Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO # 6: DINÁMICA DE LA PARÍCULA SEGUNDA LEY DE NEWON- Diego Luis Aristizábl R., Roberto Restrepo A., tin Muñoz H. Profesores, Escuel de Físic de l Universidd Ncionl de Colombi Sede Medellín ems Introducción Segund le de Newton El peso desde l segund le de Newton Mrcos de referenci inerciles l segund le de Newton Ejemplos con movimientos rectilíneos Ejemplos con movimientos curvilíneos Introducción Recordr que Isc Newton plnte en su contribución l mecánic ls tres lees de movimiento (le de inerci o primer le de Newton, le de l dinámic o segund le de Newton le de cción rección o tercer le de Newton) l le de grvitción universl. En módulos nteriores se trtron l primer tercer le de movimientos. En este módulo se trtrá l segund le plicd cuerpos que se pueden considerr bjo el modelo de prtículs. Segund le de Newton A continución se enunci l segund le de Newton, que si bien no es como l enunció Newton originlmente, si es equivlente: Ddo un mrco de referenci inercil si sobre un cuerpo (prtícul) ls fuerzs que ctún no se nuln el cuerpo (prtícul) cmbirá su velocidd, es decir estrá celerdo de tl form que se cumple, F = m en donde m es l llmd ms inercil del cuerpo. Est le se conoce tmbién con el nombre de le de l fuerz o le fundmentl de l dinámic. El peso desde l segund le de Newton Not: est sección se retomó textulmente del módulo 4 de este curso. En l morí de los csos, l gente confunde l ms con el peso. Se dice que lgo tiene much mteri si es mu pesdo. Esto se debe que se está costumbrdo medir l cntidd de mteri que contiene un

2 objeto por medio de l fuerz de trcción grvitcionl que l tierr ejerce sobre él. Pero l ms es lgo más fundmentl que el peso; l ms depende del número del tipo de átomos que lo componen: es un propiedd intrínsec del cuerpo. En tnto, el peso es un medid de l fuerz grvitcionl que ctú sobre el cuerpo vrí dependiendo del lugr donde éste se encuentre (en l Lun, en el plnet ierr, en el plnet Mrte,...). Sin embrgo si se plic l mism fuerz l objeto en l tierr en l lun, l celerción que dquiere éste es l mism concluéndose que l ms del cuerpo en l Lun en el plnet ierr es l mism. Ms vs Peso Ms: Cntidd de mteri que contiene un cuerpo. Más específicmente, es un medid de l inerci que present un cuerpo en respuest culquier intento por ponerlo en movimiento, detenerlo, desvirlo o cmbir en lgun form su estdo de movimiento o de reposo. Peso: Fuerz de trcción grvitcionl que ejerce el plnet ierr (o l Lun, o el plnet Mrte,...) sobre el cuerpo. L ms el peso no son lo mismo, pero son proporcionles uno l otro. Los objetos cu ms es grnde son mu pesdos. Los objetos con mss pequeñs tienen pesos pequeños. En un mismo lugr, duplicr l ms equivle duplicr el peso. L ms tiene que ver con l cntidd de mteri de un objeto el peso tiene que ver con l intensidd de l fuerz grvitcionl que ejerce el plnet ierr (l Lun,...) sobre el objeto. Con bse en l segund le de Newton de movimiento se puede deducir que si un cuerpo de ms m que está sólo bjo l cción del PESO P ( cíd libre ) se moverá con un celerción igul l celerción de l grvedd, cuo vlor promedio en l superficie terrestre es g 9,80 m.s, Figur. Es necesrio gregr que independientemente de l ms todos los cuerpos cen con est celerción. Con bse en lo expresdo en éste párrfo se puede concluir que como, F = m Y como l únic fuerz que ctú es P l celerción es g, entonces, P = mg Est expresión en mgnitud es, P = mg Cuánto pes un Kilogrmo? Si se dej cer un cuerpo de,00 kg de ms en el plnet ierr, Figur, éste desciende con un celerción igul 9,80 m.s - (desprecindo los efectos de rozmiento con el ire). Si plic l segund le de Newton, se obtiene:

3 Figur 3 P=mg - P=,00 kg9,80 m.s =9,80 N Es decir el peso en el plnet ierr, de,00 kg de ms es igul 9,80 N (Newton). En el sistem técnico (S, que es mu usdo en ingenierí) se dice que en el plnet ierr un cuerpo cu ms es de,00 kg, tiene un peso de,00 kgf (kilogrmo-fuerz). Est unidd, obvimente, no es del sistem interncionl (SI). En conclusión, otr unidd de fuerz es el kgf que equivle 9,80 N,,00 kgf=9,80 N En l lun ese mismo cuerpo de,00 kilogrmo de ms sólo pesrí,60 N. L cíd Libre Glileo mostró que todos los objetos que cen se mueven con l mism celerción sin importr su ms (como se comentó nteriormente). Esto es estrictmente cierto sólo si l resistenci del ire es desprecible, es decir, si los objetos están en cíd libre. En el vcío, un plum un piedr cen con l mism celerción (igul 9,80 m.s - quí en el plnet ierr) debido que l relción peso-ms ( P g m ) se mntiene constnte, es decir, si se divide el vlor del peso de l piedr entre su ms se obtiene el mismo vlor que si se divide el peso de l plum entre su ms este vlor es g. Mrcos de referencis inerciles l segund le de Newton En el módulo 6 se trtó l le de inerci o primer le de Newton. En éste módulo se sustentó l necesidd de que dich le sólo se podí plicr en mrcos de referenci inerciles: Existen ciertos mrcos de referenci, llmdos inerciles, respecto los cules un objeto, sobre el cul l fuerz net es nul, se mueve con v constnte. Pr plicr l segund le de Newton tmbién es necesrio hcerlo desde mrcos de referenci inerciles. Estos tienen ls crcterístics de que todos miden l mism celerción de un cuerpo. Pr sustentr est últim firmción supóngse que los sistems de coordends O O están fijos mrcos de

4 referenci inerciles: el de O está en reposo el de O se mueve con velocidd constnte respecto O, V o /o, Figur. 4 Figur Con bse l cinemátic de movimiento reltivo se sbe que, r A/o' = r A/o - r o'/o V A/o' = V A/o - V o'/o A/o' = A/o - o'/o Pero O es inercil por lo que se debe mover con velocidd constnte respecto O, entonces, o'/o = 0 Y por lo tnto, = A/o' A/o Es decir, todos los mrcos inerciles deben medir l mism celerción de los cuerpos. No sobr entonces insistir en que si un determindo mrco de referenci es inercil, culquier otro mrco que se trslde con vector velocidd constnte respecto l primero, será tmbién inercil. Not: Culquier cuerpo rígido que se encuentre fijo l superficie terrestre se comport de form mu proximd como un mrco de referenci inercil pr el nálisis mecánico de situciones físics locles.

5 Fuerzs ficticis En los mrcos de referenci inerciles no h presenci de ls denominds fuerzs ficticis, ls cules precen cundo el mrco de referenci está celerdo, como se ilustrrá con lgunos ejemplos. Un fuerz fictici es el efecto percibido por un observdor en reposo respecto un mrco de referenci no inercil cundo nliz el movimiento de un cuerpo desde ese mrco como si fuer inercil. 5 Ejemplo de fuerz fictici Anlizr el movimiento de un péndulo que se encuentr en un crro que celer con celerción constnte, Figur 3. Figur 3 Solución: Desde el mrco de referenci inercil: Figur 4

6 L fuerz F l ejerce l cuerd sobre l ms pendulr l fuerz P l ejerce el plnet tierr sobre ést, Figur. Como l ms pendulr está celerd se cumple l segund le de Newton, F = m x F = 0 A/o Observr que solo h celerción en dirección X. Por lo tnto, 6 F sen α = m A/o [] F cos α - mg = 0 [] Pero, A/o = [3] De ls ecuciones [], [] [3] se puede clculr el ángulo que se inclin el péndulo, tn α = g Es interesnte observr que conocid l inclinción se podrí verigur el vlor de l celerción del crro. Esto se emple en ingenierí pr l fbricción de los denomindos celerómetros. L ms pendulr l celerr el crro trt de quedrse con l velocidd que tení (le de inerci): es decir este es un efecto inercil que se provech pr construir los celerómetros (los celulres muchos dispositivos electrónicos poseen estos elementos internmente). Desde el mrco de referenci no inercil: Aquí el observdor en O tiene serios problems. Este se expresrá sí: L ms pendulr está en equilibrio que se mntiene con l mism inclinción mientrs no cmbie l celerción del crro por lo tnto plicrá l primer le de Newton (pr este observdor el crro es como si estuvier en reposo por lo tnto considerrá el crro como un mrco de referenci inercil). Pr logrr explicr esto se debe inventr un fuerz F fictici, Figur 5. Es clro que l fuerz F l ejerce l cuerd sobre l ms pendulr, l fuerz P l ejerce el plnet ierr sobre l ms pendulr; pero quién o qué ejerce l fuerz F fictici sobre l ms pendulr: NADIE o NADA. Est prece debido l obligción de encontrr un fuerz que equilibre l ms pendulr (observr que l fuerz F que ejerce l cuerd tiene un componente en X que si no se inventr ess fuer fictici no hbrí form de equilibrrl).

