Estimación de observaciones faltantes mediante la media aritmética y su efecto en el análisis de componentes principales

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULAD DE CIENCIAS MAEMÁICAS EAP DE ESADÍSICA Estmacó de obseacoes faltates medate la meda atmétca y su efecto e el aálss de compoetes pcpales ESIS Paa opta el ítulo Pofesoal de Lcecada e Estadístca AUOR Eduges Cleofé de los Ríos ello ASESOR Dos Gómez ceá Lma - Peú

2 A Dos po la fotaleza Que me da y al amo Icodcoal de ms pades: Vícto Alejado De los Ríos Cádeas Elea ello Adía; hos Vícto y Aa; íos: Goco y Segudo UNMSM FCM ESADÍSICA

3 AGRADECIMIENO El pesete tabajo de tess tee po objeto peseta las demostacoes del uso de la meda atmétca, de los datos obseados, paa estma obseacoes faltates de la muesta; luego ealua el efecto de dcha maea de estma las obseacoes faltates e el Aálss de Compoetes Pcpales La elaboacó de este tabajo ecestó de la coopeacó de alguas pesoas, po lo que queo epesales m agadecmeto, pues me ayudao de maea desteesada y muchas de ellas ha sdo u sopote cotudete paa mí hasta el día de hoy A ms pades y hemaos, poque gacas a sus esfuezos he poddo tema ms estudos y cosguetemete esta tess A m asesoa la Da Dos Gómez ceá, po motame y guame e este poyecto, po su paceca, cosejos y eseñazas Al Magste eodoo Sulca Paedes, po habeme bdado la matemátca que pemtó culma el pesete tabajo oetacó A los pofesoes de la Escuela Académco Pofesoal de Estadístca, po se los atífces de m fomacó académco-pofesoal A ms amgos, po compat gades mometos e la da uestaa y a todas las pesoas que me apoyao paa llea a cabo este poyecto UNMSM FCM ESADÍSICA

4 ESIMACIÓN DE OBSERVACIONES FALANES MEDIANE LA MEDIA ARIMEICA Y SU EFECO EN EL ANALISIS DE COMPONENESVPRINCIPALES EDUVIGES CLEOFÉ DE LOS RIOS ELLO ess pesetada a cosdeacó del Cuepo Docete de la Facultad de Cecas Matemátcas, de la Uesdad Nacoal Mayo de Sa Macos, como pate de los equstos paa opta el ítulo Pofesoal de Lcecada e Estadístca Apobada po: MgOlga Lda Solao Dála Pesdeta MgYsabel Adazola Cuz Membo Da Dos Gómez ceá Membo - Aseso Lma Peú UNMSM FCM ESADÍSICA

5 FICHA CAALOGRÁFICA DE LOS RIOS ELLO EDUVIGES CLEOFÉ Estmacó De Obseacoes Faltates Medate La Meda Atmétca y su efecto e el Aálss de Compoetes Pcpales p, cm UNMSM, Lcecada e Estadístca, ess, Uesdad Nacoal Mayo de Sa Macos, Facultad de Cecas Matemátcas Estadístca I UNMSM / F de CM II Estmacó de Obseacoes Faltates medate la meda y su efecto e el aálss de compoetes pcpales UNMSM FCM ESADÍSICA

6 Eduges Cleofé De Los Ríos ello RESUMEN Se demuesta que la estmacó de los datos faltates medate la meda atmétca de los datos coocdos, o tee efecto y/o modfcacó e el alo de la meda atmétca de todos los datos, cludos los datos faltates peamete estmados po la meda atmétca de los datos coocdos y sus cosecuecas e el aálss de compoetes Pcpales Se demuesta que las compoetes pcpales usado la matz de coaazas y coelacoes o ha sdo alteados especto a su alo ogal co todos los datos coocdos y co datos faltates estmados medate las medas El softae que se utlzó paa el aálss de datos fue el R Palabas Claes: Estmadoes putuales Meda Vaaza Compoetes Pcpales Datos faltates UNMSM FCM ESADÍSICA

7 Eduges Cleofé De Los Ríos ello SUMMARY We sho that the estmato of mssg data by the athmetc aeage of the ko data, has o effect ad / o chage the alue of the athmetc mea of all data, cludg peously mssg data estmated by the athmetc mea of the data ko ad ts mpact o the Aalyss compoet Pcpal We sho that the majo compoets usg the coaace ad coelato mat ae ot alteed compaed to ts ogal alue th all the ko facts ad th mssg data estmated by the aeages he softae used fo data aalyss as the R Key Wods: Pot EstmatosMeaVaacePcpal CompoetData mssg UNMSM FCM ESADÍSICA

8 ÍNDICE INRODUCCIÓN CAPÍULO I OBSERVACIONES FALANES EN EL CONEO UNIVARIANE 5 Itoduccó 5 Objeto Geeal 6 Atecedetes del Poblema 6 4 Estmacó de paámetos poblacoales uaates 8 4 Aspectos Geeales 8 4 Resultados Impotates 5 Estmacó Paámetos Poblacoales BIaates 7 CAPÍULO II OBSERVACIONES FALANES EN EL CONEO MULIVARIANE Aspectos Geeales Estmacoes co Datos faltates 5 CAPÍULO III EFECO EN LA ESIMACIÓN EN El ANÁLISIS DE COMPONENES PRINCIPALES 4 Itoduccó 4 Aspectos Geeales 44 Resultados Impotates 44 CAPÍULO IV APLICACIONES 74 4 Aspectos Geeales 74 4 Aálss de Compoetes Pcpales co aables 75 4 Aálss de Compoetes Pcpales co 4 aables 8 44 Aálss de Compoetes Pcpales co 5 aables Aálss de Compoetes Pcpales co 6 aables 9 CONCLUSIONES REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 4 ANEO 6 UNMSM FCM ESADÍSICA

9 Eduges Cleofé De Los Ríos ello INRODUCCIÓN E las ecuestas de hogaes la falta de espuesta de las pesoas ecuestadas se asoca a desas causas: A la fatga del fomate, al descoocmeto de la fomacó solctada, al echazo de las pesoas a foma aceca de temas sesbles, a la egata de los hogaes a patcpa e la estgacó, así como a poblemas asocados a la caldad del maco de muesteo A pesa de que u cuestoao sea cosdeado coecto, la ealdad dca que fecuetemete los achos cotee obseacoes abeates o poco pobables, y este stuacoes e que debdo a los objetos de la estgacó, delbeadamete se omte fomacó de pesoas que o foma pate de la poblacó de estudo Po ejemplo, e ua ecuesta de demogafía y salud, la fecuddad tadcoalmete se estuda e las mujees de 4 años y más, y po defcó, e la base de datos está egstos s fomacó paa las pesoas que o foma pate de la poblacó objeto La mayoía de los casos se le asga u códgo Que comúmete se asoca co ua fomacó faltate Los datos faltates foma pate de u cojuto de obseacoes co caacteístcas especales que cluye a los datos agupados, agegados, edodeados, cesuados o tucados; es dec, a datos co fomacó especal Hetja y Rub, 99 E los últmos ce años ha sdo eome el desaollo de métodos estadístcos paa estma datos completos El algotmo EM y sus etesoes, la mputacó y el método de Mote Calo popocoa u cojuto de heametas flebles y cofables paa hace feeca e ua ga catdad de poblemas de datos faltates S embago, e témos páctcos, estos desaollos ha tedo pequeño mpacto e la foma de aalza datos, e peseca de aloes peddos u obseacoes faltates Schafe, 999 Este aos tpos de obseacoes faltates Madele; UNMSM FCM ESADÍSICA

10 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Faltates completamete al aza Mssg Completely at Radom MCAR, se efee a los datos, cuado el poceso de pédda o depede de las otas aables eplcatas e el cojuto de datos Co MCAR, cualque obseacó tee la msma pobabldad de pedese, esto sgfca que los datos se ecolecta al aza, y o depede de gua ota aable e el cojuto de datos Ejemplo, las obseacoes que puede pedese poque el equpo o fucoaba coectamete, la gete se efemó o los datos o se captuao coectamete Faltates al aza Mssg at Radom, MAR MAR sgfca que las obseacoes faltates está codcoadas po otas aables eplcatas e el cojuto de datos, auque o co la aable espuestaschafe, 999 Po ejemplo, las pesoas que sufe depesó podía esta meos cladas a epota sus gesos ecoómcos, po lo que epotalos se elacoa co su depesó Las pesoas depmdas puede tee gesos más bajos y, po lo tato, ua alta tasa de obseacoes peddas, el geso medo calculado podía se meo de lo que es e u gupo s obseacoes peddas Faltates o al aza Mssg ot at adom, MNARS los datos o so MAR o MCAR etoces se deoma MNAR Po ejemplo, s se está estudado la salud metal de pesoas dagostcadas como depmdas y éstas so meos popesas que otas a foma sobe su estado metal, o hay ua pédda de obseacoes al aza Lo msmo sucede cuado las pesoas co bajos gesos so meos popesas a epota sus gesos Co especto a los métodos de estmacó de obseacoes faltates, las fomas mas geeales de abodalas so: Supesó o aálss de los casos completos Cuado el úmeo de casos co obseacoes peddas es pequeño meosdel 5% e muestas gades es comú supm esos casos, y ejecuta el aálss co las obseacoes que queda Auque este método puede esulta e ua dsmucó del tamaño de la muesta, es uo de lo más utlzados Susttucó po la meda U atguo pocedmeto es susttu las obseacoes peddas po la meda de las obseacoes dspobles No añade gua fomacó uea y la meda de todas las obseacoes cludas las obseacoes peddas es la msma E el pesete tabajo se ealzaá la compobacó UNMSM FCM ESADÍSICA

