Evaluación de la operación sub-óptima de estado estacionario de sistemas de potencia con cargas dependientes de voltaje

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1 38 Evaluacón de la operacón sub-óptma de estado estaconaro de sstemas de potenca con cargas dependentes de voltaje GARCÍA-GUZMÁN, José Mguel*, ACEVEDO-ARANDA, Rogelo, ORTEGA-HERRERA, Francsco Javer y GONZÁLEZ-PONCE, María del Refugo Insttuto Tecnológco Superor de Irapuato Recbdo Mayo 09, 016; Aceptado Juno 5, 016 Resumen En este trabajo se presenta la evaluacón de la operacón sub-óptma de estado estaconaro de sstemas de potenca con cargas dependentes de voltaje medante la solucón del Despacho Óptmo de Generacón (DOG) utlzando algortmos genétcos. Los modelos de las cargas se ntegran en el análss de Flujos de Potenca (FP) y los resultados se utlzan para calcular los coefcentes B y las pérddas de potenca actva para ser utlzadas en la solucón del DOG. Una vez que se obtenen las potencas de cada generador, estas se asgnan a los nodos PV para ejecutar nuevamente el análss de FP y contnuar el msmo proceso teratvamente hasta que la dferenca de potenca actva en el nodo slack, obtenda medante FP y DOG, sea menor a una toleranca de precsón. Un caso de estudo es presentado con el sstema de potenca de prueba del IEEE. Los resultados muestran que la operacón del sstema es más óptma cuando se ntegran los modelos de las cargas, ya que el costo de generacón dsmnuye. Abstract Ths paper presents the assessment of suboptmal steady state operaton of power systems wth voltage dependent loads by usng the Optmal Dspatch (OP) whch s solved wth genetc algorthms. The load models are ntegrated nto analyss Flow Power (PF) to determne a steady state operaton pont and the results obtaned n ths operatng pont are used to calculate B coeffcents and actve power losses to be used n the soluton of the OD problem. Once the actve power of each generator are obtaned, these are assgned to the PV nodes to perform the analyss PF agan and contnue the same process teratvely untl the dfference of actve power n the slack node, obtaned by FP and OD s less to a precson tolerance. A case study s presented wth the test power system of the IEEE. The results show that the system operaton s more optmal when the model loads are ntegrated n the system, snce the generaton cost decreases. Suboptmal operaton, OD, PF Operacón sub-óptma, DOG, FP Ctacón: GARCÍA-GUZMÁN, José Mguel, ACEVEDO-ARANDA, Rogelo, ORTEGA-HERRERA, Francsco Javer y GONZÁLEZ-PONCE, María del Refugo. Evaluacón de la operacón sub-óptma de estado estaconaro de sstemas de potenca con cargas dependentes de voltaje. 016, 3-7: *Correspondenca al Autor (Correo Electrónco: mgarca@tes.edu.mx) Investgador contrbuyendo como prmer autor ECORFAN-Bolva

2 Introduccón La operacón óptma de estado estaconaro de los Sstemas Eléctrcos de Potenca (SEP) recentemente se ha convertdo en el centro de atencón de las empresas sumnstradoras de energía e nvestgadores alrededor del mundo, ya que al operarse las redes de manera óptma se reducen los costos, el mpacto ambental o se ncrementa la confabldad del sstema, dependendo del objetvo requerdo. El problema de Despacho Óptmo de Generacón es una de las funcones operatvas, desde el punto de vsta económco, más mportantes de los sstemas de potenca modernos, ya que determna la combnacón óptma de potenca actva de cada generador ndvdual tal que se mnmce el costo total de generacón mentras se satsfacen las ecuacones de balance de potenca y los límtes de generacón de las undades. Las funcones de costo de los generadores han sdo representadas medante funcones cuadrátcas, bajo la consderacón de que el costo ncremental de cada generador se ncrementa lnealmente para encontrar una solucón óptma. El DOG con estas funcones de costo cuadrátcas normalmente se resuelve por medo de métodos basados en gradente (Wood & Wollenbergy, 1984), sn embargo, las funcones de costo reales de los generadores consderan las zonas de operacón prohbdas, puntos de válvula, múltples combustbles, entre otros, lo que hace que dchas funcones sean altamente no lneales y en ocasones dscontnuas (Lee & Park, 006). 