STICA APLICADA stica Multivariada. Contenido

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1 INSTITUTO MEXICANO DEL PETRÓLEO GEOESTADÍSTICA STICA APLICADA Tema: Geoestadística stica Multivariada Istructores: Dr. Martí A. Díaz Viera Dr. Ricardo Casar Gozález 2004 Coteido Itroducció Mometos cruzados de segudo orde Estimació del covariograma Aálisis estructural multivariado Modelo de corregioalizació lieal Validació del modelo de semivariograma cruzado Cokrigig Ordiario Cokrigig e el caso de fucioes aleatorias itrísecas Cokrigig e el caso o estacioario Cokrigig Colocado Eemplos de Aplicacioes del Cokrigig Dificultades y Aspectos Prácticos del Cokrigig Métodos alterativos al Cokrigig 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 2

2 Itroducció La estimació couta de variables aleatorias regioalizadas, más comúmete coocida como Cokrigig (Krigig Couto) es el aálogo atural del Krigig de ua fució aleatoria. Mietras que el Krigig utiliza la correlació espacial para determiar los coeficietes e el estimador lieal, el Cokrigig utiliza la correlació espacial y la correlació etre fucioes aleatorias al mismo tiempo. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 3 Itroducció Las aplicacioes multivariadas que ha recibido ua mayor ateció e la geoestadística so los casos dode dos o más variables está muestreadas, pero ua está meos muestreada que las otras o existe la presecia de errores de muestreo. Existe u úmero de dificultades prácticas, la más importate de todas es la ausecia de modelos estádar para las covariazas cruzadas o covariogramas. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 4

3 Mometos Cruzados de Segudo Orde Estacioaridad de segudo orde para las F.A. Covariaza cruzada Semivariograma cruzado (Covariograma) dode { } Ci h = E Z i x + h mi Z x m { } γ i ( h) = E Zi ( x + h) Zi ( x) Z ( x + h) Z ( x) 2 y mi = E Zi x m = E Z x y Z x Z x valores esperados Cuado i= los mometos cruzados se covierte e la covariaza y e la semivariaza. i 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 5 Estimació del covariograma El método más usual para estimar el semivariograma cruzado es el siguiete: γ N ( h) * i h = [ Zi xk + h Zi xk ] Z xk h Z xk 2 N( h) + k = dode N(h) es el úmero de pares y separados a ua distacia h= h. Es ua geeralizació del estimador del semivariograma simple y por lo tato adolece de los mismos problemas y limitacioes. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 6

4 Estimació del covariograma Eemplo de covariograma estimado para dos FAs 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 7 Aálisis estructural multivariado El aálisis estructural multivariado que se requiere para el Cokrigig es mucho más compleo y sofisticado que el que demada el Krigig Para modelar los variogramas cruzados de FAs, se debe estimar y modelar (austar) u total de (+)/2 variogramas simples. El uso de modelos de variogramas autorizados o combiacioes de éstos o garatiza que la matriz de covariazas sea positiva defiida. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 8

5 Aálisis estructural multivariado La maera más aceptada para realizar u aálisis estructural multivariado es mediate u modelo de corregioalizació lieal (Goovaerts, 997). Existe otras metodologías meos difudidas que usa métodos espectrales y está basadas e el teorema de Bocher (Christakos, 992; Wackeragel, 995). 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 9 Modelo de corregioalizació lieal U modelo de corregioalizació lieal está dado por S k = ρ = σ ρ C h V h C h h k k i i k k = 0 k = 0 e térmios de las covariazas S e térmios de las semivariazas. S k ( h) = V ( h) ( h) = ( h) γ γ γ σ γ k k i i k k = 0 k = 0 S 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 0

6 Modelo de corregioalizació lieal Se iterpreta como S+ estructuras aidadas a diferetes escalas. Las matrices de corregioalizació V k so las matrices de covariazas que describe la correlació multivariada a la escala k. Note que a cada escala le correspode ua estructura elemetal o básica Si determiada estructura básica o está presete, se le hace correspoder u coeficiete cero e la matriz 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada Modelo de corregioalizació lieal Para establecer u modelo de corregioalizació lieal se debe probar que las matrices de coeficietes V k so positivas semidefiidas. Por defiició, ua matriz es positiva semidefiida (Golub y Va Loa, 989) si T b V b k dode b es u vector cualquiera. Cuado ua matriz es positiva semidefiida sus valores propios y los determiates de ella y de todos sus meores pricipales so o egativos. 0, b 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 2

