CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. 3.1 Proyección de la Población Urbana y Rural por Grupos de Edades

Transcripción

1 CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA 3.1 Proyecció de la Població Urbaa y Rural por Grupos de Edades Població Estacioaria Sabemos que el cocepto de la tabla de mortalidad, cosiste e seguir ua geeració o cohorte hipotético de persoas a través del tiempo, sometiédolas a determiadas codicioes de mortalidad y estableciedo a cada edad el úmero de sobrevivietes. Otra iterpretació que se le puede dar a al tabla de vida resulta al cosiderarla como u modelo de població estacioaria, esto es u modelo teórico e el cual la població total, así como la distribució por edades o cambia e el tiempo. E este modelo la tasa de mortalidad es igual a la tasa de atalidad, por lo que la tasa de crecimieto es cero, (Ortega, 1981). Segú Alfred Lotka, e la població estacioaria se puede defiir lo siguiete: t N : Població total e el año t t B = l : Nacimietos e el año t l p ( ) = l : Probabilidad de sobrevivir desde el acimieto hasta la edad 38

2 De acuerdo co lo aterior, el úmero de persoas que tiee edad e el año t estará dado por: t t N ( ) = B p( ) (3.1) Por lo tato podemos decir que la població total e el año t esta dada por: ω t t N = B p( ) d (3.2) Lo que idica la itegral es la suma de todas las persoas que aciero hace años, y ha sobrevivido hasta el año t, lo que implica ua edad. Tambié se puede separar el úmero de persoas e el grupo de edades etre y + e el año t co la siguiete epresió: + t t u N (, + ) = B p( u) du (3.3) Las defucioes totales e el año t estará dadas por la siguiete epresió: ω t ( t D = B p ( )) µ ( ) d (3.4) Dode: B t p() µ ( ) represeta las persoas sobrevivietes a edad represeta la tasa istatáea de mortalidad 39

3 Y el producto de estas dos represeta las defucioes a edad Al mometo de hacer la itegral se suma todas las defucioes a edad y se obtiee las defucioes totales. De maera aáloga a lo aterior se puede obteer las defucioes etre y + co la siguiete epresió: + t t u D (, + ) = ( B p( u)) µ ( u) du (3.5) Por lo aterior, las características de ua població estacioaria so las siguietes: i. El úmero de persoas se matiee costate e el tiempo ω t t N = B p( ) d (3.6) Sustituyedo los valores de B t- y de p() teemos: l = = ω ω l d l d T l (3.7) Dode: T es el tiempo total vivido De aterior tambié se puede obteer la població estacioaria por edades que esta dada por la siguiete epresió: 4

4 + t N (, + ) = ldu= L u (3.8) Dode: L es el úmero de persoas e cualquier grupo de edades es costate e el mometo t. ii. El úmero total de defucioes que ocurre cada año t es costate e igual que el úmero de acimietos. ω t ( t D = B p ( )) µ ( ) d (3.9) ω l 1 d = l l d l l d ω d = l d = ( l ω l ) = l d Tambié se puede ver el úmero de defucioes que ocurre por grupos de edad y está dado por la siguiete epresió: + t d D (, + ) = l u du du ( ) = l l = l l = d + + (3.1) 41

5 El resultado aterior, se represeta e la siguiete figura por medio del diagrama de Leis: Edad C l +1 D +1 L d A l B t Tiempo Figura 3.1 Número de defucioes e diagrama de Leis Fuete: Elaboració propia Otra forma de represetar el úmero de muertes es por medio de la siguiete epresió: L l = f d + 1 (3.11) Dode f es u factor de separació que sirve para difereciar el porcetaje que represeta las muertes de ua geeració co respecto a las muertes totales del año. Esto represeta gráficamete e el diagrama de Leis lo siguiete: 42

6 Edad +1 C l +1 D f d L A l B t Tiempo Figura 3.2 Factor de separació e diagrama de Leis Fuete: Elaboració propia Si desarrollamos la ecuació 3.11, teemos: L = l + f d + 1 ( ) ( 1 ) = l + f l l = f l + f l + 1 (3.12) Si defiimos a la tasa cetral de mortalidad como el cociete de dividir el úmero de defucioes etre la població estacioaria e las mismas edades, y tambié defiimos a la probabilidad de muerte como la divisió del úmero de defucioes etre las persoas epuestas al riesgo de fallecer, las epresioes estará represetadas de la siguiete maera: m d d = m = L l (3.13) 43

