Tema 3. Monopolio Maximización de beneficios. 3.2 Demanda lineal y coste marginal constante Estática comparativa.

Transcripción

1 3.. Maiización de beneficios. 3.2 Deanda lineal y coste arginal constante Estática coarativa Bienestar y roducción. Pérdida irrecuerable de eficiencia La discriinación de recios Discriinación erfecta y bienestar Discriinación de recios de segundo grado Discriinación de recios de tercer grado. Introducción Decios que una eresa es un onoolio si es el único vendedor de un bien (o bienes) en un deterinado ercado. Probleas: dificultad ara definir bien y ercado. Las razones que ueden llevar a una eresa a ser onoolista son or ejelo: - Control de aterias rias. - Adquisición del derecho eclusivo de venta (atente, subasta..). - Mejor acceso al ercado de caitales. - Rendiientos crecientes a escala..etc. 88

2 En contraste con una eresa erfectaente coetitiva que se enfrenta a una deanda erfectaente elástica (toa el recio coo un dato), un onoolista se enfrenta a la deanda de ercado. Por tanto, una eresa con oder de onoolio sobre un cierto ercado será consciente de que la cantidad de roducto que uede vender es una función continua del recio que cobre. Es decir, tendrá en cuenta que reducciones en el nivel de roducción elevarán el recio que uede cobrar. El onoolio tiene, or tanto, oder ara fijar el recio de ercado. Mientras que odeos considerar a una eresa erfectaente coetitiva coo recio-acetante o toadora de recios, un onoolio es recio-decisor o fijador de recios. 3.. La aiización de beneficios de un onoolista (i) El roblea de aiización de beneficios en recios y en cantidades. Condiciones de rier orden. Condiciones de segundo orden. Interretación gráfica del roblea de aiización. (ii) Interretación del ingreso arginal. (iii) Condición ingreso arginal igual al coste arginal. (iv) Producción y elasticidad. (v) Índice de Lerner de oder de onoolio. (vi) Reresentación gráfica. (vii) Condiciones de segundo orden. (i) El roblea de aiización de beneficios en recios y en cantidades Hay dos tios de restricciones que afectan al coortaiento del onoolista: 89

3 a) Restricciones tecnológicas resuidas en la función de costes, C(). b) Restricciones de deanda: (). Podeos escribir la función de beneficios del onoolista de dos foras alternativas: - Π ( ) = ( ) C( ( )) utilizando la función de deanda. - Π ( ) = ( ) C ( ) utilizando la función inversa de deanda. La deanda, (), y la inversa de deanda, (), reresentan la isa relación entre recio y cantidad deandada aunque desde óticas distintas. La función de deanda nos dice cuál es la cantidad deandada a cada uno de los recios ientras que la inversa de deanda nos dice cuál es el recio al que se ueden vender unidades en el ercado. a Π( ) a Π( ) 0 = ( ) = ( ) Problea de aiización de beneficios en función del recio a Π( ) a ( ) C( ( )) Π = + = ( ) ( ) ( ) C ( ( )) ( ) 0 2 Π ( ) = 2 ( ) + ( ) C ( ( )) ( ) C ( ( )) ( ) < 0 Problea de aiización de beneficios en función de la roducción a Π( ) a ( ) C ( ) 0 0 Π (0) = (0) C (0) > 0 (0) > C (0) Π ( ) = ( ) + ( ) C ( ) = 0 Π ( ) = 0 Condición de rier orden. 90

4 Π ( ) = 2 ( ) + ( ) C ( ) < 0 Función de beneficios estrictaente cóncava (caso regular). Π Π ( ) = 0 Π (0) > 0 (ii) Interretación del ingreso arginal Π( ) El ingreso arginal, r ( ), es: r ( ) = ( ) + ( ) () Ingreso adicional or vender una unidad adicional. Ingreso erdido or tener que vender las unidades ya roducidas a un recio enor. (iii) Condición ingreso arginal igual a coste arginal El nivel de roducción que aiiza beneficios (solución interior) satisface: Π ( ) = r ( ) C ( ) = ( ) + ( ) C ( ) = 0 (2) 9

5 En el nivel de roducción ótio ara el onoolista el beneficio arginal se hace cero, Π ( ) = 0; es decir, un cabio infinitesial en el nivel de roducción no altera los beneficios. Un nivel de roducción tal que Π (.) > 0 no uede aiizar beneficios ya que un auento (infinitesial) en la roducción auentaría los beneficios. Del iso odo, un nivel de roducción tal que Π (.) < 0 no uede aiizar beneficios ya que una reducción (infinitesial) en la roducción auentaría los beneficios. En el nivel de roducción que aiiza beneficios el ingreso arginal se iguala con el coste arginal, r ( ) C ( ); = es decir, un cabio infinitesial en el nivel de roducción altera el ingreso total y los costes en la isa edida. (Dicho de otra fora, un auento infinitesial en la roducción eleva el ingreso en la isa cuantía que lo que auenta el coste de roducción y una reducción infinitesial en la roducción reduce el ingreso en la isa cuantía que lo que se reduce el coste de roducción). Un nivel de roducción tal que r (.) C (.) > no odría aiizar beneficios ya que un auento infinitesial en la roducción haría que el auento en el ingreso total fuera ayor que el auento en los costes de roducción (elevando or tanto los beneficios). Siilarente, un nivel de roducción tal que r (.) < C (.) no odría aiizar beneficios ya que una reducción infinitesial en la roducción haría que la reducción en el ingreso total fuera enor que la reducción en los costes de roducción (elevando or tanto los beneficios). 92

6 (iv) Producción y elasticidad: ε ( ) Vaos a corobar que en el nivel de roducción de onoolio la elasticidad recio de la deanda en valor absoluto es ayor o igual que. Coenzaos definiendo la elasticidad recio de la deanda en valor absoluto: - en función del recio: ( ) ε ( ) = ( ), (3) - en función de la cantidad: ε ( ) ( ) =. ( ) (4) Vaos a reresentar a continuación el ingreso arginal en función de la elasticidad recio de la deanda: r ( ) = ( ) + ( ) (5) ( ) r( ) ( ) = + ( ) (6) r( ) = ( ) ε ( ) (7) En nivel de roducción de onoolio se igualan ingreso arginal y coste arginal: ( ) = ( ) = ( ). ε ( ) r C (8) Dado que el coste arginal siere es no negativo (ayor o igual que cero) el ingreso arginal tendrá que ser no negativo y esto ocurre cuando la elasticidad en valor absoluto es ayor o igual que. Es decir: ( ) 0 ( ) 0 ( ). ε ( ) C ε ( ) 0 93

7 (v) Índice de Lerner de oder de onoolio Vaos a obtener el Índice de Lerner de oder de onoolio (o oder de ercado) o lo que es lo iso el argen recio- coste arginal relativo. De la condición (8) obteneos: ( ) ε ( ) ( ) = C( ). Por tanto obteneos: ( ) C( ) =. (9) ( ) ε ( ) Luego cuanto enor sea la elasticidad recio de la deanda en valor absoluto ayor será el Índice de Lerner (y or tanto el oder de onoolio) y si ε ( ) = (coo ocurriría con una eresa erfectaente coetitiva el oder de onoolio sería nulo, ( ) ( ) C( ) = 0. (vi) Reresentación gráfica C ( ) Π r ( ) ( ) 94

