Métodos Numéricos Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 1/14

Transcripción

1 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Represetó mtrl pr sstems de euoes Resoluó de Sstems de euoes leles o leles U úmero α se de ríz o ero de l euó s α Los métodos uméros pr eotrr u ríz de u euó geerrá u suesó { } tl que: lm α El sstem de euoes está ormdo por u outo de euoes del tpo o m F [ m ] [ m ] U vetor Α [ m ] se de soluó de u sstem de euoes F s FΑ Los métodos uméros pr eotrr l soluó de u sstem de euoes F geerrá u suesó { } tl que: lm Α Crteros de promó pr sstems de euoes er Crtero Pr u euó Ddo u úmero ε > deudmete pequeño que llmremos toler podemos esoger omo promó l ríz α u térmo de l suesó meod dode es el meor etero postvo que stse: do Crtero El térmo de l suesó meod puede ser osderdo u promó l ríz dode es el meor etero postvo que umple l odó Norms vetorles U orm vetorl es u uó : R R / Y R α R α α Y Y L orm euld o orm orm ó orm L orm sum o orm orm L orm del mmo o orm m orm < ε - < ε E sstems F [ m ] [ m ] F < ε - < ε Dst sod o l orm euld Dst sod o l orm sum Dst sod o l orm del mámo Y Y Y m Últm tulzó: 7//6

2 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Norms mtrles U orm mtrl es u uó : R R / A R α R A A αa α A A A v A A A Norm mtrl dud por l orrespodete orm vetorl A m A A m A A m A A R A m s s A orma A m orma m Sstem de euoes o leles Pr resolver sstems de euoes o leles se puede plr los métodos ertos pldos l resoluó de euoes o leles Puto o Newto-Rphso Sedo eesro her u trsormó vrles vetorzds g Sstem de euoes o leles Co puto o g Pr u sstem de euoes o leles F [ ] [ ] G [g g g ] g g g F G G Codó de overge g < g g L g g g K < L K < E geerl g K K este u úo pr K < Α puto o s: K Teorem del puto o pr sstems S g es u uó otu e [ ] g [ ] pr todo [ ] etoes g tee por lo meos u puto o e [ ] S D{ R / } g otus G D pr todo D etoes G tee por lo meos u puto o e D S demás g este pr todo [ ] g K < pr todo [ ] K ostte etoes g tee u úo puto o α e [ ] dg S demás este ls dervds prles otus e D d dg K pr todo D etoes G tee u úo puto d o Α e D Últm tulzó: 7//6

3 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / - Eemplo - Eemplo Puto Fo S D{ R / } g otus G D pr todo D etoes G tee por lo meos u puto o e D - sqrt- - sqrt - G [ - - ] D [-] G R pr todo D g sqrt g - - sqrt - o overge [ - ] G D [ ] G D pr todo D g g o overge Eemplo Puto Fo g - g - - F - [ ] [ - - ] G Eemplo Puto Fo ot - g - G - - g dg /d d'sqrt-^' ' dg /d -/-^^/ dg /d d'sqrt^' ' dg /d /^^/ dg /d d'sqrt-^''' dg /d -/-^^/ dg /d d'sqrt-^' ' dg /d Alzdo e - dg /d dg /d R e [-] dg /d dg /d < e [-77] dg /d d'sqrt^-''' dg /d /^-^/ dg /d d'sqrt^-' ' dg /d Alzdo e - dg /d dg /d R e [-] dg /d dg /d > e [--] [] o overge dg /d d'sqrt-^' ' dg /d Alzdo e - dg /d dg /d R ó > dg /d d'sqrt^' ' dg /d Alzdo e - dg /d dg /d < o overge Últm tulzó: 7//6

4 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Eemplo Puto Fo Eemplo Puto Fo ot g g dg /dd'^^/''' dg /d / á pr dg /d / Pr 7 G D pr todo D etoes G tee por lo meos u puto o e D >> ezplot'^-^'[-] >> ezplot'^-'[-] dg /dd'^^/''' dg /d / dg /dd'^/''' dg /d /^/ ^/ dg /dd'^/''' dg /d / dg /d / dg /d ^/ dg /d / g K 9 overge >> [] >> [^^/ ^/] 6 >> [^^/ ^/] >> [^^/ ^/] Sstem de euoes o leles Co Newto / >> [^^/ ^/] >> [^^/ ^/] >> [^^/ ^/] >> [^^/ ^/] >> [^^/ ^/] >> [^^/ ^/] >> [^^/ ^/] Pr u sstem de euoes o leles F F [ ] [ ] J - F F Co J F Como hllr e tl el oo toolo smol sms vr vr Jo [][vrvr]: JF Últm tulzó: 7//6

