FORMULACIÓN ESTABILIZADA DE ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES Y TETRAÉDRICOS PARA PROBLEMAS DE INCOMPRESIBILIDAD EN GRANDES DEFORMACIONES

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1 MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA Liboa, 3 d Maio 2 d Juno, 2004 APMTAC, Portugal 2004 FORMULACIÓN ESTABILIZADA DE ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES Y TETRAÉDRICOS PARA PROBLEMAS DE INCOMPRESIBILIDAD EN GRANDES DEFORMACIONES Q. Valvrd**, M. Ciumnti*, C. Aglt d Saracíbar*, M. Crvra* ** Dpartamnto d Ingniría Scción Ingniría Mcánica Pontificia Univridad Católica dl Prú -mail: qvalvr@pucp.du.p *Cntro Intrnacional d Método Numérico n Ingniría (CIMNE) Univridad Politécnica d Catalunya -mail: (ciumnt, aglt, crvra)@cimn.upc. Palabra clav: Elmnto finito mixto tabilizado, Sub-cala ortogonal, Incompribilidad, Platicidad, Grand dformacion. Rumn. S prnta una formulación n multicala dl método d lmnto finito capaz d tabilizar l comportaminto d lmnto mixto n problma d laticidad y d platicidad incompribl n grand dformacion. Eta formulación fundamnta n l concpto d la ub-cala ortogonal (OSGS) y aplica n t cao a lmnto triangular y ttraédrico mixto, con intrpolacion d dplazaminto y prión continua. La formulación prmit ludir la condición d tabilidad d Babuzka-Brzzi, y ofrc como principal vntaja la poibilidad d utilizar intrpolacion linal n lmnto mixto triangular y ttraédrico, muy convnint n aplicacion d intré práctico dbido a u vratilidad para la gnración d malla obr configuracion gométrica complja. S xplican tanto la conidracion mplada n l plantaminto como lo principal apcto d implmntación. Una d la contribucion má rlvant d ta formulación la ficacia y originalidad d la aproximación proputa al parámtro d tabilización. Finalmnt, mdiant jmplo d imulación mutra l bun comportaminto d lo lmnto obtnido n comparación con lmnto tándar y QP0.

2 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra. INTRODUCCIÓN El método d lo lmnto finito ofrc n gnral buno rultado n una gran varidad d problma n la ingniría. Sin mbargo, ncuntran important dificultad n la aplicación dl método n divra aplicacion d intré práctico. Notablmnt ntr éta n problma n mdio incompribl, n lo qu la formulación tándar n dplazaminto ofrc péimo rultado. En mcánica d ólido, por jmplo, prntan comportaminto incompribl n régimn lático lo matrial latómro y lo ólido poroo aturado. Por otro lado, n régimn plático prntan comportaminto prácticamnt incompribl lo mtal n l trancuro d la fluncia. D co, la ipóti común a lo modlo d platicidad J2, d amplio uo n la imulación numérica d mtal, qu la dformacion plática darrollan d manra iocórica. E ncario ntonc conocr la caua qu originan to inconvnint dl método y darrollar formulacion capac d brindar rultado atifactorio. Al plantar un problma mdiant l método d lmnto finito adopta un pacio d funcion d pruba, concrtamnt funcion d intrpolación nodal, para aproximar la olución corrpondint al mdio continuo. En ncia lo qu ac al introducir ta rtricción n la olución convrtir un problma d infinito grado d librtad n un problma dicrtizado, cuya olución tin un númro finito d grado d librtad, dcir má rígida qu la ral. El método d lmnto finito prmit ncontrar la mjor aproximación a la olución dntro dl pacio d funcion d pruba. Sin mbargo, n cirta ituacion t pacio rulta dmaiado pobr incapaz d aproximar l comportaminto dl mdio continuo. Como concuncia d llo, la olución dl campo d dplazaminto ofrcida por l pacio d funcion d pruba, qu n gnral infra-timada, n cao xtrmo podría llgar a r crcana a la nula. A t fnómno l dnomina bloquo. En aplicacion n mdio incompribl lo lmnto finito d bajo ordn d intrpolación d la formulación tándar n dplazaminto prntan t dfcto, caractrizado por la dramática ubtimación d la dformacion y por la impoibilidad d calcular la tnión mdia, también conocida como prión, []. En la litratura qu aborda t problma pudn ncontrar varia tratgia baada n formulacion mixta ó n la formulación d dformacion d mjora (nancd aumd train), EAS. La formulación EAS planta la incorporación d modo d dformación adicional a lo lmnto tándar, d acurdo con cirta condicion, con la finalidad d liminar l fnómno d bloquo tanto n problma d incompribilidad como n problma d flxión, [2], [3]. Por otro lado, la formulación mixta conidra la prión como variabl indpndint adicional a lo dplazaminto, introduc d ta manra mayor flxibilidad y ofrc un marco natural para l darrollo d lmnto para problma n mdio incompribl. Sin mbargo, por un lado la formulacion mixta tán rtringida por la condición d tabilidad d Babuka-Brzzi [4], qu tablc lo rquiito d compatibilidad ntr la funcion d intrpolación d lo campo involucrado y dcarta lo d igual ordn, n particular la intrpolacion linal/linal. Por otro lado, la formulación EAS tin important limitacion, puto qu adolc d cirta intabilidad numérica. 2