8 El ingreso arginal, ( ) = ( ) + ( ), se encuentra or debajo de la inversa de deanda r ya que la función inversa de deanda tiene endiente negativa, ( ) < 0. Es decir, r ( ) < ( ) si > 0, ero abas funciones tienen la isa ordenada en el origen r (0) = (0). El beneficio del onoolista (si no hay costes fijos) viene dado or: C ( ) ( ) C( ) C ( z) dz 0 Π =Π = = = (vii) Condiciones de segundo orden Interretación Para hacer ás sencillo el análisis suondreos que la función de beneficios es estrictaente cóncava. Es decir: Π ( ) = r ( ) C ( ) = 2 ( ) + ( ) C ( ) < 0 (0) La condición (0) equivale a decir que la endiente del ingreso arginal tiene que ser enor que la endiente del coste arginal: dr d ( ( )) dc ( ( )) Dicho de otra fora el ingreso arginal debe cortar al coste arginal desde arriba. < d r, C dr d ( ( )) dc ( ( )) > d dr d ( ( )) dc ( ( )) < d C ( ) r ( ) 95

9 Casos. Costes estrictaente conveos o lineales: C ( ) 0 (CM creciente o constante) a) Deanda estrictaente cóncava o lineal: ( ) 0 Π ( ) = 2 ( ) + ( ) C( ) < 0 < b) Deanda estrictaente convea: ( ) > 0 r( ) = 2 ( ) + ( ). Hay que corobar que < 0 > 0 r < C ( ) ( ). 2. Costes estrictaente cóncavos: C ( ) < 0 (CM decreciente) Hay que corobar en cada caso si r < C ( ) ( ) Deanda lineal y coste arginal constante Inversa de deanda: ( ) = a b ( a> 0, b> 0 ). Coste de roducción: C( ) Ingreso arginal: r ( ) = a 2b. = c ( c 0 ). ( a> c) Pendiente inversa deanda: Pendiente ingreso arginal: ( ) dr d = b ( ( )) = 2b Función de beneficios estrictaente cóncava: Π ( ) = r ( ) = 2b< 0. Beneficio arginal en cero: Π = C = a c> (0) (0) (0) 0. Maiización de beneficios: a c ( ) ( ) 2 = 2 b r = C a b = c a+ c Precio de onoolio: = ( ) = a b = 2 96

10 ( ) Beneficios de onoolio: ( ) [ ( ) ] [ ] a c a c a Π =Π = c c = c = = 2 2b 4b Estática coarativa Vaos a ver cóo cabian el recio y la roducción del onoolista cuando cabian los costes de roducción. La intuición econóica nos dice que un auento en el coste arginal del onoolista debería conllevar una reducción en la roducción y un auento en el recio. Suondreos ara silificar que el coste arginal es constante (y que no hay costes fijos). La función de costes es C( ) = c. a Π( ) a ( ) C ( ) 0 0 Π (0) = (0) C (0) > 0 (0) > C (0) Π ( ) = ( ) + ( ) c = 0 () ( c) Producción de onoolio coo función ilícita del coste arginal. Π ( ) = 2 ( ) + ( ) C ( ) < 0 Función de beneficios estrictaente cóncava (caso regular). Diferenciando coletaente la condición () con resecto a y a c. 2 ( ) + ( ) d dc = 0 Desejando: d = <0 dc 2 ( ) + ( ) < 0 C2ºO (2) Por tanto, un auento infinitesial del coste arginal reduce la roducción y una reducción infinitesial del coste arginal eleva la roducción. 97

11 Una vez obtenido el cabio en la roducción al cabiar el coste arginal es directo obtener el cabio en el recio. < 0 d ( ) = d d = >0 dc d dc 2 ( ) + ( ) < 0 C2ºO (3) Ejelo: deanda lineal a + c d = = 2 dc 2 d ( ) = = dc 2 ( ) + ( ) 2 Con deanda lineal el auento en el recio es la itad del auento en el coste arginal: d = dc 2 = Bienestar y roducción (i) Enfoque del consuidor reresentativo. Utilidad cuasi-lineal. (ii) Disosición áia a agar y disosición arginal a agar. (iii) Función de deanda indeendiente de la renta. (iv) Función de bienestar social y nivel de roducción aiizador del bienestar social. (v) Ecedente total, ecedente del consuidor y ecedente del roductor. (vi) Condiciones de eficiencia en resencia de varios consuidores o ercados. (vii) Coaración entre roducción de onoolio y roducción eficiente utilizando el roblea de aiización de beneficios. 98

12 (viii) Coaración entre roducción de onoolio y roducción eficiente utilizando el roblea de aiización del bienestar social. (i) Pérdida irrecuerable de eficiencia. (i) Enfoque del consuidor reresentativo. Utilidad cuasi-lineal Para realizar análisis de bienestar y valorar desde el unto de vista social el coortaiento del onoolio seguireos el enfoque del consuidor reresentativo. Se suone en este enfoque que la curva de deanda del ercado () se genera aiizando la utilidad (cuasi-lineal) de un único consuidor reresentativo. Considereos una econoía en la que sólo hay dos bienes: e y. Podeos ensar que el bien es el bien roducido en el ercado (onoolístico) que nos interesa. Mientras que el bien y recoge todo lo deás : cantidad de dinero que le queda al consuidor ara adquirir otros bienes una vez que ha gastado la cantidad ótia en el bien. Suondreos que el consuidor reresentativo tiene una Función de Utilidad Cuasi-lineal: U y u y u u u (, ) = ( ) + ( (0) = 0; (.) > 0; (.) < 0) (ii) Disosición áia a agar y disosición arginal a agar Disosición áia a agar, R: ( ) lo áio que estaría disuesto a agar el consuidor or unidades del bien. Estará agando lo áio si justo queda indiferente entre consuir unidades agando R ( ) y no consuir el bien, dedicando su dotación de renta,, al consuo del resto de los bienes. Es decir: U(, R ( )) = U(0, ) Nótese que el consuidor debe quedar indiferente y, or tanto, se debe culir con igualdad la anterior condición. Si se diera el caso de que U(, R ( )) > U(0, ) entonces el 99

13 consuidor estaría disuesto a agar una cantidad ayor que R ( ) y si U(, R ( )) < U(0, ) entonces R ( ) sería ayor que su disosición áia a agar. Coo la función de utilidad es cuasi-lineal: U(, R ( )) = U(0, ) u ( ) + R ( ) = u(0) + R ( ) = u ( ) Por tanto, cuando la función de utilidad es cuasi-lineal: u ( ) Disosición áia a agar Disosición arginal a agar: es el cabio en la disosición áia a agar ante una variación infinitesial en la cantidad consuida. u ( ) Disosición arginal a agar (iii) Función de deanda indeendiente de la renta Ly (,, λ ) a u ( ) + y y, a u( ) + y + λ y y,, λ s. a y + = [ ] L = u ( ) λ = 0 L = u ( ) Función inversa de deanda = λ = 0 y L = y = 0 λ La función directa de deanda () es la inversa de esta función y or tanto satisface la condición de rier orden: 00

