IMPLEMENTACIÓN EFICIENTE DEL REPARTO DE CARGAS ÓPTIMO MEDIANTE PUNTOS INTERIORES. Trabajo fin de máster

Transcripción

1 Univridad d Svilla Dpartamnto d Ingniría Eléctrica IMPLEMENACIÓN EFICIENE DEL REPARO DE CARGAS ÓPIMO MEDIANE PUNOS INERIORES rabajo fin d mátr por Waltr Varga Contrra Dirctor: Dr. Antonio Gómz Expóito Dra. Catalina Gómz Quil Svilla, marzo d 2013

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3 Índic Gnral Índic d Figura... iii Índic d abla... iv Capítulo 1 Introducción... 1 Capítulo 2 Rparto d carga óptimo Apcto gnral Modlado dl itma d Gnración-ranport-Dmanda Modlado d lína y tranformador Modlado d gnrador Modlado d carga Modlado d lmnto n drivación Ecuacion d rd Formulación cláica dl problma d rparto d carga óptimo Función objtivo Variabl dl problma Rtriccion d igualdad Rtriccion d digualdad... 8 Capítulo 3 Método d punto intrior Problma original Problma tranformado y condicion d optimalidad Cálculo d dirccion d Nwton Solución dl itma aumntado Solución dl itma rducido Actualización d variabl primal y dual Cálculo d longitud d pao primal y dual Rducción dl parámtro barrra Critrio d convrgncia Punto inicial Algoritmo gnral PD i

4 Índic Gnral Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior Prdictor Corrctor (PC) Pao prdictor Pao corrctor Algoritmo gnral PC Múltipl Corrccion Cntral (MCC) Algoritmo gnral MCC Múltipl Corrccion Cntral Pondrada (WMCC) Algoritmo gnral WMCC Capítulo 5 Dtall d implmntación Análii d lo itma aumntado y rducido impo d jcución Cálculo d primra y gunda drivada Función d cot Función d balanc d potncia aparnt Función d flujo d potncia Rtriccion linal d igualdad y digualdad Solución d itma linal Capítulo 6 Exprimnto computacional Código OPF darrollado Rd léctrica d pruba Exprimnto con valor por dfcto Influncia d alguno parámtro Análii comparativo con MAPOWER Capítulo 7 Concluion Bibliografía Apéndic A Dfinicion matmática Apéndic B Formulación matricial dl problma OPF Apéndic C Salida d rultado n MALAB ii

5 Índic d Figura Figura 1. Modlo d rama... 4 Figura 2. Etructura d la matriz dl itma KK Figura 3. Longitud d pao para lo difrnt algoritmo IPM Figura 4. Pondración d dircción corrctora - algoritmo WMCC Figura 5. Rultado tt d convrgncia IEEE 14 barra iii

6 Índic d abla abla 1. Nombr d código d punto intrior abla 2. Etadítica d la rd d pruba abla 3. Dimnion d lo problma OPF abla 4. Númro d rtriccion activa y dimnion dl itma KK abla 5. Parámtro por dfcto abla 6. Númro d itracion abla 7. impo computacional abla 8. impo computacional n lo pao principal abla 9. Incrmnto d la longitud d pao - algoritmo MCC abla 10. Influncia dl punto inicial n l númro d itracion abla 11. Influncia dl parámtro barrra inicial n l númro d itracion abla 12. Rultado uando MAPOWER y comparativa iv

7 Capítulo 1 Introducción En ingniría léctrica, l cálculo d rparto d carga una important hrraminta qu involucra la utilización d análii numérico aplicado a lo itma d potncia. El rparto d carga óptimo (OPF) un problma d optimización qu tin como función objtivo alguna mdida d dmpño n la opración d itma léctrico y como rtriccion la cuacion d balanc d potncia provnint d la ly d Kirchhoff, admá d alguna rtriccion oprativa. La importancia dl rparto d carga óptimo conit n dtrminar un punto d opración para un itma xitnt o futuro qu ayud al planificador o al oprador d la rd léctrica a la toma d dciion. El problma dl rparto d carga óptimo n corrint altrna tuvo u primra formulación a inicio d lo año 60, con l problma d dpacho conómico d Carpntir [1]. Dd ntonc, vario método d optimización furon proputo para rolvr t problma, ntr lo qu dtacan: l método d gradint [2], la programación cuadrática cuncial [3] y [4], y la programación linal cuncial [5]. Lo inconvnint d ta técnica implican lnta convrgncia, pcialmnt n la vcindad dl punto óptimo para lo do primro método, y un campo limitado d aplicación, para l trcro. La programación linal (LP) fu l tma dominant n l campo d la optimización dd qu Dantzig [6] darrolló l método Simplx n la década d lo 40. En 1984, la publicación dl trabajo d Karmarar [7] inicia una nuva lína d invtigación conocida como método d punto intrior (IPM). Una difrncia ntr l método d punto intrior y l método Simplx la naturalza d la olucion obtnida n cada itración. En l método Simplx, la cuncia d punto gnrado prtnc a la frontra d la rgión factibl, n tanto qu lo método d punto intrior tán n l intrior d la rgión. En 1955, introdujo l primr método d punto intrior, atribuido a Frich [8], cual l método d barrra logarítmica qu fu tudiado xhautivamnt por Fiacco McCornic [9] para rolvr problma d optimización no linal con rtriccion d digualdad. El principal uco n l campo d la invtigación d punto intrior tomó lugar n 1984 cuando Karmarar prnto un nuvo método d punto intrior para programación linal, rportando olucion 50 vc má rápido qu l método Simplx. Una d la grand vntaja d lo método d barrra qu, al contrario dl método Simplx, ta mtodología pud r aplicada tanto a problma d optimización linal como a problma d programación cuadrática y programación no linal. 1

8 Capítulo 1 Introducción Dd ntonc, vario método d punto intrior han ido proputo implmntado baado n l trabajo d Karmarar, gnralmnt para programación linal y dpué xtndido a problma d programación no linal. En la litratura, lo método d punto intrior on uualmnt claificado como: método proyctivo, método affin-caling y método primal-dual. Lo primro rultado tórico dl método primal-dual furon proporcionado por Mgiddo [10], quin propuo aplicar l método d barrra logarítmica a lo problma primal y dual imultánamnt (PD). Et algoritmo primal-dual obtuvo mjor rultado qu lo algoritmo d punto intrior proputo hata ntonc. Mhrotra [11] propuo un algoritmo primal-dual qu incorpora lo pao prdictor y corrctor (PC), obtnindo mjor rultado d convrgncia qu l método primal-dual cláico. El éxito dl algoritmo prdictor d Mhrotra condujo a la invtigación dl uo d múltipl corrccion durant cada itración dl algoritmo PC, con l fin d conguir una mjor longitud d pao n la dirccion d búquda (MPC), método qu fu proputo por Carpntr [12]. Entr lo método d múltipl corrccion, l método d múltipl corrccion cntral (MCC) uno d lo má ficint y ampliamnt implmntado, proputo por Gondzio [13]. Nuvo darrollo d múltipl corrccion furon tudiado por Colombo [14], incorporando la utilización d un coficint para pondrar la corrccion cntral con l fin d maximizar la longitud d pao (WMCC). Eto método d punto intrior modrno prntan tr caractrítica atractiva: la facilidad d manjo d la rtriccion d digualdad mdiant l uo d funcion d barrra; la rápida convrgncia; y la capacidad d rolvr un problma in partir d un punto inicial trictamnt factibl. En la litratura d rparto d carga óptimo, xitn varia contribucion baada n método d punto intrior qu han alcanzado notoridad, tal como la proputa por: Granvill [15] y, Martínz, Gómz y Quintana [16, 17], qu mplan l método Primal Dual aplicado al problma d dpacho óptimo d ractivo y rducción d pérdida d potncia activa; Wu, Db y Martn [18], qu implmntaron l método Prdictor Corrctor para optimizar lo cot d gnración y la pérdida d potncia activa; orr y Quintana [19, 20], qu utilizan l método Prdictor Corrctor y l método d Múltipl Corrccion Cntral, para optimizar la pérdida d potncia activa; Zhiguang y Quanyuan [21], qu mplaron l método d Múltipl Corrccion Cntral Pondrada aplicado a la optimización d lo cot d gnración. En t trabajo implmntarán ficintmnt n lnguaj MALAB cuatro algoritmo d método d punto intrior (PD, PC, MCC y WMCC), aplicado al problma d optimización d coto d gnración. Para la formulación dl problma OPF utilizará una notación matricial ficint, proputa n [22]. Lo algoritmo probarán n rd d divra dimnion, y lo rultado obtnido contratarán con lo obtnido mplando l programa MAPOWER, ampliamnt uado a nivl d invtigación y académico, para l análii d rparto d carga y optimización d rd léctrica [23]. 2

