REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL Vol. 27, No. 2, , 2006

Transcripción

1 REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL Vol. 7, No., 7-83, 006 ESTUDIO DE LAS APROXIACIONES A LOS PROEDIOS ÓVILES Y LAS VOLATILIDADES EXPONENCIALES * Eduado Pza Volo y Jave Tejos, CIPA, Uvesdad de Costa Rca RESUEN E este atículo se estuda dvesos efoques paa def pomedos móvles y volatldades desde el puto de vsta expoecal, es dec, dado mas podeacó a los datos mas ecetes. Se ve que vaos de los que efoques usados e la lteatua adolece de vaos poblemas de defcó. Se popoe ua maea de def u sstema completo de pesos y de esta maea coeg alguos de los poblemas que peseta esos efoques. Además, se popoe ua fómula ecuete que covege al pomedo móvl y la volatldad expoecal eales. Falmete, se estuda las cotas paa los eoes de apoxmacó que se comete cuado se usa las fómulas estudadas. ABSTRACT: I ths pape dffeet appoaches ae studed, fo defg movg aveages ad volatles fom the expoetal pot of vew that s, gvg a lage weght to the moe ecet data. It s obtaed that dffeet appoaches, appeag the lteatue, have dffeet defto poblems. A method s poposed fo defg a complete weghtg system fo coectg some of the poblems peset these appoaches. A ecuet fomula that coveges to the eal movg aveage ad the expoetal volatle s poposed. Fally, uppe bouds ae studed fo the appoxmato eo appeag whe the studed fomulae ae used. KEY WORDS: appoxmato eo, complete weghtg system SC: 6P0. PROEDIO Y VOLATILIDAD EXPONENCIAL El pomedo expoecal y la volatldad expoecal de ua coleccó fta de datos(, N, basada e el paámeto (0,, se defe espectvamete a tavés de las fomulas sguetes: ( ( ( / ( ( - Las podeacoes (- empleadas e las fómulas ateoes foma lo que se deoma como u sstema completo de pesos, esto es, ua coleccó de pesos postvos cuya suma es la udad: ( (3 Ua posble tepetacó deto del campo de las matemátcas faceas cosste e detfca los datos co tasas de etoo daas, de maea que el subıdce e el dato dca que ta ecete e el tempo es la tasa de etoo cosdeada. Así, coespode a la tasa de etoo del dıa de hoy, a la tasa de etoo * Ivestgacó desaollada co el auspco de la Uvesdad de Costa Rca y el Sevco Alemá de Itecambo Académco (DAAD. E-mal: epza@caa.uc.ac.c jtejos@caa.uc.ac.c 7

