Introducción al álgebra lineal

Transcripción

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3 Introducción al álgebra lineal

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5 Juan Rada Profesor del departamento de Matemática Facultad de Ciencias de la Universidad de Los Andes Introducción al álgebra lineal Universidad de Los Andes Consejo de Publicaciones 2

6 Título de la obra: Introducción al álgebra lineal Autor: Juan Rada Coeditado por la Comisión de Desarrolllo de Pregrado (CODEPRE, Fundación Polar y el Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes Av Andrés Bello, antiguo CALA La Parroquia Mérida, estado Mérida, Venezuela Telefax: ( , 2732, cpula@ulave Colección: Ciencias Básicas Serie: Matemática ª edición 2 Reservados todos los derechos Juan Rada Diagramación: Antonio Vizcaya y Edgar Iturriaga Diseño de portada: Leroy Rojas Hecho el depósito de ley Depósito legal: lf ISBN Impreso en Gráficas El Portatítulo Mérida, Venezuela, 2

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9 ÍNDICE GENERAL Matrices 3 Definición y terminología 3 2 Álgebra de matrices 6 3 Sistemas de ecuaciones lineales 24 4 Matrices elementales 32 2 Determinantes 37 2 Función determinante Propiedades del determinante 4 23 Existencia de la función determinante La expansión de Laplace 47 3 Espacios vectoriales 53 3 Espacios vectoriales Subespacios generados 6 33 Independencia lineal y bases El rango y la nulidad de una matriz Coordenadas en un espacio vectorial 78 4 Transformaciones lineales 83 4 Transformaciones lineales El núcleo y la imagen Isomorfismos Matriz asociada a una transformación lineal Autovalores y autovectores 3 46 Diagonalización 9

10 juan rada 5 Espacios vectoriales con producto interno 5 5 Producto interno 5 52 Bases ortonormales 2 53 Operadores lineales Diagonalización unitaria 32

11 PRÓLOGO El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia los espacios vectoriales y las transformaciones lineales Estos conceptos han contribuido notablemente en el desarrollo del conocimiento dentro de las matemáticas y también en otras ciencias, especialmente en las ciencias básicas, la economía, la informática, la ingeniería y las ciencias sociales Por eso se justifica el estudio del álgebra lineal en la mayoría de las carreras universitarias El material contenido en estas notas tiene como objetivo iniciar al estudiante en los conceptos básicos del álgebra lineal Se trata de un curso dirigido a estudiantes de segundo año de las carreras de matemática, física e ingeniería, que han estudiado previamente nociones básicas de cálculo diferencial e integral y álgebra Está escrito en un estilo matemático riguroso, en el cual los teoremas son presentados con precisión y están seguidos por sus demostraciones formales; es posible cubrir el material completo en un semestre Estas notas surgieron de varios cursos de álgebra lineal que dicté en la Universidad de Los Andes y en la Universidad Simón Bolívar durante los últimos años Expreso mi agradecimiento a los colegas José Luis Chacón, Olga Porras, Leonel Mendoza, María González y Aurora Olivieri por usar estas notas y hacer comentarios interesantes que mejoraron las primeras versiones

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13 CAPÍTULO MATRICES Definición y terminología Comenzamos recordando el álgebra de los números complejos El conjunto de los números complejos se denota por C y está formado por pares ordenados (a, b, en los cuales a, b R Decimos que dos números complejos son iguales cuando son iguales coordenada a coordenada: (a, b = (c, d si, y sólo si, a = c y b = d Definimos dos operaciones en C, llamadas suma y producto, de la siguiente manera: (a, b + (c, d = (a + c, b + d (a, b (c, d = (ac bd, ad + bc El teorema que sigue contiene las propiedades más notables de estas operaciones Teorema Las siguientes propiedades se cumplen: (a, b + (c, d = (c, d + (a, b ; 2 [(a, b + (c, d] + (e, f = (a, b + [(c, d + (e, f]; 3 (, + (a, b = (a, b ; 4 (a, b + ( a, b = (, ; 5 (a, b (c, d = (c, d(a, b; 6 [(a, b (c, d](e, f = (a, b [(c, d(e, f] ; 7 (, (a, b = (a, b;

14 4 juan rada 8 Si (a, b (, entonces (a, b ( a a 2 +b 2, b a 2 +b 2 = (, ; 9 (a, b [(c, d + (e, f] = (a, b (c, d + (a, b (e, f; [(a, b + (c, d] (e, f = (a, b (e, f + (c, d(e, f Demostración Demostramos 8, las demás las dejamos como ejercicio Como (a, b (,, entonces a 2 + b 2 y así, ( a b, a 2 +b 2 a 2 +b está bien definido Además, 2 ( ( a b a (a, b a 2 + b 2, = a a 2 + b 2 a 2 + b b b b 2 a 2 + b2, a a 2 + b + b a 2 a 2 + b ( 2 a 2 + b 2 ab + ba = a 2 + b2, = (, a 2 + b 2 Por otra parte se comprueba fácilmente que (a, + (b, = (a + b, (a, (b, = (ab, Además, como la función ι : R C definida por ι (a = (a, es inyectiva, entonces es posible considerar a R como subconjunto de C; simplemente identificamos a R como los números complejos de la forma (a, De esta manera podemos escribir (a, b = (a, + (, b = (a, + (b, (, = a + bi donde denotamos a (, por i Notamos que i satisface i 2 = (, (, = (, = Luego cada número complejo z se representa de manera única como z = a + bi En esta representación llamamos a la parte real y b la parte imaginaria de z y los denotamos por Re (z = a y Im (z = b Con esta notación, las operaciones suma y producto se convierten en (a + bi + (c + di = (a + c + (b + di (a + bi (c + di = (ac bd + (ad + bc i A partir de ahora usamos la notación z = a + bi para denotar un número complejo Si z = a + bi, entonces definimos el conjugado de z, denotado por z, al número complejo z = a bi

15 Matrices 5 En este caso tenemos que zz = (a + bi (a bi = a 2 + b 2 Observamos que zz es precisamente la longitud al cuadrado del vector que z representa en el plano real, es decir, el vector que tiene origen en (, y extremo en (a, b Denotamos por z a esta longitud, es decir, z = a 2 + b 2 y la llamamos la norma del número complejo z Si θ es el ángulo que forma el vector que z representa en el plano real con el eje x, entonces se tiene que a = rcosθ y b = rsenθ y en consecuencia, z = a + bi = r (cosθ + isenθ Esta es la forma polar del número complejo z A lo largo de estas notas, F denotará el conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos Cualquier afirmación relativa a F significa que es válida en los dos casos: F = R o F = C Diremos que un elemento de F es un escalar Sean m y n enteros mayores o iguales a Una matriz es un arreglo rectangular de elementos de F de la forma Las m n-uplas A = son las filas de la matriz y las n m-uplas a a n a m a mn (a,,a n,,(a m,,a mn a a m,, son las columnas de la matriz Una matriz A con m filas y n columnas es una matriz de tamaño m n En este caso denotamos las m filas de A por y las n columnas de A por a n a mn A, A 2,,A m A, A 2,,A n El elemento a ij de la matriz A aparece en la fila i y en la columna j de A También usamos la notación [A] ij para denotar el elemento ij de la matriz A Los elementos [A] ii, son los elementos de la diagonal de A i =,, r = min {m, n}