5 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Últm tulzó: 7//6 Eemplo Newto [] J J - F F sms JJo [ ^^- ^-^- ][] V overgedo Eemplo Newto J J sms >>F[^-^;^-] F ^-^ ^- >> [;] >> N-oF\F % o N-F/oF o F vetor l N --^7--^^-^/-^-^-- -/-^-6-9^^^-^/-^-^-- >> susn[;][;] >> susn[;] >> susn[;] Eemplo Newto Empledo tl - J Z Z Z étodo Newto smpldo Eemplo J - F F - J - F F J F - F S Z - J F Z F o Z < ε Se evt vertr el Joo e d teró

6 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 6/ Dultdes e l soluó de sstems de euoes o leles No es ál eotrr ueos vlores les Cooer el prolem No es posle grr superes multdmesoles > Reduó de euoes Prtó del sstem de euoes F Soluó umér de sstems de euoes leles U sstem de euoes o oeetes reles e ls -ógts de l orm: S K K K K F K o osttes R se de sstem lel K R etoes es u soluó rel del sstem U sstem de -euoes leles puede esrrse e l orm: K K o K ó e l orm mtrl equvlete A o: A R L L L A es l mtrz de oeetes del sstem el vetor olum es el vetor de ógts es el vetor de térmos depedetes Sstems o soluó ú Cosderremos úmete sstems de euoes leles A o A R que teg soluó ú pr d vetor R es der o A vertle A - tl trodue u otó prtulr mplemetdo los operdores \ / L soluó u sstem es epresd omo: A\ o vetor olum equvlete va ó /A o vetor l equvlete va Emple elmó Guss Últm tulzó: 7//6

7 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 7/ Sstems s soluó ú S det o mpl que l mtrz sgulr puede depeder de los oeetes de l mtrz Se ul el determte mtrz sgulr o versle E tl: deta s /A Wrg: tr s sgulr to worg preso étodos dretos Los métodos dretos os proporo u soluó del sstem e u úmero to de psos S usmos rtmét t pr los álulos otedremos por lo geerl u soluó promd dedo úmete los errores de redodeo puesto que o h errores de trumeto o de órmul Los métodos dretos más usdos tee omo se l elmó de Guss Susttuó S l mtrz A es trgulr superor o eror o tods sus ompoetes sore l dgol prpl o-uls K K O L Este método se deom susttuó reversv regresv o h trás Apro operoes Como se puede desper de l últm euó oteemos: m m m m m mm S A es trgulr eror se despe de l prmer euó E este so se deom susttuó progresv o h delte Trsormoes elemetles trz mpld [ A ] L Operoes que produe sstems equvletes: termo: E el orde de ls euoes ls o lter el resultdo E el orde de ls vrles olums lter el orde de ls vrles e el resultdo Esldo: Produto de l euó por ostte o ul Susttuó: Sum de l euó más múltplo de otr euó: E r E r E q L L Últm tulzó: 7//6

8 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Elmó de Guss S l mtrz A o es trgulr puede overtrse medte el método de elmó Guss El sstem A tee l orm: E : E : E : E : E E E E : : : : O O K K L K K L Se elm el oeete de e d u de ls euoes E E E pr oteer u sstem equvlete A relzdo ls trsormoes elemetles E E E Pvoteo Luego se elm el oeete de e ls euoes E E Y sí suesvmete hst elmr el oeete de - E geerl: multpldor E E E pvote S lgú se dee termr ls s el termo de ls dsmue el error Eemplo E: 7 7 Operoes promds:/ / - /6 E: - 6 E: - 6 E 7 7 E 6 E 6 trz mpld [A ] E E E E E E Eemplo ot: E ' E ' E ' E ' 7 E ' E ' Pvote E 7 6 E E / E E E 7 E 6 E E / E E 7 6 / E termo de ls E ' E ' / E ' El oeete de es el pvote los multpldores Pvote ultpldor L ultpldores Ftorzó LU U 7 L otee los multpldores utlzdos e l elmó U l mtrz l de oeetes P desre ls permutoes LU PA Sedo u uevo térmo depedete A PA P LU P U L - P L P Pvotes 6 P Los psos segur so: Pso Clulr P Pso Resolver e L P por susttuó progresv Pso Resolver e U por susttuó regresv Últm tulzó: 7//6

