ESTIMACIÓN DE LA DEMANDA EN PUBLICACIONES PERIÓDICAS CON MÚTIPLES PUNTOS DE VENTA Y STOCKOUTS INFRECUENTES

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1 ESIMACIÓN DE LA DEMANDA EN PUBLICACIONES PERIÓDICAS CON MÚIPLES PUNOS DE VENA Y SOCKOUS INFRECUENES J.M. Eguzktza Azabalaga. Depatameto de Matemátca Aplcada. Uvesdad del País Vasco/Euskal Heko Ubetstatea. ABSRAC Hstocal sales ad demad ae ot equvalet whe efeed to peodcals, sce the fome ae lmted by the avalable stock. Whe the mea stockout s low ad thee s ot possblty of updatg data dug the sellg peod, demad s estmated by meas of a maxmum-lkelhood pocedue. he pape also epots aothe pactcal appoach wch cossts of estmatg the lack of ssues pe out-of-stock peod ad pe pot-of-sale. I ode to compae both methods, eal data o sales of a mothly peodcal fom Bzkaa ae used. he esults obtaed afte usg the appoxmate method do pactcally cocde wth those obtaed afte usg the maxmumlkelhood pocedue. Moeove, computatos wee much smple. RESUMEN E publcacoes peódcas el hstoal de vetas o equvale a la demada, al esta aquéllas lmtadas po el vetao dspoble. Cuado el vel pomedo de stockouts es bajo y o hay posbldad de actualzado los datos duate el peíodo de vetas, la demada es estmada medate u pocedmeto de máxma veosmltud. E este tabajo se popoe además oto método apoxmado, cosstete e efectua ua estmacó de los ejemplaes faltates paa cada peíodo fuea de stock y paa cada puto de veta. Co el f de compaa ambos métodos se utlza datos eales de vetas de ua publcacó mesual e la povca de Bzkaa. Se compueba que los esultados obtedos co el método apoxmado so páctcamete cocdetes co los obtedos po el método de máxma veosmltud equédose, s embago, u esfuezo de cómputo muchísmo meo.. INRODUCCIÓN El poblema pcpal que ha de efeta las dstbudoas de pesa es la optmzacó del epato de la tada de publcacoes peódcas e múltples putos de veta. Como las vetas está lmtadas po el vetao dspoble, el hstoal de vetas o equvale a la demada y, e cosecueca, paa estma ésta se pate de ua see de datos cesuados po el stock dspoble. La polítca que, e la mayoía de los casos, sgue las edtoas de pesa es fdelza al clete colocado e los putos de veta u úmeo de ejemplaes sufcete paa que el vel de sevco sea alto, po lo que el vel de peíodos fuea de stock, y po tato la tasa de datos cesuados, es elatvamete bajo meo del 30%). Se supoe que la demada es depedete del patcula peíodo de tempo, suposcó plausble paa muchas publcacoes cuyo pató de demada o se ve afectado po

2 estacoaldad, tedeca u otos factoes elacoados co el tempo. Se supoe además que los cletes llega aleatoamete duate el peíodo de veta, po lo que la demada sgue ua dstbucó de Posso, cuyo paámeto l tatamos de estma. Las dstbudoas de publcacoes peódcas se ve e la ecesdad de estma la demada paa muchos putos de veta y paa muchas publcacoes, teedo e cueta, además, que esa estmacó debe se hecha co elatva medatez cuado se tata de daos. Se platea, po tato, la ecesdad de dspoe de u método elatvamete secllo paa la estmacó de l que o exja gades equemetos computacoales. Co las suposcoes hechas se platea e pme luga u pocedmeto de máxma veosmltud MV), que es ua extesó del popuesto po Coad 976), peo co dsttos veles de stock paa cada peíodo, pues la dstbudoa se ve fozada a coloca e u msmo puto de veta dfeetes catdades de ejemplaes paa cada peíodo, ya que, po azoes descoocdas paa la dstbudoa, la edtoal sumsta paa cada úmeo catdades globales que vaía sesblemete. Como señala Lau y Lau 996), este pocedmeto es apopado cuado las obsevacoes del lado zquedo coocdo epeseta u sustacal pocetaje más del 60%) de la dstbucó de demada completa, lo que suele ocu, como se ha señalado más aba, e las dstbudoas de pesa. Como alteatva al método MV se peseta posteomete u método apoxmado MA) basado e la estmacó de la demada satsfecha espeada. Otos métodos de estmacó, como el plateado po Lau y Lau 996), o esulta aplcables e el caso pesete pues, ete otas cosas, exge que los putos de veta apote peódcamete datos de vetas duate el peíodo coespodete, algo páctcamete mposble, pues los quoscos de pesa so ajeos a la empesa dstbudoa. 2. ESIMACIÓN POR MÁXIMA VEROSIMILIUD Se defe: Etoces, D t Demada e el peíodo t S t Vetas e el peíodo t I t Stock dspoble paa el peíodo t S t md t,i t ) D t S t s S t < I t D t S t s S t I t Los datos de patda, coespodetes a peíodos, so: Vetas S S 2... S S + S +2 S Stock dspoble I I 2... I I + I +2 I Cuado S < I,2,...,) S es u vedadeo eflejo de la demada, peo cuado S I +,...,) S subestma la vedadea demada. Los datos o sgue ecesaamete u 2

