PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA II

Transcripción

1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regioal Sa Nicolás PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA II UNIDAD Nº3 Liceciatura e Eseñaza de la Matemática Año 011 Mg. Lucía C. Sacco

2 UNIDAD Nº3 Estimacioes de parámetros. Procedimietos de la Estadística iferecial: la estimació. Estimació de parámetros. Propiedades deseables de u estimador: isesgado, eficiete o co variaza míima, coherecia y suficiecia. Iterpretació gráfica de propiedades. Valor estimado de ua parámetro. Estimació putual. Métodos de estimació putual. Estimació por itervalos. Itervalos de cofiaza. Itervalos de cofiaza para las medias co variaza coocida. Propósitos: Bridar oportuidades para la costrucció de herramietas que permita: Compreder los fudametos teóricos y la lógica subyacete de la iferecia estadística e ua de sus grades ramas: la estimació de parámetros. Difereciar las formas de estimació de parámetros poblacioales teiedo e cueta las codicioes de los bueos estimadores y recoociedo las particularidades de cálculo e distitos casos -media, variaza y proporció poblacioal-. Aplicar coceptos y procedimietos cetrales de la iferecia estadística e la resolució de casos y problemas. Bibliografía sugerida: Alfoso Lopes, Paulo (000). Probabilidad & Estadística. Coceptos, modelos y aplicacioes e Excel. Pretice Hall. Lid, Douglas Maso, Robert Marchal, William (000). ESTADÍSTICA para admiistració y Ecoomía. Tercera edició. Irwi McGraw Hill. Meyer, P. (1973). Probabilidad y aplicacioes estadísticas. Versió e español. Uiversidad Católica de Chile. Fodo Educativo Iteramericao. Zylberberg, A. (004). Probabilidad y Estadística P(). Nueva Librería. Págias de Iteret: - _estadistica/estimac.htm Mg. Lucía Sacco Págia

3 1. Itroducció La iferecia estadística comprede ua serie de técicas de uso imprescidible para tomar decisioes co respecto a la cuestió plateada por el ivestigador al comiezo de su tarea de aálisis de datos. Es ecesario destacar aquí que las decisioes que debe tomar el ivestigador ate la situació de icertidumbre que implica iferir de casos particulares a la geeralidad, debe estar respaldadas por la objetividad que garatiza la aplicació del método cietífico. De este modo, los resultados obteidos e situacioes experimetales, será idealizados de acuerdo a u modelo probabilístico coveiete, permitiedo al ivestigador medir e térmios de probabilidad la icertidumbre que trae aparejada la geeralizació de sus resultados. E otras palabras, podrá medir y comuicar el 'error' que puede cometer o la cofiaza que deposita e sus decisioes. Si la distribució de frecuecias de las observacioes puede asimilarse a la distribució de probabilidad teórica e la cual está basada la aplicació de la metodología iferecial elegida, etoces el ivestigador podrá estar seguro de que el error que iforma e el proceso de prueba de hipótesis estadísticas plateadas o la cofiaza co que realiza sus estimacioes so correctos. Aplicar cualquier metodología estadística iferecial si estudiar a fodo el cumplimieto de los supuestos e los cuales ella está basada, lleva irremediablemete a coclusioes erróeas. 1.1 Ramas de la Estadística Iferecial: Los dos pricipales procedimietos de la estadística iferecial so la estimació (putual o por itervalos) y las pruebas de hipótesis. Comúmete, los parámetros de ua població so descoocidos, siedo ecesario estimar el valor de éstos o, si o, efectuar idagacioes (pruebas de hipótesis) para comprobar si los valores a ellos atribuidos puede ser cosiderados como verdaderos. E esta Uidad veremos, etre otras cosas, cómo es posible obteer, para cada parámetro de iterés, el mejor estimador de ese parámetro. 1.3 Població y muestra: Ua població se defie como la totalidad de elemetos sobre los cuales se desea estudiar u tema e particular. Por ejemplo, si se desea estudiar el igreso promedio de las familias e la ciudad de Sa Nicolás, la població estará costituida por todas las familias que habita e esta ciudad. Mg. Lucía Sacco Págia 3