7 Modelo de corregioalizació lieal Modelo de corregioalizació lieal para dos FAs ( h) ( h) ( h) ( h) 0 0 S S γ γ2 σ σ 2 σ σ 2 = γ S S γ2 γ22 σ2 σ22 σ2 σ22 Para asegurar de que el modelo sea válido es suficiete probar que σ σ > 0 y σ > 0, k = 0,..., S k k 22 σ σ, k = 0,..., S k k k 2 22 ( h)... γ ( h) S 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 3 Modelo de corregioalizació lieal El esquema geeral del Aálisis Estructural Multivariado. Modelar cada semivariograma simple y semivariograma cruzado idividualmete 2. Determiar el úmero de estructuras aidadas de maera que sea míimo (es deseable que sea cuato más tres) 3. Comprobar que todos los determiates de los meores de orde dos so o egativos. 4. Verificar que todas las matrices de corregioalizació sea positivas semidefiidas, e caso cotrario hacer los cambios ecesarios hasta satisfacer la codició o volver al paso 2. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 4

8 Modelo de corregioalizació lieal Eemplo de auste del variograma cruzado Variables Modelo Nugget Sill-Nugget Alcace AIC L Pluv.- L Radar Esférico /0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 5 Modelo de corregioalizació lieal Eemplo de auste del modelo de corregioalizació lieal Variables Modelo Nugget Sill-Nugget Alcace AIC L Pluv. Esférico L Radar Esférico L Pluv. - L Radar Esférico /0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 6

9 Modelo de corregioalizació lieal Eemplo de auste del modelo de corregioalizació lieal El modelo de corregioalizació lieal resultate de L Pluv. y L Radar es: ( h) γ PR ( h) ( h) γ ( h) γ PP = γ γ + RP RR γ 0 ( h) γ ( h ) ( h) γ ( h) 0 dode es el modelo ugget, y es el modelo esférico co alcace 20 Km. Se puede observar que el modelo es válido, ya que los determiates so positivos: det = 0.0 > 0, det = 0.72 > /0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 7 Validació del modelo de semivariograma cruzado Cosiste e estimar por Cokrigig los valores e los putos muestrales usado el procedimieto de leave oe out. Co los valores estimados y sus correspodietes variazas de la estimació se calcula los criterios covecioales de la validació cruzada para ua variable (error medio, error cuadrático medio, etc,...) Primero validar los semivariogramas simples por separado y luego los cruzados de maera couta. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 8

10 Cokrigig Ordiario Sistema de ecuacioes: Estimador: = Λ = I, i =,..., = i ( i ) Λ C x x + M = C x x = λ ( ) + λ ( ) Z x Z x Z x * 2 2 = = λ ( ) + λ ( ) Z x Z x Z x * = 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 9 Cokrigig Ordiario Variaza total de la estimació σ = Tr C 0 Tr Λ C x x Tr M 2 CK ( ) = la cual represeta ua variaza acumulada Variaza de la estimació de cada variable ( 0 ) ( ) ( ) σ = C λ C x x + λ C x x µ 2 CK 2 2 = = ( 0 ) ( ) ( ) σ = C λ C x x + λ C x x µ 2 CK = = 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 20

11 Cokrigig Ordiario Ecuacioes del Cokrigig e forma matricial C( x x)... C( x x ) I Λ C( x x) = C( x x)... C( x x ) I Λ C( x x) I... I 0 I Μ C ( x y) C2 ( x y) dode C( x y) = C2( x y) C22( x y) k k k λ λ 2 0 µ µ 2 Λ =, I, k k = λ 0 Μ = µ 2 λ22 2 µ 22 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 2 Cokrigig Ordiario Observacioes prácticas: La matriz de coeficietes es simétrica a pesar de que la asimetría de C x y Todas las etradas so ivertibles (excepto 0) de forma tal que puede ser reducida a ua matriz triagular mediate la operació co matrices de meor dimesió y así simplificar el cómputo. Cuado las FAs o está correlacioadas etoces el sistema se covierte e sistemas de ecuacioes de Krigig separados. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 22

12 Cokrigig e el caso de fucioes aleatorias itrísecas La hipótesis itríseca es: E Z ( x + h) Z ( x) = 0, i =, 2 i i γ Cov Zi x+ h Zi x, Z x+ h Z x = 2 i h, i, =,2 Etoces la matriz de semivariazas cruzadas sustituye e el sistema de ecuacioes del cokrigig a la matriz de covariazas. γ ( x y) C ( x y) El sistema de ecuacioes resultate es completamete aálogo al caso co estacioaridad de segudo orde 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 23 Cokrigig e el caso o estacioario Cuado las FAs so o estacioarias, etoces las ecuacioes del Cokrigig de la secció aterior puede ser extedidas de forma aáloga al Krigig Uiversal para ua variable. Pero como e el caso de ua variable resulta poco práctico su aplicació debido al o coocimieto a priori de los órdees de las tedecias y los modelos de los covariogramas. Es preferible aplicar u efoque del tipo Krigig Residual a cada FA por separado y luego aplicar el Cokrigig Ordiario a los residuos e couto. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 24