16 6 juan rada Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo tamaño y [A] ij = [B] ij para todo i, j Denotamos por M m n (F al conjunto de todas las matrices m n con elementos en F Si m = n, simplemente escribimos M n (F y sus matrices las llamamos matrices cuadradas (de tamaño n EJERCICIOS En los siguientes ejercicios, w y z pertenecen a C Demuestre que: z = z 2 z + w = z + w 3 zw = zw 4 Defina w z Demuestre que w z = w z 5 z R si, y sólo si, z = z 6 z = si, y sólo si, z = 7 z = z 8 zw = z w 9 Si z entonces = z + w z + w z z Representando a z y w en sus formas polares, encuentre las fórmulas para zw y z w En particular, para z 2 Si z = r (cosθ + isenθ, entonces z n = r n (cos (nθ + isen (nθ para todo entero positivo n 3 Complete la demostración del teorema 2 Álgebra de matrices Definimos a continuación dos operaciones sobre el conjunto M m n (F Definición 2 Sean A, B M m n (F La suma de A y B, denotada por A + B, es la matriz m n definida por [A + B] ij = [A] ij + [B] ij Si α F, la multiplicación del escalar α por la matriz A, denotado por αa, es la matriz m n definida por [αa] ij = α [A] ij

17 Matrices 7 Ejemplo 22 Consideremos las matrices 3 2 i A = 2 4 y B = 8 i + 6 Entonces A + B = 8 i + 4 π i 9 y 3A = π i i Veamos las propiedades más importantes que cumplen las operaciones recién definidas El de M m n (F es la matriz definida por [] ij = para todo i, j Por otra parte, el inverso aditivo de A, que denotamos por A, es la matriz definida como [ A] ij = [A] ij Para abreviar, de aquí en adelante escribimos A B en lugar de A + ( B Ejemplo 23 Si A = 3 2 i i + 6 entonces A = Teorema 24 Sean A, B, C M m n (F y α, β F Entonces A + B = B + A; 2 (A + B + C = A + (B + C; 3 A + = A; 4 A + ( A = ; 5 α (A + B = αa + αb; 6 (α + βa = αa + βa; 7 (αβa = α (βa; 8 A = A 3 2 i i 6 Demostración Vamos a demostrar la propiedad 7, dejamos las demostraciones restantes para que el lector las lleve a cabo Para todo i, j tenemos [(αβa] ij = (αβ[a] ij = α (β [A] ij = α ([βa] ij = [α (βa] ij Por lo tanto, (αβa = α (βa Llamamos a M m n (F junto con las operaciones definidas anteriormente el espacio de las matrices m n con coeficientes en F Ahora introducimos la multiplicación de matrices En un principio, esta definición parece innecesariamente complicada, pero quedará plenamente justificada en las secciones posteriores

18 8 juan rada Definición 25 Sean A M m n (F y B M n p (F La multiplicación de A por B, denotada por AB, es la matriz de M m p (F definida como [AB] ij = n [A] ik [B] kj k= Observamos que la multiplicación de dos matrices está definida cuando el número de columnas de la matriz de la izquierda es igual al número de filas de la matriz de la derecha Ejemplo 26 Sean A = AB = ( ( y B = y BA = 2 2 Entonces Es claro que la única posibilidad para que AB y BA estén ambas bien definidas es que A M m n (F y B M n m (F Si m n, entonces AB y BA tienen distinto tamaño y por lo tanto AB BAAun en el caso que A y B sean matrices cuadradas del mismo tamaño, la multiplicación no es conmutativa, como muestra el siguiente ejemplo Ejemplo 27 Sean A = ( 2 2 AB = y B = ( ( ( Entonces = BA A continuación presentamos una lista de propiedades básicas que satisface la multiplicación de matrices Suponemos en el próximo teorema que los tamaños de las matrices son los adecuados Teorema 28 Sean A, B, C matrices Entonces (AB C = A (BC ; 2 A (B + C = AB + AC; 3 (B + CA = BA + CA; 4 λ (AB = (λa B = A (λb para todo λ F;

19 Matrices 9 Demostración Demostramos, el resto de las demostraciones las dejamos como ejercicio Para cada i, j tenemos ( p p n [(AB C] ij = [AB] ik [C] kj = [A] il [B] lk [C] kj = = k= p k= k= n [A] il [B] lk [C] kj = l= n [A] il p [B] lk [C] kj = l= n l= l= k= l= p [A] il [B] lk [C] kj k= n [A] il [BC] lj = [A (BC] ij La matriz identidad de M n (F se denota por I n y se define como: { si i = j [I n ] ij = si i j, esto es, I n = Teorema 29 Si A M m n (F, entonces I m A = A y AI n = A Demostración Demostramos que I m A = A En efecto, m [I m A] ij = [I m ] ik [A] kj = [I m ] ii [A] ij = [A] ij para todo i m y j n k= Definición 2 Una matriz A M n (F tiene inversa (o es invertible si existe B M n (F tal que AB = BA = I n En este caso decimos que B es una inversa de A ( Existen matrices que no tienen inversas Por ejemplo, la matriz A = M 2 (F no es invertible porque ( para todo a, b, c, d F ( a b c d = ( c d I 2 Teorema 2 La inversa de una matriz, si existe, es única Demostración Supongamos que A M n (F y B, C son matrices inversas de A Entonces AB = I n = CA Luego, B = I n B = (CAB = C (AB = CI n = C En virtud del resultado anterior hablamos de la inversa de una matriz A y la denotamos por A En general, el cálculo de la inversa de una matriz resulta largo y tedioso En secciones posteriores estudiaremos algunos métodos para calcularla

20 2 juan rada Teorema 22 Sean A, B M n (F invertibles Entonces (A = A; 2 AB es invertible y (AB = B A Demostración Demostramos 2 Tenemos que (AB ( B A = A ( BB A = I n ( B A (AB = B ( A A B = I n Luego (AB = ( B A Dado A M n (F definimos A = I n y para m, definimos recursivamente A m = AA m Si r, s son enteros no negativos, entonces se demuestra por inducción que A r A s = A s A r = A r+s (Ejercicio 4 Definición 23 Sea A M m n (F La traspuesta de A, denotada por A, es la matriz de M n m (F que se obtiene al intercambiar las filas por columnas: Formalmente, [ A ] ij = [A] ji a a n a m a mn para todo i, j = Ejemplo 24 La traspuesta de la matriz A = A = 3 5 i 2 2i 2 i 3 5 i a a m a n a mn 3 i 2 i i 5 i es Las propiedades básicas de la traspuesta las presentamos en el siguiente resultado Suponemos que los tamaños de las matrices son adecuados para efectuar las operaciones Teorema 25 Las siguientes condiciones se cumplen: ( A = A; 2 (A + B = A + B ;

