ANÁLISIS DE EFICIENCIA Y PRODUCTIVIDAD. Autor: Francisco Javier Parra Rodríguez. Doctor en Ciencias Económicas y Empresariales.

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1 ANÁLISIS DE EFICIENCIA Y PRODUCTIVIDAD Autor: Francsco Javer Parra Rodríguez. Doctor en Cencas Económcas y Empresarales. 1

2 ÍNDICE 8.1 Concepto y medcón de la efcenca productva Concepto de efcenca productva Meddas orentadas al Input Meddas orentadas al Output Estmacón de efcenca en modelos con datos panel Técnca de datos panel Especfcacón general de un modelo de datos de panel Ventajas y desventajas de los modelos de datos de panel Modelo de efectos fjos Modelo de efectos aleatoros Eleccón de modelo de efectos o efectos aleatoros Ejemplo práctco Medcón de la efcenca con datos panel Modelos de efcenca técnca varante en el tempo Alternatvas de especfcacón de datos de panel a partr del modelo general Efcenca técnca varante en el tempo Ejemplo Estmacón de efcenca con métodos no paramétrcos. El Data Envelopment analyss (DEA) Análss envolvente de datos (DEA). Introduccón El modelo de rendmentos constantes a escala (CRS) orentado a Inputs El modelo de rendmentos varables a escala (VRS) Cálculo de Efcencas de escala Orentacones al Input y al Output Informacón sobre precos y efcenca económca Ejemplo Números índces y meddas de productvdad Meddas de productvdad Meddas de la productvdad basadas en un solo factor Meddas de la productvdad basadas en más de un factor (PMF) Evolucón de la productvdad con Indce de Malmqust Indces de Malmqust Análss envolvente de datos aplcado a la construccón de índces de Malmqust Ejemplo Referenca a programas nformátcos

3 Introduccón. Estos apuntes constuyen una ntroduccón a las nuevas teorías de efcenca y productvdad a través de modelos de técncas de estmacón de frontera paramétrca y no paramétrca. La complejdad de estos cálculos determna que los ejerccos práctcos deban de realzarse medante el auxlo de programas nformátcos dseñados para dcho fn. Estos programas constuyen ben aplcacones desarrolladas en lenguajes matemátcos de programacón (SAS, CC++, etc ) y otros programas desarrollados en Wndows o MSDOS de uso comercal. De los programas más habualmente utlzados para estos fnes tres de ellos EAP, DEAP y Fronter 4.1, los dos últmos desarrollados por CEAP son de dfusón lbre para usos académcos. Por esta razón los apuntes están enfocados para que puedan servr de ayuda en la utlzacón practca de dchos programas, por ello se ncluyen ejemplos resueltos utlzando estos programas. Junto a los apuntes se ncluyen los textos técncos de dchos programas que complementan a los apuntes y faclan el que cualquer problema de productvdad y DEA pueda ser resuelto una vez realzado el curso. Por otro lado, junto al análss específco de la productvdad y la efcenca medante técncas de frontera se han ncludo otros apartados que recogen los aspectos teórcos y práctcos para poder realzar cálculos de productvdad medante índces de productvdad total de factores. Estos índces (Dvsa, Fsher, Hulten, etc ) son más habuales en los manuales de estadístca, por corresponder a técncas de elaboracón de índces ponderados que son utlzados para elaborar índces de precos y cantdades. Estos índces se menconan en otras materas del master (tema 4), en donde se recogen los aspectos práctcos que aquí no se desarrollan. 3

4 8.1 Concepto y medcón de la efcenca productva Concepto de efcenca productva Los térmnos: "efcente", "nefcente", "alta efcenca", son vocablos de uso común en nuestro lenguaje habual. Se suele escuchar frases como: "hay que aumentar la efcenca de la empresa", "la ndustra A es mucho más efcente que la ndustra B", "hay que consegur un nvel de produccón efcente". Puesto que frases como éstas se usan a daro no debería ser dfícl defnr la palabra "efcenca". Sn embargo, con mucha frecuenca el concepto teórco de efcenca acaba mal nterpretado, y la medda de efcenca, que, por otro lado es una herramenta muy útl y poderosa que puede ser empleada en campos y ocupacones muy dversas, al ser empleada ncorrectamente acaba transformándose en un nstrumento que genera ndcadores totalmente artfcales. Una defncón de "efcenca" es la sguente: "La efcenca es la relacón entre un ngreso y un gasto; entre una entrada y una salda; entre un recurso y un producto" La expresón en cualquera relacón de efcenca toma la forma de una proporcón: un output dvddo por un nput, y se presenta en forma matemátca de la sguente forma: F = E/I donde: F = efcenca I = output especfcado E = nput especfcado Muchos análss de la efcenca en la economía se han basado en el cálculo de ratos del tpo de Tm de producto por trabajador, que aunque nos nforma del rendmento de la mano de obra, no nos dce nada acerca de otros factores productvos como la maqunara, la energía, los capales nvertdos, etc. Farrell (1957) propuso un método para medr la efcenca tenendo en cuenta varos factores de produccón al msmo tempo. Este autor descomponía la efcenca de una empresa en dos componentes: Efcenca técnca, que refleja la habldad de obtener el máxmo output para un determnado nvel de nputs, y Efcenca asgnatva, que refleja la habldad de una empresa para utlzar los nputs en una proporcón óptma, consderando los precos de los nputs. Estos dos conceptos combnados consturían la efcenca económca. 4