9 Capítulo 2 Rparto d carga óptimo 2.1 Apcto gnral El problma cláico d rparto d carga conit n rolvr un conjunto d cuacion algbraica, no linal y complja qu rultan d aplicar la Ly d Kirchhoff a un itma léctrico, n función d la caractrítica y propidad fíica d lo quipo intalado n la rd, dmanda conocida, potncia activa y ractiva. El rparto d carga rquir la pcificación d alguna variabl como magnitud d tnión y potncia activa gnrada n la barra d gnración, mintra qu l rparto d carga óptimo trata a ta variabl como poibl ajut. En 1962, Carpntir introdujo un modlo gnralizado d programación no linal para la formulación dl problma dl dpacho conómico [1] incluyndo voltaj y otra rtriccion. Potriormnt dicho problma fu llamado rparto d carga óptimo (OPF por u igla n inglé). Un OPF conit n dtrminar n tado tabl l punto d opración óptimo d un itma d potncia, cual imultánamnt minimiza o maximiza un índic d dmpño (función objtivo) y atifac cirta rtriccion fíica y oprativa. El rparto d carga óptimo tin un rol important n la planificación y opración d itma léctrico. El rparto d cargo óptimo proporciona al oprador o al planificador d la rd léctrica, una orintación d cómo ta variabl dbn r ajutada, para lograr qu lo cntro d gnración, cntro d conumo y quipo qu participan n l tranport d lctricidad funcionn dntro d u capacidad. Por tanto, un problma batant compljo y difícil d rolvr. El rparto d carga óptimo db d r formulado como un problma d programación matmáticamnt dond la rd léctrica db r modlada, partindo d lo iguint rquiito: - Db r modlada mdiant un modlo tático d gnración-tranport gnralmnt baado n formulación d inyccion d potncia contant; - Db dpchar lo rcuro dl itma d forma d atndr la dmanda total má la pérdida d tranport (rtriccion d igualdad). - Db imponr límit d opración por guridad n l quipaminto (rtriccion d digualdad). - Db minimizar un critrio o una combinación d critrio (función objtivo) tal qu favorcn la opración dl itma léctrico, dd l punto d vita técnicoconómico. 3

10 Capítulo 2 Rparto d carga óptimo La formulación d un OPF conllva a un conjunto d cuacion no linal, corrpondint al balanc d potncia y un conjunto d incuacion no linal, corrpondint a lo límit d opración d cirto quipaminto. Aí un OPF db r formulado matmáticamnt como un problma d optimización no linal. La rolución d un OPF raliza gnralmnt a travé d un algoritmo baado n técnica para la rolución d problma d programación matmática. Un OPF pud r modlado como un problma d programación no linal o, como un problma d programación linal a partir d alguna upoicion d implificación. Aí, la lcción dl método d olución igu la forma dl modlado dl problma. En particular, l método d punto intrior (IPM) aplica a lo problma d programación linal y no linal. 2.2 Modlado dl itma d Gnración-ranport-Dmanda El Modlado dl itma d Gnración-ranport-Dmanda prntado proputo n [23], y utilizado n l programa d análii d itma léctrico MAPOWER, darrollado por Ray Zimmrman (Univridad d Cornll), l cual mpla lo modlo n tado tabl típico para análii d rparto d carga. Dbido a la fortalza dl lnguaj d programación MALAB para manipular matric y vctor, MAPOWER prnta la cuacion d dicho modlo n forma d impl opracion ntr matric y vctor, lo cual aumnta la ficincia computacional con rpcto a la formulación cláica. La vrión má rcint d MAPOWER y la documntación aociada tán diponibl n [24] Modlado d lína y tranformador La lína y tranformador on dfinido mdiant un modlo común d rama, qu conit n un modlo d parámtro concntrado, con impdancia ri z r jx y capacitancia total b c, n ri con un tranformador in pérdida. El tranformador, tin rlación d tranformación y ángulo d dfa df nvío dl modlo d rama, tal como mutra n la figura 1., y localizado n l lado d Figura 1. Modlo d rama 4

11 2.2 Modlado dl itma d Gnración-ranport-Dmanda La intnidad complja i i r d lo ramal d nvío y rcibo rpctivamnt, pudn r xprado n término d la matriz d admitancia d rama Y rama, y d la tnion n lo trminal d nvío y rcibo v v r. i v Ybarra ir vr La admitancia ri n l modlo ta dnotada por y 1 rama pud r crita como: z (2.1). La matriz admitancia d Y rama b 1 1 y j y 2 1 bc y y j j df 2 c 2 jdf (2.2) Si lo cuatro lmnto d la matriz (2.2) para una rama i on idntificado como igu: Y i rama y y i i r y y i r i rr (2.3) dado un itma d n l númro d lína y n b númro d barra. Lo cuatro vctor Y, Y r, Y r y Y rr d dimnion nl 1 pudn r contruido, dond l i-éimo lmnto d cada vctor vin dl corrpondint lmnto d conxión C y C r d dimnion nl b Y i rama. Admá, la matric d n mplada n la contrucción d la matriz d admitancia dl itma pudn r contruida como igu: l lmnto i, j d C y l lmnto i, d C r on igual a 1 para cada rama i, dond la rama i tá conctada dd la barra j a la barra, indo todo lo otro lmnto d Modlado d gnrador C y C r igual a cro. Un gnrador modlado como una inycción d potncia complja n una barra pcifica. Para un gnrador i, la inycción d potncia : i i i g g g p jq (2.4) S dfin un vctor Sg Pg jqg d dimnion ng 1 formado por la inycción d potncia d cada gnrador. Una matriz d conxion C g d dimnion nb n pud r dfinida tal qu l lmnto i, j 1 i l gnrador j tá localizado n la barra i, g 5