3 ode coológco, lo que o mplca pédda de geealdad ya que se supoe que la demada es depedete del tempo. Cosdeado que la dstbucó teóca de demada es Posso de paámeto l, la fucó de veosmltud de la muesta seá es dec, S x e e L ) S! x I x! + log L ) log. S + cte. + log + x I x e x! Devado especto de l e gualado a ceo se obtee la ecuacó de estmacó: x x x e e x I x! x! S + x e x! + x I x e x I x )! S + x ) 0 + e x! x I S defmos A x e P ; ) 0; P A; ) A 0) x 0 x! podemos escb [] e la foma [] PI 2; ) 0 ; ) [2] S + + PI Paa obtee l debe se esuelta umécamete la ecuacó [2]. Como etoces po lo que y, po tato, PI 2; ) >, PI ; ) + PI 2; ) > PI ; ), S + ) < 0 3

4 S S < > E patcula, s, o sea s o hay datos cesuados, el estmado MV de l es S 0; ˆ S x Ejemplo : A pat de los datos de la tabla estma l. Vetas Stock dspoble Susttuyedo estos valoes e la ecuacó [2] se tee P; ) P9; ) P2; ) P0; ) Resolvedo la ecuacó ateo co Mathematca se obtee ˆ 8, MÉODO APROXIMADO DE ESIMACIÓN Como alteatva al método de máxma veosmltud se peseta u método apoxmado MA) de estmacó del paámeto l, basado e la estmacó de la demada satsfecha espeada. La dea cetal es smla a la que subyace e los métodos de Bell 98) y Wecke 978). Estos autoes popoe sedos pocedmetos e los que, a pat de la demada espeada codcoada po el hecho de que ésta es mayo o gual que el stock dspoble paa los peíodos co datos cesuados), se va actualzado los paámetos de la dstbucó de demada. La dfeeca co el método pesetado aquí es que éste sve paa estma el paámeto y e los mecoados más aba se debe cooce a po, pecsamete, el valo de ese paámeto. Sea N la vaable aleatoa que epeseta la demada satsfecha e u peíodo +,...,) e el que S I ; es dec, u peíodo e el que o se puede satsface la demada de alguos cletes po habese agotado el stock dspoble. La fucó de pobabldad de N seá PN k) PD I + k D I ) I + k e I + k I + k)! x e k e PI ; ) I + k)! x I x! ; 0,,... La demada satsfecha espeada seá 4

5 I + k EN [ ] ke PI ; ) I + k)! k 0 Hacedo I +ku, se tee EN [ ] u I ) e u PI ; ) u I u! u u e I e PI ; ) u I u )!! u I u [ PI 2; ) ] I [ PI ; ) ] PI ; ) [ PI ; ) + PI ; ) PI 2; ) ] I [ PI ; ) ] PI ; ) y como etoces [ PI ; ) PI 2; ) ] I [ PI ; ) PI ; ) ] I [ P I; ) P I ; ) ] I [ P I ; ) ] EN [ ] + PI ; ) I PI ; ) PI ; ) [3] Patedo de la expesó ateo el método apoxmado MA) pocede como sgue: S - Paso : Se calcula y e [3] se susttuye l po l. Se obtee así ua pmea apoxmacó de la demada satsfecha espeada, N, paa +,...,. - Paso 2: Se ecalcula las vetas paa los peíodos co stockout: S2 S + N, +,... S + S2 + - Paso 3: Se obtee 2. - Paso 4: Se epte la seguda pate del paso susttuyedo e la expesó [3] l po l 2. De este modo se obtee ua seguda apoxmacó de la demada satsfecha espeada, N 2, paa +,...,. - Paso 5: Se epte el paso 2: S3 S + N 2, +,... - Paso 6: Se obtee falmete ua estmacó apoxmada del paámeto l eptedo el paso 3: 3 S + + S 3 5

