U N I DAD 4. Introducción. Línea recta

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1 U N I DAD 4 Línea recta Introducción En el área económico-administrativa es de gran imortancia el estudio de variables como el costo total, el ingreso, el consumo, el ahorro, entre otros. Para oder estudiar estos otros fenómenos de tio administrativo, se hace necesario el uso de las matemáticas ara elicarlos de manera cuantitativa. Muchas de las variables que intervienen en estos fenómenos tienen un comortamiento que obedece a una función lineal la cual se reresenta geométricamente or medio de una recta. En este tema se estudiará la ecuación de la recta sus roiedades, así como algunas de sus alicaciones entre las que se encuentran el modelo de costo lineal, la oferta la demanda mu esecialmente el unto de equilibrio.

2 Cometencia Al finalizar la unidad, el alumno odrá: Contenido Comrender la imortancia de la línea recta su alicación al modelo de costo lineal. Alicar las ecuaciones lineales en decisiones de roducción, costeo reducción de inventarios. Resolver sistemas de ecuaciones. Resolver roblemas de la emresa a artir de un sistema de ecuaciones. Determinar la oferta la demanda. D eterminar el unto de equilibrio I mortancia de la línea recta su alicación al modelo de costo lineal Pendiente ordenada al origen Ecuación de la recta dadas la endiente un unto Ecuación de la recta dados dos untos Gráf ica de una recta dada su ecuación Alicación al modelo de costo lineal Ecuaciones lineales su alicación: decisiones en roducción, costeo reducción de inventarios D ecisiones en roducción D ereciación lineal. 4.. Sistema de ecuaciones L os sistemas de ecuaciones lineales su relación con la osición de dos rectas en el lano Solución de un sistema de ecuaciones Método de sustitución Método de igualación Método de reducción o suma resta Solución de roblemas de la emresa a artir de un sistema de ecuaciones La oferta la demanda: una alicación de la línea recta al entorno de los negocios D eterminación de la oferta D eterminación de la demanda D eterminación del unto de equilibrio a t ravés de la visión algebraica Punto de equilibrio a artir de la oferta la demanda Punto de equilibrio a artir del ingreso el costo L a utilidad.

3 4.1. Imortancia de la línea recta su alicación al modelo de costo lineal Un fabricante de roa ha decidido oner en liquidación un lote de rendas con defecto. Qué recio deberá oner en la etiqueta ara que durante la liquidación ueda reducir este recio en 25% aun así obtener una ganancia de 15% sobre el costo de la renda? Situaciones como ésta se resentan cotidianamente en el mundo de los negocios, ara oder resonder ésta algunas otras reguntas necesitamos conocer algunos asectos imortantes sobre las rectas su relación con las ecuaciones lineales. Una línea recta es la gráfica de una ecuación lineal con dos variables; su forma general es A + B + C = 0; ero qué relación eiste entre los coeficientes A, B C las características de una recta? Una de las características imortantes de una recta es su inclinación; una recta uede estar inclinada hacia la derecha, hacia la izquierda, ser horizontal o vertical Pendiente ordenada al origen m= tan Se llama endiente de una recta a la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje ositivo X; se denota or la letra m. Si la recta se encuentra inclinada hacia la derecha, el ángulo de inclinación es 0< < 90 la endiente es ositiva m > 0. Si la recta se encuentra inclinada hacia la izquierda, el ángulo de inclinación es 90 < < 180 la endiente es negativa m < 0 Recta inclinada hacia la derecha Recta inclinada hacia la izquierda m > 0 m < 0 Figura 1. I nclinación de la recta el signo de la endiente

4 Si la recta es horizontal, el ángulo de inclinación es = 0 la endiente es cero m = 0. Estas rectas tienen como ecuación = k, donde k es una constante. Si la recta es vertical, el ángulo de inclinación es = 90 no eiste la endiente (tan 90 no eiste). Estas rectas tienen como ecuación = k donde k es una constante. = k k = k k Recta vertical, no eiste la endiente. Recta horizintal m = 0 Figura 2. I nclinación de la recta su relación con la endiente Ordenada al origen Se llama ordenada al origen de una, recta a la coordenada b del unto (0, b) donde la recta intersecta al eje Y. Cómo reconocemos la ordenada al origen la endiente de una recta cua ecuación es de la forma general A + B + C = 0? a) Primero desejamos de la ecuación: A + B + C = 0 A B C B Esta ecuación a tiene la forma: = m + b de donde la endiente está dada or: m A B Y la ordenada al origen or: b C B

5 Ecuación ordinaria Se llama ecuación ordinaria de una recta a la ecuación de la forma = m + b donde m reresenta la endiente de la recta b corresonde a la ordenada al origen. Ecuación general Se llama ecuación general de una recta a la ecuación de la forma A + B + C = 0 donde A, B C son números enteros. Ejemlo 1 Cuál es la endiente la ordenada al origen de la recta cua ecuación es 2+ 5= 0? Desejamos de la ecuación ara llegar a la forma = m + b Resuesta: Identificamos la endiente la ordenada al origen: m 2 b 5 2 Ejemlo 2 Identifica la endiente la ordenada al origen de la recta cua ecuación es: 8 + = 9 Desejamos de la ecuación ara llegar a la forma = m + b Resuesta: Identificamos la endiente la ordenada al origen: 8 m b

6 Actividad 1 Identifica la endiente la ordenada al origen de las siguientes ecuaciones de la recta menciona hacia donde está inclinada. a) 2 = 5 b) + 2 = 0 c) = d) 5 4 = e) = Ecuación de la recta dadas la endiente un unto Cuántas rectas tienen la misma endiente? L a resuesta es: infinitas!, a que todas las rectas aralelas a una recta dada tienen la misma inclinación or tanto la misma endiente. Figura. Rectas con la misma inclinación. Sin embargo eiste solo una única recta con una endiente dada que ase or un unto fijo ( 1, 1).