2 de aye, 3 a la tasa de etoo de ateaye, y ası sucesvamete. La dea po detás de las fomulas ( y ( y el sstema completo de pesos e (3 estba e podea los datos( I N de foma tal que a aquellos datos que tega subıdces pequeños (esto es, los mas ecetes se les asoca u peso mayo, e compaacó co el peso asocado a los datos que tee subıdces gades (esto es, aquellos que coespode a fechas más vejas. El fudameto teóco que justfca el empleo de los pesos - ( - e las fomulas ( y ( povee de la dstbucó de pobabldad geométca o de Pascal, e la cual P[X ] p( - p -, dode X deota la vaable aleatoa que sgue dcha ley co paámeto p. El eveto [X ] cosste e la epetcó de puebas depedetes de Beoull, paa las cuales ocue - facasos ates de obtee el pme éxto. E uesto cotexto se toma p -. Las fomulas ( y ( paa el calculo de µ y hace efeeca a u úmeo fto de tasas de etoo. E la páctca se dspoe solamete de ua catdad fta,,..., N de tales datos, de maea que µ y solo puede se calculados e foma apoxmada. ías aú, los datos so actualzados daamete, dspoédose cada dıa de u uevo dato, dgamos 0, y po tal azó las apoxmacoes a µ y va vaado co el tempo. De allı el apelatvo de móvl al pomedo y volatldad que se calcula. E la seccó 3 de este atículo se estuda dvesos esquemas de apoxmacó a µ y y sus eoes asocados. També se dscute fomas de ealza seleccoes apopadas del paámeto (seccó, así como la elacó exstete ete este paámeto y la catdad de datos a cosdea e las apoxmacoes a µ y. Falmete e la seccó 4 se explca como ealza efcetemete los cálculos de estas apoxmacoes e hojas electócas tpo Excel.. SELECCIÓN DEL PARÁETRO Los pesos - ( - e la fómula (3 so sempe dececetes cofome se avaza e el pasado, esto es, cofome aumeta el valo del subídce. La tesdad del dececmeto depede de la seleccó del paámeto (0,. Al seleccoa valoes de cecaos a obteemos tasas de dececmeto pequeñas, metas que valoes de feoes os lleva a tasas de dececmeto mayoes. E otas palabas, valoes de meoes (po ejemplo, 0,93 cota 0,97 geea pomedos y volatldades expoecales e dode las podeacoes da u mayo peso a los datos mías ecetes y meos peso a los datos del pasado. Cómo ealza ua seleccó adecuada de? No exste ua espuesta completa a esta peguta. Depede del cotexto e el cual se esté empleado los datos. S embago, las sguetes ecomedacoes so empleadas co fecueca... Seleccó cuado el úmeo de peıodos es fjo Cuado se cooce la catdad de peıodos o dlas que abaca el stumeto que se está utlzado, sedo esta ua catdad pefjada, se ecomeda seleccoa el paámeto de acuedo a la fómula - (4 Así po ejemplo, se acoseja seleccoa - 0,954 paa stumetos a mes ( mes dlas hábles e pomedo, ,9783 paa vesoes a meses ( meses 46 dlas hábles e pomedo dlas y - 0,99 paa vesoes a 6 meses (6 meses 6 dlas hábles e pomedo. 6 E Pza y Tejos [8] se bda ua justfcacó teóca de este tpo de seleccó del paámeto, la cual es obteda cuado modelamos el úmeo de peodos como la espeaza matemátca de ua vaable aleatoa X que sgue la dstbucó geométca o de Pascal de paámeto p (pobabldad de éxto e puebas depedetes de Beoull. Etoces, al guala la espeaza matemátca de la vaable aleatoa X co el úmeo de peodos, obteemos N EX, p 73

3 que al despeja obteemos la fómula (4... Impotaca elatva del pesete fete al pasado Oto puto de vsta dfeete y quzás mías páctco e la seleccó del paámeto cosste e emplea la fómula sguete: φ dode φ dca la mpotaca elatva de mías (e pocetaje del dato de hoy fete al dato de aye. Po ejemplo, s deseamos que el dato de hoy tega ua mpotaca elatva 0% mayo que el dato de aye (esto es, φ 0,, etoces se ecomeda seleccoa 0,909. Cotuado el ejemplo, s mías be deseamos que la mpotaca elatva del dato de hoy sea de u 5% especto al de aye, etoces se puede seleccoa 0,953. Se debe toma e cosdeacó que este tpo de seleccó paa el paámeto 05 (fómula 5 se ecueta lgada a la ateomete ecomedada e la fómula 4. E efecto, al guala ambas fomulas obteemos -, que al despeja os lleva a la elacó pecsa ete y φ: φ φ. Po ejemplo, cuado dlas (esto es, empleado u stumeto a mes, obtedíamos, que poduce pecsamete el valo 0, APROXIACIONES A µ Y Las fomulas ( y ( paa µ y hace efeeca a u úmeo fto de peíodos, lo que e la páctca hace mposble el cálculo de estas catdades e foma exacta. E la páctca dspoemos solamete de ua catdad fta N de datos,,..., N y debemos calcula apoxmacoes paa µ y. Esto puede hacese a tavés de vaos efoques dsttos: a tucado las fómulas usado solamete los datos dspobles; b eescalado los pesos de los datos dspobles paa que fome u sstema completo de pesos; c usa u efoque ecusvo. Aalzamos a cotuacó estas vaates, examado el eo de apoxmacó ducdo e cada caso. 3.. Efoque de Rsk-etcs Ua de las apoxmacoes más dfuddas paa apoxma µ y es la empleada po Rsk-etcs [Pága Web Es el hostal pcpal de la empesa Rsk-etcs. ], auque quzás se tate de la metodologíıa más buda e cuato al tatameto de los eoes de apoxmacó cosste e fja u vel de cofaza o umbal postvo α cecao a 0 y cota las fómulas ( y ( cosdeado solamete los pmeos peíodos ( N,detal foma que la suma de los pesos supee a la catdad - α, esto es, se seleccoa el meo valo de que satsfaga la desgualdad sguete: ( - α De esta maea se desecha los datos más vejos, esto es, pecsamete aquellos datos asocados a pesos cuya suma o supee el umbal α peseleccoado. Resolvedo la ateo desgualdad, obteemos la catdad de peıodos a cosdea e los cálculos, que deomamos m paa dstgulo de otos efoques: l( α m It (6 l( 74

