ESTRUCTURAS II y III Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

Transcripción

1 Facultad de Ingenería Unversdad Naconal de La Plata STRUCTURAS II III Para alunos de la carrera de Ingenería Aeronáutca Mecánca de la UNLP CRITRIOS D ROTURA D MATRIALS Autores: Ing. Asdrúbal Bottan Ing. Juan P. Durrut -008-

2 CRITRIOS D ROTURA D MATRIALS structuras II III NRGÍA D DFORMACIÓN Todo cuerpo al ser soetdo a cargas, se defora por lo tanto las fueras aplcadas sobre él caban de poscón, es decr recorren una certa dstanca por lo que se puede afrar que realan certo trabajo. n el caso de fueras aplcadas a un cuerpo en fora estátca, es decr que van crecendo en fora lenta hasta alcanar su valor fnal, adeás consderando que los vínculos con que está fjado el cuerpo sean tales que al deforarse los sos, las fueras de roaento sean lo sufcenteente pequeñas coo para no tener en cuenta su trabajo, se puede afrar que el trabajo de las fueras eterores se utla totalente para deforar al cuerpo. n el caso de cuerpos perfectaente elástcos, ese trabajo eterno se ha transforado totalente en energía potencal elástca es la que hace una ve que se retran las cargas que produjeran la deforacón, el cuerpo recupere su fora ncal. Dcho en otras palabras todo el trabajo eterno de deforacón se ha transforado en trabajo nterno que desarrollan las fueras nternas durante la deforacón. Por lo tanto, llaando Ae al trabajo de las fueras eterores A al de las fueras nterores s se cuple lo epresado anterorente (cargas estátcas, ausenca de roce ateral elástco) se tene: Ae A n lo que sgue supondreos: a) l cuerpo se defora sguendo la le de Hooke b) l sstea de fueras eterores no varía con las deforacones del cuerpo Coo consecuenca de esto surge que las deforacones son funcones lneales de las cargas eterores por lo que vale el prncpo de superposcón de efectos. P P δ δ δ P Pagna de 0

3 structuras II III Sea un cuerpo elástco soetdo a fueras P, P,.., P k,.., P n sean δ, δ,.., δ k,., δ n las coponentes de los desplaaentos de los puntos de aplcacón de las cargas, en la dreccón de las sas. Coo el sstea es conservatvo, el valor de la energía nterna acuulada depende solo del valor fnal de las cargas no de cóo fueron aplcadas en que orden. Supongaos que todas las cargas crecan sultáneaente de 0 a su valor fnal, entonces en un nstante cualquera las cargas eterores valdrían αp k (con α varando entre 0 ) coo las deforacones son proporconales a las cargas, en ese nstante valdrían αδ k. n un nstante sguente α se habrá ncreentado en dα el desplaaento αδ k se habrá ncreentado en (αdα)δ k la fuera αp k reala el trabajo αp k. dαδ k, por lo tanto el trabajo total de todas las fueras realado desde 0 hasta su valor fnal será: A e n α Pk δ kdα 0 n P δ k k sta es la epresón ateátca de Claperon: l trabajo realado por las fueras que actúan estátcaente sobre un cuerpo elástco es ndependente del orden en que se aplcan dchas fueras es gual a la tad de la sua de los productos de los valores fnales de las sas por los desplaaentos de sus puntos de aplcacón, eddos en las dreccones de las fueras. Analceos ahora el trabajo nterno de deforacón: Consdereos un paralepípedo eleental de arstas d, d, d que esté soetdo a los efectos de una tensón en la dreccón X que varíe de 0 al valor, por lo tanto la deforacón específca varará de 0 a. l trabajo será: d ½( d d)( d) d d es decr ½ dv el tarbajo por undad de voluen será: A para todo el cuerpo suponendo solo tensones se tendrá: A dv v Pagna de 0