3 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra Admá, ta formulación y la qu drivan d lla no on aplicabl a lmnto triangular o ttraédrico linal [5], qu on d gran intré práctico por u bajo coto computacional y u vratilidad para la gnración d malla obr configuracion gométrica ralita. Eta vntaja an motivado la proputa d formulacion mixta tabilizada adcuada a t tipo d lmnto, [6],[7],[8],[9]. El trabajo qu aquí prnta propon una olución altrnativa al problma d incompribilidad n grand dformacion n mcánica d ólido, tanto n l cao d incompribilidad lática como n platicidad tratada mdiant modlo J2. La formulación darrolla n l marco dl método d la ub-cala proputo por T.J.R. Hug [0],[], y n particular n l método d la ub-cala ortogonal, proputo n l contxto d la mcánica d fluido por R. Codina n [2],[3],[4]. Rcintmnt lo autor dl prnt trabajo an aplicado t método n l contxto d la mcánica d ólido n problma d pquña dformacion [5],[6],[7],[8]. La fctividad y robutz d la técnica a motivado la xtnión a problma n grand dformacion. En la iguint cción prntan la cuacion qu dfinn l problma mcánico, plantado como un problma n multicala. Má adlant prntará l método d tabilización d la ub-cala ortogonal n l problma d incompribilidad inducido por l modlo d platicidad J2. Finalmnt compara ta proputa tanto con la formulación tándar como con la formulación mixta corrpondint al lmnto QP0, mdiant divra imulacion numérica. 2. FORMULACIÓN MIXTA DEL PROBLEMA DE INCOMPRESIBILIDAD Ant d prntar la formulación convnint introducir prviamnt la notación n tándar báica. Sa un dominio abirto n R dim, dond n dim l númro d dimnion dl pacio, u clauura, y u contorno Γ tal qu Γ = u t y u t =. El pacio d funcion cuyo cuadrado intgrabl n L 2 m (), y H l pacio d funcion cuya drivada ata ordn m 0 (ntro) prtncn a L 2 (). S utilizan caractr n ngrita para la rpctiva contrapart vctorial d to pacio. Lo producto intrno L 2 n y dnotan por (, ) y (, ), rpctivamnt. En lo ucivo ntndrá la ortogonalidad con rpcto a t producto. 2.. Forma furt S conidra un modlo lato-plático baado n un modlo d platicidad J2, cuya rputa n tnion caractriza mdiant la función d nrgía [9]: W ( J b ) = U ( J ) + W ( b ), () dond U y W on la componnt dacoplada volumétrica y dviadora d W, rpctivamnt. J l dtrminant dl tnor gradint d dformacion F, qu dcompon multiplicativamnt como F = F F p n u componnt lática y plática F y F p ; b = J 2 / 3 b la componnt iocórica dl tnor lático izquirdo d Caucy-Grn b = F F T. La funcion utilizada pcíficamnt on: 3