11 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Imputacó múltple Múltple Imputato, MI E MI se geea aloes mputados sobe la base de los datos estetes E luga de usa u solo alo paa cada obseacó pedda mputato smple o seclla, el pocedmeto IM eemplaza cada obseacó pedda po u cojuto de aloes plausbles que epeseta la cetdumbe sobe el alo apopado a mputa Cuado hay obseacoes peddas, el softae estadístco SPSS, automátcamete utlza el método de supesó o el de datos completos, dode dchos datos faltates se puede substtu po el método de la meda El softae R també elma automátcamete, las obseacoes peddas, y també se puede susttu dchas obseacoes faltates po la meda Los que pomuee el uso de la mputacó múltple como el método más adecuado paa epoe fomacó omtda Rub, 987, afma que los pocedmetos de MI geea bueos esultados, au co pocetaje de omsó del,4 o 5 % No obstate, es pecso señala que cuado se tabaja co ua ecuesta pobablístca, el tamaño de muesta gaatza ceta pecsó paa ua tasa máma de o espuesta, y e la medda de que la omsó supea el umbal establecdo se poe e esgo la cofabldad estadístca de las aables pcpales Po tato se ecomeda mputa datos e stuacoes e que la omsó e ua o más aables alcace pocetajes supeoes al % E el coteto descto, el objeto pcpal de esta tess es peseta las demostacoes de estma las obseacoes faltates medate la meda atmétca y detema su efecto e el aálss de compoetes pcpales Paa alcaza el objeto plateado, el pesete tabajo se ha dddo e cuato capítulos: E el pme capítulo se peseta aspectos mpotates sobe las obseacoes faltates e el coteto uaate y la estmacó de paámetos poblacoales uaates E el segudo capítulo se peseta aspectos mpotates sobe las obseacoes faltates e el coteto multaate y la estmacó de los paámetos multaates E el tece capítulo, se peseta el efecto de la estmacó de obseacoes faltates e el aálss de compoetes pcpales UNMSM FCM ESADÍSICA

12 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Falmete e el cuato capítulo, se alda los esultados de ealza el aálss de compoetes pcpales co obseacoes faltates, las que ha sdo estmadas medate la meda atmétca de las obseacoes coocdas de la especta aable, paa lo cual se utlzó el softae R UNMSM FCM ESADÍSICA 4

13 Eduges Cleofé De Los Ríos ello CAPÍULO I MARCO EÓRICO OBSERVACIONES FALANES EN EL CONEO UNIVARIANE INRODUCCION Los datos ausetes o faltates so algo habtual e el aálss, la ecesdad de cetase e las azoes de la auseca de datos se despede del hecho de que el estgado debe etede el poceso pcpal de la auseca de datos Cuado los pocesos de auseca de los datos so descoocdos, el estgado teta detfca cualque pató e los datos faltates o ausetes que caactezaa dcho poceso Los datos logtudales e los que cada sujeto o udad epemetal se mde u obsea e ocasoes múltples es pobable que posea muchos datos peddos, debdo a que los sujetos o completa el estudo o sale ates de que el msmo falce Se platea cuestoes tales como: está los datos faltates dstbudos aleatoamete ete las obseacoes o se puede detfca dsttas pautas?, E qué medda so eleates?, se asume que está opeado algú poceso de auseca de datos y que alguos de los esultados estadístcos basados e esos datos podía esta sesgados e la medda e que las aables cludas e el aálss está cludas po el poceso de pédda de datos El mpacto de los datos ausetes o faltates es pejudcal o solo po sus potecales sesgos so també po su efecto e el tamaño de la muesta dspoble paa el aálss Cuado u cojuto de datos peseta péddas pacales e alguas aables y se desea estma el ecto de medas y la matz de coaacas poblacoal, u pocedmeto habtual cosste e eclu las obseacoes co datos faltates, e cada ua de las aables estgadas odos los métodos geeales de estmacó de paámetos asume que o este datos faltates e la muesta Cuado este obseacoes peddas e la muesta, UNMSM FCM ESADÍSICA 5

14 Eduges Cleofé De Los Ríos ello la solucó más smple es elma aquellos dduos co obseacoes completas y estg el estudo a los dduos que peseta obseacoes completas paa todas las aables Ua cosecueca de este método es la educcó de dduos e la muesta especto a la muesta plafcada, lo que poduce mayoes sesgos e las estmacoes y mayo aaza muestal Po oto lado, la mayoía de los estudos elacoados co los métodos de mputacó se ceta e el uso de la meda y su aaza y este basado e dseños muéstales smples tales como el muesteo aleatoo smple E el tabajo se haá la justfcacó matemátca del uso de la meda atmétca e la estmacó de obseacoes faltates o péddas y sus mplcacas e la aaza, las coelacoes ete aables y e el aálss de compoetes pcpales OBJEIVO GENERAL Demosta que la estmacó de los datos faltates medate la meda atmétca de los datos coocdos, o tee efecto y/o modfcacó e el alo de la meda atmétca de todos los datos, cludos los datos faltates peamete estmados po la meda atmétca de los datos coocdos y sus cosecuecas e el aálss de compoetes Pcpales ANECEDENES DEL PROBLEMA Segú Jua A Heádez Cabea y Gustao Ramíez Sataa 997, E las estgacoes del campo aplcado co téccas multaadas es muy fecuete ecota matces de datos co aloes peddos Las estategas más comúmete utlzadas paa ecoduc este poblema, utlza los métodos lstse, pase y los de estmacó de máma eosmltud E este atculo se demuesta medate las téccas de smulacó de Mote Calo e el ámbto de los modelos estuctuales, que depedetemete del pató de mssg smulado mssg completamete aleatoo, mootóco o codcoal la estmacó medate el algotmo de máma eosmltud EM aoja los mejoes esultados, e cuato a la pecsó de la estmacó de los paámetos de los modelos, dsmucó de los eoes típcos, y la posbldad de ecota solucoes adecuadas y coegetes e aquellos patoes de mssg dode las estategas MCAR lstse y pase so mposbles de utlza A la luz da claamete mayo efcaca la estmacó de máma eosmltud de las matces de aazas y coaazas utlzadas e todos las téccas estadístcas multaadas, la coclusó de esta estgacó ecae e el hecho de ecomeda la utlzacó de esta técca paa estma la matz de mometos sempe que el estgado se ecuete ate matces de datos co aloes peddos depedetemete de que el pató sea MCAR o MAR UNMSM FCM ESADÍSICA 6

15 Eduges Cleofé De Los Ríos ello al ecomedacó se susteta e el hecho de que auque la estatega lstse es sufcetemete efcete e lo que a la estmacó de los paámetos se efee, e patoes mssg completamete aleatoos y mootócos, o lo es tato e el estadístco de ajuste y e los eoes típcos que so claamete más eleados que los de la muesta s mssg, lo que coducá fecuetemete a la elmacó de paámetos apaetemete o sgfcatos del modelo estgado Po ota pate, el úmeo de solucoes coegetes y adecuadas co esta estatega es claamete meo al cosegudo co la estmacó mámo eosíml ML Cuado el pató de mssg es MAR o el úmeo de casos peddos es muy eleado, puede poducse u sesgo e la estmacó de los paámetos ya que la matz muestal lstse o es ua muesta aleatoa de la matz de datos s mssg, o la mposbldad de estma el modelo dado que la matz lstse cotee muy pocos casos al y como hemos poddo compoba, e todas las ocasoes la estmacó de máma eosmltud fue claamete supeo a la ealzada a pat de la matz lstse, y esta estatega fue mposble de utlza cuado el pató de mssg ea codcoal Hay que dca, s embago, que la estmacó ML e este pató, auque etosa e las 5 muestas utlzadas, equó de u úmeo muy eleado de teacoes apomadamete, dado que se utlzó como matz de comezo paa tea ua matz detdad de ode pp E el caso de que se eceste dspoe de los aloes peddos, y o solamete del ecto de medas y de la matz de aazas y coaazas, puede ealzase la tple mputacó de los datos peddos, ua ez estmadas las matces de mometos ateoes po ML, ealzado posteomete la podeacó de los casos po / paa pode llea acabo de esta foma los aálss multaados cláscos co omaldad Segú Meda y Galá 7, u atículo publcado po la CEPAL Se suele cosdea apomacoes paa lda co datos peddos Lttle & Rubí, Elma la fomacó: e este caso se omte el egsto de todo el aálss, co el cosguete pejuco de que podía habe dfeecas sstemátcas ete usa o o la muesta completa, poduc sesgos e cemetos e la dspesó Cabe destaca que s la udad de aálss es el país, elma el egsto sgfcaía elma el país, lo que podía llega a se aceptable Alteatamete se puede elma la aable del aálss E este caso como egla empíca, se puede cosdea que s ua aable posee meos del 5% de datos peddos especto a todo el cojuto, o coee elmala Hace ua mputacó smple de los datos, po ejemplo, a taés del uso de pomedos, medaas, modas, o medate egesoes co la fomacó dspoble Imputacó múltple: e este caso se ecue a téccas más sofstcadas como los algotmos de Mote Calo ía el uso de cadeas de Mako UNMSM FCM ESADÍSICA 7

