ELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍA ELECTRÓNICA. CAMPOS Y ONDAS

Transcripción

1 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Fundmentos de Cálculo Vectoril Introducción Cpítulo 1 El Cálculo Vectoril es un herrmient fundmentl pr el modeldo de ls intercciones de nturle electromgnétic, ls cules se encuentrn representds en su form más generl por vectores de fuer. En el presente cpítulo se present un resumen de ls ecuciones fundmentles del Cálculo Vectoril de l Teorí de Cmpos, necesris pr desrrollr un modelo mtemático del comportmiento de los fenómenos de nturle electromgnétic en condiciones estátics dinámics. Se present tmbién un resumen de los diversos sistems de coordends usdos pr modelr resolver diferentes problems de electromgnetismo. Representción de vectores En el sistem de Coordends Crtesins, l posición de un punto en el espcio se encuentr determind por tres números que definen ls distncis mínims entre el punto tres plnos de referenci, los cules formn ángulo recto entre sí llmdos plnos coordendos, por lo que este sistem tmbién suele llmrse Sistem de Coordends Rectngulres. En l figur 1 se pueden observr los tres plnos coordendos que formn ángulos rectos entre sí cus intersecciones se denominn ejes coordendos. Ls distncis perpendiculres medids los plnos coordendos constituen ls coordends de l posición del punto ddo. Figur 1. Sistem de Coordends Crtesins Pr l representción de vectores en el Sistem Crtesino, se us un conjunto de tres vectores unitrios, cd uno de los cules punt en dirección de un eje coordendo según se muestr en l figur. 11

2 LEJNDRO PZ PRR Estos tres vectores se denominn vectores directores del Sistem Crtesino. Figur. Vectores unitrios del Sistem de Coordends Crtesins Pr representr decudmente un vector en Coordends Crtesins se usn ls proecciones del vector sobre los ejes coordendos los tres vectores directores. Donde,,, son ls proecciones del vector sobre los ejes coordendos,,, respectivmente, Coordends Crtesins.,, son los vectores unitrios directores del sistem de Ejemplo 1. Representción de un vector en función de los vectores directores. Ddo el vector directores. eprese dicho vector en función de los vectores El vector ddo se puede representr como: El vector posición de culquier punto en Coordends Crtesins, entendido como el vector etendido desde el origen de coordends hst el punto de referenci, viene ddo por: X Ecución 1. Vector posición de un punto en Coordends Crtesins 1

3 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Ejemplo. Vector posición velocidd en función de los vectores directores. Un prtícul se mueve de tl form que su posición se encuentr determind por el vector: Obteng el vector de velocidd, l celerción l rpide instntáne de l prtícul en t=.5 seg. El vector velocidd es l derivd de l posición con respecto l tiempo, por lo tnto: su ve, el vector de celerción es l primer derivd temporl de l velocidd: L rpide instntáne es l mgnitud de l velocidd en el instnte de tiempo ddo: Evlundo en el instnte ddo: Operciones vectoriles básics Ls operciones vectoriles fundmentles son l combinción linel de vectores, que ps por l sum diferenci de los mismos, el producto vectoril el producto esclr. Cundo un vector es combinción linel de otros dos, el cálculo de dich combinción viene determindo por: En donde el vector es el vector compuesto los vectores C son los componentes del vector. En el cso más generl, todo vector puede ser descrito en términos de diferentes componentes como: 1

4 LEJNDRO PZ PRR Sum diferenci de vectores L sum de vectores es un operción en l cul se obtiene un vector sum; producto de l sum de ls componentes de los vectores involucrdos, denomindos sumndos. Geométricmente, l sum de dos vectores qued definid por l Le del Prlelogrmo, tl como se muestr en l figur. Figur. Sum de vectores En form semejnte, l diferenci de vectores se obtiene invirtiendo el vector que ctú como sustrendo, esto es multiplicándolo por -1, sumándolo l vector que ctú como minuendo, tl como se observ en l figur 4. Figur 4. Diferenci de vectores Mtemáticmente, l sum diferenci de vectores se obtiene trvés de ls componentes rectngulres de los vectores implicdos, de l siguiente form: 14

