MECÁNICA DE SÓLIDOS. Tema 3 Plasticidad

Transcripción

1 MECÁNICA DE SÓLIDOS Curo 07/8 Titulación: Grado n Ingniría Mcánica Tma Platicidad Profor: Jorg Zahr Viñula Joé Antonio Rodríguz Martínz

2 Tma Platicidad. CUESTIONES PREVIAS. CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN. CARACTERIZACIÓN DEL ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIÓN.4 TEORÍA INCREMENTAL Y TEORÍA TOTAL DE LA PLASTICIDAD.5 TEOREMAS DE PLASTICIDAD.6 PLASTICIDAD BIDIMENSIONAL.7 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PLASTICIDAD

3 Tma Platicidad. CUESTIONES PREVIAS. CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN. CARACTERIZACIÓN DEL ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIÓN.4 TEORÍA INCREMENTAL Y TEORÍA TOTAL DE LA PLASTICIDAD.5 TEOREMAS DE PLASTICIDAD.6 PLASTICIDAD BIDIMENSIONAL.7 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PLASTICIDAD

4 Tma Platicidad.4 Toría d la Platicidad CONTENIDOS.4. Introducción.4. Rcurdo: dcomoición aditiva d lo tnor y..4. Toría Incrmntal d la Platicidad..4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total.

5 .4. Introducción Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad Antriormnt, han tudiado la condicion qu db cumlir l tado tnional ara qu inici la dformación lática n l matrial. Eta condicion conforman l Critrio d Platificación: -- En l cao uniaxial (a tracción o comrión), utiliza como límit un único valor calar, conocido como Límit Elático o Tnión d Fluncia, σ Y -- En l cao multiaxial gnral, utiliza l concto d Surfici d Platificación, o bin, d Lugar d Platificación (n aqullo cao n qu la tnión hidrotática no juga ningún al). S ha tudiado también l concto d Endurciminto or Dformación, qu: -- En l cao uniaxial, traduc n un aumnto dl Límit Elático σ Y, frnt a un aumnto d la olicitación mcánica. -- En l cao triaxial gnral, traduc n una xanión dl Lugar d Platificación, frnt a un aumnto d la olicitación mcánica (xanión qu ocurr in cambio d forma, n l cao d ndurciminto iótroo). Sin mbargo, una vz iniciada la dformación lática, D qué manra rlacionan la tnión y la dformación?

6 .4. Introducción Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad La rlación bucada ntr l tnor d tnion y l tnor d dformacion ud dcribir d do forma: -- Toría Incrmntal d la Platicidad (a vc dnominada Toría d la Dformacion Incrmntal o, imlmnt, Platicidad Tangnt) -- Toría d la Platicidad n Dformacion Total (a vc dnominada Platicidad Scant, uto qu aoya n la Toría d la Elaticidad no-linal) Amba toría hacn uo xtnivo d la dcomoicion aditiva habitual d lo tnor tnión y dformación y qu, a continuación, rcurdan.

7 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Rcurdo: Dcomoicion aditiva d y d Dcomoición dl tnor n u comonnt lática y lática: Tnorial: l l En comonnt: l l l. vol l l. vol l En mtal dúctil: l.vol 0 Dcomoición dl tnor n u comonnt hidrotática y dviadora: Tnorial: h En comonnt: h Dcomoición dl tnor n u comonnt hidrotática y dviadora: Tnorial: h En comonnt: h

8 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Rcurdo: Dcomoicion aditiva d y d Dcomoición dl tnor n u comonnt lática y lática: Tnorial: l l En comonnt: l l Dcomoición dl tnor n u comonnt hidrotática y dviadora: Tnorial: h En comonnt: h Dcomoición dl tnor n u comonnt hidrotática y dviadora: Tnorial: h En comonnt: h Dond la comonnt volumétrica (o hidrot.) udn xrar n término d calar con ntido fíico : h h kk kk vol indo indo kk vol kk En Elaticidad, d la Ly d Hook conoc qu : vol K indo Admá, la dformación dviadora lática : l G indo E K E G

9 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Rcurdo: Dcomoicion aditiva d y d EN RESUMEN: Puto qu la dformación volumétrica íntgramnt lática, conoc la rlación ntr la tnión hidrotática y la dformación volumétrica : = K ε vol Puto qu la dformación dviadora tin una comonnt lática (qu gobrnada or la Ly d Hook), conoc también la rlación ntr la tnión dviadora y la comonnt lática d la dformación dviadora : = G l QUEDA POR DETERMINAR: Rlación ntr la tnión y la comonnt lática d la dformación dviadora.

