Reaseguro finite risk en ambiente financiero estocástico

Transcripción

1 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco Pons Cardell, M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. Departamento de Matemátca Económca, Fnancera y Actuaral Unversdad de Barcelona ESUMEN Una de las característcas del reaseguro fnte rsk es la exstenca de una cuenta de experenca, que está formada por las prmas que cobra el reasegurador, unto con su rendmento fnancero, y su fnaldad es fnancar los snestros que éste ha de satsfacer a la cedente en el plazo establecdo. El obetvo de este trabao es dseñar un modelo que permta determnar el saldo estmado o reserva que debe de tener en cada perodo anual la cuenta de experenca para garantzar su solvenca dnámca, tenendo en cuenta la experenca de snestraldad de la cartera del reasegurador y de cada cedente. Para el cálculo de la prma de reaseguro y del saldo de la cuenta de experenca se asumrá ambente fnancero estocástco, de modo que la prma de reaseguro dependerá tambén de otros parámetros como la volatldad del tpo de nterés o de la aversón al resgo.

2 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. ABSTACT One of the characterstcs of the fnte rsk rensurance s the exstence of an found of experence, whch s consttuted by the premums charged by the rensurer, together wth hs fnancal ncomes, and hs obectve s to fnance the clams to be satsfed to the nsurer n the specfed perod. The obectve of ths work s to desgn a model that allows us to determnate the reserve that the found of experence should have n every annual perod n order to guarantee ts dynamc solvency, takng nto the experence of the clams of the rensurer s portfolo and of each nsurance company. To calculate the rensurance premum and the reserve of the found of experence, stochastc fnancal envronment s assumed, so that the rensurance premum wll also depend on other parameters such as nterest rate volatlty or rsk averson. Palabras claves: easeguro; fnte rsk; credbldad; cuenta de experenca; solvenca; ambente estocástco; volatldad. Keywords: ensurance; fnte rsk; credblty; found of experence; solvency; stochastc envronment; volatlty. Área temátca: Matemátca Fnancera y Actuaral.

3 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco. INTODUCCIÓN El fnte rsk es una forma de reaseguro que se srve de los msmos nstrumentos que el reaseguro tradconal, pero presenta unos rasgos característcos. Los contratos son pluranuales lo que permte consttur una relacón contractual estable con la compañía de seguros, tambén llamada cedente, a medo y largo plazo. El reasegurador consttuye un fondo denomnado cuenta de experenca, que está ntegrado por las prmas de reaseguro, y por su producto fnancero, y de la msma son lqudados los snestros a su cargo, por tanto la prma de reaseguro depende del tpo de nterés que genera la cuenta de experenca. El reaseguro fnte rsk no sólo cubre de forma lmtada el resgo de suscrpcón, es decr, el resgo que los snestros reales sean mayores de lo esperado, como sucede en las modaldades de reaseguro tradconales, sno que tambén, asume otros tpos de resgos, como el resgo de tempos o tmng rsk y el resgo de nterés. Por últmo comentar que la cedente puede contratar un reaseguro fnte rsk en cualquera de las modaldades de reaseguro tradconales, nosotros estudaremos las modaldades Cuota Parte y Exceso de Pérdda. El obetvo de este trabao se centra en el análss de la solvenca dnámca de la cuenta de experenca de cada una de las cedentes que ntegran la cartera del reasegurador. Para calcular el saldo estmado o reserva de la cuenta de experenca al fnal de cada perodo anual vamos a suponer que la ley fnancera que rge dcha cuenta, es decr, aquella que nos proporcona su rendmento fnancero durante el horzonte temporal consderado, presenta un comportamento estocástco, por tanto, para un nstante dado, τ, la ley fnancera asocada a dcho nstante, %ρ ( τ ), es una varable aleatora. Para calcular la prma de reaseguro vamos a aplcar la msma ley fnancera que rge la cuenta de experenca y el reasegurador asumrá la msma stuacón de resgo que la entdad fnancera donde está depostada dcha cuenta. Trabaaremos con un factor de captalzacón estocástco, posterormente sustturemos la evolucón estocástca del proceso por una trayectora determnada de acuerdo con la regla de decsón adoptada, esto es, según el crtero de decsón asumdo. Vamos a plantear la ecuacón de equlbro al fnal del horzonte temporal de la cuenta de experenca, sn aplcar la propedad de escndbldad fnancera en el factor de captalzacón estocástco, ya que éstos, según el crtero de decsón que asumamos, no 3