4 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra U 2 ( J ) κ log ( J ) = (2) 2 ( b ) = µ ( tr [ b ] 3) W (3) dond κ y µ on lo módulo volumétrico y d cizallaminto, rpctivamnt. A partir d ta función d nrgía pud drivar la xprión dl tnor d tnion d Kircoff: τ ( u p) = T + ( u) dond la prión d Kircoff T : = 3tr[ τ( u, p) ] la componnt dviadora ( u) : = dv[ τ( u, p) ] on: JU' ( J ) 2, (4), conidrada como variabl indpndint, y T = (5) ( u) µ dv[ b ] = (6) dond U dnota la drivada d U con rpcto a J. En adlant conidra qu J = J(u) función dl campo d dplazaminto. La forma furt dl problma d incompribilidad n mcánica d ólido n formulación mixta conit n: allar l dplazaminto u y la prión d Kircoff T, tal qu: ( J T ) + J ( J ( u) ) + f = 0 n J (7) ( J ) = 0 n T JU' (8) d acurdo con la condicion d contorno prcrita n dplazaminto y traccion, rpctivamnt u = 0 n u y t N = τ F -T N n t, dond N la normal xtrior a t. La n dim furza máica prcrita por unidad d volumn d rfrncia f: R y () dnota l oprador gradint pacial. En notación compacta l problma dfinido n (7) y (8) pud xprar como: allar U tal qu: dond U, L(U) y F dfinn como: u U =, T ( U) = F L (9) ( ) ( ) J J T J ( J ( u) ) U = f, F = ( J ) 0 L (0) T + JU ' 2.2. Forma débil Para l plantaminto d la forma débil dfinn apropiadamnt lo pacio d funcion d lo campo d dplazaminto y prión d Kircoff, rpctivamnt V = 4

5 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra ( ) w H ( ) w = 0 n y Q = q L 2 ( ) H y Q = L 2 (); lo pacio corrpondint a u funcion d pondración on V 0 = { u } { }. D acurdo con lo antrior, la xprión compacta d la forma débil dl problma dfinido n (9) conit n: allar U = [ u, p] T W = V Q tal qu para todo W = w,q W0 = V 0 Q : [ ] T ( ( U ), W) = ( F, W) L () D acurdo con la dfinicion antrior la forma xplícita corrpondint : ( T w) + ( u) (, w) = l( w) w 0, V ( T q) + ( JU '( J ), q) = 0 q Q N l ( w) ( f,w) t,w) (2), (3) dond l oprador := +( Et problma pud xprar n notación compacta como: allar U W tal qu para todo W W 0 : dond B 2.3. Dicrtización ( U W) L( W) B, = (4) ( U, W ) = ( T, w ) + ( u), w ( T, q) + JU '( J ) ( W) l( w) (, q ) (5) L = (6) El plantaminto canónico por lmnto finito implica dfinir una partición rgular P d n n lm ub-dominio y contruir lo corrpondint pacio d dimnión finita aociado a éta para la aproximacion, to on: V V, Q Q y W = V Q. La funcion n V on continua, mintra qu la funcion n Q no ncariamnt; aimimo, lo polinomio d aproximación pudn r d difrnt ordn. D ta manra, l problma dicrtizado conit n: allar U W tal qu para todo W W,0 : B ( U W ) = L( W ), (7) La formulación mixta prmit valuar la prión d Kircoff como una variabl primaria. Eta flxibilidad adicional con rpcto a la formulación irrducibl no ilimitada; xitn rtriccion d compatibilidad ntr lo campo d intrpolación d la formulacion mixta fura d la cual no cab prar d éta un bun comportaminto. Concrtamnt, para garantizar la rputa tabl d la prión n ta formulación mixta db vrificar la condición d Babuzka-Brzzi [4]. La intrpolacion d dplazaminto y prión d igual ordn, n particular la intrpolación linal/linal, no cumpln ta condición, y como concuncia no ofrcn un bun comportaminto. Con la finalidad d ludir ta condición y obtnr una adcuada rputa d la prión, lo método d tabilización modifican la 5