7 Tomado e cueta las epresioes ateriores se puede demostrar que se cumple la siguiete igualdad: q = m m ( f ) (3.14) Y para grupos de edades etre y + la siguiete: ( ) ( 1 ) L = f l + f l + (3.15) Desarrollado esta epresió teemos: q = m m 1 f + 1 ( ) (3.16) Probabilidades de Grupo Tomado e cueta la població estacioaria, para calcular la probabilidad de que u grupo de persoas que tiee edades etre y +4 años cumplidos, llegue co vida 5 años después, la epresió es la siguiete: P 5, + 4 = L L (3.17) 44

8 Del mismo la misma maera, si teemos grupos quiqueales de població e el año Z, para obteer el úmero de persoas que sobreviva al siguiete quiqueio lo calculamos de la siguiete maera: N P = N + z z N P = N + z z (3.18) N P = N + z z Y así sucesivamete, lo cual gráficamete represeta lo siguiete: 15 Edad z z 5 N1 14 N z N5 9 z 5 N z N 4 z z + 5 Año Figura 3.3 Proyecció de població e diagrama de Leis Fuete: Elaboració propia El problema se tiee cuado se proyecta la població que e el año z+5 haya sobrevivido a la edad 4, ya que ésta aú o ha acido e el año z. Para este caso se utilizará, bajo el mismo cocepto de població estacioaria, la relació de supervivecia 45

9 al acimieto. La cual se calcula de maera especial, ya que el grupo iicial se cosidera como el total de acimietos compredidos etre los años z y z+5, y está dado por la siguiete epresió: 5 P b L = 5 l 5 (3.19) La probabilidad de que este grupo sobreviva se calcula de la siguiete maera: z z ( ) B P = N, + 5 z b 4 (3.2) Este método solo toma e cueta como causa de salida del grupo la mortalidad, por lo que deja fuera otra causa importate que es la migració. Para tomar e cueta esta causa, se proyectará la població del ceso de 199 hacia el año 2, para después compararlo co el ceso del último año. La diferecia que se de etre las dos será tomada como la migració y esta se ocupará, e la misma proporció, para las proyeccioes futuras. 3.2 Proyecció de la Població Ecoómicamete Activa Segú Área Urbaa y Rural, Seo y Edad Para aplicar esta parte de la proyecció se ecesita fijar el año base, el cuál será el mismo que e el caso de las proyeccioes por áreas urbaa y rural. 46

10 Se determiará las tasas de actividad, que está defiida como el porcetaje de població ecoómicamete activa respecto a la població mayor de 15 años, dicho porcetaje es el resultado del cociete de dividir a la població ecoómicamete activa e u rago de edad etre la població total etre el mismo rago de edad. E Méico la edad legal que se tiee que cotar para empezar a trabajar es 16 años, pero para efectos de calcular esta tasa, para el caso de las edades etre 16 y 19 años, e el umerador se tomará ese rago de edades, auque e el deomiador se tomará e cueta la població etre 15 y 19 años. Ua vez separada la població e edades, de acuerdo a su tipo de població, ya sea urbaa o rural. La proyecció de la població ecoómicamete activa se calculará de maera separada, y acatádose a los métodos del Cetro Latioamericao de Demografía, como se eplicará mas adelate. Proyecció de las tasas de actividad de la població masculia urbaa. Si la etidad es idustrializada (lo que idica ua meor participació e las edades etremas: meores de 2 y mayores de 55 años), la tasa de actividad será la proyectada por el CELADE, para este tipo de població. Si la etidad es semi-idustrializada (lo que idica ua mayor participació activa de las edades ates mecioadas), la tasa de actividad será la proyectada por el CELADE para este tipo de població. Dichas tasas se muestra e la Tabla

11 Tabla 3.1 Modelos límites de tasas de actividad por edad de la població masculia urbaa adoptadas para el año 23, (tasas de actividad por cieto) Edad Modelo 1 idustrializado Modelo 2 semiidustrializado Fuete: Cetro Latioamericao de Demografía Métodos para proyeccioes demográficas, p. 152, año Proyecció de las tasas de actividad de la població masculia rural. Para este casi se utilizará las tasas de actividad proyectadas por el CELADE, que coforma las edades de 15 a 25 años y de 55 a 65 años, las demás edades se cosideraro costates por el CELADE, por lo que se tomará las tasas de actividad del ceso del 2 que realizó el INEGI. Las tasas proyectadas por el CELADE se muestra e la Tabla