39 El DOG con estas funcones no puede resolverse con los métodos tradconales, de manera que en los últmos años se han desarrollado dversos métodos que permten resolver el DOG consderando tales funcones, entre los cuales se encuentran los algortmos genétcos (Walters & Sheble, 1993), programacón evolutva (Snha et al, 003), las redes neuronales (Lee et al, 1998), enjambre de partículas (Park et al, 005), colona de hormgas (Gopalakrshnan & Krshnan, 013), entre otros. Los algortmos genétcos son una técnca heurístca-estocástca de optmzacón global que se ha utlzado para resolver problemas de optmzacón de sstemas de potenca, tales como el DOG o las dversas varantes de Flujos de Potenca Óptmos. Por otro lado, los estudos de Flujos de Potenca son una herramenta elemental que permte evaluar la operacón de estado estaconaro de un SEP. La prncpal nformacón obtenda de estos análss comprende las magntudes y ángulo de fase de los voltajes de las subestacones, las potencas reactvas en los buses de generacón y el flujo de potenca actva y reactva en las líneas de transmsón, además de otras varables que son prevamente especfcadas. Esta nformacón es esencal para el contnuo montoreo del estado actual del sstema y para analzar la efectvdad de planes alternos para futuras expansones del sstema para satsfacer el ncremento de la carga demandada (Kothar & Dhllon, 015. En los estudos de FP convenconales, las demandas de potenca actva y reactva son consderadas como valores constantes, sn embargo, las cargas que normalmente se encuentran en los SEPs, son del tpo resdencal, ndustral, muncpal y comercal, y cómo se menconó anterormente, son dependentes de las varacones de la magntud del voltaje nodal y de la frecuenca (El-Hawary & Das, 1987). domngenss). 016

3 Los resultados fnales del análss de FP, tenen efectos muy sgnfcatvos en el modelo de carga utlzado. Por tanto, el uso de un modelo de carga realsta es muy mportante para mejorar la caldad de los estudos llevados a cabo en un SEP (Haque, 1996). Los modelos de carga tradconalmente son clasfcados en dos prncpales categorías: modelos de carga estátca y modelos de carga dnámca (Kundur et al, 1994). Generalmente, las cargas estátcas son representadas medante modelos exponencales (Murty, 1977) y modelos compuestos o modelos ZIP (Kundur et al, 1994; IEEE Task Force, 1993). Ambos tpos de modelos se expresan en funcón del voltaje y de certos parámetros que hacen más exacto el modelado de las cargas en condcones reales. Con la prolferacón de la electrónca de potenca en las cargas se ha modfcado el comportamento de estas en funcón del voltaje (Bokhar et al, 014). La evaluacón de la operacón sub-óptma de estado estaconaro de sstemas de potenca puede llevarse a cabo conjuntando el análss de FP y DOG, además es posble evaluar dcha operacón con cargas dependentes de voltaje y analzar los efectos que tene el modelado de estas cargas en el punto óptmo de operacón del SEP. Así, en este trabajo se presenta una propuesta de análss que permte determnar puntos de equlbro medante los cuales se lleva a cabo la evaluacón de la operacón subóptma de sstemas de potenca consderando cargas dependentes de voltaje. Esta propuesta ntegra a la formulacón de FP y al problema de DOG en un msmo marco de solucón teratva a través del cálculo de los coefcentes de pérddas B para obtener la potenca generada de los buses PV que son utlzados en la formulacón de flujos de potenca convenconal. 