6 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra forma débil (7), introducindo término dpndint d la malla. En la iguint cción planta l problma n l marco dl método d la ub-cala, aplicado como técnica d tabilización con l objtivo d obtnr lmnto mixto con intrpolacion linal/linal con comportaminto tabl. 3. FORMULACIÓN EN MULTIESCALAS 3.. Plantaminto n multicala La ida fundamntal qu introduc l método d la ub-cala qu al dfinir una malla d lmnto finito qudan tablcido do nivl d rolución; uno qu corrpond a la malla y rá aproximado por lmnto finito, y otro dnominado ub-cala, qu no podrá r captado, [0],[]. Si bin admit qu xit una componnt d la olución qu no pud r rulta, dbría aproximar al mno l fcto d la ub-cala obr la componnt qu rulv numéricamnt. D acurdo con to, la caua d divro problma d tabilidad numérica ría l no tnr n cunta adcuadamnt t fcto. En t contxto, conidrando qu admá d la componnt aproximada por la olución d lmnto finito U W xit una componnt no rulta Ũ, la olución xacta pud xprar como: U = U + U (8) dond: u u = = u U, U, U = T T T (9) La componnt U pud conidrar como la proycción d la olución xacta obr l pacio d lmnto finito, mintra qu la componnt Ũ W, dond W dnomina pacio d la ub-cala. D ta manra, conidra qu l pacio W n l qu ncuntra la olución xacta pud dcomponr como W = W W ; dcir, W un pacio complmntario d W n W n l qu rprntan la ub-cala d la olución. El plantaminto n multicala dl problma xprado n (4) crib como: allar U W y Ũ W tal qu: B ( U + U, W ) = L( W ) W ( U + U, W ) = L( W ) W B W 0 W, o (20) A partir d la cuación (2) obtndrá una rlación aproximada ntr la ub-cala Ũ y la olución por lmnto finito U, con la finalidad d tnr n cunta lo fcto d Ũ n la xprion corrpondint a W. En l prnt trabajo conidra T = 0 ; dcir, conidran ólo ub-cala d dplazaminto. Como motrará n la imulacion, to rá uficint para lograr una formulación con comportaminto tabl. D acurdo con lo antrior, la cuacion (20) y (2) 6

7 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra (2) xpran d manra xplícita como: ( ( u + u ), w ) = l ( w w ( T, w ) + ) V (22) ( J ( u ) U '( J ( u + u )) T, q ) 0 u + = q ( ( u + u), w ) = l ( w ) w 0,o Q (23) ( T, w ) + V (24) Nót qu la xprión (2) n l pacio d la ub-cala W involucra ólo la cuación (24), n ub-cala d dplazaminto, dado qu l campo d prión corrpondint a conidrado nulo. S introducn a continuación la linalizacion d la prión d Kircoff y d la tnión dviadora, J(u,ũ)U (J(u,ũ)) y (u,ũ) rpctivamnt. Lo darrollo n ri d Taylor alrddor d la olución por lmnto finito u, conidrando ólo lo término linal corrpondint a ũ, on rpctivamnt: [ '( J )] = [ JU '( J )] + J u JU (25) u + u u u,o ( u u dv + ) = ( u ) + : u c, (26) dond la drivada dirccional corrpondint on: DJ u = J ( u ) u u (25a) ( u ) u dv = c : u D (26a) La xprión (25), corrpondint a la componnt volumétrica d la función d nrgía conidrada (), rulta: log J log J + u (27) = En tanto qu, la componnt dviadora pud xprar como: = + (28) Rmplazando la xprion linalizada n (22), (23) y (24) obtin: ( T w ) + ( w ) + (,,, w ) = l ( w ) w V (29),o (log J T, q) + = κ ( u, q ) 0 q Q (30) 7

8 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra w ( T, ) + (, w) + (, w) = l ( w ) w Si intgra por part n cada lmnto, conidrando l fcto d la ub-cala ólo n l intrior d cada lmnto y qu la traccion xacta on continua ntr lmnto, la cuación (3) pud xprar como: n lm = V o lm (, w ) = ( T + + f, w ) w V n = Eta cuación quival n cada lmnto a: (, w ) = ( T + + f, w ) w Obérv qu la cuación (33) rlaciona, y por lo tanto ũ, con l riduo d la cuación d balanc d momntum corrpondint a la aproximación por lmnto finito, xprado n l término dl lado drco. Para obtnr una xprión aproximada d ũ convnint conidrar la iguint aproximación n la cuación contitutiva: [ u] V o o (3) (32) (33) dv : = c : u 2 dv µ (34) dond µ l módulo d cizallaminto fctivo n fa d carga plática, dfinido n [8] como: [ b ] [ b ] dv : 2 / 3 µ = µ J (35) dv Et coficint tin n cunta l fcto dl flujo plático n la rlación ntr la tnion dviadora y la dformacion dviadora iocórica total, y aplica para tablcr la aproximación (34). En fa d dcarga o d carga lática t módulo implmnt 2 / 3 µ : = µ J. Admá, ncario conidrar n (33) la iguint aproximación n cada lmnto: [ u ] 2 µ dv 2 u µ = u c c c c2 (36) τ dond l parámtro τ quda dfinido n función d la longitud caractrítica dl lmnto, l módulo µ y una contant c a dtrminar xprimntalmnt, como: 2 c τ 2 = (37) µ El aunto pndint cómo aproximar la ub-cala ũ a partir d (33), para tnr n cunta u fcto n la cuacion (29) y (30), aociada al pacio d lmnto finito. 8