5 Los métodos para estmar la efcenca pueden ser dvddos en dos (Coell, 1995): métodos paramétrcos, que estman una frontera estocástca por técncas econométrcas; y métodos no paramétrcos, como el DEA, que se basa en la resolucón del modelo por programacón lneal. El prmer modelo propuesto de frontera econométrca, que se denomna frecuentemente frontera determnístca, suponía la efcenca explcada por una varable aleatora no-negatva. Posterormente, Agner, Lovell y Smh (1977) y Meeusen y Van den Broeck (1977) propuseron ndependentemente la funcón frontera estocástca de produccón. Ésta se dferenca de la anteror en la estructura del térmno de error. Se trata de un error compuesto por dos elementos: varable aleatora no-negatva asocada con la nefcenca técnca en la produccón y, error aleatoro smétrco fuera del control de la empresa que tene en cuenta otros factores, tales como el error de medda en la varable tomada como producto, errores de omr varables sgnfcatvas del modelo, el tempo, el azar, etc. La mayor ventaja de DEA, es su flexbldad, en el sentdo de que mpone condcones menos restrctvas sobre la tecnología de referenca (forma de la funcón de produccón) y tambén en cuanto a que se adapta a contextos multproducto e, ncluso, de ausenca de precos, con relatva sencllez. Otra ventaja del DEA es que perme relaconar smultáneamente todos los nputs con los outputs, pudendo dentfcarse cuales nputs están sendo nfrautlzados Meddas orentadas al Input Farrell lustró sus deas a través de un sencllo ejemplo en el cual las empresas utlzan dos nputs (xl y x2), y producen un output (y), bajo el supuesto de rendmentos constantes a escala.1 El conocmento de la undad socuántca de una empresa (o economía) completamente efcente2, representada por SS' n el Gráfco nº1, perme la medcón de la efcenca técnca. S una empresa utlza unas cantdades de nput, defndos por el punto P, para producr una undad de output, la nefcenca técnca quedaría representada por la dstanca QP, la cual representa el montante por el cual todos los nputs podrían ser proporconalmente reducdos sn una reduccón en el output. Este montante se expresa normalmente en térmnos de porcentaje a través del rato QP/OP, el cual representa el porcentaje por el cual todos los nputs podrían reducrse. 1 El supuesto de rendmentos constantes a escala perme representar la tecnología utlzando una undad socuántca. Asmsmo, Farell tambén extendó su método a más de dos nputs, múltples outputs y rendmentos no constantes a escala. 2 La funcón de produccón de una empresa (o economía) no es conocda en la práctca y debe ser estmada a través de las observacones de una muestra de empresas en la ndustra concernente. En nuestro caso, el DEA lo utlzamos para estmar esta frontera. 5

6 La efcenca técnca (TE), se mde comúnmente por el rato: TEI = OQ/OP (1) el cual es gual a 1 - QP/OP.3 Esta medda tomará un valor entre 0 y 1, constuyendo un ndcador del grado de nefcenca técnca de esta undad. Un valor de 1 ndcaría una empresa con efcenca técnca completa. Por ejemplo, el punto Q es técncamente efcente, ya que está suado sobre la socuántca efcente. Gráfco nº 1 Efcenca técnca y localzada S la varacón del preco del nput, representada por la línea AA' en el gráfco 1 es tambén conocda, se podrá calcular la efcenca asgnatva. La efcenca asgnatva (AE) de la empresa operando en P se defne como el rato: AEI = OR/OQ (2) así, la dstanca RQ representa la reduccón de los costes de produccón que ocurrría s la undad fuera efcente en la asgnacón de recursos. Así, el punto Q', sería efcente técncamente y asgnatvamente, sendo el rato RQ/OQ la proporcón de en la reduccón de los costes al desplazarse de Q a Q. La efcenca económca total se defne a través de la tasa: EEI = OR/OP (3) 3 El subíndce I se usa en la medda TE para ndcar que la msma está orentada al nput. 6

7 donde la dstanca RP puede ser nterpretada en térmnos de reduccón de coste. Cabe hacer notar, que la efcenca económca puede ser calculada a través del producto de la efcenca técnca y asgnatva, estando comprenddo su valor, tambén entre 0 y 1: TEIxAEI = (OQ/OP)x(OR/OQ) = (OR/OP) = EEI (4) Gráfco nº2. Isocuántca Convexa Lneal Estas meddas de efcenca asumen que la funcón de produccón de una empresa completamente efcente es conocda. En la práctca este caso no se da, y la socuánta de la empresa efcente deberá ser estmada a través de datos muestrales Meddas orentadas al Output La efcenca técnca orentada al Input respondía a la pregunta: qué cantdad de nput puede ser reducda proporconalmente sn cambar la cantdad del output? Otra pregunta alternatva sería: en qué cantdad podemos aumentar el output sn alterar las cantdades de nputs utlzados? Su respuesta nos da una medda de efcenca orentada al Output, en oposcón a la descra anterormente. La dferenca entre las meddas orentadas al nput y al output puede ser lustrada usando un ejemplo sencllo de una ndustra que produce un solo output con un únco nput. En el Gráfco 3(a) en donde se representa una tecnología f(x) con rendmentos decrecentes a escala, y una empresa nefcente operando en el punto P. La medda TE orentada al nput de Farrell debería ser gual al rato AB / AP, mentras que la medda TE orentada al output CP / CD. Las meddas orentadas al nput y al output sólo proporconarán meddas equvalentes de efcenca técnca cuando exsten rendmentos constantes a escala, 7

8 pero serán dstntas s los rendmentos son crecentes o decrecentes a escala. (Fare and Lovell 1978). Una tecnología con rendmentos constantes a escala como la representa en el gráfco 3(b), muestra que AB / AP = CP / CD, en el punto P. Consderamos a contnuacón una ndustra que produce dos outputs (y 1 e y 2 ) con un nput x. De nuevo, s asummos rendmentos constantes a escala, podemos representar la tecnología a través de una curva unara de posbldades de produccón en dos dmensones. Este ejemplo es el que se muestra en el Gráfco 4 donde la línea ZZ es la curva unara de posbldades de produccón y el punto A se corresponde con la produccón de una undad nefcente. Destacar que dcho punto está suado por debajo de la curva, ya que ZZ representa la banda superor de las posbldades de produccón. Gráfco nº3 Orentacón Input y Output. Meddas de efcenca técnca y rendmentos de escala Gráfco nº4 Efcenca técnca y de localzacón. Orentacón al output. 8