21 = k [ B ] ik [ A ] kj = [ B A ] ij Matrices 2 3 (αa = αa ; 4 (AB = B A ; 5 Si A es invertible, entonces A es invertible y ( A = (A Demostración Vamos a demostrar las propiedades 4 y 5 4 Para todo i, j tenemos [ (AB ] = [AB] ji = [A] jk [B] ki = [ ] A ij kj k k [ B ] ik 5 Supongamos que A es invertible Entonces, por la parte 4 tenemos ( A A = ( AA = I = I A ( A = ( A A = I = I Por lo tanto, A es invertible y la inversa de A es (A Recordamos que z denota el conjugado del número complejo z Definición 26 Sea A M m n (F La conjugada de A la denotamos por A y se define por [ A ] ij = [A] ij La traspuesta conjugada o traspuesta hermitiana, denotada por A, se define como A = A Claramente, si A M m n (R entonces A = A 3 i 2 i Ejemplo 27 La matriz A = 2 3 tiene traspuesta conjugada 5 2i 5 i 3 5 A = i 2 2i 2 + i i Teorema 28 Las siguientes condiciones se cumplen: AB = A B; 2 (A = A; 3 (A + B = A + B ; 4 (αa = αa ;

22 22 juan rada 5 (AB = B A 6 Si A es invertible, entonces A es invertible y (A = (A Demostración Demostramos las propiedades 5 y 6 5 (AB = (AB = B A = B A = B A 6 Supongamos que A es invertible Entonces por la parte 5 tenemos ( A A = ( AA = I = I A ( A = ( A A = I = I El resto lo dejamos como ejercicio EJERCICIOS Complete las demostraciones de los teoremas de esta sección 2 Dadas las matrices A = ( 3 + i i y B = ( 3 + i i 3i calcule 2iA 5B 3 Dadas las matrices A = calcule ABC y CAB ( 3 + i i, B = 2 3 y C = ( i i 4 Si A es una matriz, demuestre que para todo entero no-negativo r y s se tiene que 5 Sea B = a e = A r A s = A s A r = A r+s Encuentre Be i para i =,,4 donde e i viene dada por:, b e 2 =, c e 3 = y c e 4 =

23 Matrices 23 6 Encuentre para la matriz B del ejercicio anterior e i B, donde e i viene dada por: a e = ( ; b e 2 = ( y c e 3 = ( 7 Generalice los ejercicios 4 y 5 para matrices en M m n (F 8 Demuestre que (AB j = AB j para todas las matrices de tamaño adecuado 9 Demuestre que (AB i = A i B para todas las matrices de tamaño adecuado Demuestre que si A M m n (F y x = (x,,x n, entonces Ax = x A + +x n A n Demuestre que si A M n (F satisface AB = BA para todo B M n (F, entonces A es un múltiplo escalar de la identidad 2 Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una matriz B M 2 (R sea invertible y calcule la inversa cuando existe 3 Demuestre que si A M n (F y A 2 =, entonces I A es invertible 4 Demuestre que si A es invertible y AB =, entonces B = 5 Una matriz diagonal es una matriz de la forma d D = d nn Cuándo es D invertible? En ese caso, cuál es la inversa? ( ( 6 Considere la matriz diagonal D = y A = 2 2 Calcule (A DA 7 Dadas las matrices A = 2 i y B = ( 3 + i i 3i Calcule (AB, B A, (AB y B A 8 Una matriz cuadrada A M n (F es simétrica si A = A y antisimétrica si A = A Demuestre que para cualquier matriz B M n (F se tiene: a BB y B+B son matrices simétricas; b B B es antisimétrica

24 24 juan rada 9 Sea A M n (F Se define la traza de A, denotada por Tr (A, como el elemento de F Tr (A = n [A] kk k= Dadas A, B M n (F y α F demuestre: i Tr (A + B = Tr (A+Tr (B ; ii Tr (αa = αtr (A y iii Tr (AB = Tr (BA 2 Una matriz T M n (F es triangular superior si [T] ij = para i > j Suponga que S, T M n (F son triangulares superiores y α F Demuestre que a S + T es triangular superior; b αs es triangular superior; c ST es triangular superior 3 Sistemas de ecuaciones lineales El objetivo de esta sección es presentar un método para resolver la ecuación matricial AX = B, donde A M m n (F y B M m (F En otras palabras, queremos encontrar todas las matrices X M n (F que satisfacen la igualdad AX = B Interpretando cada fila A i de A como un elemento de M n (F, la ecuación matricial AX = B se traduce en el sistema de m ecuaciones lineales A X = b,, A m X = b m donde [B] i = b i F para todo i m También lo podemos interpretar como un sistema de m ecuaciones lineales con incógnitas o variables x,,x n : a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m donde [A] ij = a ij F para todo i m, j n El sistema de ecuaciones lineales AX = recibe el nombre de sistema de ecuaciones lineales homogéneo La técnica de eliminación de Gauss-Jordan que estudiamos más adelante en esta sección, consiste en transformar una ecuación matricial en una más sencilla pero con el mismo conjunto solución Esto es posible mediante las operaciones elementales aplicadas a una matriz Definición 3 Una operación elemental por filas aplicada a una matriz A M m n (F significa llevar a cabo una de las siguientes operaciones a la matriz A : Intercambiar la fila p por la fila q, denotada por f pq (A ;

25 Matrices 25 2 Muliplicar por λ a la fila p, denotada por f p (λ (A; 3 Sumar a la fila p la fila q multiplicada por λ, denotada por f pq (λ(a Más aún, si B se obtiene a partir de A a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces decimos que A y B son equivalentes por filas, y lo denotamos por A f B Es fácil ver que la relación equivalente por filas es una relación de equivalencia sobre M m n (F Usando operaciones elementales por filas es posible transformar una matriz en otra que tiene una forma especialmente sencilla Definición 32 Sea A M m n (F Decimos que A es escalonada reducida si cumple con las siguientes condiciones: Si A j =, entonces A k = para todo j < k m Es decir, todas las filas están en la parte de abajo de la matriz; 2 Sean A p y A q filas distintas de y p < q Si a pr es el primer elemento distinto de cero de la fila A p y a qs es el primer elemento distinto de cero de la fila A q, entonces a pr = = a qs y r < s 3 Si a pr = es el primer elemento distinto de cero de la fila A p (llamado principal, entonces todos los elementos de A r distinto de a pr son ceros Ejemplo 33 Consideremos la matriz ( Entonces, efectuando las operaciones f 2, f2 ( 6,f 4 ( 2 obtenemos ( Después de f 2 8, f2 ( 2,f 32 ( 4,f 42 (2 llegamos a

26 26 juan rada ( y al aplicar f 34, f 23 2 obtenemos la matriz Esta última matriz es escalonada reducida El ejemplo 33 muestra cómo se lleva una matriz por medio de operaciones elementales por filas a una matriz escalonada reducida Esto siempre es posible como muestra nuestro próximo resultado Teorema 34 (Eliminación de Gauss-Jordan Sea A M m n (F Entonces existe una matriz escalonada reducida R tal que A f R Demostración Supongamos que [A] ij = a ij para todo i, j y que A r es la primera columna de A (de izquierda a derecha diferente de cero Podemos suponer que a r, de lo contrario aplicamos f p a A si a pr Ahora aplicamos las operaciones elementales por filas a A f ( a r, f 2 ( a 2r,, f m ( a mr para obtener la matriz B que tiene las primeras r columnas iguales a cero y los elementos de la columna B r son todos ceros excepto b r = : A B = f Sea B la matriz que se obtiene a partir de B eliminando la primera fila de B y sea B s la primera columna [ de B diferente de cero Observamos que r < s e igual que antes, podemos asumir que B] = b 2s Ahora aplicamos a B las operaciones elementales por filas s ( f 2, f 2 ( b s, f 32 ( b 3s,f m2 ( b ms b 2s para obtener una matriz C de la forma A B C = f f