9 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra 3.2. Sub-cala ortogonal En l marco gnral dl método d la ub-cala cabn divra altrnativa para aproximar la ub-cala, incluo la dfinición d funcion pcífica. En [3] propuo como pacio natural para la búquda d la ub-cala l pacio ortogonal al pacio d lmnto finito; dcir, adopta W W. Eta dfinición da orign a una formulación ingnioa y prcia, dnominada método d la ub-cala ortogonal. D acurdo con t plantaminto, y tnindo n cunta la aproximación introducida n (36) y la dfinición dl parámtro τ (37), obtin: () () () ( T + f ) u τ P + (38) dond P = la proycción ortogonal obr l pacio W P. Si conidra qu la furza máica aproximan mdiant lmnto dl pacio d lmnto finito, y qu la gunda drivada d funcion d lmnto finito linal on nula, tin: P (f) = 0 y ( u ) = 0. Por lo tanto: ( ) u = τ P T (39) Si n la cuacion (29) y (30) intgran por part lo término aociado a la ubcala ũ, con la finalidad d rducir l ordn d drivación, y conidran ólo lo fcto n l intrior d cada lmnto, obtin: nlm ( T, w ) + (, w ) ( u, ( [ ] ) ( ) = 2 µ dv w = l w w V,0 (40) nlm (log J, ) ( T q u, q ) = 0 q Q (4) κ introducindo n ta xprion la aproximación (39), y tnindo n cunta qu l último término dl lado drco d (40) nulo para lmnto triangular y ttraédrico linal, obtin: (log J = ( T w ) + (, w ) = l( w ) w, V,0 (42) nlm T, q) 0 κ = ( τ P ( T ), q ) = q Q (43) La proycción ortogonal dl gradint d prión pud cribir como: P ( T ) = T Π i introduc como variabl indpndint adicional Π = P ( T ), la proycción dl gradint d prión d Kircoff obr l pacio d lmnto finito W. Eta variabl Π T = H, calcula como: ( ) ( ) T, η, η = 0 η T (44) 9

10 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra Finalmnt, introducindo ta dfinición, la formulación tabilizada dl problma pud cribir como: allar (u, T, Π ) V Q T tal qu: ( T w ) + (, w ) = l ( w ) w, V,0 (45) (log J T, q) κ nlm = ( τ ( T ), q ) = 0 q Q (46) nlm = ( T ), η = 0 η T (47) Obérv qu n ta formulación introduc ólo un término d tabilización n la cuación (46), l gundo dl lado izquirdo adicional. Por otro lado, a introducido una variabl adicional n l problma; in mbargo dd l punto d vita computacional ta dvntaja pud minimizar mdiant una implmntación robuta y ficint, como dcribirá n la iguint cción. 4. ASPECTOS DE IMPLEMENTACIÓN La incluión d una variabl adicional ac poco práctica la olución monolítica dl itma. Obérv qu no poibl condnar la variabl Π n cada lmnto, puto qu éta una variabl continua. Para la olución dl itma d cuacion (45), (46), y (47) propon un procdiminto calonado, n l cual n l pao d timpo n+ allan u n+ y T n+ qu atifagan imultánamnt la cuacion (45) y (46), mintra mantin fijo l valor d Π n, corrpondint al valor convrgido dl pao antrior: n+ n+ n+ ( T, w ) + (, w ) = l ( w ) w n n n+ n n ( τ ( T ), q ) = q nlm 0 = V,0 (48) n+ n+ (log J T, q) Q (49) κ Nót qu n l término d tabilización an conidrado lo gradint pacial n con rpcto a la configuración pacial corrpondint al pao antrior convrgido; aimimo, l parámtro τ n valúa n l pao convrgido antrior n. La olución d t itma obtin utilizando, por jmplo, l algoritmo incrmntal-itrativo d Nwton- Rapon. Gracia a ta conidracion l itma d cuacion aociado a la linalización d ta cuacion rulta imétrico para l modlo contitutivo proputo. Una vz rulto l itma valúa la proycción Π n+ como: n ( ) lm n+ n+ T, η = 0 η T (50) = Si mpla como aproximación la matriz d maa aglutinada ta cuación tranforma n un itma trivial. Eta tratgia proputa a motrado r fctiva, in prdr prciión ni robutz. 0

