Control de Movimiento de Robots Manipuladores vía Inmersión e Invariancia: Casos particulares

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1 Automático, AMCA 215, 339 Control e Movimiento e Robots Manipulaores vía Inmersión e Invariancia: Casos particulares Fernano Castañea, Francisco Jurao, Víctor Santibáñe Tecnológico Nacional e México, Instituto Tecnológico e la Laguna, Blv. Revolución y Calaa Cuauhtémoc S/N, C.P. 27, Torreón, Coahuila e Zaragoa, México. ( jfcastaneafjuraovsantiba@itlalaguna.eu.mx) Resumen: El objetivo el presente trabajo es mostrar cómo la metoología Inmersión e Invariancia (I&I) aplicaa para el caso e control e robots manipulaores resulta ser más general en el sentio que se pueen obtener leyes e control e movimiento con estructura similar a las leyes e control clásicas para robots manipulaores sin la necesia e recurrir al análisis e estabilia en el sentio e Lyapunov para el sistema completo. En el presente trabajo, el principio funamental para la obtención e las leyes e control estabiliaoras por realimentación e estaos vía I&I se centra en la selección e la inámica objetivo un sistema lineal y esacoplao epeniente únicamente e los errores articulares. El esempeño e los controlaores I&I es valiao meiante simulación. Palabras Clave: Control no lineal, inmersión, invariancia, robots manipulaores. 1. INTRODUCCIÓN Recientemente, una metoología para el iseño e controlaores no lineales y controlaores aaptables para sistemas no lineales basaa en las nociones e inmersión el sistema a controlar (Nijmeijer an van er Schaft, 199; Isiori, 1995; Byrnes et al., 1997) e invariancia e una variea iseñaa con características particulares (Nijmeijer an van er Schaft, 199; Wiggins, 199; Isiori, 1995), las cuales son herramientas clásicas e la teoría e regulación no lineal y control geométrico no lineal (Wonham, 1985; Jouan, 23), ha sio reportaa en la literatura Inmersión e Invariancia (I&I) (Immersion an Invariance, I&I) (Astolfi et al., 22; Astolfi an Ortega, 23; Astolfi et al., 28). El esarrollo e la teoría e control geométrico lineal y no lineal ha emostrao que los subespacios invariantes y sus contrapartes no lineales istribuciones invariantes juegan un papel funamental en la solución e muchos problemas e iseño. Varieaes invariantes lentas y rápias, las cuales surgen e manera natural en los sistemas con perturbaciones singulares, han sio utiliaas para estabiliación (Kokotovic, 1985) y análisis e sistemas e aaptación lenta (Riele an Kokotovic, 1986). La noción e varieaes invariantes es aemás crucial en el iseño e leyes e control estabiliaoras para sistemas no lineales. La teoría e variea central (Carr, 1981) ha sio instrumento en el iseño e leyes e control estabiliaoras para sistemas con aproximación lineal no controlable (Aeyels, 1985) mientras que el concepto e inámica cero y la fuertemente relacionaa noción e variea cero han sio explotaas en iversos métoos e estabiliación local y global, incluyeno el control basao en pasivia (Ortega et al., 1998), backstepping (Krstic et al., 1995) y forwaring Reserva e Derechos No. EN TRÁMITE, ISSN. EN TRÁMITE (Sepulchre et al., 1996). La noción e inmersión tiene aemás una larga traición en la teoría e control, su iea básica es la e transformar el sistema en consieración a un sistema con propieaes específicas. Por ejemplo, el problema clásico e inmersión e un sistema no lineal genérico entro e un sistema lineal y controlable por meio e una realimentación e estaos estática o inámica ha sio extensamente estuiaa en (Nijmeijer an van er Schaft, 199; Isiori, 1995). Más recientemente, la inmersión ha sio usaa en la teoría el regulaor no lineal en la obtención e coniciones necesarias y suficientes para regulación robusta. En particular, en (Byrnes et al., 1997; Isiori, 1997) se emuestra que la regulación robusta puee conseguirse consierano que el exosistema puea ser inmerso entro e un sistema lineal y observable. En (Michel et al., 21), se muestra que un sistema inámico, posiblemente e imensión infinita, tiene un equilibrio estable si este puee ser inmerso entro e otro sistema inámico con un equilibrio estable meiante el enominao mapeo e preservación e estabilia. La estabiliación vía I&I está aemás relacionaa con el métoo e estabiliación basao en pasivia (Byrnes et al., 1991; Ortega et al., 1998) y en la teoría e isipativia (Byrnes et al., 1991). En el presente artículo se presenta el estuio e la técnica I&I aplicaa al control e posición pura y control e movimiento (seguimiento e trayectoria) para robots manipulaores. Del estuio en cuestión resulta interesante observar que se pueen obtener leyes e control con estructuras similares a las leyes e control clásicas para robots manipulaores, aemás, el enfoque utiliao para sintoniar las ganancias el controlaor resulta ser iferente.