4 structuras II III n el caso ás general se tendrá: A { τ γ τ γ τ γ } () Busqueos ahora una epresón del trabajo nterno de deforacón por undad de voluen en funcón de las deforacones. Utlando las ecuacones de Laé: reeplaando en la epresón () e G ; τ γ G e G ; τ γ G e G ; τ γ G { γ γ γ } e G A G () S quereos epresar el trabajo específco nterno de deforacón en funcón de las tensones: Utlando la le de Hooke generalada { ( )} { ( )} { ( )} reeplaando en la epresón () A { ( )} { τ τ τ } G () Pagna de 0

5 structuras II III S dervaos la epresón () por cada una de las tensones: A A ; A ; A γ τ ; A γ τ ; A γ τ [ ( )], análogaente: S dervaos la epresón () por cada una de las deforacones: A ; A ; A ; A τ γ ; A τ γ ; A τ γ Pagna 4 de 0

6 structuras II III TRABAJO D DISTORSION Consdereos un cuerpo soetdo a cargas en equlbro. De él toeos un eleento de anera tal que sobre las caras del so no haa tensones tangencales, es decr solo soetdo a tensones prncpales. Descoponeos este estado coo la sua de dos: sendo ( ) l estado, gual en todas las caras, es un estado correspondente a presones hdrostátcas (o traccón unfore). Analceos ahora, cuanto vale la dlatacón cúbca e para el estado ( ) e e ( ( ) ( ( )) ( ( ) e ( ) entonces e [( ) ( ) ( )] 0 s decr que el estado ( ) provoca una deforacón del eleento sn que se altere el voluen, es decr habría solo deslaentos, las varacones voluétrcas son causadas solo por. Observando la epresón de A* se ve que es una funcón cuadrátca de las tensones, por lo que no es aplcable el prncpo de superposcón, o sea que no se puede decr que aplcando un sstea de fueras copuesto de dos grupos o as de fueras, el trabajo de deforacón es gual a la sua de los trabajos que se obtendrían aplcando cada grupo separadaente. sto se debe a que al aplcar un grupo de fueras estando otro aplcado, las tensones prtvas debdas a este últo, realan un trabajo en las deforacones que produce el segundo que no entra en nnguna de las epresones de los trabajos provocados por cada uno separadaente. Pagna 5 de 0

7 structuras II III Pagna 6 de 0 n el caso que nos ocupa, el estado ( ) solo produce deforacones angulares, al estar aplcado el estado, este no reala nngún nuevo trabajo, por lo tanto en este caso partcular. ( ) A A A s decr que el trabajo específco de deforacón se puede consderar coo la sua de: a) Un trabajo de dlatacón cúbca solaente, b) Un trabajo de deforacón sn dlatacón cúbca. ste últo trabajo provocado por ( ) se lo llaa trabajo de dstorsón. l valor de ( ) { } A { } A donde ( ) que reeplaando en la epresón anteror ( ) ( ) ( ) 9 A ( ) 6 A Luego ( ) d A A A A ntonces ( ) { } ( ) 6 A d l últo suando: ( ) ( ) { } 6 6 Reeplaando:

8 structuras II III Pagna 7 de 0 ( ) ( ) A d 6 6 ( ) ( ) A d 6 6 ( ) ( ) A d n general para aterales etálcos ( ) G ( ) G A d ntonces ( ) ( ) ( ) { } G A d { } τ τ τ G A d