7 Para encontrar la ecuación que reresenta esta recta sustituimos los datos (m el unto ( 1, 1) ) en la siguiente fórmula conocida como forma unto-endiente de la recta: 1 = m( 1 ) desués desejamos la variable. Ejemlo Obtener la ecuación que reresenta a la recta con endiente que asa or el unto (2, ). Sustituimos los datos m = (2, ) en la ecuación: 1 m( 1) desejamos 1 m( 1) ( ) ( )( 2) 6 6 Resuesta: La ecuación que reresenta a la recta es: = + Figura 4. Gráfica de la recta = + Ejemlo 4 Cuál es la ecuación de la recta con endiente 2 que asa or el unto ( 2, 0)? Sustituimos los datos m = 2 ( 2, 0) en la ecuación: m( ) 1 1 desejamos 1 m( 1)

8 0 2 ( ( 2)) 0 2 ( 2) 2 4 Resuesta: La ecuación que reresenta a la recta es: 2 4 Figura 5. Gráfica de la recta Actividad 2 Obtén la ecuación de la recta con endiente m que asa or el unto dado. a) 2 m ; 5 1, 4 2 b) m 4 ; ( 4, ) c) m 1 ; (0, 1) 4 d) m 2 ; (0, 0) e) m = 0; (, 0)

9 4.1.. Ecuación de la recta dados dos untos Cuántas rectas eisten que asen or un unto dado? I nfinitas! Sin embargo eiste sólo una recta que asa or dos untos dados ( 1, 1) ( 2, 2 ). Para encontrar la ecuación que reresenta esta recta se siguen los siguientes asos: Primero obtenemos la endiente de la recta. Ésta se encuentra sustit uendo los datos en la siguiente fórmula: 2 1 m 2 1 Una vez que se tiene la endiente, elegimos alguno de los dos untos, lo sustituimos en la fórmula unto-endiente: 1 = m( 1 ) Y desejamos la variable. Ejemlo 5 Obtener la ecuación que reresenta a la recta que asa or los untos: (2, ) ( 1, 0). Sustituimos los datos en la fórmula: 2 1 m 2 1 m 0 ( ) Elegimos un unto, se sustituen los datos en la ecuación: 1 = m ( 1 ) Y desués desejamos ; Con (2, ) m = 1 Con ( 1, 0) m = 1 1 m( 1) 1 m( 1) ( ) ( 1)( 2) 0 ( 1)( ( 1)) 2 0 ( 1)( 1) 2 1 1

10 Resuesta: La ecuación que reresenta a la recta es: 1 N ota: Como uedes ver, la ecuación es la misma sin imortar cuál de los dos untos se tomen en cuenta ara realizar los cálculos. Figura 6. Gráfica de la recta 1 Actividad Encuentra la ecuación de la recta que asa or las siguientes arejas de untos: a) (, 5) (2, 4) b), 2 5 (2, 0) c) (0, 0) 1, 5 d) ( 1,1) (,0) e) (, 2)

11 Gráfica de una recta dada su ecuación Para obtener la gráfica de una recta dada su ecuación en la forma = m + b, seguimos los siguientes asos: L ocalizamos el unto corresondiente a la ordenada al origen, (0, b), sobre el eje Y. a Escribimos la endiente como fracción m, esto indica que or cada c unidades c que se recorre en el eje X (denominador de la endiente = c) se recorren a unidades hacia arriba (si a es ositivo) o hacia abajo (si a es negativo) en el eje Y (numerador de la endiente = a); con esto se localiza otro unto. Por último unimos los dos untos se rolonga la recta. a c Figura 7. Pendiente de la recta = m + b donde m a c Ejemlos 6 Dibujar la gráfica de la recta: 4 De la ecuación identificamos la ordenada al origen, b = localizamos el unto (0, ) en el eje Y Se localiza otro unto a artir de éste: Recorremos unidades hacia la derecha sobre el eje X (denominador de la endiente = ) bajamos 4 unidades en el eje Y (numerador de la endiente = 4).

12 (0, ) (0, ) 4 4 Figura 8. Gráfica de la recta 4

13 Ejemlo 7 Dibujar la gráfica de la recta 5 + 8= 0 Como la recta está en su forma general se asa a la forma ordinaria desejando la variable Identificamos la ordenada al origen b 8 localizamos el unto 0, en el eje Y Se localiza otro unto a artir de éste: Recorremos unidades hacia la derecha sobre el eje X (denominador de la endiente = ) Y subimos 5 unidades en el eje Y (numerador de la endiente = 5). Unimos ambos untos. 5 (0, 8/) Figura 9. Gráfica de la recta 5 8

14 Actividad 4 Realiza la gráf ica de las siguientes rectas: a) 2 4 b) c) d) 4 1 e) Alicación al modelo de costo lineal En el mundo de los negocios es mu imortante el modelo de costo lineal, así que vamos a introducir algunos concetos: Se llama costo fijo a la suma de todos los costos de una emresa que no deenden C f del nivel de roducción tales como la renta, los seguros, etcétera; este gasto se debe cubrir indeendientemente de que eista o no roducción. Se denota como C f. Cv= Cq Se llama costo variable a la suma de todos los costos que deenden del nivel de roducción, tales como salarios, costo de la materia rima, etcétera. Se denota como variables se denotan como Cv= C v. Si denotamos or q al nivel de roducción, los costos Cq, donde C es el costo or unidad. C T Se llama costo total a la suma de los costos variables más los costos f ijos. Se denot a como C. T CT Cv C f Cq C f m b Como uedes observar esta ecuación tiene la forma:

15 donde los costos variables corresonden a la endiente el costo fijo a la ordenada al origen; al costo que tiene este modelo se le denomina M odelo de costo lineal. Ejemlo 8 Una comañía tiene costos fijos or $80 000, mientras que el costo or unidad es de $6. Determina la ecuación de costo total de la comañía. El costo fijo es C = f el costo or unidad es C= 6; si q reresenta el nivel del roducción de la comañía, la ecuación de costo total será: CT = 6 q Para graficar la ecuación que corresonde al modelo de costo lineal se toman en cuenta sólo valores ositivos ara la variable q que corresonde al nivel de roducción (no tiene sentido un nivel de roducción negativo). Figura 10. Gráf ica del costo total CT = 6 q Ejemlo 9 Un roductor de café determinó que el costo de rocesar un kilo de café es de $5 que sus costos fijos or día ascienden a $50. Determina la ecuación del costo total diario grafica. El costo fijo es: = 50 C f

