Métodos de Regresión

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1 Métodos de Regresió Ciecias Técicas Estadísticas Solucioes ejercicios: Regresió Lieal Simple Versió 3 Emilio Letó. Demostrar ue jcov (X ; X )j D (X ) D (X ) ue jbs j bs bs. Sea la fució m () V [X + X ] co m () V [X ] + V [X ] + Cov (X ; X ) V [X ] + V [X ] + Cov (X ; X ) ue veri ca ue m () 0 (al ser m () ua variaza, ue es siempre maor o igual ue cero). Por lo ue el discrimiate de la ecuació aterior de segudo grado veri ca ue es meor o igual ue cero, es decir: 4Cov (X ; X ) 4V [X ] V [X ] 0 Cov (X ; X ) V [X ] V [X ] jcov (X ; X )j D [X ] D [X ] La demostració de ue jbs j bs bs es aáloga.. Demostrar ue jj, jbrj, j S j jbr S j. Al ser se tiee ue jrj r Cov (X; Y ) D (X) D (Y ) jcov (X; Y )j D (X) D (Y ) D (X) D (Y ) D (X) D (Y ) El resto de las demostracioes so aálogas. 3. Si el seo hiperbólico seh el coseo hiperbólico cosh está de idos como seh () e e cosh () e + e

2 (a) Demostrar ue la tagete hiperbólica la aroctagete hipérbolica está dadas por (b) Demostrar ue el itervalo de co aza del ( de Pearso viee dado por co l i arctghbr z tgh e e + arctgh L + IC ( ) % () 3 l s arctghbr+z (a) Por de ició de la tagete hiperbólica, se tiee ue Por tato, e primer lugar: ) % para el coe ciete de correlació poblacioal e l i e li + ; els e ls + tgh seh cosh 3 arctgh;, sabiedo ue arctghbr N 3 : tgh seh e cosh e e +e e e e + e e e e + e e e + Y e segudo lugar, si se despeja e la ecuació tgh, se tiee ue: tgh e e + e e + Por lo ue (b) Sabiedo ue arctghbr N arctgh; 0 z < e ( ) + + L + L arctgh tgh L +, se tiee ue 3 arctghbr arctgh N (0; ) 3 arctghbr arctgh 3 < z A ( )

3 r r! P z 3 < arctghbr arctgh < z 3 r r! P z 3 > arctgh arctghbr > z 3 r r! P z 3 < arctgh arctghbr < z 3 ( ) ( ) ( ) Por lo ue el itervalo de co aza del ( ) % para arctgh es r r! IC ( ) % (arctgh) arctghbr z 3 ; arctghbr + z 3 Si se llama l i arctghbr z tagete hiperbólica, se tiee ue 3 l s arctghbr + z IC ( ) % () 3 e l i e li + ; els e ls + se deshace el cambio tomado 4. El coe ciete de correlació calculado a partir de ua muestra de tamaño 8 es de br 0; 7. Determiar u itervalo de co aza al 95% para el coe ciete de correlació de la població.. 5. Cotrastar ue H 0 : 0; 5 vs H a : 6 0; 5 si 8 br 0; 7. Qué valores de se acepta e la H 0? Poer de mai esto la euivalecia co el ejercicio aterior.. P 6. Es bueo elegir el criterio de tomar como recta de regresió auella ue cumpla ue b i 0?. 7. A partir del criterio míimo cuadrático determiar las ecuacioes ormales de la recta de regresió. Es decir a partir de mi b b 0 ; b i mi S b0 ; b mi i 0 b b i b 0 ; b b 0 ; b deducir las ecuacioes ue veri ca b S b0 ; b 0 b S b0 ; b 0. 3

4 8. Demostrar ue las ecuacioes ormales de la recta de regresió se simpli ca mediate (I) b 0 + b (II) i i b 0 X i + b X i ue eplícitamete estas ecuacioes se resuelve como b s s b 0 b 9. Demostrar ue el criterio de míimos cuadrados garatiza ue: (a) (b) P b i 0. P i b i 0. (c) s b 0. P (d) b i b i 0. (e) s bb Demostrar ue el criterio de míimos cuadrados garatiza ue. s b s b i b i s s.. E el modelo de Regresió Lieal Simple se supoe ue i 0 + i + i co i v.a.i.i.d segú ua N (0; ). (a) Determiar la fució de verosimilitud l 0 ; ; j ; ::: para cada i jo utilizado ue si W N (; ) se tiee ue f (w) p ep (w ). (b) Determiar los estimadores máimo verosímiles b 0 ; b b (si comprobar la codició de máimo). (a) Para cada i jo, al ser i combiació lieal de ormales se tiee ue será ormal de media E [ i j i ] E [ 0 + i + i ] 0 + i + E [ i ] 0 + i i 4