27 Matrices 27 Continuamos este procedimiento y es claro que después de un número finito de pasos llegamos a una matriz escalonada reducida Una aplicación de la eliminación de Gauss-Jordan junto con el próximo resultado nos proporciona una técnica para encontrar todas las soluciones de una ecuación matricial AX = B, donde A M m n (F y B M m (F Teorema 35 Sean A M m n (F, B M m (F y f una operación elemental por fila Entonces, las ecuaciones AX = B y f (A X = f (B tienen la misma solución Demostración Es claro cuando f = f pq o f = f p (λ Supongamos que f = f pq (λ Si AX = B, donde [B] ij = b i, entonces A i X = b i para todo i Luego (A p + λa q X = A p X + λa q X = b p + λb q y, en consecuencia, f pq (λ(a X = f pq (λ(b Recíprocamente, supongamos que f pq (λ (AX = f pq (λ(b Luego A k X = b k para todo k p y Equivalentemente, (A p + λa q X = b p + λb q A p X + λa q X = b p + λb q Pero como q p, entonces A q X = b q y así, A p X = b p Esto demuestra que AX = B El problema de resolver una ecuación matricial de la forma AX = B se reduce a resolver una ecuación de la forma EX = C, donde E es escalonada reducida La idea es la siguiente: si tenemos la ecuación AX = B, entonces, por la eliminación de Gauss-Jordan, efectuamos operaciones elementales por filas a A hasta convertirla en una matriz escalonada reducida E Las mismas operaciones llevan la matriz ampliada (A, B a la matriz ampliada (E, C Por el teorema 35, las ecuaciones AX = B y EX = C tienen la misma solución Teorema 36 Consideremos la ecuación matricial EX = C ( donde C = (c,,c m y E M m n (F es una matriz escalonada reducida con elementos [E] ij = e ij Supongamos además que E tiene r filas distintas de cero y que e iki = es el principal de cada fila E i, para todo i r Entonces: Si c j para algún j > r, entonces la ecuación no tiene solución 2 Si c j = para todo j > r, entonces

28 28 juan rada ( In a r = n implica que E =, donde es la matriz cero de tamaño (m n n, y la solución única de la ecuación es (c,,c n b r < n implica que la ecuación tiene infinitas soluciones: para cada p {,,n} \ {k,, k r } asignamos cualquier valor a x p y luego calculamos x ks para s = r, r,, en este orden, mediante la fórmula: [ x ks = c s ] e sj x j k s<j n (2 Demostración Por ser E escalonada reducida la ecuación matricial ( tiene la forma x k + e j x j = c x kr + k <j n e rj x j = c r k r<j n = c r+ = c m Es claro que si c j para algún j > r, entonces el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución 2 Supongamos entonces que c j = para todo j > r a Si r = n, entonces, como k < k 2 < < k n n resulta k i = i para todo i =,,n y así, al ser E escalonada reducida necesariamente ( In E = donde es la matriz (m n n formada por ceros Se deduce inmediatamente que la única solución es (c,, c n b Si r < n entonces {,,n} \ {k,,k r } Asignemos un valor en F a x p para cada p {,,n} \ {k,,k r } Como k < < k r, si j > k r, entonces x j tiene un valor en F asignado y podemos calcular [ x kr = c r ] e rj x j k r<j n

29 Matrices 29 Seguimos hacia atrás tomando las ecuaciones que se obtienen para s = r, r 2,,, en este orden, en cada paso sustituimos los valores de x j para j > k s que ya hemos calculado y determinamos el valor de x ks : [ x ks = c s ] e sj x j k s<j n En el teorema anterior, las variables x p, donde p {,,n} \ {k,,k r }, asociadas a la ecuación matricial EX = C, reciben el nombre de variables libres Estas son las variables que corresponden a las columnas de E que no contienen un principal; las variables x k,,x kr se llaman variables dependientes de la ecuación matricial EX = C Ejemplo 37 Vamos a resolver el sistema de ecuaciones x + 2y 3z = a 2x + 6y z = b x 2y + 7z = c Primero construimos la matriz ampliada (A, B 2 3 a 2 6 b 2 7 c y aplicamos sucesivamente las operaciones elementales ( f 2 ( 2, f 3 (,f 2, f 2 ( 2, f 32 (4 2 para llegar a la matriz 2 3a b 5 b 2a 2 2 c 5a + 2b Luego la ecuación AX = B tiene la misma solución que la ecuación EX = C, donde 2 3a b E = 5 2 y C = b 2a 2 c 5a + 2b Como E es escalonada reducida aplicamos la primera parte del teorema 36 para concluir que si c 5a + 2b, entonces la ecuación no tiene solución Si c 5a + 2b = entonces, por la parte 2b del teorema 36, deducimos que la ecuación tiene infinitas soluciones porque el número de filas distintas de cero de E es menor que el número de columnas: 2 < 3 En este caso, la variable z es la única variable libre, luego las soluciones de EX = C son de la forma ( 3a b 2z, b 2a z, z donde z toma cualquier valor en F

30 3 juan rada Corolario 38 Sea A M m n (F y B M m (F Si m < n, entonces el sistema de ecuaciones lineales homogéneo AX = tiene infinitas soluciones Demostración Sea E una matriz escalonada reducida equivalente por filas a A Entonces, las ecuaciones AX = y EX = tienen la misma solución Ahora, el número de filas r distintas de cero de E satisface r m < n Se deduce del teorema 36 que EX = tiene infinitas soluciones Finalizamos esta sección con el importante hecho de que si A M m n (F, entonces existe una única matriz escalonada reducida R tal que A f R Teorema 39 Si R, S M m n (F son matrices escalonadas reducidas y R f S, entonces R = S Demostración Primero que todo observamos que por el teorema 35, las ecuaciones matriciales RX = y SX = tienen la misma solución Ahora supongamos que R tiene un principal en la columna i Entonces, una de las ecuaciones del sistema RX = es x i + r i+ x i+ + + r n x n = y así, este sistema de ecuaciones no tiene solución con x i =, x i+ = = x n = Ahora, si no hubiera un principal en la columna i de S, entonces x i sería una variable libre, así, por el teorema 36 (parte 2b podemos construir una solución con x i =, x i+ = = x n = para el sistema de ecuaciones SX = Esto es una contradicción Así, los principales de R y S están ubicados en las mismas columnas Vamos a demostrar ahora que las filas de R y S son iguales Consideremos la fila de R ( ri+ r i+2 r n y la correspondiente fila de S ( si+ s i+2 s n Sea k tal que i + k n Si hay un principal en la columna k de R (o S, entonces, claramente, r k = s k = En caso contrario, x k sería una variable libre y de nuevo, por la parte 2b del teorema 36, la ecuación RX = tiene una solución con x k =, x p = para todo k p i + y x i = r k Esta es también una solución de la ecuación SX =, lo cual implica ( r k + s i+ + + s k + s k + s k+ + + s n = y así r k = s k Demostramos de esta manera que R y S tienen filas idénticas y por lo tanto, R = S Corolario 3 Si A M m n (F, entonces existe una única matriz escalonada reducida R tal que A f R