10 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Plantaminto d la Toría Incrmntal.- La dformacion lática dndn d la hitoria d la olicitación mcánica. La dformación lática final no ud obtnr únicamnt a artir dl tado d tnion final. S rquir, n cambio, una formulación incrmntal d tal manra qu a cada incrmnto d tnión l corronda un incrmnto d dformación. dσ = f dε kl dond, a u vz, dε = dε l + dε l El tado tno-dformacional final calculará como la uma d lo incrmnto d tnión ucivo: σ = න dσ ; ε = න dε El tado d dformación d un lmnto ha d dfinir ao a ao, umando lo incrmnto d dformación ucivo, ara cada uno d lo cual db ant conttar a la rgunta d i l lmnto tá n carga o n dcarga.

11 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Difrnt routa: Saint Vnant (870) rouo qu la dirccion rincial dl tnor d tnion coincidn con la dirccion rincial dl tnor incrmnto d dformación d d Lvy (87) y Von Mi (9) lantan qu la dirccion rincial dl tnor d tnion DESVIADORAS coincidn con la dl tnor d incrmnto d dformación d d Prandtl (94) y Ru (90) lantan qu la dirccion rincial dl tnor d tnion DESVIADORAS coincidn con la dl tnor incrmnto d dformación PLÁSTICA l d d Ecuacion d PRANDTL-REUSS -- Tinn mjor oort xrimntal n l cao d mtal -- Naturalmnt, no hay dformación lática volumétrica. Nota: i la dformacion lática on drciabl, la routa d Lvy-Mi y d Prandtl-Ru on coincidnt.

12 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Dtrminación d la rlación Tnión Dformación (aumindo Critrio d von Mi) Comnzando con la Ecuacion d Prandtl-Ru: l d d D la dfinicion d dε ҧ y d q rconoc qu: d l d l d dε l dε l = dεҧ ; = q Critrio d Platificación: q = σ Y d q d d d q Ecuacion contitutiva d vol K d d G d d Y d l d Y l d d l l d d

13 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Alicación (): cao d un matrial lático rfctamnt lático σ En t cao: σ Y = ct (roidad dl matrial) σ Y RESUMEN La cuacion contitutiva incrmntal ara un matrial lático rfctamnt lático on: ε d vol K d d G d d Y Partindo d valor conocido d y d d, la cuacion d Prandtl-Ru NO PROPORCIONAN BIUNÍVOCAMENTE d, orqu dε quda indtrminado Partindo d un d, la cuacion d Prandtl-Ru SÍ PROPORCIONAN BIUNÍVOCAMENTE d, imr y cuando t incrmnto corronda a un roco d carga y no d dcarga. Si, n cambio, l incrmnto d corrond a dcarga, ntonc bata la Ly d Hook ara dtrminar d, in rcurrir a Prandtl-Ru.

14 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (/5) σ σ Y Et roblma db abordar ara la hióti d ndurciminto: σ Y q FW F dw Hióti.- l ndurciminto tá dcrito n función dl trabajo lático: Y ε Hióti.- l ndurciminto tá dcrito n función d la df. lática quivalnt: Y q H H d

15 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (/5) σ 0 σ Hióti.- El ndurciminto tá dcrito n función dl trabajo lático. Y q F dw F W () σ 0 D (), dduc qu dq F dw () ε D la dfinición d dw : dw d l Prandtl-Ru d l d qd () d Rcordando qu: d ; q ; q Y Y Ecuacion contitutiva D () y (), rulta d dq dq d qf q F d vol K d d G dq q F d d d dq q F l d d l l d d

16 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (/5) σ 0 σ Hióti.- La tnión d fluncia función d la df. lática quivalnt q H Y H d () σ 0 Ecuacion contitutiva d vol K ε d d G Drivando n (): Rcordando qu d dq q H dq H d d d d d q ud rcribir como: d Introducindo n obtin, como ant, l incrmnto n dformación lática: d dq q H dq qh l d d l l d d

17 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (4/5) Rumn La cuacion contitutiva incrmntal ara un matrial qu ndurc or dformación lática on: d vol K d d G dq q F d Si l ndurciminto tá dcrito n función dl trabajo lático: Y F W d vol K d d G d dq q H Si l ndurciminto tá dcrito n función d la dformación lática quivalnt: H Y dq 0 Conocido, y, i ( dcir, i hay carga), la cuacion d Prandtl- Ru PROPORCIONAN UNÍVOCAMENTE y, or xtnión,. dq 0 d d d Si ( dcir, i hay dcarga), obtin d la cuacion d la laticidad. d