4 Es evidete que, por razoes de costo y tiempo, sería casi imposible ecuestadas a todas. Geeralmete se ecuesta a uas pocas seleccioadas de tal maera que represete al total de familias que compoe la població e cuestió. A ese cojuto de familias seleccioadas a partir de ua cierta població, se lo deomia muestra. El procedimieto que geeralmete se sigue e cualquier ivestigació cosiste e obteer resultados a partir de ua muestra y luego geeralizarlos a la població objetivo. Ua població cualquiera queda perfectamete especificada por ciertas medidas deomiadas parámetros poblacioales. U parámetro poblacioal es ua medida que se calcula teiedo e cueta todos los elemetos que compoe ua cierta població. Por ejemplo, si el igreso promedio de las familias de la ciudad de Sa Nicolás se calcula cosiderado el igreso de todas las familias que habita e la ciudad, este igreso promedio es u parámetro poblacioal. Es evidete que los parámetros poblacioales so geeralmete imposibles de calcular. E la práctica, casi siempre se trabaja co muestras. Las medidas calculadas a partir de las observacioes muestrales, se cooce co el ombre de estadísticos muestrales. U estadístico muestral es ua medida que se calcula teiedo e cueta solamete los elemetos que itegra ua muestra determiada. Así, si se toma ua muestra de 100 familias de la ciudad de Sa Nicolás, se les realiza ua etrevista e la que se preguta el igreso familiar y, e base a la iformació recogida se calcula u igreso promedio, este promedio es u estadístico muestral. Ahora bie, para qué os sirve calcular el igreso promedio de las 100 familias que saliero seleccioadas e la muestra? Nos sirve pues ella es la úica iformació co la que cotaremos para decir algo acerca de todas las familias de la ciudad de Sa Nicolás. Debido a esto, la utilizaremos para estimar al parámetro poblacioal (igreso promedio de todas las familias de la ciudad de Sa Nicolás) que prácticamete uca llegaremos a coocer. El proceso por medio del cual se establece relacioes etre los estadísticos muestrales y los parámetros poblacioales es el objeto de la iferecia estadística.. Estimació de parámetros Como se dijo ateriormete, el objetivo de la estadística cosiste e hacer iferecias acerca de los parámetros de ua població teiedo e cueta la iformació coteida e la muestra. Ahora bie, como e geeral los parámetros poblacioales so descoocidos, existe ua amplia gama de técicas estadísticas que tiee como objetivo la estimació de estos parámetros a través de estadísticos muestrales adecuados a cada caso e particular. Mg. Lucía Sacco Págia 4

5 La base teórica que susteta la metodología que aplicamos a los resultados de ua muestra, se fudameta e la distribució de probabilidad del estimador calculado e cada ua de las muestras posibles. Existe dos tipos de estimacioes para parámetros, putuales y por itervalo. Ua estimació putual es u úico valor estadístico y se usa para estimar u parámetro. El estadístico usado se deomia estimador. Ua estimació por itervalo es u rago, geeralmete de acho fiito, que se espera que cotega el parámetro..1 Estimadores U estimador es ua fució que permite calcular valores aproximados al del parámetro, además, se lo cosidera ua variable aleatoria ya que puede tomar valores que perteece a u itervalo de úmeros reales Es posible defiir muchos estadísticos para estimar u parámetro descoocido. Por ejemplo, puede elegirse la media muestral para estimar el valor de la media poblacioal, o tambié la mediaa muestral. Por ejemplo, la media muestral se obtiee sumado todas las observacioes de la muestra y dividiedo esta suma por el tamaño de la muestra. Cualquier persoa podría defiir otra combiació de las observacioes muestrales como estimador del parámetro μ y etoces cabría la preguta: Cuál es el "mejor" estimador de μ? U problema importate que debió resolver la teoría estadística, fue el de determiar el mejor estimador de cada parámetro e particular.. Propiedades de los estimadores Cuado se aaliza coceptos geerales y métodos de iferecia es coveiete teer u símbolo geérico para el parámetro de iterés. Se utilizará la letra griega para ombrar al parámetro y co ˆ al estimador. Etoces, Cómo seleccioar u bue estimador de?, Cuáles so los criterios para juzgar cuado u estimador es bueo o malo? Si se piesa e térmios de estimadores humaos como se ecuetra e las grades compañías, etoces, quizá u bue estimador es aquella persoa cuyas estimacioes siempre se ecuetra muy cercaas a la realidad. De aquí surge dos propiedades deseables de u estimador: 1. La distribució muestral de ˆ debe teer ua media igual al parámetro estimado, e este caso se dice que el estimador es isesgado. Si se usa la media muestral para estimar la media poblacioal, se sabe que la, por lo tato la media es u estimador isesgado.. La variaza del estimador debe ser la meor posible, e este caso se dice que el estimador es eficiete o co variaza míima. Mg. Lucía Sacco Págia 5

