ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

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1 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT00 o MAT001 Fecha Actualización Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum Carrera/s Todas N APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S) Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones polinomiales. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones eponenciales. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones logarítmicas. NOMBRE DE LA ACTIVIDAD Aplicaciones de funciones (repaso de contenidos de la prueba 1) Modalidad Presencial No Presencial Duración de la actividad (horas): Forma de trabajo: Individual Grupal - Tamaño del grupo: Recursos de información: Impreso Tecnológico Informático Lugar: Sala de clases Material de apoyo para la actividad: Laboratorio (especifique) Taller (especifique) Terreno (especifique) Otros (especifique) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación 1

2 I Aplicaciones de Funciones de forma algebraica. 1. Una tienda muy conocida hizo una oferta en internet de un Notebook Lenovo con procesador Intel Core i5 de 4GB de RAM modelo G470. La tienda desea registrar las ganancias ($) obtenidas de estas ventas, para ello modela la siguiente función: G ( ) , donde representa la cantidad de Notebooks vendidos. a) Calcule la ganancia de la empresa al vender 75 Notebooks. b) Si la ganancia de la empresa fue de $ Cuántos Notebooks vendió la empresa?. Un negocio de venta de artículos de aseo determina que el costo (en $), al producir artículos de un nuevo producto es C ingresos por venta (en $) están dados por la función I Se pide:, y los a) Cuántos artículos del nuevo producto se fabricaron, si el costo fue de $1.650? b) Determine la función de utilidad al vender artículos del nuevo producto. c) Cuál es la utilidad al vender 730 artículos del nuevo producto? 3. Una fábrica de muebles tiene la capacidad para producir desde 0 a 100 comedores por día. El costo fijo diario de la planta son dólares, y el costo variable (mano de obra y materiales) para producir un comedor es 805 dólares. a) Escriba la función de costo total de producir comedores en un día. b) Escriba la función de costo unitario (costo promedio por comedor) en un día. c) Cuál es el número de comedores diarios para los cuales la función costo unitario, tiene sentido dentro del conteto? d) Cuál es el intervalo en dólares en el cual fluctúa el costo unitario de los comedores?

3 4. La temperatura mínima en una zona vitivinícola se estima mediante la función f ( t) t 1t 3, donde (t) [1,1] e indica el mes del año. a) Cuántos grados se estima que habrá en marzo? b) En qué mes comenzarán las heladas (0 C)? f indica grados Celsius, ( C) y t pertenece a 5. Los registros de coneión durante las 4 horas del día en un cibercafé, permitió establecer que la cantidad de internautas ( I ) conectados en el cibercafé en alguna hora del día, se ajusta a la función: I conectados. Determine:, donde es la hora del día que los clientes están a) Cuántos internautas están conectados a las 8 de la tarde? b) Cuál es el horario de atención del cibercafé? 6. En la casa de la construcción, el costo de la madera a utilizar (en cientos de pesos) por unidad al producir casas prefabricadas está dado por la función, C ( ) Encontrar la cantidad de casas prefabricadas que minimizan el costo en madera por unidad. Cuánto es el costo mínimo de madera a utilizar? 7. El departamento de sismología de la Universidad de Chile determinó que la magnitud R (en la escala de Richter) de un terremoto de intensidad I está dada ln ( I) por la función: R. Determine: ln (10) a) La intensidad del terremoto de la ciudad Muévete poco, que midió R 8, 6 en la escala de Richter. b) Si la intensidad de un temblor es de , cuál es su magnitud? 3

4 8. Un constructor cotiza en varios lugares materiales para la fabricación de una casa, eligiendo el más conveniente donde el valor a pagar (en miles de pesos) de cantidad de ladrillos está dado por la función f ( ) log (64 ). a) Determine el valor a pagar si se compran 8 ladrillos. b) Si el valor a pagar es de $ Cuántos ladrillos se compraron? 9. Un programador visita una empresa para formatear los computadores de sus trabajadores. El valor total que le ofrece dicha empresa al programador (en cientos de miles de pesos) por computadores está dado por una función f ( ) log 5(5 ). a) Determine cuánto se le paga por formatear 100 computadores b) Si la empresa le paga $ Cuántos computadores formateó? 10. El crecimiento del capital (en U.F.), de la empresa BAKAN está dado por la C función: 3 Determine: a) Cuál es el crecimiento del capital en 3 años? b) En cuántos años el capital será de U.F.?. Donde representa el tiempo epresado en años. 11. Se ha proyectado que dentro de t años, la población de una ciudad sureña de 0,034t nuestro país será de P( t) 0,65 e millones de habitantes a) Cuál es la población actual? b) Cuál será la población en 1 años más? c) Cuántos años deben transcurrir para que la población sea de habitantes? 1. Investigaciones recientes sugieren que el riesgo R (en porcentaje) de tener un k accidente automovilístico puede ser modelado por la función R( ) Ae, sabemos que inicialmente el riesgo es del 6% y al suponer una concentración de 0,04 grados de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10%. a) Cuál es la función que modela esta situación? b) Cuál será el riesgo para una concentración de 0,17 grados de alcohol? c) Si el riesgo es del 0%, Cuál será la concentración?. 4