4 dode It deota la fucó pate etea. Las apoxmacoes obtedas µm y m coespodetes a µ y espectvamete medate este cteo, queda etoces como sgue: m ( (7 m ( ( m (8 Alguos ejemplos de la catdad de peíodos m a cosdea e estos cálculos se peseta e la Tabla. Este efoque de Rsk-etcs peseta dos debldades que debe se tomadas e cosdeacó: 0,00% 0,0% 0,% 0.5% % % 5% Cuado. Tabla de valoes de úmeo de peíodos e fucó de los valoes del vel de cofaza m α y el valo de, bajo el efoque de Rsk-etcs. a Al cota las fómulas cosdeado solamete peíodos se está apoxmado a µ y po defecto. Además las apoxmacoes obtedas µm y m o coespode a pomedos podeados, pues el sstema de podeacoes e este caso es completo (o suma la udad. b No se dspoe de u cotol apopado del eo que se está cometedo medate esta apoxmacó, el cual puede se más gade que lo espeado cuado los datos tee magtudes gades. 3.. Apoxmacoes empleado los peıodos últmos E esta seccó estudaemos cuales so los vedadeos eoes de apoxmacó que se comete al tuca las fómulas del pomedo y volatldad expoecales cosdeado solamete los peíodos. Empleaemos las últmas apoxmacoes (, ( ( (9 que coduce a los eoes de apoxmacó µ - y - espectvamete. E la páctca se desea tee cotol sobe estos eoes, o sea, pode seleccoa de foma tal que ambos eoes sea pequeños, dgamos feoes a u ceto umbal de eo peestablecdo de atemao. Pza&Tejos [003] estudao este poblema y hallao que metas los datos de patda( N se ecuete acotados, estos eoes de 75

5 apoxmacó covege expoecalmete a 0 cuado tede a fto. Ua lgea adaptacó de este esultado al cotexto actual se esume co el sguete esultado. Teoem a. Supógase que, paa todo. Etoces, los eoes de apoxmacó µ - y - tee las sguetes acotacoes: µ -, 4. (0 Además, paa que ambos eoes de apoxmacó sea feoes a u umbal peestablecdo, basta co seleccoa l( / l( / 4 > ax, l( l( Demostacó: Restado µ e ( co µ e (9 y aplcado la desgualdad tagula y el hecho que obteemos: ( ( (... ( lo que demuesta la acotacó del eo de apoxmacó µ - µ. Paa el estudo del eo de apoxmacó -, pmeamete cosdéese las descomposcoes ( ( (, ( ( ( Luego, al calcula - obteemos: ( Tomado valo absoluto y empleado sucesvamete las desgualdades, -, - y m obteemos etoces: ( 4Μ, que es la desgualdad popuesta. Falmete, al esolve e la vaable las desgualdades elemetales <,4 <, obteemos el meo valo de que debe seleccoase paa que ambos eoes de apoxmacó sea feoes a : > max l( / l( / 4, l( l( 3.3. Efoque de Rsk-etcs omalzado pesos 76

6 Como hemos vsto, el efoque de Rsk-etcs coduce a u sstema educdo de pesos - ( -, paa,,...,. El adjetvo educdo se efee al hecho que la sum a de estos pesos o alcaza la udad: m m ( < Co el f de mejoa este aspecto, los autoes popoe estadaza los pesos, dvdedo cada uo de ellos po la suma de los msmos. Obteemos etoces u uevo sstema de pesos que además de se fto es completo, (,,, m ( m cuya suma es la udad. Esto os lleva a mejoes apoxmacoes a µ y, que deomaemos medate µ y espectvamete (de Rsk-etcs Reescalado, de acuedo co las fómulas sguetes: m m m m ( m ( ( m m (3 (4 La catdad de peíodos m a cosdea pemaece gual que e el efoque de Rsk-etcs. Estudaemos e la sguete seccó los eoes de apoxmacó que duce estas apoxmacoes µ y Aa Usado peíodos y omalzado pesos U efoque muy popula cosste e apoxma el pomedo y volatldad expoecales µ y empleado ua catdad fja de peíodos, medate algú esquema que sea coheete co todo lo ateo. La catdad de peíodos geealmete se seleccoa de foma tal que coespoda a mes (, o meses ( 4, o tes meses ( 63, etc. Al pefja el úmeo de peíodos y pocede al cálculo de las apoxmacoes tomado e cueta e los cálculos solamete los pmeos peíodos, pevamete debemos ealza ajustes e los pesos, eescaládolos tal y como se explco e (, co el f de covetlos e u sstema completo de pesos (cuya suma sea la udad. Paa loga esto, se dvde los pesos ( - po la costate -, que es la suma de los pmeos pesos. De esa maea obteemos u sstema completo de pesos. E efecto: m ( m (.. ( Empleado estos uevos pesos omalzados podemos calcula las apoxmacoes a µ y, deotadas po µ y espectvamete, medate: m ( m ( ( / (5 (6 77

