Sistemas de Ecuaciones
|
|
|
- José Antonio Mora de la Fuente
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Ttulcó: Asgtur: Autor: Grdo e Igeerí Métodos Numércos Césr Meédez Ultm ctulzcó: 8// Sstems de Ecucoes Plfccó: Mterles: Coocmetos prevos: 4.5 Teorí+,5 Práctcs+6 Lb. MATLAB Coocmetos de Álgebr: vlores y vectores propos, orms, sstems leles, determtes,
2 Métodos Numércos por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Sstems de ecucoes Motvcó: Crcuto eléctrco Nudo Ecucó Mll Ecucó + + = 4 R - R +V= = 4 - R + R - 4 R 4 = = 45 4 R R 6-5 R 5 = = R R 7-8 R 8 = = R R R R4 R5 R6 R7 R8 V I I I I4 I7 I6 I5 I V R R R R R R R R R R R
3 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Objetvos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Dstgur ls dos grdes fmls de métodos de resolucó de sstems, orígees, vetjs e coveetes Eteder el sgfcdo del codcometo, preder estmrlo.y coocer como fect los dferetes métodos. Utlzr l elmcó gus co sus dverss mejors, sí como fmlrzrse co l termologí: elmcó progresv, susttucó regresv, pvote. Coocer el terés de los métodos de fctorzcó e el cálculo de determtes y mtrces verss. Sber qué codcoes debe cumplr u lgortmo tertvo pr ser cosstete y covergete. Coocer l descomposcó mtrcl que org los métodos de Jcob, Guss-Sedel y reljcó, etededo ls vetjs que hbtulmete tee los segudos sobre el prmero. Iterpretr el cocepto de reljcó y su relcó co el rdo espectrl.
4 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 4 Temro Cuestoes prevs de álss mtrcl Tpos de mtrces - Vlores propos - Norms vectorles y Sstems leles: Métodos drectos El método de elmcó de Guss Téccs de pvoteo: prcl, escldo y totl - Evlucó del úmero de opercoes - Iterpretcó mtrcl del método de Guss - Método de Guss- Jord - Fctorzcó mtrcl: LU, LDL y LL - Codcometo de u sstem lel - Cots de error - Aplccoes l cálculo de l vers y del determte de u mtrz Sstems leles: Métodos tertvos Itroduccó - Sucesoes vectorles y mtrcles - Covergec de u método tertvo - Velocdd med de covergec - Test de prd - Métodos tertvos de Jcob, Guss-Sedel y reljcó - Aálss de l covergec - Comprcó de los métodos drectos co los métodos tertvos. Sstems o leles Itroduccó Métodos de puto fjo Métodos de Newto y cs- Newto Métodos de desceso.
5 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Defcoes elemetles Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 5 Se A u elemeto perteecete l espco vectorl de ls mtrces cudrds cudrd de orde sobre el cuerpo de los complejos: A M El polomo crcterístco se defe por P A deta I Los utovlores de A so ls ríces del polomo crcterístco / x : Ax x El espectro de A es el cojuto de utovlores ( A) / P A Autovector x socdo l vlor propo es todo vector o ulo verfcdo A I x Ax x Rdo espectrl Rdo espectrl de A,, es el máxmo de sus utovlores, e módulo (A) mx Trz es l sum de los térmos de l dgol Tms: trz( A) tr( A) tr(ab)=tr(ba) tr(a+b)=tr(a)+tr(b) AB = BA = A B
6 Métodos Numércos por Césr Meédez Ferádez 6 Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Sstems de ecucoes Dgol Trdgol Tpos especles de mtrces (I) j j j j j j j j Trgulr If. (Sup) Hexember If. (Sup.) Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó
7 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Tpos especles de mtrces (II) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 7 Regulr: A Smétrc: A=A T Hermítc: A=A * co A * =coj(a T ) Ortogol: A - =A T Utr: AA * =A * A=I A - =A * Norml: AA T =A T A Defd postv (egtv): T x : x Ax ( A) : Semdefd postv (egtv): T x : x Ax ( A) : Semdefd egtv T x : x Ax ( A) : Defd egtv T x : x Ax ( A) : k Crtero de Sylvester (Defd postv) k T x : x Ax, k,, k k k k
8 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Propeddes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 8 T m : S A es u mtrz cudrd, exste u mtrz utr U tl que l mtrz U - AU es trgulr T m : S A es u mtrz orml, exste u mtrz utr U tl que l mtrz U - AU es dgol T m : S A es u mtrz rel, exste dos mtrces ortogoles U y V tl que l mtrz U - AV es dgol T m : S A es u mtrz smétrc, exste u mtrz ortogol U tl que l mtrz U - AU es dgol T m de Rouché-Frobeus Ddo el sstem Ax=b Solucó úc (Comptble determdo) rgo(a)=rgo(ab)=nº cog. Ifts solucoes (Comptble determdo) rgo(a)=rgo(ab)<nº cog S solucó úc (Icomptble) rgo(a)<rgo(ab)
9 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms vectorles: defcó y ejemplos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 9 Se deom orm vectorl tod plccó de u espco vectorl e los reles que cumple ls codcoes sguetes: L orm de culquer vector es myor o gul que cero y solo se ul cudo el vector es el ulo L orm de u esclr por u vector es gul l vlor bsoluto del esclr por l orm del vector L orm de l sum es meor o gul l sum de ls orms Ejemplos e R : x : x x x x x y x x y K x E x, ye x p x p x x x x sup x,.. p
10 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms vectorles: Norms equvletes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Dos orms y so equvletes cudo exste vlores reles y tles que x x Tods ls orms vsts so equvletes e R, es más Ejemplo x x E x x x x x x x C x x x x x x v v sup v sup 45, 7,,,9, 6 45,..,.. v 45, 7,,,9, 6 v v x x x x x x x x x x x x v Demo
11 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms vectorles: sgfcdo geométrco Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó - Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos - Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Norm - - x x x y x y x y x y x y x y x y x y x y - Norm x x x y - Norm x sup x,.. mx x, y
12 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms mtrcles: defcó y ejemplos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Se deom orm mtrcl tod plccó del espco vectorl de ls mtrces de orde e los reles que cumple ls codcoes sguetes: : R L orm de culquer mtrz es myor o gul que cero y solo se ul cudo l mtrz es l ul L orm de u esclr por u mtrz es gul l vlor bsoluto del esclr por l orm de l mtrz L orm de l sum es meor o gul l sum de ls orms L orm del producto es meor o gul que el producto de ls orms Ejemplo: Norm de Frobeus A A A A A K A M A B A B A, BM A B A B A, BM A E j j
13 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms mtrcles subordds Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó x Def.:S es u orm vectorl sobre C etoces se defe u orm mtrcl sobre el cojuto de ls mtrces cudrds de orde, deomd orm subordd, medte A sup xe Ax x sup xe x Ejemplos: j A sup A x mx (máxmo de colums) x j * A sup A x A A (rdo espectrl de l orml) x j A sup A x mx (máxmo de fls) x j Not: ls orms mtrcles o verfc (ver ejemplo sguete) Ax A A A Demo
14 Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos Numércos Sstems de ecucoes Norms : ejemplo A A j por Césr Meédez Ferádez x x x A 4 x x y sup A x sup sup 4 y x 4y x y x y x y x x y y sup 4 sup x y x y 6 j mx mx, 4 mx 4, 6 6 4
15 Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos Numércos A Sstems de ecucoes Norms : ejemplo A A x x por Césr Meédez Ferádez A 4 cos cos s sup A x sup sup 4 s cos 4s sup cos s cos 4s sup s s cos sup s s 5.67 * * AA.897,6.8 * A A j 7 * P A A x x A
16 Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez A Norms fto: ejemplo 4 x x y A sup A x sup sup x x 4 y x 4y x A sup x y, x 4y sup 5,5 5 mx x, y mx x, y j j mx mx, 4 mx 5,5 5 j A sup A x mx 6 x j A A x A A * sup 5.67 x j A sup A x mx 5 x j 6
17 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Clsfccó de los métodos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos drectos Coverte el sstem cl e otro u otros equvletes, pero más smples de resolver Opercoes de equvlec Multplcr u ecucó por u esclr Itercmbr el orde de dos ecucoes Sumr u ecucó otr Obtee l solucó exct e u úmero fto de psos (depede sólo del orde del sstem) Métodos tertvos Trsform el sstem cl pr poder plcr puto fjo El úmero de psos pr obteer l solucó proxmd depede del error dmsble 7