14 = u ( ( )) Función de deanda Proiedad de la función de utilidad cuasi-lineal: la función de deanda es indeendiente de la renta. Derivando con resecto a obteneos: = u ( ( )) ( ) ( ) = < 0 endiente negativa u ( ( )) < 0 (iv) Función de bienestar social y nivel de roducción aiizador del bienestar social En esta subsección justificareos la utilización de W ( ) = u ( ) C ( ) coo función de bienestar social. Vaos a lantear el roblea de obtener la asignación que aiiza la utilidad del consuidor reresentativo, con una restricción de recursos: interretaos el coste de roducción del bien coo la cantidad del bien y a la que habría que renunciar ara tener el bien. a u ( ) + y y, sa. y= C( ) Sustituyendo y en la función objetivo: a u ( ) + C ( ) a u ( ) C ( ) constante Luego el roblea de aiizar el bienestar social consiste en: a W ( ) a u ( ) C ( ) 0 0 W (0) = u (0) C (0) > 0 e W u C W ( ) = ( ) ( ) = 0 ( ) = 0 (3) Condición de rier orden. 0

15 ( ) = ( ) ( ) < 0 Función de bienestar social estrictaente cóncava (caso regular). W u C Por tanto, en el nivel de roducción que aiiza el bienestar social o nivel de roducción eficiente se cule e e e W ( ) = 0 u ( ) = C ( ). Coo noralente suondreos que el coste arginal es constante la condición de eficiencia queda: e u ( ) = c, Es decir, en el nivel de roducción eficiente la disosición arginal a agar se iguala con el coste arginal. (v) Ecedente total, ecedente del consuidor y ecedente del roductor La función W ( ) = u ( ) C ( ) uede interretarse tabién coo el ecedente total; es decir, la diferencia entre la disosición áia a agar y el coste de roducción. Por definición se cule: u( ) u (0) u ( z) dz 0 = = 0 C( ) C (0) C ( z) dz 0 = = F = 0 Por tanto, aiizar u ( ) C ( ) equivale a elegir aquel nivel de roducción que aiice el área debajo de la inversa de deanda y encia del coste arginal. C ( ) C ( ) e u ( ) e C ( ) ( ) ( ) e e 02

16 C ( ) e W( ) ( ) e Sileente suando y restando el gasto en el bien odeos reescribir el ecedente total coo: [ ] [ ] W ( ) = u( ) C( ) = u( ) + c EC ( ) EP( ) El ecedente del consuidor, EC(), ide la diferencia entre la disosición áia a agar del consuidor y lo que realente aga. El ecedente del roductor, EP(), ide los beneficios (si no hay costes fijos) de la eresa. Por tanto, el nivel de roducción eficiente tabién aiiza la sua del ecedente del consuidor y del ecedente del roductor. e EC( ) C ( ) e EP( ) ( ) e 03

17 (vi) Condiciones de eficiencia en resencia de varios consuidores o ercados Consideraos el roblea de obtener una asignación eficiente en el sentido de Pareto cuando en la econoía hay dos consuidores que tienen funciones de utilidad cuasilineal, u ( ) + y, y una dotación de renta de, i =, 2.. Vaos a aiizar la utilidad de i i i un agente (or ejelo el consuidor ) anteniendo constante la utilidad del otro (or ejelo, el 2), dada una restricción de recursos (suoneos que el coste arginal es constante e igual a c). i a u ( ) + y, y, 2, y2 sa. u ( ) + y = u y + y = + c.( + ) Desejando y 2 de la segunda restricción y sustituyendo en la riera, desejando entonces y y sustituyendo en la función objetivo, el roblea queda: a u ( ) + u ( ) c.( + ) + + u, Desde las condiciones de rier orden obteneos: e u( ) c= 0 = = e 2 2 e e u( ) u2( 2) c Condición de eficiencia (4) = u ( ) c 0 (vii) Coaración entre roducción de onoolio y roducción eficiente utilizando el roblea de aiización de beneficios a Π( ) a ( ) C ( ) 0 0 Π (0) = (0) C (0) > 0 (0) > C (0) 04

18 Π ( ) = ( ) + ( ) C ( ) = 0 Π ( ) = 0 Condición de rier orden. Π ( ) = 2 ( ) + ( ) C ( ) < 0 Función de beneficios estrictaente cóncava (caso regular). ( ) 0 e Π ( )? ( ) 0 Π = Π < e e e e e e e e e Π ( ) = ( ) + ( ) C ( ) = u ( ) C ( ) + ( ) < 0 e = u ( ) = 0 < 0 Por definición de roducción eficiente Π ( ) = 0 e e e Π ( ) < 0 Π ( ) <Π ( ) > Π ( ) < 0 ( ) ( ) 0 d Π 0 ( ) d Π < < Π Π Π ( ) = 0 e Π ( ) < 0 e 05

19 (vii) Coaración entre roducción de onoolio y roducción eficiente utilizando el roblea de aiización del bienestar social a W ( ) a u ( ) C ( ) 0 0 W (0) = u (0) C (0) > 0 (0) > C (0) e W u C W ( ) = ( ) ( ) = 0 ( ) = 0 Condición de rier orden. W u C ( ) = ( ) ( ) < 0 Función de bienestar estrictaente cóncava. e W ( ) = 0 W ( )? W ( ) < 0 u ( ) W ( ) = u ( ) C ( ) = ( ) > 0 ( ) < 0 Por definición de roducción de onoolio. e W ( ) = 0 W ( ) > 0 W ( ) < W ( ) > W ( ) < 0 e e dw ( ) ( ) 0 0 ( ) d W < < W W W ( ) > 0 e W ( ) = 0 e 06

20 (vii) Pérdida irrecuerable de eficiencia (PIE) e e ( ) ( ) e [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 0 PIE = W W = u z C z dz u z C z dz = u z C z dz e EC( ) C ( ) EC( ) C ( ) e EP( ) EP( ) ( ) ( ) e C ( ) PIE ( ) e 07

21 3.5. La discriinación de recios (i) Definición. (ii) Incentivo a discriinar recios. (iii) Condiciones o requisitos. (iv) Clasificación o tios de discriinación de recios (Pigou, 920). (v) Ejelos. (vi) Modelo. (i) Definición Eiste discriinación de recios cuando diferentes unidades de un iso bien son vendidas a recios distintos, bien al iso consuidor bien a consuidores diferentes. Discusión - Diferencias en calidad: transorte de asajeros, esectáculos culturales y deortivos - Un único recio uede ser discriinatorio y recios diferentes no serlo. Direos que no eiste discriinación de recios si la diferencia entre el recio agado or dos consuidores or una unidad del bien refleja eactaente la diferencia en el coste de servir el bien a esos consuidores. (ii) Incentivo a discriinar recios En el nivel de roducción de onoolio el ingreso arginal se iguala con el coste arginal: r ( ) C ( ). = Es decir: 08