5 variaza V [ i j i ] V [ 0 + i + i ] V [ i ] Por lo ue f ( i ) p ep ( i 0 i ) La fució de verosimilitud l 0 ; ; j ; ::: es l 0 ; ; j ; ::: Y ep (b) La fució soporte L 0 ; ; j ; ::: es p ep ( i 0 i )! ( i 0 i ) L 0 ; ; j ; ::: Ll 0 ; ; j ; ::: L L ( i 0 i ) Para determiar el estimador máimo verosímil b 0 se deriva la fució soporte respecto de 0 se iguala a cero: X ( i 0 i ) ( ) 0 ( i 0 i ) 0 i 0 b b i 0 b 0 + b Para determiar el estimador máimo verosímil b se deriva la fució soporte respecto de se iguala a cero: X ( i 0 i ) ( i ) 0 ( i 0 i ) i 0 i b 0 b i i 0 i i b 0 i i b 0 " s b 5 X i + b i + b X i i b0 + b # i b s

6 b s s Para determiar el estimador máimo verosímil b se deriva la fució soporte respecto de se iguala a cero: X 4 4 ( i 0 i ) 0 P b b i. Demostrar ue las pedietes parciales b i, siedo las pedietes parciales las pedietes de las rectas ue ue los putos (; ) co cada ( i ; i ) ; viee dadas por b i i i La ecuació de la recta ue pasa por los putos (; ) ( i ; i ) viee dada por i i co lo ue ( i ) i + ( i ) i + por lo ue ( i ) ( i ) + ( i i ) i i + i i b i i i Otra forma de hacerlo sería utilizado ue la ecuació de ua recta se puede epresar como m +, siedo m la pediete la ordeada e el orige, por lo ue para ue pase por los putos (; ) ( i ; i ) se tiee ue i b i i + i i b i + i co lo ue 3. Demostrar ue b P p i b i dode i b i ( i ) b i i i p i ( i ) P ( i ) ( j ) s j 6

7 P ue p i 0 p i. Es decir, ue b se puede epresar como poderació de las pedietes parciales. El coe ciete b viee dado por Los valores p i a ue (i ) s b s s P ( i ) ( i ) P ( i ) i p i i p i b i ( i ) ( i ) s veri ca ue p i 0 (por ser cociete de catidades positivas) ue p i 4. Demostrar ue b P w i i dode ( i ) P ( i ) s s w i ( i ) P ( i ) ( j ) s j s s P p i ; Es decir, ue b se puede epresar como combiació lieal de las observacioes i. Demostrar tambié ue: w i 0; w i i wi s Se tiee ue b p i b i ( i ) s i ( i ) X P Los valores w i veri ca ue w i 0; w i i w i w i i wi s i i ( i ) s ( i ) s i 0 P P w i i ( i ) ( i ) s ( i ) s i s s 4 s 4 ( i ) s i w i i ( i ) ( i ) s s wi s, a ue P ( i ) 0 s i! i ( i ) s s 4 s ( i ) s s 7

8 5. Demostrar ue b P 0 r i i dode r i w i Es decir, ue b 0 se puede epresar como combiació lieal de las observacioes i. Demostrar tambié ue: r i ; r i i 0 ri +. h i 6. Demostrar ue e las hipótesis i 0 + i + i siedo i v.a. co E [ i ] 0, se veri ca ue E b0 0 h i ue E b. Es decir, ue b 0 b so isesgados. Utilizar e la demostració ue tato b como b 0 se puede epresar como combiació lieal de las observacioes i.. 7. Demostrar ue e las hipótesis i 0 + i + i siedo i v.a. co E [ i ] 0, E [ i j ] 0 si i 6 j E i se veri ca ue h i V b0 + s h i V b s Utilizar e la demostració ue tato b como b 0 se puede epresar como combiació lieal de las observacioes i.. 8. Demsotrar ue e las hipótesis i 0 + i + i siedo i v.a. co E [ i ] 0, E [ i j ] 0 si i 6 j E i se veri ca ue Cov ; b 0 Cov b0 ; b s s. 9. Demostrar ue b i ( i ) b ( i ) usado dicho resultado ue b w i i 8

9 dode w i ( i ) P ( i ) ( j ) s j. 0. Demostrar ue e las hipótesis i 0 + i + i siedo i v.a. co E [ i ] 0, E [ i j ] 0 si i 6 j E i se veri ca ue " # X E ( ) b i E bs b E s b Es decir, ue bs b es isesgado para ue sb es sesgado... Demostrar ue e las hipótesis i 0 + i + i siedo i v.a.i.i.d N (0; ) se veri ca ue 0 s b 0 0 ; p + A. s s! b N ; p bs b. Deducir ue e las hipótesis i 0 + i + i siedo i v.a.i.i.d N (0; ) se veri ca ue s b 0 0 t bs b p + s s! b t N ; p bs b p s s bs b 9

10 3. A partir de los resultados ifereciales ateriores deducir IC95% para 0 ; : 4. Ejercicios Peña (00) Temas