40 Es mportante menconar que la solucón del despacho óptmo de generacón se lleva a cabo utlzando el algortmo genétco de la herramenta de optmzacón global de Matlab. Formulacón general del análss de Flujos de Potenca convenconal El análss de FP establece que en cualquer nodo k de un SEP la suma de la potenca generada (PGk, QGk) la potenca demandada (PDk, QDk) y la potenca ntercambada con los dstntos nodos del sstema (ΣP ny j, ΣQ ny j ) es cero. De manera que el balance de potenca actva y reactva en el nodo k se puede modelar como sgue: N b ny j G D j1 P P P P 0 (1) N b ny j G D j1 Q Q Q Q 0 () La expresón anteror representa un sstema de ecuacones, el cual es resuelto aquí medante el método de Newton-Raphson. Modelos estátcos de carga dependentes de voltaje Como se menconó, las cargas eléctrcas estátcas dependen del voltaje que las almenta, de modo que este tpo de cargas son representadas medante modelos exponencales y compuestos. En el presente trabajo solo se consderan el últmo modelo estátco debdo a que el prncpal nterés es la evaluacón del msmo comportamento de estado estaconaro del sstema de potenca. El modelo compuesto representa la carga dependente voltaje como una combnacón de una carga de mpedanca constante (Z), una carga de corrente constante (I) y una carga de potenca constante (P), por lo que tambén es conocdo de manera común como modelo ZIP. domngenss). 016

4 Este modelo expresa la potenca actva y reactva en funcón del voltaje nodal como se muestra enseguda: P P p V V p V V p (3) Q Q q V V q V V q (4) En estos modelos 0 ndca valor nomnal, mentras que P y Q (=1,, 3) representan los coefcentes de mpedanca, corrente y potenca constante para la potenca actva y reactva, respectvamente. La seleccón del valor de los coefcentes de este modelo depende del porcentaje de elementos conectados a cada sstema en partcular. En éste reporte se toman los sguentes valores para los coefcentes asocados con las cargas actvas: p1=0.35, p=0.13 p3=0.5; mentras que para los coefcentes de las cargas reactvas se consderan los sguentes valores: q1= 0.56, q=0.08, q3=0.36 (Nam et al, 013). Incorporacón de los modelos de cargas dependentes de voltaje en el análss de FP La ncorporacón de los modelos compuestos de cargas dependentes de voltaje en la solucón de FP modfca el jacobano en los sguentes elementos de la dagonal prncpal. P V Q V P p V V p V V p V Q q V V q V V q V (5) (6) Es mportante menconar que las Ecuacones (3)-(4) se susttuyen en (1) y (), respectvamente, y se utlzan los elementos del jacobano anterores en el análss de FP, el cual es resuelto por medo del método de Newton- Raphson. 41 Formulacón general del Despacho Óptmo de Generacón El problema de Despacho Óptmo de Generacón es un problema de optmzacón no lneal restrngdo que puede expresarse medante la mnmzacón del costo del combustble de las undades de generacón térmcas sujeta a una restrccón de gualdad, que modela el balance de potenca actva, y ng restrccones de desgualdad, que representan los límtes operaconales de generacón de las máqunas. Matemátcamente, la formulacón general del DOG es dada como sgue: ng G G G 1 mn F( P ) a b P c P (7) sujeto a ng PG PD PL (8) 1 P P P (9) mn max G G G Donde a, b y c son los coefcentes de la funcón cuadrátca de costo del generador del conjunto de ng de generadores. La funcón F(P) corresponde a la funcón objetvo o costo total de generacón medda en ($/hr), los térmnos P, PD y PL representan la potenca actva de salda del generador, la potenca actva demandada y las pérddas de potenca actva en los elementos de transmsón, respectvamente, mentras que los límtes nferor y superor de generacón de potenca actva del generador son denotados por P mn y P max, en forma respectva. Resulta obvo, pero no menos mportante señalar que las ecuacones (7), (8) y (9) corresponden a la funcón cuadrátca de costo de generacón, las restrccones de gualdad y las restrccones de desgualdad del problema de optmzacón. domngenss). 016

5 Las pérddas de transmsón PL, en la Ecuacón (8), son representadas medante una expresón cuadrátca que es funcón de la potenca actva nyectada a los buses. Esta expresón es llamada fórmula de Kron (Kron, 195) y es dada por: ng ng ng (10) P P B P B P B L G j Gj 0 G 00 1 j1 1 Donde P y Pj son la potenca actva nyectada en el bus y j, respectvamente, y los coefcentes B son representados por el térmno Bj. Los coefcentes B son consderados como constantes y son calculados con un algortmo computaconal desarrollado como parte del trabajo. El problema de optmzacón no lneal restrngdo se converte en un uno sn restrccones medante el método de los multplcadores de Lagrange, con el