22 ( ) + ( ) = C( ) () Ingreso adicional or vender una unidad adicional. Ingreso erdido or tener que vender las unidades ya roducidas a un recio enor. El onoolista estaría disuesto a vender ás unidades si no tuviera que bajar el recio. Eisten incentivos a intentar caturar una ayor roorción del ecedente del consuidor incentivos a discriinar recios. C ( ) Incentivo a discriinar recios: caturar una ayor roorción del ecedente social. Π r ( ) ( ) (iii) Condiciones o requisitos Para que una eresa ueda discriinar recios se tienen que culir dos condiciones: a) la eresa debe ser caaz de clasificar a los consuidores (lo que deende de la inforación). b) la eresa debe tener caacidad ara iedir la reventa (lo que deende de las osibilidades de arbitraje y de los costes de transacción). 09

23 El caso ás sencillo de clasificación se roduce cuando la eresa recibe una señal eógena (edad, localización, ocuación ) que le erite clasificar a los consuidores en diferentes gruos. Resulta ás difícil clasificar en función de una categoría endógena (or ejelo, la cantidad corada o el oento de la cora). En este caso el onoolista debe establecer recios de odo que sean los roios consuidores los que se auto-clasifiquen en las categorías correctas. (iv) Clasificación o tios de discriinación de recios (Pigou, 920) ) Discriinación de recios de rier grado o discriinación erfecta. El vendedor cobra un recio diferente or cada unidad del bien igual a la disosición áia a agar or esa unidad. Requiere inforación lena sobre las referencias de los consuidores y no eistencia de ningún tio de arbitraje. El onoolista consigue etraer todo el ecedente del consuidor. 2) Discriinación de recios de segundo grado (o fijación no lineal de recios). Los recios difieren deendiendo del núero de unidades del bien que se coren ero no de unos consuidores a otros. Cada uno de los consuidores se enfrenta a la isa lista de recios ero éstos deenden de las cantidades (o de cualquier otra variable; or ejelo, la calidad del roducto) que se coren. Ejs.: descuentos or corar grandes cantidades del roducto. Autoselección. 0

24 3) Discriinación de recios de tercer grado. Se cobran recios distintos a diferentes consuidores ero cada uno de ellos aga una cantidad constante (el iso recio) or cada una de las unidades que cora del bien. La eresa recibe una señal eógena que le erite clasificar a los consuidores en diferentes gruos. Se suele decir que es el tio ás frecuente de discriinación de recios. Ejelos: descuentos a estudiantes, recios diferentes deendiendo del día de la seana etc. Identificación. En ocasiones se suelen distinguir dos tios de discriinación de recios: discriinación de recios directa y discriinación de recios indirecta. La discriinación de recios de segundo grado es un caso de discriinación indirecta (los consuidores se enfrentan a una única lista de recios y con sus elecciones se auto-clasifican) ientras que la discriinación de recios de rier grado y la discriinación de recios de tercer grado serían casos de discriinación directa. En el caso de DP3º la eresa establece listas de recios diferentes ara consuidores ertenecientes a diferentes gruos o ercados. (v) Ejelos Resulta ás difícil encontrar ejelos reales de ercados donde no se ractique ningún tio de discriinación de recios que lo contrario. Aunque a veces no es osible distinguir de una anera nítida cuál es el tio de discriinación es un ejercicio interesante editar sobre qué tio de discriinación de recios se ractica en los siguientes casos. - Tarifas en dos artes: telefonía, Internet, electricidad, televisión or cable Tarifa lana, bonos or horas etc. - Tarifas eléctricas diferentes ara uso industrial o uso doéstico.

25 - Descuentos en useos, subscrición de revistas, aconteciientos deortivos o culturales, ara niños, jóvenes o jubilados. - Tios de interés referenciales. - Bono-etro, bono-bus, descuentos según cantidad corada en transortes úblicos. - Diferente calidad de servicio: recios diferentes deendiendo de la calidad del roducto en esectáculos deortivos o culturales (tribuna, referencia, alco ), o en transorte de asajeros (clase turista, Business class, riera, segunda ). - Descuentos or coras reetidas. - Descuentos según cantidad corada: 2, 32 en suerercados - Servicio a doicilio de coida, tele-tienda (vi) Modelo Estudiareos estos tres tios de discriinación de recios or edio de un odelo uy sencillo. Suongaos que hay dos consuidores otenciales que tienen funciones de utilidad cuasi-lineal: u ( ) + y, i =, 2. ui (0) = 0, i =, 2. i i i u ( ) : disosición áia a agar del consuidor i =,2. i i u ( ) : disosición arginal a agar del consuidor i =, 2. i i Direos que el consuidor 2 es un consuidor de deanda alta y que el consuidor es un consuidor de deanda baja si se cule: u ( ) > u ( ) 2 u ( ) > u ( ) 2 2

26 Es decir, el consuidor 2 es un consuidor de deanda alta y el de deanda baja si tanto la disosición áia a agar coo la disosición arginal a agar del consuidor 2 son ayores que las del consuidor ara todo nivel de consuo. La coaración de disosición áia y disosición arginal a agar sólo tiene sentido hacerla ara el iso nivel de consuo. Adeás la coaración hay que hacerla ara todo nivel de consuo. u ( ) 2 u ( ) 2 u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) 2 u ( ) > u ( ) 2 2 u ( ) > u ( ) Suondreos que el onoolista tiene un coste arginal constante (y no hay costes fijos) c > 0. De fora equivalente la función de coste de roducción es: C( ) = c. = c.( + ) 2 3

27 3.6. La discriinación de recios de rier grado o discriinación erfecta (i) Definición y conteto. (ii) Planteaiento y resolución del roblea en el caso de un único consuidor. (iii) Observaciones. Es eficiente la cantidad ofrecida or el onoolista? (iv) Planteaiento y resolución del roblea en el caso de dos consuidores. (v) Ofrece el onoolista a los consuidores las cantidades eficientes? Deostración de que el onoolista ofrece una cantidad ayor al consuidor de deanda alta. (vi) Qué ocurriría si el onoolista no fuera caaz de identificar al consuidor cuando va a corar el bien. (i) Definición y conteto El vendedor cobra un recio diferente or cada unidad del bien igual a la disosición áia a agar or esa unidad. Requiere inforación lena sobre las referencias de los consuidores y no eistencia de ningún tio de arbitraje. En articular, el onoolista es caaz de identificar al consuidor cuando va a corar el bien. (Ejelo clásico: édico de ueblo). (ii) Planteaiento y resolución del roblea en el caso de un único consuidor El onoolista deseará ofrecer al consuidor una cobinación (lote) recio-roducción * * ( r, ) que le reorte los ayores beneficios. El onoolista le lanteará al consuidor 4

28 una elección todo o nada : r * * (, ) (0,0). El consuidor o aga * r or * unidades o se queda sin el bien. El roblea de aiización del onoolista es: a r c r, sau. ( ) r () La restricción () la odeos escribir de anera equivalente coo u ( ) r 0: nos indica que el consuidor debe derivar un ecedente no negativo de su consuo del bien. Se denoina este tio de restricciones coo restricciones de articiación o restricciones de racionalidad individual. Coo el onoolista desea aiizar beneficios elegirá la tarifa r lo ás elevada osible y, or tanto, la restricción () se culirá con igualdad: r= u ( ). Por tanto, el roblea consiste en: Π( ) a u( ) c dπ = ( ) = 0 ( ) = d 2 d Π u ( ) 0 2 = < d * u c u c Dado este nivel de roducción la tarifa será: r = u ( ). * * (iii) Observaciones a) Es eficiente la cantidad ofrecida or el onoolista? El onoolista roduce una cantidad eficiente en el sentido de Pareto, * e =, ya que ofrece una cantidad tal que se iguala la disosición arginal a agar con el coste arginal. 5