31 Matrices 3 Demostración Es consecuencia inmediata del teorema 34, el teorema anterior y el hecho de que la relación f es una relación de equivalencia sobre M m n (F A partir de este momento diremos que la matriz escalonada reducida R tal que A f R es la matriz escalonada reducida de A Tiene sentido ahora la siguiente definición Definición 3 Sea A M m n (F El rango de A, denotado por rgo (A, se define como el número de filas distintas de cero en la matriz escalonada reducida de A Ejemplo 32 Por el ejemplo 33, A = Por lo tanto, rgo (A = f El rango de una matriz está intimamente ligado a la solución de un sistema de ecuaciones lineales Corolario 33 Sea A M m n (F, B M m (F y  = (A, B la matriz ampliada Entonces: AX = B tiene una solución si, y sólo si, rgo (A = rgo ( ; 2 AX = B tiene una solución única si, y sólo si, rgo (A = rgo ( = n Demostración Las mismas operaciones elementales por fila que llevan la matriz A a la escalonada reducida E, llevan la matriz  = (A, B a la matriz Ê = (E, C Por el teorema 35, las ecuaciones AX = B y EX = C tienen exactamente las mismas soluciones Ahora, por el teorema 36 tenemos: EX = C tiene solución si, y sólo si, [C] j = para todo j > rgo (A si, y sólo si, Ê es la matriz escalonada reducida de (  si, y sólo si, rgo (A = rgo 2 EX = C tiene solución única si, y sólo si, [C] j = para todo j > rgo (A = n si, y sólo si, rgo (A = rgo ( = n EJERCICIOS Encuentre la matriz escalonada reducida y el rango de las siguientes matrices: A = 2 ; B = 2 ; 2 3

32 32 juan rada C = i + i 2 2i 2 Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a c 6x 4y + 4z = 28 3x 6y + 3z = 2 4x 2y + 8z = 34 x 2y + 3w 4z = 2 6x 5y + 6w 3z = 3 5x 2y + 7w 6z = 7 4x y + 6w 8z + 4u = 8 ; b 5x y 5w 4z + 7u = 22 3x 7y + 2w 5z + 4u = 9 ix ( + i y = ; d x 2y + z = x + 2iy z = ; 3 Determine los valores de k para que el sistema de ecuaciones lineales tenga: i una solución única; ii infinitas soluciones; y iii ninguna solución x + y + z = kx + 3y + 2z = 3 3x ky z = 2 4 Sea A = Para qué matrices B M 3 (R tiene solución el sistema AX = B? 5 Demuestre que si P, Q son soluciones del sistema homogéno AX =, entonces αp + βq es una solución de AX =, para todo α, β F 6 Sea A M m n (F y B M m (F Suponga que P es una solución del sistema de ecuaciones lineales AX = B Demuestre que cualquier otra solución de AX = B es de la forma P + Q, donde Q es una solución del sistema homogéneo AX = 7 Determine exactamente cuándo una matriz triangular superior n n tiene rango n 4 Matrices elementales Las operaciones elementales por filas tienen una interpretación a través de la multiplicación de matrices La matriz resultante al aplicar una operación elemental por filas a la matriz A se obtiene multiplicando la matriz A por una matriz, que llamaremos matriz elemental

33 Matrices 33 Definición 4 Una matriz elemental de M m (F es una matriz de la forma donde p, q {,,m} y λ F E pq = f pq (I m E p (λ = f p (λ (I m E pq (λ = f pq (λ (I m Ejemplo 42 Las siguientes matrices son matrices elementales en M 3 (C: E 23 =, E 2 (i = i y E 2 (4 = 4 La relación que existe entre las operaciones elementales por filas y las matrices elementales viene dada en el siguiente resultado Teorema 43 Sea A M m n (F Entonces E pq A = f pq (A; 2 E p (λa = f p (λ(a ; 3 E pq (λa = f pq (λ(a Demostración Vamos a demostrar 3, las demás las dejamos como ejercicio Sea ( e i =,,,,,,, i =,, m i Si i p, entonces (E pq (λ A i = (E pq (λ i A = e i A = A i = (f pq (λ (A i Por otra parte, (E pq (λ A p = (E pq (λ p A = (e p + λe q A = e p A + λe q A = A p + λa q = (f pq (λ(a p En otras palabras, el teorema 43 establece que efectuar una operación elemental por filas a una matriz equivale a multiplicar por la izquierda la matriz por una matriz elemental Luego la relación A f B equivale a decir que existen matrices elementales E,, E k tales que B = E k E A

34 34 juan rada Teorema 44 Las matrices elementales son invertibles Además, sus inversas son matrices elementales ( Demostración Demostraremos que E p (λ E p λ = Im Si i p, entonces ( ( ( ( ( ( E p (λ E p = (E p (λ λ i E p = e i E p = E p = e i i λ λ λ i Además, ( ( E p (λ E p λ p ( ( = (E p (λ p E p = (λe p E p λ λ ( = λ λ e p = e p Esto demuestra que E p (λe p ( λ = Im Similarmente se demuestra que E pq E pq = E pq (λe pq ( λ = I m ( ( = λ E p λ p Como consecuencia de este resultado tenemos la siguiente caracterización de las matrices invertibles Teorema 45 Sea A M n (F Las siguientes condiciones son equivalentes: A es invertible; 2 La ecuación AX = B tiene una única solución para todo B M n (F; 3 rgo (A = n; 4 A f I n ; 5 A es producto de matrices elementales Demostración 2 Supongamos que A es una matriz invertible Entonces, A ( A B = B y así X = A B es una solución de la ecuación AX = B Además, si AC = B, entonces, multiplicando por la inversa de A ambos lados obtenemos C = A B Es decir, la solución es única 2 3 Es consecuencia del corolario Si rgo (A = n, entonces las n filas de la matriz escalonada reducida R de A son distintas de cero, lo que obliga a que R = I n Así A f I n

35 Matrices Si A f I n, entonces, por el teorema 43 existen matrices elementales E,,E k tales que A = E k E I n = E k E 5 Es consecuencia de los teoremas 44 y 22 Tenemos ahora un método para calcular la inversa de una matriz En efecto, si A es invertible, entonces el teorema 34 nos indica cómo construir matrices elementales E,,E k tales que E k E A = I n En particular, E k E = A Además, E k E (A, I = (E k E A, E k E I = ( I, A Ejemplo 46 Calculemos la inversa de la matriz A = f 2( /2 - /2 3-2 f 32( /2 3/2 -/2 3-2 Por lo tanto, A = 29/2-7/2 7/2-5/2 3/2 -/2 3-2 f 23(-/ f 2(-3 f 3(- f 2(/ /2 3/2 -/ /2-7/2 7/2-5/2 3/2 -/2 3-2 f 3(2 Corolario 47 Sean A, B M m n (F Entonces, A f invertible P M m (F tal que B = PA B si, y sólo si, existe una matriz Demostración Si A f B, entonces existen matrices elementales E,, E k tales que B = E k E A Luego B = PA, donde P = E k E M m (F es invertible Recíprocamente, supongamos que B = QA, donde Q es una matriz invertible Entonces, por el teorema 45, Q = E r E, para ciertas matrices elementales E,,E r En consecuencia, B = E r E A