5 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Ejemplo. plicción de l sum de vectores. Sobre un mismo cuerpo ctún simultánemente dos fuers diferentes: Encuentre l fuer resultnte que ctú sobre el cuerpo. L fuer resultnte sobre un cuerpo es l sum de tods ls fuers que ctún simultánemente sobre él: Ejemplo 1. plicción de l diferenci de vectores. Un prtícul se mueve de tl form que su posición se encuentr determind por el vector: Obteng el vector de velocidd medi en el intervlo diferenci de l velocidd instntáne, l velocidd medi se mide como el cmbio de posición sobre el cmbio de tiempo, eso es: Pr el cso presentdo: 15

6 LEJNDRO PZ PRR Producto esclr El producto esclr en su epresión más simple está definido por l ecución: En donde θ es el ángulo formdo por los dos vectores en el espcio. H vris propieddes que se pueden deducir prtir de l definición del producto esclr considerndo csos especiles: El producto esclr de un vector por sí mismo es igul l cudrdo de su mgnitud. El producto esclr de dos vectores perpendiculres entre sí es igul cero. El producto esclr dos vectores prlelos entre sí es igul l producto de sus mgnitudes. prtir de ests propieddes, se puede inferir que el producto esclr entre los vectores directores del Sistem Crtesino es nulo pr dos vectores diferentes es igul l unidd pr el cso del mismo vector. dicionlmente, el producto esclr de vectores permite clculr el ángulo subtendido por ellos en el espcio, sin necesidd de hcer bstrcción geométric de los vectores. El ángulo subtendido por dos vectores en el espcio se encuentr siempre en el dominio π, por lo que un producto esclr negtivo indic que este ángulo se encuentr en el segundo cudrnte; un producto esclr positivo indic que el ángulo se encuentr en el primer cudrnte; pero en el cso en el cul los vectores son ortogonles el producto esclr es nulo. El producto esclr de vectores tmbién cumple l propiedd distributiv con respecto l sum. 16

7 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS 17 C C Est ecución permite clculr el producto esclr de dos vectores con bse en sus componentes rectngulres: plicndo l propiedd distributiv eliminndo los componentes nulos se obtiene: Producto esclr en función de ls componentes rectngulres Ejemplo 5. Producto esclr de vectores. Clcule el producto esclr de los vectores,1, 5,, 1. Se puede clculr el producto esclr como: Ejemplo 6. Cálculo del ángulo entre dos vectores usndo el producto esclr. Clcule el ángulo formdo por los vectores del ejemplo 5. Se puede epresr el producto esclr como: De donde se deduce que: 1 En el ejemplo 5 se tiene que: 14 Por lo tnto:

8 LEJNDRO PZ PRR prtir de dos vectores, ubicdos como se muestr en l figur 4, es posible deducir otr relción geométric importnte en el producto esclr. Figur 5. Proección esclr de un vector sobre otro El producto esclr equivle l relción: Cundo se us est relción se puede clculr l proección de un vector sobre otro con bse en el producto esclr ls proecciones mostrds en l figur 5. Pr o Pro Proección esclr de un vector sobre otro usndo el producto esclr. L interpretción geométric del producto esclr como proección de un vector sobre otro result ltmente útil cundo uno o dos de los vectores se hcen unitrios, en este cso, l mgnitud de o de se hcen 1 l proección se reduce simplemente l producto esclr de vectores. Cundo se dese clculr l componente norml o tngencil de un vector sobre un superficie dd, bst con encontrr un vector unitrio norml o tngencil dich superficie multiplicrlo medinte producto esclr con el vector desedo. 18

9 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Ejemplo 7. Cálculo de l proección esclr de un vector sobre otro. Clcule l proección esclr del vector sobre el vector en el ejemplo 5. Se puede epresr l proección de un vector sobre otro en función del producto esclr como: Pr o Usndo los vlores del ejemplo 6: Pro Se puede tmbién clculr un proección vectoril si se tom l proección esclr obtenid en el ejemplo 7, se multiplic por un vector unitrio en l dirección de. Ejemplo 8. Cálculo de l proección vectoril de un vector sobre otro. Clcule l proección vectoril del vector sobre el vector en el ejemplo 5. Usndo los vlores del ejemplo 5 se clcul un vector unitrio en l dirección de : 1,, 14.67,.8,.55 Se tom este vector unitrio se multiplic por l proección esclr: Pr o.47.67,.8,.55.9,.78,