29 (Reasar el roblea de aiización del bienestar social y coararlo con el que acabaos de resolver). Sin ebargo, el onoolista se queda con todo el ecedente social. Π =Π = = = * * * e e e ( ) u( ) c u( ) c W ( ) Π c * e u ( ) = C ( ) b) El onoolista roduce la isa cantidad que roduciría si se coortara coo una eresa erfectaente coetitiva. Si toara el recio coo un dato entonces su decisión de roducción sería ( ) = cero coo la utilidad es cuasi-lineal ( ) u( ) = y en consecuencia u ( ) = c. Sin ebargo, la distribución de las ganancias del coercio sería la ouesta. c) Podríaos obtener los isos resultados ediante una tarifa en dos artes. * * T ( ) = A + = u( ) c + c A * * * Π = T ( ) c = u( ) c c Π u ( ) = * e C ( ) 6

30 d) Obtendríaos el iso resultado si el onoolista vendiera al consuidor cada unidad de roducción a un recio distinto e igual a su disosición áia a agar or esa unidad. Suongaos que descooneos la roducción en n artes iguales de taaño de odo que = n. La disosición áia a agar or la ª unidad de consuo viene dada or: u(0) + = u( ) + u(0) = u( ) La disosición áia a agar or la 2ª unidad de consuo sería: u( ) + = u(2 ) + u( ) = u(2 ) 2 2 Y así sucesivaente. Obtendríaos las siguientes ecuaciones: u(0) = u( ) u( ) = u(2 ) u(2 ) = u(3 )... u(( n ) ) = un ( ) n 2 3 Suando y teniendo en cuenta que u (0) = 0 obteneos un ( ) = i. Cuando el i= n taaño de estas unidades se vuelve infinitesial, obteneos que lantear una única oción todo o nada al consuidor equivale a venderle cada una de las unidades (infinitesiales) del bien a un recio igual a la disosición arginal a agar or ella. * u( ) = u 0 ( z) dz * ( z) c * u ( ) C ( ) 7

31 (iv) Planteaiento y resolución del roblea en el caso de dos consuidores El onoolista deseará ofrecer al consuidor i, i =, 2, una cobinación (lote) recioroducción * * ( i, i ) r que le reorte los ayores beneficios. El onoolista le lanteará al consuidor i, i =, 2, una elección todo o nada : * * ( ri, i ) (0,0). El consuidor i, i =, 2, o aga * r i or * i unidades o se queda sin el bien. El roblea de aiización del onoolista es: a r + r c.( + ) 2 2 r,, r2, 2 sa. u( )-r 0 u ( )-r r = u ( ) r = u ( ) aiización de beneficios Por tanto, el roblea nos queda: a u ( ) + u ( ) c.( + ), Π = u( ) c= 0 * * u( ) = u2( 2) = c Π = u2( 2) c= 0 2 Dados estos niveles de roducción las tarifas serán: r = u ( ) y * * r = u ( ). * * (v) Ofrece el onoolista a los consuidores las cantidades eficientes? Deostración de que el onoolista ofrece una cantidad ayor al consuidor de deanda alta El onoolista ofrece las cantidades eficientes: = y * e * e. 2 2 = (Reasar el roblea de obtener una asignación eficiente y coararlo con el roblea resuelto en esta subsección). 8

32 Vaos a deostrar a continuación que el onoolista ofrece una cantidad ayor al consuidor de deanda alta: * > *. 2 * u( ) = c * * * u2( 2) = u( ) < u2( ) * u2( 2) = c Consuidor 2 deanda alta: u ( ) > u ( ) 2 Por tanto, u ( * ) < u ( * ) ero coo la función u 2 es estrictaente cóncava entonces du ( 2( )) < 0 y or tanto d > * *. 2 (vi) Qué ocurriría si el onoolista no fuera caaz de identificar al consuidor cuando va a corar el bien? (Esta subsección servirá ara introducir la discriinación de recios de segundo grado). Suongaos ahora que el onoolista no es caaz de identificar a los consuidores cuando acuden a corar el bien. Es decir, no uede realizar ofertas ersonalizadas y or tanto se verá restringido a establecer una única lista de recios. Suongaos que establece una lista de recios utilizando las tarifas y cantidades ótias bajo discriinación erfecta: ( r, ) * * * * 2 2 ( r, ) (0,0) donde r = u ( ) y * * r = u ( ). Corobaos cóo el consuidor de deanda alta tiene * * incentivos a corar el lote diseñado ara el de deanda baja. 9

33 * * * * * * 0 = u2( 2) r2 < u2( ) r = u2( ) u( ) > 0 Incentivo a realizar arbitraje ersonal. Ecedente que obtendría el consuidor 2 si cora el lote diseñado ara él. Ecedente que obtendría el consuidor 2 si cora el lote diseñado ara el consuidor La discriinación de recios de segundo grado (o fijación no lineal de recios) (Térinos clave: no identificación, única lista de recios y autoselección). (i) Definición y conteto. (ii) Restricciones de articiación y de autoselección. Interretación. (iii) Deostración de qué restricciones se culen con igualdad. Interretación. (iv) Planteaiento y resolución del roblea de aiización de beneficios. (v) Observaciones. Ofrece el onoolista cantidades eficientes? Deostración de que el onoolista ofrece una cantidad enor que la eficiente al consuidor de deanda baja. (vi) Bajo qué condiciones decide el onoolista ofrecer el bien a abos consuidores? (vii) Reresentación gráfica. (i) Definición y conteto Los recios difieren deendiendo del núero de unidades del bien que se coren ero no de unos consuidores a otros. Nos situaos en un conteto en el que el onoolista conoce las referencias (conoce la distribución de referencias) de los consuidores, ero no es caaz de identificar al 20

34 consuidor cuando va a corar el bien. Se ve obligado a establecer una única lista de recios y dejar que sean los consuidores los que se auto-clasifiquen o auto-seleccionen. En este sentido se dice que es un tio de discriinación indirecta. Los consuidores se enfrentan a la isa lista de recios ero éstos deenden de las cantidades (o de cualquier otra variable; or ejelo, la calidad del roducto) que se coren. (ii) Restricciones de articiación y de autoselección. Interretación El objetivo será diseñar de anera ótia la lista de recios de odo que cada consuidor elija la cobinación recio-cantidad diseñada ara él. ( r, ) ( r, ) 2 2 (0,0) Consuidor Consuidor 2 Restricciones del onoolista - Restricciones de articiación (o racionalidad individual) u ( ) r 0 () u ( ) r 0 (2) Estas restricciones garantizan que cada consuidor desea corar el bien. Cada consuidor obtiene al enos tanta utilidad consuiendo el bien coo no consuiendo. O dicho de otro odo, cada consuidor obtiene un ecedente no negativo corando el bien. - Restricciones de autoselección (o coatibilidad de incentivos) u ( ) r u ( ) r (3) 2 2 u ( ) r u ( ) r (4)