13 Eemplos de Aplicacioes del Cokrigig Estimació de ua combiació lieal de FAs Existe dos efoques posibles: Estimació directa: Se toma el couto de datos multivariados y formar ua combiació lieal para obteer u uevo couto de datos para la variable costruida, etoces es calculado el variograma muestral, luego modelado y fialmete se le aplica el Krigig. Estimació couta: Cosiste e estimar cada variable y luego costruir la combiació lieal. Este puede ser llevado a cabo mediate la estimació de cada variable por separado o de maera couta co Cokrigig. El problema de variables pobremete muestreadas E cotraste co los problemas dode el iterés es estimar varias fucioes aleatorias simultáeamete mediate el uso del estimador Cokrigig para todas las variables e todas las ubicacioes muestrales, pocas veces los datos muestrales e otras variables es usado para meorar la estimació de la variable primaria o más comúmete para compesar muestras perdidas de la variable primaria. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 25 Dificultades y Aspectos Prácticos del Cokrigig Estimar varias variables corregioalizadas simultáeamete usado el Cokrigig es el efoque más riguroso y el que se basa e u meor úmero de hipótesis. Requiere que se dispoga de u úmero relativamete elevado de putos muestrales dode esté medidas todas las variables para ua adecuada estimació de los semivariogramas cruzados. Cuado o se cumple este requisito el Cokrigig puede perder su superioridad sobre otros métodos alterativos. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 26

14 Dificultades y Aspectos Prácticos del Cokrigig La mayoría de los problemas ecotrados e la práctica del Cokrigig so los mismos que los ecotrados e la práctica del Krigig pero quizás magificados por el úmero de variables Exige u tiempo de cálculo cosiderable e la modelació de los semivariogramas cruzados mediate la modelació y validació de múltiples semivariogramas Aumeta la compleidad y el tamaño de los sistemas de ecuacioes a resolver 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 27 Dificultades y Aspectos Prácticos del Cokrigig La mayoría de los problemas ecotrados e la práctica del Cokrigig so los mismos que los ecotrados e la práctica del Krigig pero quizás magificados por el úmero de variables Exige u tiempo de cálculo cosiderable e la modelació de los semivariogramas cruzados mediate la modelació y validació de múltiples semivariogramas Aumeta la compleidad y el tamaño de los sistemas de ecuacioes a resolver 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 28

15 Cokrigig Colocado Es u caso particular del Cokrigig La variable de iterés es coocida e uos pocos putos y la variable auxiliar es coocida e todos los putos de la malla de estimació La vecidad de la variable auxiliar es reducida a u solo puto: el puto de estimació No se requiere del coocimieto del modelo de corregioalizació lieal sio del coeficiete de correlació etre las variables. Es computacioalmete más simple y eficiete comparado co el Cokrigig 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 29 Cokrigig Colocado Es u caso particular de Cokrigig Eemplo: Dos variables Z (x) y Z 2 (x) (porosidad & impedacia acústica) * = = Z x Z x Z x 0 λ λ Porosidad estimada por Cokrigig Porosidad e los pozos Impedacia acústica de la sísmica 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 30

16 COKRIGING Cokrigig Colocado Sistema de ecuacioes grade Requiere variogramas de Z, Z 2, variograma cruzado de Z y Z 2 (Modelo de Corregioalizació Lieal) COKRIGING COLOCADO Sistema de ecuacioes mas simple No requiere Modelo de Corregioalizació Lieal Sólo variogramas de Z, Z 2 y coeficiete de correlació * 0 0 = = λ λ Z x Z x Z x 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 3 Métodos alterativos al Cokrigig Krigig combiado co Regresió Lieal: (Delhomme,976) Cosiste e establecer u modelo de regresió lieal etre dos FAs Z y Y Z ( x) = ay ( x) + b Aplicado la regresió se puede estimar la variable Z e los putos dode hay valores muestrales para la otra variable Y ( ) ( ) Z ˆ x = ay x + b, = l +,..., m Luego se aplica el procedimieto del Krigig a cada ua por separado, el cual es computacioalmete mucho más secillo que el Cokrigig. 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 32

17 Métodos alterativos al Cokrigig Krigig co ua Deriva Extera: Se requiere que el valor esperado de ua FA Z sea ua fució lieal coocida depediete de otra FA Y, como sigue: E Z ( xi ) Y ( xi ) = cy ( xi ) + c2 Se ecesita que la seguda variable Y haya sido muestreada e u gra úmero de putos. Etoces se puede aplicar u Krigig co deriva N = N = N = ( ) = Y ( xk ) λ ɶ γ + µ + µ Y x = ɶ γ, i =,..., N i 2 i ik λ = λ Y x 0/0/2006 CG7-Geoestadística Multivariada 33