10 LEJNDRO PZ PRR Producto vectoril El producto vectoril es un operción entre vectores, en l cul el resultdo es un vector perpendiculr los vectores operdos cu mgnitud se encuentr estblecid por: Ecución. Mgnitud del producto vectoril de dos vectores En donde θ es el ángulo formdo por los dos vectores en el espcio. L dirección el sentido del producto vectoril se definen de cuerdo con l le de l mno derech: se etienden los dedos de l mno derech hci el primer operndo luego se cierrn hci el segundo, el pulgr de l mno qued dirigido en el sentido del producto vectoril como se muestr en l figur 6. Figur 6. Producto vectoril Est le de l mno derech presupone, entonces, que el producto vectoril no cumple l propiedd conmuttiv, por lo menos en lo que dirección sentido se refiere. Sin embrgo, como se puede observr en l figur 6, se cumple un propiedd diferente epresd como: Ecución. nti conmuttividd del producto vectoril H vris propieddes que se pueden deducir prtir de l ecución considerndo csos especiles: El producto vectoril de un vector por sí mismo es nulo.

11 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS L mgnitud del producto vectoril de dos vectores perpendiculres entre sí es igul l producto de sus mgnitudes. El producto vectoril dos vectores prlelos entre sí es nulo. prtir de ests propieddes, se puede inferir que el producto vectoril entre los vectores directores del Sistem Crtesino es nulo pr dos vectores diferentes, es igul l unidd pr el cso del mismo vector, quedndo por definir l dirección de cuerdo con l le de l mno derech. El producto vectoril, l igul que el producto esclr, cumple l propiedd distributiv del producto con respecto l sum. C C 1

12 LEJNDRO PZ PRR Ejemplo 9. plicción de l propiedd distributiv del producto vectoril en Coordends Crtesins. Clcule el producto vectoril ddos los vectores El problem se puede resolver plicndo l propiedd distributiv: Se plic l propiedd distributiv Se nuln ls componentes nuls se obtiene: Se puede obtener un ecución pr el producto vectoril trvés de ls componentes rectngulres de los de los mismos prtir de l propiedd distributiv: plicndo l propiedd distributiv eliminndo los componentes nulos qued: Reemplndo por los productos vectoriles de los vectores directores se obtiene: grupndo por fctor común se obtiene: Producto vectoril en función de ls componentes rectngulres

13 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Est ecución result un poco difícil de prender, por lo que suele brevirse en un form mtricil usndo el siguiente determinnte: El cul rroj el mismo resultdo. Ejemplo 1. Cálculo del producto vectoril entre dos vectores trvés del determinnte. Clcule el producto vectoril de Sistems de Coordends Curvilínes Se conocen como Sistems de Coordends Curvilíneslos que no usn el Sistem Crtesino de distncis mínims plnos coordendos, equivlentes línes rects, sino que usn en su lugr ángulos o superficies como hiperboloides, esfers cilindros pr estblecer l posición de un determindo punto en el espcio. Este tipo de sistems tiene un grn plicción práctic en electromgnetismo ddo que no siempre los sistems nlidos tienen un simetrí rectngulr. El Sistem de Coordends Cilíndrics Este Sistem de Coordends utili como bse el de coordends ls polres en D proectdo hci el espcio usndo l coordend del Sistem de Coordends Crtesins. En este sistem, ls coordends e son reemplds por un primer coordend que indic l distnci del punto l eje que se simboli por r. Est coordend se encuentr representd en un vector dirigido desde el origen hst l proección del punto sobre el plno XY, tl como se muestr en l figur 7.

14 LEJNDRO PZ PRR Figur 7. Sistem de Coordends Cilíndrics L segund coordend del sistem l constitue el ángulo que el vector r form con el semieje positivo se us como tercer coordend l mism coordend del Sistem Crtesino. L relción entre los Sistem de Coordends Cilíndrics Crtesins se encuentr determind por l ecución 4. r tn 1 Ecución 4. Trnsformción de Coordends Crtesins Cilíndrics Ejemplo 11. Trnsformción de Coordends Crtesins Cilíndrics. Ddo un punto en Crtesins (-,-4,5), encuentre ls Coordends Cilíndrics correspondientes l punto ddo. r tn 17 5 su ve, l trnsformción de Coordends Cilíndrics Crtesins se encuentr determind por l ecución 5. r r Ecución 5. Trnsformción de Coordends Cilíndrics Crtesins 4

