciert superficie, qué form debemos drle ést pr que quél encierre l myor áre posible? 8

9 Conjuntos convexos Se dice que un figur pln es un figur convex si tiene l siguiente propiedd: Si tommos dos puntos culesquier dentro de l figur, entonces todos los puntos del segmento rectilíneo que los une mbos tmbién están dentro de ell. Figur convex Figur 5 9

10 Culquier solución del problem isoperimétrico debe ser un figur convex bolldur Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 10

11 Prlelogrmos isoperimétricos b h Figur 8 b De l siguiente secuenci de figurs, es clro que el prlelogrmo de myor áre es el rectángulo. b b b b b b Figur 9 11

12 Teorem. De entre todos los prlelogrmos con ldos y b, el rectángulo es el que tiene myor áre. Est áre es A = b. 12

13 b b Si tenemos un rectángulo de bse y ltur b, su áre está dd por A = b y su perímetro por P = 2( + b). Si llmmos x = ( + b)/2, entonces podemos suponer = x + c, b = x c 13

14 x 2 x x 2 c 2 x + c x x c Así, el cudrdo de ldo x y el rectángulo de ldos x + c y x c tienen igul perímetro, y sus áres son x 2 y (x + c)(x c) = x 2 c 2, respectivmente. Así, el áre es máxim si c = 0. 14

15 En generl, el máximo es pr = P/4 Así, obtenemos Teorem. De todos los prlelogrmos isoperimétricos, es el cudrdo el que tiene áre máxim. Si el perímetro es P, entonces est áre es A = P 2 / 16 = P 2. 15

16 Pr triángulos se procede de form nálog, con un función. De dos triángulos isoperimétricos de igul bse, es el isósceles el que tiene myor áre. Y de los triángulos isósceles isoperimétricos, es el equilátero el que tiene l máxim áre. 16

17 En generl, pr polígonos de n ldos tenemos: Teorem. De entre todos los polígonos con n ldos y con perímetro P, es el regulr el que tiene myor áre. 17

18 Pr polígonos, en generl, tenemos: Teorem. De entre dos polígonos regulres con perímetro P, es el de myor número de ldos el que tiene myor áre. 18

19 Polígono regulr Áre en términos del perímetro P Cudrdo (4 ldos) P 2 Pentágono (5 ldos) Hexágono (6 ldos) P P 2 Heptágono (7 ldos) P 2 Octágono (8 ldos) P 2 Nonágono (9 ldos) P 2 Decágono (10 ldos) P 2 Endecágono (11 ldos) P 2 Dodecágono (12 ldos) P 2 13-gono (13 ldos) P 2 14-gono (14 ldos) P 2 Tbl 1 19

20 Solución del problem isoperimétrico Ddo que cd vez que tengmos un polígono con n ldos y perímetro P, el que tiene n + 1 ldos y el mismo perímetro tiene más áre, no puede hber un polígono que teng áre máxim. De ciert form, l únic posibilidd es pensr en un polígono regulr que teng un número infinito de ldos. Éste sólo puede ser el círculo, que es el límite de los polígonos regulres cundo el número de ldos tiende infinito. 20

21 Si el perímetro de un círculo es P, entonces el rdio debe ser r = P/2 ; por lo tnto, el áre debe ser A = r 2 = (P/2 ) 2 = P 2 /4 = (1/4 )P 2 = = P 2. 21

22 Teorem. De tods ls figurs plns con el mismo perímetro P, es el círculo l que tiene myor áre. Ést es A = P 2. 22

23 L figur muestr que si tenemos un fmili de elipses isoperimétrics, si los ejes myor y menor b son distintos, entonces el áre no puede ser máxim. Y que el áre es A = b y el perímetro es P = ( + b), el mismo rgumento de los rectángulos prueb que de entre ls elipses isoperimétrics, el círculo tiene áre máxim.mm 23

24 EN EL ESPACIO. L nturlez resuelve el problem isoperimétrico en el espcio, plicndo el principio de mínim energí. Un ejemplo son ls pomps de jbón. L form esféric, es de mínim energí y de máximo volumen. 24

25 EN EL ESPACIO. Ls superficies mínims son ejemplos de superficies de áre mínim con un perímetro determindo: 25

26 EN EL ESPACIO. 26

27 EN EL ESPACIO. 27

28 EL ÁREA DE UN CÍRCULO El áre de un círculo l prueb del tiburón Círculo de rdio 1 (o r) Cudrdo inscrito de áre 2 (o 2r 2 ) Cudrdo circunscrito de áre 4 (o 4r 2 ) El áre del círculo debe estr entre 2 y 4 (o entre 2r 2 y 4r 2 ). 28

29 EL ÁREA DE UN CÍRCULO v v r r r r r r r r Trnsformmos el círculo en (csi) un rectángulo de bse r y ltur r: r r r 29

30 EL ÁREA DE UN CÍRCULO Si cd vez tommos los gjos más y más ngostos, l figur se prece más y más un rectángulo de bse r ltur r: r Arquímedes Así, en el límite, el áre del rectángulo se vuelve r r = r 2 30

31 EL MÉTODO EXHAUSTIVO DE ARQUÍMEDES L ide de l demostrción nterior l prueb del tiburón- se remont Arquímedes, quien creó el método de exhución o método exhustivo, e ides precids como l de ir proximndo un rectángulo por sectores circulres cd vez más ngostos. Arquímedes tmbién lo hizo sí: 31

32 ...nunc seré bogdo si no comprendo lo que signific demostrr. Slí de Springfield y regresé cs de mi pdre, de donde no slí hst que hube demostrdo cd proposición de cd uno de los seis libros de Euclides. Entonces supe el significdo de demostrr y regresé mis estudios de leyes. Abrhm Lincoln MUCHAS GRACIAS! 32