6 Supoiedo que ˆ 1 y ˆ so dos estimadores isesgados de. Etoces, au cuado la distribució de cada estimador esté cetrada e el valor verdadero de, las dispersioes de las distribucioes alrededor del valor verdadero puede ser diferetes. Etre todos los estimadores ˆ de que so isesgados, es ecesario seleccioar al que tega variaza míima. E otras palabras, la eficiecia se refiere al tamaño de error estádar de la estadística. Si comparamos dos estadísticas de ua muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cuál de ellas es u estimador más eficiete, escogeríamos la estadística que tuviera el meor error estádar, o la meor desviació estádar de la distribució de muestreo. Tiee setido pesar que u estimador co u error estádar meor tedrá ua mayor oportuidad de producir ua estimació más cercaa al parámetro de població que se está cosiderado. Como se puede observar las dos distribucioes tiee u mismo valor e el parámetro sólo que la distribució muestral de medias tiee ua meor variaza, por lo que la media se covierte e u estimador eficiete e isesgado. Es posible sumar a estas dos propiedades: Coherecia: Ua estadística es u estimador coherete de u parámetro de població, si al aumetar el tamaño de la muestra se tiee casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastate al valor del parámetro de la població. Si u estimador es coherete se vuelve más cofiable si teemos tamaños de muestras más grades. Suficiecia: U estimador es suficiete si utiliza ua catidad de la iformació coteida de la muestra que igú otro estimador podría extraer iformació adicioal de la muestra sobre el parámetro de la població que se está estimado. Es decir se pretede que al extraer la muestra el estadístico calculado cotega toda la iformació de esa muestra. Por ejemplo, cuado se calcula la media de la muestra, se ecesita todos los datos. Cuado se calcula la mediaa de ua muestra sólo se utiliza a u dato o a dos. Esto es solo el dato o los datos del cetro so los que va a represetar la muestra. Co esto se deduce que si utilizamos a todos los datos de la muestra como es e el caso de la media, la variaza, desviació estádar, etc.; se tedrá u estimador suficiete..3 Iterpretació gráfica de estas propiedades: Supogamos que estamos estimado la media de ua població ormal. Es decir, la media de ua població que sabemos que es ormal, auque o sepamos su media. Si como estimador de la media usamos, por ejemplo, algua combiació lieal de los valores de ua muestra tomada de esa població, etoces como el valor de cada valor de la muestra es ua variable ormal e si misma, y ua combiació lieal de variables ormales es ua variable ormal, uestro estimador tambié es ua variable aleatoria ormal. Si calculáramos como vimos ates el valor esperado del estimador y lo graficáramos, podríamos llegar a u gráfico como este: Mg. Lucía Sacco Págia 6

7 E este gráfico podemos apreciar que es deseable que el valor esperado del estimador coicida co el parámetro estimado. Deomiamos sesgo a la diferecia E ( ˆ) Por eso cuado el sesgo de u estimador es cero, se lo deomia "isesgado". Como podemos observar, el estimador graficado o es isesgado. Por lo que dijimos ates, es deseable que el sesgo de u estimador sea pequeño. Otra característica importate que aalizamos fue la variaza. Es deseable que la variaza de u estimador sea pequeña, para que la variabilidad respecto de su valor esperado sea pequeña. E el ejemplo graficado, la variaza de ˆ 1 es más pequeña que la de ˆ Vemos que su variabilidad respecto de su valor esperado es meor. Ejemplo 1 Cosideremos ua població compuesta por 5 escuelas rurales e las que se ha registrado el úmero de maestros obteiedo:, 3, 6, 8, 11. Aalizar cómo el estimador media muestral cumple co todas las propiedades de u bue estimador. a. Isesgabilidad E primer lugar calculamos la media aritmética y la variaza correspodiete a la variable = catidad de maestros por escuela. Se obtiee 6 maestros por escuela y 10, 8 co ua desviació típica de 3, 9 Estos resultados os idica que el promedio de maestros e escuelas rurales e la població es de 6 maestros por escuela co ua dispersió de 3,9 maestros por escuela. Supogamos, ahora, que seleccioamos todas las muestras posibles de tamaño = por medio de u muestreo co reemplazo 1. Como podemos observar e la Tabla 1, cada ua de estas muestras es el resultado de u experimeto aleatorio y todas tiee la misma probabilidad de ser seleccioada 1 Se ha cosiderado icluir como primer ejemplo ua situació secilla utilizado u muestreo co reemplazo, más allá del cotexto de la misma. La iteció es estudiar e u pricipio el caso e que se icluye todas las muestras posibles de tamaño =. E el caso de cosiderar el muestreo si reemplazo, se cumple la isesgabilidad de la media aritmética. El valor de la variaza, e cambio, debe corregirse co el factor de correcció (N-/N-1). Mg. Lucía Sacco Págia 7