16 Eduges Cleofé De Los Ríos ello La pcpal etaja de asga datos peddos es que co ello se educe los sesgos y se ealza el aálss sobe la base de ua ceta complettud e el cojuto de fomacó No obstate, la Iceteza que deee de mputa datos debe queda eflejada e la aaza de las estmacoes La Asgacó smple de datos peddos puede da luga la subestmacó de la aaza Al ealza mputacó smple a los datos, sguedo a Lttle y Rubí, la asgacó debe ealzase a pat de ua dstbucó de pobabldades estmada a pat de la fomacó dspoble Segú Schafe 999 e los últmos años se ha desaollado ua see de métodos estadístcos paa el aálss de datos completosel algotmo EM y sus etesoes, mputacoes multples y el método de motecalo e cadeas de mako, popocoa u cojuto de métodos flebles de feeca estadístca e poblemas co datos peddos 4 ESIMACIÓN DE PARAMEROS POBLACIONALES UNIVARIANES 4 Aspectos geeales Se cosdea el caso de ua úca aable aleatoa,, dode el teés es la estmacó de los paámetos de locacó y de dspesó,,,, e la que ua o más obseacoes esulta faltates S pédda de geealdad E ese coteto, se toma ua muesta aleatoa de tamaño, amos a cosdea que la obseacó que ocupa la poscó + ésma, es la obseacó faltate Es dec, las obseacoes,, so coocdas metas que la ésma es la obseacó faltate Sea las sguetes defcoes: Defcó La meda muestal de la aable aleatoa,, co obseacoes coocdas, se defe como: UNMSM FCM ESADÍSICA 8

17 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Defcó Vaaza muestal sesgada co las obseacoes coocdas, como: s S se defe Defcó Vaaza muestal sesgada co las obseacoes coocdas, como: V se defe V Defcó 4 Estímese la + ésma obseacó faltate, medate la meda atmétca de las obseacoes coocdas Es dec, Coolao De la ecuacó se despede que el cuadado de la obseacó pedda es gual al cuadado de la meda de las obseacoes coocdas, Defcó 5 Meda muestal de la aable co obseacoes, dode la la obseacó pedda o faltate, ;se defe como: ésma es UNMSM FCM ESADÍSICA 9

18 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Defcó 6 Vaaza muestal sesgada co obseacoes dode la ésma es la obseacó pédda o faltate s : Se defe como s Defcó 7 Vaaza muestal sesgada co obseacoes dode la ésma es la obseacó pedda o faltate, V,se defe como: V Coolao Paa ua uea aable aleatoa y co y, y obseacoes dode la ésma es la obseacó pedda, dode y y es la meda muestal co las obseacoes coocdas, po lo que, la ésma obseacó, y, es la meda muestal de las obseacoes coocdas y y y UNMSM FCM ESADÍSICA

19 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Defcó 8 La coaaza muestal de las aables obseacoes coocdas: e Y paa muestas de tamaño, co todas las s Y y y Defcó 9 La coaaza muestal de las aables e Y paa muestas de tamaño +, dode las obseacoes peddas, ubcadas e cada caso e cualque poscó, s pédda de geealdad, ha sdo estmadas medate las espectas medas de la muesta paa cada ua de las aables sepaadamete Es dec, Etoces, y y s Y y y Defcó El coefcete de coelacó muestal ete las aables paa muestas de tamaño,, se defe como: e Y, s s Y s Y y y y y 4 Defcó El coefcete de coelacó muestal ete las aables obseacoes,, cotededo las obseacoes peddas es : e Y co s s Y s Y 4 Resultados mpotates eoema Obtecó de la meda muestal co datos faltates Sea,,,, ua muesta aleatoa de tamaño, dode obseacoes,,,,, so coocdas co meda atmétca UNMSM FCM ESADÍSICA

20 y la ésma es la obseacó pedda Etoces, s Eduges Cleofé De Los Ríos ello, la meda muestal de todas las obseacoes cluda la obseacó pedda, es gual a la meda de las obseacoes coocdas Es dec : 5 Demostacó: La meda muestal paa la obseacó pedda + ésma se obtee de la sguete maea: Es dec eoema - Sea,,,, ua muesta aleatoa de tamaño +, dode obseacoes,,,,, so coocdas co meda atmétca y la ésma es la obseacó pedda UNMSM FCM ESADÍSICA

21 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA S, etoces 6 Demostacó: - - -

22 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Etoces,, y,, y, y Po el Coolao Paa la muesta ua muesta de tamaño, y y y y y y y y eoema Obtecó de la aaza muestal sesgada co datos faltates Sea,,,, ua muesta aleatoa de tamaño, dode obseacoes,,,,, so coocdas co meda atmétca y la ésma es la obseacó pedda Etoces, S S, es la aaza muestal sesgada 7 Sea Demostacó: s Segú defcó 6, desaollado el umeado y eemplazado el esultado de la ecuacó UNMSM FCM ESADÍSICA 4

23 Eduges Cleofé De Los Ríos ello s s S S Se ha pobado que la aaza muestal sesgada co el dato faltate, es gual a la aaza muestal sesgada co obseacoes multplcada po el facto es dec s s eoema 4 Obtecó de la aaza muestal sesgada co datos faltates Sea,,,, ua muesta aleatoa de tamaño, dode obseacoes,,,,, so coocdas co meda atmétca y la ésma es la obseacó pedda, etoces, la aaza muestal sesgada co el dato faltate es V V 8 UNMSM FCM ESADÍSICA 5

24 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Demostacó: Sea V Desaollado V V Etoces V V Es dec la aaza muestal sesgada co el dato faltate es gual a la aaza muestal sesgada paa las obseacoes multplcado po el facto Coolao ua muesta aleatoa de tamaño, dode,,,, Sea obseacoes,,,,, so coocdas co meda atmétca UNMSM FCM ESADÍSICA 6

25 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 7 y la + ésma es la obseacó pedda Etoces, s, etoces, s V Demostacó Se tee que S V V Lo que queda demostado que S V Es dec la aaza muestal sesgada co el dato faltate es gual a la aaza muestal sesgada paa obseacoes 5 Estmacó Paámetos Poblacoales Baates E este coteto, seá el coefcete de coelacó poblacoal el paámeto poblacoal eoema 5 Obtecó del Coefcete de Coelacó leal de Peaso co datos faltates

26 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Sea Y Y el paámeto poblacoal coefcete de coelacó leal de Peaso ete las aables e Y, dode Y,, so la coaaza ete las Y dos aables y las desacoes estáda de cada ua de ellas Sea, y,, y,,, y,, y ua muesta aleatoa de tamaño +, dode s pédda de geealdad puede cosdease y,, y,,,, y las obseacoes coocdas y metas que, y es la obseacó pedda S los datos faltates, y se estma co la meda de las obseacoes coocdas e cada caso, es dec paa cada aable,, y y y etoces, el coefcete de coelacó leal muestal co, todas las obseacoes dode las obseacoes peddas se ha estmado medate el pomedo de las obseacoes coocdas,, es gual al coefcete de coelacó leal co solo las obseacoes coocdas, Es dec, dode ha sdo defda e la ecuacó 4 Demostacó: Po defcó: 9 y y y y UNMSM FCM ESADÍSICA 8

27 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 9 y y y y Desaollado el umeado se tee que: y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Co especto al deomado, po 6 se sabe que: y espectamete y y y y Luego: y y y y Se ha pobado que el coefcete de coelacó leal es aate al úmeo de obseacoes

28 Eduges Cleofé De Los Ríos ello CAPIULO II OBSERVACIONES PERDIDAS EN EL CONEO MULIVARIANE Aspectos geeales Los métodos estadístcos multaates y el aálss multaate so heametas estadístcas que estuda el compotameto de dos o más aables al msmo tempo Se geealzaá los esultados del capítulo ateo e la estmacó de obseacoes faltates al caso multaate, es dec, e la estmacó de los paámetos multaates, ecto de medas poblacoal, matz de aazas y coaazas poblacoal y matz de coelacoes poblacoal,, Sea p Es u ecto aleatoo de dmesó p co E y matz de coaazas de, dode u p u p E y P u p p p pp matz de coaazas poblacoales espectamete so el ecto de medas y la Dado que cada obseacó pedda, paa cada aable se puede estma sepaadamete usado la msma metodología descta e el capítulo ateo, co fes de estmacó de los paámetos desctos, y s pédda de geealdad, cosdéese que,,, es ua muesta aleatoa de tamaño desde p la poblacó multaate, dode cada,,,,,,p, UNMSM FCM ESADÍSICA

29 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA cotee las obseacoes coocdas y es la obseacó multaate pedda Defcó, es la matz de datos multaate p p p,, dode j es la medda de la j -ésma aable e el -ésmo dduo, p j,,,, ; Defcó : es el ecto de la meda muestal paa obseacoes o cuado el tamaño de la muesta es, co todos los datos coocdos p p p p Defcó Defase como, es la matz de datos co obseacoes, dode s pédda de geealdad, la é-sma obseacó multaate cotee datos faltates

30 Eduges Cleofé De Los Ríos ello,, p p p, p : ecto de obseacoes faltates o la ésma Defcó 4 Sea obseacó multaate co datos faltatesse defe como el ecto de medas de las obseacoes y amos a cosdea que ocupa las pmeas obseacoes coocdas Usado los esultados del capítulo dode,,,,, p :, es la obseacó pedda e la pmea aable,, : es la obseacó pedda e la j -ésma aable,,, j : es la obseacó pedda e la p-ésma aable,, p p, p : es la meda muestal de la aable co las pmeas obseacoes coocdas : es la meda muestal de la aable co las pmeas obseacoes coocdas j : es la meda muestal de la j -ésma aable co obseacoes coocdas p : es la meda muestal de la p -ésma aable co obseacoes coocdas UNMSM FCM ESADÍSICA