35 Estas restricciones garantizan que cada consuidor refiere la cobinación recio-cantidad diseñada ara él a la cobinación recio-cantidad diseñada ara el otro consuidor. Dicho de otra fora, estas restricciones revienen el arbitraje ersonal: cada consuidor obtiene un ecedente or lo enos tan alto eligiendo el lote diseñado ara él coo eligiendo el lote diseñado ara el otro consuidor. (iii) Deostración de qué restricciones se culen con igualdad Vaos a agruar las restricciones de acuerdo con el consuidor. () y (3) r u ( ) () ( ) ( ) (2) r u u 2 + r2 (2) y (4) r u ( ) (3) ( ) ( ) (4) r2 u2 2 u2 + r El onoolista desea aiizar beneficios y, or tanto, desea elegir r y r 2 lo ás alto que se ueda. Por tanto, sólo una de las dos rieras desigualdades y sólo una de las dos segundas serán efectivas (se culirán con igualdad). El suuesto de que el consuidor 2 es el consuidor de deanda alta y el consuidor el consuidor de deanda baja (es decir, se cule: u ( ) > u ( ) y u ( ) > u ( ) ) es suficiente ara deterinar las 2 2 restricciones que son efectivas. ) Deostración de que (4) se cule con igualdad y (3) con desigualdad estricta Suongaos or el contrario que (3) se cule con igualdad y or tanto que r 2 = u 2 ( 2 ). Entonces r2 r2 u2 r r u2 (4) ( ) + ( ). Coo el consuidor 2 es el de deanda 22

36 alta u2( ) > u( ) entonces r u2( ) > u( ). Es decir, r > u ( ) y or tanto no se culiría la restricción () lo que suone una contradicción. (No es coatible que se cula con igualdad la restricción de articiación del consuidor de deanda alta con que el consuidor de deanda baja core el bien). En conclusión, (3) no es efectiva y (4) si lo es: r = u ( ) u ( ) + r (5) ) Deostración de que () se cule con igualdad y (2) con desigualdad estricta Suongaos or el contrario que (2) se cule con igualdad y or tanto que r = u( ) u( 2) + r2. Sustituyendo r 2 desde la condición (5) obteneos: r = u( ) u( 2) + u2( 2) u2( ) + r = r2 Esto ilica u ( ) u ( ) = u ( ) u ( ) u2 t dt = () u () t dt 2 [ u () t u ()] t dt = 0 2 Pero esto viola el suuesto de que el consuidor 2 es el consuidor de deanda alta, u ( ) > u ( ). Por tanto, (2) no es efectiva y si lo es () : 2 r = u ( ) (6) 23

37 Interretación Al consuidor de deanda baja, ya que no tiene incentivos a realizar arbitraje, se le cobrará su disosición áia a agar. Al consuidor de deanda alta, que tiene incentivos a realizar arbitraje ersonal (y hacerse asar or un consuidor de deanda baja), se le cobrará el recio áio que le induzca a elegir el lote destinado a él (justo la cantidad de dinero tal que el consuidor de deanda alta queda indiferente entre su lote y el destinado al consuidor de deanda baja). Vaos a ver de otra fora or qué al consuidor de deanda alta hay que dejarle con algo de ecedente. Considereos la restricción de autoselección del consuidor de deanda alta: u ( ) r u ( ) r (4) Hay que notar que, coatible con que el consuidor de deanda baja core el bien, el lado derecho de esta restricción es ositivo. Es decir, si eligiéraos el valor áio ara r la condición (4) nos quedaría: u ( ) r u ( ) u ( ) > ya que el consuidor 2 es el consuidor de deanda alta. (Lo que ilica que la restricción de articiación del consuidor 2 no se uede satisfacer con igualdad). Pero dado que le tiene que dejar con ecedente ositivo al consuidor de deanda alta, le dejará con el ínio ecedente osible, dejando al consuidor 2 indiferente entre elegir el lote diseñado ara él y el lote diseñado ara el consuidor. Es decir, (reordenando la restricción (5)): u ( ) r = u ( ) u ( ) >

38 ya que coo el consuidor de deanda baja no tiene incentivos a realizar arbitraje (obtendría un ecedente negativo) el onoolista le cobra su disosición áia a agar r = u ( ). (iv) Planteaiento y resolución del roblea de aiización de beneficios a r + r c.( + ) a r + r c.( + ) r,, r2, 2 r,, r2, 2 u( )-r 0 () r = u( ) (6) sa. sa. u2( 2)-r2 0 (2) r2 = u2( 2) [ u2( ) r ] (5) u ( )- r u ( )- r (3) 2 2 u ( )- r u ( )- r (4) El roblea quedaría:, 2 2 Π(, 2) a u ( ) + u ( ) [ u ( ) u ( )] c.( + ) Π = u( ) c [ u2( ) u( )] = 0 (7) Π = u2( 2) c = 0 (8) Las tarifas vendrán dadas or: r = u ( ) r = u ( ) [ u ( ) u ( )]

39 (v) Observaciones ) El onoolista ofrece al consuidor de deanda alta la cantidad eficiente y le deja con un ecedente ositivo. La condición (8) ilica u 2( 2) = c y, or tanto, el onoolista ofrece al consuidor de e deanda alta la cantidad eficiente 2 = 2 (corobar condiciones de eficiencia). Adeás le cobra un recio (tarifa) enor que su disosición áia a agar dejándole con un ecedente ositivo e igual al que obtendría si se hiciera asar or un consuidor de deanda baja y eligiera el lote diseñado ara consuidor. r 2 = u2( 2) [ u2( ) u( )] y or tanto su ecedente sería: u2( 2) r 2 = [ u2( ) u( )]. 2) El onoolista ofrece al consuidor de deanda baja una cantidad enor que la eficiente (deostración) y le deja con un ecedente nulo. Π = u( ) c [ u2( ) u( )] = 0 (7) > 0 Coo el consuidor 2 es el de deanda alta [ u ( ) u ( )] > 0 y entonces de la condición 2 (7) obteneos u ( ) > c. Por definición la roducción eficiente satisface u ( ) = c, or lo e que se cule ( ) e u > u ( ). Coo la disosición áia a agar es una función estrictaente cóncava: e u( ) > u( ) < du ( ( )) < 0 d e 26

40 Veaos cuál es la intuición de este resultado. Para ello vaos a interretar el beneficio arginal de y evaluarlo en diferentes niveles de roducción. Π = u ( ) c [ u ( ) u ( )] 2 * > 0( < ) > 0 Beneficio arginal desde el consuidor : un cabio en la cantidad ofrecida a este consuidor cabia el beneficio que obtiene el onoolista desde él. Beneficio arginal desde el consuidor 2: un cabio en la cantidad ofrecida al consuidor cabia el ecedente que tiene que dejar al consuidor 2 ara que no haga arbitraje. * Π( ) * * * = u( ) c [ u2( ) u( )] < 0 = 0 > 0 Partiendo de la cantidad * una reducción en la cantidad ofrecida al consuidor eleva el beneficio ya que se reduce el ecedente que tiene que dejar el onoolista al consuidor 2. Considerando ahora una cantidad de tal que < < se cule: * Π( ) = u( ) c [ u2( ) u( )] < 0 > 0 > 0 Al onoolista le coensa seguir reduciendo ya que la ganancia en beneficios desde el consuidor de deanda alta or dejarle con enor ecedente coensa la érdida de beneficios desde el consuidor de deanda baja or ofrecerle una cantidad enor. Π( ) = u ( ) c [ u ( ) u ( )] = 0 2 > 0 27