7 7 Figur 5 Es posible relizr este tipo de nálisis en los mrcos de referenci no inerciles hciendo correcciones con ls llmds fuerzs ficticis, pero sólo es recomendble cundo el estudinte, ingeniero o físico está lo suficientemente entrendo en ests técnics de ls fuerzs ficticis. En definitiv lo mejor será no inventrse fuerzs plicr ls lees de Newton como debe ser: en mrcos de referenci inerciles. Es interesnte pensr que el observdor O tmbién hubier podido expresr lo siguiente: estmos en presenci de un cmpo grvitcionl donde l grvedd es g efectiv, cuo vlor se clculrí vectorilmente como se ilustr en l Figur 6, izquierd representrí sólo dos fuerzs, Figur 6, derech. A P le drí el vlor de P = m x g efectivo. Figur 6

8 Posteriormente plicrí l primer le de Newton. Nuevmente el observdor se tuvo que inventr lgo: l existenci de un cmpo grvitcionl ficticio. Otros ejemplos de fuerzs ficticis Un sistem ms resorte ncldo en el techo de un scensor. Si el scensor sube con celerción el resorte se estir. El observdor que está dentro del scensor podrí decir que lgo o lguien ejerció un fuerz sobre l ms (pero ést es FICICIA). Pr nlizr l situción lo mejor es ubicrse fuer del scensor, por ejemplo, en el primer piso, pr plicr correctmente ls lees de Newton. Un scensor en cíd libre. Si se sueltn objetos dentro de éste, quedrán flotndo : el observdor dentro del scensor podrí decir que no h cmpo grvitcionl por lo que g=0; tmbién podrí decir que un fntsm los está sosteniendo. El observdor inercil, ubicdo fuer del scensor prdo en uno de los pisos del edifico, dirá que el scensor todo su contenido v en picd hci bjo (en cíd libre ) que el estdo de ingrvidez se debe los efectos del movimiento reltivo l interior del scensor. L denomind fuerz centrífug tmbién es un fuerz fictici: ést es un fuerz fictici que prece cundo se describe el movimiento de un cuerpo en un mrco de referenci en rotción, o equivlentemente l fuerz prente que percibe un observdor no inercil que se encuentr en un mrco de referenci girtorio. El clifictivo de "centrífug" signific que "hue del centro". En efecto, un observdor no inercil situdo sobre un pltform girtori siente que existe un fuerz que ctú sobre él, que le impide permnecer en reposo sobre l pltform menos que él mismo relice otr fuerz dirigid hci el eje de rotción. Así, prentemente, l fuerz centrífug tiende lejr los objetos del eje de rotción. Pero est no l ejerce nd ni ndie, solo son los efectos inerciles del cuerpo, en este cso, del observdor. 8 Ejemplos con movimientos rectilíneos Ejemplo Un cuerpo de ms m es lnzdo con velocidd V o deslizr sobre un superficie horizontl, Figur 7. Si el coeficiente de rozmiento dinámico entre ls superficies en contcto es µ k, encontrr l celerción. Figur 7 Solución: En l Figur 7 se ilustr el bloque en su posición inicil. mbién se ilustr el sistem de coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el piso es inercil.

9 En l Figur 8 se ilustr el digrm de fuerzs sobre el cuerpo. Ls fuerzs son: l fuerz de fricción f, el peso P l norml N. 9 Figur 8 El cuerpo solo tiene celerción en dirección X. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento se obtiene, F = m -f = m [] x x x F = 0 N - mg = 0 [] Adicionlmente, f = μ k N [3] De [] [3] se obtiene, = - μ g x k Es decir l celerción punt en el sentido contrio del movimiento. El bloque se mueve entonces con MUV retrddo. re: Si en este ejemplo V o = 5,00 m.s -, µ k = 0,00 clculr l distnci que logr recorrer el bloque cuánto tiempo se mntiene en movimiento? Ejemplo Un cuerpo de ms m es empujdo con un fuerz F sobre un superficie horizontl, Figur 9. Si el coeficiente de rozmiento dinámico entre ls superficies en contcto es µ k, encontrr l celerción. Figur 9

10 Solución: En l Figur 9 se ilustr un representción de l escen físic. mbién se ilustr el sistem de coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el piso es inercil. En l Figur 0 se ilustr el digrm de fuerzs sobre el cuerpo. Ls fuerzs son: l fuerz de fricción f, l fuerz F que ejerce el que lo empuj, el peso P l norml N. 0 Figur 0 El cuerpo solo tiene celerción en dirección X. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento se obtiene, F = m F - f = m [] x x x F = 0 N - mg = 0 [] Adicionlmente, f = μ k N [3] De [], [] [3] se obtiene, = x F- μ k m g m Si F es constnte el bloque se moverá con MUV celerdo. re: Si en este ejemplo el cuerpo es empujdo desde el reposo, µ k es igul 0,00, F= 40,0 N m = 0,0 kg, clculr l distnci que logr recorrer el bloque en 4,00 s. Ejemplo 3 Un cuerpo de ms m se suelt sobre un plno inclindo un ángulo, Figur. Si el coeficiente de rozmiento dinámico entre ls superficies en contcto es µ k, encontrr l celerción.