12 Capítulo 2 Rparto d carga óptimo y 0 d otra manra. El vctor nb 1 d la potncia inyctada n cada barra por lo gnrador pud r xprado como: Modlado d carga Sgbarra Cg Sg (2.5) La carga d potncia on modlada como una cantidad pcífica d potncia ral y ractiva conumida n una barra. Para la barra i, la carga : i i i d d d p jq (2.6) S dfin un vctor Sd Pd jqd d dimnion nb 1 formado por la carga complja n toda la barra Modlado d lmnto n drivación Un lmnto n drivación, tal como un capacitor o un inductor, modlado como una impdancia contant ntr barra y tirra. La admitancia d un lmnto n drivación n la barra i vin dada por: i i i dr dr dr y g jb (2.7) S dfin un vctor Ydr Gdr jbdr d dimnion n 1 formado por la admitancia n drivación n toda la barra. Lo parámtro b i g dr y i b dr on pcificado como lo MW (conumido) y lo Mvar (inyctado) a tnión nominal d 1.0 p.u. y ángulo Ecuacion d rd Dada una rd d n b barra y n l lína, toda la impdancia contant d lo modlo on incorporada n una matriz d admitancia d barra Y barra d dimnion nb nb, qu rlaciona la intnidad nodal I barra con la tnión nodal V. I Y V (2.8) barra Si uado para dnotar un oprador qu toma un vctor d dimnion n 1 y cra una matriz diagonal d dimnion n n con lo lmnto dl vctor n la diagonal. La matric admitancia d rama Y Y r, d dimnion nl nb, y la matriz d admitancia d barra Y barra, dfinn como: barra Y Y C Y C (2.9) r r 6

13 2.2 Modlado dl itma d Gnración-ranport-Dmanda La matric admitancia d rama Y Y C Y C (2.10) r r rr r barra r r dr Y C Y C Y Y (2.11) Y Y r rlacionan la tnion nodal con lo vctor I I r d dimnion nl 1, lo cual rprntan la intnidad d rama d nvío y rcibo d toda la lína. Rpctivamnt: I I r Y V (2.12) Y V (2.13) La intnidad calculada n (2.8), (2.12) y (2.13) pudn r utilizada para calcular la corrpondint potncia complja como función d la tnion nodal V : barra r * * * barra (2.14) barra S V I V Y V * * S C V I V I (2.15) * * r r r r r S C V I V I (2.16) La cuación d balanc d potncia complja xprada n forma vctorial vin dada por la iguint xprión: Sbarra Sd CgSg 0 (2.17) Formulación cláica dl problma d rparto d carga óptimo Rcordmo qu un OPF un problma d programación no linal, qu intnta optimizar una función objtivo al actuar obr la variabl d control a la vz qu atifac cirta rtriccion d igualdad y d digualdad. odo to concpto on ucivamnt dcrito n ta cción Función objtivo Exitn divra formulacion d funcion objtivo n un OPF. La má habitual on: minimización d cot d gnración, minimización d pérdida d potncia activa, minimización d pérdida d potncia ractiva, minimización dl dlatr d carga, maximización dl margn d carga, tc. En t trabajo abordara la cláica función objtivo d cot d gnración: ng 2 f x c c P c P (2.18) i1 0i 1i gi 2i gi 7

14 Capítulo 2 Rparto d carga óptimo dond c 0i, c 1i y c 2i rprntan lo coficint aociado con l modlo cuadrático d lo cot d opración dl i-éimo gnrador, y mimo Variabl dl problma P gi la potncia activa d alida dl El vctor d variabl dl problma, x, tá computo por lo vctor d dimnion n 1 corrpondint a lo ángulo y magnitud d la tnion, y b rpctivamnt, dnominado variabl d tado; y por lo vctor P g y V m Q g, d dimnion ng 1, corrpondint a la potncia activa y ractiva inyctada por lo gnrador, dnominado variabl d control Rtriccion d igualdad m g g x V P Q (2.19) La principal rtriccion d igualdad on la rlacionada con la cuacion no linal dl balanc d potncia activa y ractiva, qu corrpondn a la part ral imaginaria d la potncia complja calculada n (2.17), to : Pbarra Pd CgPg 0 (2.20) Qbarra Qd CgQg 0 (2.21) El ángulo d tnión d la barra d rfrncia conidra también como una rtricción d igualdad, con valor igual a cro. Adicionalmnt, conidrada rtricción d igualdad toda variabl qu rquira qu opr a un valor d opración fijo imputo Rtriccion d digualdad Un OPF comprnd do tipo d rtriccion d digualdad: una dl tipo opracional, rqurida para la opración gura dl itma; y otra aociada a la limitación fíica d lo quipo. Lo gnrador tinn límit máximo y mínimo d potncia d alida activa y ractiva, qu rultan n una limitación fíica conidrada como una rtricción d digualdad, to : min max gi gi gi P P P (2.22) min max gi gi gi Q Q Q (2.23) La lína d tranport y tranformador d potncia tinn límit térmico, aociado a u potncia nominal (xprado comúnmnt n MVA). Para mantnr la guridad dl itma vitando la alida forzada d alguno d to quipo por obrcarga, tanto la potncia dd l lado d nvío como dd l d rcibo, 8

15 2.2 Modlado dl itma d Gnración-ranport-Dmanda conidran rtriccion d digualdad n función dl cuadrado d u capacidad nominal, to : S S 2 2 Smax 0 (2.24) 2 2 r Smax 0 (2.25) Para mantnr la calidad dl rvicio y la guridad dl itma, la tnion d barra tinn magnitud máxima y mínima. Eto límit también conidran rtriccion d digualdad. min max V V V (2.26) 9

16 Capítulo 3 Método d punto intrior En t capítulo dcribirá n dtall l darrollo matmático dl Método d Punto Intrior Primal Dual (PD) para rolvr problma d programación no linal (NLP). 3.1 Problma original Un problma d NLP pud r rprntado como igu: min f( x).a gx ( ) 0 hx ( ) 0 (3.1) nx Dond x rprnta la variabl d dciión, f( x) : la función objtivo nx ng dl problma, gx ( ) : on la rtriccion d igualdad y hx ( ) : on la rtriccion d digualdad dl problma. 3.2 Problma tranformado y condicion d optimalidad El primr pao dl PD tranformar la rtriccion d digualdad dl problma original (3.1) n rtriccion d igualdad introducindo variabl d holgura, qu dbn d r poitiva. nx nx nh min f( x).a. gx ( ) 0 h( x) 0 0 (3.2) La adición d variabl d holgura modifica la dimnión dl NLP, aumntando l númro d variabl. Sin mbargo, l problma original tranformado n un problma d optimización rtringido xcluivamnt por rtriccion d igualdad. La principal ida dl PD la d introducir una función barrra logarítmica tal qu prmita incorporar la rtriccion d digualdad n la función objtivo. D ta manra la condición d no ngatividad ( 0 ) n (3.2) pud r incorporada dntro d la función objtivo original como mutra n la xprión (3.3). min f ( x) nh i1.a. gx ( ) 0 h( x) 0 ln i (3.3) 10