2 Automático, AMCA 215, METODOLOGÍA I&I Y EL ENFOQUE CLÁSICO PARA EL CONTROL DE MOVIMIENTO DE ROBOTS MANIPULADORES La iea básica el enfoque I&I es conseguir el objetivo e control meiante la inmersión e la inámica e la planta entro e un sistema objetivo, e oren menor, que capture el comportamiento eseao. El problema e control es luego reucio al iseño e una ley e control que garantice que el sistema controlao asintóticamente se comporte el sistema objetivo. La metoología I&I requiere e la selección e un sistema inámico objetivo, lo cual no es una tarea trivial ya que la solución el problema funamental e iseño el control epene e tal selección. La selección e la inámica objetivo lineal para sistemas físicos no es necesariamente la más aecuaa, ya que, por un lao, los iseños realiables porían tomar en cuenta las restricciones impuestas por la estructura física y, por el otro lao, es bien sabio que muchos e los sistemas físicos no son linealiables por realimentación. Este no es el caso cuano se abora el estuio para el control e robots manipulaores ya que se sabe, la ley e control por par calculao permite obtener un sistema lineal en lao cerrao en términos e las variables e estao. El enfoque utiliao para estuiar y obtener controlaores para robots manipulaores es el caso el control PD más compensación pre-calculaa e gravea, PD más compensación e gravea, el control PID y control por Par-Calculao entre otros, es seleccionar una ley e control basaa en energía o linealiante que estabiliará al sistema, para lo cual espués es necesario analiar la estabilia el equilibrio en lao cerrao utiliano la teoría e Lyapunov; en particular el llamao seguno métoo e Lyapunov para sistemas no lineales. El métoo I&I es más general que los métoos para obtener leyes e control basaas en la teoría e Lyapunov en el sentio que en éste último es necesario primero seleccionar una ley e control para posteriormente analiar la unicia y estabilia el equilibrio el sistema en lao cerrao, por lo que la estabilia es analiaa para el sistema completo, lo cual la mayoría e las veces no resulta ser un tarea fácil. Por el contrario, el métoo I&I se aparta e este enfoque ebio a que en éste se pretene obtener una ley e control estabiliaora cumplieno con ciertas coniciones, i.e., la ley e control surge al esarrollar la metoología y no es impuesta ese el inicio en los métoos basaos en Lyapunov para el control e robots manipulaores; sin embargo, esto no quiere ecir que la teoría e estabilia e Lyapunov no sea utiliaa en esta metoología, e hecho, ésta se sigue utiliano pero no para analiar la estabilia el sistema completo sino para analiar la estabilia e algunos e los subsistemas que surgen al esarrollar la metoología I&I que pueen ser más fáciles e resolver. 3. INMERSIÓN E INVARIANCIA (I&I) A continuación se exponen las coniciones funamentales para la construcción e una ley e control por realimentación e estaos, estática, globalmente asintóticamente estabiliaora para sistemas no lineales, las cuales son parte el resultao básico e la estabiliación por I&I. Octubre 14-16, 215. Aemás, consieraciones similares pueen plantearse para aborar el problema e seguimiento. El principio e estabiliación e un punto e equilibrio e un sistema no lineal vía I&I es mostrao en el siguiente teorema (Astolfi et al., 28). Teorema 1. Consiere el sistema ẋ f(x) + g(x)u (1) con x R n, u R m y un punto e equilibrio x R n a ser estabiliao. Suponga que existen mapeos suaves α : R p R p, π : R p R n, φ : R n R n p, c : R n R m y v : R n (n p) R m, con p < n, tales que sostengan lo