Estimación de valoraciones en subastas simétricas

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1 Estmacón de valoracones en subastas smétrcas Estmacón de valoracones en subastas smétrcas Momparler Pechuán Juan Departamento Matemátcas Unversdad Jaume I España Hdalgo egova Maro maroseg9@yahoo.es Departamento Estadístca Unversdad Tecnológca Metropoltana Chle REUMEN En ésta comuncacón mostraremos cómo deducr una órmula que nos permta estmar las valoracones del ben objeto de la subasta concurso o lctacón que han realzado los partcpantes en la msma a partr de sus pujas. A lo largo de todo el trabajo supondremos que el modelo de subasta es smétrco. Para ello construremos la uncón de trbucón de las pujas de orma empírca y medante la órmula obtenda calcularemos las valoracones de los concursantes nalmente mostraremos el proceso segudo con un sencllo ejemplo. Palabras claves: ubasta smétrca; construccón; valoracón Clascacón JEL (Journal Economc Lterature): C9 Área temátca: Matemátca aplcada a los Métodos Cuanttatvos (Otros Métodos Cuanttatvos) XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal Rect@ Vol Actas_6 Issue : 3

2 Momparler Hdalgo. INTRODUCCIÓN El La mayoría de las empresas que partcpan de orma habtual en subastas concursos y lctacones están nteresadas en conocer cuál es la valoracón del ben objeto de la subasta que han realzado sus competdores con el n de mejorar su estratega en próxmas subastas. En cas todas las subastas concursos y lctacones en el ámbto de la construccón y los servcos (ver [8]) es posble conocer las pujas que han realzado las derentes empresas partcpantes pero el problema es como se puede estmar las valoracón del ben que han hecho los demás pujadores. Exste una ampla lteratura al respecto de las subastas podemos destacar los lbros de Paarch y Hong (ver []) de Krshna (ver [3]) Menezes y Montero (ver [7]) y la tess de Durá (ver []). En el caso de las subastas asmétrcas lo que en la lteratura se conoce como Common-Value Paradgm (CPV) se supone que los pujadores toman la valoracón del ben de derentes trbucones de probabldad y las uncones de puja son derentes para cada pujador. Podemos ctar los trabajos de Bajar (ver []) Maskn y Rley (ver [6]) Lebrun (ver [5]) entre otros muchos. La resolucón de un modelo de subasta asmétrca derva en un sstema de ecuacones derencales de valores de rontera (BVP) que bajo determnadas suposcones tene solucón únca. Además el sstema de ecuacones deducdo del modelo asmétrco tene una sngulardad en la rontera lo cual dculta su resolucón numérca (ver [9]). En esta comuncacón se trabajará con subastas smétrcas es decr supondremos que todos los postores utlzan la msma uncón de puja y toman la valoracón del ben de una msma trbucón de probabldad. Este modelo es conocdo en la lteratura como Independent Prvate-Values Paradgm (IPVP). En el trabajo empezaremos denendo el modelo smétrco a contnuacón utlzando el cálculo derencal obtendremos con detalle la órmula propuesta por Paarch y Hong (ver []) posterormente veremos como es posble construr la uncón de trbucón y de densdad de orma empírca y por últmo mostraremos como combnar todo el proceso a partr de los datos obtendos en una subasta. Es decr una vez conocdas las pujas como estmar la valoracón del ben de los derentes concursantes. XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal Rect@ Vol Actas_6 Issue : 3

3 Estmacón de valoracones en subastas smétrcas.. Consderacones prevas.. En cada subasta partcparán n postores que se desgnarán por : J... n.. La adjudcacón de la obra se realzará por medo de una subasta al alza de entre todas las oertas presentadas se escogería la más alta es decr se debe cumplr que la puja: s > s j j j... n..3 En el caso de las subastas smétrcas todos los pujadores tenen la msma uncón de puja y suponemos que toman la valoracón del ben de la msma trbucón de probabldad (Independent Prvate-Values Paradgm IPVP).. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA Es conocdo (ver [3]) que la uncón de utldad calcula el beneco de cada jugador en uncón de las pujas s y las valoracones v de todos los pujadores y está denda en el caso de subastas al alza por: u v s en s v > v otro caso j j n pérdda de generaldad cuando se tene un prmer postor ( ) éste conoce su valoracón v del ben pero no conoce las valoracones de los n- postores restantes. En uncón de su valoracón y dependendo de la estmacón que realce de las valoracones que el resto de concursantes hagan del ben realzará su puja s entonces la utldad esperada del prmer postor es: E( u) ( v s ) Pr( G / s) dónde Pr(G/ s ) es la probabldad de ganar dado la oerta del postor s pero Pr(G/ s ) se puede escrbr como y por lo tanto tendremos P(G/ s ) Pr(( s ) ( 3 s)... ( n s)) n ) ( v s) Pr( s) E( u n E( u ) ( v s) σ ( s)) XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal Rect@ Vol Actas_6 Issue : 3 ˆ 3