18 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (5/5) Obrvacion obr la Toría Incrmntal n l cao d matrial qu ndurcn or dformación lática:.- Solicitación controlada or TENSIÓN Conocido y, i ( dcir, i hay carga), la cuacion d Prandtl-Ru PROPORCIONAN UNÍVOCAMENTE y, or xtnión,. dq 0 d dq 0 d d Si ( dcir, i hay dcarga), obtin imlmnt d la cuacion d la laticidad..- Solicitación controlada or DEFORMACIÓN d d d Conocido y, or xtnión, db dtrminar i: dq 0 O bin, i dq 0 ( dcir, i hay carga), n cuyo cao la cuacion d Prandtl-Ru PROPORCIONAN UNÍVOCAMENTE d ( dcir, i hay dcarga), n cuyo cao la laticidad (Ly d Hook-Lamé). d obtin imlmnt d la cuacion d

19 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Ejmlo.- El tado tnional n un unto d un lmnto tructural vin dado or MPa 5 Si la tnion incrmntan n MPa 0 0 calcular l tnor incrmnto d dformación. Suónga qu l matrial ndurc gún la rlación iguint, qu ha mdido n tracción uniaxial: 0000 dond E = 0000 MPa y un coficint d Poion = 0, 4 65

20 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Ejmlo (cont.) Tnión quivalnt Von Mi , MPa q 8 Tnión quivalnt Von Mi dl tado tnional incrmntado , MPa q q q,4 0 El incrmnto tnional corrond u a un roco d carga!!!

21 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Ejmlo (cont.) Valor inicial incrmnto n la tnión hidrotática y comonnt dviadora: , MPa 5 MPa, , MPa, h 0 MPa Rcto a la curva d ndurciminto dl matrial: l l H Y Y 65 4 Y H , 5 H 650,5 0,75 7,8 65 0,5 Y 650,5 07 MPa ,75 Y q 65

22 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4. Toría Incrmntal d la Platicidad Ejmlo (cont.),4, , , q qh G 05, , 0 90, 5, ,8 07 E 0000 G 769 MPa 0, vol K vol 0 5

23 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Plantaminto.- Comortaminto lático no-linal Comortaminto lático σ σ σ 0 σ Y σ Y dcarga dcarga ε ε MIENTRAS NO SE PRODUZCAN DESCARGAS udn bucar cuacion d la laticidad qu rlacionn tnion con dformacion total como gnralización d la ly d Hook al cao no linal

24 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total El tado tnional final rlacionará u con la dformación total σ σ + dσ Hióti.- ε El matrial conidra iótroo ε + dε La variacion d volumn on xcluivamnt lática S utilizará l hcho d qu n laticidad, dformacion dviadora lática on roorcional a la tnión dviadora indo G = E +ν l G l módulo d cortadura lático.

25 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Hióti d Hncky: S conidra una rlación d roorcionalidad ntr l tnor d dformacion lática y l tnor d tnion dviadora A concuncia d to, la dformación lática íntgramnt d naturalza dviadora l l l La comonnt d la dformación dviadora udn obtnr ntonc como con G l l G G Como: h K vol K Altrnativamnt: h vol K K E

26 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Qué rrnta ψ n la xrión = ψ? (a) (b) Si dfin una dformación dviadora quivalnt como: q Rcordando admá qu la tnión quivalnt d von Mi : Entonc, rulta vidnt d (b), (c) y (d) qu: q (c) (d) ψ ud caractrizar xrimntalmnt a artir d la curva d ndurciminto dl matrial (vr alicación, má adlant) Por otra art, d (a) ud intrrtar a ψ como un módulo d cortadura cant, qu varía con la olicitación mcánica: Aí como n Elaticidad cláica: En Toría Total d Platicidad: G G c con G = ct. con G c q

27 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total l Qué rrnta φ n la xrión ε = φ? (a) l l l (b) Podría dfinir una dformación lática quivalnt como: l T l l (c) Uando como ant, la dfinición d q, rulta vidnt d (b) y (c) qu: T q Nót qu ta dfinición d df. lática quivalnt, n gnral, difrnt d la qu dio antriormnt, n l aartado d Toría Incrmntal. E dcir: T d con d d l d l T El único cao n qu ocurr cuando, imultánamnt: La olicitación mcánica d tio carga roorcional La olicitación mcánica trictamnt crcint, in dcarga intrmdia.