siguiente: (C1) Sistema inámico objetivo. El sistema objetivo es efinio por ξ α(ξ), (2) one ξ R p tiene un equilibrio globalmente asintóticamente estable en ξ R p y x π(ξ ). (C2) Conición e Inmersión. Para too ξ, f(π(ξ)) + g(π(ξ))c(π(ξ)) π α(ξ). (3) ξ (C3) Variea implícita. El conjunto ientia {x R n φ(x) } {x R n x π(ξ), ξ R p } (4) se mantiene. (C4) Dinámica fuera e la variea y acotamiento e soluciones. Toas las trayectorias el sistema ż φ f(x) + g(x)v(x, ), x (5) ẋ f(x) + g(x)v(x, ), (6) están acotaas y (5) posee un equilibrio globalmente uniformemente asintóticamente estable en R n p, one representa el estao e la inámica fuera e la variea. Luego x es un equilibrio globalmente asintóticamente estable el sistema en lao cerrao ẋ f(x) + g(x)v(x, φ(x)). (7) La prueba para este teorema puee examinarse en (Astolfi et al., 28). Los resultaos el teorema 1 son interpretaos e la siguiente manera: Dao el sistema (1) y establecio el sistema (2), el objetivo es encontrar una variea V escrita implícitamente por {x R n φ(x) } y en forma parametriaa por {x R n x π(ξ)}, la cual puea hacerse invariante y asintóticamente estable tal que la restricción en lao cerrao el sistema para V sea escrita por ξ α(ξ). Cabe resaltar que el control v que haga invariante la variea no será único, ya que éste es únicamente efinio solo sobre la variea V, i.e., v(π(ξ), ) c(π(ξ)). De toos los posibles controles se eberá seleccionar aquel que lleve la coorenaa a cero y mantenga acotaas las trayectorias el sistema, i.e., tal que la conición (C4) sea satisfecha.

3 Automático, AMCA 215, 341 Definición 1. Un sistema escrito por ecuaciones e la forma (1) con inámica objetivo (2) se ice que es (localmente) I&I estabiliable si las coniciones (C1)-(C4) el teorema 1 se cumplen (localmente). 4. MODELO DINÁMICO DE ROBOTS MANIPULADORES El moelo inámico para robots manipulaores e n g..l. está escrito por la ecuación M(q) q + C(q, q) q + g(q) τ (8) one M(q) R n n es la matri e inercia, C(q, q) R n n es la matri e fueras centrífugas y e Coriolis, g(q) R n es el vector e fueras o pares gravitacionales y τ R n es el vector e fueras o pares externos. Los vectores q, q, q R n representan las posiciones, velociaes y aceleraciones e las variables articulares el robot, respectivamente. El moelo inámico (8) cuenta con propieaes que son e gran utilia cuano se estuia la estabilia el sistema en lao cerrao con alguna ley e control τ. Algunas e estas propieaes son escritas a continuación. Propiea 1. Matri e inercia M(q). La matri e inercia M(q) es una matri simétrica efinia positiva e n n cuyos elementos son funciones solamente e q. Existe una constante real positiva α tal que M(q) αi q R n one I enota la matri ientia e oren n n. La matri M(q) 1 existe y es efinia positiva. Propiea 2. Matri e Coriolis C(q, q). La matri e fueras centrífugas y e Coriolis C(q, q) es una matri e n n cuyos elementos son funciones e q y q. La matri C(q, q) puee no ser única, pero el vector C(q, q) q es único. C(q, ) para too vector q R n. La matri C(q, q) está relacionaa con la matri e inercia M(q) por la expresión 1 x T 2Ṁ(q) C(q, q) x q, q, x R n 1 y e hecho 2Ṁ(q) C(q, q) es una matri antisimétrica. Propiea 3. Vector e gravea g(q). El vector e pares gravitacionales g(q) e n 1 epene sólo e las posiciones articulares q. El vector g(q) está acotao si q lo está también. Para el caso e robots provistos únicamente e articulaciones rotacionales, el vector g(q) es Lipschit, i.e., existe una constante k g > tal que g(x) g(y) k g x y para too x, y R n. 5. CONTROL DE POSICIÓN VÍA I&I El objetivo e