15 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Ejemplo 1. Trnsformción de Coordends Cilíndrics Crtesins. Ddo un punto en Crtesins (-, -4, 5), encuentre ls Coordends Cilíndrics correspondientes l punto ddo. Ddo un punto ubicdo en Crtesins., hllr ls Coordends En este sistem, l igul que en el crtesino, eisten tres vectores directores que permiten indicr l dirección sentido de culquier vector. El vector, que se dirige en l dirección de incremento de l distnci r. El vector, que se dirige en l dirección de incremento del ángulo. El vector, que se dirige en l dirección de incremento de l distnci. L figur 8, ilustr los tres vectores directores del sistem. Figur 8. Vectores directores del Sistem de Coordends Cilíndrics Un vector en Coordends Cilíndrics qued definido por: r r Donde r es l proección rdil del vector con respecto l eje sobre el plno XY; componente ngulr, medid con respecto l semieje positivo, componente crtesin del mismo nombre. es l coincide con l 5

16 LEJNDRO PZ PRR 6 El vector posición de culquier punto en ls Coordends Cilíndrics qued definido por: ; r r X Un diferenci importnte entre los vectores directores del Sistem Crtesino que son constntes e independientes de ls coordends los vectores r del Sistem de Coordends Cilíndrics, es que estos últimos cmbin de dirección de cuerdo con l coordend ; por lo que no pueden tomrse como constntes en ningún cso. En l ecución 6 se muestr l mtri de trnsformción de vectores epresdos en Coordends Cilíndrics Coordends Crtesins en l ecución 7 se encuentr l mtri de trnsformción invers. r 1 Ecución 6. Trnsformción de vectores de Coordends Cilíndrics Crtesins r 1 Ecución 7. Trnsformción de vectores de Coordends Crtesins Cilíndrics Ejemplo 1. Trnsformción de vectores epresdos en Coordends Cilíndrics Crtesins. Eprese los vectores r en Coordends Crtesins clcule sus componentes pr 4 De l mtri de trnsformción de l Ecución 6 pr l trnsformción de se tiene: 1 1

17 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS 7 Por tnto: Pr el cso de r se tiene: 1 1 Por tnto: r Reemplndo el ángulo se tiene: r Ejemplo 14. Trnsformción de funciones vectoriles de Coordends Cilíndrics Crtesins. Dd un función vectoril r r r Eprese l función en Coordends Crtesins prtir de l mtri de trnsformción: r r r 1 L función vectoril qued:

18 LEJNDRO PZ PRR El Sistem de Coordends Esférics En el Sistem de Coordends Esférics se utilin tres coordends pr notr l posición de un punto o un vector en un espcio tridimensionl, dos de ests coordends son ngulres un de ells es un distnci. L primer coordend es l longitud de un vector (R) que une el origen de coordends con el punto ddo. L segund coordend es el ángulo que este vector form con el semieje positivo (). L tercer coordend es el ángulo que l proección de R sobre el plno XY form con el semieje X positivo (), tl como se muestr en l figur 9. Los ángulos θ tomn los nombres de ángulo polr ángulo cimutl, respectivmente. Figur 9. Sistem de Coordends Esférics L relción entre ls coordends del Sistem Crtesino ls del Sistem Esférico, se obtiene por medio de proecciones del vector R sobre los ejes coordendos, usndo pr dich proección los ángulos polr cimutl como se muestr en l ecución 8. R R R Ecución 8. Trnsformción de Coordends Esférics Crtesins Ejemplo 15. Trnsformción de Coordends Esférics Crtesins. Un punto sobre un esfer de rdio 5m, se encuentr loclido en los ángulos Encuentre ls Coordends Crtesins correspondientes l punto. 8

19 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Por despeje directo en l ecución 8 se obtienen ls trnsformciones del Sistem Crtesino l Sistem Esférico, como se muestr en l ecución 9. R 1 tn 1 tn Ecución 9. Trnsformción de Coordends Crtesins Esférics Ejemplo 16. Trnsformción de Coordends Crtesins Esférics Ddo un punto en Crtesins (-5,, -4). Hllr ls Coordends Esférics que corresponden l punto ddo. En este sistem de coordends, l igul que en los nteriores, eisten tres vectores directores que permiten indicr l dirección de un vector, se muestrn en l figur 1. 9