28 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total l Qué rrnta φ n la xrión ε = φ? Al igual qu ant, φ ud caractrizar xrimntalmnt a artir d la curva d ndurciminto. T q Como φ y ψ rlacionan mdiant ψ = ólo una d ta do variabl. G + φ, bata caractrizar xrimntalmnt Si raliza un nayo d tracción uniaxial controlado n dformacion monótonamnt crcint, vidnt qu cumln la condicion ant mncionada ara qu: T En tal cao, ud uar la invra d la función H qu da σ Y = q = H തε ara caractrizar la volución dl módulo d cortadura cant: T q q H q q Gc G G H q q

29 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total σ Alicación (): cao d un matrial lático rfctamnt lático σ 0 ε Para cualquir valor d la dformación con lo cual K Y Y q Conocida la tnión, NO quda unívocamnt dtrminada la dformación or qu rquir conocr Y K vol Y Conocida la dformación, SÍ quda unívocamnt dtrminada la tnión qu, automáticamnt, vrifica l critrio d Von Mi

30 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total σ σ Y Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (/) Conidér la gráfica tnión-dformación f obtnida n un nayo d tracción uniaxial a lo largo dl j. σ Y San,, la dformacion dviadora rincial 0 q (En tnión uniaxial y ) or dfinición d dviador or imtría ε d lo qu dduc: obtniéndo Por otro lado vol K or lo qu 9K

31 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (/) σ σ Y σ Y A artir d q H T f indo ud u ncontrar 9K Con lo antrior, l coficint rulta q H T q q y H T q n dformacion n tnion Por lo qu la cuacion d Hncky rultan: ε HT q K q K vol HT Eta xrion dfinn una rlación biunívoca ntr la comonnt d lo tnor d tnión y dformación La dformación final función dl tado tnional total y no d la hitoria d tnion

32 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Alicación (): cao d un matrial qu ndurc or dformación (/) σ σ 0 σ 0 Validz d la toría d dformacion total.- Si l camino d tnion rcto (la tnion rincial no cambian d dircción) y u valor on roorcional amba toría conducn al mimo rultado ε La difrncia ntr lo rultado d amba toría rá tanto mayor cuanto mno rcto a l camino d tnion ufrido or l lmnto, y l rultado d la toría d dformacion total rá rróno i roducn dcarga

33 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Ejmlo.- El tado tnional n un unto d un lmnto tructural vin dado or MPa calcular l corrondint tnor d dformacion. Para l matrial uónga la rlación contitutiva uniaxial 0000 dond E = 0000 MPa y un coficint d Poion = 0, 4 65

34 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Ejmlo (cont.) Módulo d comribilidad E 0000 K 6667MPa 0. Invra d la función H T En un nayo n tracción uniaxial, ab qu Por lo tanto, la xrión d Rambrg-Ogood rcribir como q q q 9K H T q q y qu 4 q 9K ud H T q q q 65

35 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Ejmlo (cont.) Prión hidrotática: , MPa Tnor d tnion dviadora:, , MPa, Tnión quivalnt d von Mi: q,7,7, 0 7, MPa 8

36 Tma.- Platicidad.4.- Toría d Platicidad.4.4 Toría d la Platicidad n Dformacion Total Ejmlo (cont.) Dformación volumétrica: vol 8, 5 K 6, Dformación dviadora quivalnt: H T 7,8 7, q,5 0 4 Coficint ψ: q H,5 0 T 87,6 0 5 q q 7,8 MPa Tnor d dformacion dviadora: 87,60 5, , , Tnor d dformacion total: vol

37 RESUMEN DE NOMENCLATURA o bin : tnión dviadora (tnor) o bin : dformación dviadora (tnor) l y l : comonnt lática y lática d la df. dviadora (tnor) q : tnión quivalnt d von Mi (calar). തε : dformación lática quivalnt (calar). തε T : dfinición altrnativa d df. lática quivalnt (ara Toría Total). ത : dformación dviadora quivalnt (calar). G y G c : módulo d cortadura lático y módulo d cortadura cant. H = H തε : función d ndurciminto n término d dformación lática quivalnt. F = F W : fun. d ndurciminto n término d trabajo lático acumulado. H = H T ത : fun. d ndurciminto n término d la dformación dviadora quivalnt.