11 Figur Solución: En l Figur se ilustr un representción de l escen físic. mbién se ilustr el sistem de coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el plno es inercil. En l Figur se ilustr el digrm de fuerzs sobre el cuerpo. Ls fuerzs son: l fuerz de fricción f, el peso P l norml N. Figur El cuerpo solo tiene celerción en dirección X. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento se obtiene, F = m mg sen φ - f = m [] x x x F = 0 N - mg cos φ = 0 [] Adicionlmente, f = μ k N [3] De [], [] [3] se obtiene, = sen φ - μ cos φ g x k

12 El cuerpo desciende con celerción constnte en el cso que sen > µ k cos. Observr que si se despreci el rozmiento se obtendrí, x = g sen φ Ejemplo 4 En l Figur 3 se ilustr un máquin de Atwood. Suponiendo pole idel, encontrr l celerción con que se desplzn los bloques de ms m m. Figur 3 Solución: En l Figur 3 se ilustr un representción de l escen físic. mbién se ilustr el sistem de coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el techo es inercil. En l Figur 4 se ilustr el digrm de fuerzs sobre cd bloque. Se consideró que l tensión en l cuerd se trnsmite íntegrmente trvés de l pole (pole idel). Figur 4

13 Los cuerpos solo tienen celerción en dirección Y. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento se obtiene, F = m + m g = m [] F = m + m g = m [] Pero los bloques están ligdos por l cuerd por lo tnto, 3 + π R + = constnte en donde R es el rdio de l pole. Derivndo dos veces respecto l tiempo, + = 0 Es decir, = - por lo Si = entonces = - se obtiene de ls ecuciones [] [], = m - m m + m g Si los bloques tienen diferentes mss se moverán con igul celerción constnte (MUV). El sentido del movimiento se define de cuerdo cuál de los bloques tiene mor ms. Ejemplo 5 En l Figur 5 se ilustr un máquin de Atwood más complej que l del ejemplo nterior. Suponiendo poles ideles, encontrr l celerción con que se desplzn los bloques de ms m, m m 3. Figur 5

14 Solución: En l Figur 5 se ilustr un representción de l escen físic. mbién se ilustr el sistem de coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el techo es inercil. En l Figur 6 se ilustr el digrm de fuerzs sobre cd bloque sobre l pole móvil. Se consideró que ls tensiones en ls cuerds se trnsmiten íntegrmente trvés de ls poles (poles ideles). 4 Figur 6 Los cuerpos solo tienen celerción en dirección Y. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento pr los tres bloques pr l pole móvil se obtiene, F = m + m g = m [] F = m + m g = m [] F = m + m g = m [3] F = m + - = 0 [4] p p p Pero los bloques están ligdos por ls cuerds por lo tnto, + p = constnte p = - p + - = constnte + - = 0 3 p 3 p De ests dos últims ecuciones se obtiene, + 3+ = 0 [5] Combinndo ls ecuciones [], [], [3], [4] [5] se obtiene,

15 m m + m m - 4m m 3 3 m m + m m + 4m m 3 3 3m m - m m - 4m m 3 3 m m + m m + 4m m 3 3 g g 3 m m - 3 m m + 4m m 3 3 m m + m m + 4m m 3 3 g 5 Ejemplo 6 Un estudinte con el fin de medir su peso se pr sobre un báscul l cul se encuentr dentro de un scensor. Si el estudinte tiene un ms de 80,0 kg encontrr l lectur de l báscul en cd un de ls siguientes situciones: () El scensor sube con velocidd constnte. (b) El scensor desciende con velocidd constnte. (c) El scensor sube con celerción constnte e igul m.s -. (d) El scensor bj con celerción constnte e igul m.s -. (e) Se rompe el cble del scensor éste desciende en cíd libre. Solución: En l Figur 7 se ilustr un representción de l escen físic. mbién se ilustr el sistem de coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el piso es inercil. Figur 7

16 En l Figur 8 se ilustr el digrm de fuerzs sobre el estudinte. L fuerz P es su PESO REAL, l fuerz N es l que le ejerce l báscul l estudinte. L rección N es l que mrc l báscul: es decir, si se clcul N se sbe cuánto mrc l báscul. 6 Figur 8 Pr generlizr el cálculo se supondrá que el scensor sube con celerción constnte. Aplicndo l segund le de Newton l estudinte (est se plicrá desde el mrco de referenci inercil elegido), F = m N - mg = m Por lo tnto N = m g + Entonces: () Si sube con velocidd constnte, = 0, N = m g = 80,0 kg 9,80 m.s = 784 N o en kgf, N = 80,0 kgf (b) Si bj con velocidd constnte el resultdo es igul l del cso (). (c) Si sube con celerción de m.s - l báscul mrc: - N = 80,0 kg 9,80 +,00 m.s = 944 N o en kgf, N = 944 N kgf 9,80 N = 96,3 kgf (d) Si bj con celerción de m.s - l báscul mrc:

17 - N = 80,0 kg 9,80 -,00 m.s = 64 N o en kgf, N = 64 N kgf 9,80 N = 63,7 kgf (e) Si bj en cíd libre l celerción es -g, l báscul mrc: 7 - N = 80,0 kg 9,80-9,80 m.s = 0 N o en kgf, N = 0 kgf Observr que l báscul solo mrc el PESO REAL en los csos () (b). Ejemplo 7 En l Figur 9 se ilustr un pr de bloques de mss m = 0,0 kg m =40,0 kg que es empujdo desde el bloque m con un fuerz de 500 N. Si el coeficiente de rozmiento cinético entre ls superficies en contcto es igul 0,400, clculr: () l celerción de los bloques, (b) l fuerz de contcto entre éstos. Repetir los cálculos intercmbindo los bloques. Figur 9 Solución: En l Figur 9 se ilustr un representción de l escen físic. coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el piso es inercil. mbién se ilustr el sistem de En l Figur 0 se ilustr el digrm de fuerzs sobre dos sistems elegidos: un sistem es el conjunto de los dos bloques el otro es el bloque m. Los cuerpos solo tienen celerción en dirección X. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento pr el sistem, F = m m F - f = m m [] x F = 0 N - m + m g = 0 []

18 8 Figur 0 Adicionlmente, f = μkn [3] Combinndo ls ecuciones [], [] [3] se obtiene, F - μ m + m g k = [4] m + m Pr clculr l fuerz de contcto se debe nlizr el sistem, F = m F - F - f = m [5] x F = 0 N - m g = 0 [6] Adicionlmente, f = μkn [7] Combinndo ls ecuciones [4], [5], [6] [7] se obtiene, m F F = m + m que corresponde l fuerz entre los bloques. Reemplzndo los vlores numéricos se obtiene, m = 4,40 s

19 F = 333,33 N re: Comprobr que si se repite el nálisis pero intercmbindo los bloques, se obtiene l mism celerción pero l fuerz de contcto es diferente, m F F = m + m 9 Es decir, F = 66,66 N Ejemplo 8 res bloques de mss m =,00 kg, m =4,00 kg m 3 =6,00 kg son empujdos desde el bloque m (hci l derech) con un fuer F=0,0 N, Figur. Clculr l celerción de los bloques si el rozmiento entre ls superficies en contcto se puede desprecir. Solución: Figur En l Figur se ilustr un representción de l escen físic. coordends elegido. El mrco de referenci elegido es el piso es inercil. mbién se ilustr el sistem de En l Figur se ilustr el digrm de fuerzs sobre tres sistems elegidos: un sistem es el conjunto de los tres bloques, otro es el bloque m el otro el bloque m. Los cuerpos solo tienen celerción en dirección X. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento pr el sistem, F = m m m F = m m + m [] x F = 0 N - m + m + m g = 0 []

20 0 Reemplzndo los dtos en l ecución [] se obtiene, Figur = F m + m + m 3 0,0 N m = = 0,833,00 + 4,00 + 6,00 s Pr clculr l fuerz de contcto F se debe nlizr el sistem, F = m F - F = m [3] x F = 0 N - m g = 0 [4] Reemplzndo los dtos en l ecución [3] se obtiene, F = F - m m F = 0 N -,00 kg 0,833 = 8,33 N s Pr clculr l fuerz de contcto F se debe nlizr el sistem 3, F = m F - F = m [5] x F = 0 N - m g = 0 [6] Reemplzndo los dtos en l ecución [5] se obtiene,

21 F = F - m m F = 8,33 N - 4,00 kg 0,833 s = 5,00 N Ejemplo 9 Clculr l celerción de los bloques de l Figur 3 si el coeficiente de rozmiento cinético entre ls superficies en contcto es µ k. Figur 3 Solución: En l Figur 3 se ilustr un representción de l escen físic. mbién se ilustr los sistems de coordends elegidos. El mrco de referenci elegido es el piso es inercil. En l Figur 4 se ilustr el digrm de fuerzs sobre los bloques. Figur 4

22 El cuerpo m solo tiene celerción en dirección X el cuerpo m solo tiene celerción en dirección Y. Aplicndo ls lees de Newton de movimiento pr el sistem, F = m + f = m [] x F = 0 N - m g = 0 [] Adicionlmente, f=μ kn [3] Aplicndo l segund le de Newton l bloque m se obtiene, F = m - + m g = m [4] Además los bloques están ligdos por l cuerd por lo tnto, x + = constnte Derivndo dos veces respecto l tiempo se obtiene, = - [5] Si se hce = entonces = -. Reemplzndo en ls ecuciones [] [4] combinndo con ls ecuciones [], [3] se obtiene, = m - μkm m + m g Observr que se si se desprende l ms m, l ms m descenderá en cíd libre. Ejemplos con movimientos curvilíneos Ejemplo 0 Anlizr l dinámic de un cuerpo de ms m tdo un cuerd de longitud L que gir en un circunferenci verticl, Figur 5. Figur 5