4 Momparler Hdalgo ˆ dónde σ ( v ) es la puja del prmer postor y podemos suponer (ver []) que la uncón de puja ˆ es crecente y dervable y por tanto exste nversa que denotaremos por σ ( s ). Para encontrar la puja óptma se derva la esperanza de u con respecto a s tendremos que n n d( ˆ σ ( s)) - ˆ σ ( s)) + ( v )( ) ( ˆ ( )) ( ˆ s n F σ s σ ( s)) () Podemos suponer que se verca además s ˆ s entonces reemplazando () y (3) en () se tene: sacando actor común σ ( v ) v ˆ σ ( ) () - ( ) n n F v + ( v s)( n ) v ) ( v) ˆ'( σ v ) F la expresón anteror queda ( ) v n - v ) + ( v s )( n ) ( v ) ˆ'( σ v ) arreglando esta últma expresón queda de la sguente manera: s( n ) ( v) v ( n ) ( v ) ˆ'( σ v ) + v ) v ) sn pérdda de generaldad la ecuacón anteror se puede expresar como: s ( n ) ( v ) v ( n ) ( v ) ˆ'( σ v) + v ) v ) despejando v de la expresón anteror obtenemos: denotadas por v) v σ ( v) + σ '( v) (4) ( n ) ( v) A partr de ahora tomaremos dos uncones de trbucón acumuladas F y F V dónde el superíndce cero ndca que es una uncón de trbucón empírca y V se reeren al conjunto de las pujas y valoracones del ben respectvamente. d ( ˆ σ ( s Tomemos ahora la sguente relacón: )) ˆ σ '( v ) (3) XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal Rect@ Vol Actas_6 Issue : 3 4

5 Estmacón de valoracones en subastas smétrcas F ( ) Pr( ) Pr( ˆ ( )) ( ˆ s s s v σ s FV σ ( s)) FV ( v) (5) dervando F ( s) F ( ˆ σ ( s)) con respecto a s se tene V d ( F ( s)) d ( F ˆ V ( σ ( s))) dv s desgnamos por: entonces de (5) tenemos que: dv dv ( s) σ '( v) V ( v) dv V ( v) σ '( v) (6) ( s) Por lo tanto reemplazando las expresones () (5) y (6) en la ecuacón (4) la valoracón del ben de una subasta se puede calcular medante la sguente expresón: v F ( s ) s + (7) ( n ) ( s ) Como vemos ésta órmula nos permte encontrar la valoracón del ben en uncón de las pujas realzadas sempre y cuando se pueda determnar la uncón de trbucón acumulada F y la uncón de densdad respectvamente. 3. FUNCIONE DE DITRIBUCIÓN Y DE DENIDAD En este apartado veremos algunas de las múltples ormas que hay de denr la uncón de trbucón acumulada empírca F (ver [4]) con el objetvo de encontrar valoracones del ben a subastar. ea el conjunto ormado por todas las pujas de las empresas partcpantes en una subasta es decr { s s... } entonces la uncón de trbucón acumulada está denda por: s x s F ( x) + s s n ( n )( s+ s ) s s n x < s x < s s n x XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal 5 Rect@ Vol Actas_6 Issue : n (8) Esta uncón empírca nos permte calcular la uncón de trbucón acumulada como así msmo su respectva uncón de densdad.