control e posición para robots manipulaores consiste en encontrar una ley e control por realimentación e estaos τ tal que las trayectorias q(t) el sistema (8) en lao cerrao sean iguales a las posiciones constantes eseaas e las variables articulares el robot manipulaor, i.e., lím q (t) q(t). t Para iniciar con el iseño el controlaor vía I&I, es necesario efinir el vector e error e posición articular q q q one q R n representa el vector e posiciones eseaas constantes e las variables articulares el robot manipulaor, luego, el moelo (8) puee expresarse en términos el vector e estao x q T q T T q q q M(q) 1 τ C(q, q) q g(q) one x R 2n. Aplicano la metoología I&I para el control e posición el sistema (9), se comiena por seleccionar el sistema inámico objetivo para luego buscar satisfacer las suposiciones (C2)-(C4). (C1) Sistema inámico objetivo. Se establece el sistema objetivo ξ Kξ (1) one ξ R n y K > es una matri iagonal e iseño con coeficientes constantes, i.e., K iag {k 1, k 2,..., k n }. El sistema (1) tiene un equilibrio globalmente asintóticamente estable en ξ R n. (C2) Conición e inmersión. La conición e inmersión requiere e la selección e un mapeo entre los estaos el sistema inámico el robot manipulaor y los estaos el sistema objetivo. Este mapeo es efinio π1 (ξ) x q q π 2 (ξ) e one se selecciona π 1 (ξ) ξ, ebio a que se esea que el comportamiento e las trayectorias el vector e errores articulares sea el mismo que el efinio por el sistema (1), i.e., que las trayectorias tengan un comportamiento exponencial ecreciente. Sustituyeno el mapeo conocio π 1 (ξ) en (9) se escribe en (3) se tiene π 2 (ξ) Kξ, con lo que el mapeo π(ξ) quea efinio completamente Octubre 14-16, 215. x q q π1 (ξ) π 2 (ξ) ξ Kξ. (9) (C3)Variea Implícita. Se efine el siguiente conjunto ientia V { x R 2n φ(x) } { x R 2n q ξ, q Kξ ξ R n} e one se satisface que el oren el sistema inámico objetivo (1) es menor que el oren el sistema (9). Ahora, una función φ(x) que cumple con el conjunto ientia efinio anteriormente puee ser φ(x) q K q con lo que quea efinia por completo la variea V. (C4) Dinámica fuera e la variea y acotamiento e soluciones. Se efine la siguiente coorenaa φ(x) q K q one la erivaa e a lo largo e las trayectorias el sistema (9) quea efinia ż M(q) 1 τ C(q, q) q g(q) + K q. (11) Luego, habrá e seleccionarse una entraa e control τ tal que el subsistema (11) tenga un equilibrio globalmente asintóticamente estable en el origen, i.e., lím (t) t

4 Automático, AMCA 215, 342 y que las trayectorias el sistema resultante estén acotaas. Para esto, observe que si τ es seleccionaa τ Γ + g(q) (12) one Γ > es una matri iagonal e iseño con coeficientes constantes, Γ iag {γ 1, γ 2,..., γ n }, con esta elección el sistema (9) se transforma en q q K q M(q) 1 Γ C(q, + K q)( + K q). M(q) 1 Γ C(q, + K q)( + K q) + K + K q (13) Ahora, observe que el subsistema inámico q K q M(q) 1 Γ C(q, + K q)( + K q) + K + K q (14) representa una ecuación iferencial autónoma, ebio a que q es constante, cuyo equilibrio se encuentra en el origen y es único. Para emostrar la estabilia el equilibrio e este subsistema se propone la siguiente función caniata e Lyapunov V ( q, ) K qt M(q) + K q qt ΓK q one V ( q, ) > es una función efinia positiva y la erivaa temporal V ( q, ) a lo largo e las trayectorias el subsistema (14) resulta V ( q, ) 1 + K qt Ṁ(q) + K q 2 ++K q T M(q) M(q) 1 Γ C(q, + K q)( + K q) + K + K q + K q T M(q)K + K q q T ΓK + K q. Simplificano se tiene V ( q, ) 1 + K qt Ṁ(q) + K q + K q T Γ 2 + K q T C(q, + K q) + K q q T ΓK + K q. Utiliano la Propiea 