BOLILLA 4 Movimiento Circular y Leyes de Newton

Transcripción

1 BOLILLA 4 Movimiento Circulr y Leyes de Newton 1. Movimiento Circulr. En usenci de fuerzs, el movimiento en líne rect y velocidd constnte continú indefinidmente. El movimiento circulr, sin embrgo, necesit fuerzs pr existir. Se define movimiento circulr como quél cuy tryectori es un circunferenci. Un vez situdo el origen O de ángulos describimos el movimiento circulr medinte ls siguientes mgnitudes. Posición ngulr, θ En el instnte t el móvil se encuentr en el punto P. Su posición ngulr viene dd por el ángulo θ, que hce el punto P, el centro de l circunferenci C y el origen de ángulos O. El ángulo θ, es el cociente entre l longitud del rco s y el rdio de l circunferenci r, θ=s/r. L posición ngulr es el cociente entre dos longitudes y por tnto, no tiene dimensiones. Velocidd ngulr, ω En el instnte t' el móvil se encontrrá en l posición P' dd por el ángulo q '. El móvil se hbrá desplzdo Dq=θ ' -θ en el intervlo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'. Se denomin velocidd ngulr medi l cociente entre el desplzmiento y el tiempo. Δθ ω =

2 Como y se explicó en el movimiento rectilíneo, l velocidd ngulr en un instnte se obtiene clculndo l velocidd ngulr medi en un intervlo de tiempo que tiende cero. Δθ ω = lim = 0 dθ Relción velocidd linel y ngulr: De l definición de rdián (unidd nturl de medid de ángulos) obtenemos l relción entre el rco y el rdio. Como vemos en l figur, el ángulo se obtiene dividiendo l longitud del rco entre su rdio θ = s s' = r r' Derivndo s=rθ respecto del tiempo, obtenemos l relción entre l velocidd linel y l velocidd ngulr ds dθ = r ; v = rω L dirección de l velocidd es tngente l tryectori circulr, es decir, perpendiculr l dirección rdil Si T es el tiempo que trd el móvil en dr un vuelt complet (Período), el vlor de l velocidd es igul l longitud de l circunferenci 2πR dividid por T: 2πR v = T Se f l frecuenci l cul se define como cntidd de vuelts en un tiempo fijo, donde f = 1/T Entonces podemos escribir tmbién: v = 2π. R. f

3 Acelerción ngulr, α Si en el instnte t l velocidd ngulr del móvil es ω y en el instnte t' l velocidd ngulr del móvil es ω'. L velocidd ngulr del móvil h cmbido Δω=ω' -ω en el intervlo de tiempo =t'-t comprendido entre t y t'. Se denomin celerción ngulr medi l cociente entre el cmbio de velocidd ngulr y el intervlo de tiempo que trd en efectur dicho cmbio. Δω α = L celerción ngulr en un instnte, se obtiene clculndo l celerción ngulr medi en un intervlo de tiempo que tiende cero. Δω α = lim = Δ t 0 dω Acelerción tngencil Derivndo l velocidd con respecto del tiempo obtenemos l relción entre l celerción tngencil t y l celerción ngulr. dv dω = r ; t = rα Un móvil tiene celerción tngencil, siempre que el módulo de su velocidd cmbie con el tiempo. Movimiento circulr uniforme Un movimiento circulr uniforme es quél cuy velocidd ngulr ω es constnte, por tnto, l celerción ngulr es cero. L posición ngulr θ del móvil en el instnte t lo podemos clculr integrndo. θ -θ 0 =ω(t-t 0 ) Hbitulmente, el instnte inicil t 0 se tom como cero. Ls ecuciones del movimiento circulr uniforme son nálogs ls del movimiento rectilíneo uniforme