31 Eduges Cleofé De Los Ríos ello, : es la obseacó pedda e la j é-sma aable esulta sedo la meda de las obseacoes coocdas e la j e sma aable y as sucesamete hasta, p p : es la obseacó pedda e la p -é-sma aable esulta sedo la meda de las obseacoes coocdas e la p -é-sma aable Defcó 5 S : Matz de coaazas muestal sesgada paa la muesta co las obseacoes coocdas, dode S S s s s p s s s p sp s p s pp S p p p p p p p p p p UNMSM FCM ESADÍSICA

32 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 4 Luego s Defcó 6 V es la matz de aazas y coaazas muestal sesgada de las p aables co obseacoes coocdas pp p p p p V Dode V

33 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Estmacoes co datos faltates eoema Obtecó del Vecto de Medas co datos faltates,,, S pédda de geealdad, cosdéese que ua muesta aleatoa de tamaño desde la poblacó multaate, dode cada ',,,,,, p es la obseacó multaate pedda, cotee las obseacoes coocdas y es la matz de datos multaate paa la muesta de tamaño pédda de geealdad, cosdeese la datos faltates coocdas, s é-sma obseacó multaate co :ecto co datos faltates estmados co las medas de las obseacoes,,,,,, p,,, Etoces, el ecto de meda muestal co las + obseacoes es, p = p UNMSM FCM ESADÍSICA 5

34 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 6 Demostacó: Patedo de que p dode es la meda de la -ésma aable co + obseacoes p p p,,,

35 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Desaollado cada témo del ecto, se tee que :, p, p p p p Etoces e foma matcal se tee que p p p Luego, se ha demostado que El ecto de medas muestal o se afecta po la estmacó de obseacoes faltates medate la meda de las obseacoes coocdas Paa la obtecó tato de la matz de coaazas muestal sesgada como sesgada, co obseacoes peddas, se hace ecesao sabe qué sucede co el umeado de ambas epesoes, es dec co las sumas de cuadados coespodetes UNMSM FCM ESADÍSICA 7

36 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Defcó 8 Se defe la matz de medas dode cada obseacó, de la matz de datos coocda, ha sdo eemplazada po su especta meda Es dec, p p p Matz de ode que cotee las medas de las p aables paa muestas de tamaño co todas las obseacoes coocdas Defcó 9 La matz que cotee las sumas de cuadados y poductos cuzados co elemetos ecesaos paa la obtecó de las matces de coaazas muestales, paa las obseacoes coocdas es la sguete: p p p p p p p p p p Defcó La matz, de ode, cuyas columas so las medas de cada ua de las aables, toma la sguete foma: UNMSM FCM ESADÍSICA 8

37 Eduges Cleofé De Los Ríos ello p p p p p p eoema Obtecó de la matz de coaazas muestal sesgada co datos faltates S la ésma obseacó pedda e la j ésma aable, j se estma e la medda de las obseacoes coocdas de la msma aable, j, es dec s, j p, etoces la aable muestal sesgada co j, j obseacoes peddas, S está afectada po el facto, co especto a la matz de coaazas muestal co todas las obseacoes coocdas, S es dec: S Demostacó: S,,,,,, p po,,, p es u ecto de dmesó p,defdo, es dec: Se defe la matz de medas co " " obseacoes UNMSM FCM ESADÍSICA 9

38 Eduges Cleofé De Los Ríos ello p p p Cosdeemos la matz de sumas de cuadados y poductos cuzados co obseacoes: p p p p p p p p p p Paa las s jj j obseacoes se defe las aazas de cada aable, se tee que j j p A cotuacó estamos desaollado la pate del umeado de cada aaza, co " " obseacoes, UNMSM FCM ESADÍSICA

39 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA Paa la aable j e-sma se tee que la suma de cuadados, j j j j j j j j j j p j j j,, O sea: p j j j j j,, De la msma foma paa la coaaza de la pmea co la seguda aable, la pate del umeado se obtee de la sguete maea:,, Es dec: Paa la coaaza de la j -e-sma aable y k -é-sma aable la pate del umeado se demuesta de la sguete maea: k k j j k k j j k k j j,, k k j j k k j j

40 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA k k j j k k j j k k j j p k j,,, E foma matcal desaollado se tee,,,, p p p p p p p p p p,,,, p p p p p p p p p p

41 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Es dec se pueba que S

42 Eduges Cleofé De Los Ríos ello S eoema Obtecó de la Matz de coaazas Muestal Isesgada co datos faltates Sea V la matz de aazas y coaazas sesgada co obseacoes coocdas V está afectada po el facto co especto a la matz de coaazas muestal sesgada co todas las obseacoes coocdas de V V Demostacó Se defe V V V, es dec: Eso equale al facto multplcado po la matz de aazas y coaazas muestal sesgada co obseacoes coocdas 4 UNMSM FCM ESADÍSICA 4

43 Eduges Cleofé De Los Ríos ello eoema 4 Obtecó de la Matz de coelacoes co datos faltates Sea p p R la matz de coelacoes muestal co p p obseacoes, dode j es la coelacó ete las aable y la aable j,co "" obseacoes coocdas S defmos p R la matz de coelacoes muestal co p p obseacoes peddas que peamete ha sdo estmadas, e cada aable po su especta meda, etoces, R R dode j " obseacoes es la coelacó ete las aables y la aable j, co 5 Vamos a tabaja co cada coelacó ete dos aables UNMSM FCM ESADÍSICA 5

44 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 6 s s s 6 Esto es la coelacó muestal ete las dos pmeas aables de maea que se puede geealza al esto de paes de aables As:

45 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 7,,, p k j s s s k k j j k k j j k k j j k k j j k k j j k k j j kk jj jk jk,,, p k j s s s k k j j k k j j kk jj jk jk 7 La coelacó ete las dos pmeas aables paa las obseacoes es s s s E esta pate se quee poba que la dfeeca de cuadados ete las dos pmeas aables paa los + dduos es

46 Eduges Cleofé De Los Ríos ello,, Po oto lado se sabe que el umeado de S co dduos,, que es equalete al deomado del umeado de S co obseacoes más la suma de cuadados de la De la msma maea se despede que: é-sma obseacó pedda, equalete al umeado de S co de la + é-sma obseacó Etoces, que es obseacoes mas la suma de cuadados,,,, Como, y,, etoces eemplazado estos aloes se tee: UNMSM FCM ESADÍSICA 8

47 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 9 E esta pate se está smplfcado la epesó ateo E esta pate se dde ete dduos que detema el deomado de la pmea dsó algebaca como dduos que detema el deomado de la seguda dsó algebaca

48 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Geealzado paa detema la coelacó ete la j é-sma y k é-sma aable, se tee a cotuacó que la matz de coelacoes paa las + obseacoes, sedo el é-smo dduo el dduo peddo A cotuacó se tee que jk s s jk jj s kk j j k k j j k k j j j j j j k k, j j, k k Po oto lado se sabe que el umeado de sk co + obseacoes, sedo la + é-sma dduo peddo, dode j j j j, j j j j equalete al umeado de s jj cuadados de la + é-smo dduo peddo De la msma maea se despede que: k k k k, k k, que es co obseacoes coocdas mas la suma de, es equalete al umeado de s kk co obseacoes mas la suma de cuadados de la + é- smo dduo peddo Ahoa se sabe qué, j j j y, k k k, etoces UNMSM FCM ESADÍSICA 4

49 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 4,,,, k k k k j j j j k k j j k k j j jk Luego: E esta pate se dde ete dduos que detema tato el deomado de la pmea dsó algebaca como dduos que detema tato el deomado de la seguda dsó algebaca k k k k j j j j k k j j k k j j jk k k j j k k j j jk Reemplazado j j y k k se tee que k k j j k k j j jk

50 Eduges Cleofé De Los Ríos ello j j k k jk jk j j k k Se ha demostado que : j, k,, jk jk p Co los esultados ateoes epesados matcalmete y se tee las matces de coelacoes co " " y "" obseacoes R p p p p p p R Se ha pobado que la matz de coelacoes muestal Isesgada es aate al úmeo de dduos, es dec la é-sma obseacó pedda o afecta al cálculo de la coelacó ete dos aables 8 UNMSM FCM ESADÍSICA 4

51 Eduges Cleofé De Los Ríos ello CAPIULO III EFECO EN LA ESIMACIÓN DE DAOS FALANES EN EL ANÁLISIS DE COMPONENES PRINCIPALES INRODUCCIÓN Uo de los aspectos más mpotates de la estadístca multaate es el Aálss de Compoetes Pcpales ACP, cuyo objeto es descb la aacó total de la muesta e pocas dmesoes, es dec, se petede educ la dmesó del cojuto de datos ogal, mmzado la pédda de fomacó Estas pocas dmesoes llamadas Compoetes Pcpales so combacoes leales o coelacoadas de las aables ogales, que e ocasoes so utlzadas como paso cal e muchos aálss estadístcos, fucoado la técca como aálss eploatoo de datos multaates Los Objetos más mpotates de todo aálss de Compoetes Pcpales ACP so: -Geea ueas aables o coelacoes que pueda epesa la fomacó coteda e el cojuto ogal de datos paa educ la dmesó umeo de aables del poblema que se está estudado, como paso peo paa futuos aálss -Elma, cuado sea posble, algu de las aables ogales s ellas apota poca fomacó Las Nueas aables geeadas se deoma compoetes Pcpales CP y posee alguas caacteístcas deseables, tales como depedeca caso de multomaldad y e todos los casos estas o está coelacoadas Cada compoete stetza la máma aabldad esdual coteda e los datos E el pesete captulo haemos ua pesetacó del método de la obtecó de las Compoetes Pcpales como fucoes de los autoectoes al tee obseacoes coocdas y haemos ua compaacó al tee + obseacoes, UNMSM FCM ESADÍSICA 4