7 Bajo la hpótess que los datos( N so acotados, las apoxmacoes µ y covege a µ y espectvamete e foma expoecal, cuado tede a fto. Esto se demuesta e el sguete teoe a. m Teoema. Supógase que, paa todo. Etoces, los eoes de apoxmacó µ- y - tee las sguetes acotacoes: 4, (7 Paa que ambos eoes de apoxmacó sea feoes a u umbal peestablecdo,basta co seleccoa l( /( l( /(4 > ax, l( l( Umbal de eo 0,00% 0,0% 0,% 0,5%% % 5% 0,90 88/94 66/73 44/5 9/36 /9 6/3 7/6 0,9 98/06 74/8 49/57 3/40 5/33 8/6 8/8 0,9 /9 83/9 56/64 36/45 8/37 0/9 9/0 0,93 7/37 96/05 64/74 4/5 3/4 3/34 0/3 0,94 49/6 /3 75/86 49/6 38/50 7/39 /7 0,95 80/94 35/49 90/04 59/73 45/60 3/47 4/3 0,96 6/43 70/87 3/30 74/9 57/75 40/59 7/40 0,97 306/36 7/50 5/75 99/ 76/00 53/79 3/53 0,98 456/49 34/377 8/63 49/84 4/5 80/9 35/80 0,99 97/ / /58 99/370 30/303 6/39 69/6 Cuado. Tabla de valoes de úmeo de peíodos e fucó de los valoes del vel de cofaza α y el valo de,de acuedo a los teoemas y, paa 0,. El valo epotado a la zqueda coespode al efoque s omalza los pesos, metas que el valo de la deecha coespode al efoque omalzado los pesos. Demostacó: Pmeamete estudemos la acotacó del eo sguete:. Realzamos la descomposcó ( ( ( ( ( Tomado valo absoluto, obteemos: ( ( ( ( A cotuacó estudamos la acotacó del eo - descomposcó de : (,.Paa ello empleamos la sguete 78

8 ( ( ( ( ( ( Luego, ( ( ( Tomado valo absoluto y empleado sucesvamete las desgualdades, µ- /(-,, µ,y,, obteemos etoces: 4 ( ( que es la desgualdad popuesta. Falmete, al esolve e la vaable las desgualdades elemetales 4, < < obteemos el meo valo de que debe seleccoase paa que ambos eoes de apoxmacó sea feoes a : > l( 4 / l(, l( /( l( max 3.5. Efoque ecusvo Plateamos e esta seccó u esquema de ecusó smultáea paa el calculo apoxmado de µ y, muy apopado e la páctca s se desea actualza los cálculos de cada uevo dıa (o peıodo apovechado los valoes ya calculados el dıa ateo. El esquema cosste e lo sguete: supogamos que ya hemos calculado las apoxmacoes µold y old a µ y, y paa el sguete dıa (o peıodo cotamos co u uevo dato. Etoces, pocedemos a calcula las uevas apoxmacoes µ y medate la ecusó smultaea sguete: µew µold(w, (9 ew {(olf µolf (-ew µew }/. (0 Al pcpo se debe pocedeá calza las catdades µold y old de la sguete maea: µold, old 0. La covegeca expoecal de estas apoxmacoes queda gaatzadas po el sguete teoema. Teoema 3. Supógase que, paa todo. Etoces, luego de aplca el esquema ecusvo veces, los eoes de apoxmacó µ - µew y ew tee las sguetes acotacoes: 79