4 α = 0 ω = cte θ = θ 0 + ω. t Acelerción norml El cálculo de l componente norml de l celerción es lgo más complicdo. L celerción norml está relciond con el cmbio de l dirección de l velocidd con el tiempo. En un movimiento circulr uniforme no existe celerción tngencil y que le módulo de l velocidd no cmbi con el tiempo, solmente cmbi su dirección y por tnto, tiene celerción norml. Supongmos un móvil que describe un movimiento circulr uniforme. En el instnte t l velocidd del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuy dirección es tngente l circunferenci. En el instnte t' l velocidd del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección h cmbido. Clculemos el cmbio de velocidd Δv=v -v que experiment el móvil entre los instntes t y t', tl como se ve en l figur. El vector Δv tiene dirección rdil y sentido hci el centro de l circunferenci. Los triángulos de color rojo y de color zul de l figur son isósceles y semejntes por lo que podemos estblecer l siguiente relción Δs r = Δv v Donde l cuerd Δs es el módulo del vector desplzmiento entre los instntes t y t' Dividiendo mbos miembros entre el intervlo de tiempo =t'-t Δv = v Δs r Cundo el intervlo de tiempo tiende cero, l cuerd Δs se proxim l rco, y el cociente ds/ nos d el módulo de l velocidd v del móvil,

5 n Δv v Δs v ds v = lim = lim = = 0 r 0 r r 2 L celerción norml n tiene dirección rdil y sentido hci el centro de l circunferenci que describe el móvil y su módulo viene ddo por un u otr de ls expresiones siguientes: n 2 = v 2 = ω r r Est es l deducción más elementl de l fórmul de l celerción norml que se bs en l identificción de l longitud del rco entre dos puntos de l circunferenci con l cuerd que ps por dichos puntos, cundo mbos puntos están muy próximos entre sí. Resumiendo L dirección de l velocidd de un móvil en movimiento circulr es tngente l circunferenci que describe. Un móvil tiene celerción tngencil t siempre que cmbie el módulo de l velocidd con el tiempo. El sentido de l celerción tngencil es el mismo que el de l velocidd si el móvil celer y es de sentido contrrio, si se fren. Un móvil que describe un movimiento circulr uniforme no tiene celerción tngencil. Un móvil que describe un movimiento circulr siempre tiene celerción norml, n y que cmbi l dirección de l velocidd con el tiempo. L celerción norml tiene dirección rdil y sentido hci el centro de l circunferenci que describe. L celerción del móvil se obtiene sumndo vectorilmente mbs componentes de l celerción.

6 2. Leyes de Newton. Su vlidez en l mecánic clásic. L mecánic se bs en tres leyes nturles, enuncids por primer vez de un modo preciso por Sir Isc Newton ( ) y publicds en 1686 en su Philosophie Nturlis Principi Mthemtic (Los fundmentos mtemáticos de l cienci de l Nturlez). No debe deducirse, sin embrgo, que l mecánic como cienci comenzó con Newton. Muchos le hbín precedido en estos estudios, siendo el más destcdo Glileo Glilei ( ), quien, en sus trbjos sobre el movimiento celerdo, hbí estblecido los fundmentos pr l formulción por Newton de sus tres leyes. 2.1 Primer ley de Newton. Todo cuerpo permnece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no ctún fuerzs sobre él. Un efecto de ls fuerzs es lterr ls dimensiones o l form del cuerpo sobre el que ctún; otro consiste en modificr su estdo de movimiento. El movimiento de un cuerpo puede considerrse compuesto de su movimiento como conjunto, o movimiento de trslción, y de culquier movimiento de rotción que el cuerpo pued tener. En el cso más generl, un fuerz únic ctundo sobre un cuerpo produce l vez cmbios en sus movimientos de trslción y de rotción. Sin embrgo, cundo vris fuerzs ctún simultánemente sobre un cuerpo, sus efectos pueden compensrse entre sí, dndo como resultdo que no hy cmbio en su movimiento de trslción ni en el de rotción. Cundo sucede esto, se dice que el cuerpo está en equilibrio, lo que signific: 1) que, el cuerpo en conjunto o permnece en reposo o se mueve en líne rect velocidd constnte; 2) que el cuerpo no gir o que lo hce con velocidd constnte. Pr un solución nlític, es ordinrimente más sencillo mnejr ls componentes rectngulres de ls fuerzs. Hemos demostrdo que ls componentes rectngulres de l resultnte R de culquier conjunto de fuerzs coplnris son: R x = Fx ; R y = Fy Cundo un cuerpo está en equilibrio, l resultnte de tods ls fuerzs que ctún sobre él es nul. Ambs componentes rectngulres son entonces nuls, y, por tnto, pr un cuerpo en equilibrio se verific: x y F = 0 ; F = 0 Ests ecuciones constituyen l primer condición de equilibrio. L segund condición de equilibrio es que dos fuerzs en equilibrio hn de tener l mism líne de cción, o que tres fuerzs en equilibrio hn de ser concurrentes. L primer condición de equilibrio segur que el cuerpo está en equilibrio de trslción; l segund, que está en equilibrio de rotción. L expresión de que un cuerpo está en equilibrio completo cundo quedn stisfechs mbs condiciones es l esenci de l primer ley del movimiento de Newton.