16 El costo or unidad es: C= 5 Si q reresenta los kilos de café rocesados diariamente, la ecuación del costo total diario es: CT 5q 50 Figura 11. Gráf ica de C 5q 50 T L os ingresos de una emresa se definen como la cantidad de dinero que se ercibe or la venta de los roductos que fabrica, o bien or la restación de un servicio. El modelo matemático que se utiliza ara describir los ingresos t iene la forma: I q Donde I reresenta los ingresos, reresenta el recio de los roductos o servicios q reresenta el nivel de roducción. La reresentación gráfica de esta función de ingresos es una recta cua endiente es el recio que siemre asa or el origen (si no ha ventas no ha ingreso). Ejemlo 10 Una aelería vende un lote de cuadernos a $16 cada uno. a) D etermina la función de ingreso. b) Cuál será el ingreso or vender 100 cuadernos? c) Cuántos cuadernos tendrá que vender si requiere un ingreso de $2 000?

17 a) D etermina la función de ingreso. Resuesta: Del enunciado del roblema tenemos que el recio de venta es $16. Si q reresenta el número de cuadernos vendidos, la función de ingreso está dada or la eresión: I 16q Figura 12. Gráfica del ingreso I= 16q b) Cuál será el ingreso de vender 100 cuadernos? Para calcular el ingreso de vender 100 cuadernos, sustituimos q or este valor en la ecuación. I 16q I= 16 (100)= Resuesta: Por vender 100 cuadernos, la aelería tendrá un ingreso de $1 600 c) Cuántos cuadernos tendrá que vender si se requiere un ingreso de $2 000? Para saber cuántos cuadernos ha que vender ara lograr un ingreso de se sustitue este valor or I en la ecuación, se deseja q. I 16 q q q q Resuesta: Para lograr un ingreso de $2 000 se requiere vender 125 cuadernos.

18 Actividad 5 Resuelve los siguientes roblemas. a) Una fábrica de muebles tiene costos fijos or $1 500 diarios. Si el costo de fabricar una silla es de $70: I) Determina la función de costo total grafica. I I) Cuál será el costo de fabricar 100 sillas diarias? b) Una comañía de banquetes ofrece un aquete ara gruos con un costo de $100 or ersona, mas un cargo etra de $2 500 ara el salón. I) D etermina la función de costo total. I I) Cuántas ersonas se odrá invitar si se cuenta con $5 000 ara agar el banquete? c) L os costos fijos or roducir cierto artículo son de $ mensuales los costos or unidad son de $5. Si se uede vender cada artículo a $60, contesta cada uno de los siguientes incisos: I) D etermina la función de costo total. I I) D etermina la función de ingreso. I II) Cuántos artículos se ueden roducir con $56 450? I V) Cuál será el ingreso or el número de artículos roducidos con los $56 450? d) El gerente de una fábrica de zaatos ha determinado que el costo de roducir cada ar es de $78 los uede vender a $265. Si sus costos fijos son de $2 000 mensuales realiza lo que se te ide: I) D etermina la función de costo total. I I) D etermina la función de ingreso. I I I) Si tiene un edido or 70 ares de zaatos, cuánto dinero necesitará aortar ara su fabricación? I V) Cuál será el ingreso que obtendrá de ese edido? e) Un fabricante uede vender su roducto a $125 cada uno; si los costos de roducción son de $5 or unidad sus costos fijos ascienden a $ 800 mensuales, realiza lo que se te ide:

19 I) D etermina la función de costo total. I I) D etermina la función de ingreso. I II) Cuál será el costo or fabricar 150 artículos? V) Cuántos artículos tendrá que vender si requiere un ingreso mensual de $15 000? 4.2. Ecuaciones lineales su alicación: Decisiones en roducción, costeo reducción de inventarios Decisiones en roducción Tener una eresión que reresenta el costo total ara la roducción de una comañía, ermite tomar decisiones sobre el costo que reresenta aumentar o disminuir el nivel de roducción. Ejemlo 11 Se sabe que una comañía tiene como función de costo lineal CT 6q ; qué nivel de roducción reresenta costos totales or $100,500? En este caso se quiere conocer el valor de q que reresenta el nivel de roducción; ara ello se sustituen en la ecuación de costo total los datos del roblema: C C = se deseja la variable q que reresenta el nivel T de roducción. f CT 6q q q q q Resuesta: Por lo que el nivel de roducción será de 416 unidades ara tener costos totales or $

20 Figura 1. Costo de 416 unidades. Ejemlo 12 Un comerciante ha determinado que su función de costo total mensual está dado or la ecuación CT 5 q a) Determina cuál debe ser el nivel de roducción ara tener costos mensuales or $9 100 b) Cuál será el costo tot al mensual si el nivel de roducción es de 800 unidades mensuales? a) Para determinar el nivel de roducción ara tener costos mensuales or $9 100 se deben sustituir los datos en la ecuación del costo total: Costo total: C T Por lo tanto: C 5 q T q q q 500 q Resuesta: De donde el nivel de roducción debe ser de 100 unidades mensuales ara tener costos totales or $9 100.

21 b) Para determinar el costo total mensual se sustitue en la ecuación el número de unidades mensuales: q = 800 CT 5 q C 5(800) T C T C T 600 R esuesta: Por lo tanto, el costo total mensual de roducir 800 unidades es de $ 600. Figura 14. Gráfica de la función de costo total. Ejemlo 1 Un emresario ha determinado que sus costos mensuales están dados or la ecuación C 56 q 2 540, donde q reresenta el nivel de roducción. T Si el nivel de roducción mínimo es de 50 unidades mensuales, hasta donde odrá elevar el nivel de roducción si sus costos mensuales no deben ser maores a $10 000? Para resolver este roblema notemos que el costo total es la ecuación de una recta se quiere encontrar el valor de q (nivel de roducción) de modo que el valor de CT corresondiente no sea maor a $

22 Primero se identifica el nivel de roducción q que corresonde a un costo total de $ CT 56 q q q q q Para un nivel de roducción de 1.21 unidades, se tendría un costo total de $ Resuesta: Esto quiere decir que ara lograr un costo menor a $10 000, el nivel de roducción tendría que estar or debajo de 1.21, or lo cual el emresario uede incrementar el nivel de roducción hasta 1 unidades mensuales sin sobreasar sus costos. C t = < q < 1 Ct = 56 q Figura 15. Gráfica del costo. Ejemlo 14 Una comañía fabrica dos marcas de cierto roducto. Cada roducto de la marca A requiere ara su fabricación de horas-máquina, mientras que de la marca B se requieren 5 horasmáquina. Tiene disonibles 50 horas-máquina cada semana ara su roducción. a) Si se fabrican unidades de la marca B unidades de la marca A se emlean todas las horas-máquina disonibles. D etermina la relación entre e.