20 LEJNDRO PZ PRR Figur 1. Vectores directores del Sistem de Coordends Esférics El vector, que se dirige en l dirección de incremento de l distnci R. El vector, que se dirige en l dirección de incremento del ángulo. El vector, que se dirige en l dirección de incremento del ángulo. Un vector en Coordends Esférics qued definido por: R R Donde R es l proección rdil del vector con respecto l origen de coordends, es l componente ngulr medid con respecto l semieje positivo, proectd sobre el plno XY, es l proección en dirección de incremento del ángulo. El vector posición de culquier punto en Coordends Esférics qued definido por: X R R ; ; En el Sistem de Coordends Esférics, l dirección de los tres vectores directores cmbi de cuerdo con ls coordends θ, por lo que no se pueden sumir como constntes en operciones de derivción, integrción o trnsformción de coordends que ls involucren. Pr relir un trnsformción de un vector epresdo en Coordends Esférics obtener sus componentes en Coordends Crtesins se debe usr l mtri de trnsformción Coordends Crtesins que se muestr en l ecución 1. R Ecución 1. Mtri de trnsformción de vectores de Coordends Esférics Crtesins

21 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Ejemplo 17. Trnsformción de vectores de Coordends Esférics Crtesins. Eprese los vectores pr los ángulos. 4 R De l mtri de trnsformción se tiene: en Coordends Crtesins clcule sus componentes 1 Por lo tnto: R 1 Multiplicndo se obtiene: Evlundo en los puntos ddos: R R En l ecución 11, se muestr l mtri de trnsformción invers. R Ecución 11. Mtri de trnsformción de vectores de Coordends Crtesins Esférics 1

22 LEJNDRO PZ PRR Ejemplo 18. Trnsformción de vectores de Coordends Crtesins Esférics. Eprese el vector de fuer en Coordends Esférics. De l mtri de trnsformción se tiene: R R R Medinte l combinción de ls ecuciones de trnsformción entre Coordends Crtesins cd uno de los sistems de coordends Curvilínes se pueden obtener ecuciones de trnsformción directs entre Coordends Cilíndrics Esférics. R r tn 1 r Ecución 1. Trnsformción de Coordends Cilíndrics Esférics Ejemplo 19. Trnsformción de Coordends Cilíndrics Esférics. Ddo un punto loclido en Esférics del punto., encuentre ls Coordends

23 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Como tmbién se puede obtener un ecución de trnsformción direct entre Coordends Esférics Cilíndrics. r R R Ecución 1. Trnsformción de Coordends Esférics Cilíndrics Ejemplo. Trnsformción de Coordends Esférics Cilíndrics. Un punto loclido sobre un esfer de rdio m, se encuentr loclido en los ángulos Encuentre ls Coordends Cilíndrics correspondientes l punto. De igul form, pr trnsformr vectores de un Sistem de Coordends Esférics Cilíndrics, se us l mtri de trnsformción de l ecución 14. r 1 R Ecución 14. Mtri de trnsformción de vectores de Coordends Esférics Cilíndrics

24 LEJNDRO PZ PRR 4 Ejemplo 1. Trnsformción de vectores de Coordends Esférics Cilíndrics. Trnsforme el vector loclido en R=, Coordends Cilíndrics. Se us l mtri de trnsformción: 4 1 r Loclido en: r=1.7, =-1, Finlmente, pr trnsformr vectores de Coordends Cilíndrics Esférics se plic l mtri de trnsformción de l ecución 15, lo cul complet l totlidd de ls trnsformciones posibles entre los tres sistems. r R 1 Ecución 15. Mtri de trnsformción de vectores de Coordends Cilíndrics Esférics

25 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Ejemplo. Trnsformción de vectores de Coordends Cilíndrics Esférics. Trnsforme el vector loclido en r=1, =-1 Coordends Cilíndrics Se us l mtri de trnsformción: R 4 r 1 Reemplndo: r R R 4 R 1 Ddo que: El Diferencil de Longitud El Diferencil de Longitud epres l distnci diferencil entre puntos loclidos dentro de l mism vecindd. El Diferencil de Longitud permite obtener, por integrción direct trvés de ls ecuciones prmétrics de un trectori, l distnci entre puntos que no se encuentren dentro de l mism vecindd. 5