8 (1/N = 1/5). Luego, el muestreo es aleatorio y cada muestra es ua muestra aleatoria simple. E cada muestra podemos obteer la media aritmética, como vemos e la columa 4 de la Tabla 1. Tabla 1: Muestras posibles y Promedios de cada muestra Vemos que de esta forma, os ha quedado defiida ua ueva variable aleatoria: la variable aleatoria media muestral (última columa de la tabla). El valor que ella toma, depede de la muestra a la que correspoda. Como cada media aritmética está calculada co las observacioes muestrales, el valor obteido e cada muestra será u estadístico muestral. Ahora bie, por ser la media aritmética ua variable aleatoria, podemos establecer su correspodiete distribució de probabilidad y calcular la esperaza matemática y variaza. Para eso, costruiremos primero la tabla de frecuecias, computado los diferetes valores de xi y sus repeticioes. Esto se preseta e las dos primeras columas de la Tabla. Mg. Lucía Sacco Págia 8

9 Las columas restates, resulta de asimilar las frecuecias relativas a las probabilidades (Teoría frecuecial de la probabilidad) y utilizarlas para obteer la Esperaza y la Variaza. Tabla : Distribució de probabilidad de la variable Aleatoria media muestral N Se obtiee E( x) x xi. p( xi ) 6 obteido es i1 La primera coclusió importate que hemos E (x) y esto equivale a decir que x es u estimador isesgado de Si embargo, es oportuo aclarar aquí que la propiedad de isesgamieto es u cocepto teórico. Úicamete se da e térmios de valores esperados, puesto que si os fijamos e la Tabla 1 ecotraremos que, de las 5 muestras posibles, sólo ua media muestral coicide co el valor del parámetro μ. Calculemos ahora la variaza de la variable aleatoria media muestral utilizado tambié la iformació proporcioada por la tabla. N Obteemos V ( x) ( xi x). p( xi ) 5, 40 i1 Vemos que este valor es exactamete igual al de la variaza poblacioal dividido por el tamaño de la muestra, es decir: 10,80 V ( x) 5,40 Mg. Lucía Sacco Págia 9

10 La seguda coclusió importate a la que llegamos es que la variaza de la variable aleatoria media muestral es directamete proporcioal a la variaza poblacioal e iversamete proporcioal al tamaño de la muestra. Esto quiere decir que a medida que se icremeto el tamaño de la muestra meor es la variabilidad de la variable media muestral, mietras que, cuato más variable es la característica e estudio e la població (expresada por ua mayor variaza σ ), mayor será tambié la variaza de la variable aleatoria media muestral. b. Isesgabilidad de míima variaza (eficiecia) Veamos ahora si la media muestral es u estimador eficiete. Para verificar esta propiedad debemos comparar la variaza de esta variable aleatoria co la de algú otro estimador isesgado de μ. Cuado la distribució de la característica e estudio e la població es perfectamete simétrica, la mediaa tambié es u estimador isesgado de μ. Ahora bie, la variaza del estimador mediaa muestral es lo que os permite verificar que siempre V( Me) V( x) 4 V ( Me ). (verificar), Co ello verificamos que la media muestral es u estimador más eficiete que la mediaa para estimar al parámetro poblacioal μ. E símbolos: 4. V ( Me) 4 1 V ( x) E geeral, podemos verificar que la media muestral es u estimador que tiee variaza míima cuado se lo compara co cualquier otro estimador del parámetro media poblacioal. c. Cosistecia E cuato a la propiedad de cosistecia, ella o ecesita verificació. Es evidete que si la media muestral es u estimador isesgado tambié será cosistete. d. Distribució asitóticamete ormal Aalizaremos ahora si el estimador media muestral cumple co la propiedad 4, es decir, tiee distribució asitóticamete ormal. Evidetemete hay dos situacioes posibles: a) Cuado la muestra se seleccioa aleatoriamete de ua població co distribució ormal. b) Cuado la muestra se seleccioa aleatoriamete de ua població si distribució ormal. E el caso a) la teoría estadística establece que la distribució de la variable aleatoria media muestral, calculada e base a ua muestra seleccioada aleatoriamete de ua població co distribució ormal, respode a las características de la distribució ormal de la població de orige. Comprobar que es así. Mg. Lucía Sacco Págia 10