4 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. sempre la satsfacen; de esta manera garantzamos que el saldo de la cuenta de experenca al fnal del plazo de la operacón sea cero, ya que utlzaremos el msmo factor de captalzacón en el cálculo de la prma y en el cálculo del saldo de la cuenta de experenca al fnal de cada año. Vamos a asumr que la cartera del reasegurador está formado por un conunto de cedentes que operan en un msmo ramo, que conocemos las dstrbucones de probabldad del ramo obeto de estudo y que hay ndependenca entre las cedentes y dentro de cada cedente. Supondremos que el reasegurador asume todos los resgos de la operacón y corresponde al reasegurador garantzar la solvenca de la cuenta de experenca, por tanto, las posbles aportacones que deban realzarse a ésta serán a su cargo. A la hora de determnar los parámetros de las dstrbucones de probabldad de cada cedente, no sólo tendremos en cuenta las característcas comunes, msmo ramo y pertenenca a la msma cartera del reasegurador, sno tambén la hstora de snestraldad de cada una de ellas, utlzando para ello modelos de credbldad. En el modelo que plantearemos calcularemos, en el orgen de la operacón, el saldo estmado de la cuenta de experenca al fnal de cada año y supondremos que los parámetros de las funcones de dstrbucón, y el resto de varables del modelo, son conocdos en el orgen del contrato y se mantenen constantes a lo largo del plazo. Para estmar la snestraldad futura a cargo del reasegurador utlzaremos el método de smulacón de Monte-Carlo.. FACTO DE CAPITALIZACIÓN ESTOCÁSTICO S la ley fnancera que rge la cuenta de experenca para el horzonte temporal consderado presenta un comportamento estocástco, para un nstante dado, τ, la ley fnancera asocada a dcho nstante, %ρ ( τ ), es una varable aleatora. S asummos que el tanto efectvo estrcto sgue la sguente ecuacón dferencal estocástca para el horzonte temporal consderado: sendo: ( ) [ ] % ρτ ( ) dτ= ρ dτ+ σ dw τ τ T, T' 4

5 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco - ρ : valor medo esperado de la ley fnancera en el ntérvalo [ TT, '], - σ : parámetro constante que recoge la volatldad de la ley fnancera en el ntervalo [ TT, '], - W ( τ ): proceso de Wener estandar que perturba el tanto efectvo estrcto, el factor fnancero de captalzacón estocástca se obtene a partr de la solucón de la sguente ecuacón dferencal : ( τ) = ( τ) % ρ( τ) τ = ( τ) ρ + ( τ) σ ( τ) τ [, '] dc% C% d C% dt C% dw T T donde %C ( τ ) es la varable aleatora cuantía equvalente en τ. Aplcando el Lema de Itô en el ntervalo [ TT, '], con la condcón de contorno ncal %C ( T) = C( T ), la solucón de la ecuacón dferencal es: ( ') ( ) C% T = C T e σ ρ + ( T ' T) σ [ W( T ') W( T) ] de donde el factor fnancero de captalzacón estocástca vene dado por: ( ') ( ) % % C T f( T, T') = = e C T σ ρ + ( T ' T) σ [ W( T ') W( T) ] Tenendo en cuenta que WT ( ') WT ( ) N(, T' T) entonces: f% ( T, T ') logn σ ρ T ' T, σ T ' T sendo su esperanza matemátca y su varanza, respectvamente, ( ) ( ) % ( T' T) (, ') y ( ) ρ ( T (, ') ' T ) σ ( T ' T Var f% T T = e e ) E f T T = e ρ S defnmos %Z ( T' T) = ( T' T) + [ W( T') W( T) ] σ ρ σ y t = T' T podemos % Z% () t = y escrbr ( ') ( ) C T C T e (, ')= % % Z () t f TT e, donde Z% σ () t N ρ t, σ t. Una demostracón a través del Lema de Itô de la solucón de la ecuacón dferencal estocástca puede verse entre otros en Mallars, A.G. et al (98), pp. 8-9 y en Shuss, Z. (98), pp