9 Las meddas de efcenca orentada a outputs de Farell deberían estar defndas como sgue. En el gráfco 2.4 la dstanca AB representa la nefcenca técnca. Esto es, el montante por el cual los outputs podrían ser ncrementados sn requerr nputs extra. De hecho, una medda de efcenca técnca orentada al output es el rato: TE o = OA/OB (7) S tenemos en cuenta nformacón de precos podremos dbujar la línea socuántca de ngresos DD', y defnr la efcenca asgnatva como: AE o = OB/OC (8) la cual se nterpreta como el ncremento de ngresos (smlar a la nterpretacón de la reduccón de coste en el caso de la efcenca asgnatva en la medcón orentada a los nputs). Asmsmo, se puede defnr la efcenca económca total como el producto de estas dos meddas EE o = (OA/OC) = (OA/0B)x(0B/OC) = TE o xae o (9) Sgnfcar que todas estas meddas están comprenddas entre 0 y 1. Por últmo, señalar que todas las meddas de efcente son undades nvarantes y pueden demostrarse que son equvalentes a las funcones de dstanca descras en Shepherd (1970). 9

10 8.2 Estmacón de efcenca en modelos con datos panel Técnca de datos panel. Un modelo de datos de panel es según la defncón más extendda, un modelo que utlza muestras recogdas a ndvduos a lo largo de nstantes de tempo. Los modelos de datos de panel ncluyen así nformacón de una muestra de agentes económcos (ndvduos, empresas, bancos, cudades, países, etc) durante un período determnado de tempo, combnando, por tanto, la dmensón temporal y estructural de los datos. Los modelos de datos de panel se aplcan a conjuntos o bases de datos de seres de tempo agregadas para los msmos ndvduos; éstos conjuntos de datos suelen tener un número relatvamente grande de ndvduos y pocas observacones en el tempo, o por el contraro podemos tener datos para un número grande de perodos pero para un número pequeño de ndvduos. Un ejemplo de este tpo de bases de datos es el panel de hogares de la Unón Europea ( hogares en la UE), las encuestas de opnones empresarales del Mnstero de Industra (3.000 empresas), los Indces Nelsen (5.000 hogares en España) para medr la audenca televsva, etc. Estos conjuntos de datos que son conocdos como datos de panel o datos longudnales hay que dferencarlos de las encuestas transversales que son repetdas en el tempo pero no a los msmos ndvduos (por ejemplo, la Encuesta de Poblacón Actva) 5. El prncpal objetvo que se persgue al agrupar y estudar los datos en panel es capturar la heterogenedad no observable entre los agentes económcos como entre perodos temporales. Dado que esta heterogenedad no se puede detectar exclusvamente con estudos de seres temporales, n tampoco con estudos de corte transversal, hay que realzar un análss más dnámco ncorporando a los estudos de corte transversal la dmensón temporal de los datos. Esta modaldad de analzar la nformacón es muy usual en estudos de naturaleza empresaral, 4 El materal de esta seccón está basado prncpalmente en Maurco Mayorga M. y Evelyn Muñoz S. LA TÉCNICA DE DATOS DE PANEL.UNA GUÍA PARA SU USO E INTERPRETACIÓN. Banco Central de Costa Rca. Dvsón económca. Departamento de nvestgacones económcas. De-nt Septembre, En los paneles de datos a veces tambén hay que sustur ndvduos por falta de respuesta, pero no es el caso de las encuestas transversales en donde la muestra se renueva de forma sstemátca, de manera que a un perodo de tempo determnado, por ejemplo un año, los hogares de la muestra sean dferentes a los del perodo anteror. La falta de respuesta en los datos de panel como en otro tpo de encuesta a la hora de los análss estadístcos deben de depurarse, ben elmnando todos los datos del ndvduo con falta de respuesta o elmnando úncamente los ndvduos con falta de respuesta en cada varable analzada. 10

11 ya que los efectos ndvduales específcos de cada empresa y los efectos temporales del medo son determnantes cuando se trabaja con este tpo de nformacón. Los efectos ndvduales específcos se defnen como aquellos que afectan de manera desgual a cada uno de los agentes de estudo contendos en la muestra (ndvduos, empresas, bancos). Estos efectos son nvarables en el tempo y se supone que afectan de manera drecta a las decsones que toman dchas undades. Usualmente, se dentfca este tpo de efectos con cuestones de capacdad empresaral, efcenca operatva, el saber-hacer (Know-how), acceso a la tecnología, etc. Por su parte, los efectos temporales son aquellos que afectan por gual a todas las undades ndvduales del estudo y que, además, varían en el tempo. Este tpo de efectos suele asocarse, por ejemplo, a shocks macroeconómcos que afectan por gual a todas las empresas o undades de estudo (una subda de los tpos de nterés, un ncremento de los precos de la energía, un aumento de la nflacón, etc.), o a cambos en la regulacón de mercados (amplacón de la U.E., reduccón de tarfas arancelaras, aumento de la mposcón ndrecta, etc..) Especfcacón general de un modelo de datos de panel. La especfcacón general de un modelo de regresón con datos de panel es la sguente: Y = α + K j = 1 j X β + u j donde = 1,...N se refere al ndvduo o a la undad de estudo (corte transversal), t = 1,...T a la dmensón en el tempo, Y sería la varable a explcar correspondente a cada undad de estudo, α es un escalar con N parámetros que recoge los efectos específcos del -esmo ndvduo, β es un vector de K parámetros que se asocan a las j=1,.k varables explcatvas j X. A partr del modelo general, y con base en certos supuestos y restrccones acerca del valor de algunos de los parámetros, se dervar las dferentes varantes de modelos de datos de panel (Tabla 1). 11

12 Tabla 1. Modelos alternatvos para combnar datos de seres de tempo y de corte transversal Modelo Lneal K j j Y = α + X β + e j= 1 Modelo estátco de datos de panel. Y = α + K j= 1 X j j β + e Modelo estátco de datos de panel de una vía (one-way) (A) Modelo estátco de efectos fjos con varable dummy, los coefcentes constantes se estman a partr de varables cualatvas (B) Modelo estátco de datos de panel del doble-vía (two-way) (C) Modelo de Regresones Aparentemente no correlaconadas (SUR) 6 Modelo de datos de panel dnámco Y Y Y Y Y = α + = α + = α = α = + + K j= 1 K j= 1 K j= 1 K j= 1 X X X X j j β + e j j j j β + e j β + e j β + e α = α vector de varables cualatvas y α coefcentes constantes. α = α + µ + λ α = α α = α + µ + λ K j j α + ϑy, t 1 + X β + e t j= 1 t En un modelo de datos de panel las varables explcatvas pueden ser de tres tpos: - Una varable por cada ndvduo, sn que exsta referenca temporal en dcha varable: las varables son las msmas para cada undad de corte transversal y se referen a atrbutos del ndvduo o agente, por ejemplo, el tpo de empresa, su tamaño, la forma gerencal; el sexo de un trabajador, el nvel de formacón, la profesón y otras característcas socales de los ndvduos. - Una varable por perodo, pero sn que exstan dferencas en el valor que toma la varable en cada ndvduo: las varables toman dstntos valores en cada perodo temporal pero no varían entre los ndvduos. Como ejemplo de este tpo de varables cabe car a la tasa de nflacón, la tasa de nterés, etc. 6 Seemngly Unrelated Regresson 12