18 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Represetcó mtrcl Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 4 x x x x4 x b 4 x x x x4 x b 4 x x x x4 x b 4 x x x x4 x b x b x b x b x b b b b Sstem de Ecucoes Represetcó Mtrcl Mtrz Ampld 8 b
19 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Método de Crmer Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 9 x b x b Ak x b Ax b xk A x b A b Cálculo del determte Opercoes Totl k k k A k b b b k + determtes de orde co cocetes Cd uo geer determtes de orde - juto co (-) sums y productos Productos: (+)! Sums! A A A A A A A
20 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Sstems más smples : Dgoles y trgulres Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí b x x b b x b x b x b x x b b x x b x b x b x x b x x b x x b x b k x b xk k x b x b x b x x b x b x x b x b k x b xk k Opercoes: Opercoes: Superor: x remote ½(-) ½(-)+ Iferor: desceso
21 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Método de Guss Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord El sstem equvlete es trgulr superor Oper pr ulr los coefcetes por debjo de l dgol Aulr el elemeto de l fl j-esm bjo l prmer dgol b b b b b j b m b j j j j j jª jª mª j j b j j b b Opercoes: cocete, productos y sums pr (-) fls Aulr el elemeto de l fl j-esm bjo l dgol -esm b b b j m b jª jª mª b j j j j b Opercoes: cocete, - productos y - sums pr (--) fls b b b b b b j
22 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Opercoes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Covertr el sstem e trgulr j j U sstem de orde 9 requere 4 productos U sstem de orde requere. productos, 6 6 Resolucó de u sstem trgulr, Totl, 6
23 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Ejemplo del método de Guss ª ª ª ª 5 4 4ª ª ª 4 ª ª ª 4ª 5 ª 5 4x x 4x4 x x 7x 4 7 x x x 5 5 x4
24 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Justfccó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 4 Se deom pvote l térmo de l dgol que ul ls colums Debdo los errores heretes l represetcó lmtd de u úmero e el ordedor, es coveete o dvdr por úmeros "pequeños". Iteres que el pvote se (e vlor bsoluto) muy lto pr dsmur l propgcó de errores e l dvsó. Ejemplo:.x 59.4x 59.7 x 5.9x 6.x x Resolucó co 4 cfrs decmles Ax b m x x x Resolucó co 4 cfrs decmles e tercmbo de fls m x x x '
25 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Algortmo de Guss y modfccoes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí ENTRADA: Mtrz mpld A SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr tods ls fls {Proceso de trgulrzcó}. Ecotrr el pvote y su fl. S el pvote es ulo PARAR 'No exste solucó úc' 4. S l fl/colum ctul o es l del pvote, tercmbrls 5. Repetr desde l fl ctul hst l ultm 6. Clculr el coefcete m 7. Aulr el elemeto combdo mbs fls 8. Resolver el sstem trgulr resultte (Susttucó regresv) - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 5
26 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Téccs de pvoteo (I) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 6 Pvote smple: Se tercmb fls pr tomr como pvote el myor térmo e vlor bsoluto de l colum bjo l dgol Pvote doble: Se tercmb fls y colums pr tomr como pvote el myor térmo e vlor bsoluto de l submtrz Se lter el orde de ls solucoes) Pvote escldo: Algortmo Algortmo Algortmo Actú como el pvote smple pero tomdo como térmo de comprcó el vlor poderdo de l colum, esto es, dvddo etre el máxmo de l fl x x 5 6
27 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Téccs de pvoteo: justfccó práctc Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Sstem: Pvote smple 4.x 59.4x x 6.x x x. (resolucó co 4 cfrs) 5 p 5.7 Pvote escldo mx,594 x 5.9 x. p.86 mx 5.9, 6. Sstem: x x 7x 5x 7 x 5 x (resolucó co 4 cfrs) x Pvote smple m x. 7 Pvote doble x. m x.
28 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Mtrz sgulr Sstem comptble determdo o comptble No hy solucó úc rgo(a)<nº cógts El pvote se ul 4 4 ª ()ª 5 7 ª ()ª ª ( )ª ª (4)ª 4ª ( )ª 8
29 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: Guss s pvote (4 dígtos) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª.667 ª x 5 4x x 4x 4 x.99 x 7.5.5x 7x 4 x.997 x x 4 x.9958 x x 4
30 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: Guss pvote smple (4 dígtos) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord ª ª ª ª ª ª ª ª ª 9 ª ª 9 ª ª ª ª.5 ª x 5 4x x 4x 4 x x 9 7 x 8x 4 x x x 4 x.9994 x x 4
31 Métodos Numércos ª ª ª ª. 4. :ª 5 :ª 4ª ª ª ª Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Ejemplo: Guss pvote doble (4 dígtos) ,4,, C F:ª 4ª C:ª ª,,, F ª 4.4 ª ª 4.4 ª ,4,, ª ª x 5 4x 4 x x x x x.x x x x x.9994 x x 4
32 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Ejemplo: Guss pvote escldo (4 dígtos) ª ª ª 9 ª º 4ª º 4ª x 5 4x x 4x 4 x x 9 7 x 8x 4 x x x 4 x.9994 x x ª.5 ª ª.5 ª ª ª ª.5 ª
33 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Método de Guss-Jord Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord El sstem equvlete es dgol Oper pr ulr los coefcetes por ecm y por debjo de l dgol Aulr el elemeto de l fl j-esm bjo l dgol -esm b b b j m b jª jª mª b j j j j b Opercoes: cocete, - productos y - sums pr (-) fls Totl de opercoes j, j U sstem de 9() ecucoes requere 88 (49.)productos b b b b b b j
34 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: Guss-Jord Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª.667 ª ª.667 ª ª.667 ª ª ª.98 x 6.5 ª ª x 6. ª ª x x
35 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Itrepretcó mtrcl de Guss s pvoteo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 5 L U U L L L L A U L A U T m : Ls mtrces verfc L k verfc (L k ) - =I-L k Demo
36 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Iterpretcó mtrcl del tercmbo de fls y colums Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 6 Itercmbo I M / : Fl Colum A Propeddes: M A AM M M M M M M M Demo j l kl k l T k j j
37 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 7 T m : El producto de mtrces trgulres ferores (superores) es u mtrz trgulr feror (superor) T m : L vers de u mtrz trgulr feror (superor) es u mtrz trgulr feror (superor) L L LL A U LA U A L U LU Doodlttle (Mtrces regulres): A=LU L es trgulr feror co dgol utr U es trgulr superor Lyb LU x b U x y Crout (Mtrces smétrcs): A=LDL T L es trgulr feror co dgol utr Ly b D es dgol L T D L x b D z y T L x Cholesk (Mtrces defds postvs): A=L L T L es trgulr feror co dgol de térmos postvos o ecesrmete utros LL T x b z Lyb T L x y Demo Demo
38 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó de Doodlttle: (LU)x=Mb Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 8 Fctorzcó drect u u u l u u l l u - u u u u - - lu lu u lu u lu u k - - k lu lu l u l uk u l uk u Algortmo k k - - k k k k- k lu luk lu luk l uk - l uk u k k k Ejemplo (4 cfrs) ' ' y y ' 5 ' '997 x x '667 '67 '
39 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó de Crout: (LDL T )Mx=Mb Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 9 Fctorzcó drect d l l l d l l l d d dl dl dl l d d ldl dl ldl dl k k k k k l d d l d l dl k k l d d k Ejemplo (4 cfrs) k k k k k ' ' ' 7 7 y y ' 75 ' 7 ' z z ' ' '999 ' ' 9'999 x x '999 '999 Algortmo
40 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó de Cholesk: (LL T )x=b Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 4 Fctorzcó drect l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l k l Ejemplo (4 cfrs) k k l l l ll k k k l l k Algortmo 7 69 '646 '646 '779 '779 '586 '586 ' '8 y y '779 '586 '586 '646 '779 6'8 x x '586 '586
41 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Opercoes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 4 Crmer Guss G-Jord Dooltle Crout Cholesk Sums Productos Cocetes!!