23 Solución: En l Figur 6 se ilustr el sistem coordendo escogido. Observr que se us los ejes socidos l bse compuest por los versores û de referenci elegido es el piso es inercil. û N (l bse intrínsec) debido que el movimiento es curvilíneo. El mrco 3 Figur 6 En l Figur 7 se ilustr el digrm de fuerzs en un posición generl del cuerpo. Figur 7 Aplicndo l segund le de Newton tnto en dirección tngencil como en dirección norml, Aquí F = m - mg senφ = m [] F = m - mg cosφ = m [] N N N corresponde l celerción tngencil Adicionlmente l celerción centrípet es, V N = [3] L Combinndo ls tres ecuciones se obtiene, N corresponde l celerción norml o centrípet.

24 = - g senφ = m gcosφ + V L Observr que en: =0, 4 0 = mg + V L que corresponde l máxim tensión de l cuerd. =/, = - g = mv L =, 0 = m V L g que corresponde l mínim tensión de l cuerd. A continución se procederá clculr l fuerz centrípet. De l ecución [] se obtiene, F = m F = - mg cosφ N N centrípet Pr =0, F centrípet = - mg Pr =/, F centrípet = Pr =,

25 F centrípet = + mg Not: L fuerz centrípet NO es un fuerz individul: es el resultdo de l sum de tods ls fuerzs que tienen l dirección del eje norml. Siempre punt hci el centro de curvtur. A continución se clculrá l rpidez del cuerpo. Como se obtuvo pr l celerción tngencil, = - g senφ 5 como, dv = dt se obtiene, dv - g senφ = dt Ahor, dv dv ds VdV = = dt ds dt Ldφ Entonces, VdV = - g senφ Ld V VdV= - g L senφ d Vo 0 V = V + gl cosφ - o Ahor se clculrá l velocidd mínim V min con l cul debe psr el cuerpo por el punto más lto pr que logre continur en l trectori circulr. En est situción =0 =, = m gcosφ + V L 0 = m gcosπ + Vmin L V min = gl

26 Ejemplo Anlizr l dinámic de un péndulo simple, Figur 8. 6 Figur 8 Solución: Un péndulo simple se define como un ms puntul td un hilo inextensible. En l Figur 9 se ilustr los ejes coordendos elegidos. El mrco de referenci es el techo es inercil. En l figur 30 se ilustr el digrm de fuerzs. Figur 9 Figur 30

27 Aplicndo l segund le de Newton tnto en dirección tngencil como en dirección norml, F = m - mg senφ = m [] F = m - mg cosφ = m [] N N N Aquí corresponde l celerción tngencil N corresponde l celerción norml o centrípet. 7 V N = [3] L Combinndo ls tres ecuciones se obtiene, = - g senφ = m gcosφ + V L Supongmos que el péndulo se soltó cundo = o, = - g senφ como, dv = dt Se obtiene, dv - g senφ = dt Ahor, dv dv ds VdV = = dt ds dt Ldφ Entonces, VdV = - g senφ Ldφ V VdV= - g L senφ d 0 o

28 V = gl cosφ - cosφ 0 Ejemplo Anlizr l dinámic de un cuerpo de ms m tdo un cuerd de longitud L que gir en un circunferenci horizontl, Figur 3. 8 Figur 3 Solución: En l Figur 3 se ilustr los ejes coordendos elegidos. El mrco de referenci es el piso es inercil. En l figur 3 se ilustr el digrm de fuerzs. Figur 3 Aplicndo l segund le de Newton tnto en dirección tngencil como en dirección norml, F = 0 (No h fuerzs en est dirección) mv F N = m N cosφ = [] L cosφ

29 Se h reemplzdo el rdio de l trectori circulr: R = L cos. Adicionlmente en dirección Z no h celerción, F = 0 senφ - mg = 0 [] z De ls ecuciones [] [] se obtiene, V = gl cosφ cotφ 9 El cuerpo gir con rpidez constnte, es decir el movimiento circulr es uniforme, MCU. El periodo de este movimiento es, V = ω R gl cosφ cotφ = π P Lcosφ P = π L cosφ gl cosφ cotφ P = π L senφ g Ejemplo 3 Un cuerpo se desliz sobre un superficie cilíndric. Relizr en nálisis dinámico del cuerpo cundo sciende, Figur 33. L ms del cuerpo es m, el rdio de l superficie R el coeficiente de rozmiento cinético entre ls superficies en contcto es µ k. Figur 33 En l Figur 33 se ilustr l escen físic en un instnte culquier. Además se ilustr los ejes coordendos elegidos. El mrco de referenci es el piso es inercil.