13 - Una varable que camba en el tempo y por ndvduo: se trata de varables que camban entre ndvduos en un momento del tempo, y que además camban a lo largo del tempo. Como ejemplo de estas varables se pueden menconar los ngresos totales, el nvel de benefcos, stock de capal, nvel de endeudamento, entre otras. Los modelos de datos de panel se nterpretan a través de sus componentes de errores. Consderando la notacón matrcal abrevada de un modelo general de datos de panel: Y = X ' β + u (1) El térmno de error u ncludo en la ecuacón (1), puede descomponerse de la sguente manera: u = µ + λ + e (2) t donde µ representa los efectos no observables que dferen entre las undades de estudo pero no en el tempo (capacdad empresaral, efcenca de cada undad, etc ); λ t dentfca los efectos no cuantfcables que varían en el tempo pero no entre las undades de estudo; y e se refere al térmno de error puramente aleatoro. La mayoría de los análss realzados con datos de panel utlzan el modelo de componente de error conocdo como one way para el cual λ t =0 (modelo A). Las dferentes varantes para el modelo one way de componentes de errores surgen de los dstntos supuestos que se hacen acerca del térmno µ, pudéndose presentar tres posbldades: - El caso más sencllo es el que consdera µ = 0 ; es decr, la no exstenca de heterogenedad no observable entre los ndvduos o empresas. - La segunda posbldad consste en suponer a µ un efecto fjo y dstnto para cada ndvduo o empresa. En este caso, la heterogenedad no observable se ncorpora a la constante del modelo ( α ). - Fnalmente, la tercera alternatva es tratar a µ como una varable aleatora no observable que varía entre ndvduos/empresas pero no en el tempo. Bajo la prmera especfcacón, los µ satsfacen todos los supuestos del modelo lneal general y, por tanto, se emplea como método de estmacón MCO, obtenendo estmadores lneales e nsesgados y con la ventaja de ganar grados de lbertad. 13

14 Ahora ben, en los casos en que se rechaza el supuesto de homogenedad en un sstema de datos de panel, es decr, que exste heterogenedad no observable ya sea a través del tempo, entre undades de estudo (ndvduos) o en ambos sentdos, debe buscarse una especfcacón que la capture de forma apropada, con el fn de evar que los estmadores de los parámetros de las varables explcatvas estén sesgados Ventajas y desventajas de los modelos de datos de panel Los modelos de datos de panel presentan una sere de ventajas y desventajas en comparacón con los modelos de seres temporales y de corte transversal. Las más relevantes son las sguentes: Ventajas: - La técnca perme al nvestgador económco dsponer de un mayor número de observacones, ncrementando los grados de lbertad, reducendo la multcolnealdad entre las varables explcatvas y, en últma nstanca, mejorando la efcenca de las estmacones econométrcas. - Tal y como se menconó anterormente, la técnca perme capturar la heterogenedad no observable ya sea entre undades ndvduales de estudo como en el tempo. Con base en lo anteror, la técnca de datos de panel perme aplcar una sere de contrastes para confrmar o rechazar dcha heterogenedad y determnar cómo capturarla. - Los datos de panel suponen, e ncorporan al análss, el hecho de que los ndvduos o agentes económcos (consumdores, empresas, regones, países, etc ) son heterogéneos. Los análss de seres de tempo y de corte transversal no ncorporan esta heterogenedad correndo así el resgo de obtener resultados sesgados. - Permen estudar mejor la dnámca de los procesos de ajuste, ya que a través de ellos se pueden analzar los cambos en el tempo de las dstrbucones transversales. - Permen elaborar y probar modelos relatvamente complejos de comportamento en comparacón con los análss de seres temporales y de corte transversal. Un ejemplo claro de este tpo de modelos es aquel que trata de medr nveles de efcenca técnca por parte de undades económcas ndvduales. - Fnalmente, puesto que las undades transversales de un panel de datos normalmente se referen a ndvduos, famlas o empresas, se evan los sesgos que aparecen cuando se trabaja con varables agregadas. 14

15 Desventajas: - En térmnos generales, las desventajas asocadas a la técnca de datos de panel se relaconan con los procesos para la obtencón y el procesamento de la nformacón estadístca sobre las undades ndvduales de estudo; es decr cuando ésta se obtene por medo de encuestas, entrevstas o utlzando algún otro medo de nferenca estadístca de los datos. Ejemplos de este tpo de lmacones son los problemas de seleccón no aleatora de la muestra, de recogda de datos con nadecuadas tasas de cobertura de la poblacón, porcentajes de no respuesta, preguntas confusas, dstorsón delberada de las respuestas, etc. - Asmsmo, una escasa dmensón temporal puede nvaldar alguno de los elementos teórcos de los modelos de datos de panel. - Por ultmo, algunas nvestgacones han demostrado que la utlzacón de modelos de efectos fjos produce resultados sgnfcatvamente dferentes al los modelos con efectos aleatoros cuando se estma una ecuacón usando una muestra de muchas undades de corte transversal con pocos perodos de tempo (700 ndvduos con 5 perodos, por ejemplo) Modelo de efectos fjos Como ya se menconó, los modelos de datos de panel permen contemplar la exstenca de efectos ndvduales específcos a cada undad, nvarables en el tempo, que determnan la manera en que cada undad de corte transversal toma sus decsones. Estos modelos asumen que los efectos de las varables omdas, ya sean específcas a cada ndvduo y/o que camban en el tempo, no son mportantes en forma ndvdual, pero sí en conjunto. Por otro lado, dado que el efecto de las varables omdas se supone constante en el tempo para cada ndvduo, o que no vara en todos los ndvduos en un determnado momento en el tempo, o una combnacón de ambos, se pueden capturar en el térmno constante de un modelo de regresón como un promedo que toma en cuenta explícamente la heterogenedad entre ndvduos y/o en el tempo contenda en los datos. 15