42 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo de codcometo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 4 Sstem cl: Ax=b Resolvemos sstem equvlete : Cx =d x =x+x x? AC? Resduo: R=Ax -b=ax!no es u bue referec de l bodd de l solucó! A xb x x x x4 x x b b A x x ' x x ' x x ' x4 x4 '9. A A x x b 7 8' 7' x x 8 7'8 5'4 6 5 x x 7 8 5'98 9'89 9 x x 4 6'99 4'99 9 9'98x4 x4
43 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Iterpretcó geométrc Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 4
44 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Acotcó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 44 A x=b x= A A A x x b b A x b b x b x b A A A b A x+ x = b+ b A δx = δb x A b A A A A A b x b b x b b x cod A b cod A b x b x cod A b A A A x A b cod A A A x b A A A A A A x b A b Demo
45 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Propeddes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo Pr culquer mtrz regulr A y u orm subordd culquer se verfc: Cod(I)= I Ix sup xe x Cod(A) I A A I A A A A A Cod(A - ) = cod(a) A A A A A A Cod(A) = cod(a) A A A A A A A coda A B S B sgulr x x / x : B x A B x A x A B x A x A A x x A B x A A A A A AB 45
46 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: cot co vrcó de b Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos ; Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo A A ' 8' ' '6 b b x x x cod, '5 x ' ' A A b x A b b A x x b x b A b 46
47 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 47 Ejemplo: cot co vrcó de A A A A A A A A A A A A x x x cod A Not : A A No es plcble x A cod A A A A x x
48 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Cálculo del determte de u mtrz Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí A prtr de los resultdos de l fctorzcó de l mtrz Doodlttle A M L U A M L U Crout A L D L Cholesk T A L L T A L A L L T D L T L p p U D l d u - Determte - Ivers 48
49 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Aplccoes: Cálculo de l vers Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Determte - Ivers 4 4 ª 5 ª ª ª ª 5 4 4ª ª ª ª 5 7 ª 5 ª 4 ª ª ª ª ª ª ª ª 6 4ª ª ª 59 4ª 55 ª 59 4ª ª 59 4ª ª
50 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Descrpcó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 5 Ddo u sstem lel Ax=b buscmos u mtrz K y u vector c tl que l solucó úc del sstem y=ky+c se gulmete solucó del sstem cl. Ddo el método tertvo se debe segurr su: Covergec Cosstec Ax b y Ky c L form del sstem sugere u método de resolucó tertv x x Kx c lm x y y Ky c A b Ejemplo Cosstec Covergec x x A b S No Demo x x A b No S
51 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Defcoes y teorems (I) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 5 T m : U método tertvo es cosstete s y solmete s: (I-K) es versble c=(i-k)a - b Defcó: covergec de u sucesó vectorl x y s N Z / k N : y x T m : Dd u mtrz cudrd culquer y u orm mtrcl, se tee que A A A / A A T m : Ddo u método tertvo cosstete sguetes proposcoes so equvletes: El método es covergete Pr lgu orm mtrcl K lm K K x Kx, ls c Demo k Demo Demo
52 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Defcoes y teorems (II) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí T m : S lgu orm mtrcl de l mtrz de tercó es meor que l udd, etoces el método es covergete y se verfc ls sguetes cots de error: y x K y x K y x x x K T m : Dd u mtrz regulr A, l mtrz (A A) es defd postv. Esto permte cmbr el sstem Ax=b otro equvlete (A A)x=(A b) cuy mtrz se defd postv. Demo Demo T m : S A, C, (A+C) y (A+BCD) so mtrces cudrds o sgulres se verfc l sguete detdd mtrcl (A+BCD) - =A - - A - B(C - +DA - B)DA - Demo 5
53 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Descomposcó y Métodos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 5 Se A u mtrz regulr co elemetos o ulos e l dgol, etoces dmte l sguete descomposcó: j j j ( ) D j j A ; ( ) s >j, resto D L U L j j ( U) s <j, resto Ax b D L U x b x Kx c Jcob: D L U x b Dx L U x b x D L U x D b Guss Sedel D L U x b D L x Ux b x D L Ux D L b Reljcó (SOR) D D L D U x b L x D U x b x D L D U x D L b
54 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Jcob Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 54 x D L U x D b Dx b L U x k k k k x b x x b x x b x x b x k k Algortmo Bucle pr k desde hst el úmero de tercoes Bucle pr desde hst (orde del sstem) x F bucle k j j j j k k j j b x x F bucle k NOTA: L mtrz de tercó de Jcob tee l dgol ul
55 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 55 Guss-Sedel x D L Ux D L b Dx b Ux Lx k k k k k x b x x x b x x x b x x x b x x k Algortmo k Bucle pr k desde hst el úmero de tercoes Bucle pr desde hst (orde del sstem) F bucle F bucle k x k j j j j k k j j b x x k NOTA: L mtrz de tercó de Guss Sedel tee l prmer colum ul
56 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 56 k Reljcó x x b x x x x b x x x - x b x x x x b x k k x k Algortmo Bucle pr k desde hst el úmero de tercoes Bucle pr desde hst (orde del sstem) b x x F bucle F bucle k k x D L D U x D L b Dx - Dx ( b Ux Lx ) k k k k x j j j j k k j j k - xk NOTA: Guss Sedel es u cso prtculr de reljcó pr = k
57 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez SOR y Mtrces defds postvs Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 57 T m : S etoces K SOR y por tto el método SOR sólo puede coverger cudo << (Kh). Demo Todos los métodos vstos se bs e descompoer A=M-N, co M versble, pr geerr el método x=m - Nx+M - b T m : S A es u mtrz defd postv, descompuest e l form A=M-N, co M versble, y l mtrz (M +N) tmbé es defd postv, etoces (M - N) < y el método es covergete. Corolro I: S A es defd postv, el método de Jcob coverge pr culesquer eleccó del vector cl. Corolro II: S A es defd postv, el método de reljcó coverge pr culesquer eleccó del vector cl sempre que <<. (Ostrowsk-Rech ) Demo
58 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Mtrces trdgoles y especles Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 58 T m j : S l mtrz A del sstem verfc que j : etoces será váld u y sólo u de ls frmcoes sguetes (Ste-Roseberg): KGS K J KGS K J K K K K GS J J GS T m : S l mtrz A del sstem es trdgol, los rdos espectrles de Jcob y Guss-Sedel está relcodos medte. K GS K J Demo T m : S l mtrz A del sstem es defd postv y trdgol, el vlor óptmo del prámetro de rljcó y el rdo expectrl vee ddos por opt opt K SOR opt (J) Demo Demo
59 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Mtrces dgoles domtes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 59 Def: U mtrz se deom estrctmete dgol dom-te cudo pr cd fl, l sum e vlor bsoluto de sus elemetos es meor que el vlor bsoluto del elemeto de l dgol. S l relcó se verfc co meor o gul, etoces es dgol domte, T m : S l mtrz A del sstem es de dgol estrctmete domte, el método de Jcob coverge pr cules-quer eleccó del vector cl. T m : S l mtrz A del sstem es de dgol domte y lgu fl es estrctmete domte, el método de Guss-Sedel coverge pr culesquer eleccó del vector cl. Demo Demo NOTA: Auque e lguos csos hy relcoes etre el comportmeto de los métodos de Jcob y Guss-Sedel, o sempre l covergec (o dvergec) de uo de ellos segur l del otro.