6 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J... Crteros de decsón Adoptar un crtero de decsón supondrá susttur la evolucón estocástca del proceso por una trayectora determnada de acuerdo con la regla de decsón adoptada. Hay dstntos crteros de decsón, sguendo a Alegre-Mayoral consderaremos los crteros de decsón de la esperanza matemátca, el del percentl y el de la desvacón tpo. Crtero de la esperanza matemátca Este crtero lo vamos a smbolzar por γ E λ y se defne como ( ') = ( ') λ ( ') γe λ CT ECT ECT % % %, donde λ es el recargo de segurdad que recoge el nvel de aversón al resgo del decsor proporconalmente a la esperanza de la cuantía fnal estocástca. C% T = C T f% T T resulta, Partendo de la expresón general ( ') ( ) (, ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ) % (, ') t = CT ( ) ( ) E f% ρ λ ( TT, ') = CT ( ) ( λ) e γe C% T = E C% T E C% T = E C T f T T λ λ λ = Por tanto, el factor fnancero asocado a este crtero vene dado por la sguente expresón: C% ( T' ) ( ) γ E λ ρ t ρ + t ln( λ) γe f% ( T, T') λ = = ( λ) e = e = fe T, T' CT Cabe destacar que (, ') E ( ) f TT es ndependente de la volatldad, σ, que perturba la ley fnancera y no verfca la propedad de escndbldad fnancera. En el caso partcular que λ =, (, ') f TT concde con el de una ley fnancera estaconara certa, E cumplendo la propedad de la escndbldad fnancera y la de recprocdad. Como el parámetro λ desplaza la funcón (, ') que s [ ] f TT haca abao, sempre se verfca E λ > T*, T' / f (, T*) <, por tanto no tene sentdo fnancero E consderar λ > en nuestro caso, ya que pueden producrse snestros dentro del ntervalo [, T *]. Ver Mayoral,. (997), pp

7 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco Crtero del percentl Este crtero lo vamos a smbolzar por γ ε, donde ε es la probabldad que con la captalzacón estocástca resulte un valor fnal nferor al equvalente certo dado por el crtero. Partendo de la expresón general ( ') ( ) (, ') % ε C% T = C T f% T T, el crtero del percentl se defne como γ %C ( T' ) = C( T) γ f ( T, T' ) donde P f% ( T, T' ) f% ( T, T' ) ε < γ ε = ε. S tenemos en cuenta que Z% σ () t N ρ t, σ t, su percentl y ε vene dado por: σ yε = ρ t+ zε σ t sendo z ε el percentl ε de la N (,) tal que s (,) [ ] ξ N P ξ < z ε = ε. Entonces γ %f ( TT, ') ε vendrá dado por la transformacón exponencal del percentl de la varable aleatora %Z () t, y ε : % ( ') ( ) σ γ CT ρ t zε σ t ε y + ε γ ε f% ( TT, ' ) = = e = e = fε ( TT, ') C T Este crtero ntroduce dos nuevos parámetros respecto al factor fnancero certo asocado a una ley estaconara: σ, parámetro que recoge la varabldad del preco en el mercado fnancero, y ε, parámetro subetvo que recoge el nvel de aversón al resgo del decsor. Consderaremos que el decsor tene preferenca por el resgo s las varacones del factor fnancero ante las varacones en la volatldad del tanto nstantáneo tenen el msmo sgno, en caso contraro dremos que el decsor tene aversón al resgo. Cuanto más arresgado es el decsor la funcón fε ( TT, ') proporcona mayores valores fnales equvalentes. Por tanto, en este crtero se pueden contemplar dos stuacones frente al resgo por parte del decsor, aversón o preferenca por el resgo según el valor que tome ε. El comportamento de la funcón fε ( TT, ') depende del parámetro de subetvo ε : S ε,5 entonces fε ( TT, ') es crecente t >. 7

8 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. S ε <,5 entonces fε ( TT, ') no sempre es crecente t >. Cabe destacar que fε ( TT, ') no verfca la propedad de escndbldad fnancera. Crtero de la desvacón tpo Este crtero lo vamos a smbolzar por γ D, donde D es el símbolo de la desvacón tpo, γ D recoge la aversón al resgo del decsor. C% T ' =, ', resulta, y se defne como CT ( ') = ECT ( ') k DCT ( ') Partendo de la expresón general ( ) ( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ( ) %(, ') ( ) %(, ') γ D C% T = E C% T k D C% T E C T f T T k D C T f T T = = t t t = CT ( ) E f% ( TT, ') k D f% ( TT, ') CT ρ ρ σ = ( ) e k e ( e ) = ρ t σ t ( ) ( ) = CT e k e De modo que el factor fnancero asocado a este crtero es: ( ') γ D CT % t t γ D f% ( TT, ') = = e k e = f TT, ' C T ρ σ ( ) ( ) D ( ) El factor obtendo ntroduce tambén dos nuevos parámetros respecto al factor fnancero certo asocado a una ley estaconara: σ, parámetro que recoge la varabldad del preco en el mercado fnancero, y k, parámetro subetvo que recoge el nvel de aversón al resgo del decsor. (, ') f TT es nversamente proporconal a k y D σ. Sólo tene sentdo fnancero para aquellos valores de k que satsfagan (, ), [, '] f T T T T T T y T > T. D Cabe destacar tambén que la funcón (, ') f TT tampoco cumple la propedad de la D escndbldad fnancera. En los casos partculares que k =, o ben, σ =, (, ') f TT e ρ D t =, esto es, concde con el factor fnancero certo de una ley estaconara. 8