2 y esarrollano términos finalmente se obtiene V ( q, ) + K q T Γ + K q, V ( q, ) λ min {Γ} + K q 2 ; con lo que se concluye que el subsistema (14) tiene un equilibrio globalmente asintóticamente estable en el origen. Resta ahora solo emostrar que las trayectorias e q(t) están acotaas; para esto observe que ebio a la conclusión anterior se tiene q(t), (t) L L 2. Utiliano luego la efinición e (t) q K q se concluye que q(t) L, lo que cumple con la conición (C4) el teorema 1. De la ley e control (12), si se sustituye la coorenaa según su efinición se obtiene τ ΓK q Γ q + g(q), ley e control que tiene la estructura e la conocia ley e control PD más compensación e gravea, con la iferencia e que las ganancias proporcional y erivativa son efinias e iferente manera según el enfoque que le imprime la metoología I&I. Si ahora la ley e control es reefinia τ Γ + g(q ) (15) y las efiniciones (C1)-(C3) anteriores son consieraas nuevamente, luego el sistema inámico (9) se transforma en q K q q M(q) 1 Γ C(q, + K q)( + K q) + g(q ) g(q) ż M(q) 1 Γ C(q, + K q)( + K q) + g(q ) g(q) + K + K q. Octubre 14-16, 215. Utiliano el siguiente subsistema q K q M(q) 1 Γ C(q, + K q)( + K q) + g(q ) g(q) + K + K q (16) se observa que (16) es un sistema no lineal autónomo, el cual tiene un equilibrio en el origen q T T T R 2n. Sin embargo, aparte el origen pueen existir otros equilibrios los cuales pueen ser tantos soluciones e q tenga la ecuación ΓK q g( q q ) g(q ). (17) Aunque aquí no se emuestra, si ΓK se escoge suficientemente grane entonces q R n será la única solución. Esta conición surge e la aplicación el teorema e contracción e mapas a la ecuación (17), one se concluye que si λ min {ΓK} > k g (Kelly an Santibañe, 23) entonces la única solución será q R n, por consiguiente el origen el subsistema (16) será el único equilibrio. Suponga que se selecciona λ min {ΓK} > k g, entonces se propone la siguiente función caniata e Lyapunov para analiar la estabilia el origen el subsistema (16) con V ( q, ) K qt M(q) + K q + f( q) f( q) 1 2 qt ΓK q + U(q q) U(q ) + g(q ) T q one f( q) es una función efinia positiva e forma global si λ min {ΓK} > k g (Kelly an Santibañe, 23). Luego V ( q, ) es una función efinia positiva en forma global cuya erivaa a lo largo e las trayectorias el subsistema (16) está aa por V ( q, ) 1 + K qt Ṁ(q) + K q 2 + K q T Γ + K q T C(q, + K q) + K q + + K q T g(q ) g( q q ) q T ΓK + K q + + K q T U(q q) (q q) + K q T g(q ). Consierano la Propiea 2 e antisimetría e Ṁ(q) y C(q, q) y el hecho e que U(q q) (q q) g( q q ), finalmente se obtiene V ( q, ) + K q T Γ q T ΓK + K q o equivalentemente V ( q, ) + K q T Γ + K q, V ( q, ) λ min {Γ} + K q 2 ; con lo que se concluye que el subsistema (16) tiene un equilibrio globalmente asintóticamente estable en el origen. Solo resta emostrar que las trayectorias e q(t) están acotaas. Para esto, observe que ebio a la conclusión anterior q(t), (t) L L 2 y utiliano la efinición e (t) q K q se concluye aemás que q(t) L, lo que cumple con la conición (C4) el teorema CONTROL DE MOVIMIENTO VÍA I&I Para comenar con el iseño el controlaor e movimiento para robots manipulaores es necesario aplicar una