23 b) Si esta relación reresenta una recta, cuál es la endiente de esta recta? Qué reresenta? c) Si se fabrican 18 roductos de la marca B, cuántos roductos de la marca A se ueden fabricar usando únicamente 00 horas-máquina? a) Por cada roducto de la marca A se requieren horas-máquina, or lo tanto or unidades de la marca A se requieren horas-máquina. Por cada roducto de la marca B se requieren 5 horas-máquina, or lo tanto or unidades de la marca B se requieren 5 horas-máquina Resuesta: Como se tienen 50 horas-máquina, la relación será: 5 50 b) Esta relación reresenta una recta; ara identificar la endiente, se deseja una de las variables (en este caso ) Resuesta: La endiente de la recta es eso quiere decir que eiste una 5 relación de tio negativa; si el número de roductos de la marca A aumenta, el número de roductos de la marca B tendrá que disminuir a razón de /5, o dicho de otra manera: Por cada 5 roductos de la marca A que se roduce, el número de roductos de la marca B disminue en. c) Si se fabrican 18 roductos de la marca B, eso quiere decir que: = 18 Como sólo se usan 00 horas-máquina. Se sustitue este valor en la ecuación se resuelve ara encontrar el valor de (18)

24 Resuesta: Esto quiere decir que se fabricarán 70 roductos de la marca A 18 roductos de la marca B utilizando 00 horas-máquina. Actividad 6 Resuelve los siguientes roblemas: a) Una comañía tiene como función de costo lineal CT 25 q ; qué nivel de roducción reresenta costos totales or $5 000? b) Un emresario ha determinado que sus costos mensuales están dados or la ecuación C 5 q 4 600, donde q reresenta el nivel de roducción. Si el nivel de T roducción mínimo es de 50 unidades mensuales, hasta donde odrá aumentar el nivel de roducción ara que sus costos mensuales no sobreasen los $10 000? c) Una comañía fabrica dos t ios de cemento. Cada kilogramo de cemento de la marca A requiere ara su fabricación de horas-máquina, mient ras que ara la marca B se requieren 2 horas-máquina. L a fábrica t iene disonibles 250 horasmáqui na cada semana ara su roducción. I) Si se fabrican unidades de la marca B unidades de la marca A se emlean todas las horas-máquina disonibles. D etermina la relación ent re. I I) Si esta relación reresenta una recta, cuál es la endiente de esta recta? Q ué reresent a? I I I) Si se fabrican 10 kg de la marca B, cuántos kilogramos de la marca A se ueden fabricar usando únicamente 170 horas-máquina? Dereciación lineal Uno de los activos de una comañía es el valor de los equios o maquinaria que comra; con el aso del tiemo, el valor de estos equios decrece debido al uso, el tiemo, la tecnología, etcétera. Esta reducción gradual del valor de los activos se conoce como dereciación.

25 A ntes de iniciar el est udio de la dereciación def iniremos algunos concetos: Se le llama vida útil (n) al eriodo (medido en años) que dura el activo físico. Se le llama tasa de dereciación o cargo or dereciación (R) a la cantidad constante que se reduce. Se le llama valor de desecho o de rescate (S), al valor que tiene el activo al final de su vida útil. Se le llama valor en libros ( V ) a la diferencia entre el valor original (C) la dereciación k acumulada en un tiemo determinado k. Este valor no necesariamente corresonde a su valor en el mercado, uede llegar a ser suerior si la inflación es alta. Se le llama base de dereciación (B) a la diferencia entre el costo original su valor de desecho. Dereciación lineal Se llama dereciación lineal al caso donde el valor se reduce en una cantidad constante de modo que al término de su vida útil estimada, el valor del equio sea el valor de desecho. Para conocer el valor de un activo en cualquier momento en los libros incluendo el valor de rescate al término de la vida útil, utilizamos la siguiente fórmula: V = C kr k Para calcular la tasa de dereciación anual R ut ilizamos la fórmula: B C S R n n Ejemlo 15 Una comañía comró un trascabo que costó $ Cuál será la tasa de dereciación anual si se estima que tendrá 10 años de vida útil un valor de rescate de $12 000? Para encontrar la tasa de dereciación se utiliza la fórmula: C S R n Del roblema se tienen los datos: C = S = n = 10

26 Por lo tanto: R C S n Resuesta: Esto significa que la máquina disminuirá su valor en $ cada año durante los diez años de vida útil. Ejemlo 16 Cuál será el valor de rescate de un automóvil que cuesta $ si se derecia $ anuales durante siete años? El valor de rescate S se obtiene de la fórmula: R C S n Para ello se obtienen los datos del roblema: C = n = 7 R = Se sustituen los datos se deseja S: R C S n S S S (28 700) Resuesta: Esto quiere decir que el valor de rescate del automóvil será de $ Ejemlo 17 Cuál es el valor, en libros, de un edificio desués de 25 años, si la construcción cuesta $ su valor de rescate es nulo se suone una vida út il de 5 años? Para obtener el valor en libros se utiliza la fórmula: V C kr con k 25 k Para ello rimero se obtiene la tasa de dereciación anual R. D atos del roblema: C = n = 5 S = 0