36 36 juan rada y así, A f B EJERCICIOS Determine si las matrices dadas son invertibles y, en caso de serlo, calcule la inversa A = 5 ; B = 5 y Dada la matriz C = A = i + i 2 2i 3 2 encuentre matrices elementales E,,E k tales que E k E A = I 3 Demuestre que la relación equivalencia por filas es una relación de equivalencia sobre el espacio de matrices 4 Demuestre que (E pq = E pq, (E p (λ = E p (λ y (E pq (λ = E qp (λ 5 Demuestre que una matriz triangular superior es invertible si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son diferentes de cero 6 Demuestre que si T es una matriz triangular superior invertible, entonces T también es triangular superior 7 Considere la matriz I pq M m (F que tiene todos los elementos excepto el elemento pq que es Es decir, [I pq ] pq = y [I pq ] ij = si i p o j q Demuestre que { si q r I pq I rs = si q = s I ps 8 Demuestre que una matriz B M n (F es escalonada reducida e invertible si, y sólo si, B es la identidad

37 CAPÍTULO 2 DETERMINANTES En este capítulo introducimos el determinante de una matriz y estudiamos algunas conexiones con el cálculo de la matriz inversa y la solución de sistemas de ecuaciones lineales 2 Función determinante Definición 2 Sea D : M n (F F una función Decimos que D es una función determinante si satisface las siguientes condiciones: Si B se obtiene a partir de A multiplicando la fila i de A por α F, entonces D (B = αd (A ; 2 Si las matrices A, B, C son idénticas excepto en la fila i, y la fila i de C es la suma de la fila i de A y la fila i de B, entonces D (C = D (A + D (B; 3 Si A tiene dos filas idénticas entonces D (A = y 4 D (I n = Una función D : M n (F F que verifica las primeras dos condiciones en la definición 2 se dice que es n-lineal; el nombre lo justificaremos en el capítulo 4 Si además D satisface la tercera condición, entonces se dice que D es alternada Demostraremos en esta sección que de existir una función determinante D : M n (F F, esta es única Además, desarrollaremos las propiedades más importantes que poseen estas funciones Dejaremos para la sección 23 la construcción explícita de la (única función determinante M n (F F Comenzamos estudiando el comportamiento de una función determinante cuando una operación elemental por fila es aplicada a una matriz

38 38 juan rada Teorema 22 Sea D : M n (F F una función alternada y sea A M n (F Entonces: Si B se obtiene a partir de A multiplicando una fila de A por α F, entonces D (B = αd (A ; 2 Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos filas, entonces D (B = D (A; 3 Si B se obtiene a partir de A sumando un múltiplo de una fila a otra, entonces D (B = D (A Demostración Es la condición de la definición 2 2 Si A = A i A j entonces B = A j A i Sea C = A i + A j A i + A j Entonces al ser D una función alternada se obtiene = D (C = D A i A i + A j + D A j A i + A j = D A i A i + D A i A j + D A j A i + D A j A j = D (A + D (B

39 Determinantes 39 3 Si A = A i A j D (B = D A i + αa j entonces B = y así A j A i A j + D αa j A j = D A i A j + αd A j A j = D (A Por el teorema 34 y el teorema 22, si D : M n (F F es alternada, entonces, para todo A M n (F, D (A = αd (R para α F, donde R es la matriz escalonada reducida de A Calcular D (R es fácil, como veremos en nuestro próximo resultado Teorema 23 Sea D : M n (F F una función determinante y A M n (F una matriz triangular Entonces D (A = [A] [A] 22 [A] nn Demostración Supongamos primero que [A], [A] 22,,[A] nn son todos diferentes de cero Entonces, multiplicando cada fila por [A] ii y aplicando la parte del teorema 22 obtenemos que D (A = [A] [A] 22 [A] nn D (B donde B es una matriz triangular con todos los coeficientes en la diagonal igual a Ahora, aplicando la operación elemental en la parte 3 del teorema 22 repetidas veces nos lleva a que B es equivalente por filas a I n y D (B = D (I n = En consecuencia, D (A = [A] [A] 22 [A] nn Si [A] ii = para algún i entonces la matriz escalonada reducida R de A tiene una fila, lo cual implica que D (A = = [A] [A] 22 [A] nn Teorema 24 Si existe una función determinante D : M n (F F, esta es única Demostración Supongamos que D, D : M n (F F son funciones determinantes y sea A M n (F Si R es la (única matriz escalonada reducida de A entonces, por el teorema 22 tenemos que D (A = αd (R y D (A = αd (R para algún α F Como R es una matriz triangular, se deduce del teorema 23 que D (R = D (R = [R] [R] 22 [R] nn

40 4 juan rada y así D (A = D (A A partir de ahora denotaremos por det : M n (F F a la única función determinante (que existe como veremos en la sección 23 y diremos que det (A es el determinante de la matriz A M n (F Los teoremas 22 y 23 nos proporcionan un método para calcular el valor det (A para cualquier matriz A M n (F Ejemplo 25 Consideremos la matriz A = f 2( f 3( Entonces f 32( Luego, usando los teoremas 22 y 23 obtenemos det EJERCICIOS = 2 = 2 Calcule el determinante de la matrices A y B dadas a continuación: A = y B = Demuestre que en general, det (A + B det (A + det (B 3 Si una matriz A tiene una fila, entonces det (A = 4 Demuestre que det (E pq =, det (E p (λ = λ y det (E pq (λ = 5 Sea α F Demuestre que para cualquier matriz A M n (F se tiene que det (αa = α n det (A 6 Demuestre que si A, B M n (F son matrices triangulares, entonces det (AB = det (A det (B