11 E el caso b) la teoría estadística establece que, aú cuado la distribució poblacioal de la característica e estudio se aleja bastate de la forma ormal, la distribució de la variable aleatoria media muestral se aproxima a la distribució ormal a medida que se icremeto el tamaño de la muestra. Esta última afirmació está sustetada e u importate teorema de la teoría estadística coocido co el ombre de teorema cetral del límite. Luego es fácil cocluir que el estimador media muestral cumple co la propiedad 4. Coclusioes: Ahora estamos e codicioes de efectuar la siguiete sítesis sobre el ejemplo plateado: el estimador media muestral es u estimador isesgado, eficiete, cosistete y asitóticamete ormal por lo cual cumple co todas las propiedades de ser u bue estimador. Actividad 1: Mg. Lucía Sacco Págia 11

12 3. Estimació putual La estimació putual es u proceso mediate el cual se estima el parámetro e u puto, dado u valor específico como estimació. Los dos métodos tradicioales de estimació putual de parámetros so el de míimos cuadrados y el de máxima verosimilitud. El método de míimos cuadrados fue trabajado e la Uidad Nº cuado hablamos del aálisis de regresió. El objetivo de la estimació putual es seleccioar sólo u úmero, basados e datos de la muestra, que represete el valor más razoable de Ua estimació putual de u parámetro es u sólo úmero que se puede cosiderar como el valor más razoable de. La estimació putual se obtiee al seleccioar u estadístico apropiado y calcular su valor a partir de datos de la muestra dada. El estadístico seleccioado se llama estimador putual de. Los estimadores más frecuetes de los siguietes parámetros so: E el mejor de los casos, se ecotrará u estimador ˆ para el cual ˆ siempre. Si embargo, ˆ es ua fució de los x i muestrales, por lo que es e sí misma, ua variable aleatoria. Etoces, ˆ errordeestimacio lo cual os permite deducir que el estimador preciso sería uo que produzca sólo pequeñas diferecias de estimació, de modo que los valores estimados se acerque al valor verdadero. Mg. Lucía Sacco Págia 1

13 La distacia etre ua estimació y el parámetro estimado recibe el ombre de error de estimació. Para cualquier estimador putual co ua distribució ormal, la regla empírica dice que aproximadamete el 95% de todas las estimacioes putuales estará a o más de dos (exactamete 1,96) desviacioes estádar de la media de esa distribució. Ejemplo La logitud de los torillos que produce ua determiada máquia es ua variable ormal, pero o sabemos cuáto vale el parámetro (media poblacioal) de esa distribució ormal. Podemos hacer el experimeto de tomar 10 torillos, calcular el promedio de sus logitudes, y usar ese promedio como estimació de. E este caso el estimador es: El marge de error se estima como xi i1 ˆ x i1 1,96 ( x x) i Ejemplo 3 E el futuro habrá cada vez más iterés e desarrollar aleacioes de Mg de bajo costo, para varios procesos de fudició. E cosecuecia, es importate cotar co métodos prácticos para determiar varias propiedades mecáicas de esas aleacioes. Examie la siguiete muestra de medicioes del módulo de elasticidad obteidas de u proceso de fudició a presió Supoga que esas observacioes so el resultado de ua muestra aleatoria. Se desea estimar la variaza poblacioal U estimador atural es la variaza muestral 3 s i1 ( xi x) (44, 44,065) (43,9 44,065)... (43,1 44,065) ,51 Este valor os permite ecotrar el marge de error que se comete al estimar el valor de la media muestral. 3 E Probabilidad y Estadística I, Uidad Nº1, puto 4.3 Medidas de variabilidad, pág. 36. Se habló de este coeficiete de correcció utilizado. Mg. Lucía Sacco Págia 13