9 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco 3. PIMA DE EASEGUO FINITE ISK Y SALDO ESTIMADO DE LA CUENTA DE EXPEIENCIA En el cálculo de la prma de reaseguro fnte rsk hay que tener en cuenta no sólo el coste y el número de snestros sno tambén el momento de pago de los msmos, de manera que el proceso de resgo vene defndo por las sguentes varables aleatoras: donde: ( X, X,..., X, T, T,..., T, N ) Nt Nt t - N t : Varable aleatora número de snestros ocurrdos en el ntervalo[,n ], con n expresado en años. - X : Varable aleatora coste del -ésmo snestro ocurrdo en el ntervalo [,n ], con =,,..., Nt. Asumremos que son ndependentes y están equdstrbudas. - T : Varable aleatora momento de pago, expresado en años, del -ésmo snestro, con =,,..., Nt. En el reaseguro Cuota Parte, la varable aleatora coste del snestro -ésmo a cargo del reasegurador, = N vene dada por: X, con,,..., t X k X k X < M = M k X M donde k es el coefcente de cesón al reasegurador, expresado en tanto por uno, y M es el límte del contrato de reaseguro, y en el reaseguro Exceso de Pérdda por: X < M X X M M X M M M X M + M = + donde M es el pleno de retencón de la cedente y M es la capacdad máxma del contrato del reasegurador. Para calcular la prma de reaseguro trabaaremos con un factor de captalzacón estocástco y el reasegurador replcará la msma poscón respecto al resgo que la entdad fnancera que gestona la cuenta de experenca, por tanto, aplcará la msma ley fnancera y parámetros de resgos que rgen dcha cuenta. 9

10 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. Plantearemos la ecuacón de equlbro al fnal del horzonte temporal de la cuenta de experenca, sn aplcar la propedad de escndbldad fnancera en el factor de captalzacón ya que, como se ha vsto anterormente, no sempre se cumple. De esta manera garantzamos que el saldo de la cuenta de experenca al fnal del plazo de la operacón sea cero, ya que utlzaremos el msmo factor de captalzacón tanto en el cálculo de la prma como en el cálculo del saldo de la cuenta de experenca al fnal de cada año. La varable aleatora valor fnal del coste total de los snestros a cargo del reasegurador, C n, asocado al ntervalo [,n ], vamos a defnrla como el valor fnal del coste de cada uno de los N t snestros a cargo del reasegurador, producen en dcho ntervalo: N t % n = =, que se X, con,,..., Nt [ ] C = X f( T, n) T, n con f% σ ( T, n) logn ρ ( n T), σ ( n T) T [, n]. S aplcamos al factor fnancero de captalzacón, f ( T, n) % T [, n] un crtero de decsón éste queda transformado en f ( T, n ), cuya expresón dependerá del crtero C utlzado, por tanto ahora su aleatoredad vendrá determnada úncamente por la varable aleatora T : de modo que: fe( T, n) f% ( T, n) fc( T, n) = fε ( T, n) T, n fd( T, n) [ ] La prma anual de reaseguro N t n C = [ ] C = X f ( T, n) T, n P s, de temporaldad d, sendo d n, que se satsface en s, con s =,,..., n años, se obtene de la sguente ecuacón de equlbro: d N t s C C s= = [ ] P f (, s n) = X f ( T, n) T, n S la prma de reaseguro es constante entonces P s = P para s,,..., = d, por tanto:

11 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco Nt d Nt C = P fc(, s n) = X fc( T, n) P = d s= = fc s n s= En el caso partcular de prma únca, d = : N t = =Π = P X f ( T, n) C f (, n) C X f ( T, n) (, ) Uno de los obetvos del reasegurador es garantzar que el saldo real de la cuenta de experenca se auste al saldo estmado, realzando para ello las aportacones necesaras para cubrr esta dferenca. Vamos a calcular, en el orgen de la operacón, el saldo estmado de la cuenta de experenca al fnal de cada año, con los parámetros de snestraldad conocdos en el orgen y utlzando el msmo crtero de decsón que en el cálculo de la prma de reaseguro. Vamos a smbolzar por S, con =,,..., n, la varable aleatora saldo estmado de la e cuenta de experenca en, que se obtene, valorando en, la dferenca entre las prmas de reaseguro satsfechas y los snestros estmados a cargo del reasegurador ocurrdos hasta, ncludo: En el caso de prmas peródcas: N[, ] e = s C,[, ] C s= = con =,..., S P f (, s ) X f ( T, ) y en el caso de prma únca: N[, ] e =Π C,[, ] C = S f (, ) X f ( T, ) con =,..., n sendo N [, ] la varable aleatora número de snestros ocurrdos en el ntervalo[, ], con n, X,[, ] la varable aleatora coste del snestro -ésmo a cargo del reasegurador, ocurrdo en el ntervalo[, ], con =,..., N[, ] y fc ( TT, '), con T' > T, el factor fnancero de captalzacón bao el crtero de decsón consderado. n

12 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. Para poder calcular la prma de reaseguro P y el saldo S e, deberemos smular las trayectoras de evolucón de la snestraldad del reaseguro captalzadas, o ben hasta N t C, o ben hasta, = n, X f ( T, n) T [, n] N[, ] X,[, ] fc( T, ) con,..., = = n. El método de smulacón que utlzaremos será Monte-Carlo. Una vez smuladas las trayectoras aplcaremos el crtero de la esperanza matemátca. S las prmas de reaseguro son constantes: N t E X fc( T, n) = EP [ ] = d f (, s n) N[, ] e [ ] = [ ] (, ) E S E P fc s E X,[, ] fc( T, ) =,..., n s= = s= C Cabe destacar que cuando (, ') (, ') ( λ ) f TT f TT e ρ ndependente del parámetro de aversón al resgo: C EP [ ] = t = E = la prma esperada es Nt E X e = d s= e ρ ( n s) ρ ( n T ) 4. DISTIBUCIONES DE POBABILIDAD Para poder calcular la varable aleatora saldo estmado, S e, deberemos asumr hpótess respecto a las dstrbucones de probabldad de las varables aleatoras que ntervenen en el proceso de resgo: Asumremos que la varable aleatora ntervalo [ ] ( X, X,..., X, T, T,..., T, N ) Nt Nt t X, coste del -ésmo snestro ocurrdo en el,n, con =,,..., Nt, se dstrbuye según una funcón de dstrbucón exponencal de parámetro snestros en el ntervalo[,n ]. μ, X Exp( μ ), sendo / μ el coste medo de los

13 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco Tambén asumremos que la varable aleatora tempo de nterocurrenca, en años, entre dos snestros en el ntervalo [ ],n, Ts s, sgue una dstrbucón exponencal de T parámetro λ >, para s =,,..., Nt. Bao esta hpótess queda defnda la dstrbucón de probabldad del número de snestros s =,,..., Nt y λ > entonces Nt P( λ n). N, ya que s T T Exp( λ) para A partr de Ts s podemos determnar la varable aleatora T con =,,..., Nt por suma: T T = T T con T = s s s= Como la varable aleatora número de snestros, t s s N t, sgue una dstrbucón de Posson, su esperanza concde con el valor del parámetro de la dstrbucón, esto es, E( N t ) n = λ, pudéndose nterpretar λ como el número medo anual de snestros. El parámetro λ tambén nos servrá para calcular el tempo medo entre dos snestros, dado que ET ( s Ts ) =. λ 4.. Coste medo y número medo de snestros El coste medo o esperanza matemátca de la varable aleatora X, con,,..., Nt =, vamos a defnrla como E( X ) α = =, la cual vendrá determnada por la μ experenca de snestraldad de la cedente y/o de la cartera. Como ya hemos dcho, la varable aleatora número de snestros, N t, sgue una dstrbucón de Posson y su esperanza es E( N t ) = λ n, donde λ se nterpreta como el número medo anual de snestros en el ntervalo [,n ], parámetro que deberemos estmar. Para estmar el coste medo, α, y el número medo anual de snestros, λ, de cada cedente, nos podemos encontrar frente a dos posbles escenaros: - No dsponemos de experenca de snestraldad pasada de la cedente. En este caso, el coste medo y el número medo de snestros para esta cedente vendrán dados por el coste y número medo del ramo. 3