60 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Covergec de Jcob y o GS (I) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6 K J P J K G x y z 5 - D L U x x K K D L U J - - K K P x x x,, G G G J
61 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Covergec de Jcob y o GS (II) - K S D-L - D+ U '8 '4 '4 K S -'6 '88 '8 '56 -'9 '75 K '96 S - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6
62 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6 Covergec de GS y o Jcob x y 6 z K J D L U - - P J x x x K 4 J K G P G D L U - x K x x x '5 J
63 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Covergec de GS y o Jcob (II) - K S D-L - D+ U Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6
64 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (I) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 64 Ddo el sstem teror:. Clculr ls mtrces de tercó de los dferetes métodos. Estudr su covergec. Determr el úmero de tercoes ecesrs pr teer u error feror. prtedo del orge y utlzdo l orm fto 4. Relzr ls tercoes terores y comprobr cuts huber sdo relmete ecesrs. Jcob: '5 K J D L U '5 '5 cj D b '5 P J x x K '5 4 J Guss-Sedel '5 KG D L U '5 '5 cg D L b '75 P G x x x K '5 4 G Como cbí esperr (mtrz trdgol, de dgol estrctmete domte y defd postv ), mbos métodos coverge, y, el rdo espectrl de Guss-Sedel es el cudrdo del de Jcob, por lo que su covergec es más rápd.
65 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (II) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 65 Reljcó (SOR) S - - K D-L - D+ U '5 cs = D-L b ' K S c=.745 K PS x x x opt opt S.5. '.78.5 K.78 S
66 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (III) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 66 Número de tercoes K K x x l - l x x x x - K l K K Jcob Guss-Sedel Reljcó Jcob Reljcó x - x x Guss Sedel x k k x x c j j j j k k j j b x x j j j j k k j j b x x > j j j j b xk xk j j k k
67 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (IV) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 67 Jcob Guss-Sedel Reljcó b x k b x k b xk xk xk xk -xk x k x k xk.xk. b xk b xk x k x k b xk x k - xk xk xk xk.xk. Jcob Guss-Sedel Reljcó x x x x x x x x 4 x x x x
68 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (V) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 68 Jcob Guss-Sedel Reljcó (w=.)
69 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Ejemplo completo (VI) x y - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 69
70 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Aexo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Demostrcoes Algortmos 7
71 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Norms equvletes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí x x, x, x, x, x x x x sup x v sup x,..,.. x sup s s s,.. xs x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 7 Volver
72 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Norms mtrcles subordds Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí x Def.:S es u orm vectorl sobre C etoces se defe u orm mtrcl sobre el cojuto de ls mtrces de orde, deomd orm subordd, medte Ejemplos: A sup xe Ax x sup xe x Ax j A sup A x mx (máxmo de colums) x j * A sup A x A A(rdo espectrl de l orml) x j A sup A x mx (máxmo de fls) x j Volver 7
73 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez MATLAB pr Guss co pvote smple Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí. [,m]=sze(a);f m~=+;error( fll mtrz mpld );ed. for =:. [p,j]=mx(bs( A(:,)) );j=j+-; 4. f p==; error( sstem determdo o comptble );ed 5. f j~=; p=a(j,:); A(j,:)=A(,:); A(,:)=p;ed 6. for j=+:; m=-a(j,)/a(,); A(j,:)=A(j,:)+m*A(,:); ed 7. ed 8. x()=a(,+)/a(,) 9. for =-,,-; x()=((,+)-(,+:)*x(i+:))/(,);ed OPERACIONES + Trgulrzr Resolver Totl j j Volver
74 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez MATLAB pr Guss co pvote doble Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí. [,m]=sze(a);f m~=+;error( fll mtrz mpld );ed. orde=:;. for =: % Trgulrzcó 4. [p,j]=mx(bs( A(:,:)) );j=j+-; % Pvote y poscó 5. [p,k]=mx(p);j=j(k);k=k+-; 6. f p==; error( sstem determdo o comptble );ed 7. f j~=; p=a(j,:); A(j,:)=A(,:); A(,:)=p;ed % Itercmbo de fls 8. f k~=; 9. p=a(:,k); A(:,k)=A(:,); A(:,)=p;. p=orde(k); orde(k)=orde();orde()=p;. ed. for j=+:; m=-a(j,)/a(,); A(j,:)=A(j,:)+m*A(,:); ed. ed 4. x()=a(,+)/a(,); % Resolucó del sstem trgulr 5. for =-,,-; x()=((,+)-(,+:)*x(i+:))/(,);ed; 6. x=x(orde); % Ordecó de los resultdos Volver 74
75 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez MATLAB pr Guss co pvote escldo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí. [,m]=sze(a);f m~=+;error( fll mtrz mpld );ed. for =: % Trgulrzcó. escl=mx(bs( A(:,:) ) ); ; % Pvote y poscó 4. f y(escl); error( sstem determdo o comptble );ed 5. [p,j]=mx(bs( A(:,)./escl ) );j=j+-; 6. f j~=; p=a(j,:); A(j,:)=A(,:); A(,:)=p;ed % Itercmbo de fls 7. for j=+:; m=-a(j,)/a(,); A(j,:)=A(j,:)+m*A(,:); ed 8. ed 9. x()=a(,+)/a(,); % Resolucó del sstem trgulr. for =-,,-; x()=((,+)-(,+:)*x(i+:))/(,);ed Volver 75
76 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó: Demostrcoes I Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Lk I Lk k k k k k k Lk I Lk I k k k k k k Volver 76
77 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demostrcó de vers de L Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Lk I Lk k k k k k k L k I L I k k k k k k k Volver 77
78 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó: Demostrcoes II Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 78 T m : El producto de mtrces trgulres ferores (superores) es u mtrz trgulr feror (superor) j j C A B co A, B trg. f. j : b j k j k j k j k k k k k k j : c b b b k k k j b C trg. f. k T m : L vers de u mtrz trgulr feror (superor) es u mtrz trgulr feror (superor) Demostrcó por duccó: se verfc pr, supuesto que se verfc pr hy que demostrrlo pr + A A B d I B c d b A d b d B B B d b trg. feror Volver Volver
79 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Propeddes de l mtrz de tercmbo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 79 M j esm jesm I I B I j I j B I j T I j T T M B T I j Smetrí Ortogoldd I I I B I I j j M M B B B I I I I j B B I j I j I j j j j j I j
80 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Algortmo de Fctorzcó LU ENTRADA: Mtrz A y vector b SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr desde hst (Proceso de fctorzcó).. Repetr pr j desde hst -. Clculr 4. Hcer l 5. Clculr u l u 6. Repetr pr j desde + hst 7. Clculr u l u 8. Repetr pr desde hst repetr (Resolucó sstem T.S.) 9. Clculr. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem T.I.). Clculr. SALIDA x OPERACIONES k k k k y b l yk k k y u xk k x u j j l l u u j j k j j k j k j j k j k k, + = Volver