41 En la ganancia arginal, de una reducción infinitesial en, desde el consuidor de deanda alta or dejarle con enor ecedente se iguala con la érdida arginal desde el consuidor de deanda baja or ofrecerle una cantidad enor. Adeás le cobra un recio (tarifa) igual que su disosición áia a agar dejándole con un ecedente nulo: r = u ( ). (vi) Bajo qué condiciones decide el onoolista ofrecer el bien a abos consuidores? El onoolista decidirá ofrecer el bien a abos consuidores siere que obtenga ayores beneficios que ofreciendo el bien eclusivaente al consuidor de deanda alta. Es decir, ofrecerá el bien a abos consuidores si se cule: Π(0, ) Π(, ) * 2 2 u ( ) c u ( ) c + u ( ) [ u ( ) u ( )] c * * * * r r 2 [ u ( ) u ( )] u ( ) c 2 Si esta condición no se cule el onoolista decidiría ofrecer el bien eclusivaente al consuidor de deanda alta. Otra fora de verlo consiste en considerar el beneficio arginal de. Si fuera negativo ara todo nivel de Π( ) = u( ) c [ u2( ) u( )] < 0 > 0 > 0 entonces el onoolista decidiría no ofrecer nada al consuidor de deanda baja, ya que ara todo nivel de reducir la cantidad ofrecida al consuidor de deanda baja elevaría el beneficio. 28

42 (vi) Análisis gráfico (coste arginal nulo) u ( ) u ( ) = c= 0 * u ( ) = c= 0 * 2 2 A B C u ( ) 2 * * 2 Discriinación erfecta r * * ( i, i ) (0,0) i =, 2 * * u( ) = u2( 2) = 0 c r = u ( ) A * * r = u ( ) A+ B+ C * * * * * Π = u( ) + u2( 2) A+ A+ B + C * r * r2 No identificación Suongaos que el onoolista no conoce la identidad del consuidor y que establece una única lista de recios donde antiene las cobinaciones recio-cantidad ótias bajo discriinación erfecta. El consuidor 2 tendría incentivos a realizar arbitraje ersonal. 29

43 * * ( r, ) A * * ( r 2, 2) A+ B+ C (0,0) Consuidor Consuidor 2 0 = A+ B + C ( A+ B+ C) < A + B A= B * * * u2( 2) * u2( ) r r 2 Discriinación de segundo grado Las restricciones que se culen con igualdad son: r= u( ) A ( ) al consuidor se le cobra el área debajo de la inversa de deanda. u2( 2) r2 = u2( ) r B( ) al consuidor 2 hay que dejarle con un ecedente B ( ) (el ínio osible) ara que no haga arbitraje. Inicialente anteneos las cantidades ofrecidas; sólo ajustaos las tarifas. * ( r, ) A * ( r 2, 2) A+ C (0,0) Π (, ) = 2A+ C * * 2 Π (, ) = A + A+ B+ C B * 2 Π(, ) Π(, ) ( A A) + ( B B) > 0 * * * 2 2 u ( ) u ( ) 2 B u ( ) u ( ) c A A B C u ( ) 2 * * 2 30

44 ( r, ) ( r, ) 2 2 (0,0) Π( ) = u( ) c [ u2( ) u( )] = 0 > 0 Coo estaos suoniendo que el coste arginal es cero: Π( ) = u( ) [ u2( ) u( )] = 0 u( ) = u2( ) u( ) > 0 u ( ) u ( ) 2 u ( ) 2 B u ( ) u( ) c = 0 u ( ) A C u ( ) 2 * * 2 * * Π (, 2) = u( ) c + u2( 2) [ u2( ) u( )] c 2 A + A+ B+ C B *

45 Sólo ofrecer el bien al consuidor de deanda alta Π( ) = u ( ) c [ u ( ) u ( )] < 0 2 > 0 > 0 u A B ( ) C u ( ) 2 ( r, ) * * 2 2 A+ B+ C (0,0) * * La discriinación de recios de tercer grado (i) Definición y conteto. (ii) Maiización de beneficios. Regla de la inversa de la elasticidad. (iii) Coaración de beneficios con el caso de recio unifore (recio sile de onoolio). (iv) Efectos sobre el bienestar social. (i) Definición y conteto Eiste discriinación de recios de tercer grado cuando se cobra a consuidores ertenecientes a distintos gruos o subercados recios diferentes, ero cada consuidor aga el iso recio or cada una de las unidades que adquiere. Éste es robableente el 32

46 tio ás coún de discriinación de recios. Ejelos: descuentos a estudiantes, recios diferentes deendiendo del día de la seana etc. El onoolista recibe una señal eógena que le erite distinguir ercados o i subercados coletaente searados: = 0. j Éste es un tio de discriinación directa: el onoolista establece listas de recios diferentes ara consuidores ertenecientes a diferentes gruos o ercados. Identificación: el onoolista clasifica a cada consuidor en un gruo. (ii) Maiización de beneficios. Regla de la inversa de la elasticidad Vaos a considerar el caso ás sencillo en el que = 2: el onoolista clasifica a los consuidores en dos gruos o ercados cuyas funciones inversas de deanda son ( ) y < i = El onoolista uede establecer recios diferentes en los dos 2( 2), con i( i) 0,,2. ercados ero dentro de cada ercado no uede discriinar. El roblea de aiización es:, 2 Π(, 2) a ( ) + ( ) c.( + ) Π = ( ) + ( ) c= 0 () () i IM = IM 2 = c Π = 2( 2) + 22( 2) c= 0 (2) 2 ( ) i( i) i i( i) i + = c 33

47 i i( i) i( i)[ + ] = c ( ) i( )[ + i ] c ε ( ) = i( )[ i ] c ε ( ) = i i i i i i c i( i) = i =, 2. ε ( ) i i Por tanto, ( ) > 2 ( 2 ) sii ε( ) < ε2( 2). En consecuencia se cobrará el recio ás bajo al ercado cuya deanda sea ás elástica; es decir, al ercado ás sensible al recio. (iii) Coaración de beneficios con el caso de recio unifore (recio sile de onoolio). El beneficio del onoolista bajo discriinación de recios de tercer grado es or lo enos tan alto coo el beneficio bajo recio unifore. La razón es sencilla: bajo discriinación de recios de tercer grado siere odría elegir los recios iguales si eso fuera lo ás rentable. (iv) Efectos sobre el bienestar social ) Cuál es el roblea? 2) Cotas al cabio en el bienestar social. 3) Alicaciones: a) Deanda lineal. 34