30 En l Figur 34 se ilustr el digrm de fuers: f es l fuerz de rozmiento, P el peso del cuerpo N l fuerz norml. 30 Figur 34 Aplicndo l segund le de Newton, Aquí F = m - mg senφ - f = m [] Además, V F N = m N N - mg cosφ = m [] R corresponde l celerción tngencil f=μ kn [3] Observr que si se despreci el rozmiento, = - g senφ Ejemplo 4 Perlte de crreter: N corresponde l celerción norml o centrípet. Encontrr l rpidez máxim con l que un vehículo puede tomr l curv en un crreter cuo perlte tiene un inclinción, Figur 35. Pr relizr un nálisis crítico, desprecir l fuerz de rozmiento. ener en cuent que R es el rdio de l trectori circulr del vehículo.

31 3 Figur 35 En l Figur 35 se ilustr l escen físic en un instnte culquier. Además se ilustr los ejes coordendos elegidos. El mrco de referenci es el piso es inercil. En l Figur 36 se ilustr el digrm de fuerzs: P el peso del vehículo N l fuerz norml. ener en cuent que el vehículo en l Figur viene hci fuer de l págin. Figur 36 Aplicndo l segund le de Newton, F = 0 N cos - mg = 0 [] Z V F N = m N N senφ = m [] R Combinndo ls ecuciones [] [] se obtiene, V = g R tnφ Est corresponde l velocidd máxim con l que el vehículo puede tomr l curv sin deslizr (desprecindo ls fuerzs de rozmiento). Ejemplo 5 Clculr el PESO APARENE de un person en l líne del ecudor, Figur 37.

32 3 Figur 37 En L Figur 37 se ilustr l escen físic. En l Figur 38 se ilustr el digrm de fuerzs sobre l person el eje coordendo elegido: P corresponde l PESO REAL de l person, N l fuerz que ejerce l báscul sobre l person (l rección est es l que lee l báscul. El mrco de referenci es el plnet ierr (considerdo proximdmente inercil pr est situción). Figur 38 Aplicndo l segund le de Newton se obtiene, V F N = m N N + mg = m R Por lo tnto el PESO APARENE de l person es,

33 V N = mg - R re: El rdio de l tierr es 6370 km. Si l ms de l person es 80 kg, clculr su peso rel su peso prente en l líne del ecudor. Expresr l respuest en N en kgf. 33 ller Con los ejercicios siguientes el objetivo es dquirir l destrez pr nlizr de form ordend metódic sistems mecánicos en situción de no equilibrio que pueden reducirse l modelo de prtículs. En cd un de ls soluciones se deberá:. Definir el mrco de referenci inercil.. Definir los ejes de coordends con su respectivo origen orientción. 3. Dibujr prte los digrms de fuerz de los subsistems elegidos que se nlizrán pr logrr obtener l solución. 4. Aplicr correctmente ls lees de Newton: o o Primer o segund le de Newton (plicd cd orientción, es decir, eje coordendo): plnter ordendmente ls ecuciones correspondientes ls condiciones de equilibrio o no equilibrio de los subsistems pr cd orientción (eje coordendo) que son necesris pr obtener l solución. ercer le de Newton: plicr correctmente l le de cción rección (esto con el fin de disminuir el número de incógnits en los sistems de ecuciones). 5. Resolver lgebricmente ls ecuciones. 6. Si es necesrio encontrr soluciones numérics, reemplzr los vlores en ls ecuciones sin olvidr expresr el resultdo con l respectiv unidd de medid. 7. Anlizr l coherenci del resultdo. Dinámic del movimiento rectilíneo. Sobre un cuerpo de 0,0 kg, podo en un plno horizontl, ctún dos fuerzs concurrentes de 00 N cd un: un horizontl l otr formndo un ángulo de 60,0 0 con l horizontl. () Si se despreci el rozmiento entre ls superficies en contcto, clculr l celerción del cuerpo. (b) Si el coeficiente de rozmiento cinético entre ls superficies en contcto es igul 0,50, clculr l celerción del cuerpo.. Dos bloques de 75,0 kg (A) 0 kg (B) de ms están en contcto en reposo sobre un superficie horizontl, Figur. Sobre el bloque de 75,0 kg se ejerce un fuerz F de 60 N. Si el coeficiente de rozmiento cinético entre ls superficies de los bloques l superficie horizontl es 0,5, clculr () l celerción del sistem (b) l fuerz que cd uno de los bloques ejerce sobre el otro. (c) Repetir el ejercicio con los bloques invertidos.