5 II Aplicaciones de Funciones de manera gráfica. 13. El costo de construcción de una casa de ladrillo del tipo rejilla estándar Princesa, está dada por la función C ( ) , donde es la cantidad de ladrillos que se utilizarán. Determine el gráfico que representa a la función, fundamente su respuesta. 14. Una automotora importa autos de varias marcas, quisieron analizar las utilidades de la importación de la marca Hyundai. Se dieron cuenta que esta se encuentra modelada por el siguiente gráfico: a) Cuál es la utilidad al vender 150 vehículos? b) Si la utilidad es de $ Cuántos vehículos se han vendido? 5

6 15. La productividad de una parcela que cultiva frutales está dada por la función f ( t) t 800t, donde (t) f indica el número de kilogramos producidos y t pertenece a [0,600] e indica el número de árboles que se plantan en la parcela. Determine el modelo que representa esta situación, fundamente su respuesta. 16. Una empresa constructora utiliza una grúa para levantar material a los distintos pisos de una torre en construcción. La altura (medida en metros) que alcanza la plataforma de la grúa que recoge la carga depende del tiempo (medido en segundos) que demora esta. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación, fundamente su respuesta. 6

7 17. Dada la presión p del aire se quiere conocer la altura H, en metros, sobre el nivel del mar, la función: H( p) 0,8ln( p) nos ayuda a determinar esta altura. Cuál es el gráfico que modela la situación? fundamente su respuesta. 18. El PH es una medida de acidez o basicidad de una solución o del suelo, depende de la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro, y se puede modelar a través del siguiente gráfico a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la epresión algebraica que modela la situación. Considere la epresión y b log ( a ) b) Cuál es el PH de un suelo óptimo para la plantación de camelias, si la 6 concentración de iones de hidrógeno es de10 (m/l)? c) Si el PH de un suelo muy ácido es de 4, Cuál es su concentración de iones de hidrógeno? 7

8 19. Una constructora se dedica a la venta de casas nuevas y usadas el valor V (en 0,5t millones de pesos) de una casa está dado por: V 50 e, donde t son los años de uso de la casa Cuál es la gráfica que modela dicha situación? Fundamente su respuesta. 0. Según estimaciones recientes de las Naciones Unidas, la población de la ciudad de Bombay (India) evolucionó en las últimas décadas como se muestra en el gráfico, donde representa las décadas desde el año 1950 e y representa la cantidad de habitantes (en millones). a) Determine la función eponencial que modela la situación anterior. Considere la epresión y T a b) Cuántos habitantes tenía la ciudad de Bombay el año 1990? c) Cuántas décadas han pasado desde 1950, si hay habitantes? 8

9 SOLUCIONES 1. a) ( ) G G ( 75) Respuesta: La ganancia de la empresa al vender 75 Notebooks es $ b) Respuesta: Se vendieron 67 Notebooks.. a) Respuesta: Se fabricaron 45 artículos. b) U U( ) c) U Respuesta: La utilidad es de $ a) La función costo total es; C b) La función costo unitario o costo promedio es; c) El Dominio son los enteros desde 1 hasta 100; Dom CM / d) El Recorrido son los reales desde 855 hasta 5.805; Rec CM y/ 855 y C CM() 805 9

10 f f ( 3) a) ( t) t 1t 3 Vicerrectoría Académica Respuesta: La temperatura en el mes de Marzo es de 5 C. b) t 1t 3 0 a 1 b 1 c 3 b b 4 a c a ; 4 1 Respuesta: Las heladas comienzan en el mes de Abril. 5. a) I ; Respuesta: 16 internautas. b) a 1 b 34 c 64 b b 4 a c a Respuesta: El horario de atención del cibercafé es de las 1:00 horas a las :00 horas. 10

11 6. C ( ) Vicerrectoría Académica El vértice de la parábola es b b, f a a a 1 b b 180 a C (90) Respuesta: 90 casas minimizan el costo y el costo mínimo en madera es de $ ln ( I) ln (10) 7. a) 8, 6 Observación: ln lny y ln ( I) 8,6 ln (10) ln ( I) ln (10 8,6 ) I 10 8,6 Otra Forma ln ( I) 8,6 ln (10) ln ( I) 19,8 I e 19,8 Respuesta: La intensidad es de ln (45.800) ln (10) 8,6 10 o 19,8 e. b) R 4, 66 (apro. decimales) Respuesta: La magnitud es de 4,66 grados en la escala Richter. 8. a) ( ) log (64 ) f f ( 8) log (648) 9 Respuesta: Al comprar 8 ladrillos debe pagar $ b) (64 ) 10 log Respuesta: Se compraron 16 ladrillos. 11