9 µ-µew, y ew 6. ( Paa que ambos eoes de apoxmacó sea feoes a u umbal peestablecdo, basta co seleccoa > l( 6 / l(, l( /( l( max,. ( Demostacó: Los datos sobe los cuales aplcamos el esquema ecusvo so,,...,. Iductvamete hallamos las sguetes fómulas:. ( ( ew ew ew Luego, ew ( ( Po ota pate, _ ( ( ( ( ( ew ew ew ew µ de dode, ew ew ew 6 ( ( Falmete, al esolve e la vaable las desgualdades elemetales <, 6 <, obteemos los valoes de que debe seleccoase paa que ambos eoes de apoxmacó sea feoes a : > l( 6 / l(, l( /( l( max El método ecusvo es el más pecso de los dscutdos e este atículo, debdo a que utlza todos los datos dspobles, a dfeeca de los otos efoques. Además, posee las vetajas que se tata de u método smple, de ápdo cálculo y fácl mplemetacó e hojas Excel. Po tales vetajas, es el método ecomedado po los autoes paa el calculo apoxmado de µ y. 4. PROGRAACIÓN EN HOJAS ELECTRÓNICAS EXCEL E la Tabla 3 se lusta ua hoja tıpca de Excel, coteedo fomacó coceete al Fodo de Captalzacó Laboal e Coloes. La tabla cotee las sguetes columas: E la columa A vee ua umeacó de los datos. Esta umeacó es utlzada po las fucoes VolExp y PomExp de Vsual Basc, explcadas mas adelate. 80

10 E la columa B vee la fecha de cada dato. E la columa C vee los datos butos de Actvo Neto. E la columa D vee la tasa de etoo, calculadas a pat de los Actvos Netos medate la fomula Actvo Neto Actvo Neto. Actvo Neto Es a estas tasas de etoo a las cuales se les calcula las volatldades expoecales. E la tabla apaece los datos más ecetes al fal: po ejemplo 94es el dato más ecete, metas que es el más vejo. A pat de la columa E e adelate vee los cálculos de las volatldades expoecales, sguedo las apoxmacoes desctas e el pesete atículo. Se utlza e los cálculos las fucoes VolExp y PomExp po-gamadas e Vsual Basc. 5. LAS FUNCIONES VolExp y PomExp La fucó PomExp calcula el pomedo expoecal de ua see de datos. Utlza tes paámetos: PomExp(celda, lambda,. Cuado 3. Ejemplo de ua tabla Excel, co datos eales del Fodo de Captalzacó Laboal e Coloes. La fucó calcula el pomedo expoecal de los datos ubcados haca aba de la caslla celda e la hoja Excel, usado el paámeto lambda. El códgo de PomExp e Vsual Basc es el sguete: Fucto PomExp(Rg As Rage, Lambda As Sgle, As Itege As Vaat 8

11 Dm sum As Double Dm As Itege If > Cells(Rg.Row, The PomExp "<FD>" ElseIf < 0 The PomExp "< Neg>" Else sum0fotosumsumlambda^(-*(-lambda* Rg.Item(-Nextsumsum/(-Lambda^PomExpsum Ed If Ed Fucto Es mpotate explca que esta fucó utlza la umeacó exstete e la columa A de la hoja Excel, po lo cual el usuao debe matee esta umeacó, como se lusta e la Tabla 3. Po ota pate, la fucó VolExp també utlza los msmos tes paámetos, co el msmo sgfcado: VolExp(celda, lambda,. El códgo e Vsual Basc de esta fucó es el sguete: Fucto VolExp(Rg As Rage, Lambda As Sgle, As Itege As Vaat Dm sum As Double Dm As Itege Dm mu As Double If > Cells(Rg.Row, The VolExp "<FD>" ElseIf < 0 The VolExp "< Neg>" Else mu PomExp(Rg, Lambda, sum 0 FoTo sumsumlambda^(-*(-lambda* (Rg.Item(-^NextsumSq((sum/(-Lambda^-mu^VolExpsum Ed If Ed Fucto També esta fucó utlza la umeacó de los datos e la hoja Excel, ubcada e la columa A. REFERENCIAS BAXTER,. ad A. RENNIE (996: Facal Calculus, Cambdge Uvesty Pess, Cambdge. BENIGNA, S. (000: Facal odelg, The IT Pess, Secod Edto, assachusetts. DUFFIE, D.(99: Dyamc Asset Pcg Theoy, Pceto Uvesty Pess, Pceto. KARATZAS, I. ad S.E. SHREVE (00: ethods of athematcal Face. Spge Velag, Belı. LUENBERGER, D.G. (998: Ivestmet Scece, Oxfod Uvesty Pess, New Yok. 8

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