26 LEJNDRO PZ PRR Diferencil de Longitud en Coordends Crtesins En Coordends Crtesins, l obtención de un Diferencil de Longitud es sencill, usndo desplmientos diferenciles en cd un de ls direcciones de los ejes coordendos. Vectoril dl d d d Esclr dl d d d Ejemplo. Cálculo de l longitud de rco entre dos puntos. Clcule l longitud de rco de l prábol entre los puntos En un sistem de Coordends Crtesin en D el diferencil esclr de longitud viene ddo por: Cundo se prmetri en función de l vrible qued: dl d 1 d d Despejndo de l ecución de l trectori: d d d d 6 L longitud de rco sobre l prábol dd es por tnto: 1 dl d 1 d d 1 6 d 9. 1 Diferencil de Longitud en Coordends Cilíndrics En este sistem de coordends es un poco más difícil, debido l eistenci de un coordend ngulr, por lo que se hce necesrio introducir un coeficiente métrico que convierte un desplmiento ngulr diferencil en un Diferencil de Longitud de rco. 6

27 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Ddo que l longitud de rco subtendid por un ángulo epresdo en rdines es equivlente l diferencil de dicho ángulo multiplicdo por el rdio del rco, el Diferencil de Longitud qued: Vectoril dl dr r rd d Esclr dl dr r d d Ejemplo 4. Integrl de líne en Coordends Cilíndrics. Dd un fuer de ecución F clculr el trbjo relido por dich fuer cundo se reli un desplmiento sobre l curv: r 1 4 El trbjo relido por l fuer trvés de l trectori dd se clcul como: F W dl C Epres l fuer dd en Coordends Cilíndrics: Fr F F F F F 1 F Fr F F F 1 r r r F r Usndo identiddes trigonométrics: r F r r Pr este cso el diferencil vectoril de longitud qued: dl rd d Z Como los límites se encuentrn epresdos en φ, se prmetri con est vrible: 7

28 LEJNDRO PZ PRR d dl r Z d d Reemplndo ls ecuciones prmétrics de l curv: d r d dl 1 4 Z d Reemplndo en el producto punto: Fdl r Reemplndo r Z r 4 d r d W d Diferencil de Longitud en Coordends Esférics En este sistem se hce necesri l introducción de dos coeficientes métricos que permiten convertir los desplmientos ngulres diferenciles en desplmientos métricos. Pr el ángulo θ, epresdo en rdines, se us el rdio R pr el cálculo de l longitud de rco generd por el desplmiento ngulr diferencil. Pr el ángulo en cmbio se us el mismo rdio r usdo en ls coordends cilíndrics, el cul l ser trnsformdo l Sistem de Coordends Esférics se epres como: El Diferencil de Longitud en el Sistem de Coordends Esférics qued epresdo como: Vectoril dl dr R R d Rd dl dr Esclr El operdor grdiente R d R d El operdor grdiente permite cuntificr l vrición totl que eperiment un función de vris vribles en términos de l vrición en cd un de ells. 8

29 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Desde el punto de vist mtemático, represent el conjunto de derivds direccionles de un función de vris vribles con respecto ls diferentes coordends de un sistem de referenci, representdo trvés de un operdor vectoril ddo que como resultdo de l plicción del operdor result un vector que punt en l dirección de máim vrición de l función dd. El diferencil totl de culquier función F, viene definido por:, epresd en Coordends Crtesins Donde: F F F F d d d F dl F F F F dl d d d El diferencil de culquier función se puede clculr en términos del producto esclr como: F F dl F dl Ecución 16. Diferencil totl de un función esclr en función del Operdor Grdiente En l ecución 16 con bse en ls propieddes del producto esclr, se puede precir que el diferencil totl de un función es cero siempre que el desplmiento se perpendiculr l vector grdiente. Esto implic que pr culquier función de vris vribles es posible siempre encontrr un lugr geométrico de puntos entre los cules no eiste diferencil totl de l función. Este lugr geométrico puede estr formdo por trectoris o superficies, dependiendo del número de vribles involucrds, en ls cules l función considerd no present ningún tipo de vrición. Igulmente, el diferencil totl es máimo cundo el desplmiento ocurre en dirección del vector grdiente, por lo que se dice que éste punt siempre en l dirección de máim vrición de l función. Cundo se utilin coordends ngulres, es necesrio multiplicr los diferenciles de dichs coordends por los fctores métricos con lo que l epresión pr el grdiente en los sistems de Coordends Curvilínes qued: 9