12 Tabla 3.2 Modelos límites de tasas de actividad por edad de la població masculia rural meor a 25 y mayor de 55 años de edad adoptadas para el año 23 Edad Tasas de actividad (por cieto) Fuete: Cetro Latioamericao de Demografía Métodos para proyeccioes demográficas, p. 153, año Para la proyecció de la població femeia, tato urbaa como rural, se matedrá la tasa de actividad costate para todo el tiempo de la proyecció. 3.3 Regresió Defiiremos a la Regresió al estudio de la fuerza, cosistecia o grado de asociació de la correlació de variables idepedietes, (Schroeder, Sjoquist y Stepha, 1988) Regresió Lieal La fialidad de u aálisis de regresió es ivestigar la relació estadística que eiste etre ua variable depediete (Y) y ua o más variables idepedietes (X 1,X 2,X 3,... ) y así realizar la predicció de los futuros valores de la variable depediete. Para poder realizar esta ivestigació, se debe postular ua relació fucioal etre las variables. Debido a su simplicidad aalítica, la forma fucioal que más se utiliza e la práctica es 49

13 la relació lieal. Cuado sólo eiste ua variable idepediete, esto se reduce a ua líea recta: Y 1 = β + β X + ε (3.21) Dode los coeficietes b y b 1 so parámetros que defie la posició e icliació de la recta. Y ε es ua variable aleatoria o observable que idica el error aleatorio que se distribuye Normal co µ = y variaza σ 2 costate. La estimació del modelo queda de la siguiete forma: ˆ = b + b X (3.22) Y 1 Se toma como ˆ Y para represetar el valor de Y calculado por la recta, ya que el valor real de este rara vez coicide eactamete co el valor calculado. El parámetro b, coocido como la ordeada e el orige o itercepto, os idica cuáto es Y cuado X =, y es el estimador de β. El parámetro b 1, coocido como la pediete, os idica cuáto aumeta Y por cada aumeto de ua uidad e X, y es el estimador de β 1. Obsérvese que se puede obteer u estimador del error aleatorio ε a través de la diferecia etre el valor observado Y, y el valor ajustado Yˆ. Nuestro problema cosiste e obteer estimacioes de estos coeficietes a partir de ua muestra de observacioes sobre las variables Y y X. E el aálisis de regresió, estas estimacioes se obtiee por medio del método de míimos cuadrados. 5

14 Cuado se asocia u error sustacial a los datos, la iterpolació poliomial es iapropiada y puede llevar a resultados o satisfactorios cuado se usa para predecir valores itermedios. Los datos eperimetales a meudo so de ese tipo. Ua estrategia mas apropiada e estos casos es la de obteer ua fució aproimada que ajuste adecuadamete el comportamieto o la tedecia geeral de los datos, si coicidir ecesariamete co cada puto e particular. Ua líea recta puede usarse e la caracterizació de la tedecia de los datos y ua maera de determiar la líea, es ispeccioar los datos graficados y luego trazar la mejor líea a través de los putos. Por lo tato es ecesario cosiderar u criterio que cuatifique la suficiecia del ajuste. Ua forma de hacerlo es obteer ua curva que miimice la diferecia etre los datos y la curva y el método para llevar a cabo este objetivo es al que se le llama regresió co míimos cuadrados. El ejemplo mas simple es el ajuste de ua líea recta a u cojuto de parejas de datos observadas: ( 1,y 1 ), ( 2,y 2 ),...,(,y ). La epresió matemática de ua líea recta es Y = b + b X εˆ e dode b y b 1 so coeficietes que represeta la itersecció co el 1 + eje de las abscisas y la pediete, respectivamete y εˆ es el error o residuo etre el modelo y las observacioes, que se puede represetar reordeado la ecuació aterior como: ( b b X ) ˆ ε = + (3.23) Y 1 Por lo tato, el error o residuo es la diferecia etre el valor observado de Y y el valor estimado, b +b 1 X, predicho por la ecuació lieal. 51

15 3.3.2 Criterio de Míimos Cuadrados Ua estrategia que obtiee la mejor líea a través de los putos debe miimizar la suma de los errores residuales, como e: ε = ( Y b b X ) (3.24) i i 1 i i= 1 i= 1 Otro criterio seria miimizar la suma de los valores absolutos de las diferecias, esto es: ε = Y b b X (3.25) i i 1 i i= 1 i= 1 Ua tercera estrategia e el ajuste de ua líea óptima es el criterio de míimas. E este método, la líea se escoge de tal maera que miimice la distacia máima a la que se ecuetra u puto de la líea recta. Esta estrategia esta mal codicioada para regresió ya que ifluye de maera idebida sobre u puto etero, aislado, cuyo error es muy grade. Se debe otar que el criterio míimas alguas veces esta bie codicioado para ajustar ua fució simple a ua fució complicada. Ua estrategia que igora las restriccioes ateriores es la de miimizar la suma de los cuadrados de los residuos, S r, de la siguiete maera: 2 ε ( ) 2 1 (3.26) S = = Y b b X r i i i i= 1 i= 1 52