41 22 Propiedades del determinante Determinantes 4 Vamos ahora a deducir algunas propiedades importantes de la función determinante det : M n (F F Teorema 22 Una matriz A M n (F es invertible si, y sólo si, det (A Demostración Si A es invertible, entonces, por el teorema 45, A I n Luego por el f teorema 22, det (A = αdet (I n = α Recíprocamente, si A no es invertible, entonces rgo (A < n por el teorema 45 Es decir, A R, donde la matriz escalonada reducida R de f A tiene sólo ceros en la última fila En particular, det (R = Así, det (A = βdet (R = Teorema 222 Si A, B M n (F, entonces det (AB = det (A det (B Demostración Si A no es invertible, entonces, por el teorema 22, det (A = Por otro lado, usando el corolario 47 tenemos que R = UA, donde R es la matriz escalonada reducida de A y U una matriz invertible Además, por el teorema 45, la última fila R n de R es, esto implica que (RB n = R n B = Como RB = U(AB, se deduce del corolario 47 que AB f RB Se obtiene entonces por el teorema 22 que det (AB = αdet (RB = α = Supongamos ahora que A es invertible Entonces, por el teorema 45, A = E E k, donde E j es una matriz elemental para cada j =,,k Luego el problema se reduce a demostrar que det (EB = det (E det (B para cualquier matriz elemental E Por el teorema 43, teorema 22 y teniendo en cuenta que det (E pq =, det (E p (λ = λ y det (E pq (λ = tenemos que det (E pq B = det (f pq (B = det (B = det (E pq det (B det (E p (λ B = det (f p (λ(b = λdet (B = det (E p (λ det (B det (E pq (λ B = det (f pq (λ (B = det (B = det (E pq (λdet (B Corolario 223 Si A M n (F es invertible, entonces det (A = det(a Demostración Observamos primero que por el teorema 22, det (A Luego, por el teorema 222, = det (I n = det ( AA = det (Adet ( A Teorema 224 Si A M n (F, entonces det (A = det ( A

42 42 juan rada Demostración Si A no es invertible, entonces, por el teorema 25, A tampoco es invertible Luego por el teorema 22, = det (A = det ( A Supongamos ahora que A es invertible Entonces, por el teorema 45 existen matrices elementales E,,E k tales que A = E k E Luego por el teorema 25 parte 4, A = E E k Así, por el teorema 222, det (A = det (E k det (E y det ( A = det ( ( Ek det E Bastaría con demostrar que det (E = det ( E para toda matriz elemental En el caso de las matrices elementales del tipo E pq y E p (λ se cumple porque son matrices simétricas Finalmente, como (E pq (λ = E qp (λ, entonces ( det E pq (λ = det (E qp (λ = = det (E pq (λ Como consecuencia de este resultado obtenemos que el teorema 22 sigue siendo válido cuando sustituimos fila por columna Teorema 225 Sea A M n (F Entonces: Si B se obtiene a partir de A multiplicando una columna de A por α F, entonces det (B = αdet (A; 2 Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos columnas, entonces det (B = det (A; 3 Si B se obtiene a partir de A sumando un múltiplo de una columna a otra, entonces det (B = det (A Demostración En cada caso aplicamos el teorema 22 a la matriz traspuesta y luego usamos teorema 224 EJERCICIOS La matriz N M n (F se llama nilpotente si N k = para algún entero k Demuestre que si N es nilpotente, entonces det (N = 2 Una matriz A M n (F se llama idempotente si A 2 = A Cuáles son los valores posibles para det (A? 3 Demuestre que para cualesquiera dos matrices A y B se tiene que det (AB = det (BA 4 Sean A y B matrices n n tales que AB = BA Si n es impar demuestre que A o B no es invertible 5 Una matriz ortogonal es una matriz n n que satisface AA = I n Demuestre que si A es ortogonal entonces det (A = ±

43 Determinantes Existencia de la función determinante Vamos a demostrar en esta sección que existe una función determinante M n (F F Para eso necesitamos primero recordar algunas nociones básicas de la teoría de permutaciones Definición 23 Una permutación de {,, n} es una biyección σ : {,,n} {,,n} Usualmente la denotamos por σ σ n, donde σ i es la imagen de i bajo σ S n es el conjunto de las permutaciones de {,,n} Ejemplo 232 Las permutaciones de S 2 son 2 y 2 En S 3 hay 6 permutaciones: 23, 32, 23, 23, 32 y 32 Si σ S n entonces la función inversa la denotamos por σ, de manera que σσ = σ σ = ε, donde ε = n es la permutación identidad Claramente σ S n y σ = (σ Por otra parte, la composición de permutaciones es también una permutación Es decir, si σ, τ S n, entonces στ S n Ejemplo 233 Consideremos las permutaciones σ = 3524 y τ = 2543 de S 5 Entonces σ = 4253 y στ = 3425 Definición 234 Una inversión de una permutación σ S n es un par (j, k tal que j < k n y σ j > σ k El signo de σ S n se define como sgn (σ = ( m, donde m es el número de inversiones de σ En otras palabras, el signo de una permutación σ S n es cuando tiene un número par de inversiones y cuando tiene un número impar de inversiones Ejemplo 235 Consideremos la permutación S 6 Entonces las inversiones de esta permutación son (2, 3,(2, 4,(5, 6 y, en consecuencia, sgn (42365 = Ejemplo 236 Fijemos i < j n y definamos la permutación τ S n como τ i = j, τ j = i y τ k = k para todo k {,, n} tal que k i y k j Esto es, τ = (i (j (i + (j (i (j + n

44 44 juan rada Entonces las inversiones de τ son: (i, i +,(i, i + 2,,(i, j y (i +, j,(i + 2, j,,(j, j En la primera lista aparecen j i inversiones y en la segunda lista j i Por lo tanto, sgn (τ = ( 2(j i = La permutación definida en el ejemplo 236 recibe el nombre de trasposición Observamos que si σ S n y τ es la trasposición que mueve a i, j, entonces στ es la permutación que se obtiene a partir de σ intercambiando las posiciones i y j Teorema 237 Si τ, σ S n, entonces sgn (τσ = sgn (τ sgn (σ Demostración Consideremos el polinomio p = p (x,,x n = (x i x j y sea σ S n i<j Definamos σ (p = ( xσi x σj Como σ es biyectiva, entonces vamos a tener que σ (p = p i<j o σ (p = p De hecho, σ (p = p si, y sólo si, hay un número par de términos en σ (p de la forma (x r x s tales que r > s Es decir, existen un número par de (i, j tales que i < j, σ i = r > s = σ j Este es precisamente el número total de inversiones de σ Así hemos demostrado que para cada σ S n σ (p = sgn (σ p Ahora sean τ, σ S n Entonces sgn (τσ p = τσ (p = τ [σ (p] = τ [sgn (σ p] = sgn (τ sgn (σp Esto implica que sgn (τσ = sgn (τ sgn (σ Ahora estamos en condiciones de definir explícitamente la función determinante det : M n (F F Teorema 238 La función D : M n (F F definida por D (A = σ S n sgn (σ[a] σ [A] 2σ2 [A] nσn con A M n (F, es una función determinante