11 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra 5. SIMULACIONES La ficacia d la formulación proputa mutra n problma d incompribilidad, tanto n dformación plana como n 3D; lo lmnto triangular y ttraédrico proputo, dnominado TP, comparan con lo corrpondint lmnto tándar, dnominado P y con lo lmnto d la formulación QP0. En lo jmplo conidra la condición d incompribilidad, tanto n comportaminto lático como n comportaminto lato-plático imulado mdiant un modlo contitutivo J2. Con la finalidad d motrar l comportaminto n ituacion xtrma la malla qu mplan on bata. La formulación proputa tá incorporada n l programa d lmnto finito COupld MEcanical and Trmal analyi (COMET) [20], darrollado n l Cntro Intrnacional d Método Numérico n Ingniría (CIMNE). Comprión 2D con modlo lático n dirccion principal Et un nayo d comprión n dformación plana. El pécimn d dimnion 0,60 0,20 m. S impon un dplazaminto d 0,08 m aplicado n la uprfici uprior, n l trcio cntral d 0,20 m. En la ba prcribn nulo lo dplazaminto vrtical y n la uprfici uprior prcribn nulo lo dplazaminto orizontal. El modlo contitutivo utilizado l modlo d laticidad n dirccion principal proputo n [2]. Lo parámtro dl matrial on l módulo d laticidad E =, MPa, coficint d Poion ν = 0,4999, límit lático σ y = 50 MPa Figura. Enayo d comprión no omogna. Malla dformada. En la Figura mutran la malla dformada d cuadrilátro QP0, d 34 nodo y 300 lmnto, y d triángulo TP, d 357 nodo y 632 lmnto, rpctivamnt n (a) y n (b). En la Figura 2 mutran la ditribucion d prión. S obrva la imilitud ntr lo rultado ofrcido por l lmnto QP0 y l lmnto proputo TP, rpctivamnt n (a) y n (b). También pud aprciar como l lmnto TP proputo capta mjor qu l lmnto QP0 la zona d concntración d tnion. Por otro lado, n la malla dformada dl lmnto QP0 prcib una tndncia a darrollar l fcto d ourglaing n la uprfici uprior.

12 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra Figura 2. Enayo d comprión no omogna. Ditribución d prión. Bloqu omtido a comprión 3D. Un bloqu d acro d dimnion 0,85 0,85 0,6 m comprim por u part uprior. S impon un dplazaminto dl 5% con rpcto a u altura original. La Figura 3(a) mutra la vita xtrior d la cuarta part dl dominio, dicrtizada con una malla d ttradro. S conidra un matrial lato-plático con régimn d laticidad compribl, cuyo módulo d laticidad E =,9 0 5 MPa, coficint d Poion ν = 0,33, límit lático σ y = 50 MPa y ndurciminto con aturación xponncial cuyo parámtro on: tnión límit d aturación σ = 80 MPa y xponnt 0,7. La condicion d contorno an prcrito n la ba uprior infrior d manra qu lo moviminto n lo plano orizontal tán compltamnt rtringido. La condicion n la cara intrior an prcrito n función d la condicion d imtría. S db obrvar qu la condición prcrita n la ba, moviminto orizontal nulo n cada una, umamnt rtrictiva, particularmnt para lmnto ttraédrico n ituación cuaiincompribl, pu n t cao todo lo lmnto qu tinn una d u cara n la ba tinn un ólo nodo con poibilidad d moviminto, y ét tá rtringido a tomar poicion qu prrvn l volumn. Figura 4. Bloqu omtido a comprión 3D. Malla (a) d rfrncia y (b) dformada 2