7 Pr estudir el movimiento se define primero un sistem de referenci. Un mismo movimiento prece distinto si se observ desde distintos sistems de referenci. Un sistem se define como inercil si está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Sólo en un Sistem Inercil y pr un prtícul- punto mteril- libre se cumple l primer ley. Punto mteril, es l idelizción de un cuerpo l que suponemos con ms pero sin ocupr volumen lo que supone signrle un densidd infinit. Prtícul libre quiere decir que l ms está isld de tl mner que no existn intercciones sobre ell de otr mteri y por lo tnto no ctún fuerzs sobre ell. 2.2 Segund ley de Newton. Ms. El pso lógico inmedito es preguntr cómo se comport un cuerpo cundo l fuerz resultnte que ctú sobre él no es nul. L respuest est cuestión está contenid en l segund ley de Newton, l cul firm que cundo l fuerz resultnte no es nul, el cuerpo se mueve con movimiento celerdo, y que l celerción, pr un fuerz dd, depende de un propiedd del cuerpo llmd su ms. Se denomin dinámic l prte de l mecánic que estudi conjuntmente el movimiento y ls fuerzs que lo originn. En su sentido mplio, l dinámic brc csi tod l mecánic. L estátic trt de los csos especiles en los cules l celerción es nul, y l cinemátic se ocup únicmente del movimiento. Sbemos por experienci que un objeto en reposo jmás comenzrá moverse por sí mismo, sino que será necesrio que otro cuerpo ejerz sobre él un trcción o un empuje. Es tmbién fmilir el hecho de que pr retrdr el movimiento de un cuerpo o pr detenerlo es necesri un fuerz, y que cundo l tryectori de un cuerpo es rectilíne, es preciso ejercer un fuerz lterl pr desvirlo de ell. Todos los procesos nteriores (celerción, retrdo o cmbio de dirección) implicn un cmbio en el vlor o en l dirección de l velocidd del cuerpo. En otrs plbrs, en todos los csos, el cuerpo es celerdo, y h de ctur un fuerz exterior pr producir est celerción. Los resultdos de los experimentos demuestrn lo siguiente: ) En todo cso, l dirección de l celerción es l mism que l de l fuerz. Esto es cierto, bien se encuentre el cuerpo inicilmente en reposo, o bien moviéndose en culquier dirección y con culquier velocidd. b) Pr un cuerpo ddo, l rzón del vlor de l fuerz l de l celerción es siempre el mismo, o se, es constnte: F = cte. (pr un cuerpo ddo). L rzón es, en generl, diferente pr los distintos cuerpos. Est rzón constnte de l fuerz l celerción puede considerrse como un propiedd del cuerpo denomind su ms m, de donde F M = o bien F = m. L ms de un cuerpo es un mgnitud esclr, numéricmente igul l fuerz necesri pr