27 Se sustit uen los datos: R R R C S n Por lo tanto: V = C kr k V ( ) V Resuesta: Es decir, el valor en libros del edificio a los 25 años es de $ Ejemlo 18 Un emresario comra una mina de carbón en $ Se esera que la mina se agote en 15 años, al terminar se tendrá que agar $ or desmontarla se odrá vender la maquinaria en $ a) Cuál es el valor de rescate de la mina? b) D etermina la tasa de dereciación anual. a) Para determinar el valor de rescate de la mina, a los $ que se obtendrán de la venta de la maquinaria se descontarán los $ que se tendrá que agar ara que la desmonten: S = = Resuesta: El valor de rescate de la mina es de $ b) Para determinar la tasa de dereciación anual se utiliza la fórmula: R C S n D atos del roblema: C S n

28 Se sustit uen los datos: R R R C S n Resuesta: La mina se derecia $ cada año. Actividad 7 Resuelve los siguientes roblemas: a) Una comañía comró una comutadora que costó $27 000; Cuál será la tasa de dereciación anual si se estima que tendrá 5 años de vida útil un valor de rescate de $4 000? b) Cuál será el valor de rescate de un automóvil que cuesta $ si se derecia $4 500 anuales durante seis años? c) Cuál es el valor en libros de un edificio desués de 15 años, si la construcción cuesta $ , su valor de rescate es nulo se suone que tiene una vida útil de 42 años? d) Un emresario comra una mina de lata en $ Se esera que la mina se agote en 10 años, al terminar se tendrá que agar $40 000, or desmontarla se odrá vender la maquinaria en $ I) Cuál es el valor de rescate de la mina? I I) D etermina la tasa de dereciación anual.

29 4.. Sistemas de ecuaciones El gerente de un almacén de aaratos domésticos desea incluir en su línea un nuevo modelo de refrigerador uno de lavadora. El refrigerador cuesta $2 000 la lavadora $ Si reacomoda su mercancía tendrá 2 16 m de esacio ara acomodar los nuevos modelos. Cuántos refrigeradores cuántas lavadoras odrá comrar si solo tiene disonible $9000 cada refrigerador ocua 2 2 m cada lavadora.5 m? Este tio de situaciones se resentan frecuentemente en los negocios, están relacionados con un modelo matemático llamado sistemas de ecuaciones, el cuál tiene además, muchas ot ras alicaciones. Un sistema de ecuaciones es un gruo de ecuaciones que tienen la misma solución. L os sistemas de ecuaciones más utilizados son los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables: O los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables: 2 z z 0 2 5z 2 Aunque udiera darse el caso de tener un sistema con una ecuación cuadrática otra lineal, o dos cuadrát icas, etcétera Los sistemas de ecuaciones lineales su relación con la osición de dos rectas en el lano Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, gráficamente reresenta dos rectas en el lano cartesiano, or lo que la eistencia o no de solución del sistema está íntimamente relacionado con los untos de intersección de estas dos rectas. De acuerdo con la forma en la cual están colocadas las rectas en el lano cartesiano, los sistemas de clasif ican en:

30 Indeendientes Si las rectas se intersectan en un solo unto, el sistema tiene solución única. Recta L 1 Recta L 2 Solución = Punto de intersección Figura 16. Sistema indeendiente. Deendientes Si las rectas son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Recta L 1 Recta L 2 I nfinitas soluciones Figura 17. Sistema deendiente.

31 Inconsistentes Si las rectas son aralelas, el sistema no tiene solución. Recta L 1 Recta L 2 No t iene solución = Rectas aralelas Figura 18. Sistema inconsistente. En este teto sólo se tratará el caso de sistemas de ecuaciones lineales indeendientes con una solución única, de la forma (, ) Solución de un sistema de ecuaciones Eisten varios métodos ara encontrar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, cada uno de ellos tiene sus ventajas desventajas. L os métodos gráficos requieren reresentar gráficamente las rectas que forman el sistema de ecuaciones localizar el unto de intersección, cuas coordenadas, en muchos casos, no son fáciles de localizar a menos que sean números enteros, de lo contrario sólo se tendrá una aroimación a la solución. L os métodos algebraicos, en cambio roorcionan una solución eacta no requieren de la gráfica del sistema. Todos ellos tienen como objetivo eliminar una de las variables ara obtener una ecuación lineal con una variable la cual se deseja ara encontrar su valor. Posteriormente se sustitue este valor en alguna de las ecuaciones originales ara obtener el valor de la otra variable, formando así la solución del sistema.

32 Método de sustitución Este método, como su nombre lo indica, utiliza la sustitución de una de las variables; se usa cuando alguna de éstas tiene coeficiente 1 se uede desejar fácilmente. Para alicarlo se siguen los siguientes asos: Resolver el sistema de ecuaciones Se deseja una de las variables de alguna de las ecuaciones Se sustitue el valor de esta variable en la otra ecuación se realizan las oeraciones indicadas hasta tener una ecuación con una sola variable. Se resuelve esta ecuación. Este valor se sustitue en el deseje de la otra variable. 2 5 ( 2 ) La solución del sistema es (, ). Resuesta: 5 5, 4 8

33 Método de igualación Este método se utiliza en cualquier sistema de ecuaciones lineales. Su objetivo es desejar alguna de las variables de las dos ecuaciones e igualarlas. Resolver el sistema de ecuaciones Se deseja una de las variables de las dos ecuaciones Se igualan los desejes, se quitan denominadores se realizan las oeraciones indicadas hasta tener una ecuación con una sola variable ( 2 ) Se resuelve esta ecuación Este valor se sustitue en el cualquiera de los dos desejes L a solución del sistema es (, ). Solución: 5 5, 4 8

34 Método de reducción o suma resta En el método de reducción o suma resta se trata de tener alguna de las variables con coeficientes iguales ero signos contrarios en las ecuaciones, ara que al sumarlas esta variable se anule. Resolver el sistema de ecuaciones Se elige una de las variables, en este caso la se multilican las ecuaciones or un número de modo que los coeficientes de esta variable sean iguales ero de signos contrarios. Se multilica la segunda ecuación or ( ) la rimera se deja igual ( 2 0) 6 0 Se suman las dos ecuaciones ara eliminar una de las variables quedando una ecuación con una sola variable Se resuelve esta ecuación Este valor se sustitue en cualquiera de las dos ecuaciones L a solución del sistema es (, ). Solución: 5 5, 4 8