13 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra En la Figura 4 mutran, obr la cuarta part dl dominio, la ditribucion d la prión para la malla d lmnto triangular tándar P y d cuadrilátro QP0, figura (a) y (b) rpctivamnt, y d cuatro malla d lmnto TP d la formulación proputa, qu difirn ntr í n l parámtro d tabilización adoptado. Por un lado, la figura (c) y (d) prntan rultado obtnido con lmnto TP, pro in tnr n cunta l fcto dl flujo plático n l parámtro d tabilización. Por otro lado, la figura () y (f) mutran lo rultado conidrando t fcto mdiant la aproximación al módulo d cizallaminto proputa n t trabajo, cuación (35). En ta imulacion an tomado do valor difrnt dl coficint c d la cuación (37), con la finalidad d valuar la nibilidad dl lmnto proputo con rpcto al parámtro d tabilización. S pud aprciar n la figura (a) qu l lmnto tándar P no ofrc un bun rultado n t cao, pu i bin l matrial compribl n rango lático l darrollo d grand dformacion plática origina l bloquo d t lmnto. El lmnto tridimnional d la formulación QP0 ofrc un rultado libr d bloquo n ta ituación. En la figura (c) mutra l rultado qu ofrc l lmnto ttraédrico TP con c=, como pud aprciar prnta un comportaminto fícamnt inadmiibl; aprcia la intabilidad d la prión n l patrón d ditribución, ay prncia d alta y baja prion n zona muy próxima, aociada a grand gradint d dformación. Eto ocurr d manra imilar, aunqu mno vra, con l valor d c=0, como aprcia n la figura (d). Si acpta como razonabl una incrtidumbr rpcto al valor d la contant c d un ordn d magnitud, n función a factor como l tipo d problma, la dimnión dl problma, tc., claramnt, l mpobrciminto dl fcto tabilizador no atribuibl a una lcción incorrcta dl valor dl coficint c dl parámtro d tabilización. El fcto tabilizador motrado n to cao no l corrcto dbido a qu no a conidrado l fcto d diminución dl módulo d cizallaminto n régimn plático. Eta rducción pud alcanzar vario órdn d magnitud, por lo qu ncario tablcr l parámtro d tabilización n función dl darrollo dl flujo plático. En la figura () y (f) mutran la ditribucion obtnida utilizando la aproximación proputa para timar l fcto dl darrollo dl flujo plático n l módulo d cizallaminto n l parámtro d tabilización. Eta ditribucion prntan un comportaminto tabilizado d la prión, y on imilar a la corrpondint al lmnto QP0; n particular, la ditribución obtnida para c=0, aunqu l rultado qu ofrc l lmnto TP con c= capta mjor la zona d concntración d tnion. La comparación con la figura () y (f) rvla la importancia d conidrar l fcto dl módulo d cizallaminto n l régimn plático al timar l parámtro d tabilización. Para la olución dl itma d cuacion d lo problma utilizó un algoritmo dircto. En lo problma n 3D prntado, n lo qu a mplado malla d 050 nodo, l timpo total d CPU dl ordn d 40% mayor para l lmnto TP qu para l lmnto QP0. El mayor timpo d CPU mplado por l lmnto TP corrpond al mayor númro d grado d librtad por nodo qu tin n comparación con l lmnto QP0. 3

14 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra Figura 4. Bloqu omtido a comprión 3D. Ditribución d prión obtnida con lmnto 6. CONCLUSIONES En t trabajo propon una formulación mixta, n dplazaminto y prión, adcuada para abordar problma d incompribilidad y aplicacion gnral, tanto n laticidad como n platicidad n grand dformacion. Éta darrolla n l marco dl método d tabilización d la ub-cala, n particular n l método d la ub-cala ortogonal (OSGS). En comparación con la formulación d dformacion mjorada (EAS) ta formulación ofrc la vntaja d r aplicabl a lmnto mixto triangular y ttraédrico, d intré práctico por u vratilidad n la gnración d malla. En comparación con lmnto d otra formulacion tabilizada to lmnto on má prcio, robuto y xibn mnor nibilidad al parámtro d tabilización. S dmutra qu l parámtro d tabilización calculado con l módulo d cizallaminto corrpondint a régimn lático no aplicabl a régimn plático. La aproximación proputa al parámtro d tabilización n función dl módulo d cizallaminto fctivo a motrado r ficaz; t un aport original d ta formulación y aplicabl a otra formulacion tabilizada, como la baada n l método GLS. 4