6 Ejemplo 2: Se aplca a cotuacó el método apoxmado MA) a los datos del ejemplo. - Paso : 34/56,8; P3;6,8) N6 6,8 3 0,794; aálogamete, N7 0,995. P2;6,8) - Paso 2: S ,794 3,794; S72 + 0,995, Paso 3: ,794 +,995) / 7 8,54. P3;8,54) - Paso 4: N62 8,54 3,58; N72, 478. P2;8,54) - Paso 5: S63 3+,58 4,58; S73 +, 478 2, Paso 6: ,58+ 2, 478) / 7 8, 662, valo que se apoxma bastate al obtedo po el método de máxma veosmltud: 8, COMPARACIÓN ENRE LOS MÉODOS MV Y MA Co objeto de compaa los métodos MV y MA se ha utlzado datos de vetas de ua evsta mesual dedcada al mudo del ce paa la que las vetas puede cosdease estacoaas. Se dspoe de datos eales de uos 700 putos de veta de la povca de Bzkaa, de los que se ha tomado al aza ua muesta de tamaño 37. Después de elma 37 putos e los que o había datos sufcetes quoscos que cea e veao, otos que deja de vede la publcacó, etc.) se obtee los esultados de la tabla. Las vaables mv y ma so las estmacoes de l popocoadas po el método de máxma veosmltud y po el método apoxmado, espectvamete. La vaable df es ma mv)/ mv e tato po ceto, y stockout es la popocó de datos cesuados o tasa de peíodos fuea de stock). Como se ve e la tabla 2, e el 90% de los casos la tasa de stockouts es meo del 30% stockouts fecuetes). Co objeto de aalza la flueca del úmeo de datos dspobles sobe las estmacoes, e uos putos se ha usado datos de 2 peíodos y e otos de 24. E todos los casos se ha costatado el ajuste del lado zquedo de la dstbucó empíca a ua dstbucó teóca de Posso. 6

7 puto mv ma df pe stockout puto mv ma df pe stockout,054,048-0,6% 2 25,00% 5 2,470 2,469-0,04% 24 2,50% 2 0,265 0,265 0,00% 2 8,33% 52 3,493 3,489-0,% 24 20,83% 3 3,90 3,895-0,5% 2 25,00% 53 3,92 3,90-0,05% 24 6,67% 4 8,968,82-0,08% 2 25,00% 54 9,757 9,757 0,00% 24 8,33% 5 0,828 0,827-0,8% 2 6,67% 55 0,5200,56-0,04% 24 2,50% 6 9,089 9,087-0,02% 2 6,67% 56,229,228-0,0% 24 8,33% 7 29,5229,57-0,0% 2 6,67% 57 2,953 2,95-0,07% 24 6,67% 8 2,420 2,48-0,08% 2 25,00% 58 25,725,7 0,00% 24 4,7% 9 8,538,50-0,02% 2 6,67% 59 3,944 3,930-0,35% 24 29,7% 0 8,688,65-0,02% 2 6,67% 60 2,233 2,232-0,04% 24 2,50% 3,89 3,889-0,05% 2 6,67% 6 3,767 3,767 0,00% 24 2,50% 2 6,382 6,382 0,00% 2 8,33% 62 9,284 9,283-0,0% 24 2,50% 3 3,66 3,642-0,52% 2 33,33% 63 0,750,75 0,00% 24 8,33% 4 4,80 4,794-0,5% 2 25,00% 64 3,327 3,327 0,00% 24 4,7% 5 2,667 2,667 0,00% 2 0,00% 65 2,390 2,390 0,00% 24 2,50% 6,78,779-0,% 2 6,67% 66,67,66-0,06% 24 2,50% 7,083,083 0,00% 2 0,00% 67 8,320 8,39-0,0% 24 2,50% 8 7,26 7,243-0,25% 2 33,33% 68 2,354 2,35-0,3% 24 20,83% 9 22,022,07-0,0% 2 6,67% 69,472,470-0,4% 24 6,67% 20,952,939-0,67% 2 25,00% 70 7,38 7,38 0,00% 24 8,33% 2,294,292-0,02% 2 6,67% 7,898,879 -,00% 24 33,33% 22 4,283 4,267-0,37% 2 33,33% 72 0,62 0,6-0,6% 24 2,50% 23 7,685 7,685 0,00% 2 8,33% 73,05,00-0,45% 24 25,00% 24 2,2 2,20-0,05% 2 6,67% 74 6,7826,777-0,03% 24 20,83% 25,437,433-0,03% 2 6,67% 75,77,6 -,37% 24 33,33% 26 8,7958,793-0,0% 2 6,67% 76 0,59 0,590-0,22% 24 6,67% 27 2,374 2,356-0,76% 2 33,33% 77 7,937 7,937 0,00% 24 4,7% 28 8,60 8,608-0,02% 2 6,67% 78 0,42 0,40-0,40% 24 6,67% 29,07,069-0,9% 2 6,67% 79 3,447 3,447 0,00% 24 4,7% 30 8,0298,025-0,02% 2 6,67% 80,,05-0,54% 24 25,00% 3,665,659-0,36% 2 25,00% 8 20,92220,99-0,0% 24 6,67% 32,540,540 0,00% 2 8,33% 82 3,00 3,00 0,00% 24 2,50% 33 5,723 5,723 0,00% 2 8,33% 83 9,22 9,6-0,07% 24 20,83% 34 7,443 7,440-0,04% 2 6,67% 84 0,737 0,737-0,02% 24 8,33% 35 2,583 2,583 0,00% 2 0,00% 85 7,980 7,980 0,00% 24 8,33% 36 0,703 0,688-2,3% 2 33,33% 86,6,4-0,7% 24 6,67% 37 3,9063,904-0,0% 2 6,67% 87 2,533 2,53-0,08% 24 6,67% 38 2,625 2,625 0,00% 2 8,33% 88 4,768 4,760-0,7% 24 25,00% 39 2,990 2,94-2,54% 2 50,00% 89,06,005 -,08% 24 29,7% 40 6,050 6,04-0,5% 2 25,00% 90 0,0890,089 0,00% 24 8,33% 4 4,97 4,97 0,00% 2 0,00% 9 2,6942,693-0,0% 24 2,50% 42 4,64 4,64 0,00% 2 8,33% 92 9,588 9,588 0,00% 24 4,7% 43 0,666 0,660-0,90% 2 25,00% 93 4,93 4,909-0,08% 24 20,83% 44 2,95 2,58 -,69% 2 4,67% 94,635,634-0,06% 24 8,33% 45,942,940-0,0% 2 6,67% 95 2,670 2,666-0,5% 24 20,83% 46 3,250 3,250 0,00% 2 0,00% 96 2,23 2,209-0,8% 24 20,83% 47,857,823 -,83% 2 4,67% 97,40,397-0,29% 24 20,83% 48 2,25 2,245-0,27% 2 25,00% 98 3,52 3,50-0,06% 24 6,67% 49 0,998 0,996-0,20% 2 6,67% 99 3,000 2,998-0,07% 24 2,50% 50 2,905 2,905 0,00% 2 8,33% 00,646,635-0,67% 24 29,7% abla 7