17 3.2 Problma tranformado y condicion d optimalidad Dond un parámtro barrra poitivo qu dcrc monótonamnt a cro n l proco itrativo. La cuncia d parámtro gnra una cuncia d ubproblma qu on dfinido por (3.3), dond l índic dl ubproblma. Fiacco y McCormic mutran n [9] qu dcrcindo a cro 0 una cuncia d punto x pud r gnrada por rolvr l problma tranformado (3.3), y ta convrg a * x, dond * x un mínimo local d (3.3) y, por tanto, un mínimo local dl problma original (3.1). El camino dfinido por la cuncia d punto x conocido como trayctoria cntral dl problma (3.3). La condicion ncaria d optimalidad d primr ordn dl problma d programación no linal con rtriccion d igualdad (3.3), con drivada d la función lagrangiana L, cual dfinida como: nh fijo, pudn r i (3.4) L( x,,, ) f ( x) ln g( x) ( h( x) ) i1 ng nh Dond,, on vctor d multiplicador d Lagrang y on comúnmnt llamado variabl dual. omando la drivada parcial d la función lagrangiana rpcto a cada una d la variabl tnmo: L L L L x fx gx hx L x L L gx L hx 1 (3.5) Dond f x l gradint d la función objtivo, rtriccion d igualdad y h x nhnx g x ngnx la matriz Jacobiana d la matriz Jacobiana d rtriccion d digualdad. La matriz una matriz diagonal con lo lmnto dl vctor formando la diagonal, y un vctor d dimnion apropiada cuyo lmnto on igual a uno. Un mínimo local d (3.3) pud r calculado por un punto tacionario d la función lagrangiana (3.4), cual db d atifacr la condicion ncaria d optimalidad d primr ordn d Karuh-Kuhn-ucr (KK), to, la drivada parcial d la función lagrangiana dbn r igual a cro: 11

18 Capítulo 3 Método d punto intrior F( x,,, ) (3.6) Dond L x fx gx hx L F( x,,, ) L gx ( ) L h( x) (3.7) Dond la trcra y cuarta cuación rprntan la condicion d factibilidad primal, y la primra y gunda cuación rprntan la condicion d factibilidad dual y la condicion d complmntaridad rpctivamnt. 3.3 Cálculo d dirccion d Nwton Aunqu l itma KK (3.7) un itma no linal d cuacion, u olución gnralmnt aproximada por una única itración dl método d Nwton, pu la condicion d optimalidad qu hay qu rolvr cambian al actualizar n cada itración. La dirccion d Nwton on uada para guir l camino d minizador paramtrizado por. El método d Nwton ncita qu an dfinido lo iguint punto inicial: parámtro d barrar logarítmica 0, variabl primal 0 x y 0, y 0 0 variabl dual y. El método d Nwton conit n un proco itrativo n l cual aproxima un punto inicial x 0, 0, 0, 0 al punto d olución * * * * x,,, a travé d una cuncia d punto x,,, qu indica una trayctoria rcorrida durant l proco itrativo. En cada itración dl método d Nwton, un punto d olución tin qu atifacr la condicion d no ngatividad 0,. La olución d la cuacion d optimalidad d KK (3.7) utilizando l método d Nwton, obtin al rolvr l iguint itma linal d cuacion: Dond v x,,,, v l vctor d dirccion d Nwton. v F v v F v (3.8) F v la matriz d drivada parcial d F v y v Al aplicar l método d Nwton como indica n (3.8), obtin un itma linal d cuacion indfinido. Et último itma indfinido pud r obtnido por rolvr la cuacion dl itma (3.7) junta o rolvindo un itma rducido. Et itma 12

19 3.5 Solución dl itma rducido rducido obtnido por liminación y utitución d variabl. Ambo itma on dcrito n t capítulo. 3.4 Solución dl itma aumntado Al aplicar (3.8) al itma d cuacion (3.7) obtin l iguint itma imétrico indfinido: Lxx 0 gx h x x x L x 0 0 Fv v gx gx ( ) hx I 0 0 h( x) (3.9) Dond la matriz hiana L xx, corrpond a la gunda drivada d la función lagrangiana con rpcto a la variabl x, y igual a: xx xx xx xx L ( x,,, ) f g h (3.10) La matric imétrica f xx, g xx y h xx on la hiana d la función objtivo f( x ), d la función rtriccion d igualdad gx ( ) y d la función rtriccion d digualdad hx ( ), rpctivamnt. 3.5 Solución dl itma rducido El itma d cuacion dado n (3.9) pud r rducido a un pquño itma d cuacion, rolvindo d forma xplícita n término d, y por n término d x. omando la gunda fila dl itma (3.9) y rolvindo para tnmo: 1 Rolvindo la cuarta fila d (3.9) para tnmo: (3.11) h x h( x) x h( x) h x (3.12) Dpué, utituyndo (3.11) y (3.12) n la primra fila d (3.9) tnmo: x 13

20 Capítulo 3 Método d punto intrior xxx gx hx x L L 1 xxx gx hx x L L L L xx x g x 1 ( ) ( ) x x Lx h h x h x x 1 xx x x x 1 1 h h( x) h L x x g h h S 1 xx hx hx x gx x 1 x x x x x Lx h h x h h( x) L M x g N x (3.13) Dond 1 L xx x x M h h (3.14) Y x x 1 N L h h( x) (3.15) Combinando (3.13) y la trcra fila d (3.9) rulta n un itma d cuacion d tamaño rducido, dado por: M g x x R x N Fv v g 0 gx ( ) x (3.16) R La matriz d coficint dl itma rducido F v imétrica indfinida, dado qu lo tr término d la drcha d la cuación (3.15) on matric imétrica. Para calcular la dirccion d Nwton a travé dl itma rducido primro db calcular x y d (3.16); dpué, calcular d (3.12); y finalmnt, calcular d (3.11). 3.6 Actualización d variabl primal y dual En cada itración rulv l itma (3.9) o l itma (3.16) dpndindo d i trabaja con l itma aumntado o rducido, y lugo hac una timación d lo valor d la variabl dl problma, obtnida por: 14

21 3.8 Rducción dl parámtro barrra 1 p x x x 1 p 1 d 1 d (3.17) Dond lo calar p y d 01, on longitud d pao para la variabl primal y dual rpctivamnt, qu multiplican a todo lo incrmnto dtrminado n l método d Nwton. 3.7 Cálculo d longitud d pao primal y dual Conidrando qu la condicion d optimalidad d KK (3.7) rulvn n cada itración d manra aproximada con una única itración dl Método d Nwton, podría ocurrir qu la variabl una vz actualizada con u rpctivo incrmnto no an factibl n lo qu rpcta a la rtriccion d digualdad. Con l fin d agurar qu ninguna variabl, ya a d holgura o u multiplicador aociado, a ngativa, calculan la longitud d pao primal y dual. Una manra d calcular éta mdiant la rgla hurítica iguint: p d min 1, min 0 min 1, min 0 (3.18) Dond 01, un factor d guridad para vitar la xciva aproximación a un límit y agurar la poitividad tricta d la variabl n la itración. Un típico valor para l factor d guridad Rducción dl parámtro barrra El parámtro db rducir d itración n itración a fin d qu al finalizar l proco atifagan la condicion d complmntaridad. 0 (3.19) El nuvo valor dl parámtro barrra calculado a partir dl valor ridual d la condición d complmntaridad calculado n cada itración, d la iguint manra: l cual llamado gap d complmntaridad, y (3.20) 15