5 Automático, AMCA 215, 343 transformación e coorenaas al sistema (8), para esto es efinio el vector e error e q q e q q q q one q R n y q R n representan la posición y velocia eseaa e las variables articulares variantes en el tiempo, respectivamente. El moelo inámico (8) puee representarse en términos el vector e estao e R 2n q q M(q q) q q 1 τ C(q q, q q)( q q) g(q q) (18) one q R n es la aceleración eseaa e las variables articulares el robot manipulaor. Ahora, consiere el moelo para robots manipulaores en espacio e estaos escrito por (18). El objetivo e control e movimiento consiste en encontrar una ley e control por realimentación e estaos τ tal que ao un conjunto e funciones vectoriales acotaas q (t), q (t) y q (t), las trayectorias e q(t) sigan con precisión las trayectorias e q (t), i.e., q(t). (19) lím t Si el objetivo e control se verifica, significará que las articulaciones el robot manipulaor siguen asintóticamente la trayectoria e movimiento eseao. A continuación se escribe el iseño e una ley e control por realimentación e estaos que cumple el objetivo e control anteriormente expuesto utiliano la metoología I&I. Proposición 1. El sistema (18) el robot manipulaor es globalmente I&I estabiliable con inámica objetivo ξ Kξ y ley e control τ M(q q) Γ K q + C(q q, q q) q q + g(q q) con q K q, one K y Γ son matrices e iseño el controlaor. Prueba 1. Aplicano la formulación propuesta en el teorema 1, se comiena por seleccionar la inámica objetivo. (C1) Sistema inámico objetivo. El enfoque clásico e la teoría e control no lineal es transformar un sistema no lineal en uno lineal, con esto en mente se efine el siguiente sistema inámico objetivo ξ Kξ (2) one ξ R n y K > es una matri iagonal e coeficientes constantes K iag(k 1,..., k n ) y el sistema (2) tiene un equilibrio globalmente asintóticamente estable en ξ R n. (C2) Conición e inmersión. Se efine el siguiente mapeo π1 (ξ) ξ e (21) q q π 2 (ξ) π 2 (ξ) one el mapeo π 1 (ξ) ξ es seleccionao ebio a que se esea que la coorenaa q, que es el vector asociao al error e posición articular, se comporte el sistema inámico objetivo (2), i.e., que presente un comportamiento exponencial ecreciente, por lo que solo resta encontrar el mapeo π 2 (ξ) aplicano la formulación escrita en (3). Sustituyeno (21) en (18) tenemos ξ π 2 (ξ), (22) π 2 (ξ) q M(q ξ) 1 τ (ξ) C(q ξ, q π 2 (ξ)) q π 2 (ξ) g(q ξ); (23) one se observa e la primera ecuación que ξ es conocia, por lo que sustituyeno (2) en (22) resulta Kξ π 2 (ξ). (24) De (24) se observa que π 2 (ξ) Kξ, por lo que ahora el mapeo π(ξ) es efinio por completo Octubre 14-16, 215. π(ξ) ξ Kξ, (25) cumplieno con la conición escrita en (C2) el teorema 1. (C3) Variea implícita. Acore a la ientia (4) se efine la siguiente variea implícita V {e R 2n φ(e) } {e R 2n q ξ, q Kξ ξ R n }, (26) one se satisface que n < 2n, i.e., el oren el sistema inámico objetivo (2) es menor que el oren el sistema (18). Luego, si el vector e es escrito por los siguientes componentes q R n e q R n, (27) la siguiente ecuación φ(e) q π 2 (π1 1 ( q)) (28) cumple con las coniciones escritas en la efinición (26). Sustituyeno en (28) el mapeo inverso π1 1 ( ) obtenio e (25) se tiene φ(e) q π 2 ( q). Luego, sustituyeno π 2 ( ) e (25) resulta φ(e) q + K q (29) con lo que quea efinia la variea V e forma explícita. (C4) Dinámica fuera e la variea y acotamiento e soluciones. La inámica fuera e la variea se obtiene a partir e la siguiente efinición φ(e) con φ(e) se obtuvo e (29), one la erivaa a lo largo e las trayectorias el sistema (18) resulta ż q + K q. (3) Sustituyeno (18) en (3) obtenemos ż q M(q q) 1 τ C(q q, q q)( q q) g(q q) + K q. (31) Luego, habrá e seleccionarse una entraa e control τ tal que el subsistema (31) tenga un equilibrio globalmente asintóticamente estable en el origen, i.e., lím t (t), y que las trayectorias el sistema resultante estén acotaas. Para este fin, se selecciona e toos los posibles