52 Eduges Cleofé De Los Ríos ello cosdeado s pédda de geealdad, la + é-sma obseacó faltate e cada ua de las aables, se desea sabe qué efecto se poduce mputado co la meda atmétca e cada ua de las aables e estudo ASPECOS GENERALES Sea, p : Valoes popos de R Sea, p : Vectoes popos de R Sea, p : Valoes popos de V Sea, p : Vectoes popos de V Sea, p : Valoes popos de V Sea, p : Vectoes popos de V La matz de coelacoes R y matz de coaazas V so matces smétcas, es po eso que el espaco ectoal V de dmesó fta so los úmeos eales A cotuacó se hace u esume de teoemas mpotates del algeba, que seá de ecesdad RESULADOS FUNDAMENALES eoema Se sabe que la matz de coelacó R ua matz eal y smétca de ode pp S es u alo popo de R e los eales, etoces es eal eoema Se sabe que la matz de coaazas V ua matz eal y smétca de ode pp S es u alo popo de V e los eales, etoces es eal UNMSM FCM ESADÍSICA 44

53 Eduges Cleofé De Los Ríos ello eoema Se sabe que la matz de coelacó R ua matz smétca eal de ode pp Etoces, la matz de coelacó R tee u ecto popo eal o ulo eoema 4 Sea la matz de coaazas V ua matz smétca eal de ode pp Etoces, V tee u ecto popo eal o ulo eoema 5 El eoema Espectal Se supoe que V es u espaco de dmesó fta sobe los eales co u poducto escala deftamete posto ambé se supoe que dm V eoema 5 Sea : R R ua aplcacó leal smétca Etoces este ua base otogoal de R R que costa de los ectoes popos de la matz de coelacó R eoema 6 Sea : R R ua aplcacó leal smétca Etoces este ua base otogoal de V R que costa de los ectoes popos de la matz de coaazas V eoema 7 Sea V u espaco ectoal sobe R y sea Sea, V : R R u opeado p ectoes popos de la matz de coaazas, p espectamete Supógase que estos aloes popos so dsttos ete sí, es dec : s j j Etoces los autoaloes, p so lealmete depedetes Demostacó: Po duccó sobe p Paa p=, u elemeto depedete Sea p Supógase la elacó c Co c p p V co aloes popos V, es lealmete c R Hay que poba que todo c Se multplca la elacó ateo po paa obtee c c p p ambé se aplca c c p p p V a la elacó ateo Po lealdad, se obtee Ahoa se sustae estas dos últmas epesoes y se obtee UNMSM FCM ESADÍSICA 45

54 Eduges Cleofé De Los Ríos ello c c p p p Como j paa j=p se cocluye, po duccó, que c c p Voledo a la elacó ogal, se e que c, co lo que c y el teoema queda pobado eoema 8 Sea V u espaco ectoal sobe R y sea R : R R u opeado Sea, p ectoes popos de R co aloes popos, espectamete p Supógase que estos aloes popos so dsttos ete sí, es dec : s j j Etoces los Pueba, p so lealmete depedetes Po duccó sobe p Paa p=, u elemeto depedete Sea p Supógase la elacó d d p p Co V, es lealmete d R Hay que poba que todo d Se multplca la elacó ateo po paa obtee d d p p ambé se aplca R a la elacó ateo Po lealdad, se obtee d d p p p Ahoa se sustae estas dos últmas epesoes y se obtee d d p p p Como j paa j=p se cocluye, po duccó, que d d p UNMSM FCM ESADÍSICA 46

55 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Voledo a la elacó ogal, se e que d, co lo que d y el teoema queda pobado eoema 9 El polomo caacteístco E este caso se ealzaa el polomo caacteístco de la matz de coaazas, ya que el polomo de la matz de coelacoes se pocede de gual maea Sea : R R u opeado leal e el espaco ectoal e los eales de dmesó V fta Paa que u úmeo eal sea autoalo de V, es ecesao y sufcete que esta e R, tal que V, es dec, que el opeado I : R R tega úcleo o tal y po tato o sea etble, esto sucede s, y solo s det V I Cofome a la defcó clásca de detemate, det I es u polomo de gado p " p" e, cuyo témo de mayo gado es p Se llama polomo caacteístco del opeado V y es epesetado po p det V I V Las aíces eales de la ecuacó algebaca p so las llamadas las aíces V V V caacteístcas del opeado V De lo dcho ateomete, se sgue que los autoaloes del opeado leal V so aíces caacteístcas eales E patcula so eales las aíces del polomo caacteístco de ua matz smétcao, lo que es lo msmo, de u opeado autoadjuto e espaco co poducto teo pues toda matz smétca es semejate a ua matz dagoal que es, cetamete, tagula La ocó de u polomo caacteístco pemte fe que, s la dmesó de V es u úmeo mpa, etoces todo opeado leal V : R R tee, po lo meos u autoalo E efecto, el polomo caacteístco p, sedo u polomo eal de gado mpa, tee po lo meos ua aíz eal No obstate la mpotaca de los autoaloes de coefcetes de pv V V, la detemacó de los es ua taea complcada cuado es eleado más complcado Refeeca e Lages, E998 UNMSM FCM ESADÍSICA 47

56 Eduges Cleofé De Los Ríos ello aú es el cálculo de sus aícess embago, uo de esos coefcetes es fácl de calcula: el témo depedete de es gual a p, luego es gual a det V Po oto lado, s las aíces de p V so p, se tee pv p p Poedo se tee que det V pv p Po tato, el detemate de V es gual al poducto de sus aíces caacteístcas V p Oto temo fácl de calcula e el polomo p es el coefcete de E la epesó clásca de det I V e témos de la matz a V a j de V e ua ceta p base, los sumados que cotee la poteca esulta del poducto a de los témos de la dagoal de a I, luego so todos de la foma p p a Po lo tato p p a es el coefcete de e el polomo V p Nueamete, la epesó p muesta que el coefcete de p es gual a V p p eces la suma de las aíces del polomo p Esto os llea a coduc que cualque base escogda e V, la suma a de los elemetos de la dagoal de la matz de V e esta base es la msma e gual a la suma de las aíces caacteístcas de la matz de coaazas V, que es sempe u umeo eal A cotuacó se da casos e el que se quee detema los autoaloes y autoectoes de R, V, V V CASO I E este caso se quee detema los autoaloes y autoectoes de la matz de coelacó R Sea V : R R, Sea la matz de coelacoes co obseacoes coocdas Refeeca e Lages, E998 UNMSM FCM ESADÍSICA 48

57 R Eduges Cleofé De Los Ríos ello Pocedeemos halla los autoaloes y autoectoes de la matz de coelacoes co obseacoes coocdas Solucó: Detemado el Polomo caacteístco p R det R I Hallaemos ua aíz eal apomada medate el método de Neto [9] Se susttuye R y la deada de p pr 6 dado que se ecueta e ceto tealo ceado Aquí se tuye que, esoledo la aíz ealuada e más p R cecaa a ceo seá ua de las aíces eales del polomo caacteístco, es dec uo de los autoaloes de la matz de coelacoes Supogamos que es dcha aíz etoces se hallaa los autoectoes asocado a Oto método paa obsea ete que tealos se ecueta los autoaloes aplcaemos el teoema del alo temedo [9] Pmeo aalzaemos los tealos dode la fucó es cecete o dececete Paa eso calculamos la pmea deada de R e aalzamos los puto dode la fucó es posta, e este caso se quee detema las posbles aíces del polomo caacteístco que ee a se los autoaloes, es dec, po lo que ' p R 6 p UNMSM FCM ESADÍSICA 49

58 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 5 Etoces uo de los autoaloes se ecotaía ete y, es dec 6 6 y 6 6, , Los autoaloes estaía e los tealos sguetes y y es dec 6 6 y y 6 6 Desaollado los autoectoes Se tee que Desaollado R Hacedo u cambo de aable

59 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 5 a a Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a Luego el ecto asocado paa sea De la msma foma se pocede a obtee paa su autoecto asocado Desaollado

60 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 5 Hacedo u cambo de aable b b Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a Luego el ecto asocado al autoalo es

61 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 5 De la msma foma se pocede a obtee paa su autoecto asocado Desaollado Hacedo u cambo de aable c c Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a c

62 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 54 Dode Luego el ecto asocado al autoalo es: c Luego el ecto asocado al autoalo es R es dagozable,y su foma dagoal es D Se sabe po que R R Se ha pobado que la Matz De Coelacoes Muestal Isesgada es aate al úmeo de dduos, es dec la é-sma obseacó pedda o afecta a las dduos coocdos, los autoaloes y autoectoes de la matz smétca

63 Eduges Cleofé De Los Ríos ello R a a se los msmos poque se estaía tabajado e este caso co la msma matz CASO II E este caso se quee detema los autoaloes y autoectoes de Sea V : R R, Sea la matz de coaazas co obseacoes coocdas V Pocedeemos halla los autoaloes y autoectoes de la matz de coaazas co obseacoes coocdas V Solucó: Detemado el Polomo caacteístco p V det I Hallaemos ua aíz eal apomada medate el método de Neto [9] Se susttuye p y la deada de p V V dado que se ecueta e u ceto tealo ceado UNMSM FCM ESADÍSICA 55