9 structuras II III CRITRIOS D ROTURA Hasta aquí se han estudado las relacones que esten entre las tensones que actúan en un punto de una dada seccón, según los dstntos planos que pasan por el so, es así coo en el plano surgían dos dreccones norales entre sí según las cuales las tensones eran áas denonándose tensones prncpales; en el espaco se tenían tres. Adeás en estos planos las tensones de corte eran nulas. Luego se vo, en el caso de aterales elástcos con una le tensón deforacón lneal (Hooke), las relacones entre esas tensones las respectvas deforacones asocadas a las sas. Fnalente se estudó las relacones estentes entre esas tensones deforacones con la energía nterna acuulada en esas deforacones. Se puede decr entonces que teneos perfectaente defndo el estado tensonal a que está soetdo un cuerpo bajo un sstea de cargas en equlbro. Ahora ben, coo uno de los objetvos del dseño estructural es el de defnr estructuras que resstan las cargas a las que van a estar soetdas con un adecuado argen de segurdad respecto a las que provocarían el colapso de aquellas, es que nos encontraos en la necesdad de estudar bajo que condcones se produce dcha stuacón de colapso. Defnos preraente que entendeos por colapso de una estructura: decos que una estructura alcana el estado líte cuando las solctacones llegan a un valor tal que hace que la estructura trabaje en árgenes de segurdad nferores para los cuales ha sdo proectada. Así en el caso de aterales dúctles (que son aquellos que eperentan grandes deforacones antes de llegar a la rotura físca, generalente con un escalón de fluenca), el colapso de la estructura se produce cuando el ateral llega a fluenca, porque las grandes deforacones que se producen nhabltan a la sa para su uso. n el caso de aterales frágles, el colapso de la estructura concde con la rotura físca del ateral. s así entonces que se han forulado dversas hpótess que tratan de nterpretar el fenóeno de rotura de los dstntos aterales. Alguna de estas dstntas teorías de rotura están basadas en los sguentes conceptos: I) Basadas en las tensones a) Tensones norales b) Tensones tangencales II) Basadas en las deforacones III) Basadas en la energía de deforacón a) nergía total de deforacón b) nergía de dstorsón Todas estas teorías han sdo acopañadas de nuerosos ensaos de coprobacón. vdenteente la eleccón de una u otra teoría dependerá fundaentalente del ateral que esteos utlando. n otras palabras sería equvocado usar una teoría que nterprete la rotura de un ateral frágl en el caso de una estructura de acero, a que el so es un ateral dúctl. Pagna 8 de 0

10 structuras II III Analareos en adelante las prncpales teorías de rotura sus respectvos capos de aplcacón..- Teoría de Rankne: La rotura en un eleento soetdo a un estado cobnado de tensones se alcana cuando la áa tensón prncpal noral se hace gual a la tensón de rotura en el ensao estátco sple. ± s > > ± s > > ± s > > sta hpótess funcona ben en el caso de aterales frágles (coo la fundcón). Soetda una probeta a un ensao de traccón se coprueba que la rotura se produce en aquellos planos donde las tensones de traccón son áas, entonces todas aquellas teorías que tengan en cuenta las tensones norales o las deforacones específcas asocadas serán de aplcacón. - - Pagna 9 de 0

11 structuras II III.- Teoría de Guest: (de la áa tensón de corte) La rotura de un cuerpo soetdo a un estado cobnado de tensones se alcana cuando la áa tensón de corte es gual a la áa tensón de corte alcanada en el ensao estátco sple. n el plano sta hpótess es de aplcacón para el caso de aterales dúctles. n el caso de tensones del so sgno concde con la de Rankne. - - Por ejeplo sea el caso de una barra de seccón crcular soetda a torsón: Pagna 0 de 0

12 structuras II III Mt Mt MtD 6Mt τ R 4 J p πd πd ntonces las tensones prncpales serán: τ 6Mt τ πd S aplcaos Rankne: f 6Mt πd f D 6Mt π f Mentras que aplcando Guest: f 6Mt πd f D Mt π f Veos que por Guest se obtene un dáetro aor. n el caso de un ateral dúctl el haber utlado Rankne nos habría conducdo a un resultado erróneo del lado nseguro. sto se debe a que Rankne no srve para aterales dúctles porque en éstos la rotura se produce por deslaentos entre crstales, por lo tanto ha que utlar aquellas teorías que tengan en cuenta las tensones tangencales. Una falla de la hpótess de Guest se evdenca cuando las tres tensones son de traccón, pues se produce una rotura frágl que esta teoría no nterpreta. Nota: Los gráfcos de las sguentes teorías se hacen en coparacón con el gráfco de Guest. Pagna de 0