81 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Algortmo de Fctorzcó de Crout ENTRADA: Mtrz A y vector b SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr desde hst (Proceso de fctorzcó).. Repetr pr j desde hst -. Clculr 4. Hcer 5. Clculr 6. Repetr pr desde hst repetr (Resolucó sstem T.S.) 7. Clculr 8. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem dgol) y 9. Clculr z d. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem T.I.). Clculr l k k k k d l d l l d l d k k k y b l y k k k x z l x j j j j j k k k j k j j k Volver. SALIDA x 4 OPERACIONES 5 + =
82 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Algortmo de Fctorzcó de Cholesk ENTRADA: Mtrz A y vector b SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr desde hst (Proceso de fctorzcó).. Repetr pr j desde hst -. Clculr 4. Clculr 5. Repetr pr desde hst repetr (Resolucó sstem T.S.) 6. Clculr 7. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem T.I.) 8. Clculr 9. SALIDA x l l k k j j y b l y l k k k x y l x l k k k j j k k j l l l j l j k OPERACIONES 4 4, + = Volver
83 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Demo: codcometo A A x A b A x A x A A x x b b A x b A x A x x A b A x A x A A A A x b x A x b A x A A x A b cod A b A x A A A x b A cod A A A A A x A A A b A x x b b A A A x A x A A A b A Volver
84 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Cosstec y covergec Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Ejemplo Cosstec Covergec lm x x x A b x x A b x x A b x x A b y A b S No No S y y A b y A b x x x x x x y y A b y A b x x x x x x y 84 Volver
85 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Acotcó del rdo espectrl Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 85 A A : / A : A A A A x Ax x A x Ax x A / A A UD AUD b b b b b U utr : U AU. Defmos D dg, etoces b b b b b b j j. S elegmos : b, j b j j A UD AUD mx b A Volver j
86 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Covergec Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 86 A Covergec lm K x Kx c y x K y x K y x y Ky c A A / A A A A A lm y x lm K y x y x lm x y K Covergec y x K y x y x K y x lm y x lm K y x y x lm x y Covergec K y x K y x y x y x puesto que K K K K y x K y x lm y x lm K y x lm K K Volver K
87 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Acotcó del error Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí x Kx c y x K y x y x K y x y Ky c Se m x x x x x x x x x x x x x x x m m m m m m m m m m x x x x x x x x x x m m m m m m m como m sere geométrc x x K x x m m m k x x K K K K x x r r m K K K xm x x x K y tomdo límtes 87 lm m K xm x y x x x K Volver
88 Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Mtrz orml Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí t t B defd postv x : x Bx x Bx x B : t t t t x : x A A x Ax Ax x x x x Ax x A regulr A BCD A A BC DA BDA BCDA BCDA BC DA BDA A BCD A A B C DA B DA I B C DA B DA k k Volver Volver 88
Sist. Lineales de Ecuaciones
Ttulacó: Asgatura: Autor: Igeero Geólogo Aálss Numérco César Meédez Ultma actualzacó: //007 Sst. Leales de Ecuacoes Plafcacó: Materales: Coocmetos prevos: 6 Teoría+4 Práctcas+ Laboratoro MATLAB Coocmetos
TEMA 2. Métodos iterativos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
TEMA : Métodos tertvos de resolucó TEMA. Métodos tertvos de resolucó de Sstems de Ecucoes Leles. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A = b, cosste e trsformrlo e
Métodos Numéricos. Resolución de sistemas de ecuaciones
Al flzr est udd el prtcpte estrá e cpcdd de resolver u sstem de ecucoes leles o o leles de ecucoes co cógts por los métodos drectos e tertvos. Itroduccó Prolem clásco del álger lel: se quere solucor u
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
NIVERSIA NACIONA E INGENIERÍA FACA E INGENIERÍA ECÁNICA eprtmeto Acdémc de Cecs Báscs, Humddes y Cursos Complemetros EOOS NERICOS B SOCION E SISEAS INEAES EOOS IERAIVOS Profesores: Grrdo Juárez, Ros Cstro
Sistemas de Ecuaciones Lineales
étodos Numércos pr Igeeros Sstems de Ecucoes eles E l udd dos hemos usdo métodos umércos pr determr el vlor de que stsfce u ecucó, f(. Ahor, determremos los vlores de u couto de cógts que stsfce u sstem
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TEMA 3. Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales
TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles TEMA 3. Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles 3. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A=b, cosste e trsformrlo
= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s )
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Todo problem cuyo eucdo somete úmeros descoocdos vrs codcoes, es susceptble de ser epresdo por medo de gulddes o desgulddes que form u sstem de ecucoes o ecucoes. De hí
MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS NÚMEOROS COMPLEJOS
NÚMEOROS COMPLEJOS Defcó: El cojuto de los úmeros complejos es C R R {(, / R y b R} C está formdo por todos los pres ordedos de úmeros reles etre los que defmos u relcó, l guldd, y dos opercoes brs que
MECÁNICA COMPUTACIONAL I. Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones
MCÁNICA COMPUTACIONAL I Cpítulo Sstems de cucoes Solucó umérc de sstems de ecucoes Cptulo Itroduccó Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres lmcó de Guss lmcó de Guss-Jord. Determcó de l mtrz vers. Métodos tertvos
está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.
Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos RICES Y DEERINNES E V V. DEFINICIÓN DE RIZ U mtrz es u cojuto de úmeros, ojetos u operdores, dspuestos e u rreglo dmesol
TEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL
TE III EEENTS DE ÁGER TRICI E este tem vmos repsr los coocmetos de mtrces que predmos e cursos terores y que vmos ecestr e est sgtur. I.- TRICES Qué es u mtrz? U mtrz es u dsposcó de úmeros pr l cul este
a es la parte real, bi la parte imaginaria.
CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml
Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información
Leguje humo Represetcó de l formcó Utlz u cojuto de símbolos lfumércos Crcteres lfbétcos:, B, C,.Z,, b, c,...z Símbolos umércos 9 sgos de putucó... Puede represetr Iformcó umérc lfumérc Leguje del ordedor
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 Epresoes Algebrcs es l uó de úmeros y vrbles medte opercoes de sum, rest, multplccó, dvsó, poteccó y rdccó. Epresó lgebrc rcol: se llm sí quells e ls que ls vrbles está fectds
Unidad 1 Fundamentos de Algebra Matricial Parte 1
Udd Fudetos de lger trcl Prte Dr. Ruth. gulr Poce Fcultd de Cecs Deprteto de Electróc Propedeutco 8 Fcultd de Cecs trces U trz de es u rreglo rectgulr dspuesto e regloes y colus Trgulr feror O Trgulr superor
APROXIMACION DE FUNCIONES
APROXIMACION DE FUNCIONES Metodos Numercos 6 Fmls de Fucoes Bses - Moomos : 3 - Trgoométrcs: sωt cosωt sωt... - Fs. Sle: olomos trozos - Fs. Eoecles: e e 4 Metodos Numercos 6 Iterolcó Suogmos teer u cojuto
e x Integración numérica Tema 2: Cá álculo umérico Fórmulas de cuadratura. Fórmulas de Newton-Cotes. Fórmulas del trapecio y Simpson. Errores.