22 Capítulo 3 Método d punto intrior * Si l proco itrativo convrg a un óptimo, ntonc 0. Sin mbargo, para fcto práctico dic qu, al final dl proco itrativo, l parámtro un númro lo uficint pquño. Una rlación ntr lo parámtro dfinida d manra implícita n la cuación (3.19), y ugir qu *, dond y tá pud r rducida n función d la diminución dl gap d complmntaridad. En la rfrncia [19] y [9], para agurar l dcrciminto dl parámtro d barrra n cada itración, mplan la iguint xprión: Dond 01, l dcrciminto prado d 1 (3.21) nh dnominado parámtro cntral y nh l númro d incuacion. Una forma dinámica d lccionar max 0.99, 0.1 0, con Critrio d convrgncia El proco d optimización d método d Punto Intrior trmina cuando un óptimo local dl problma (3.1) ncontrado, y to ucd cuando la variacion d la condicion d factibilidad primal, la condicion d factibilidad dual (calada), la condicion d complmntaridad y la función objtivo dd una itración a la iguint can por dbajo d una tolrancia. Una forma d calcular ta variacion proputa n [19]: Dond v v v v v max max( h( x), g( x) v v v fx gx hx 1 x 1 x f ( x ) f ( x ) 1 f( x ) (3.22) (3.23) 16

23 3.10 Punto inicial Si lo critrio v1 1, v2 1 y v3 2 cumpln, ntonc la condicion d factibilidad primal, factibilidad dual y complmntaridad rpctivamnt, on atifcha. Cuando la condición (3.23) atifcha, la itración actual un punto KK d ocurrncia 1. Valor típico d tolrancia d convrgncia on 1 10 y Punto inicial Lo método d punto intrior no rquirn qu l punto inicial x a un punto factibl. Sin mbargo, la condicion d tricta poitividad 0 y 0 dbn r atifcha, ya qu d otra manra l método no convrg. El proco d convrgncia nibl al punto inicial y pud afctar l rndiminto dl Método d Punto Intrior. En [19], la iguint inicialización proputa: 1. La variabl primal 0 x pud r obtnida como la olución d un problma d rparto d carga, o calculada como l punto mdio ntr lo limit uprior infrior d para la variabl acotada. 2. La variabl d holgura 0 on inicializada para atifacr la tricta condición d no ngatividad. Rcribindo la incuacion como: ˆ min max (3.24) h h x h la variabl aociada con lo límit infrior, min, on obtnida como: 0 0 min min,, 1 min max h h x h h (3.25) max min dond h h h, y uprior on inicializada como:. Dpué, la variabl aociada a lo límit 0 0 max min 3. La variabl dual 0 on obtnida como: h (3.26) S (3.27) 4. La variabl dual 0 pudn r inicializada con cro. 17

24 Capítulo 3 Método d punto intrior 3.11 Algoritmo gnral PD El algoritmo dl método d punto intrior Primal Dual pud r dcrito n forma dtallada n lo iguint pao: 1. Inicialización d 0 y 0 atifaga la condicion d no ngatividad, 2. Calcular lo vctor. Slcción d punto inicial v 0 x, 0, 0, 0 0, f x, 0 gx ( ) y 3. Si l punto v x,,, 0 hx ( ), y la matric 0 g x y qu 0 h x. atifac l critrio d convrgncia, cuación (3.23), y trminar. En cao contrario, continuar al iguint pao. 4. Calcular l vctor d la drcha dl itma linal rducido motrado n (3.16). 5. Calcular la matriz hiana L xx, utilizando la cuación (3.10). 6. Formar y factorizar la matriz dl itma linal motrado n (3.16), y rolvr l itma n l punto v. 7. Con lo valor obtnido x y, y la cuacion auxiliar (3.11) y (3.12), calcular la otra dirccion d Nwton rtant, y. 8. Con la dirccion d nwton obtnida, calcular la longitud d pao primal y dual p y d utilizando (3.18) Actualizar la variabl primal y dual v x,,, d (3.17). por mdio 10. Calcular lo vctor 1 f x, 1 gx ( ) y 1 hx ( ), y la matric x 1 g y x 1 h. 11. Actualizar 1 y 1 utilizando (3.20) y (3.21) rpctivamnt. 12. Aignar 1 ir al Pao 3. 18

25 Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior El cálculo d la dirccion d Nwton v n (3.8) uualmnt la tara qu dmanda mayor cot computacional n cada itración dl algoritmo PD. Concrnint al itma linal (3.8), la factorización d la matriz F ( v ) mucho má cotoa qu la utitución hacia adlant y hacia atrá potrior a la factorización matricial. Eto indica qu i rduc l númro d factorizacion al mínimo ncario, a xpna d algún incrmnto n l cot d cada itración, rá poibl aumntar l dmpño dl PD. La ida principal para rducir l númro d itracion dl PD aumntar la prciión con la cual l método d Nwton aproxima la cuacion no linal dl itma KK. Lo método d punto intrior qu utilizan ta ida on conocido como método d ordn uprior. En t capítulo dcribirán lo iguint método d punto intrior d ordn uprior: Prdictor Corrctor (PC), proputo por S. Mhrotra n [11]; Múltipl Corrccion Cntral (MCC), proputo por J. Gondzio n [13]; y Múltipl Corrccion Cntral Pondrada (WMCC), proputo por M. Colombo y J. Gondzio n [14]. 4.1 Prdictor Corrctor (PC) El método d punto intrior Prdictor Corrctor un método muy ficint dado qu, n cada itración, una dircción d Nwton obtnida para rolvr do itma d cuacion linal, conocido como pao prdictor y corrctor, rlacionando n cada uno d llo la mima matriz F ( v ) con do difrnt vctor d la drcha. v v L 0 0 x Fv v v gx ( ) 0 0 h ( x) 0 0 RHS it. lin. 1 RHS it. lin. 2 (4.1) La ida, primro, calcular una dircción d Nwton baada n lo término d primr ordn. La longitud d pao tomada n ta dircción on uada para valuar cuanta corrcción cntral ncaria. Dpué, un término corrctor calculado. Ét contin un término cntral y un término d gundo ordn, to : 19

26 Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior Dond la dircción d Nwton v af af cn g v v v v (4.2) prdictor corrctor v tá computa d la iguint dirccion: la dircción prdictora o dircción affin-caling, qu obtnida cuando 0 n l itma (3.9). v cn la dircción cntral, cuyo tamaño rig por l parámtro barrra v g la dircción d lo término d gundo ordn, qu trata d compnar la no ngatividad n la dircción affin-caling Pao prdictor La dircción corrpondint al pao prdictor, calcula partindo con 0 n l vctor d la drcha dl itma (3.9). v af. F v x af L x gx ( ) af h( x) af af v (4.3) La dircción prdictora obtnida d (4.3) uada para aproximar lo término n l lado drcho d la cuación (4.1); y para timar un valor dl parámtro barrra rá uado n l cálculo d la dircción corrpondint al pao corrctor. Para la timación dl parámtro barrra af primal y dual d la dircción prdictora, utilizando: af, qu, primro obtinn la longitud d pao paf daf min 1, min 0 min 1, min 0 af af (4.4) Dpué, una timación dl gap d complmntaridad pud r calculada d la iguint manra: af p af af daf af ( ) ( ) (4.5) 20