30 LEJNDRO PZ PRR F F r 1 F r F r F F R r 1 F R 1 F R Ecución 17. Operdor grdiente en Coordends Cilíndrics Esférics Ejercicios del cpítulo 1. Ddos puntos en Coordends Crtesins: (1, -, ), (-, 1, -1) C (-,, -), determine el ángulo con vértice en que formn ls rects C.. Ddo un punto en Coordends Crtesins, encuentre ls Coordends Cilíndrics ls Coordends Esférics correspondientes l punto.. Ddo un punto en Coordends Cilíndrics φ, encuentre ls Coordends Crtesins ls Coordends Esférics correspondientes l punto. 4. Ddo un punto en Coordends Esférics φ θ, encuentre ls Coordends Crtesins ls Coordends Cilíndrics correspondientes l punto. 5. Ddo un vector posición en Coordends Esférics, encuentre un vector unitrio en l mism dirección de R en Coordends Crtesins 6. Ddos dos vectores en Coordends Cilíndrics tl que:. Encuentre un vector unitrio perpendiculr mbos en el punto C (1,, -1). 7. Un fuer se encuentr definid por l ecución. Clcule el trbjo W relido por dich fuer l desplrse trvés de l curv ubicd sobre el plno entre los puntos. 8. Clcule el trbjo relido l desplrse en un cmpo de fuer cu ecución está definid por: sobre un trectori definid por: entre los puntos: 9. Dd un fuer. Clcule el trbjo W necesrio pr llevr un prtícul lo lrgo de l circunferenci entre los puntos (,-) (,), como se muestr en l figur. 4

31 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS 1. Hllr l longitud de rco de l curv en el intervlo. 11. Dd un hélice generd por un crdiode de ecución: φ ddo que Clcule l longitud de rco de l hélice en los límites. φ 1. Encuentre un vector unitrio que punte en l dirección de máim vrición de l función: en el punto. Encuentre el ángulo que dicho vector form con el semieje positivo de ls Z. 1. En un curto cerrdo con dimensiones, l tempertur sobre el piso viene epresd por un función: Si un hormig cmin sobre el suelo del curto, obteng ls ecuciones de ls trectoris sobre ls que debe cminr l hormig pr someterse l mínim vrición de tempertur. Obteng l ecución de ls posibles trectoris que debe seguir l hormig si l ponen en el centro del curto pr llegr más rápido los puntos del curto con menor tempertur. 14. Dds dos funciones vectoriles tl que:. Encuentre l proección vectoril del vector sobre el vector en el punto. Encuentre el vector el vector -. Demuestre que son mutumente perpendiculres. 15. L ltur de un colin rtificil se encuentr definid por l ecución: Si se pone un pelot en l cim de l colin, encuentre un fmili de curvs que describ ls posibles trectoris de l pelot en su cmino rodndo por l pendiente de l colin, sbiendo que l pelot rued siempre hci los cminos que presentn mor inclinción. Supong que l pelot no rebot. 41

32 LEJNDRO PZ PRR Respuests de los ejercicios 1. 17º L= Ángulo: 1º 1. Máim vrición de tempertur: Mínim vrición de tempertur: Pr los que desen sber más Si dese profundir en los contenidos de este cpítulo o encontrr ejercicios complementrios, se sugiere revisr l siguiente bibliogrfí: Pr operciones vectoriles básics operdor grdiente: Cheng, Dvid K. Fundmentos de eletromgnetismo pr ingenierí. Primer edición. rgentin: ddison Wesle Iberomericn, Págins 1-8. ISN Reit, John D., Milford, Frederick J., Christ, Robert W. Fundmentos de l Teorí Electromgnétic. Curt edición. Méico: ddison Wesle, Págins ISN Pr sistems de coordends, diferenciles de longitud: Stnle, Mrshll, Dubroff, Richrd E. Skitek, Gbriel. Electromgnetismo Conceptos plicciones. Curt edición. Méico: Prentice Hll hispnomericn, Págins 1-5. ISN Ht, Willim H. uck, John. Teorí Electromgnétic. Octv edición. Méico: Mc Grw Hill, 1. Págins 1-1. ISN

33 ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Pr grdiente propieddes del grdiente: Cheng, Dvid K. Fundmentos de electromgnetismo pr ingenierí. Primer edición. rgentin: ddison Wesle Iberomericn, Págins 9-4. ISN Stnle, Mrshll, Dubroff, Richrd E. Skitek, Gbriel. Electromgnetismo Conceptos plicciones. Curt edición. Méico: Prentice Hll hispnomericn, Págins ISN

34 LEJNDRO PZ PRR 44