64 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aquí se tuye que, esoledo la aíz ealuada e p más cecaa a ceo seá al meos ua de las aíces eales del polomo caacteístco, es dec uo de los autoaloes de la matz de coaazas Supogamos que es dcha aíz eal etoces se hallaa los autoectoes asocado a Oto método paa obsea ete que tealos se ecueta las aíces es dec los autoaloes es aplcado el teoema del alo temedo [9] Pmeo aalzaemos los tealos dode la fucó es cecete o dececete Paa eso calculamos la pmea deada de p e aalzamos los putos dode la fucó es posta ya que los autoaloes so mayoes a ceo, e este caso se quee detema las posbles aíces del polomo caacteístco que ee a se los autoaloes, es dec, po lo que ' p V Uo de los auto aloes estaía ete 4 m y 6 4 m 6 etoces m m Los autoaloes estaía e los tealos sguetes m y m m y es dec 4 y UNMSM FCM ESADÍSICA 56

65 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 57 y 6 4 Desaollado los autoectoes Paa Se tee que Desaollado V Hacedo u cambo de aable e

66 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 58 Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a Dode Luego el ecto asocado paa sea

67 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 59 de la msma foma se pocede a obtee paa su autoecto asocado desaollado Hacedo u cambo de aable f V Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a Dode

68 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 6 Luego el ecto asocado paa sea dode Paa de la msma foma se pocede a obtee paa su autoecto asocado desaollado

69 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 6 Hacedo u cambo de aable g Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a Dode Luego el ecto asocado paa sea

70 Eduges Cleofé De Los Ríos ello V es dagozable,y su foma dagoal es P CASO III Sea la matz de coaazas co + obseacoes V Pocedeemos halla los autoaloes y autoectoes de la matz de coaazas co obseacoes coocdas Solucó: Detemado el Polomo caacteístco p V det V I U método paa obsea ete que tealos se ecueta las aíces es dec los autoaloes es aplcado el teoema del alo temedo [9] Pmeo aalzaemos los tealos dode la fucó es cecete o dececete UNMSM FCM ESADÍSICA 6

71 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paa aalza los tealos dode la fucó es cecete o dececete Paa eso calculamos la pmea deada de p e aalzamos los puto dode la fucó V es posta, e este caso se quee detema las posbles aíces del polomo caacteístco que ee a se los autoaloes, es dec, po lo que ' p Luego uo de los autoaloes se ecotaía ete k k p ' ' p k k k m k k k m y Los autoaloes estaía e los tealos sguetes m y m m y m, etoces cada uo de los ueos autoaloes UNMSM FCM ESADÍSICA 6

72 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 64 estaía afectados po el facto, es dec m y m m y m, Desaollado los autoectoes Paa Se tee que Desaollado

73 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 65 Hacedo u cambo de aable h Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a Dode Luego el ecto asocado paa sea

74 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 66 de la msma foma se pocede a obtee paa su autoecto asocado desaollado V V Hacedo u cambo de aable

75 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 67 V V V Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a Dode Luego el ecto asocado paa sea V

76 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 68 Sedo El autoecto asocado al autoalo sea V V V V De la msma foma se pocede a obtee el autoecto asocado a su autoalo Se tee que V V V

77 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 69 Etoces de la msma foma se pocede a obtee paa su autoecto asocado desaollado V V V V V V V V V V Hacedo u cambo de aable j V Luego dado ua foma paa el autoecto asocado a

78 Eduges Cleofé De Los Ríos ello UNMSM FCM ESADÍSICA 7 Dode Luego el autoecto asocado al autoalo sea Es dec,,, es dec los autoectoes se matee Se ha pobado que los autoectoes so aates solo este caso al úmeo de obseacoes e la Matz de Coaazas La Matz dagoalzable de V es: Q Geealzado setee los sguetes teoemas eoema GENERALIZACIÓN DE LOS AUOVECORES Y AUOVALORES DE LAS MARIZ R Sea V u espaco Vectoal sobe el campo de los eales Los autoaloes y autoectoes se llega a obtee medate la ecuacó I R

79 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Supógase que este ua base,, de V que costa de ectoes p popos de la matz R co aloes popos, p espectamete Etoces, la matz asocada co R especto a esta base es la matz dagoal D j p Al detema obseacoes los autoaloes y autoectoes se llega a obtee medate la ecuacó R I, peo po 8 se ha compobado que R R Resole R I es equalete a esole R I, y, p po lo que, p so los autoectoes y autoaloes de la matz R, cumplédose paa u j cualquea j p que j j, y j j Es dec los autoaloes e la matz de coelacoes o es afectada al tee obseacoes, los autoectoes es aate al úmeo de obseacoes 9 eoema GENERALIZACIÓN DE LOS AUOVECORES Y AUOVALORES DE LAS MARIZ V Y V Refeeca e La Seoema 976 UNMSM FCM ESADÍSICA 7

80 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Sea V u espaco Vectoal sobe el campo de los eales Los autoaloes y autoectoes se llega a obtee medate la ecuacó V I Supógase que este ua base, de V que costa de ectoes popos, p de la matz V co aloes popos, p espectamete Etoces, la matz asocada co V especto a esta base es la matz dagoal P j p Al detema paa + obseacoes los autoaloes y autoectoes se detema medate la ecuacó V I, peo po 4 se ha pobado que V V Resole V I es equalete a esole V I po lo que,, p y,, p p so los autoectoes y autoaloes de la matz V, cumplédose paa u j cualquea j p que, j j j j y Es dec los autoaloes e la matz de coaazas de V es afectada e e las obseacoes coocdas espectamete, los autoectoes es aate al úmeo de obseacoes Etoces, la matz asocada co V especto a esta base es la matz dagoal UNMSM FCM ESADÍSICA 7

81 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Q j p El teoema del alo temedo me dca e que tealos se ecueta los autoaloes de R, V, V Luego paa p=, se hallao los autoaloes y autoectoes de R, V, V, demostado que los autoectoes de V y V so aates al umeo de obseacoes Se sabe que la matz dagoal esta e fucó de sus autoaloes de R, V, V, se demuesta que la matz asocada co V Q P es la matz dagoal UNMSM FCM ESADÍSICA 7

82 Eduges Cleofé De Los Ríos ello CAPÍULO IV APLICACIONES 4 Aspectos geeales E este capítulo se petede compaa los esultados de hace el aálss de compoetes pcpales co obseacoes faltates, las que ha sdo estmadas medate la meda atmétca de las obseacoes coocdas de la especta aable, paa lo cual se usó el softae R [] co la sguete metodología Se smula ua muesta aleatoa de tamaño paa, 4, 5 y 6 aables, dode todas las obseacoes so coocdas Se ealza el aálss de compoetes pcpales e cada caso, usado la matz de coelacoes, pestado patcula mpotaca a la obtecó de sus autoaloes y los autoectoes Se smula ua muesta aleatoa de tamaño paa, 4, 5 y 6, co datos faltates e las desas aables, los que e cada caso se estma po su especta meda Se obtee la matz de coelacoes de la muesta y se ealza el aálss de compoetes pcpales sobe dchas matces, pestado patcula mpotaca a la obtecó de sus autoaloes y autoectoes Se compaa los esultados de y 4 Se epte los pasos ateoes usado las matces de coaazas sesgada e sesgada espectamete Cabe dca que se ealzao otas smulacoes que lleao a los msmos esultados UNMSM FCM ESADÍSICA 74

83 Eduges Cleofé De Los Ríos ello 4 Aálss de Compoetes Pcpales co aables Caso A: Aálss compaato co aables usado la matz de coelacoes Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos Ve aeo Paso La matz de coelacoes paa aables paa la muesta de tamaño R Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es def la ecuacó de la pmea compoete pcpal 546 Y Y Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso 4 Cosdea los msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas La matz de datos Ve aeo UNMSM FCM ESADÍSICA 75

84 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso 5 Obtee la matz de coelacoes de la matz co datos R Paso 6 Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y Y Paso 7 Obtee los autoaloes y autoectoes de la matz de coelacoes del paso E el cuado compaato Nº se obsea que los autoaloes y autoectoes teedo datos coocdos es lo msmo co obseacoes dode la aa obseacó pedda es estmada po la meda de las obseacoes coocdas Resume :Cuado Compaato Nº Vecto de Medas Autoaloes Matz de Autoectoes,546,765,67 -,4954 -,6768 =,595,9976 -,595,84,779,5487,9647,79,86779,5,546,765,67 -,4954 -,6768 =,595,9976 -,695,8,779,5487,9647,79,8678,56 -Compaado estos esultados se obtee que los elemetos del aálss de compoetes pcpales usado la matz de coelacoes R y al se compaado co los elemetos del aálss compoetes pcpales usado la matz de UNMSM FCM ESADÍSICA 76

85 Eduges Cleofé De Los Ríos ello coelacoes R, so cas eactamete guales las compoetes co las obseacoes coocdas CASO B: Aálss compaato co aables usado la matz de coaazas sesgadas Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos Ve aeo Paso La matz de coaazas sesgada paa aables paa la muesta de tamaño S Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda Estos datos ha sdo smulados co dstbucó omal estáda Paso 4 Obtee la matz de coaazas de la matz co obseacoes S Paso 5 E esume: Compaa los esultados del paso co los del paso 4, se demuesta que la la aaza muestal sesgada al tee la aa obseacó pedda queda afectado po el facto de la aaza muestal sesgada al tee obseacoes coocdas UNMSM FCM ESADÍSICA 77