16 Según la forma de ncorporar la heterogenedad no observada, se pueden dferencan los modelos de efectos fjos y modelos de efectos aleatoros. Los modelos de efectos fjos se conocen tambén como modelos mínmos cuadrátcos con varables fctcas. Los modelos de datos de panel de efectos fjos tenen la sguente expresón general: Y = α + K j= 1 X j j β + u donde Y es la varable dependente, α, es un escalar que recoge los efectos específcos del j ésmo ndvduo y se supone constante en el tempo, y X, es el vector de las k varables j explcatvas y β, de los K parámetros que recogen los efectos de las varables explcatvas; u es el termno de error que se suponen aleatoros dstrbudos con meda cero y varanza 2 constante de valor σ u. El panel de datos corresponde a = 1,2..., N undades o ndvduos de corte transversal, observados para los períodos t = 1,2...,T. Por tanto, lo que se pretende resolver es un sstema de regresones específcas con N ecuacones j j de corte transversal: Y = α + X β + X β X β + u y T observacones. Su notacón matrcal abrevada es: Y = α + X ' β + u Agrupando las observacones temporales, para cada undad transversal se llega al sguente modelo: Y = α + X ' β + e que en el supuesto de una únca varable explcatva tendría la sguente expresón: Y1 Y2 = 0.. YN α1 X 0 α 2 + X... α N X 1 2 N β + e e. e 1 2 N 16

17 Con este modelo se consdera que las varables explcatvas afectan por gual a las undades de corte transversal y que éstas se dferencan por característcas propas de cada una de ellas, meddas por medo de la ntercepcón en el orgen. Es por ello que las N ntercepcones se asocan con varables dummy con coefcentes específcos para cada undad, los cuales se deben estmar. La estmacón de α y β se realza por MCO, s ben hay que tener presente que este modelo presenta una pérdda mportante de grados de lbertad. Un test útl en este tpo de modelos es realzar la prueba F, para comprobar s α = α para cualquer. Por otro lado, cabe señalar que cuando se quera nclur un térmno constante hay que ntroducr úncamente N-1 varables fctcas. La perdda de grados de lbertad que orgna la estmacón de este modelo, hace que sea más utlzada, la especfcacón del modelo general de efectos fjos en desvacones respecto a la meda, es decr, restando a cada varable su meda. El estmador a utlzar en este caso tene la sguente expresón: ˆ β N T N T = ( X X )( X X ) ' ( X X )( Y Y ) ' = 1 t= 1 1 = 1 t= 1 Y donde, X, son las medas muestrales del ndvduo -ésmo. (3) El estmador de la varanza de β es: var N T ( ˆ 2 β ) ˆ σ ( X X )( X X )' = e = 1 t= 1 e' e σˆ 2 u = donde σ es la varanza resdual, calculada como NT N K 2 ˆ e 1, donde e e es la suma de los resduos al cuadrado del modelo. En general, el estmador de mínmos cuadrados ordnaros (MCO) es apropado cuando las resduos son ncorrelados en el tempo y homocedástcos en los cortes transversales. 17

18 Los efectos fjos se estman en un segundo paso a través de la sguente ecuacón: ' ( Y X ˆ β ) ' t= 1 ˆ α = Y X ˆ β = (4) T T El modelo anteror puede extenderse al modelo de efectos fjos de doble vía, en el que aparecen tambén los efectos no observables temporales, tal que: Y = α + δ + X ' β + u t Expresón que equvale a ntroducr dos conjuntos de varables fctcas, unas ndvduales y otras temporales; en este caso el estmador MCO tendría las msmas propedades del modelo anteror. El estmador a utlzar tendría la sguente expresón: N T 1 N T ˆ β = ( X X X t + X )( X X X t + X ) ' ( X X X t + X )( Y Y Yt + Y ) ' = 1 t= 1 = 1 t= 1 Y donde, X, son las medas muestrales del ndvduo -ésmo Y t, X t las medas muestrales del perodo t, y perodos. Y, X las medas muestrales de las varables para todos los N ndvduos y T Y los efectos fjos se estman en un segundo paso a través de la sguentes relacones: ˆ α = ˆ δ = t ' ( Y Y ) ( X X ) ˆ β ' ( Y Y ) ( X X ) ˆ β t t 18

19 Modelo de efectos aleatoros A dferenca del modelo de efectos fjos, el modelo de efectos aleatoros consdera que los efectos ndvduales no son ndependentes entre sí, sno que están dstrbudos aleatoramente alrededor de un valor dado. Una práctca común en el análss de regresón es asumr que el gran número de factores que afectan al valor de la varable dependente pero que no han sdo ncludas explícamente como varables ndependentes del modelo, puede resumrse apropadamente en la perturbacón aleatora. Así, en este modelo se consdera que tanto el mpacto de las varables explcatvas como las característcas propas de cada undad son dferentes. El modelo de efectos aleatoros o modelo de componentes de la varanza asume que el térmno α es la suma de una constante común α, una varable aleatora específca de corte transversal e nvarante en el tempo µ asocada a cada ndvduo e ncorrelada con el resduo u, y otro asocado al tempo λ t, tambén ncorrelaconado con el resduo u. En lugar de tratar 2 µ como una constante fja, esta especfcacón asume que µ N(, σ ) 0 µ ndependente e gualmente dstrbuda, e ncorrelada con u y X. A su vez el modelo tambén requere que que E( λ t, λs ) = 0, y además está ncorrelada con µ, u y λ t esta ncorrelado en el tempo tal X. S suponemos que λ = 0, la especfcacón del modelo entonces se converte en: t = j j j Y X β + ε, ε = µ + = 1 u La estmacón de este modelo exge de la utlzacón de Mínmos Cuadrados Generalzados pues los resduos del modelo están correlaconados entre sí al estar ε, para t s. en s µ ncludo tanto en ε como 19