27 4.1 Prdictor Corrctor (PC) Finalmnt, la timación d af obtnida dd: af af af (4.6) nh Dond l parámtro cntral igual a: af 2 af min,0.2 (4.7) El quma para la actualización d af mplado lcciona valor pquño cuando l pao prdictor af v af produc un dcrciminto grand n l gap d complmntaridad, y, n cao contrario, toma un valor grand. El itma (4.4) pud r rducido liminado por utitución la variabl qudando d la iguint forma: M g x x af N gx 0 af gx ( ) af y, af (4.8) Dond 1 L xx x x M h h (4.9) x Y la cuacion auxiliar qudando como: x 1 N L h h( x) (4.10) h( x) h x (4.11) af x af af 1 (4.12) Pao corrctor En t pao, lo do último vctor d la drcha d (4.1) on umado para obtnr la dircción d corrcción v, to : para la itración éima co af 21

28 Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior F v v v co x co 0 co af af af co 0 0 co (4.13) Dpué, la dircción computa v para la itración éima, calculada como la uma d la dirccion d Nwton d lo pao prdictor y corrctor. af co v v v (4.14) Una variant para l cálculo d (4.14), umar lo vctor d la drcha d (4.3) y (4.13) y, a partir dl vctor rultant, calcular la dircción computa, to : F v v v x L x gx ( ) h( x) af af af (4.15) El proco d cálculo d lo pao prdictor y corrctor nvulv n cada itración la olución d do itma linal d cuacion, con difrnt vctor d la drcha, y con la mima factorización d la matriz v F v (obtnida n l pao prdictor). El furzo adicional con rpcto al método Primal Dual original ólo la olución dl itma linal d cuacion dl pao corrctor cálculo d la longitud d pao paf y daf v co con la matriz ya factorizada, l, y la timación d. Gnralmnt, t incrmnto d timpo trancurrido por itración compna con una rducción dl timpo d cálculo global, gracia a una diminución dl númro d itracion. El itma (4.15) pud r rducido d la iguint forma: af M g x x N gx 0 gx ( ) (4.16) Dond 1 L xx x x M h h (4.17) 1 x x af af af N L h h( x) Y obtinn la iguint cuacion auxiliar: (4.18) 22

29 4.1 Prdictor Corrctor (PC) h( x) hx x (4.19) Algoritmo gnral PC 1 af af af (4.20) El algoritmo dl método d punto intrior Prdictor Corrctor pud r dcrito d forma dtallada n lo iguint pao: 1. Inicializar 0 y 0. Slccionar l punto inicial v 0 x 0, 0, 0, 0 atifaga la condicion d no ngatividad. 2. Calcular lo vctor 0 f x, 0 gx ( ) y 3. Si l punto v x,,, 0 hx ( ), y la matric qu 0 g x y 0 h x. atifac l critrio d convrgncia, cuación (3.23) y trminar. En cao contrario, continuar al iguint pao. 4. Calcular l vctor d la drcha dl itma linal rducido motrado n (4.8). 5. Calcular la matriz hiana L xx, utilizando la cuación (3.10). 6. Formar y factorizar la matriz dl itma linal motrado n (4.8). Rolvr l itma n l punto v. 7. Con lo valor obtnido x af y v af, y la cuacion auxiliar (4.11) y (4.12), calcular la otra dirccion d Nwton rtant, af y. 8. Con la dirccion d Nwton obtnida, calcular la longitud d pao primal paf daf y dual y utilizando (4.4). Calcular y lugo timar uando (4.5) y (4.6) rpctivamnt. 9. Calcular l vctor d la drcha dl itma linal rducido motrado n (4.16). 10. Utilizar la matriz factorizada dl punto 6 y rolvr itma linal motrado (4.16) n l punto v. 11. Con lo valor obtnido x y, y la cuacion auxiliar (4.19) y (4.20), calcular la otra dirccion d Nwton rtant, af af y. 12. Con la dirccion d Nwton obtnida, calcular la longitud d pao primal y dual, p y d, utilizando (3.18) Actualizar la variabl primal y dual v x,,, d (3.17). af, por mdio 14. Calcular lo vctor 1 f x, 1 gx ( ) y 1 hx ( ), y la matric x 1 x 1 g y h. 23

30 Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior 15. Actualizar 1 y 1 utilizando (3.20) y (3.21) rpctivamnt. 16. Aignar 1 ir al pao Múltipl Corrccion Cntral (MCC) El método d punto intrior d Múltipl Corrccion Cntral utiliza l pao prdictor v af obtnido n l método Prdictor Corrctor, y dpué valúa uno o má término corrctor, tratando d alcanzar lo iguint do objtivo principal: (i) mjorar la dircción cntral d la iguint itración, y (ii) incrmntar la longitud d lo pao primal y dual. La motivación para l primr objtivo aumntar la poibilidad d un mayor pao n la iguint itración y, para l gundo, obtnr una rápida rducción d la infactibilidad primal y dual, juntándo lo do objtivo para obtnr una aclración n la convrgncia. Para dfinir la corrccion cntral, conidra qu una dircción prdictora v af y paf la longitud d pao primal y dual y furon dtrminada prviamnt n la tapa prdictora. El iguint pao conit n calcular una dircción corrctora, d tal manra qu la longitud d pao daf p y rpctivamnt, tando la primra dfinida por: p paf min, 1 d daf min, 1 d an mayor qu paf y vco, daf (4.21) Dond un calar d valor rducido, utilizado para agurar pquño incrmnto n lo factor d pao d la tapa prdictora; y la dircción d Nwton total tá dada por v v v (4.22) af co in violar la condición d no ngatividad,, 0. Para qu to a poibl, cirta condicion dbn r imputa n la dircción corrctora vco. D acurdo con la rfrncia [20], poibl obrvar qu, gnralmnt cuando 1, un punto prvito v dfinido por: pd, (4.23) v v v af pud tnr componnt qu violn la rtricción, 0. Cuando to ocurr, l término corrctor vco db compnar lo componnt ngativo d forma qu l punto prvito, v, rtorn a una vcindad d la trayctoria cntral. 24

31 4.2 Múltipl Corrccion Cntral (MCC) El vctor w vin dfinido como l producto d la condición d complmntaridad para l punto prvito, to : w S (4.24) Dpué, dbn d idntificar lo componnt d w qu no prtncn al intrvalo min af max af,. Eto componnt on dnominado producto d complmntaridad xtrno, y min y max on calar conidrado para dfinir lo límit mínimo y máximo d to producto. El pao corrctor tin como objtivo 1 modificar to producto n l ntido d mjorar la cntralidad d v. Para corrgir lo producto xtrno, lo componnt d w on proyctado n un hiprcubo nh H,, lo qu analíticamnt implica calcular un vctor w tal qu: min af max af minaf, i w minaf wmaxaf, i wmaxaf w cao contrario (4.25) Dpué, un término corrctor linal: m v obtnido como olución dl iguint itma F v v m v m x 0 m w w m 0 m 0 (4.26) El vctor d la drcha d (4.26) po lmnto difrnt d cro olo para lo componnt d w w rfrnt a lo producto complmntario qu no prtncn al intrvalo minaf, max af. Por otra part, tal como tá dfinido l vctor d la drcha, t pud tar mal calado i xitn componnt d w con valor lvado. Por tanto, para prvnir l fcto indabl d t mal calaminto, todo lo componnt d w w mnor a on, como ugir n [13], rmplazado max af con t valor, l cual corrpond al límit prado para un dcrciminto d valor lvado d producto d complmntaridad w. m La modificada dircción d corrcción v qu obtin al rolvr (4.26) uada para corrgir la dircción d prdicción como igu: af m v v v (4.27) 25