35 Actividad 8 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) b) c) d) e) Solución de roblemas de la emresa a artir de un sistema de ecuaciones Retomando el roblema que sirvió de introducción a la unidad, se inicia el estudio de roblemas emresariales que se resuelven mediante la solución de un sistema de ecuaciones. Ejemlo 19 El gerente de un almacén de aaratos domésticos desea incluir en su línea un nuevo modelo de refrigerador uno de lavadora. El refrigerador cuesta $2 000 la lavadora $ Si reacomoda la mercancía tendrá 2 16 m de esacio ara acomodar la nueva mercancía. Cuántos refrigeradores cuántas lavadoras odrá comrar si sólo tiene disonible $9 000 cada refrigerador ocua 2 2 m cada lavadora.5 m? El rimer aso ara resolver este tio de roblemas es lantear el sistema de ecuaciones corresondiente:

36 Si denotamos or al número de refrigeradores or el número de lavadoras, se tienen dos ecuaciones; una de ellas reresentará el costo la otra el esacio físico. Como el refrigerador cuesta $2 000 la lavadora $1 500, el costo total que debe ser de $9 000 estará dado or: Cada refrigerador ocua 2 16 m, la relación queda: m cada lavadora Ya se tiene el sistema de ecuaciones que ha que resolver: L o resolveremos or el método de igualación ( ) 2 000(16.5 ) (2) 2.5 m ; como tiene disonible R esuesta: El gerente deberá comrar refrigeradores 2 lavadoras. Ejemlo 20 Una ersona invierte $ en dos tios distintos de inversión. El tio I da 10% de interés mensual el tio I I da 12% de interés mensual. Si los intereses al cabo de un mes fueron de $50 000, cuánto dinero invirtió en cada uno? Si denotamos con la cantidad invertida en el tio I de inversión con la cantidad invertida en el tio I I, la rimera ecuación corresondiente al dinero invertido queda:

37 El interés que se obtiene al invertir esos en el tio I está dado or 0.10, mientras que el interés obtenido or la cantidad en el tio II es Como los intereses totales fueron de $ , la segunda ecuación que corresonde al interés obtenido es: Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que ha que resolver es: Como una de las ecuaciones tiene una variable con coeficiente 1 odemos utilizar el método de sustitución ( ) Resuesta: Se invertirán $ en la inversión del tio I $ en la del tio I I ara obtener intereses or $ Actividad 9 Resuelve los siguientes roblemas: a) Una ersona invierte $ en dos tios distintos de inversión. El tio I da 18% de interés mensual el tio I I da 15% de interés mensual. Si los intereses al cabo de un mes fueron de $ Cuánto dinero invirtió en cada uno? b) Un fabricante de muebles roduce dos estilos de comedores. Por cada comedor del estilo A que vende gana $250 $50 or cada comedor del estilo B. Si vende 20% más comedores del estilo A que del B, cuántos comedores de cada estilo deberá vender si desea tener ganancias or $

38 c) Una emresa fabrica dos tios de roductos: A B. Cada uno de estos roductos tiene que ser rocesado or las máquinas I I I. Suóngase que la máquina I está disonible 96 horas al mes la máquina I I 67 horas. Si el roducto A requiere horas en la máquina I 2 horas en la máquina I I el roducto B, 2 horas en la máquina I 1.5 horas en la máquina I I. Cuántos roductos de cada uede rocesar la fábrica si utiliza todas sus horas máquina? 4.5. La oferta la demanda: una alicación de la línea recta al entorno de los negocios Dentro del análisis económico, dos de las relaciones fundamentales son las lees de la oferta la demanda. La cantidad de artículos que será adquirida or los consumidores deende del recio de venta del artículo. Se denomina le de la demanda a la relación que esecifica la cantidad de artículos que los consumidores están disuestos a comrar, considerando varios niveles de recios. En esta relación si el recio del artículo aumenta, la demanda or el artículo disminue a que menos ersonas odrán adquirirlo, mientras que si el recio del artículo disminue, la demanda aumentará, esto quiere decir que la relación es inversa. La le de la demanda tiene como ecuación: m b donde reresenta el recio de venta or unidad, reresenta la cantidad de artículos que se comran m b son constantes; como la relación es inversa, m debe ser negativa. De modo que la recta que reresenta la demanda siemre estará inclinada hacia la izquierda como el recio la cantidad son siemre osit ivas, la recta debe dibujarse en el rimer cuadrante. Figura 19. Gráfica de una función de demanda.

39 Se denomina le de la oferta a la relación que esecifica la cantidad de artículos que los roveedores están disuestos a ofrecer deendiendo del recio del artículo. L os roveedores ondrán en el mercado una gran cantidad de artículos si el recio de cada uno es alto, sin embargo si el recio es bajo, esta cantidad será más equeña. En otras alabras, al subir el recio la oferta aumenta, al disminuir el recio, la oferta bajará; esto indica una relación directa. La le de la oferta tiene como ecuación: m b donde reresenta el recio de venta or unidad, reresenta la cantidad de artículos que se comran m b son constantes; como la relación es directa, m debe ser ositiva. De modo que la recta que reresenta la oferta siemre estará inclinada hacia la derecha del mismo modo que la demanda, sólo debe dibujarse en el rimer cuadrante. Figura 20. Gráfica de una función de oferta Determinación de la oferta Para determinar la oferta es necesario recordar que se trata de una función lineal, es decir tiene como ecuación m b donde la endiente es osit iva. Ejemlo 21 Un fabricante or eeriencia sabe que uede roducir 5 artículos a un costo de $200, ero si su costo baja a $180, roducirá 28 artículos. Determina la función de oferta. Si denotamos or la cantidad de artículos que se ueden roducir or el costo de los artículos, se tienen dos untos de la forma (, ): (5 200) (28 180). Con ellos obtenemos la endiente de la recta que reresenta la oferta sustituendo en la fórmula: m

40 N ota: sustitue a en la ecuación de la recta. Para obtener la ecuación elegimos uno de los untos lo sustituimos en la fórmula de unto-endiente. m( ) ( 7 5) Figura 21. Gráfica de la oferta ( 20 / 7) 100 Resuesta: La ecuación de oferta es Ejemlo 22 Una distribuidora automotriz one a la venta un nuevo modelo de llanta. H a determinado que uede ofrecer 00 llantas a $290 cada una; sin embargo ofrecerá 100 llantas a $200 or introducción. a) Determina la función de oferta la gráfica. b) Cuántas llantas odrá ofrecer, si el recio or introducción aumenta a $250?