16 Este criterio tiee muchas vetajas, icluyedo el que ajusta ua líea úica a u cojuto dado de datos. Ates de aalizar estas propiedades, se muestra u método que determia los valores de b y b 1 que miimiza la ecuació de S r Ajuste de ua Recta Utilizado Míimos Cuadrados Para determiar los valores de las costates b y b 1, se deriva la ecuació S r co respecto a cada uo de los coeficietes: S S ( Y b b X )( ) r = r = 2 i 1 i 1 b b (3.27) Sr = 2 i b 1 1 ( Y b b X ) 1 Sr S = r = 2 b b 1 i ( Y b b X )( X ) i 1 i i Sr = 2 ( Yi b b1xi) Xi b Nótese que se ha simplificado los símbolos de la sumatoria; a meos que otra cosa se idique, todas las sumatorias va desde i=1 hasta. Igualado estas derivadas a cero, se geera u míimo S r. Si se hace así, las ecuacioes ateriores se epresara como: (3.28) = Yi b b1xi 2 = YXi bx i b1x i 53

17 Ahora cosiderado que b = b, las ecuacioes se puede epresar como u cojuto de dos ecuacioes lieales simultaeas co dos icógitas (b y b 1 ): (3.29) b + b1x i = Yi 2 bx i + bx 1 i = YX i i A estas ecuacioes se les cooce como ecuacioes ormales. Se puede resolver simultáeamete y obteer: ( i) X Y X Y i i i i 1 = 2 2 Xi X b (3.3) Este resultado se puede usar juto co la ecuació b + b1x i = Yi para obteer: b = Y b1x (3.31) e dode Y y X so la media de Y y X, respectivamete. Por lo tato, la ecuació de la regresió estimada es: Yˆ = Y + b ( X ) (3.32) 1 X 2 Ua vez obteida la ecuació, es posible calcular la variaza residual σ, siedo su estimador isesgado = ( i o i 1) 2 i= 1 s Y b X b (3.33) 54

18 Defiiedo el coeficiete de correlació como r = ( Xi X)( Yi Y) 2 2 ( Xi X) ( Yi Y) (3.34) que sólo toma valores e el itervalo [-1, 1], os da ua idea de hasta qué puto el ajuste lieal es razoable: i. Si r es próimo a 1, etoces el ajuste es aceptablemete bueo, distribuyédose las observacioes (X i, Y i ) alrededor de ua recta de pediete egativa. ii. Si r es próimo a etoces el ajuste o es aceptable, idicado que o eiste relació lieal etre las variables. iii. Si r es próimo a +1, etoces el ajuste es aceptablemete bueo, distribuyédose las observacioes (X i, Y i ) alrededor de ua recta de pediete positiva. El cotraste de idepedecia etre las variables es más objetivo que la simple observació del coeficiete de correlació r. Así se platea comprobar si los datos observados corrobora o o la hipótesis ula: H : "la variable eplicativa X o ifluye e la respuesta Y", frete a la alterativa: H 1 : "la variable eplicativa X ifluye liealmete e la respuesta Y". Mediate el estadístico de cotraste 2 ( 2) ( Xi X) A= b1 2 ( Yi box b1 ) (3.35) 55

19 que se distribuye como ua t -2 de Studet, se puede cotrastar la hipótesis ula H al ivel de sigificació α. Al realizar u cotraste se puede cometer uo de los dos errores siguietes: Error tipo I, se rechaza la hipótesis ula H cuado es cierta; Error tipo II, se acepta la hipótesis ula H cuado es falsa. Normalmete se desea cotrolar la probabilidad de cometer u error de tipo I. Y el ivel de sigificació es la probabilidad de cometer u error de tipo I. Fijar α lleva a dividir e dos regioes el cojuto de posibles valores del estadístico de cotraste: la regió de rechazo, co probabilidad α, bajo H y la regió de aceptació, co probabilidad 1-α, bajo H. Segú la forma de la regió de rechazo, u cotraste puede ser cotraste uilateral (cotraste de ua cola) o cotraste bilateral como es este caso (cotraste de dos colas). Y se rechaza H si A t α/2(-2), que se calcula coforma a la distribució iversa de t co probabilidad α/2 y co ( 2) grados de libertad. Esto es equivalete a decir que P- valor < α, dode P-valor es calculado co la distribució del estadístico. Y decimos que la variable eplicativa X ifluye liealmete e la respuesta Y. 56