34 Figur El sistem mecánico de l Figur se mueve con celerción. Clculr l celerción ls tensiones en ls cuerds en función de los vlores de ls mss de l fuerz F que ejerce l mno de un señor que hl el sistem. Suponer que el coeficiente de rozmiento cinético entre ls superficies de los bloques l superficie sobre l que deslizn es µ. F m m3 m4 Rp. g ; F m m m m m m m m m3 m4 m4 F ; 3 F m m m m m m m m Figur 4. Un person de ms 58,0 kg se encuentr sobre un pltform de ms 4,5 kg, Figur 3. Encontrr l fuerz que l person debe hcer sobre el extremo libre de l cuerd pr () subir con celerción igul 0,6 m.s -, (b) bjr con celerción igul 0,60 m.s -, (c) subir con velocidd constnte, (d) bjr con velocidd constnte. Suponer pole idel. Rp. () 377 N; (b) 333 N; (c) 355 N; (d) 355 N. Figur 3

35 5. Un person de ms 70,0 kg se encuentr sobre un pltform de ms 30,0 kg, Figur 4. Encontrr l fuerz que l person debe hcer sobre el extremo libre de l cuerd pr subir con celerción igul 0,800 m.s -. Suponer poles ideles. Rp.,6 kgf. 35 Figur 4 6. En l Figur 5 los bloques A B tienen respectivmente mss igules 5,0 kg 0,0 kg; el coeficiente de rozmiento cinético entre ls superficies de contcto de los bloques entre l superficie del bloque B el suelo es igul 0,30. Si se plic un fuerz horizontl de 5,0 N, determinr: () l celerción del bloque B, (b) l tensión del cble. Suponer pole idel. Rp: 3,43 m.s - ; 3,9 N. Figur 5 7. En el sistem mecánico de l Figur 6 l superficie horizontl es lis ls mss m m son respectivmente igules 5,00 kg 7,00 kg clculr ls celerciones de los bloques. Suponer poles ideles. Rp: De m es 5,08 m.s - m es,54 m.s -

36 36 Figur 6 8. En el sistem mecánico de l Figur 7 l superficie horizontl es lis ls mss m m son respectivmente igules 5,00 kg 7,00 kg clculr ls celerciones de los bloques l tensión en cd cuerd. Suponer poles ideles. Rp: De m es 4,6 m.s - m es 8,3 m.s - ; 0,8 N 0,4 N Figur 7 9. En l Figur 8 se ilustr un señor de 60,0 kg que se encuentr sobre un báscul con el objetivo de medir su peso. Cuánto mrcrá l báscul si el scensor: () sube con velocidd constnte, (b) bj con velocidd constnte, (c) sube con celerción de 0,500 m.s -, (d) bj con celerción de 0,500 m.s -, (e) si se revient el cble del scensor. Figur 8

37 Dinámic del movimiento circulr 0. Se t un bol de 5,00 kg de ms l extremo de un cuerd de 4,00 m de longitud se hce girr en el ire con rpidez constnte como se ilustr en l Figur 9. L esfer recorre un trectori horizontl tl que l cuerd form un ángulo de 40,0 0 con l verticl. Determinr l rpidez de l esfer l tensión en l cuerd. Rp. 3,5 m.s - ; 63,9 N. 37 Figur 9. Un péndulo simple de longitud L que tiene como cuerpo pendulr un pequeñ esfer de ms m, se suelt cundo form un ángulo θ con l verticl. Demostrr que: o () L rpidez de l esfer en función del ángulo θ con l verticl es igul, V = gl cosθ - cosθ o (b) L celerción totl en función del ángulo con l verticl es igul : = -gsenθ u ˆ + g cosθ - cosθ en donde trectori. o N û u ˆ û N corresponden los versores que dn ls direcciones tngencil norml l (c) L mgnitud F de l tensión en l cuerd en función del ángulo θ con l verticl es igul : F = mg 3cosθ - cosθ o. Un pequeño bloque de,00 kg de ms está tdo un cuerd de 0,6 m gir 60,0 rpm en un círculo verticl. Clculr l tensión en l cuerd cundo el bloque se encuentr () en el punto más lto del círculo; (b) en el punto más bjo, (c) cundo l cuerd está horizontl, (d) clculr l rpidez que debe tener el bloque en el punto más lto fin de que l tensión en l cuerd se cero. Rp: 3,89 N; 33,49 N; 3,69 N;,4 m. s -.

38 3. Un piloto que pes 70,0 kgf se mueve en un vión que describe un circunferenci verticl de 00 m de rdio con rpidez linel constnte de 360 km.h -. Obtener en kgf l fuerz que ejerce el siento sobre el piloto cundo ps por los puntos superior e inferior de l trectori (el piloto en l prte superior de l trectori qued con l cbez hci bjo en el prte inferior con l cbez hci rrib). Rp: 0,5 kgf; 9,3 kgf 4. Demostrr que si un crreter en un curv de rdio de curvtur R tiene un perlte de inclinción φ coeficiente de rozmiento estático trnsitrl con seguridd es, μs l rpidez máxim que deberí llevr un vehículo pr 38 senφ + μ cosφ s V= gr cosφ - μ s senφ FIN