12 9. a) ( ) log 5(5 ) f f ( 100 log 5(5100) 3, Respuesta: La empresa paga por el formateo de 100 computadores $ b) (5 ) 4 log Respuesta: El analista formateó 15 computadores a) C Respuesta: El capital a los 3 años es de 450 U.F. b)? C Respuesta: En 6 años el capital será de U.F. 0, a) P (0) 0,65 e 0, 65 Respuesta: La población actual es de habitantes. 0,0341 b) P (1) 0,65 e 0, Respuesta: La población en 1 años más será habitantes. 1

13 c) 1,5 0,65 e 0,034 t 1,5 0,65 e 0,034t 1,5 0,65 e 0,034 ln 1,5 ln 1,5 0,65 0,034 t t t 4,59 0,65 0,034 Respuesta: La población será habitantes en aproimadamente 5 años. 1. a) R( ) A e k 6 Ae k 0 A e 0,04k 10 6 e 0,04k 10 ln 0,04k k 6 10 ln 6 k 0,04 1,77 Respuesta: La función es R( ) 1,77 6 e. (1,77 0,17) b) R (0,17) 6e 5, 597 Respuesta: El riesgo para 0,17 grados de alcohol es de 5,6% ln 6 1,77 1,77 1,77 c) 0 6e e ln 1,77 0, 09 Respuesta: Si el riesgo es un 0% la concentración es de 0,09 grados de alcohol. 13

14 13. Se descarta el gráfico 1 porque no puede considerarse una cantidad negativa de ladrillos. El costo de ladrillos es: C ( 6.000) , por lo tanto, se descarta el gráfico 3 ya que indica que el costo de ladrillos es superior a $ Respuesta: El gráfico es el correcto. 14. A (5, ) B (10, ) La pendiente es: a La gráfica corta al eje y en , por lo tanto, b= Luego la función lineal y a b para este caso es: y a) y Respuesta: La utilidad al vender 150 vehículos es de $ b) Respuesta: Se deben vender 195 vehículos para que la utilidad sea de $

15 15. Se descarta el modelo 1 porque la gráfica queda fuera del rango de definición de la función [0, 600]. La productividad de 600 árboles es: f ( 600) , por lo tanto, se descarta el modelo ya que indica que la productividad de 600 árboles es nula. Respuesta: El modelo 3 es el correcto a 1 b 1 10 a 10 b b 1 La gráfica corta al eje y en 0, por lo tanto, c=0 Respuesta: Luego la función cuadrática f ( ) 10 f ( ) a b c para este caso es: 17. La altura para 0, de presión es: H ( 0,) 0,8ln(0,) 0, 71 metros, por lo tanto, se descarta el modelo que indica para 0, de presión una altura aproimada de 0,4 metros y se descarta el modelo 3 puesto que la altura que declara para la misma presión es aproimadamente 0,8 metros. Respuesta: El modelo 1 es el correcto. 15

16 18. A (1,0) B ( 10, 1) A y B son puntos sobre la función, por lo tanto, satisfacen la ecuación: y b log ( a ) : 0 b a) 0 b log ( a1) log( a) log( a) 0 a 10 0 a 1 1 b log( a10) 1 b log(10) b 1 Respuesta: Luego la función y b log ( a ) para este caso es: PH log( ) 6 b) PH log(10 ) 6 6 Respuesta: El PH para una concentración de 10-6 (m/l) es de 6. c) 4 log( ) 4 log( ) Respuesta: La concentración de iones de hidrógeno es de10 (m/l). 16

17 0, El valor de una casa con un año de uso es de V 50 e 38, 9millones, por lo tanto, se descartan el modelo y modelo 3 que indica para un año de uso un valor aproimado inferior a 38,9 millones. Respuesta: El modelo 1 es el correcto. 0. A (1;3,78) B ( ; 5,9) A y B son puntos sobre la función, por lo tanto, satisfacen la ecuación: y T a : a) 3,78 T a 1 5,9 T a T a T a 5,9 3,78 Dividiendo las ecuaciones tenemos a 1, 4 1 Reemplazando el valor de a en la ecuación 3,78 a 1 T tenemos: 3,78 3,78 T 1,4 T T,7 1,4 Respuesta: Luego la función y T a para este caso es: y,7 1, 4 b) Del 1950 al 1990 hay 4 décadas, por lo tanto, =4 y,7 1,4 4 10, 373 Respuesta: La ciudad de Bombay el año 1990 tenía habitantes. 17

18 8,461646,7 1,4 c) 8,461646,7 1,4 1,4 10, ,4 10,5414 / log log 1,4 log10, 5414 log 1,4 log10, 5414 log10,5414 log 1,4 7, Respuesta: Han pasado aproimadamente 7 décadas. 18