15 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra REFERENCIAS [] O.C. Zinkiwicz and R.L. Taylor, T finit lmnt mtod, McGraw Hill, Vol. I (989). [2] J.C. Simo, R.L Taylor. and K.S Pitr, Variational and projction mtod for t volum contraint in finit dformation lato-platicity, Com. Mt. in Appl. Mc. and Eng. 5: (985). [3] J.C. Simo, and M.S. Rifai, A cla of mixd aumd train mtod and t mtod of incompatibl mod, Int. Jour. for Num Mtod in Eng. 29: (990). [4] F. Brzzi, and, M. Fortin, Mixd and Hybrid Finit Elmnt Mtod, Spingr, Nw York (99). [5] B.D. Rddy, and J.C. Simo, Stability and convrgnc of a cla of nancd aumd train mtod, SIAM J. Num. Anal. 32: (995). [6] O.C. Zinkiwicz, J. Rojk, R.L Taylor and M. Pator, Triangl and ttradra in xplicit dynamic cod for olid, Int. J. For Num. Mtod in Eng. 43: (998). [7] R.L. Taylor, A mixd formulation for triangular and ttradral lmnt, In Abacal, R., Domínguz, J. and Bugda, G., ditor, Confrnc Procding on Método Numérico n Ingniría, SEMNI, Barclona Spain, 999. [8] O. Klaa, A. Maniatty, and M.S. Spard, A tabilizd mixd finit lmnt mtod for finit laticity. Formulation for linar diplacmnt and prur intrpolation, Comp. Mt. in Appl. Mc and Eng. 80: (999). [9] E. Oñat, J. Rojk, R.L. Taylor, and O.C. Zinkiwicz, Linar triangl and ttradra for incompribl problm uung a finit calculu formulation, Procding of Europan Confrnc on Computational Mcanic, ECCM, 200. [0] Hug, T.J.R. Multical pnomna: Grn function, Diriclt-to Numann formulation, ubgrid cal modl, bubbl and t origin of tabilizd formulation, Comp. Mt. in Appl. Mc. And Eng. 27: (995). [] T.J.R. Hug, G.R. Fijoó, L. Mazzi., J.B. Quincy, T variational multical mtod-a paradigm for computational mcanic, Comp. Mt. in Appl. Mc. and Eng. 66: 3-28 (998). [2] R. Codina, and J.A. Blaco, finit lmnt mtod for t Stok problm allowing qual vlocity-prur intrpolation, Comp. Mt. in Appl. Mc. And Eng. 43: (997). [3] R. Codina, Stabilization of incompribility and convction troug ortogonal ubcal in finit lmnt mtod, Comp. Mt in Appl. Mc. and Eng. 90: (2000). [4] R. Codina, Stabilizd finit lmnt approximation of tranint incompribl flow uing ortogonal ubcal, Comp. Mt in Appl. Mc. and Eng. 9: (2002). [5] M. Ciumnti, Q. Valvrd, C. Aglt d Saracibar, and M. Crvra, A tabilizd formulation for incompribl laticity uing linar diplacmnt and prur intrpolation, Comp. Mt. in Appl. Mc and Eng. 9: (2002). 5

16 Q. Valvrd, M. Ciumnti, C. Aglt y M. Crvra [6] M. Ciumnti, Q. Valvrd, C. Aglt d Saracibar, and M. Crvra, A tabilizd formulation for incompribl platicity uing linar triangl and ttradra, ubmittd to Int. J. of Platicity, [7] M. Crvra, Ciumnti, Q. Valvrd, C. Aglt d Saracibar, Mixd Linar/linar implicial lmnt for incomprnibl laticity and platicity., Computr Mtod in Applid Mcanic and Enginring; 92: (2003) [8] Q. Valvrd, Elmnto tabilizado d bajo ordn n mcánica d ólido, Ti doctoral, Univritat Politècnica d Catalunya (UPC), [9] J.C. Simo T.J.R. Hug, Computational Inlaticity, Springr-Vrlag, Nw York (998) [20] M. Crvra, C. Aglt d Saracibar, and M. Ciumnti, COMET: Coupld Mcanical and Trmal analyi. Data Input Manual, Vrion 5.0, Tcnical rport IT-308, tpp:// [2] J.C. Simo, Quai-incompribl laticity in principal trtc. Continuum bai and numrical algoritm, Computr Mtod in Applid Mcanic and Enginring; 85: (99) 6