8 comunicrle l unidd de celerción. Puesto que l experienci demuestr que (pr un cuerpo ddo) l rzón de l fuerz l celerción es siempre l mism, bst relizr dos medids: un de l fuerz, y l otr de l celerción correspondiente, pr determinr l ms; p. ej., si se encuentr que l celerción de un cierto cuerpo es de 5 m/seg 2 cundo l fuerz es de 20 Kg, l ms del cuerpo será: F 20Kg 4Kg m = = = 5. m m 2 2 s s Cundo es necesri un grn fuerz pr umentr o disminuir l velocidd de un cuerpo, o bien pr desvirlo lterlmente si está moviéndose, l ms del cuerpo es grnde. En el lenguje ordinrio, dirímos que el cuerpo tiene un grn inerci. Si solo es necesri un pequeñ fuerz por unidd de celerción, l ms es pequeñ y l inerci pequeñ. Puede considerrse, por tnto, que l ms de un cuerpo represent de modo cuntittivo l propiedd de l mteri que se describe culittivmente con l plbr inerci, L ecución r F r = m. es un ecución vectoril; esto es, el vector F tiene el mismo vlor y dirección que un vector que es m veces myor que el vector. Si dos vectores son igules, sus componentes rectngulres son tmbién igules y l ecución vectoril nterior (pr fuerzs y celerciones en el plno xy) es equivlente ls dos ecuciones esclres F. F = m. x = m x ; y y Por ejemplo, supongmos que en lugr de plicr directmente l fuerz F, como en l figur 5-1(), plicmos sus componentes Fx. y Fy,. Encontrmos que l celerción tiene el mismo vlor y dirección que en l prte (), y que ls componentes x y y son ls dds por ls Ecs. Esto quiere decir que cd componente de l fuerz puede considerrse que produce su propi componente de celerción. Se deduce de esto que si un número culquier de fuerzs ctún simultánemente sobre un cuerpo, un vez descompuests quells en sus componentes rectngulres según los ejes x e pueden clculrse ls sums lgébrics Σ F x y Σ F y y entonces ls componentes de l celerción están dds por F x = m. x ; F y = m. y Este pr de ecuciones equivle l ecución vectoril únic r r F = m. en l que ΣF es l sum vectoril o resultnte de tods ls fuerzs exteriores que ctún sobre el cuerpo. L segund ley de Newton estblece entonces que l celerción es proporcionl l fuerz resultnte y tiene l mism dirección que est fuerz. L 2ª Ley sólo se cumple:

9 ) En Sistems Inerciles. En Sistems no Inerciles l fórmul válid es: F +F i = m ; b) Pr mss no muy pequeñs (que no tengn implicciones cuántics) c) Pr velociddes pequeñs v <<< c (velocidd de l luz). Según l Dinámic clásic un fuerz ctundo sobre un cuerpo le comunic un celerción = cte, pero l velocidd crece indefinidmente v = t. Si esto fuer sí en un tiempo infinito l velocidd serí infinit, lo cul está en descuerdo con l experienci y está explicdo en l mecánic reltivist que le pone un límite V= m/s. 2.3 Tercer Ley de Newton. Principio de cción y rección. Siempre que un prtícul ejerz un fuerz (cción) sobre otr prtícul, ést segund responderá simultánemente con otr fuerz (rección) igul en módulo y dirección pero sentido opuesto l primer. Ls fuerzs proceden de un intercción y siempre precen de dos en dos. Se plic cd un en uno de los cuerpos que interccionn, (sí se plicrn ls dos en el mismo cuerpo producirín reposo). Pr obtener equilibrio se requiere dos o más intercciones sobre un cuerpo pr que ls fuerzs originds se nulen. Sólo se cumple l tercer Ley si le tiempo de intercción es suficientemente lrgo pr que se estblezc l respuest l cción.