41 a) Determina la función de oferta la gráfica. Para determinar la función de oferta se tienen dos untos (00, 290) (100, 200), con ellos se obtiene la endiente de la recta que reresenta la oferta. 2 1 m Para obtener la ecuación elegimos uno de los untos lo sustituimos en la fórmula de unto-endiente. 1 m( 1) ( ) Figura 22. Gráfica de la oferta 9 / Resuesta: La ecuación de la oferta es b) Cuántas llantas odrá ofrecer si el recio or introducción aumenta a $250? Para saber el número de llantas que se uede ofrecer si el recio es de $250, sustituimos este valor en la ecuación desejamos.

42 Resuesta: Se odrán ofrecer 211 llantas si el recio es de $ Determinación de la demanda A cont inuación est udiaremos el rocedimiento ara determinar la función de la demanda. Ejemlo 2 Un comerciante vende cinco ares de zaatos diarios si el recio es de $248, ero sólo venderá tres ares si aumenta el recio a $40. a) Determina la función de la demanda la gráfica. b) Cuál deberá ser el recio del ar de zaatos si quiere vender seis ares de zaatos diarios? a) Determina la función de la demanda la gráfica Si consideramos a como el número de zaatos a como el recio de venta, se tienen dos untos de la forma (, ): (5, 248) (, 40). Con ellos obtenemos la endiente de la recta que reresenta la demanda sustituendo en la fórmula: 2 1 m N ota: sustitue a en la ecuación de la recta. Para obtener la ecuación elegimos uno de los untos lo sustituimos en la fórmula de unto-endiente.

43 m( ) ( 5) La ecuación de la demanda es Figura 2. Gráfica de la demanda b) Cuál deberá ser el recio del ar de zaatos si quiere vender seis ares de zaatos diarios? La ecuación de la demanda ara los ares de zaatos es: Para saber a qué recio ha que vender seis ares de zaatos sustituimos = 6 en la ecuación (6) Resuesta: Eso quiere decir que ara oder vender seis ares de zaatos diariamente, su recio deberá ser de $202. Ejemlo 24 Una tienda deartamental vende 105 rendas diarias a un recio normal de $80; el gerente de la tienda esera vender 180 rendas diarias durante una liquidación en la cual el recio de las mismas será de $68.

44 a) Determina la función de demanda de las rendas la gráfica. b) Si un vendedor roone al gerente bajar el recio de las rendas a $50 durante los dos últimos días de la liquidación, cuántas rendas se esera vender durante cada uno de esos dos últimos días? a) Determina la función de demanda de las rendas la gráfica. Para determinar la función de demanda simbolizamos con al número de rendas que se venden diariamente con al recio de venta. Tenemos dos untos (105, 80) (180, 68). Con ellos se obtiene la endiente de la recta: 2 1 m Elegimos sustit uimos uno de los untos la endiente en la fórmula untoendiente. 1 m Resuesta: La ecuación que reresenta la demanda es Figura 24. Gráfica de la demanda

45 b) Si un vendedor roone al gerente bajar el recio a $50 durante los dos últimos días de la liquidación, cuántas rendas se esera vender durante cada uno de esos dos últimos días? Para encontrar el número de rendas que se venderán si el recio es de $50 es suficiente sustituir el recio en la ecuación de demanda desejar (25) R esuesta: Si el recio es de $50 se venderán aroimadamente 292 rendas. Actividad 10 Resuelve los siguientes roblemas de oferta demanda: a) Un fabricante de artículos de limieza ha determinado que sus ventas son de escobas si el recio es de $12, de si el recio disminue a $11. Determina la función de la demanda. b) Una tienda de abarrotes vende 20 botellas del refresco A a un recio normal de $7.00; durante una romoción el recio bajó a $5.50 vendió 28 botellas. I) Determina la función de demanda la gráfica. I I) Si el dueño se roone bajar el recio de los refrescos durante el fin de semana a $5, cuántos refrescos esera vender durante esos dos días? c) Un fabricante de zaatos, uede ofrecer 150 ares mensuales si el recio de venta es de $256, ero ofrecerá 100 ares mensuales si el recio disminue a $20. I) D etermina la función de la oferta grafícala. I I) A qué recio odría ofrecer 200 ares mensuales el fabricante de zaatos?

46 d) Una fábrica ofrece 500 sacos mensuales, de cemento, a un recio de $50 cada uno ero si el recio disminue a $46 ofrecerá sólo 200 sacos. I) D etermina la función de la oferta grafícala. I I) Cuántos sacos odrá ofrecer, si debido a la inflación el recio aumenta a $58 or saco? e) Si el recio de un artículo es de $, la oferta la demanda serán de artículos resectivamente, ero si el recio aumenta a $4.50, la oferta será de 400 artículos mientras que la demanda será de 185 artículos. I) Determina la función de la oferta I I) Determina la función de la demanda I I I) En caso de que el recio siga aumentando a $5.25, cuál será la oferta la demanda resectivamente? 4.6. Determinación del unto de equilibrio a través de la visión algebraica L os bienes servicios que se ofrecen en el mercado tienden a un unto en el cual el recio al que se ofrecen se ajusta a la cantidad de bienes servicios que el consumidor uede adquirir. Este ajuste deende tanto de la oferta como de la demanda, en él inf luen tanto la cantidad de roducción de la emresa como el dinero que los consumidores están disuestos a agar or los roductos. Cuando la roducción aumenta, el recio tiende a bajar en consecuencia la demanda de esos roductos aumenta, sin embargo una emresa no uede mantener una roducción alta ara vender barato, or consiguiente la roducción se reduce elevando el recio del roducto Punto de equilibrio a artir de la oferta la demanda Cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida, se dice que el mercado alcanza el unto de equilibrio. Algebraicamente, el unto de equilibrio es la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables: la oferta la demanda.