Tem : Itegrcó umérc Tem : Itegrcó ó umérc Prolem Fórmuls de cudrtur. Fórmuls de Newto-Cotes. Fórmuls del trpeco Smpso. Errores. Clculr l sguete tegrl: e d Usremos l tegrcó umérc cudo, por el motvo que
Para realizar esta evaluación, el ordenador realiza los siguientes pasos Representa x: x
Asgtur umércos Pág de Tem Artmétc Ft (Reresetcó Césr Meédez Ferádez Ejercco.- Mejdo rtmétc decml de cco dígtos co trucmeto, clculr el tervlo e que l reresetcó de l fucó f es uo. Pr relzr est evlucó, el
Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton
Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle Guí ejerccos resueltos Sumtor y Bomo de Newto Solucó: ) Como o depede de j, es costte l sumtor. b) c) d) Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle e) f)
INICIO. Elaborado por: Enrique Arenas Sánchez
INICIO Elbordo or: Erque Ares Sáchez EL PROMEDIO El cálculo del romedo de u lst de vlores [,, K,,, ], 2 K ormlmete se clcul medte l coocd exresó: m...() U form geerl r clculr el romedo de u lst
ELECCIÓN ÓPTIMA DEL PLAZO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES
ELECCÓN ÓPTM DEL PLZO DE UN PRÉSTMO EN FUNCÓN DE PREFERENCS NDVDULES Jesús Mª Sáchez Motero jsmoter@us.es Mª Ágeles Domíguez Serro doser@us.es Jver Gmero Rojs jgm@us.es Deprtmeto Ecoomí plcd Uversdd de
Supongamos que divide también a 3n + 1, entonces divide a (3n + 1) (3n 3)=4 o divide a (3n + 3) (3n + 1) = 2, entonces a = 2.
Hojs de Problems Algebr III 8. ) Demostrr que s es r, los úmeros turles y so rmos etre s. b) Demostrr que s m, etoces l ctdd de úmeros eteros ostvos dsttos de cero que o so myores que m y que o se dvde
Se puede observar que una partición de un intervalo lo divide en n subintervalos, y a cada uno de ellos se les llama también celda.
Itegrl defd. Fucó tegrle Sum de Rem Se el tervlo [, ]. E cojuto de putos: P = { 0,,......., } Dode 0 = ; = ; < ; =,,....., Se llm prtcó o red de tervlo [, ] Se puede oservr que u prtcó de u tervlo lo dvde
(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA
(Aputes s revsó pr oretr el predzje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Sumtor Pr represetr e form revd determdo tpo de sums, se utlz como símolo l letr greg sgm. Ejemplos.
UNIVERSIDAD DE GRANADA PONENCIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES PONENTE: PROF. FRANCISCO JIMÉNEZ GÓMEZ
UNIVERSIDD DE GRND ONENCI DE MTEMÁTICS LICDS LS CIENCIS SOCILES ONENTE: ROF FRNCISCO JIMÉNEZ GÓMEZ RUE DE CCESO R MYORES DE ÑOS CONVOCTORI DE ENUNCIDOS Y RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS ROUESTOS EN MTEMÁTICS
3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)
3. Udd rtmétc Lógc (LU) bordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd rtmétc Lógc (LU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros como
Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X
Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer
ÍNDICE INTRODUCCIÓN 1
ÍNDICE INTRODUCCIÓN CAPÍTULO. NOCIONES BÁSICAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES. Cocepto prevo. Opercoe co mtrce.. Cálculo de l trpuet de u mtrz.. Sum de mtrce.. Multplccó por u eclr.. Producto de do mtrce.. Cálculo
GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES
UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁLGEBRA FMM COORD. PAOLA BARILE M. GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA EJERCICIOS CON RESPUESTAS.- Verfque s ls
INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN U medo potete de l vestgcó e mtemátc, físc, mecác y otrs rms de l cec es l tegrl defd. El cálculo de áres lmtds por curvs, de ls logtudes de rcos, volúmees, trjo, velocdd, espco, mometos de
2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
Sucesoes. SUCESIONES. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Alce Mootoí de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. 5 Sucesoes.. SUCESIONES..
POLINOMIOS. - Ejemplo: es un polinomio ordenado segun la variable x, cuyos coeficientes son: 2
POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel x es: f x = x + x + + x + x+, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo
Métodos Numéricos Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 1/14
étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Represetó mtrl pr sstems de euoes Resoluó de Sstems de euoes leles o leles U úmero α se de ríz o ero de l euó s α Los métodos uméros pr eotrr
- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:
POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = + + + + +, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble
TEMA 5 VALORACIÓN FINANCIERA DE RENTAS (II)
Fcultd de CC.EE. Dpto. de Ecoomí Fcer I Mtemátc Fcer Dpotv TEMA 5 VALORACIÓN FINANCIERA DE RENTAS (II). Ret cotte temporle y perpetu. 2. Ret dferd y tcpd 3. Ret vrble e progreó geométrc y rtmétc Fcultd
5.1 Problemas de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. Clasificación de los métodos numéricos
CAPITULO V. PROBLEMAS DE CONTORNO PARA ECUACIONES DIFERENCIALES (6h) 5.1 Prolems de froter pr ecucoes dferecles ordrs. Clsfccó de los métodos umércos 5. Métodos de reduccó l prolem de Cuchy. Dspros y Brrdo
CAPITULO 1 VECTORES EN R 3
CPITULO Nuestrs lms, cuys fcultdes puede compreder l mrvllos rqutectur del mudo, y medr el curso de cd plet vgbudo, ú escl trs el coocmeto fto Chrstopher Mrlowe. ECTORES EN R. Mgtudes esclres y vectorles..
1. Mi sitio Web con tareas:
. M sto Web co tres: http://www.educt.org/stud/tre.sp. ANALISIS NUMERICO BURDEN, RICHARD L. \ FAIRES J. DOUGLAS 99. METODOS NUMERICOS LUTHE, RODOLFO \ OLIVERA ANTONIO, SCHUTZ FERNANDO 988 4. METODOS NUMERICOS
Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica.
INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Prte : Fudmetos mtemátos Prte : Meá Cuát Prte : FUNDMENTOS MTEMÁTICOS Espos etorles ompleos de dmesó ft Operdores leles Represetó mtrl Proyetores utolores y utoetores Operdor
Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica.
INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Prte : Fudmetos mtemátos Prte : Meá Cuát Prte : FUNDMENTOS MTEMÁTICOS Espos etorles ompleos de dmesó ft Operdores leles Represetó mtrl Proyetores utolores y utoetores Operdor
INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN
INTEGRAL DEFINIDA.- INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd. Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre. Ahor
FUNDAMENTOS DE CLASE
FUNDAMENTOS DE CLASE b c r b c Rodrgo A. Ocoró Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI FACULTAD: INGENIERIAS PROGRAMA: INGENIERÍA DE SISTEMAS ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS PRERREQUISITO:
4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones.
Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Udd Nº : MTRICES-DETERMINNTES Defó INTRODUCCIÓN ESTRUCTURS LGEBRICS de GRUPO y de CUERPO Se G y se * u operó e G. El pr ( G ) es u grupo s y sólo s: ) * es u ley de omposó
10. Optimización no lineal
0. Optzcó o lel Coceptos báscos Prcpos y teores pr l búsqued de óptos lobles Optzcó s restrccoes e desó Optzcó s restrccoes e desó > Modelos co restrccoes de uldd Codcoes de uh-tucker Alortos uércos báscos
CATEDRA 0 7 METODOS NUMERICOS. Ingeniería Civil ING.CRISTIANCASTROP. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
CATEDRA 7 Fcltd de Igeerí de Ms, Geologí y Cvl Deprtmeto cdémco de geerí de ms y cvl METODOS NUMERICOS Igeerí Cvl ING.CRISTIANCASTROP. . DEFINICIÓN Y CASIFICACIÓN DE MATRICES s mtrces so tlzds por prmer
UNIVERSIDAD DE GRANADA. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA INTERPOLACIÓN José Martínez Aroza
UNIVERSIDAD DE GRANADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA www.ugr.es/locl/mtel INTERPOLACIÓN 6-7 José Mrtíez Aroz Itroduccó Iterolr D.R.A.E.: Avergur el vlor romdo de u mgtud e u tervlo cudo se cooce
SISTEMAS DE ECUACIONES
. Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sstems de Ecucones Lneles www.tgors.es SISTEMS DE ECUCIONES LINELES Estudr un Sstem de Ecucones Lneles S.E.L.) es responder ls pregunts: tene solucón?. s es sí,, cuánts tene cuáles son?. l vst de ests
suma sucesiva de los primeros m términos como se ve a continuación m 1
A veces se ecest deterr l su de uchos téros de u sucesó ft. Pr expresr co fcldd ess sus, se us l otcó de sutor. Dd u sucesó ft,,,...,... el síbolo represet l sutor o su sucesv de los preros téros coo se
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas
Progrm del Dplom Mtemátcs NS y Amplcó de Mtemátcs NS: cuderllo de fórmuls Pr su uso durte el curso y e los eámees Prmeros eámees: 04 Publcdo e juo de 0 Orgzcó del Bchllerto Itercol, 0 5050 Ídce Coocmetos
1.4 SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (46 Problemas ) sabiendo que n
. SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (6 Problems.- Estudir el crácter de ls series:! 0 b + si >0, segú vlores de. 0.- Clculr cos α sbiedo que x x e 0! 0! 3.- Estudir l serie de térmio geerl. π se.- Cosidermos
Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:
PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula
Escrito. 1) Transforma a las bases indicadas:
Escrto ) Trasforma a las bases dcadas: a. 765 base (0) b. AB base 7 0 (6) base ) Halla los dígtos a y b sabedo que: aam 6 ( 5 ) mam( 6 ) 3) Trasforma a la base dcada usado ua tabla de correspodeca.. 00
1. ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORES ALEATORIOS
. ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORES ALEATORIOS Vetores Ortogolzó de Grm-Shmdt Mtres ortogoles Atovlores tovetores Forms dráts Vetores mtres letors Mtrz de dtos DAGOBERTO SALGADO HORTA ALGEBRA LINEAL Vetores Mtrz
Fundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica.
INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Fudmetos mtemátos Los Postuldos de l Meá Cuát FUNDMENTOS MTEMÁTICOS L Meá Cuát se desrroll e espos etorles deomdos espos de Hlert Pr omezr, repsremos reemete ls des fudmetles
ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS:
SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Teorema S G={v, v,, v } es u sstema fto de geeradores de u subespaco S V K-EV, etoces G`= {v, v,, v,w} sedo w combacó leal de vectores de G, també geera a S. Demostracó
Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES
Repaso de º de Bachllerato Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Qué es la udad magara? Es u elemeto del que coocemos úcamete su cuadrado:.obvamete, o se trata de u úmero real.. Qué es u úmero complejo?
CAPÍTULO I: LA INTEGRAL
CAPÍTULO I: LA INTEGRAL. Coceptos geerles. Atdervd. Sums de Rem. Itegrl ded.. Propeddes de l tegrl ded.. Clculo de l tegrl ded. Teorem Fudmetl del Cálculo. Coceptos Geerles Hstórcmete, el cálculo tegrl
( x) f ( xi), i 0,1, 2,, n. Reemplazaremos la función f( x ) en la integral (3.1 por su interpolador polinomial de Lagrange: n (3.2) , (3.
Cpítulo 3. NTEGRACÓN NUMÉRCA Exste dos mers pr umetr l precsó de cálculo de ls tegrles. L prmer umetdo el úmero de psos, e los cules se clcul l fucó y de est mer umet s límtes, (especlmete pr ls tegrles
Transformada Z. Definición y Propiedades Transformada Inversa Función de Transferencia Discreta Análisis de Sistemas
5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Trasformada Z Defcó y Propedades Trasformada Iversa Fucó de Trasfereca Dscreta Aálss de Sstemas 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z Defcó y Propedades 5º Curso-Tratameto Dgtal
ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 4 ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR
7 ÁLGEBA II (LSI PI) UNIDAD Nº 4 ESPACIOS ECTOIALES ESPACIOS ECTOIALES CON PODUCTO INTEIO Fcltd de Cecs Excts y Tecologís UNIESIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTEO Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE.-
ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR RENTAS CONSTANTES. TEMA 5 TEMA 5: RENTAS
TEMA 5: RENTA. INTRODUCCIÓN Llmmos ret u sucesó de cptles que se hce efectvos e vecmetos peródcos. Ejemplo: lquler, slros, préstmos, etc. A cd uo de estos cptles se le deom térmos o ulddes (A. Llmmos durcó
Diagonalización de matrices
Dgolzcó de mtrces L tldd de l dgolzcó de mtrces se obser e: Forms cdrátcs Sstems dámcos leles Aálss mltrdo E térmos geerles cosste e obteer mtrz dgol D prtr de mtrz A de tl mer qe D cosere ls propeddes
INTRODUCCION AL ALGEBRA.
INTRODUION AL ALGEBRA. 5-b- NUMEROS OMPLEJOS. Aputes de l átedr. Alberto Serrtell. olborro: rst Mscett. Ves Bergo Edcó Prev EANA EEJS ET Juí. UNNOBA Uversdd Ncol de Noroeste de l Pc. de Bs. As. Pr mesjes:
Matemáticas II Hoja 2: Matrices
Profesor: Miguel Ágel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics II Hoj : Mtrices Opercioes: Ejercicio : Ecotrr ls mtrices X e Y tles que: X Y 5 X Y 7 Ejercicio : 5 Dds ls mtrices y B, clcul: ) -B b) B c) B(-) d)
FUNDAMENTOS TICOS TEMA 5: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TICOS TEMA 5: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Integrl defnd Dd un funcón f, exste otr F tl que F = f? Integrcón
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas
Progrm del Dplom Mtemátcs NS y Amplcó de Mtemátcs NS: cuderllo de fórmuls Pr su uso durte el curso y e los eámees Prmeros eámees: 04 Edcó de 05 (. versó) Orgzcó del Bchllerto Itercol, 0 5050 Ídce Coocmetos
Aplicaciones prácticas de la antiderivación y la Integral Definida. Universidad Diego Portales CALCULO II
Aplccoes práctcs de l tdervcó y l Itegrl Defd Uversdd Dego Portles Aplccoes práctcs A cotucó se preset lguos prolems e que se cooce l rzó de cmo de u ctdd y el ojetvo es hllr u epresó pr l ctdd msm. Como
CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en
CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.. Cálculo de áres e coordeds crtess 8.. Cálculo del áre e coordeds prmétrcs 8.3. Cálculo del áre e coordeds polres 8.4. Cálculo
UNIDAD III. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, No-Lineales y Valores Característicos
UNIDAD III Solucó de Sstems de Ecucoes Leles, No-Leles y Vlores Crcterístcos Sstems de Ecucoes Leles Form Geerl Coefcetes (Costtes) Térmos Idepedetes (Costtes) Número de Ecucoes Los sstems de dos y tres
Capítulo 3: Integral definida. Módulos 12 al 17. I. Notación sigma. En los ejercicios 1 a 5 escriba en forma de sumatoria la suma dada.