86 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Resume :Cuado Compaato Nº Vecto de Medas Autoaloes Matz de Autoectoes,546,95,,995 -,8 =,595,474 -,99,7,54,5487,97,57,89,9996,546,886,,995 -,8 =,595,448 -,99,7,54,5487,998,57,89,9996 Del cuado compaato Nº, se demuesta que los autoaloes co la aa obseacó pedda que es estmada po la meda de la obseacoes coocdas, dsmuye e de los autoaloes al tee los datos coocdos Los autoectoes es aate al úmeo de obseacoes CASO C: Aálss compaato co aables usado la matz de coaazas sesgadas Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos Ve aeo Estos datos ha sdo smulados co dstbucó omal estáda Paso La matz de coaazas sesgada paa aables paa la muesta de tamaño V , Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda UNMSM FCM ESADÍSICA 78

87 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso 4 Cosdea los msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda La matz de datos Estos datos ha sdo smulados co dstbucó omal estáda Ve aeo Paso 5 Obtee la matz de coaazas de la matz co datos V Paso 6 Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Paso 7 Y E el cuado compaato Nº los autoaloes teedo obseacoes dode la aa obseacó pedda es estmada medate la meda de las obseacoes coocdas, dsmuye apomadamete e -/ de los autoaloes de las obseacoes coocdas - Se demuesta que los autoectoes teedo los datos coocdos UNMSM FCM ESADÍSICA 79

88 Eduges Cleofé De Los Ríos ello es gual a los autoectoes co obseacoes dode la obseacó es estmado medate la meda de las obseacoes coocdas,,, -Se demuesta que 9, 9, 9 E cambo los autoaloes, al compaa el paso co el paso 7 Co obseacoes, al tee la aa obseacó pedda, que es estmada po la meda de las coocdas, dsmuye e al se compaada co los autoaloes de las obseacoes coocdas Se ha pobado del paso y del paso 6 que las compoetes pcpales usado la matz de coaazas o ha sdo alteados especto a su alo ogal co todos los datos coocdos y co datos faltates estmados medate las medas 4 Aálss de Compoetes paa 4 aables CASO A Aálss Compaato co 4 aables usado la Matz de Coelacoes Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso : La matz de datos 4 Ve aeo Paso La matz de coelacoes paa 4 aables paa la muesta de tamaño Es R UNMSM FCM ESADÍSICA 8

89 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y Y La seguda compoete pcpal ee a esta dado po Y Y Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda, Paso 4 Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda Paso 5 La matz de datos 4 Ve aeo Paso 6 La matz de coelacoes, los autoaloes y la matz de auectoes se muesta a cotuacó de las obseacoes R UNMSM FCM ESADÍSICA 8

90 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso 7 Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y Y La seguda compoete pcpal ee a esta dado po Y Y Paso 8 -Compaado esultados del paso y paso 7 se obtee que los elemetos del aálss de compoetes pcpales usado la matz de coelacoes R y al se compaado co los elemetos del aálss compoetes pcpales usado la matz UNMSM FCM ESADÍSICA 8

91 Eduges Cleofé De Los Ríos ello de coelacoes R, so guales las compoetes co las obseacoes coocdas CASO B: Aálss compaato co 4 aables usado la matz de coaazas sesgadas Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos 4 Ve aeo Paso La matz de coaazas sesgada paa 4 aables paa la muesta de tamaño S Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso Cosdea los msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma Matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda Paso 4 Obtee la matz de coaazas sesgada,los autoaloes y la matz de autoectoes de la matz co datos S UNMSM FCM ESADÍSICA 8

92 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso 5 Compaa los esultados del paso co los del paso 4 se demuesta que la la aaza muestal sesgada al tee la aa obseacó pedda queda afectado po el facto de la aaza muestal sesgada al tee obseacoes coocdas Al obsea el cuado compaato Nº5, los autoectoes al tee obseacoes coocdas so guales al tee la aa obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas, e cambo co las obseacoes los autoaloes al tee la aa obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas, dsmuye e de los autoaloes de las obseacoes coocdas CASO C Aálss Compaato co 4 aables usado la Matz de Coaazas Isesgada Pate : Co obseacoes todas coocdas La matz de datos 4 UNMSM FCM ESADÍSICA 84

93 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso La matz de coaazas sesgada paa 4 aables paa la muesta de tamaño es V , Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y La seguda compoete pcpal ee a esta dada po: Y Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda La matz de datos 4 Ve aeo Paso 4 La matz de coaazas de la matz co datos es V Paso 5 Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea y seguda compoete pcpal Y UNMSM FCM ESADÍSICA 85

94 Eduges Cleofé De Los Ríos ello La seguda compoete pcpal ee a esta dada po: Y Paso 6 Del cuado compaato Nº6 Se demuesta que los autoectoes teedo los datos coocdos es gual a los autoectoes co obseacoes dode la obseacó es estmada po la meda de las obseacoes coocdas,,, 4 4 -Se demuesta que 9, 9, 9, Del cuado compaato Nº6 se demuesta que los autoaloes, teedo obseacoes, co la aa obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas, dsmuye e u de los autoaloes teedo las obseacoes coocdas UNMSM FCM ESADÍSICA 86

95 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Los autoectoes es aate al úmeo de obseacoes Se ha pobado del paso y del paso 5 que las compoetes pcpales usado la matz de coaazas o ha sdo alteados especto a su alo ogal co todos los datos coocdos y co datos faltates estmados medate las medas 44 Aálss de Compoetes Pcpales paa 5 aables CASO A Aálss Compaato co 5 aables usado la Matz de Coelacoes Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos 5 Paso La matz de coelacoes paa 5 aables paa la muesta de tamaño es R Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y Y UNMSM FCM ESADÍSICA 87

96 Eduges Cleofé De Los Ríos ello La seguda compoete pcpal ee a se: Y Y Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda 7 Paso 4 Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda La matz de datos 5 Paso 5 La matz de coelacoes paa los datos es R Paso 6 Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y Y UNMSM FCM ESADÍSICA 88

97 La seguda compoete pcpal Eduges Cleofé De Los Ríos ello Y Y Paso 7 Compaado esultados del paso y paso 6 se obtee que los elemetos del aálss de compoetes pcpales usado la matz de coelacoes R y al se compaado co los elemetos del aálss compoetes pcpales usado la matz de coelacoes R, so cas eactamete guales las compoetes co las obseacoes CASO B: Aálss compaato co 5 aables usado la matz de coaazas sesgadas Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos Ve aeo 5 UNMSM FCM ESADÍSICA 89

98 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso La matz de coaazas sesgadas paa 5 aables paa la muesta de tamaño co todas las obseacoes coocdas es S Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda La matz de datos 5 Paso 4 Obtee la matz de coaazas, autoaloes, y la matz de autoectoes co datos S UNMSM FCM ESADÍSICA 9

99 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso 5 Se demuesta que la aaza muestal sesgada co obseacoes, al tee la aa obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas queda afectado po u facto de la aaza muestal sesgada al tee las obseacoes coocdas y los autoaloes teedo la aa obseacó pedda dsmuye e e elacó de los autoaloes co todos los datos coocdos Del cuado compaato Nº 8 se demuesta que los autoaloes, teedo obseacoes, co la aa obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas dsmuye e e compaacó co los datos coocdos,los autoectoes se matee CASO C Aálss Compaato co 5 aables usado la Matz de Coaazas Isesgada Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos Ve aeo 5 Estos datos ha sdo smulados co dstbucó omal estáda Paso La matz de coaazas paa 5 aables paa la muesta de tamaño es V Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y UNMSM FCM ESADÍSICA 9

100 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso 4 Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda Paso 5 Obtee la matz de coaazas de la matz co datos V Paso 6 Al compaa los autoaloes teedo obseacoes dode la obseacó es estmada po las obseacoes coocdas dsmuye e / de los autoaloes teedo los datos coocdos Los autoectoes es aate al úmeo de obseacoes Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y UNMSM FCM ESADÍSICA 9

101 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Paso 7 Del cuado compaato: Se demuesta que los autoectoes teedo los datos coocdos es gual a los autoectoes co obseacoes dode la obseacó es pedda,, 4 4, 5 5 -Se demuesta que 9, 9 9,, 4 9 4, 5 9 Po lo que al compaa co el paso se demuesta que los autoaloes co obseacoes co la aa obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas, dsmuye e de los autoaloes de las obseacoes coocdas Se ha pobado del paso y del paso 6 que las compoetes pcpales usado la matz de coaazas o ha sdo alteados especto a su alo ogal co todos los datos coocdos y co datos faltates estmados medate las medas 5 45 Aálss de Compoetes Pcpales paa 6 aables CASO 4A: Aálss compaato co 6 aables usado la matz de coelacoes Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso La matz de datos 6 Paso La matz de coelacó paa 6 aables paa la muesta de tamaño co todas las obseacoes coocdas es UNMSM FCM ESADÍSICA 9

102 Eduges Cleofé De Los Ríos ello R, , Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y Y La seguda compoete pcpal es Y Y La tecea compoete pcpal es Y UNMSM FCM ESADÍSICA 94

103 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Y Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso 4 Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda Paso 5 matz co datos Obtee la matz de coelacó, los autoaloes y autoectoes de la R Paso 6 Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es def la ecuacó de la pmea compoete pcpal UNMSM FCM ESADÍSICA 95