20 El estmador apropado de este modelo expresado en desvacones a la meda es, por tanto: ˆ β MCG N N = + ( ) ( ) N N 1 ' 1 ' X QX ψ X X ' X X X QY ( X X )( X Y )' T = 1 = 1 1 T = 1 = 1 donde : ψ = 2 ε σ 2 ε σ + Tσ 2 µ 1 Q = IT e e' T Generalmente las varanzasσ (varanza entre grupos) y 2 µ 2 σ ε no son conocdas y, por tanto, habrá que estmar un valor para ψ. Para estmar dcho valor un camno sería utlzar las estmacones de las varanzas de los resduos obtendas en la solucón MCO del modelo Eleccón de modelo de efectos o efectos aleatoros. La decsón acerca de la estructura apropada para el análss, es decr, efectos fjos vs efectos aleatoros, dependerá de los objetvos que se persgan. Así, Haussman (1978) aconseja utlza el modelo de efectos fjos para realzar nferencas sobre la muestra utlzada, mentras que el de efectos aleatoros resulta más útl para realzar nferencas sobre la poblacón. Adconalmente, s el nterés del estudo partcular está puesto en los coefcentes de las pendentes de los parámetros, y no tanto en las dferencas ndvduales, se deberá elegr un método que relegue estas dferencas y trate la heterogenedad no observable como aleatora. El contexto de los datos, es decr, cómo fueron obtendos y el entorno de donde provenen, determnan tambén la eleccón del modelo. Con el modelo de efectos fjos la heterogenedad no observable se ncorpora en la ordenada al orgen del modelo y con el de efectos aleatoros, como ya se menconó, se ncorpora en el térmno de error, modfcándose la varanza del modelo. Asmsmo, emplear un modelo de efectos fjos o aleatoros genera dferencas en las estmacones de los parámetros en los casos en que se cuenta con T pequeño y N grande. En estos casos debe hacerse el uso más efcente de la nformacón para estmar esa parte de la 20

21 relacón de comportamento contenda en las varables que dferen sustancalmente de un ndvduo a otro. En prncpo, el enfoque de efectos fjos es más atractvo, ya que no requere realzar supuestos paramétrcos sobre la dstrbucón condconal de la heterogenedad nobservable. Sn embargo, su desventaja es que solo puede utlzarse en certas dstrbucones y requere hacer supuestos muy restrctvos sobre la dstrbucón del térmno de error como lo son las hpótess que exge el método MCO. A este respecto hay que tener presente que el modelo de efectos fjos asume la exstenca de dferencas entre undades que se capturan en forma de movmentos de la curva de regresón. (Ver fgura 1). Fgura 1 El modelo de efectos fjos, s se estma utlzando varables dummy no dentfca drectamente la causa de la varacón en el tempo y los ndvduos, e mplca un alto coste nformatvo en térmnos de grados de lbertad. En cuyo caso deben realzarse algunas consderacones con respecto a la estructura de los datos, dado que s N es grande y T pequeño, podría darse el caso en que el número de parámetros en el modelo de efectos fjos sea muy grande en relacón con el 21

22 número de datos dsponbles, lo que daría lugar a parámetros poco sgnfcatvos y una estmacón nefcente. Para elegr entre los estmadores del modelo fjo y aleatoro puede utlzarse el test de Hausman, que compara drectamente ambos estmadores. El contraste se basa en el hecho de que bajo la hpótess de que E[ α X ] = 0 el estmador del modelo de efectos aleatoros ( EA ) asntótcamente más efcente que el estmador MCO del modelo de efectos fjos ( βˆ ) embargo, s E[ α ] 0 X estmador MCG será sesgado e nconsstente. βˆ es EF ; sn, el estmador MCO mantendrá la consstenca, mentras que el El estadístco propuesto por Haussman es: m = qˆ [ Var( qˆ) ] qˆ ' 1 donde qˆ = ˆ β ˆ β, y la matrz Var qˆ) = Var( ˆ β ) Var( ˆ β ). EA EF Bajo la hpótess nula { E[ ] } 2 χ k. ( EA EF H 0 α = 0 es estadístco m se dstrbuye como una varable = X Ejemplo práctco A contnuacón vamos a realzar un ejemplo de estmacón de un modelo de datos de panel, con las seres temporales de crédos y depósos de las cajas de ahorro de Castlla y León por provncas, el objetvo de la nvestgacón es comprobar qué parte de los depósos se queda en Castlla y León en forma de crédos y verfcar s hay dferencas en los comportamentos provncales. Los datos utlzados corresponden al perodo y tenen perodcdad trmestral. En prmer lugar, utlzamos un modelo de datos de panel fjo de la forma sguente: Y = α + X ' β + u 22

23 en donde regón (N=9), y Y son los crédos que prestan las cajas de ahorro en las nueve provncas de la X los depósos de las cajas de ahorro en cada una de las nueve provncas de la regón. El número de observacones temporales es T=22. Aplcando MCO al modelo utlzado se obtenen los sguentes resultados: Estadístcas de la regresón Coefcente de correlacón múltple Coefcente de determnacón R^ R^2 ajustado Error típco Observacones 198 ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de lbertad Suma de cuadrados Promedo de los cuadrados F Valor crítco de F Regresón ,740,739 19,674, , E-104 Resduos ,192, , Total ,933,121 Coefcentes Error típco Estadístco t AV BU LE PA SA SG SO VA ZA Β Se puede aprecar que tanto el estadístco F, como la dstrbucón asocada a los estmadores de los coefcentes α descarta la hpotétca gualdad de dchos coefcentes (el valor teórco del estadístco F en las tablas es 1,88), lo que hace sgnfcatva con un nvel de confanza del 95% la exstenca de heterogenedad de el comportamento en cada provnca. S utlzamos el modelo (2) y el procedmento descro para obtener el estmador (3) y los coefcentes (4), obtendríamos los sguentes resultados en la estmacón MCO. 23

24 ˆ β MCO = = 1 t= 1 N N T T = 1 t= 1 ( X ( X X X )( Y )( X Y )' = X )' Coefcentes α correspondente a Avla se obtene como: ˆ α = T 22 ( Y βx ˆ ) ( X ) t= 1 t= 1 T = 22 40,410,738.5 = ,944,647.1 = Las ntercepcones del resto de las provncas son: Ávla Burgos León Palenca Salamanca Segova Sora Valladold Zamora