45 Determinantes 45 Demostración Vamos a demostrar que D satisface las cuatro condiciones de la definición 2 Supongamos que B M n (F se obtiene a partir de A M n (F multiplicando la fila i de A por α F Entonces, para todo j =,, n tenemos que [B] kj = [A] kj si k i y [B] ij = α [A] ij Luego, D (B = σ S n sgn (σ [B] σ( [B] 2σ(2 [B] iσ(i [B] nσ(n = σ S n sgn (σ [A] σ( [A] 2σ(2 α [A] iσ(i [A] nσ(n = α σ S n sgn (σ [A] σ( [A] 2σ(2 [A] iσ(i [A] nσ(n = αd (A 2 Supongamos que A, B, C M n (F son idénticas excepto en la fila i, y la fila i de C es la suma de la fila i de A y la fila i de B Es decir, para todo j =,,n tenemos que [C] kj = [A] kj = [B] kj si k i y [C] ij = [A] ij + [B] ij Entonces D (C = sgn (σ[c] σ( [C] 2σ(2 [C] iσ(i [C] nσ(n σ S n = sgn (σ[c] σ( [C] 2σ(2 ([A] iσ(i + [B] iσ(i [C] nσ(n σ S n = σ S n sgn (σ[a] σ( [A] 2σ(2 [A] iσ(i [A] nσ(n + σ S n sgn (σ [B] σ( [B] 2σ(2 [B] iσ(i [B] nσ(n = D (A + D (B 3 Supongamos que A tiene dos filas iguales, digamos las filas que están en la posición i y la posición k, donde i < k n Es decir, para todo j =,, n tenemos que [A] ij = [A] kj Sea τ la trasposición tal que τ i = k y τ k = i Entonces, para todo σ S n se tiene que [A] pσp = [A] p(στp si p i y p k [A] iσi [A] kσk = [A] k(στk = [A] i(στi y por el ejemplo 236 y el teorema 237, sgn (τσ = sgn (τ sgn (σ = sgn (σ Consideremos la partición de S n dada por los dos conjuntos Γ = {σ S n : σ i < σ k }

46 46 juan rada y Ω = {σ S n : σ i > σ k } Observamos que existe una biyección Γ Ω dada por σ στ, para todo σ S n Entonces D (A = sgn (σ [A] σ [A] iσi [A] kσk [A] nσn σ S n = σ Γ sgn (σ[a] σ [A] iσi [A] kσk [A] nσn + σ Ω sgn (σ [A] σ [A] iσi [A] kσk [A] nσn = σ Γ sgn (σ[a] σ [A] iσi [A] kσk [A] nσn + σ Γ sgn (στ [A] (στ [A] i(στi [A] k(στk [A] n(στn = σ Γ sgn (σ[a] σ [A] iσi [A] kσk [A] nσn = σ Γ sgn (σ [A] σ [A] iσi [A] kσk [A] nσn 4 D (I n = σ S n sgn (σ [I n ] σ [I n ] nσn = sgn (2 n [I n ] [I n ] nn = Como consecuencia de la propiedad de unicidad que tiene la función determinante (teorema 24 escribiremos de ahora en adelante det (A = σ S n sgn (σ [A] σ [A] 2σ2 [A] nσn (2 para todo A M n (F Ejemplo 239 Sea A M 2 (F con elementos [A] ij = a ij, para todo i, j 2 Entonces, S 2 = {2, 2}, donde sgn (2 = y sgn (2 = y, en consecuencia, det (A = a a 22 a 2 a 2 Ejemplo 23 Sea A M 3 (F con elementos [A] ij = a ij, para todo i, j 3 Entonces S 3 = {23, 23, 32, 32, 23, 32} donde sgn (23 = sgn (23 = sgn (32 =

47 Determinantes 47 y Por lo tanto, sgn (32 = sgn (23 = sgn (32 = det (A = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 EJERCICIOS Calcule el signo de las siguientes permutaciones: 3254; 2453; Usando la fórmula (2, calcule el determinante para las siguientes matrices: ( 2 4 A = y B = La expansión de Laplace Vamos a presentar en esta sección un nuevo método para calcular el determinante de una matriz Definición 24 Sea A M n (F Consideremos la matriz A ij M n (F obtenida a partir de A al eliminar la fila i y la columna j de A Entonces A ij se llama la submatriz principal ij de A El escalar ( i+j det (A ij se llama el cofactor de [A] ij Ejemplo 242 Para la matriz A = y el cofactor de [A] 23 es ( = A 23 = ( 3 7, la submatriz principal 23 de A es Vamos a presentar una forma recursiva para calcular el determinante de una matriz en términos de los cofactores de la matriz Teorema 243 Sea A M n (F Entonces para cada i =,, n n det (A = ( i+j [A] ij det (A ij y para cada j =,,n det (A = j= n ( i+j [A] ij det (A ij i=

48 48 juan rada i= Demostración Demostraremos la segunda fórmula Por el teorema 24 basta ver que la función Ψ : M n (F F dada por Ψ (A = n ( i+j [A] ij det (A ij es una función determinante Supongamos que B M n (F se obtiene a partir de A M n (F multiplicando la fila k de A por α F Entonces para todo j es claro que B kj = A kj y así, [B] kj det (B kj = α [A] kj det (A kj Si i k, entonces, por la (n -linealidad del determinante tenemos que para todo j y como [A] ij = [B] ij concluimos que det (B ij = αdet (A ij [B] ij det (B ij = α [A] ij det (A ij Esto demuestra que Ψ (B = αψ (A 2 Supongamos que A, B, C M n (F son idénticas excepto en la fila k, y la fila k de C es la suma de la fila k de A y la fila k de B Para todo j tenemos que C kj = A kj = B kj y así, [C] kj det (C kj = [A] kj det (A kj + [B] kj det (B kj Si i k, entonces, por la (n -linealidad del determinante tenemos que para todo j y al ser [C] ij = [A] ij = [B] ij entonces det (C ij = det (A ij + det (B ij [C] ij det (C ij = [A] ij det (A ij + [B] ij det (B ij Esto demuestra que Ψ (C = Ψ (A + Ψ (B 3 Supongamos que A tiene dos filas iguales, digamos las filas que están en la posición k y la posición l, donde k < l n Si i k o i l, entonces, claramente, det (A ij = para todo j porque es el determinante de una matriz que tiene dos filas iguales Por otra parte, como A lj se obtiene a partir de A kj intercambiando la fila l por la filas k, k +,,l 2, se deduce de la parte del teorema 22 que ( l k det (A lj = det (A kj En consecuencia, 4 Ψ (I n = Ψ (A = ( k+j [A] kj det (A kj + ( l+j [A] lj det (A lj n i= = ( k+j [A] kj ( l k det (A lj + ( l+j [A] lj det (A lj = ( j+l [A] kj det (A lj + ( l+j [A] kj det (A lj = ( i+j [I n ] ij det ((I n ij = ( 2j [I n ] jj det ((I n jj = det (I n = Las fórmulas para el determinante de una matriz encontradas en el teorema 243 se llaman la expansión de Laplace del determinante de A por la fila i y por la columna j respectivamente

49 Ejemplo 244 Sea A = f 2( 2 Luego por el teorema 22, det (A = det por la columna y obtenemos Determinantes 49 Consideremos las siguientes operaciones elementales: f 3( ( 2 det (A = [A] det (A = det Usamos ahora la expansión de Laplace = 6 4 = 2 Presentamos a continuación una técnica para construir la inversa de una matriz a través de los cofactores de una matriz Definición 245 La adjunta de A M n (F, que denotamos por adj (A, la definimos como Ejemplo 246 Para la matriz [adj (A] ij = ( i+j det (A ji A = ( tenemos, por ejemplo, que [adj (A] 32 = ( 5 3 det = 4 De manera similar se calculan todos los coeficientes [adj (A] ij 7 de la matriz adj (A obteniendo así la matriz adj (A = Relacionamos la adjunta de una matriz con la inversa en nuestro próximo resultado Teorema 247 Si A M n (F, entonces Aadj (A = det (AI n En particular, si A es invertible, entonces A = adj (A det (A