6 Momparler Hdalgo queremos utlzar un procedmento más precso podemos construr la uncón de densdad kernel-suavzada (ver []) a partr de las pujas realzadas { s s }... utlzando el sguente estmador para cualquer puja s: s n dónde n s s ( s) κ nh h s s ( s s) κ exp h π h se llama habtualmente Kermel y el parámetro h es conocdo como bandwth. e sabe que dependendo de la eleccón del tamaño de h es posble suavzar la uncón de densdad. Una vez conocda la uncón de densdad resulta sencllo obtener la uncón de trbucón. 4. EJEMPLO PRÁCTICO Con el n de lustrar el procedmento segudo proponemos en éste apartado un sencllo ejemplo académco sn sgncacón estadístca relevante debdo a los pocos datos utlzados en la muestra. ea el conjunto ormado por las pujas de una lctacón meddas estas en undades monetaras ordenadas en orma ascendente o sea: { ; ; 4; 5; 8; ; ; ; 6; 8 } entonces reemplazando en la ecuacón (8) la uncón de trbucón acumulada es: s x < ( x ) / 9 s x < F ( x) ( x 8) / 7 s x < 4 (9) s 8 x Como se puede observar en éste ejemplo se puede calcular la uncón de trbucón acumulada tenendo en cuenta las pujas de las empresas partcpantes. Tambén se puede encontrar la uncón de densdad que se obtene dervando la uncón denda en (9) ésta queda de la sguente manera: XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal Rect@ Vol Actas_6 Issue : 3 6

7 Estmacón de valoracones en subastas smétrcas s x < / 9 s x < ( x) () / 7 s x < Para obtener nalmente la valoracón del ben de cada uno de los partcpantes que es nuestro objetvo nal tomemos por ejemplo un par de valores de pujas de dos jugadores que se encuentran en el ntervalo [8). ean x 8 undades monetaras y x 8. 5 undades monetaras las pujas de los dos postores calculemos sus valoracones reemplazando (9) y () en la ecuacón (7) se tene:.44 a) v undades monetaras. 9 * b) v undades monetaras 9 *.55 Luego hemos obtendo la estmacón de la valoracón de un ben que han hecho dos postores que partcpan con 8 undades monetaras y con 8.5 undades monetaras en el ntervalo [8). De la msma manera se pueden calcular las valoracones estmadas de todos los demás concursantes en una subasta. 5. CONCLUIONE Como se ha poddo comprobar es posble utlzar con éxto la uncón empírca de trbucón acumulada aquí denda tambén encontrar su uncón de densdad y con estas uncones estmar las valoracones que del ben han hecho todos los posbles partcpantes en una subasta utlzando la órmula deducda en el trabajo. Debdo a que en la mayoría de subastas el número de empresas partcpantes no es demasado numeroso la construccón de la uncones de trbucón densdad F y de puede resultar bastante mprecsa lo cuál nos mpedría hacer una buena predccón por ello necestaremos combnar pujas de derentes subastas homogéneas con el propósto de que los resultados tengan una sgncacón estadístca sucente y así poder estmar las valoracones del ben objeto de la subasta y las empresas puedan XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal Rect@ Vol Actas_6 Issue : 3 7

8 Momparler Hdalgo pensar en las posbles estrategas que van a desarrollar en relacón a sus uturas presentacones a los derentes concursos. 6. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA [] BAJARI P. (). Comparng competton and colluson: a numercal approach. Economc Theory 8 pp.87-5 [] DURÁ P. (). Teoría de ubastas y Prvatzacones: Un Modelo de Reputacón del Vendedor. Tess Doctoral [3] KRIHNA V. () Aucton Theory. Elsever cence [4] LAW A. and KELTON W. (99). mulaton Modelng and Análss. McGraw-Hll. IBN: [5] LEBRUN B. (999). Frst Prce Auctons n the Asymmetrc N Blder Case Internatonal Economc Revew Vol 4 No Feb. pp [6] MAKIN E. y RILEY J. (). Asymmetrc Auctons. Revew o Economc tudes 67 pp [7] MENEZE F. and MONTEIRO P. (5). An Introducton to Aucton Theory. Oxord Unversty Press. [8] MOMPARLER J. e HIDALGO M. (6). mulacón de una subasta en el sector de la construccón. Contrbucones a la Estadístca e Investgacón operatva. IBN: X [9] MOMPARLER J. y GREGORI P. (7). ubasta asmétrca con trbucón unorme. Actas del XXX Congreso Naconal EIO. IBN: [] PAARCH H. and HONG H. (5). An Introducton to the tructural Econometrcs o Aucton Data. MIT. IBN: XVI Jornadas AEPUMA IV Encuentro Internaconal Rect@ Vol Actas_6 Issue : 3 8