25 Tabla 2 CRÉDITOS TOTALES DE LAS CAJAS DE AHORRO. Mllones de Euros. Año Perodo Ávla Burgos León Palenca Salamanca Segova Sora Valladold Zam 1998 I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II Tabla 3 DEPÓSITOS DEL SECTOR PRIVADO EN LAS CAJAS DE AHORRO. Mllones de Euros. Año Perodo Ávla Burgos León Palenca Salamanca Segova Sora 1998 I II III IV I II III IV I II III

26 2000 IV I II III IV I II III IV I II Medcón de la efcenca con datos panel. La medcón de la nefcenca se puede realzar utlzando dstntas técncas, s ben la dferenca básca entre las técncas se basa en la especfcacón de la forma de la funcón de produccón asocada a las undades económcas o empresarales que se analzan. Se dstngue así entre técncas paramétrcas, las que evalúan la efcenca de cada undad especfcando una determnada forma funconal entre las varables, y las técncas no paramétrcas, que evalúan la efcenca de cada undad sn especfcar dcha forma funconal. Entre las técncas ncludas en el prmer tpo se encuentra el análss estocástco de una frontera de produccón (SFA), y entre las del segundo tpo destaca el análss envolvente de datos (DEA). La aproxmacón paramétrca de la funcón estocástca mplca estmar una funcón de produccón frontera en la que la desvacón entre el nvel de output observado y el máxmo posble comprende dos componentes: un térmno de error, que capta el efecto de varables que no están bajo el control de la undad productva analzada, y un térmno de nefcenca. Este modelo de frontera de produccón estocástca fue propuesto de forma smultánea por Agner, Lovell y Schmdt (1977) y Meeusen y Van den Broeck (1977): ( x β + v + u ) Y = e, t = 1,... T (5) donde,y sería la produccón en el período t-ésmo y para la -ésma empresa, X un vector (1 x k) de varables explcatvas y β un vector (k x 1) de parámetros desconocdos. En cuanto a los dos componentes que constuyen el térmno de error, u está compuesto por varables aleatoras no-negatvas, asocadas a la nefcenca técnca en produccón, y v son los errores aleatoros ndependentes e déntcamente dstrbudos como una normal con meda cero y varanza σ 2 v, e ndependentemente dstrbudos de u. 26

27 8.3 Modelos de efcenca técnca varante en el tempo Alternatvas de especfcacón de datos de panel a partr del modelo general Como ya se menconó, la técnca de datos de panel perme contemplar la exstenca de efectos ndvduales específcos a cada frma, nvarables en el tempo que determnan la manera en que cada undad de corte transversal toma sus decsones. Una forma smple, y de hecho la más utlzada, de consderar esta heterogenedad es empleando los modelos de ntercepcón varable, dentfcados en las especfcacones B y C en la Fgura n 1. Así, el modelo lneal es el msmo pa ra todas las undades o ndvduos bajo estudo, pero la ordenada en el orgen es específca a cada una de ellas. A partr del modelo general esta suacón se representa medante la sguente ecuacón: Y =α + β k X (1) El supuesto básco de estos modelos es que dadas las varables explcatvas observadas, los efectos de todas las varables omdas pueden representarse de tres formas posbles: Una varable por cada ndvduo, sn varables en el tempo: las varables son las msmas para cada undad de corte transversal a través del tempo. Como ejemplos de ellas se tenen: tpo de empresa, tamaño, forma gerencal, sexo, nvel de formacón, profesón y otras característcas socales de los ndvduos. Una varable por perodo, pero sn varables entre ndvduos: se consderan las msmas varables para todos los ndvduos en un momento del tempo pero varían a lo largo del perodo de estudo. Como ejemplo de este tpo de varables, car a los precos, las tasas de nterés, el nvel de actvdad económca, etc. Una varable que camba en el tempo y por ndvduo: se trata de varables que camban entre ndvduos en un momento del tempo, y que además camban a lo largo del tempo. Como ejemplo de estas varables se pueden menconar los ngresos totales, el nvel de benefcos, stock de capal, nvel de endeudamento, entre otras. Estos modelos con ntercepcón varable asumen que los efectos de las varables omdas, ya sean específcas a cada ndvduo y/o que camban en el tempo, no son mportantes en forma ndvdual, pero que sí en conjunto. 27

28 Por otro lado, dado que el efecto de las varables omdas se supone constante en el tempo para cada ndvduo, o que no vara en todos los ndvduos en un determnado momento en el tempo, o una combnacón de ambos, se pueden capturar en el térmno constante de un modelo de regresón como un promedo que toma en cuenta explícamente la heterogenedad entre ndvduos y/o en el tempo contenda en los datos. Así, de acuerdo con la forma de ncorporar la heterogenedad no observada, se dferencan los sguentes modelos: 1. Modelo de efectos fjos Una posbldad es explcar los datos con el modelo de efectos fjos, que consdera que exste un térmno constante dferente para cada ndvduo, y supone que los efectos ndvduales son ndependentes entre sí. Con este modelo se consdera que las varables explcatvas afectan por gual a las undades de corte transversal y que éstas se dferencan por característcas propas de cada una de ellas, meddas por medo de la ntercepcón en el orgen. Es por ello que las N ntercepcones se asocan con varables dummy con coefcentes específcos para cada undad, los cuales se deben estmar. Para la -ésma undad de corte transversal, la relacón es la sguente: Y t = α+ β X + u t (2) donde el subíndce representa un vector columna de unos. Debe hacerse notar que en este modelo se presenta una pérdda mportante de grados de lbertad. 2. Modelo de efectos aleatoros A dferenca del modelo de efectos fjos, el modelo de efectos aleatoros consdera que los efectos ndvduales no son ndependentes entre sí, sno que están dstrbudos aleatoramente alrededor de un valor dado. Una práctca común en el análss de regresón es asumr que el gran número de factores que afecta el valor de la varable dependente pero que no han sdo ncludas explícamente como varables ndependentes del modelo, puede resumrse apropadamente en la perturbacón aleatora. Así, con este modelo se consdera que tanto el mpacto de las varables explcatvas como las característcas propas de cada undad son dferentes. El modelo se expresa algebracamente de la sguente forma: 28