14 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. - Dsponemos de experenca de snestraldad pasada de la cedente. En este otro caso aplcaremos la Teoría de la Credbldad para dscrmnar el coste medo y el número medo de snestros de cada cedente, en funcón de su propa hstora de snestraldad, pero tenendo en cuenta tambén la experenca de snestraldad de la cartera. Para determnar el coste medo, α, y número medo de snestros, λ, vamos a asumr la exstenca de ndependenca entre las cedentes, así como que los parámetros de resgo están déntcamente dstrbudos. El estmador para α lo obtendremos aplcando el modelo de credbldad de Bühlmann-Straub 3, ya que suponemos que el reasegurador dspone de nformacón respecto al coste medo de los snestros ocurrdos desde hace H años, a contar desde, y del número de snestros ocurrdos cada año, para cada una de las cedentes. El estmador del parámetro número medo de snestros, λ, vamos a obtenerlo aplcando el modelo de credbldad de Bühlmann 4, ya que suponemos que el reasegurador dspone úncamente de nformacón respecto al número de snestros ocurrdos desde hace H años, a contar desde, para cada una de las cedentes. 5. APLICACIÓN NUMÉICA Vamos a consderar una compañía de reaseguros que contrata un reaseguro fnte rsk para un determnado ramo, con tres compañías de seguros (cedentes). La compañía de reaseguros dspone hoy, =, de nformacón respecto al coste de los snestros, expresados en mles de euros, y al momento de ocurrenca de cada snestro o dfermento, expresado en años, acaecdos en los últmos cnco años para cada una de las tres cedentes. Los datos de la snestraldad hstórca para cada una de las tres cedentes son los sguentes: 3 Ver Pons, M.A. y Sarrasí, F.J. (9), pp Ver Pons, M.A. y Sarrasí, F.J. (9), pp

15 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco Cedente (k = ) Cedente (k = ) Cedente 3 (k = 3) Dfermento Coste Dfermento Coste Dfermento Coste,336,59,5994,9356,9998,83,58,589,68,74,8885,53,4576,565 3,745 3,859 3,9986 4,55 4,7 4,6397 4,8345 4,93 5,5 4,5, 3,5,, 3,5,5,5, 6,5,5,,,5,5,6 5, 6,5 7,5,75 3,75,376,349,337,4894,538,65,696,959,76,68,83,844,877,96,945,356,453,4653,543 3,59 3,5735 3,5954 3,956 4,6 4,543 4,638 4,436 4,435 4,6998 4,9675 4,83 7,64,37,486 5,599 9,677,4659,7657,7,99 3,46 7,968 5,849 4,7 6,894,645,989,8359,637,6556 3,9,6499 5,4664 9,8734,953,874,5569 6,537 3,3,859,54,4648,56,678,676,798,83,844,3,48,349,566,7478,9789 3,69 3,364 3,657 3,7459 3,88 3,9 3,9874 4,338 4,374 4,53 4,685 4,6959 4,8734 4,8843 4,65 4,936,4565,36 9,7855,467 5,793,795 4,836,689,994 3,48,97,39,34,5375,55 7,6579 8,535 5,94 9,97,87 3,96,89,37,344,3656 7,9788 Para calcular el estmador de la componente hstórca del coste medo hoy, en el orgen de la operacón, α, hemos aplcado el modelo de credbldad de Bühlmann-Straub, ya que no sólo dsponemos de nformacón, para cada cedente, respecto al coste medo de los snestros ocurrdos en los 5 últmos años, sno tambén del número de snestros ocurrdos cada año, nformacón esta últma que vamos a asgnarle el sgnfcado de ponderacón o pesos naturales conocdos. Para calcular el estmador del número medo de snestros, λ, hemos aplcado el modelo de Bühlmann ya que sólo dsponemos de 5