14 4. Estimació por itervalos U estimado putual, por ser u sólo úmero, o proporcioa por sí mismo iformació algua sobre la precisió y cofiabilidad de la estimació. Por ejemplo, si se tiee iterés e estimar la resistecia promedio a la ruptura de cierto elemeto estructural, es probable que u solo úmero o sea ta sigificativo como u itervalo, detro del cual se espera ecotrar el valor de este parámetro. Ua alterativa para reportar u solo valor del parámetro que se esté estimado es calcular e iformar todo u itervalo de valores factibles, u estimado de itervalo o itervalo de cofiaza (IC). Ua estimació por itervalos de u parámetro descoocido es u itervalo de la forma I u, dode los putos extremo l y u depede del valor umérico de la estadística ˆ para ua muestra e particular y de la distribució de muestreo de ˆ. De la distribució de muestreo de ˆ es posible determiar los valores de l y u tales que la siguiete proposició sea verdadera: P ( I u) 1 ; 0 1 Por tato se tiee ua probabilidad de 1 de seleccioar ua muestra que produzca u itervalo que cotiee el valor verdadero de El itervalo resultate I u se cooce como Itervalo de Cofiaza del 100(1 ) por cieto. Las catidades l y u se deomia límites de cofiaza iferior y superior y 1 es el coeficiete de cofiaza (o ivel de cofiaza, que es ua medida del grado de fiabilidad e el itervalo). De tal forma, cuado 0, 05, se tiee u itervalo de cofiaza del 95% y cuado 0,01 se tiee uo del 99%. Etre mayor es el itervalo de cofiaza se tiee más seguridad de que el mismo cotega el parámetro descoocido. Sobre 100 muestras aleatorias de u cierto tamaño de ua població, si e cada ua se calcula la medía muestral x y, a partir de ellas, se costruye 100 itervalos de cofiaza para el parámetro que se desea estimar 95 cotedrá al verdadero valor del parámetro poblacioal, mietras que 5 o lo abarcará. U itervalo del tipo I u recibe el ombre más apropiado de Itervalo de Cofiaza Bilateral. Tambié existe itervalos de cofiaza Uilaterales I y u dode los límites de cofiaza se elige de modo que P ( I) 1 y P ( u) Itervalos de cofiaza para las medias Para estimar la media de ua característica de la població, es ecesario, primero saber si la variaza de la població es coocida o o lo es. Para estimar la media de ua característica de la població, cuado se cosidera coocida la variaza de esa població, se toma ua muestra de tamaño y se le calcula la media muestral Por el Teorema del Límite Cetral, se sabe que de la distribució de la media muestral se obtiee que Mg. Lucía Sacco Págia 14

15 x Z tega ua distribució como ua ormal estádar, co media ( ) variaza. E y Teiedo e cueta que la distribució de la media muestral sigue o tiede a ua Distribució Normal, y cosiderado la variaza como coocida, el itervalo de cofiaza debe abarcar el área de ( 1 )% etre sus límites superior e iferior e dicha distribució. Cada límite es expresado e uidades de desviació típica y esas uidades esta expresadas por Z a /. E cosecuecia, el itervalo de cofiaza bilateral del 100 (1 )% para dado esta dado por I Z ; Z Teer e cueta que esta expresió obedece al cocepto: Valor del parámetro=estimació putual ua fució de la cofiaza y la dispersió (directamete proporcioales) y del tamaño de la muestra (iversamete proporcioales). Ejemplo 4 Supogamos que el director de ivestigacioes de mercado de ua fábrica automotriz ecesita hacer ua estimació de la vida promedio de las baterías que su compañía produce. Seleccioa aleatoriamete 00 usuarios y resulta teer ua vida promedio de sus baterías de 36 años. Ecotrar el itervalo detro del cual es probable que esté la media de població descoocida. Para ello, es ecesario ecotrar el error estádar de la media que la desviació de la població es 10 meses, obteemos 707, coociedo 0, Ahora podemos decir que la vida útil de las baterías esta detro del itervalo I ; ), es decir, I (35,93;36,707 ) ( Auque estos datos so útiles o so suficietes, pues o tiee así u ivel de cofiaza sigificativo. Para esto debemos recordar que cuado trabajamos co la distribució ormal de probabilidad, hemos visto que posicioes específicas del área bajo la curva ormal está localizadas a ua distacia de cierto úmero dado de desviacioes estádares por debajo y por arriba de la media. Esto se puede aplicar al error estádar de la media. Así podemos decir que, por ejemplo, el 95,5% de las medias de muestra está detro de de, y e cosecuecia, está detro de de la media de cada ua de tales muestras. De maera parecida, tambié podemos decir que la probabilidad de que la media de la muestra esté detro de 0,683. de la media de la població es de Mg. Lucía Sacco Págia 15