104 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Y Y La seguda compoete pcpal ee a se Y Y La tecea compoete pcpal ee a se Y UNMSM FCM ESADÍSICA 96

105 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Y Paso 9 -Compaado esultados del paso y paso 6 se obtee que los elemetos del aálss de compoetes pcpales usado la matz de coelacoes R y al se compaado co los elemetos del aálss compoetes pcpales usado la matz de coelacoes R, so cas eactamete guales las compoetes co las obseacoes coocdas CASO 4B: Aálss compaato co 6 aables usado la matz de coaazas Sesgadas Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso Señala que es la msma matz co datos coocdos La matz de datos 6 Estos datos ha sdo smulados co dstbucó omal estáda Paso La matz de coaazas sesgada paa 6 aables paa la muesta de tamaño co todas las obseacoes coocdas es S Paso La matz de autoaloes y autoectoes de la matz de coaazas sesgadas: Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso 4 Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda UNMSM FCM ESADÍSICA 97

106 Eduges Cleofé De Los Ríos ello La matz de datos Ve aeo 6 Paso 5 Cosdeemos la matz de coaazas sesgada co obseacoes dode la obseacó es pedda S Paso 6 E el cuado compaato Nº teedo obseacoes dode la obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas,los autoaloes dsmuye e / compaa los autoaloes de las obseacoes coocdos Compaa los esultados del paso co los del paso 6 se demuesta que la al la aaza muestal sesgada al tee la aa obseacó pedda estmada po la meda de las obseacoes coocdas queda afectada po el facto de la aaza muestal sesgada al tee obseacoes coocdas CASO 4C: Aálss Compaato co 6 aables usado la Matz de Coaazas Isesgada UNMSM FCM ESADÍSICA 98

107 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Pate : Co obseacoes todas coocdas Paso Señala que es la msma matz de coaazas sesgada co datos coocdos La matz de datos Ve aeo 6 Estos datos ha sdo smulados co dstbucó omal estáda Paso La matz de coaazas paa 6 aables paa la muesta de tamaño co todas las obseacoes coocdas es V Paso Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y La seguda compoete pcpal ee a se: Y Pate : Co obseacoes dode la obseacó es pedda Paso 4 Cosdea la msmos datos dode la aa obseacó se estma co la meda de las obseacoes coocdas, esultado la msma matz de datos estmada las obseacoes peddas co la meda La matz de datos 6 Paso 5 Obtee la matz de coaazas de la matz co datos UNMSM FCM ESADÍSICA 99

108 Eduges Cleofé De Los Ríos ello V Paso 6 Idetfcacó de los elemetos del aálss de compoetes pcpales, es dec def la ecuacó de la pmea compoete pcpal Y La seguda compoete pcpal ee a se: Y Paso 7 E el cuado compaato que se muesta se tee que UNMSM FCM ESADÍSICA

109 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Del Cuado compaato Nº,teedo los datos coocdos es gual a los autoectoes co obseacoes dode la obseacó es pedda,,, 4 4,, Se demuesta que 5 9, 9 9, 5 6 9, 6 9, 4 9 Se demuesta que los autoaloes co la aa obseacó pedda que es estmada po la meda de las obseacoes coocdas, dsmuye e u 4, de los autoaloes al tee datos coocdoslos autoectoes so aates al úmeo de obseacoes Se ha pobado del paso y del paso 6 que las compoetes pcpales usado la matz de coaazas o ha sdo alteados especto a su alo ogal co todos los datos coocdos y co datos faltates estmados medate las medas UNMSM FCM ESADÍSICA

110 Eduges Cleofé De Los Ríos ello CONCLUSIONES Los pcpales esultados ecotados so: S se estma datos faltates medate la meda atmétca de las obseacoes coocdas, la meda atmétca de todos los datos, cludos los faltates, es gual a la meda atmétca de los datos coocdos Al geealza al caso multaate, estmado sepaadamete paa cada aable las obseacoes peddas medate la meda de las obseacoes coocdas, el ecto de medas co todos los datos cludos los faltates es gual al ecto de medas co todas las obseacoes coocdas La matz de coelacoes co datos faltates, o queda afectadas po la estmacó de dchos datos faltates medate la meda atmétca de cada aable co datos coocdos 4 La matz de coaazas sesgada co datos faltates, queda afectadas po la estmacó de dchos datos medate la meda atmétca de cada aable po u facto / de la matz de coaazas sesgada co todos los datos coocdos 5 La matz de coaazas sesgada co datos faltates, queda afectadas po la estmacó de dchos datos medate la meda atmétca de cada aable po u facto / de la matz de coaazas sesgada co todos los datos coocdos 6 Los autoaloes y autoectoes de las matces de coelacoes, so los msmos paa datos completos y co datos faltates estmados medate las medas UNMSM FCM ESADÍSICA

111 Eduges Cleofé De Los Ríos ello 7 Se ha pobado que a taés de la mputacó de la meda atmétca e dode se ha ecotado algú dato faltate, los autoaloes de la matz de coaazas V + dsmuye apomadamete e / especto de los autoaloes de la matz de coaazas ogal V, los autoectoes cosea su alo ogal 8 Se ha pobado que las compoetes pcpales usado la matz de coaazas y coelacoes o ha tedo cambos especto a su alo ogal co todos los datos coocdos y co el dato mputado po la meda atmétca UNMSM FCM ESADÍSICA

112 Eduges Cleofé De Los Ríos ello REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Adeso, W 984 A Itoducto to Multaate Statstcs Aalyss d,wley e Sos,Ic,NY pp Apostol, M98 CálculusVol ed,españa:reeté,98 pp9-4 Elog, LL 998 Algeba LealImca ed,peú:hozlopp6-6 4 J, FHa ad JREAdesoRL ad athamwc999 Aalyss Multaate,5 ed,madd:petce Hall, Johso,RA 7Appled Multaate Statstcal Aalyss 6 ed Lodo:Peasopp Madelle, PB,Obseacoes PeddasMéco:Redalyc Dspoble e pp Mada, KV Multaate Aalyss 979Lodo :Academa Pesspp -8 8 Mood AM ad Gaybll FA 976 Itoduccó a la eoa Estadístca 4 edmadd: Agula 9 Muñoz, RJ7Cálculo dfeecal&itegalvol IBazl,Uesdad Fedeal de Río de Jaeopp 59- Ofe, H ad Shafe987 Multple Imputato to Stages Uesty of WashgtoAtículo Ogal publcado e OleDspoble e Olk, I ad Raeh, A 8 Bouds fo ho much fluece a obseato ca hae Atículo Ogal publcado e Ole Dspoble e UNMSM FCM ESADÍSICA 4

113 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Rzzo,M 8Statstcal Computg th RChapma&Hall/CRC Compute Scece & Data Aalyss Sege, LAlgeba Leal976edMéco Fodo Educato Iteamecaopp Sheldom, M R999 Smulacó edméco: Petce Hallpp 6 5 aoe, Y ad Shopta, S Multple Patal Imputato fo Logtudal Data th Mssg Values Clcal als Uesty of Calfoa 5Atículo Ogal publcado e OleDspoble e 565ED454E8EA6 UNMSM FCM ESADÍSICA 5

114 Eduges Cleofé De Los Ríos ello ANEOS UNMSM FCM ESADÍSICA 6

115 Eduges Cleofé De Los Ríos ello ANEO A DAOS QUE SE HAN OBENIDO SIMULADO EN EL SOFWARE LIBRE R Aeo 8a p=, = eedo las obseacoes Coocdas UNMSM FCM ESADÍSICA 7

116 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aeo 8b p=,= eedo las obseacoes Coocdas La aa obseacó pedda es Estmada po la meda de las obseacoes UNMSM FCM ESADÍSICA 8

117 4 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aeo 8c p=4, = eedo las obseacoes Coocdas 4 Cosdea a la aa obseacó como el dato peddo UNMSM FCM ESADÍSICA 9

118 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aeo 8d p=4,= eedo las obseacoes Coocdas La aa obseacó pedda es Estmada po la meda de las obseacoes UNMSM FCM ESADÍSICA

119 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aeo 8e p=5,= eedo las obseacoes Coocdas UNMSM FCM ESADÍSICA

120 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aeo 8f p=5, = eedo las obseacoes Coocdas La aa obseacó pedda es Estmada po la 4 5,46,6,,4,58,54,6,4,7,6,76,4,6,5,75 4,5,46,74,4,57 5,5,6,6,57,6 6,5,57,9,45,45 7,5,55,7,67,5 8,5,6,96,5,4 9,4,7,6,44,46,5,74,44,7,66,5,5,69,64,6,48,58,68,7,6,68,6,9,54,48 4,74,56,46,44,5 5,44,9,74,56,57 6,67,4,5,74,45 7,68,68,57,46,5 8,7,46,6,6,5 9,65,6,57,5,5,69,47,,55,5,7,56,5,7,6,9,6,64,9,5,65,6,5,46,66 4,55,65,79,5,56 5,5,5,54,4,7 6,7,7,7,45,48 7 8,5,68,7,77,,49,6,6,6,54 9,45,6,46,49,67,4,5,57,4,5,55,57,55,5,54 meda de las obseacoes UNMSM FCM ESADÍSICA

121 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aeo 8g p=6, = eedo las obseacoes Coocdas UNMSM FCM ESADÍSICA

122 Eduges Cleofé De Los Ríos ello Aeo 8h p=6, = eedo las obseaco es Coocdas La aa obseacó pedda es Estmada po la meda de las obseacoes UNMSM FCM ESADÍSICA 4