6 Automático, AMCA 215, 344 controlaores que estabilicen el sistema (31) la siguiente ley e control τ M(q q) q + Γ + K q + C(q q, q q) q q + g(q q) (32) one Γ es una matri iagonal e iseño con coeficientes constantes, i.e., Γ iag(γ 1,, γ n ). Esta elección surge al igualar la parte erecha e (31) con Γ y ebio a que M(q q) es una matri efinia positiva y por lo tanto invertible (Propiea 1) es posible espejar la entraa e control τ, lo que conuce a la inámica ż Γ (33) one se observa por las propieaes e la matri e iseño Γ que (33) tiene un equilibrio globalmente asintóticamente estable en el origen. Ahora bien, al sustituir (32) en (18) se obtiene el siguiente subsistema en lao cerrao q q q K q Γ Γ (34) en función e las coorenaas (e, ), one es fácil observar que las trayectorias e (t) están acotaas y tienen a cero e forma exponencial, por lo que la inámica e la coorenaa q(t) en algún momento en el tiempo solo epenerá el término K q, el cual ebio a las propieaes e iseño e la matri K permitirá que las trayectorias e q(t) estén acotaas y, más aún, tienan a cero; por lo que también las trayectorias e q(t) se mantenrán acotaas ebio a su epenencia irecta con la coorenaa q, con lo que la conición (C4) el teorema 1 es satisfecha y e esta manera se cumple con la prueba e la Proposición RESULTADOS EN SIMULACIÓN Con el fin e ilustrar el comportamiento e las leyes e control (12), (15) y (32), se evaluaron simulaciones utiliano el moelo matemático e un robot manipulaor e 2 g..l. La Fig. 1 muestra el iagrama esquemático el robot manipulaor el moelo en cuestión. El moelo inámico el robot manipulaor en (8) es obtenio en (Kelly an Santibañe, 23) y escrito M11 (q) M 12 (q) C11 (q, q) C q + 12 (q, q) g1 (q) q + τ M 21 (q) M 22 (q) C 21 (q, q) C 22 (q, q) g 2 (q) } {{ } M(q) } {{ } C(q, q) }{{} g(q) one M 11 (q) m 1 l 2 c1 + m 2 l l 2 c2 + 2l 1 l c2 cos(q 2 ) + I 1 + I 2 M 12 (q) m 2 l 2 c2 + l 1 l c2 cos(q 2 ) + I 2 M 21 (q) m 2 l 2 c2 + l 1 l c2 cos(q 2 ) + I 2 Figura 1. Diagrama esquemático e un brao robot manipulaor e 2 g..l. Para la simulación e las leyes e control e posición (12) y (15) se efinieron los valores q π/4 π/2 T para la posición eseaa e las articulaciones el robot manipulaor así K iag{4, 5}, Γ iag{3, 15}, K p iag{12, 81} y K v iag{35, 15} para las ganancias e los controlaores. Para el caso el controlaor e movimiento (32) se establecieron los valores K iag{2} y Γ iag{4} para las ganancias e los controlaores y para el caso el controlaor Par Calculao clásico se utiliaron K p iag{9} y K v iag{6}. Las Figs. 2-4 muestran una comparación el esempeño e los controlaores (12), (15) y (32), aquí obtenios, con respecto a los controlaores clásicos. Como era e esperarse, el comportamiento e estas leyes e control es similar entre sí pero con la iferencia funamental e que las ganancias e los controlaores son seleccionaas e forma iferente, i.e., primero es seleccionaa la raón e ecaimiento exponencial para el comportamiento el error meiante la ganancia K y espués se establece la velocia con la que el sistema se comportará el sistema objetivo meiante la ganancia Γ Control PD+Compensación e Gravea M 22 (q) m 2 lc2 2 + I 2 C 11 (q, q) m 2 l 1 l c2 sin(q 2 ) q 2 C 12 (q, q) m 2 l 1 l c2 sin(q 2 ) q 1 + q 2 C 21 (q, q) m 2 l 1 l c2 sin(q 2 ) q 1 C 22 (q, q) g 1 (q) m 1 l c1 + m 2 l 1 g sin(q 1 ) + m 2 l c2 g sin(q 1 + q 2 ) g 2 (q) m 2 l c2 g sin(q 1 + q 2 ). Las coniciones iniciales corresponientes a las posiciones y velociaes articulares son seleccionaas q(), q() Control PD+Compensación e Gravea vía I&I Octubre 14-16, Figura 2. Errores e posición ra vs seg.