48 b) Aertura de ercados. ) Cuál es el roblea? El objetivo de esta sección es coarar desde el unto de vista del bienestar social la discriinación de recios de tercer grado con el recio unifore o recio sile de onoolio. En general, un oviiento desde recio unifore a discriinación de recios de tercer grado beneficia a algunos agentes y erjudica a otros. Beneficiados or la DP3º: el onoolista y los consuidores del ercado de ayor elasticidad (ya que el recio baja en ese ercado). Perjudicados or la DP3º: los consuidores del ercado de enor elasticidad (ya que el recio auenta). Luego el efecto sobre el bienestar social queda indeterinado. 2) Cotas al cabio en el bienestar social Suongaos ara silificar que sólo hay dos ercados y artaos de una función de utilidad agregada de la fora: u ( ) + u 2 ( 2 ) + y + y 2, donde y 2 son los consuos del bien or arte de los dos gruos e y = y+ y2 es el dinero que se gasta en otros bienes de consuo. Las funciones u y u 2 son estrictaente cóncavas. Las funciones inversas de deanda de los dos subercados son: ( ) = u ( ) y ( ) = u ( ) Si C (, 2) es el coste de ofrecer y 2 odeos edir el bienestar social coo: W(, ) = u ( ) + u ( ) C(, )

49 Consideraos dos configuraciones de la roducción (, ) y (, ) cuyos recios son 2 (, ) y (, ), resectivaente. Suongaos que el conjunto inicial de recios 2 corresonde con el recio unifore (recio sile de onoolio) = = y que y 2 son los recios bajo discriinación de recios de tercer grado. Considerareos el aso de 0 a. Debido a la estricta concavidad de u y u 2 teneos que (ver Aéndice): 0 0 ( ) = u( ) < u( ) + u( ) ( ) () u < 0 > u > 0 0 u( ) < u( ) + u ( ) ( ) () u > ( ) = ( ) = u2( 2) < u2( 2) + u2( 2) ( 2 2) (2) u2 < > u > 0 0 u2( 2) < u2( 2) + u2( 2) ( 2 2) (2) u2 > 2 2 2( ) = 2 2 Suando (3) y (4) (3) (4) + > u + u > donde u = u + u ; = ; = = ( ) = u ( ); = ( ) = u ( ); = ( ) = u ( ); = ( ) = u ( ) W= W (, 2) W (, 2) = u( ) u( ) + u2( 2) u2( 2) [ C (, 2) C (, 2)] u u2 C = u + u C 2 Por tanto, + C > W > + C

50 Si el coste arginal es constante: C= c ( + ) c ( + ) = c + c Con lo que las cotas al cabio en el bienestar nos quedan: 0 0 ( c) + ( 2 c) 2 > W > ( c) + ( 2 c) 2 (5) Cota suerior Cota inferior Coo = = las cotas del cabio en el bienestar son: ( c)( + 2) > W > ( c) + ( 2 c) 2 (6) Cota suerior Cota inferior - Cota suerior: ilica que una condición necesaria ara que auente el bienestar social, W > 0, es que auente la roducción total. Suongaos or el contrario que = Coo 0 ( c) 0 > entonces (4) W < 0. - Cota inferior: indica que una condición suficiente ara que auente el bienestar bajo discriinación de recios de tercer grado es que sea ositiva la sua de las variaciones de la roducción onderadas or la diferencia entre el recio bajo discriinación y el coste arginal. Gráficaente ara el caso de un único ercado las cotas quedarían: 0 0 ( c) > W > ( c) c 0 37

51 3) Alicaciones a) Deanda lineal Suongaos que las deandas de los dos ercados vienen dadas or ai i( i) = i, i, 2, b b = y el coste arginal constante es nulo, c = 0. El roblea de i i aiización de beneficios bajo discriinación de recios de tercer grado es: a ( ) + ( ), Π a a a = ( ) + ( ) = 0 = 0 = ; = b b b b 2 2 Π a a a = ( ) + ( ) = 0 = 0 = ; = b b b b La cantidad total vendida es: a a ab + ab = + = + = b 2b2 2bb 2 Bajo recio unifore: a ( ) + ( ) Π a a = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + = 0 b b b b b b 0 ab 2+ ab 2 = ; 2( b + b ) a ab + ab 2ab + 2ab ab ab 2ab + ab ab = = = b b 2( b+ b2) 2 b( b+ b2) 2 b( b+ b2) a = = = b2 b2 2( b+ b2) 2 b2( b+ b2) 2 b2( b+ b2) ab+ ab 2ab + 2ab ab ab 2ab + ab ab La cantidad total vendida es: 38

52 2ab + ab ab 2ab + ab ab = + = b( b+ b2) 2 b2( b+ b2) 2 abb + a ( b ) a bb + 2 a bb + a ( b) abb = 2 bb ( b + b ) abb 2+ a( b2) + a2bb 2+ a2( b) ( ab 2+ a2b)( b+ b2) ab 2+ a b = = = 2 bb ( b + b ) 2 bb ( b + b ) 2bb Por tanto, la roducción es la isa bajo abas olíticas de recios. Es decir, = + 2 = 0. Es decir,. = 2 Las cotas quedarían 0 ( c)( + 2) > W > ( c) + ( 2 c) 2 (6) = 0 < 0 Luego el bienestar disinuye: W < 0. Coo vereos a continuación el anterior resultado deende crucialente de que todos los ercados sean servidos bajo recio unifore. b) Aertura de ercados Iagineos que las deandas de los dos ercados son coo las que aarecen en el gráfico adjunto. 0 = 2 ( ) 2 2 ( ) 2 39

53 Si el onoolista tuviera que vender al iso recio debería bajar tanto el recio en el ercado que la reducción de beneficios en ese ercado no se vería coensada. Por tanto, ( c)( + 2) > W > ( c) + ( 2 c) 2 (6) 0 = 0 > 0 = 0 > 0 > 0 = 0 > 0 > 0 Por tanto, coo la cota inferior es ositiva W > 0. Pero no sólo auenta el bienestar; de hecho la discriinación de recios doina en el sentido de Pareto al recio unifore. Al asar de recio unifore a discriinación de recios de tercer grado auentan los beneficios del onoolista, ejoran los consuidores del ercado 2 y los consuidores del ercado uno están igual. Aéndice Si u es una función estrictaente cóncava ara todo e y se cule: u uy u y y ( ) < ( ) + ( )( ). Las tangentes siere quedan or encia de la función si ésta es estrictaente cóncava. u u ( ) uy ( ) u ( ) uy ( ) u lineal u ( y) = y u u = u y + yu y lineal ( ) ( ) ( ) ( ) u u < u y + yu y estrictaente cóncava ( ) ( ) ( ) ( ) y 40

54 Bibliografía Básica Varian, H. R., 992, Análisis Microeconóico, 3ª edición, Barcelona: Antoni Bosch editor. Ca. 3, secciones 3.6, 3.7, 3.9 y 3.0. Ca. 4, secciones: introducción, 4., 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7 y 4.8. Ca. 6, secciones: 6., 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.0 y 6.. Bibliografía Coleentaria Kres, D. M., 994, Curso de Teoría Microeconóica, McGraw-Hill. Tirole, J., 990, La Teoría de la Organización Industrial, Ariel Econoía. Varian, H. R., 20, Microeconoía Interedia: Un Enfoque Actual, 8ª edición, Barcelona: Antoni Bosch editor. 4