8 stockout e %fecuecafecueca acumulada [0,5] ,30] ,45] ,60] 00 60,75] ,00] abla 2 E la tabla 3 y e la fgua se obseva la dstbucó de la vaable df. Como se puede advet, e más del 90% de los casos el valo absoluto de esta vaable es meo del 0,8%. df e % fecuecafecueca acumulada [-3,-] 7 7 -,-0.8] 8-0.8,-0.6] 3-0.6,-0.4] ,-0.2] ,0] abla 3 Hstogam of df Desty df Fgua Co objeto de cotasta s exste dfeecas sgfcatvas ete los valoes de la vaable df paa 2 y 24 peíodos, se ha efectuado u test de Wlcoxo, cuyo esultado o pemte coclu la exsteca de tales dfeecas, algo que queda també patete e los dagamas box-plot co muescas de la fgua 2. 8

9 dfeeca e % peíodos Fgua 2 E la fgua 3 se epeseta el dagama de dspesó ete las vaables df y stockout. El gáfco sugee ua ceta coelacó ete ambas vaables, de modo que cuato mayo es el vel de stockout mayo es la dscepaca ete el método apoxmado y la estmacó MV, s be tal dscepaca es feo al % cas e la páctca totaldad de los casos e los que el vel de cesua es meo del 30%. df stockout Fgua 3 9

10 5. CONCLUSIONES Como se deduce de la pueba pesetada e el apatado ateo, ambos métodos, MV y MA, poduce esultados páctcamete détcos. La dfeeca máxma ete ambos o excede e gú caso el 2,54% e valo absoluto, y e el 90% de los casos es meo del 0,8%. Además, paece o tee flueca sgfcatva e esa dfeeca la catdad de datos empleada e la estmacó, tampoco el vel de stockout, sempe que éste sea elatvamete bajo meos del 30%). E cuato a su puesta e páctca, ambos métodos dfee otablemete. E el método MV se ecesta esolve umécamete ua ecuacó paa cada uo de los putos, lo cual puede sgfca u alto equemeto de softwae y de tempo de cómputo. El método MA, po el cotao, es mucho más secllo de mplemeta, pues basta ua smple hoja de cálculo. Este pocedmeto, o ua vaate suya, seía todavía más vetajoso e el caso de publcacoes daas, po la medatez exgda e la estmacó de la demada. BIBLIOGRAFÍA BELL P. 98): Adaptatve sales foecastg wth may stockouts. Joual of the Opeatoal Reseach Socety 32, CONRAD S.A. 976): Sales data ad the estmato of demad. Opeatoal Reseach Quately 27, LAU H.-S y LAU A.H.-L. 996): Estmatg the demad dstbutos of sglepeod tems havg fequet stockouts. Euopea Joual of Opeatoal Reseach, 92, WECKER W. 978): Pedctg demad fom sales data the pesece of stockouts. Maagemet Scece 24,