16 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. nformacón, para cada cedente, respecto al número de snestros ocurrdos cada año. Los resultados obtendos para cada cedente han sdo los sguentes: Cedente α λ 4,8876 5,8 4,96 5,58 3 4,934 5,45 A contnuacón obtendremos la prma pura únca y el saldo estmado en térmnos de esperanza matemátca, para un reaseguro fnte rsk cuota parte con una cuota de cesón al reasegurador del 5%, k =,5. Para ello hemos smulado por el método de Monte- Carlo.. de trayectoras de evolucón de la snestraldad del reasegurador para cada una de las tres cedentes que componen su cartera. Hemos supuesto que el horzonte temporal de la operacón es de 5 años y el tanto efectvo anual de valoracón esperado, que proporcona la cuenta de experenca, es constante para todo el plazo I =,3, sendo el tanto nstantáneo asocado ρ = ln(,3) =, En la tabla I mostramos el saldo estmado, e S, en, para cada una de las tres cedentes bao el crtero de la esperanza matemátca con parámetro de aversón al resgo λ = : Saldo estmado en el orgen de la operacón easeguro cuota parte Cedente Cedente Cedente 3 57,78 63,6589 6,967 46,8356 5,9886 5,39 35, ,966 38,89 3 4,44 6,3694 5,8893 4,38 3,378 3, Tabla I 6

17 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco Para = el saldo estmado concde con la prma pura del reasegurador. Para valores de λ > el factor fnancero no tene sentdo fnacero ya que sempre encontraremos plazos, por pequeños que sean, donde el factor de captalzacón es menor que uno. De todas maneras el valor de la prma es ndependente del nvel de aversón al resgo λ. A contnuacon consderamos sólo para la cedente la evolucón de la prma únca captalzada hasta y del saldo estmado S e en, para el crtero del percentl y el crtero de la desvacón tpo: Π Crtero del percentl σ = 5, Π e S z ε = ε =,5 z ε = ε =,8434 z ε = ε =,5 z ε = ε =,8434 6, ,345 6, ,345 6,656 65, ,94 5,94 6, ,474 36,999 4, ,95 78,6586 4,75 9, ,555 83,3754,3978 5, , ,94 Tabla II En la tabla II mostramos como evolucona la prma y el saldo estmado ante dferentes escenaros de aversón al resgo. Observamos que cuanto mayor es el percentl z ε, menor es la prma que cobra el reasegurador debdo a que éste asume un mayor resgo. En las tablas III y IV mostramos como se comporta la prma de reaseguro ante varacones en la volatldad del tanto nstantáneo para dos escenaros de resgo dferentes, ε =,5 y ε =,

18 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. z ε = ( ε = 5, ) Π e S σ =, σ = 5, σ =, σ = 5, 58,4767 6, ,4767 6, ,87 6,656 47, ,94 6, , , , ,8849 6,95 4,3396 4, , ,555,6873, ,53 6,7985 Tabla III En el caso mostrado en la tabla III, la prma únca de reaseguro aumenta a medda que ncrementa la volatldad del tanto nstantáneo, debdo a que estamos ante un escenaro de aversón al resgo por parte del reasegurador, sn embargo, s el reasegurador asume un mayor resgo ε =.8434, tal y como observamos en la tabla IV, el comportamento es nverso al anteror, es decr, exste una relacón nversa entre la prma únca y la volatldad del tanto nstantáneo, esto se debe precsamente a que el reasegurador está asumendo una estratega de preferenca por el resgo. z ε = ( ε =, 8434 ) Π e S σ =, σ = 5, σ =, σ = 5, Tabla IV 8

19 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco Crtero de la desvacón tpo A contnuacón mostramos como responde la prma únca y el saldo estmado frente a varacones en el nvel de aversón al resgo, tabla V, y frente a varacones en la volatldad del tanto nstantáneo, tabla VI. σ =, 5 Π e S k =, 5 k =, k =, 5 k =, 57,735 57,738 57,735 57,738 59, ,485 46, ,839 6,779 6,996 35, , , ,443 4,778 4,4 4 64,974 64,8939,349, , ,878 Tabla V A dferenca de lo que sucede en el crtero del percentl donde el reasegurador puede posconarse en una estratega de aversón al resgo o de preferenca por el resgo según el valor de ε, en el crtero de la desvacón tpo la estratega del reasegurador sempre será de aversón al resgo, de esta manera cuanto mayor sea el valor de k, más aversón al resgo tendrá y por tanto mayor será la prma de reaseguro que cobrará a la cedente, tal y como queda refleado en la tabla V. En la tabla VI se muestra el comportamento típco de un reasegurador con aversón al resgo ya que la prma de reaseguro aumenta frente a varacones postvas en la volatldad del tanto nstantáneo. 9