32 Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior Una nuva longitud d pao primal y dual n la dircción v on obtnida, y l nuvo valor para la variabl primal y dual calculado, como dcribió antriormnt para lo método PD y PC. El proco dl pao corrctor pud r rptido un dabl númro d vc. La dircción d Nwton n (4.27) convirt n t cao n l nuvo prdictor, v v, para l cual un nuvo punto prvito calculado dd (4.23). El producto d la condición d complmntaridad n (4.24) uado para dfinir l vctor d la drcha n (4.26), mplando prviamnt (4.25). Dpué, una nuva dircción cntral m modificada v qu rulv (4.26) calculada y agrgada al término prdictor, como n (4.27). En tal cao, l término corrctor agrgado a la dircción prdictora tá dado m por v mcc v. m El uo d múltipl corrccion cntral rulta d intré práctico ólo i alcanza una rducción n l númro d itracion, rultando n una diminución n l timpo total d cálculo dl proco itrativo. Por lo tanto, ncial controlar la mjora rultant d múltipl olucion d (4.26). Sgún [13], una nuva corrcción rá ralizada cuando la longitud d pao n la dircción v aumntn lo uficint, n comparación con la longitud d pao corrpondint a vaf má l factor, dcir, i: y (4.28) p paf d daf Dond l mínimo valor acptado para l incrmnto d la longitud d pao. El númro d corrccion cntral M m M. m mnor qu un númro máximo d corrccion En [20] l incrmnto d la longitud d pao primal y dual lccionado dinámicamnt como igu: 1 min p, af daf (4.29) M Dond M l númro máximo d corrccion cntral prmitido, y pd, la af longitud d pao n la dircción prdictora. Adicionalmnt, conidra qu no dbrá r mnor a 0.1 (muy pimita) y no mayor a 0.2 (muy optimita). En [25] mutra qu, i lcciona la primra dircción prdictora n l método MCC como la dircción d Nwton total obtnida n l método PC, to, af co v v v, pudn obtnr mjor rndiminto. En contxto, la dircción af 26

33 4.2 Múltipl Corrccion Cntral (MCC) obtnida n l método Prdictor Corrctor d Mhrotra conidrada la primra dircción prdictora vaf a la cual m corrccion cntral pudn r aplicada. El itma (4.26), pud r rducido d la iguint forma: m M g x x N g 0 m x gx ( ) (4.30) Dond 1 L xx x x M h h (4.31) x 1 Y obtinn la iguint cuacion auxiliar: N h w w (4.32) m m x m h x (4.33) 1 m w w (4.34) El método MCC al igual qu l PC rduc l númro d itracion a cota d un furzo computacional xtra n cada itración Algoritmo gnral MCC El algoritmo dl método d punto intrior Múltipl Corrccion Cntral pud r rumido como: Inicialización d variabl,,, 0 x y tal qu 0, 0 0, y l númro M d corrccion cntral prmitida n cada itración. 2. t d convrgncia. Si l critrio d convrgncia (3.23) atifac, trminar, n cao contrario, continuar al iguint pao. 3. Rolvr l itma (4.3) para obtnr la dircción prdictora vaf. 4. Calcular af acord a (4.6), y ncontrar la dircción corrctora vco rolvindo l itma (4.13). 5. Calcular v vaf vco, hacr vaf v y p, d p, d. 6. Calcular l punto prvito (4.23). 7. Rolvr l itma (4.26) para una dircción d corrcción cntral v. af af m 27

34 Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior 8. Calcular v v v af m 9. t d convrgncia: comparación dl númro d corrccion cntralizada m y l límit M, y vrificación d cumpliminto d (4.28). Si lo do critrio cumpln, hacr: vaf v y p, d p, d, y rtorna al pao 6. En cao contrario, l proco proigu. 10. Actualización d variabl dl problma d optimización 11. Calcular 1 y 1 ir al pao 2. 1 af af utilizando (3.20) y (3.21) rpctivamnt, aignar 4.3 Múltipl Corrccion Cntral Pondrada (WMCC) El método d Múltipl Corrccion Cntral Pondrada proputo para programación linal por M. Colombo y J. Gondzio baa n uprar una dvntaja qu prnta l método PC, xputa por C. Carti n [26]. La dvntaja conit n qu para cirto punto inicial, la dircción corrctora v impr d un ordn d magnitud mayor a la d la dircción prdictora vaf co. En t cao, mintra l punto prdictor avanza hacia l punto óptimo, l punto corrctor d gundo ordn alja d t. Como la dircción final tá dada por: v v v (4.35) la dircción prdictor-corrctor computa tá influnciada cai xcluivamnt por l término corrctor y, por lo tanto, podría obtnr una dircción d avanc incorrcta. La longitud d pao gnrada por t moviminto incorrcto a lo largo d la dircción v on pquña. Para uprar ta dficincia y obtnr una mjor dircción computa, M. Colombo y J. Gondzio proponn pondrar l pao corrctor por un parámtro 01,, to : af af co v v v (4.36) con l objtivo d lccionar un po óptimo ˆ tal qu incrmnt la longitud d pao n l pacio primal y dual n la dircción d Nwton computa. Una cuncia d Múltipl Corrccion Cntral pud r gnrada, y para cada una d ta un po óptimo ˆ dtrminado. co af m v v ˆ v (4.37) 28

35 4.3 Múltipl Corrccion Cntral Pondrada (WMCC) La dircción v convirt n l nuvo término prdictor vaf para la iguint corrcción cntral. El proco d corrccion itrativo, y pud r intrrumpido n cualquir fa. E important notar qu vntualmnt, dpué d adicionar l último término corrctor, la dircción d Nwton total mplada por l método WMCC : Dond l término prdictor 1 1 v v ˆ v ˆ v (4.38) af m vaf contribuy a ét in alguna rducción. Por lo tanto, cuanto mayor an la longitud d pao n lo pacio primal y dual, má progra hacia l optimizador d problma. En [14] la lcción d rtring al intrvalo,, 1 m min max p d y obtin ralizando una búquda linal. Para to, lccionan 9 punto uniformmnt ditribuido n dicho intrvalo, y valúan n cada uno d to punto la longitud d pao p y d. Cuando la mayor longitud d pao p o d obtnida, l corrpondint almacnado como ˆ p o difrnt po para la dirccion n lo pacio primal y dual. ˆ d rpctivamnt, prmitindo La longitud d pao mplada para dtrminar l punto prvito (4.23) on calculada mplando: p d paf daf min , 1 min , 1 (4.39) Sindo éta mno conrvadora qu la mplada n l método MCC, gracia a qu con l mcanimo d pondración pud controlar la contribución dl corrctor d forma adaptativa. La corrccion cntral on acptada i 1. 01, p p af 1. 01, y l númro d corrccion cntral m mnor qu un númro d d af máximo d corrccion M Algoritmo gnral WMCC El algoritmo dl método d punto intrior Múltipl Corrccion Cntral Pondrada pud r rumido como: Inicialización d variabl,,, 0 x y tal qu 0, 0 0, y l númro M d corrccion cntral prmitida n cada itración. 29