9 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 9/ er Eemplo E 7 E 6 E L 7 6 Eemplo LU do Eemplo o térmos depedetes mdos U 9 { { 6 P { 7 U L E 7 E 6 E 7 6 P 9 6 LP U / 9 6 / 7 / 6 Csos prtulres S A es u mtrz trdgol EDD por ls podemos usr elmó Guss smple pr resolver el sstem O resolverlo prtr de l torzó dret A LU d d A O O L L L L L α d L α L γ L α L γ α d O γ O O O O O O L U α d γ O O O O O O O O O O d L γ O α L d L L γ L L α S A es u mtrz rel smétr ded postv pvotes postvos etoes A tee u ú torzó de l orm A LL T Est torzó se ooe omo torzó de Choles A Otrs poslddes prtr del método de elmó de Guss Elmó de Jord: Se geer u mtrz dgol pr elmr l susttuó Se elm elemetos rr o del pvote versó de mtres: A prtr de [A ] o mtrz detdd pldo Jord esldo se otee [ ] o vers de A Determte: A prtr de l mtrz trguld deta- r Π o r ro termos de ls Ftorzó LU: Permte reservr los prámetros de l elmó de Guss pr ser pldos e l resoluó de sstems o gul mtrz A Fuoes ATLA [LUP] LUA Dode A puede ser u mtrz retgulr L es l mtrz trgulr eror de LU o elemetos e l dgol U es l mtrz trgulr superor de LU P es l mtrz de permutoes tl que PA LU U\L\ R CHOL Ftorzó Choles AR R R\R \ Últm tulzó: 7//6

10 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / tres rls Ls mtres sods o los sstems de euoes leles se ls e dess rls sprse Ls mtres dess tee poos elemetos ulos su orde es reltvmete pequeño Pr resolver sstems o mtres dess puede ser utlzdos los métodos dretos Ls mtres rls tee poos elemetos o ulos surge por eemplo l resolver euoes dereles por métodos de deres ts; su orde puede ser mu grde Pr resolver sstems o mtres rls so reomeddos los métodos tertvos tl de todos modos posee uoes pr trr o mtres rls osderds u tpo de dto prtulrmete pr resolver sstems de euoes o métodos dretos lu hol Codometo del Sstem -/ -// -/ - S soluó soluoes -/ -/ -/ Soluó ú e ododo l ododo Codometo del sstem S es soluó et de u sstem lel A A vertle ~ es u soluó promd de dho sstem e ~ - es el vetor error de desoodo R A ~ es el vetor error resdul mde hst dóde l soluó promd ~ stse el sstem S R ~ e ~ tl que A ~ R ~ es soluó de u perturó del sstem A S R "pequeño" e tmé "pequeño? Eemplos: [;] Sstems ml ododos Perturdo e pro % u oeete ~ Cmo reltvo de pro el %e l soluó e ~ 66 ~ e U perturó de pro % e el térmo depedete muestr u mo reltvo promdo de 66% e el vlor de Últm tulzó: 7//6

11 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Sstems e ododos Eemplos: 6 Perturdo e pro % u oeete 6 % 76 Cmo reltvo de pro el % e l soluó e % R 7 ~ 6-6 R A e m 7 7 m -6 6 Eemplos ot: Error resdul ~ R A e R m m ~ R A e R m m El error e l soluó es grde el error resdul es pequeño R e Se puede pror que: pequeño pequeño s se stse l odó A A Número de Codó El úmero resultte de A A - se llm Número de Codó CodA de l mtrz o-sgulr A reltvo u orm mtrl Cod A ulquer se l orm mtrl dud AA A A m S Cod A A está e odod el sstem A está e ododo S Cod A >> A está ml odod es posle que A teg u ml omportmeto e el setdo que u error resdul reltvo pequeño puede orrespoder u soluó promd ml el sstem A está ml ododo m od >> Reló resduo Error soluó R e L reló etre es: R e R od A od A % % 6 7 % % % 6 % Últm tulzó: 7//6