20 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. k =, 5 Π e S σ =, 5 σ =, σ =, 5 σ =, 57,735 57, ,735 57, , , , ,836 6,779 6,79 35, , , ,763 4,778 4, ,974 64,9953,349, , ,84864 Tabla VI 6. CONSIDEACIONES FINALES En este trabao hemos analzado la prma y el saldo o provsón de la cuenta de experenca en un reaseguro fnte rsk en la modaldad cuota parte y exceso de pérdda, asumendo la hpótess que el comportamento estocástco de los parámetros de snestraldad son conocdos en el orgen de la operacón y se mantenen constantes a lo largo del plazo de vgenca de la msma. Hemos asumdo que el factor fnancero de valoracón presenta una doble aleatoredad, la nducda por el dfermento, cuyo comportamento vene dado por la dstrbucón de probabldad del momento de nterocurrenca entre snestros y la orgnada por el tanto nstantáneo, el cual, en nuestro caso, hemos asumdo la hpótess que vene perturbado por un proceso de Wener. Para elmnar la aleatoredad del tanto nstantáneo hemos ntroducdo crteros de decsón, los cuales nos han permtdo ntroducr en el cálculo de la prma de reaseguro nuevas varables como el nvel de aversón al resgo del reasegurador o la volatldad del tanto nstantáneo. Hemos supuesto en el eemplo numérco que la cartera del reasegurador está formada por tres cedentes del msmo ramo y para la estmacón de los parámetros de snestraldad, número medo y coste medo, hemos utlzado modelos de credbldad para tener en cuenta tanto la experenca ndvdual como la de la cartera. Los valores de

21 easeguro fnte rsk en ambente fnancero estocástco la prma de reaseguro y del saldo estmado han sdo obtendos por smulacón de Monte-Carlo. Las conclusones a las que hemos llegado son las sguentes. En el caso del crtero de la esperanza, la prma de reaseguro es ndependente del nvel de aversón al resgo, de todas maneras para valores de λ > el factor de captalzacón no tene sentdo fnancero ya que sempre encontraremos plazos, por pequeños que sean, donde el factor es menor que uno. El crtero del percentl y el crtero de la desvacón tpo plantean escenaros de aversón al resgo del reasegurador sendo la prma de reaseguro mayor cuanto mayor es la volatldad del tanto nstantáneo. De todas maneras, a dferenca de lo que sucede con el crtero de la desvacón tpo, en el crtero del percentl se pueden plantear stuacones en las que el reasegurador tenga no sólo aversón al resgo sno tambén preferenca por el msmo, en este últmo caso la prma de reaseguro dsmnuye frente a varacones postvas en la volatldad del tanto nstantáneo. 7. EFEENCIAS BIBLIOGÁFICAS ALEGE, A. y MAYOAL,. (). Leyes estocástcas de captalzacón y descuento. Compatbldad bao el crtero de la esperanza. Documento de trabao 5/ del programa nterunverstaro de doctorado Nuevas Tendencas en Dreccón de Empresas.Unversdad de Burgos-Unversdad de Salamanca-Unversdad de Valladold. DEVOLDE, P. (993). Fnance Stochastque. Edtons de l Unversté de Bruxelles. Bruselas. DUA, J.M. y LOPEZ, J.M. (988). Fundamentos de estadístca. EDITOIAL AIEL, Madrd (España). MALLIAIS, A.G.and BOCK, W.A. (98). Stochastc Methods n Economcs and Fnance. North-Holland. Amsterdam. MAYOAL,. (997). Análss estocástco de las operacones fnanceras y actuarales con resgo de varacón del tpo de nterés. Tess doctoral. Barcelona.

22 Pons Cardell. M.A.; Sarrasí Vzcarra, F.J. PITACCO, E. (986). Smulaton n Insurance. In M. Goovaerts (eds.) Insurance and sk Theory, D. edel Publshng Company. PONS, M.A. y SAASÍ, F.J. (9). Solvenca en un reaseguro fnte rsk. Anales 9, tercera época, 5, pp SAASÍ, F.J. y PÉEZ, M.J. (3). Una aproxmacón al reaseguro fnancero en la modaldad de fnte rsk. Gerenca de esgos y Seguros, 8, º trmestre, pp. -3. Madrd (España). SHUSS, Z. (98). Theory and Applcatons of Stochastc Dfferental Equatons. John Wley & Sons. New York. Swss e. (977). La transferenca alternatva de resgos medante el seguro fnte rsk. Suza de reaseguros. Sgma 5.