47 Ejemlo 25 Un comerciante uede vender 200 unidades de cierto artículo si el recio es de $0 or unidad 250 unidades a $27. Si la ecuación de oferta ara este roducto es Determina el recio la cantidad de equilibrio. Como se tiene sólo la ecuación de oferta, necesitamos determinar la ecuación de la demanda, ara oder tener el sistema de ecuaciones. a) D etermina la ecuación de oferta. Tomamos los dos untos (200, 0) (250, 27) definidos or las condiciones del roblema: 2 1 m m( 1) ( 200) La ecuación de oferta es: b) Ahora resolveremos el sistema de ecuaciones formado or la oferta la demanda: U saremos el método de sust it ución, a que se t iene a desejada en la rimera ecuación (150) 50 42

48 Resuesta: El unto de equilibrio es de 150 unidades a un recio de $. 6 = Figura 25. Punto de equilibrio. Ejemlo 26 Una fábrica de dulces lanza un nuevo roducto. Un estudio de mercado mostró que a un recio de $2.50, la oferta era de 250 unidades mientras que la demanda era de 50. Si el recio se aumenta a $, la oferta será de 00 unidades ero la demanda bajará a 0 unidades. El gerente de la fábrica desea conocer la cantidad el recio de equilibrio. a) D etermina la ecuación de oferta. 2 1 m La ecuación de la oferta es m( 1) 0.01( 00) b) D etermina la ecuación de demanda. 2 1 m L a ecuación de demanda es m( ) ( 0)

49 c) D etermina el unto de equilibrio. Se determina el sistema de ecuaciones L o resolveremos or el método de igualación a que en las dos ecuaciones la variable está desejada Como no se ueden vender 21.4 unidades, se toman 21 unidades ara calcular el recio de equilibrio: (21).21. Resuesta: Por tanto, el unto de equilibrio es de 21 unidades a $ Figura 26. Gráf ica del unto de equilibrio.

50 Actividad 11 Resuelve los siguientes roblemas: a) Un fabricante de romecabezas de madera determina que vende 15 diarios si el recio es de $20, ero si lo rebaja a $15 vende 2 romecabezas. En cada caso su roveedor le dará 0 25 roductos resectivamente. Determina el unto de equilibrio ara estos romecabezas. b) Cuando un roducto se vende a $50, el fabricante suministra 42 unidades, mientras que los consumidores demandarán 200. En cambio, cuando el recio de venta disminue a $45, los consumidores demandan 210 roductos los roductores ofrecen 82 roductos. Determina el recio la cantidad de equilibrio graficarlo. c) Una tienda deartamental ha determinado que si el recio del roducto A es de $15, la demanda del roducto es de 25 artículos, mientras que la oferta es de 870; si el recio disminue durante una barata a $12, la demanda será de 40 artículos mientras que la oferta es de 690. Determina el recio la cantidad de equilibrio ara el roducto A. d) Si las funciones de oferta demanda tienen las siguientes eresiones: Oferta: q Demanda: q D etermina la cantidad el recio de equilibrio, grafícalo Punto de equilibrio a artir del ingreso el costo En la roducción de bienes servicios, el unto de equilibrio de una emresa se determina cuando los costos de roducción son iguales a los ingresos obtenidos. Cuando los ingresos son maores a los costos, significa que se sueró el unto de equilibrio or consecuencia se registran utilidades o ganancias; en caso contrario cuando los ingresos son inferiores a los costos, se oera con érdidas.

51 Figura 27. Punto de equilibrio del ingreso el costo. Ejemlo 27 A un fabricante de aaratos eléctricos le cuesta $2.50 roducir un artículo que vende a $8. Si sus costos fijos son de $ Encuentra la cantidad el ingreso de equilibrio. a) D etermina la función de ingreso. Para determinar la función de ingreso, debemos recordar que el ingreso tiene como eresión I = ; de los datos del roblema tenemos que = 8, or lo tanto, I = 8 es la función de ingreso. b) D etermina la función de costo total. Para determinar la función de costo total recordemos que ésta tiene como eresión: C C C T f De los datos del roblema sabemos que: C 2.50 ; C f Por lo tanto: C T = es la función de costo total. c) D etermina el unto de equilibrio. Como el unto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, se igualan las dos funciones se resuelve la ecuación:

52 I C T En este caso, como no se ueden roducir artículos, la cantidad se redondea. Por lo cual la cantidad de equilibrio es de 909 artículos. Para encontrar el ingreso de equilibrio, sustituimos el valor de encontrado en alguna de las dos ecuaciones: ingreso o costo. I 8 I= 8 (909) I El unto de equilibrio es (909, 7 272). Resuesta: Por lo tanto, el ingreso de equilibrio es de $7 272 or la roducción de 909 artículos. Ejemlo 28 El gerente de una emresa ha determinado que su unto de equilibrio lo alcanza con un volumen de ventas or $ Si los costos fijos son de $ cada unidad se vende a $500. Determina el costo de roducción de cada artículo. De los datos del roblema se tiene que: C f Si reresenta la cantidad de artículo roducidos, entonces la función de ingreso es: I = 500. Como el ingreso de equilibrio es de $ , sabemos que el unto de equilibrio se tiene cuando: I C T Entonces: I C T Sustituendo la eresión de la función de ingreso tenemos que: 500 =

53 Resolvemos la ecuación: De aquí se tiene que la cantidad de equilibrio es de 400 unidades. Para encontrar el costo de roducción C de cada artículo sustituimos los datos del roblema los del unto de equilibrio en la función de costo total desejamos C (costo or unidad). C C C T f C T = C f C C C T C(400) Por tanto: C(400) C(400) f C Resuesta: Esto quiere decir, que el costo de roducción de cada artículo es de $400. Actividad 12 Resuelve los siguientes roblemas de unto de equilibrio. a) A una fábrica de bicicletas, le cuesta $720 roducir cada una. Si las vende en $1 05 sus costos fijos son de $211 65, cuál será el nivel de roducción ara estar en el unto de equilibrio? b) El unto de equilibrio de una emresa se tiene cuando vende roductos or $ Si cada unidad se vende en $50 sus costos fijos son de $ Cuánto le cuesta roducir cada artículo?