Módulos l 7 I Nocó sgm E los ejerccos escr e form de sumor l sum dd + + + + + + + + 9 + + 7 6 7 8 l + l 6 + l 8 + l 6 6 Supog que f ( ) 8, g( ) y h( ) Clcule el vlor de l epresó dcd e los ejerccos -e c
el blog de mate de aida CSI: sistemas de ecuaciones. pág
el blog de mte de id CSI: sistems de ecucioes pág SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO U sistem de "m" ecucioes lieles co "" icógits,,,, es u cojuto de "m" igulddes de l form: m m b b m dode ij, b i
ÁLGEBRA II (LSI PI) TRANSFORMACIONES LINEALES UNIDAD Nº 5. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
2017 ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 5 RANSFORMACIONES LINEALES Facultad de Cecas Exactas y ecologías UNIERSIDAD NACIONAL DE SANIAGO DEL ESERO aa Error! No hay texto co el estlo especfcado e el documeto
a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn
TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
ESUELA TÉNIA SUPERIOR DE NÁUTIA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO OI ESKOLA TEKNIKOA UNDAMENTOS MATEMÁTIOS : ORMAS UADRÁTIAS orm blel Decó K Se E res espcos vecrles dedos sobre el
Problemas discretos con valores iniciales
Problemas dscretos co valores cales Gustavo Adolfo Juarez Slva Iés Navarro El presete trabajo pretede dfudr problemas dscretos co valores cales (e adelate PVID), a partr de ecuacoes e dferecas leales co
c, se ha demostrado que el método converge cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Met.Itertivos: covergeci y GS Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Se dese resolver por u método itertivo el sistem liel Ax b del
= (columnas), llamamos matriz de. = i, =... A (matriz de orden n) MATRICES
TRICES INTRODUCCIÓN Observemos el siguiete ejemplo: Tbl de ots de tres lumos e el primer bimestre: ------------------ temátic Físic Químic Biologí 6 4 5 8 toio 5 7 5 5 Betriz 5 6 7 4 L tbl terior os permite
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate
x x x x x Y se seguía operando
. INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES UNIDAD : Números complejos Cuado se teta resolver ecuacoes de segudo grado como por ejemplo x 4x 0, se observa que o 4 6 5 4 6 tee solucoes reales x x, pues o exste raíces
TEMA 3. Medidas de variabilidad y asimetría. - X mín. X máx
TEMA 3 Meddas de varabldad y asmetría 1. MEDIDAS DE VARIABILIDAD La varabldad o dspersó hace refereca al grado de varacó que hay e u cojuto de putuacoes. Por ejemplo: etre dos dstrbucoes que preseta la
está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.
Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos MEMÁICS ÁSICS MRICES DEFINICIÓN DE MRIZ U mtrz es cojto de úmeros, ojetos operdores, dspestos e rrego dmeso de regoes y coms, ecerrdos
Definimos renta financiera como un conjunto de capitales que han de hacerse efectivos en determinados vencimientos.
Te 3 lorcó e Rets lorcó e rets Defos ret fcer coo u cojuto e cptles que h e hcerse efectvos e eteros vecetos. (, t, ( 2, t 2,, (, t Llreos téros e l ret ls cutís e los cptles fceros que copoe l ret (,
APUNTE: Introducción a las Sucesiones y Series Numéricas
APUNTE: Itroducció ls Sucesioes y Series Numérics UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigtur: Mtemátic Crrers: Lic. e Admiistrció Lic. e Turismo Lic. e Hotelerí Profesor: Prof. Mbel Chresti Semestre: do
G - Métodos de Interpolación
ESCUELA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS G - Métodos de Iterpolacó Polomo de terpolacó de Lagrage. Polomo de terpolacó
MATRICES Y DETERMINANTES
Eucidos de proles de selectividd. Mteátics II. Mtrices y deterites MTRICES Y DETERMINNTES.(97).- Se dice que u triz cudrd es ortogol si se verific que t I. Si y B so dos trices ortogoles de igul tño, lizr
lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.
Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..
SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Sucesioes de úmeros reles Se llm sucesió de úmeros reles u plicció del cojuto N * (cojuto de todos los úmeros turles excluido el cero) e el cojuto R de los úmeros reles. N
Unidad 2: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS.
Uidd : SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS. U sucesió es u cojuto ordedo de elemetos que respode u ley de formció. L sucesió suele brevirse: (,...) ( ) =,, 3,..., 3 Siedo el primer térmio, el segudo térmio,
IES Menéndez Tolosa Física y Química - 1º Bach Movimientos I. 1 Qué fuerzas actúan sobre los extremos de la cuerda de la figura?
IES Meédez Tolos ísic y Químic - 1º Bch Movimietos I 1 Qué fuerzs ctú sobre los extremos de l cuerd de l figur? Actú ls fuerzs T1 y T, que so ls fuerzs que m1 y m ejerce respectivmete sobre l cuerd, es
5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5 5. SUCESIONES 5. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 5. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 5.. A SERIE GEOMÉTRICA. 5.. SERIES TEESCÓPICA 5.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 5... CRITERIO
Tema 1: Números reales.
Tem : Números reles. REALES se utiliz pr Medir mgitudes se obtiee Ctiddes todos so Números Errores viee fectds de errores Aproximcioes clses se represet Rect rel Aproximcioes decimles Redodeos Trucmieto
Sucesiones de números reales
Tem 5 Sucesioes de úmeros reles Defiició 5.1 Llmremos sucesió de úmeros reles culquier plicció f: IN IR y l represetremos por { } =1, dode = f(. Por comodidd, diremos tmbié que l sucesió es el cojuto ordedo
CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS
Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios MEMÁICS BÁSICS DEERMINNES CONCEPO DE DEERMINNE DEFINICIÓN Se u mtriz cudrd de orde. Se defie como ermite de (deotdo como,
GENERALIDADES SOBRE MÓDULOS
GENERALIDADES SOBRE MÓDULOS Presetar el Z -módulo Z como cocete de u Z -módulo lbre Hacer lo msmo para el grupo de Kle Calcular los auladores de los sguetes módulos: a) El Z -módulo Z Z 6 b) El Z -módulo
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
SISTEM DE ECUCIONES LINELES Defiició: Llmremos sistem de m ecucioes co icógits, u cojuto de ecucioes de l form: m.... m..... m m (S) Los elemetos so los coeficietes del sistem. ij Los elemetos i so ls
PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA. 1.-Demuestre que el inverso aditivo de todo número complejo z es único
PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA -Demuestre que el iverso ditivo de todo úmero compleo es úico Solució Supogmos que existe más de u iverso ditivo de Se esos iversos distitos Etoces * * * * = + + = + + =
Multinomio de variables 0,1
U PPL etero o PROLE DE PROGRIÓ ETER es quel e el que u o más vrles de decsó está restrgds sumr sólo vlores eteros. -Prolems puros. -Prolems mtos. U form de resolverlos cosste e gorr l codcó de PPL etero
TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL
Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y
D E T E R M I N A N T E S M A T R I Z I N V E R S A
º DE BACHILLERATO DETERMINANTES D E T E R M I N A N T E S ----------- M A T R I Z I N V E R S A DETERMINANTES I. Determites. II. Primers pliioes de los determites. I. Determites.. Defiió álulo de u determite.