36 Capítulo 4 Método d punto intrior d ordn uprior 2. t d convrgncia. Si l critrio d convrgncia (3.23) atifac, trminar, n cao contrario continuar al iguint pao. 3. Rolvr l itma (4.3) para obtnr la dircción prdictora vaf. 4. Calcular af acord a (4.6) y ncontrar la dircción corrctora vco rolvindo l itma (4.13). 5. Hacr una búquda linal para ncontrar l óptimo ˆ qu maximiza la longitud d pao pd, n la dircción v vaf vco. Hacr v v v. af af co 6. Calcular l punto prvito (4.23). 7. Rolvr l itma (4.26) para una dircción d corrcción cntral v. 8. Hacr una búquda linal para ncontrar l óptimo ˆ qu maximiza la longitud d pao pd, n la dircción v v v. Hacr af m v v v. 9. t d convrgncia: comparación dl númro d corrccion cntralizada m y l límit M, y vrificación d cumpliminto y Si lo do critrio cumpln, hacr: pao 6. En cao contrario, l proco proigu. p p af vaf v y p af, d af p, d 10. Actualización d variabl dl problma d optimización 11. Calcular 1 y 1 ir al pao 2. 1 af m m d d af, y rtorna al utilizando (3.20) y (3.21) rpctivamnt, aignar 30

37 Capítulo 5 Dtall d implmntación En t capítulo analizará la vntaja computacional dl itma rducido, con rpcto al itma aumntado, n la olución dl itma KK; motrará la notación matricial mplada n l cálculo d la primra y gunda drivada (jacobiano y hiano) d la funcion mplada n nutra formulación d OPF; y finalmnt, dtallará brvmnt l algoritmo mplado para rolvr lo itma linal (itma KK) rultant n la difrnt formulacion d punto intrior dcrita antriormnt. 5.1 Análii d lo itma aumntado y rducido En la figura 2 pudn obrvar, marcado con un atrico, lo lmnto no nulo corrpondint a la matric d lo itma aumntado y rducido, rultant d la optimización d la opración d un itma léctrico d 5 barra. La caractrítica dl itma aumntado on nx 14, ng 11 y nh 28, por lo qu la dimnión d u matriz d coficint, figura 2(a), nx ng 2nh, y con 392 lmnto no nulo, lo qu ignifica un % d lmnto nulo. La caractrítica dl itma rducido on nx 14, ng 11, por lo qu la matriz dl itma rducido, figura 2(b), d dimnion nx ng % d lmnto nulo., y con 194 lmnto no nulo, lo qu ignifica un Figura 2. Etructura d la matriz dl itma KK 31

38 Capítulo 5 Dtall d implmntación Lo itma linal aumntado y rducido on itma imétrico tructuralmnt indfinido, pro l itma rducido también lo numéricamnt, a difrncia dl itma aumntado qu olo lo n la ubmatric no nula. Como rultado d lo dcrito antriormnt, obtin qu l mplar l itma rducido rquir mno timpo y furzo computacional qu l mplar l itma aumntado. 5.2 impo d jcución El pao qu involucra má timpo y furzo computacional durant la jcución d cualquira d lo método d punto intrior mncionado antriormnt la olución dl itma linal rultant d aplicar l método d Nwton a la condicion KK. Admá, l timpo d jcución total tá rlacionado con lo iguint factor: Caractrítica dl computador utilizado. Naturalza no linal y tamaño dl problma a rolvr. Punto y parámtro d barrra inicial. Equma d procaminto y ordnaminto dl itma linal. Método utilizado para rolvr l itma linal. aa d dcrciminto dl parámtro barrra. amaño d la longitud d pao primal y dual. Critrio d parada. 5.3 Cálculo d primra y gunda drivada La forma d cálculo d la primra y gunda drivada mplada on tomada d [22], n dond mutra cómo la función d cot, la cuacion d balanc d potncia y cuacion d flujo d potncia mplada n l cálculo d rparto d carga y d rparto d carga óptimo, pudn r xprada n término d matric dipra complja, y como u primra y gunda drivada pudn r calculada d forma ficint mplando impl opracion ntr dicha matric. Prvio a dcribir la drivada d la funcion rlacionada con l rparto d carga óptimo, dfin l vctor d tnion complja V d dimnion nx. b 1 La tnión para la barra i v j i i vi, indo y lo vctor d magnitud y ángulo d tnión rpctivamnt. S dfin: Función d cot E V. Conidrando la función d cot dtallada antriormnt: 2 f x c c P c P (5.1) 0 1 g 2 g 32

39 5.3 Cálculo d primra y gunda drivada La primra drivada d la función d cot f x rpcto al vctor d variabl x : f fx f f fpg f Qg x 0 0 C 12C2 0 (5.2) El producto d la gunda drivada d f x rpcto al vctor d variabl x : f xx fx x 0 0 fpgpg C (5.3) Función d balanc d potncia aparnt Conidrando la cuación d balanc d potncia aparnt g ( x) 0, dond: g ( x) S S C S (5.4) barra d g g La primra drivada d la cuación d balanc d potncia aparnt rpcto al vctor d variabl x : g x Pg Qg g g g g g x (5.5) dond * * * [ ] barra barra * * * 1 barra barra g j V I Y V g [ V ] I Y V [ ] g g Pg Qg g (5.6) (5.7) C (5.8) jc (5.9) g El producto d la gunda drivada d la cuación d balanc d potncia aparnt rpcto al vctor d variabl x multiplicada por l vctor d multiplicador d Lagrang : 33

40 Capítulo 5 Dtall d implmntación g xx gx g g 0 0 g g 0 0 x (5.10) dond g g g * * * V Ybarra V Ybarra V g * * * V Y barra V I barra 1 * * * j V Ybarra V Ybarra V * * * V Y barra V I barra (5.11) (5.12) g g g (5.13) g g * * * * V Y barra V V Y barra V 1 1 (5.14) Ahorro computacional pudn r alcanzado por almacnar y rutilizar cirto término intrmdio durant l cálculo d ta gunda drivada, como igu: Y Y V barra * V * barra 1 V V * I barra j g (5.15) Sutituyndo to término n la xprion obtnida antriormnt tnmo: 34

41 5.3 Cálculo d primra y gunda drivada g g g g j g (5.16) Función d flujo d potncia Conidrando la rtriccion d potncia por lína y tranformador d la forma hx 0, la función h x dfinida n término dl cuadrado d la potncia d flujo aparnt, la cual drivada prviamnt d la potncia d flujo aparnt. La rlacion d t apartado on xprada para la potncia d flujo dd l lado d nvío. La rlacion dd l lado d rcibo pudn r obtnida rmplazando todo lo ub/úpríndic por r. Drivando la cuación (2.15) rpcto al vctor d variabl x, obtnmo la primra drivada d la potncia d flujo n ntido nvío-rcibo, to : ds x Pg Qg S S S S S x (5.17) dond * * * S j I C[ V ] CV Y V S I * [ ] * * C E CV Y E Pg (0.18) (5.19) S 0 (5.20) S 0 (5.21) Qg El producto d la gunda drivada d la potncia d flujo aparnt rpcto al vctor d variabl x multiplicada por l vctor d multiplicador d Lagrang : S xx SX S S S 0 0 S 0 0 x (5.22) dond 35