12 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Cot del error reltvo Ddo u sstem A s δa δ deot perturoes e A respetvmete se puede estleer u ot pr el error reltvo e térmos de ls perturoes reltvs l odó de A S es l soluó et de A ~ es l soluó et del sstem perturdo AδA ~ δ S A es o-sgulr δa < lo que segur que A δa A es vertle que od A δa % Cod A δ δ A > A δ A A Cod A A δ A δ A > A A δ % δ A od A od A étodos dretos E los métodos tertvos o dretos se prte de u promó l l soluó del sstem ddo se geer prtr de dh promó u suesó de vetores { } que deerí overger l soluó del sstem Además de los errores de redodeo s se us rtmét t hrá errores de trumeto o de órmul Los métodos tertvos más smples oodos está sdos e teroes de Puto Fo étodo Jo Ddo u sstem A dode A o-sgulr se puede trsormr e u sstem equvlete pr lgu mtrz J mtrz de teró de Jo lgú vetor K G K K K K K Coeetes de J o Coeetes de R A Fórmul de teró del etodo Jo < ε < ε < ε Se ostrue etoes l suesó de vetores { } prtr de l órmul de teró G C se esper que "over" l ú soluó del sstem Crteros de promó Cots pr error de trumeto o < Últm tulzó: 7//6

13 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Coverge étodo Jo < s A es EDD el método Jo overge u ú soluó U mtrz es Estrtmete Dgolmete Domte s S o se puede segurr l overge se dee estudr el rdo espetrl ρ det-λ euó rteríst de ρ mríes de l e Crteríst s ρ el método dverge s ρ < el método overge depede de l reuó de ls ls > Eemplo método Jo No es EDD { { J > Rdo espetrl ρ J de l mtrz de teró J r_espe mseg ó El método Jo o overge Verr termdo ls r_espe msrootspol λ λ detj - λ λ λ λ λ 9 λ 9 λ ρ G m > { } Jo-termdo ls { { J No es EDD J / > o se puede segurr l overge por lo tto deemos eotrr el rdo espetrl ρ J L euó rteríst es λ λ 9 9 λ 696 us ríes so ρ J λ 7667 λ 7667 { } {69699 } 696 < Jo Soluó l e De uerdo l álss de overge el método tertvo de Jo overge u ú soluó ulquer se l promó l terdo o el método de Jo tomdo omo promó l [] usdo omo rtero de promó - < Oteemos: [- ] [ ] [ ] 6 [ ] Como 6 es el prmer etero postvo pr el ul - < 6 es soluó l prolem Últm tulzó: 7//6

14 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Últm tulzó: 7//6 Fórmul vetorl de teró del etodo Jo L mtrz A puede desompoerse omo: A D LU Dode D es l mtrz dgol de A dgdga L es l mtrz trgulr estrtmete eror de A trla- U es l mtrz trgulr estrtmete superor de A trua Etoes: A D L U D LU D -L U -D - L U D - -D - L U - D - [ ] [ -dg/dgatrla-trua dg/dga ] [-dg/dgatrla-truadg/dga ] Co vetores olum étodo Guss-Sedel U meor del lgortmo de Jo es oteer utlzdo ls - lulds que so meores promoes l soluó et E geerl pr er teró: E geerl: A prtr de u vlor l [ - ] El álss de overge ode o Jo uque suele overger más rápdo L mtrz J o es l msm que GS Eemplo método Guss-Sedel G > Etoes el método dverge E este so omo l mtrz G es trgulr los utovlores so los elemetos de l dgol 9 9 m G > ρ { { 9 G 9 GS-termdo ls Como G > o podemos segurr l overge Pero ρ G {//9} < etoes el método de Guss-Sedel overge l ú soluó del sstem ddo ulquer se l promó l [ ] es soluó l prolem { { G

15 étodos Numéros Cp : Soluó de Sstems de Euoes leles o leles / Fórmul vetorl de teró del etodo Guss-Sedel étodos tertvos Vets Desvets D L -U - D L - -U - D L - o [ ] [trla^--trua trla^- ] [trla^--truatrla^- ] ás eetes que los dretos pr sstems de orde mu lto ás smples de progrmr Puede eotrrse promoes l soluó So meos sesles los errores de redodeo mportte e sst ml ododos S se tee vros sstems que omprte l msm mtrz de oeetes por d uo h que plr el método Auque l overge esté segurd puede ser let E Guss o es predele No se otee deta A - Últm tulzó: 7//6