cual se obtene la sguente funcón objetvo aumentada llamada tambén funcón lagrangana: ng LPG, F PG PD PL PG (11) 1 Las condcones de optmaldad de la funcón objetvo anteror son, L L 0 y 0 (1) P G Estas condcones permten obtener los sguentes conjuntos de ecuacones: ng a B P B P B b (13) G j Gj o j1 j El sstema de ecuacones (13) se resuelve para obtener la solucón del DOG, el cual consste en determnar el valor de P y λ. 4 En este trabajo el multplcador de Lagrange o costo ncremental y la potenca generada son determnadas utlzando el algortmo genétco de la herramenta de optmzacón global de Matlab. El análss propuesto en este trabajo para llevar a cabo la evaluacón sub-óptma de SEPs ntegra las dos formulacones antes descrtas en un msmo marco de solucón teratva en el que la dferenca de potenca actva en el nodo slack es consderada como parámetro de convergenca de dcha propuesta. El procedmento general del análss propuesto de lustra en el dagrama de flujo mostrado en la Fgura 1. INICIO Datos del SEP y conversón a pu Condcones ncales ( V, θ, PG) Análss de FP Cálculo de coef. B y pérddas PL No Análss de DOG ΔPG ε S Impresón de resultados Modelo ZIP de carga Asgna PG a nodos PV FIN Fgura 1 Dagrama de flujo para la evaluacón subóptma de la operacón de SEPs domngenss). 016

6 En esta propuesta, prmero se resuelve el FP y luego el DOG en cada teracón, utlzando los coefcentes de pérddas B como enlace entre ambos estudos. Una vez que se obtenen las potencas de cada generador medante el despacho óptmo, estas se asgnan a los nodos PV para ejecutar nuevamente el análss de FP y contnuar el msmo proceso teratvamente hasta que la dferenca de potenca actva en el nodo slack, obtenda medante FP y DOG, sea menor a una toleranca de convergenca especfcada de acuerdo a la sguente expresón: P P P (14) G G, FP G, DOG Donde PG,FP y PG,DOG son la generacón de potenca actva obtenda medante el análss de FP y DOG, respectvamente, y ε es la toleranca de convergenca especfcada. Casos de estudo La evaluacón de la operacón sub-óptma es llevada a cabo medante un caso de estudo en el que se utlza el sstema de potenca de prueba de 5 nodos del IEEE. En el caso de estudo se consdera una toleranca de convergenca de 1x10-9 para el análss de FP y 0 generacones para el DOG con los parámetros de optmzacón preestablecdos en la herramenta de Matlab, mentras que para el análss propuesto en este trabajo se utlza una precsón en la dferenca de potenca actva en el nodo slack de 1x10-6. En este caso de estudo prmero se determna el punto de operacón sub-óptmo con cargas fjas y después se determna otro punto de operacón con el modelo compuesto de dchas cargas. Con estos puntos de operacón es posble evaluar la operacón sub-óptma del SEP en cuestón. 43 Los dos puntos sub-óptmos de operacón de estado estaconaro del sstema de 5 nodos son presentados en la Tabla 1. Nodo Carga fja Modelo compuesto V θ ( ) V θ ( ) Nodo Nodo Nodo Nodo Nodo Tabla 1 Punto sub-óptmo de operacón de estado estaconaro del sstema de 5 nodos Los resultados mostrados en la Tabla 1 muestran que los voltajes nodales se modfcan tanto en magntud como en ángulo cuando se ntegran los modelos de las cargas dependentes de voltaje. Este cambo en el voltaje nodal provoca una redstrbucón de los flujos de potenca en los elementos de transmsón modfcando el valor de las pérddas y la generacón de potenca actva, cambando con ello el costo de generacón, tal como lo muestra la Tabla, donde se muestran los resultados obtendos medante la propuesta de análss de este trabajo con cargas fjas y con los modelos compuestos de carga. Se debe notar que para este sstema de potenca el costo de generacón, la generacón y pérddas totales de potenca actva son menores cuando se ntegran los modelos de cargas exponencales, sn embargo, estos resultados pueden cambar con otros sstemas de potenca de gran escala, lo cual es sujeto de estudo para trabajos posterores. domngenss). 016