7 Automático, AMCA 215, Control PD+Compensación Precalculaa e Gravea Control PD+Compensación Precalculaa e Gravea vía I&I Figura 3. Errores e posición ra vs seg Control Par Calculao Control Par Calculao vía I&I Figura 4. Errores e posición ra vs seg. 8. CONCLUSIÓN Se ha empleao la metoología I&I para el control e robots manipulaores. Para el caso e control e posición se obtuvieron leyes e control (12) y (15) con la estructura e los controlaores PD más compensación e gravea y PD más compensación pre-calculaa e gravea, pero con la iferencia funamental e que las ganancias Γ y K e los controlaores tienen un enfoque iferente e sintonía. Para el caso e control e movimiento, se obtuvo una ley e control (32) con la estructura el controlaor Par Calculao, también con la iferencia particular e que las ganancias el controlaor son sintoniaas con otro enfoque. Esto permite concluir que con la metoología I&I es posible obtener algunas e las leyes e control clásicas para el control e robots manipulaores. AGRADECIMIENTOS Al Consejo Nacional e Ciencia y Tecnología (CO- NACyT), por el apoyo económico otorgao meiante la beca e estuios y el proyecto CONACyT y Proyectos TecNM. Octubre 14-16, 215. REFERENCIAS Aeyels, D. (1985). Stabiliation of a class of nonlinear systems by a smooth feeback control. Systems & Control Letters, 5(5), Astolfi, A., Escobar, G., Ortega, R., an Stankovic, A. (22). An aaptive controller for the tcsc base on the immersion an invariance esign technique. In Proc. 14th Conf. Power Systems Computation, Seville, Spain. Astolfi, A., Karagiannis, D., an Ortega, R. (28). Nonlinear an Aaptive Control with Applications. Springer- Verlag Lonon Lt., Lonon. Astolfi, A. an Ortega, R. (23). Immersion an invariance: a new tool for stabiliation an aaptive control of nolinear systems. IEEE Trans. Automatic Control, 48(4), Byrnes, C., Isiori, A., an Willems, J. (1991). Passivity, feeback equivalence, an the global stabiliation of minimum phase nonlinear systems. IEEE Trans. Automatic Control, 36(11), Byrnes, C., Priscoli, F.D., an Isiori, A. (1997). Output Regulation of Uncertain Nonlinear Systems. Birkhauser, Boston. Carr, J. (1981). Applications of Center Manifol Theory. Springer-Verlag. Isiori, A. (1995). Nonlinear Control Systems. Springer- Verlag, 3r eition, Berlin. Isiori, A. (1997). A remark on the problem of semiglobal nonlinear output regulation. IEEE Trans. Automatic Control, 42(12), Jouan, P. (23). Immersion of nonlinear systems into linear systems moulo output injection. SIAM J. Control an optimiation, 41(6), Kelly, R. an Santibañe, V. (23). Control e movimiento e robots manipulaores. Pearson Eucation, Mari. Kokotovic, P. (1985). Recent trens in feeback esign: an overview. Automatica, 21(3), Krstic, M., Kanellakopoulos, I., an Kokotovic, P. (1995). Nonlinear an Aaptive Control Design. John Wiley an Sons, New York. Michel, A., Wang, K., an Hu., B. (21). Qualitative Theory of Dynamical Systems: The Role of Stability Preserving Mappings. Marcel Dekker, 2n eition, New York. Nijmeijer, H. an van er Schaft, A. (199). Nonlinear Dynamical Control Systems. Springer-Verlag. Ortega, R., Loría, A., Nicklasson, P., an Sira-Ramíre., H. (1998). Passivity-base Control of Euler-Lagrange Systems. Springer-Verlag, Lonon. Riele, B. an Kokotovic, P. (1986). Integral manifols of slow aaptation. IEEE Trans. Automatic Control, 31(4), Sepulchre, R., Jankovic, M., an Kokotovic, P. (1996). Constructive Nonlinear Control. Springer-Verlag, Berlin. Wiggins, S. (199). Introuction to Applie Nonlinear Dynamical Systems an Chaos. Springer-Verlag, New York. Wonham, W. (1985). Linear Multivariable Control: A Geometric Approach. Springer-Verlag, 3r eition.