29 Y = (α+ u t )+β X t + e t (3) donde: µ t vene a representar la perturbacón aleatora que permría dstngur el efecto de cada ndvduo en el panel. Para efectos de su estmacón, se agrupan los componentes estocástcos, y se obtene la sguente relacón: Y = α+β X t + U t (4) donde U = δ t +u t + e se converte en el nuevo térmno de la perturbacón, correspondendo δ t, u t y al error asocado con las seres de tempo, la perturbacón de corte transversal y el efecto combnado de ambas, respectvamente. Señalar asmsmo que U no es homocedástco. El método de Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO) no se utlza para estmar este tpo de modelos ya que no se cumplen los supuestos que permen que el estmador sea consstente, por lo que es preferble en este caso utlzar el método de Mínmos cuadrados Generalzados (MCG). 3. Eleccón del método: efectos fjos versus efectos aleatoros La decsón acerca de la estructura apropada para el análss, es decr, efectos fjos versus efectos aleatoros, está en funcón de los objetvos que se persgan. S se desea hacer nferencas con respecto a la poblacón, es decr s se trabaja con una muestra aleatora, lo mejor es utlzar una especfcacón del tpo aleatora. En caso de que el nterés sea lmado a una muestra que se ha selecconado a convenenca o ben que se está trabajando con la poblacón, la estmacón de efectos fjos será la correcta. Adconalmente, s el nterés del estudo partcular está puesto en los coefcentes de las pendentes de los parámetros, y no tanto en las dferencas ndvduales, se debería elegr un método que relegue estas dferencas y tratar la heterogenedad no observable como aleatora. El modelo de efectos fjos lleva mplíco que el nvestgador hace nferenca condconada a los efectos que ve en la muestra. En el de efectos aleatoros el nvestgador hace nferenca condconal o margnal respecto a una poblacón. 29

30 El contexto de los datos, es decr, cómo fueron obtendos y el entorno de donde provenen, determnan tambén la eleccón del modelo. Con el modelo de efectos fjos la heterogenedad no observable se ncorpora en la ordenada al orgen del modelo y con el de efectos aleatoros, como ya se menconó, se ncorpora en el térmno de error, por lo cual lo que se modfca es la varanza del modelo. Emplear un modelo de efectos fjos o aleatoros genera dferencas en las estmacones de los parámetros en los casos en que se cuenta con T pequeño y N grande. En estos casos debe hacerse el uso más efcente de la nformacón para estmar esa parte de la relacón de comportamento contenda en las varables que dferen sustancalmente de un ndvduo a otro. El modelo de efectos fjos presenta el problema de que el uso de varables Dummes no dentfca drectamente la causa de la varacón en el tempo y en los ndvduos. Además, esto mplca la pérdda de grados de lbertad. Por otro lado, deberán tomarse consderacones con respecto a la estructura de los datos, dado que s N es grande y T pequeño, podría darse el caso en que el número de parámetros en el modelo de efectos fjos sea muy grande en relacón con el número de datos dsponbles, lo que daría lugar a parámetros poco sgnfcatvos y una estmacón nefcente Efcenca técnca varante en el tempo A partr de este esquema propuesto de forma smultánea por Agner, Lovell y Schmdt (1977) y Meeusen y Van den Broeck (1977) se han planteado dferentes modelos, entre los que destaca el desarrollado por Battese y Coell (1995) que ha contrbudo de manera mportante a la flexblzacón del supuesto de nvaranza de la efcenca en el tempo, al ofrecer la posbldad de ntroducr éste como un regresor en la ecuacón correspondente a la nefcenca. El menconado modelo de frontera de produccón estocástca es aplcable a estudos, en los que se dspone de un panel de datos y en donde las efcencas técncas de las undades varían a lo largo del tempo. Consderando la funcón de produccón propuesta por Agner, Lovell y Schmdt (1977): ( x β + v + u ) Y = e, t = 1,... T (5) donde, u está compuesto por varables aleatoras no-negatvas, asocadas a la nefcenca técnca en produccón y obtendas a partr de la dstrbucón normal truncada en cero con meda Z δ y varanza σ 2. Z es un vector (1 x m) de varables explcatvas asocadas a la nefcenca técnca a lo largo del tempo y δ es un vector (m x 1) de coefcentes desconocdos. 30

31 La ecuacón (5) especfca la frontera estocástca en térmnos de los valores de produccón orgnales. Mentras que la nefcenca técnca, u, es funcón de un conjunto de varables explcatvas, Z, y un vector de coefcentes desconocdos, δ. De modo que la nefcenca técnca se expresa como: u = Z δ +W (6) donde, W sgue una dstrbucón normal truncada en Z δ con meda cero y varanza σ 2. Las ecuacones (5)-(6) se estman smultáneamente sguendo el método de Máxma Verosmlud, obtenéndose una efcenca técnca (ET ) de la forma: ET =e (-u ) =e (-Z δ -W ) (7) La efcenca técnca será gual a uno, sólo s el efecto nefcenca es gual a cero, en los demás casos será menor que uno, pero sempre posva. Battese and Coell (1992) propuseron una funcón de frontera estocástca para ser utlzada con datos panel, en la cual los efectos de cada frma se asume que se dstrbuyen como una varable aleatora con dstrbucón normal, truncada en cero que, ncluso puede varíar en el tempo. Su modelo se expresa de la sguente forma: Y = x β + (V - U ),=1,...,N, t=1,...,t, (8) donde Y es el logarmo de la produccón de la frma en el perodo de tempo t. x es un k 1 vector de cantdades (en logarmos) de nput que combna la frma en el perodo de tempo t; β son coefcentes a determnar; V es una varable aleatora que está dstrbuda como una normal N(0,σ V 2 ), e ndependente de: U = (U exp(-η(t-t))), donde U es una varable aleatora no negatva que recoge la nefcenca técnca de cada frma y que presenta una dstrbucón ndependente truncada en cero N(µ,σ 2 U ). η es un parámetro a estmar. 31