13 structuras II III.- Teoría de Sant Venant: (de la áa deforacón específca prncpal) La rotura de un cuerpo soetdo a un estado cobnado de tensones se produce cuando la deforacón específca en la dreccón de la áa tensón prncpal alcana el valor de la áa deforacón específca que se produce en el ensao estátco sple. sta hpótess debería usarse para aterales frágles por que tene en cuenta las deforacones norales. sta hpótess se aparta de los resultados eperentales. Aplcando la le de Hooke generalada: ± { ( )} ± a su ve: { ( )} { ( )} ntonces se debe verfcar: ± ± ± n el plano: ± ± ± ± ± Coo se ve, esta hpótess está forulada para aterales que sguen la le de Hooke, por lo tanto debe ser f. Representacón en el dagraa: ± 0 0 ± Pagna de 0

14 structuras II III ± 0 0 ± 0,5 0, Teoría de Beltra: (del trabajo de deforacón) La rotura de un cuerpo soetdo a un estado cobnado de tensones se alcana cuando el trabajo nterno específco de deforacón de las tensones prncpales en un dado eleento, es gual al trabajo nterno específco de deforacón para la rotura elástca en el ensao estátco sple. vdenteente al hablar de trabajo nterno de deforacón, estaos hablando de aterales elástcos por consguente de rotura elástca. n el plano: { ( )} { ( )} Pagna de 0

15 structuras II III Para poder representar esta epresón en el dagraa, hallaos los ejes de la elpse: ) ( ) 0, 0,8 ; 0,6, ) ( ) 0, 0,64 ; 0,6 0, 56 0,6 0, - - Se observa en el gráfco que esta hpótess se acerca as a la de Guest que a la de Rankne. Se la utla para aterales dúctles. nsaos posterores han pertdo alcanar presones traales elevadas con energías de deforacón aores que la correspondente a fluenca en la solctacón sple. sto ho pensar que no toda la energía de deforacón nflue en el coeno de la fluenca. Así es coo surgó la teoría sguente que consdera solo la energía de dstorsón. Pagna 4 de 0

16 structuras II III 5.- Teoría de Huber Mses Henck (H-M-H): La rotura de un cuerpo soetdo a un estado cobnado de tensones se alcana cuando el trabajo específco de dstorsón de un eleento dado alcana el trabajo específco de dstorsón correspondente a la rotura elástca en el ensao estátco sple. A d G n el ensao estátco sple {( ) ( ) ( ) } A d G por lo tanto ( ) ( ) ( ) n el plano Nuevaente se obtene la ecuacón de una elpse. Para poder representar esta epresón en el dagraa, hallaos los ejes: ) 0 ± 0 ± ) ± ± ± 0, 58 Pagna 5 de 0

17 structuras II III - - Coo se observa en el gráfco, esta hpótess esta representada por un elpse que se aproa bastante a Guest es de utlacón generalada para aterales dúctles, se la prefere frente a la de Guest porque perte un ejor aprovechaento del ateral se acerca as a los resultados eperentales. jeplo de aplcacón: Verfcar usando Guest luego H-M-H un recpente clíndrco de 85 c de dáetro nterno 0, c de espesor soetdo a una presón nterna de P Kg/c un oento torsor Mt 5 T. l ateral tene una tensón adsble ad 600 Kg/c. PD Kg (Tensón radal) δ.0, c 780 Kg (Tensón longtudnal) c τ Mt Kg A.85.0, c δ π (Tensón de corte). 4, ± τ Kg c Kg c Pagna 6 de 0

18 structuras II III Guest: H-M-H 760 > ad No verfca 4086 < ad Verfca Se observa que Guest es una teoría as conservatva que H-M-H. Veaos ahora que fora toa la teoría de H-M-H en funcón de las tensones, τ :, τ a b, τ a b a ab b a ab Reeplaando en b a b ad ad a b ad τ n el caso que 0 ad τ l térno en la raí es lo que se llaa tensón de coparacón. Pagna 7 de 0