7 Parámetro P (MW) P (MW) (Fja) (ZIP) Generador Generador o total (F, $/hr) Demanda total (MW) Pérddas totales (MW) Generacón total (MW) Demanda total (MVAR) Pérddas totales (MVAR) Generacón total (MVAR) Tabla Resumen de resultados del punto sub-óptmo de operacón de estado estaconaro del sstema de 5 nodos Conclusones Una propuesta de análss que permte evaluar la operacón sub-óptma de estado estaconaro de sstemas de potenca con cargas dependentes de voltaje ha sdo presentada. La propuesta ntegra en el análss de flujos de potenca y al problema de despacho óptmo de generacón en un msmo marco de solucón a través del cual se determnan puntos de operacón de estado estaconaro de sstemas de potenca. La ntegracón de los modelos compuestos de cargas en el análss de FP modfca los resultados de las pérddas y de la potenca generada y demandada, lo cual es debdo a una redstrbucón de los flujos de potenca, que a su vez es ocasonada por un cambo en la magntud y ángulo del voltaje nodal. Se debe notar que en el caso de estudo presentado y desde una perspectva de operacón óptma, el punto de operacón con el modelo compuesto de carga es mejor que con cargas fjas, ya que la potenca actva generada y los costos de generacón son menores. De esta manera, se puede conclur de forma general que los modelos de cargas dependentes de voltaje permten llevar a cabo una evaluacón más real del estado de la operacón de un SEP. 44 Por otro lado, es mportante menconar que con la propuesta de análss presentada en este trabajo se determnan puntos sub-óptmos de operacón de estado estaconaro y no puntos óptmos, ya que estos últmos son obtendos medante la formulacón de flujos de potenca óptmos. Referencas Bokhar, A., Alkan, A., Dogan, R., & Daz, M. (014). Expermental Determnaton of ZIP Coeffcents for Modern Resdental, Commercal ans Industral Loads, IEEE Transactons on Power Delvery, 9(3). El-Hawary, M. E., & Das, L. G. (1987). Incorporaton of load models n load-flow studes: form of model effects, IEE Proceedngs C-Generaton, Transmsson and Dstrbuton, 134(1). El-Hawary, M. E., & Das, L. G. (Enero, 1987). Incorporaton of load models n load-flow studes: form of model effects. IEE Proceedngs C-Generaton, Transmsson and Dstrbuton, 134(1), pp Gopalakrshnan, R. & krshnan, A. (013). An Effcent Technque to Solve Combned Economc and Emsson Dspatch Problem Usng Modfed Ant Colony optmzaton, Sadhana, 38(4), pp Haque, M. H. (1996). Load flow soluton of dstrbuton systems wth voltage dependent load models. Electrc Power Systems Research, 36(3), IEEE Task Force on Load Representaton for Dynamc Performance. (1993). Load Representaton for Dynamc Performance Analyss, IEEE Transactons of Power Systems, 8(). domngenss). 016

8 Kothar, D. P. & Dhllon J. S. (015). Power System Optmzaton. Nueva Delh: PHI Learnng. Kron, G. (195). Tensoral Analyss of Integrated Transmsson System, Part II: Off- Nomnal Turns Ratos, AIEE Transactons, 71(1), pp Kundur, P., Balu, NJ. & Lauby, MG. (1994). Power system stablty and control. New York: McGraw-Hll. 45 Transactons on Evolutonary Computatons, 7(1), pp Walters, D.C. & Sheble, G. B. (1993). Genetc Algorthm Soluton of Economc Dspatch wth the Valve Pont Loadng, IEEE Transactons on Power Systems, 8(3), pp Wood, A. J. & Wollenbergy, B. F. (1984). Power Generaton, Operaton, and Control. New York: John Wley & Sons. Lee, k. Y. & Park, J. B. (006). Applcaton of partcle swarm optmzaton to Economc Dspatch Problem: Advantages and Dsadvantages. IEEE PES Power Systems Conference and Exposton, 6(1), pp Lee, K. Y., Yome, S. & Park, J. H. (1998). Adaptve Hopfeld Neural Network for Economc load Dspatch, IEEE Transactons on Power Systems, 13(), pp Murty, P. S. (1977). Load modellng for power flow soluton. J. Inst. Eng., 58(3). Nam, S., kang, S., Lee, J., Cho, E., Ahn, S. & Cho, J. (013). EMS Data-Based Load Modelng to Evaluate the Effect of Conservaton Voltage Reducton at Natonal Level, Energes, 6. Park, J. B, Lee, S., Shn, J. R. & Lee, K. Y. (005). A Partcle Swarm optmzaton for Economc Dspatch wth Nonsmooth Cost Functons, IEEE Transactons on Power Systems, 0(1), pp Snha, N., Chakrabart, R. & Chattopadhyay, P. K. (003). Evolutonary Programmng Technques for Economc load Dspatch, IEEE domngenss). 016