16 Ejemplo 5 U vededor de partes del automotor, mayorista, ecesita ua estimació de la vida media que puede esperar de los limpiadores de parabrisas e codicioes ormales de maejo. La admiistradora ya ha determiado que la desviació estádar de la vida útil de la població es de 6 meses. Se seleccioa ua sola muestra de 100 limpiadores y se obtiee que x 1meses, ecotrar el itervalo de cofiaza de u 95% Como la muestra es mayor de 30, debemos calcular el error estádar de la media. Ahora, cosiderado u ivel de cofiaza del 95%, podemos obteer Z de 0,6,5 100 la siguiete maera ,5 0, 05 Co este valor plateamos que tabla y obteemos Z=1,96. F( Z) 1 F( Z) F( Z) 1 0,05 0,975 este valor lo buscamos e Co este valor calculamos el itervalo de cofiaza e el que puede estar la media poblacioal I Z ; Z 19,84;,176 Ejemplo 6 Se quiere estimar el igreso medio aual de 700 familias que vive e ua secció de 4 mazaas. Si se toma ua muestra de 50 familias y se halla los siguietes resultados x $11800 y s $ 950 Ecotrar u itervalo co u ivel de cofiaza del 90% e el que pueda ecotrarse la media poblacioal. Calculo el error producido e la desviació estádar de la media N N 1 19,56 4 Co el valor del 90% de ivel de cofiaza obteemos que , De igual maera que lo hicimos ates, obteemos Z=1,64. Etoces I Z ; Z 11587,5;101,48 4 Como se trata de u muestreo si reemplazo se ha utilizado para su cálculo el coeficiete de correcció. Mg. Lucía Sacco Págia 16

17 Coclusioes: Como sítesis, podemos decir que para reducir la amplitud de u itervalo de cofiaza y e cosecuecia aumetar su precisió, debemos reducir el error estádar de la media muestral x que es. Esto puede lograrse solamete dismiuyedo la variabilidad de los datos ya sea homogeeizado el material experimetal o, si esto o puede llevarse a cabo, aumetado el tamaño de la muestra. Es costumbre utilizar coeficietes de cofiaza del 90%, 95% y 99% Por este motivo es posible cosiderar la siguiete tabla que resume los valores de probabilidad de la distribució ormal estadarizada para estos iveles de cofiaza. Por qué "itervalos de cofiaza" y o "de probabilidad"? Si observamos las expresioes de los itervalos obteidos para la media poblacioal, de u 95% de cofiaza o de u 99% de cofiaza, se puede apreciar que e ellos o está implicada igua variable aleatoria, ya que e el cetro del itervalo está u parámetro y e los extremos se tiee úmeros obteidos sumado y restado Z a la media obteida e la muestra. Al o existir variable aleatoria e la expresió, o sería correcto hablar de probabilidad. No obstate, se comprede que, cumpliédose los supuestos (distribució ormal de la població, o muestras suficietemete grades), costruyedo los itervalos co ésta metodología (sumar y restar Z a la media muestral), el 95% o 99% (segú el valor de Z) de los posibles itervalos cotedrá al verdadero valor de. De allí la expresió "existe etre u 95 (o 99) por cieto de cofiaza de que el itervalo cotega al parámetro". Actividad : Mg. Lucía Sacco Págia 17

18 Actividad 3: Mg. Lucía Sacco Págia 18