19 structuras II III 6.- Teoría de Mohr: A dferenca de las teorías enuncadas hasta aquí, ésta supone que el ecanso de rotura de los cuerpos depende no solo de las tensones norales o tangencales sno de abas a la ve. s decr que el estado de rotura de un ateral queda defndo por las tensones norales tangencales que se desarrollan en el plano de deslaento fractura. sta teoría es aplcable a aterales frágles dúctles, usándose ucho para el estudo de la resstenca de los suelos. Soetdo un cuerpo a un estado de tensones dado, hacendo crecer ese estado tensonal, las tensones prncpales, crecerán hasta que se produca la rotura (rotura físca para aterales frágles fluenca para aterales dúctles). Alcanado ese estado se podrá traar el círculo correspondente que será un círculo de rotura, ndcándonos todos sus puntos, las cobnacones de τ en cada dreccón en el nstante en que se produce la rotura. Reptendo esto para otros estados tensonales tendreos otros círculos de rotura. τ Curva de Resstenca Intrínseca del Materal Traccón Sple Copresón Sple Se obtene así una curva envolvente a todos los círculos, que se denona Curva de Resstenca Intrínseca (CRI) del ateral que serás tangente a las dstntas crcunferencas de rotura. sta curva nos está ndcando la cobnacón de tensones τ actuando en el plano de rotura en el oento en que se produce la rotura. La fora de eplear esta teoría es la sguente: Conocda la CRI el estado tensonal a que va a estar soetdo el cuerpo, se traa el correspondente círculo de Mohr. S éste corta a la CRI se producrá la rotura; s es tangente, estará en el estado líte s no la corta habrá un argen de segurdad tanto aor cuanto as alejado esté de la CRI. Pagna 8 de 0

20 τ structuras II III Rotura Δ Seguro Líte Un estado de tensón hdrostátca < 0 (punto Δ de la fgura) sepre va a estar dentro de la ona de segurdad nunca va a ocurrr la rotura (Así se justfca que los aterales a grandes profunddades no ropen). Las curvas coo las dbujadas corresponden a aterales frágles con resstenca a la traccón u nferores a la resstenca a la copresón. n este caso se puede enconar el horgón, en donde se puede auentar la resstenca a la copresón en una dreccón s se auenta la copresón en la dreccón noral. n el caso de un ateral coo el acero, donde la tensón de fluenca a copresón a traccón concden, se tene: CRI τ Se observa que τ 0, 5 f de acuerdo a esta teoría. f Pagna 9 de 0

21 structuras II III TABLA COMPARATIVA Teoría Materales Ltacones Observacones. No toa en cuenta el tpo de esfuero noral (Traccón o s as eacta que Frágles copresón) n la orentacón. Beltra para aterales. Solo válda para aterales frágles sótropos Rankne Guest Sant Venant Beltra H-M-H Dúctles Mu frágles o nco de fluenca en dúctles Dúctles. n aterales cuos esfueros cortantes son grandes no soetdo a esfueros traales hdrostátcos.. No tene en cuenta la orentacón del esfuero.. Solo válda para aterales sótropos. Se debe conocer la le general de tensón deforacón. Con nconvenentes para roturas plástcas.. No tene en cuenta la orentacón de las deforacones prncpales.. Solo válda para aterales sótropos.. De aplcacón copleja cuando el estado de esfuero es arbtraro el ateral ansótropo.. La de Rankne es ejor para aterales frágles para el nco de fluenca es as eacta H-M- H.. De aplcacón copleja cuando el estado de esfuero es arbtraro el ateral ansótropo. Mohr Todos. Obtencón de envolvente Usada en dseño de estructuras de acero Práctcaente sn uso Consdera orentacón del esfuero por anejar una cantdad escalar Consdera orentacón del esfuero por anejar una cantdad escalar. s la as eacta para aterales dúctles Abarca cas todos los aterales. Usada en ecánca de suelos Pagna 0 de 0