Reportando la Distribución de la Proyección de Inflación

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1 ESTUDIOS ECONÓMICOS Reportando la Dstrbucón de la Proyeccón de Inflacón 1. Introduccón Marco Vega * mvegad@bcrp.gob.pe Las funcones de densdad de las proyeccones de nflacón pueden reportarse medante construccones gráfcas conocdas como fan charts. Esta metodología se mplementó por prmera vez en el Banco de Inglaterra (1996) y el Banco Central de Sueca (1997) con el propósto de mostrar explíctamente que las proyeccones se enmarcan nevtablemente en una stuacón de ncertdumbre y resgos dversos, no necesaramente smétrcos. Exsten dferencas sutles y smltudes en la metodología usada por estos dos bancos centrales para construr sus fan charts. Las dferencas son específcas al arreglo nsttuconal de sus procesos de proyeccón, las smltudes radcan en que ambas utlzan el msmo supuesto para la forma de sus dstrbucones de probabldad y ambas permten mecansmos de ajuste sstemátco de dchas dstrbucones por medo de la ntervencón ya sea de los técncos encargados de la proyeccón o de los hacedores de polítca monetara. En el caso del Perú, desde el Reporte de Inflacón de mayo de 00 hasta la hecha se han publcado cnco fan charts de la proyeccón de nflacón. La elaboracón de estos gráfcos ha tomado en cuenta las experencas de Inglaterra y Sueca. Sn embargo, la experenca del Banco Central de Reserva del Perú (BCR) dentro del esquema de Meta Explícta de Inflacón (Inflaton Targetng) es recente, lo que conlleva la necesdad de trabajar con una metodología lo sufcentemente nclusva para poder abordar el problema de tener modelos de proyeccón en constante progreso. El objetvo del presente documento es presentar, en forma esquemátca, los elementos nvolucrados en la metodología de elaboracón adoptada. Además, se precsan conceptos claves que, se espera, ayuden a un mejor entendmento de la densdad de la proyeccón de nflacón. La exposcón del trabajo se dvde de la sguente manera; en la seccón dos se esgrme las razones de proyectar la densdad de nflacón y no valores puntuales, en la seccón tres se descrben las formas en las que se puede extraer nformacón relevante para la construccón de la densdad, en la seccón cuatro se explca las dos formas alternatvas de reportar un fan chart, en la seccón cnco se desarrolla un ejemplo y en la seccón ses se realzan algunos comentaros fnales.. Por qué proyectar una dstrbucón y no un valor puntual? Según la teoría estadístca, la predccón puntual se justfca solamente en una stuacón de equvalenca certa 1. Este prncpo se basa en el hecho de que los agentes económcos sólo necestan saber el valor esperado * El autor labora en la Gerenca de Estudos Económcos del BCR. Deseo agradecer a Javer Luque, Carlos Montoro y Hugo Perea por las dscusones ncales acerca de un borrador ncal crculado bajo el nombre Incertdumbre y Resgo en las Proyeccones Macroeconómcas. Asmsmo, agradezco a Dego Wnkelred y Gonzalo Llosa por los comentaros realzados a esta versón. Las opnones vertdas en este documento son responsabldad exclusva del autor y no reflejan necesaramente la vsón del BCR. 1 Del térmno nglés Certanty Equvalence. Ver Walls (003b) para una explcacón un poco más detallada y ver Svensson (1997) y Svensson (1999) para una aplcacón smple del prncpo de equvalenca certa.

2 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ de las varables de estado a fn de optmzar funcones de pérdda cuadrátca bajo restrccones lneales y choques aleatoros smétrcos. Sn embargo, los agentes pueden poseer cualquer tpo de funcón de pérdda mentras que los choques y resgos en un mundo de alta ncertdumbre no son smétrcos. La exstenca de choques asmétrcos conlleva a que los bancos centrales que publcan proyeccones de nflacón tengan la necesdad de hacer balances de resgos y evaluar la ncertdumbre asocada a dchas proyeccones. Este análss de ncertdumbre y resgo puede y es formalzado matemátcamente a través de funcones de densdad de las proyeccones. Una funcón de densdad de la proyeccón de nflacón resulta mportante desde dos puntos de vsta: la mplementacón de la polítca monetara y la comuncacón de las proyeccones. Desde la perspectva de la mplementacón de la polítca monetara, la dstrbucón de las proyeccones de nflacón permte a la autordad monetara tener una medda de la probabldad de que la proyeccón de nflacón estará en el rango 3 de toleranca de nflacón para una determnada poscón de polítca monetara. Bajo el esquema de Metas Explíctas de Inflacón, este ejercco resulta gravtante ya que srve de patrón para que la autordad monetara tome decsones correctas a fn de alcanzar su objetvo en un futuro determnado. El ejercco en cuestón, toma en cuenta todos los ngredentes nherentes al quehacer de la polítca monetara: los rezagos de la polítca monetara, el espectro de resgos y el grado de ncertdumbre agregada 4. Esta forma de proceder se raconalza en el contexto del Inflaton Forecast Targetng propuesto por Svensson (1999). Por su parte, desde el punto de vsta comuncaconal, se quere transmtr al públco que el acconar de la autordad monetara se realza en un mundo plagado de ncertdumbre y dada la nformacón exstente al momento de realzar una proyeccón, la decsón de polítca de la autordad monetara, en un sentdo probablístco, es consstente con la meta nflaconara en el horzonte de proyeccón relevante. Las proyeccones de densdad tenen además la característca de poder ser sometdas a evaluacones ex - post 5. En este sentdo, Debold, Hahn y Tay (1998) y Walls (003a) muestran la posbldad de evaluar proyeccones de densdad medante pruebas estadístcas específcas. Por ejemplo, Walls (003a) muestra que las proyeccones del Banco de Inglaterra han sobre-estmado sstemátcamente el grado de ncertdumbre asocada a dchas proyeccones. Cabe remarcar que la posbldad de poder someterse a evaluacón 6, ayuda en el esquema general de transparenca y rendcón de cuentas del banco central. Es convenente precsar los dos conceptos claves que hay que adconar a la proyeccón central de nflacón: ncertdumbre y resgo. Incertdumbre Es la ausenca de certeza respecto a una proyeccón puntual. Generalmente, la ncertdumbre sobre una varable aleatora se aproxma por medo de la desvacón estándar de dcha varable calculada sobre una muestra hstórca. Sn embargo, los bancos centrales hacen proyeccones de nflacón condconales tanto a la evolucón futura de los dstntos factores exógenos como de su poscón de polítca monetara. Por ello, la desvacón estándar hstórca (ncondconal) de la nflacón sólo srve como una referenca, ya que la evaluacón Báscamente los Reportes de Inflacón. 3 En el Perú, este rango de toleranca de nflacón se ubca entre 1,5 y 3,5 por cento. 4 La ncertdumbre agregada consdera todas las posbles fuentes de ncertdumbre: las dervadas del desconocmento del modelo de la economía, los factores exógenos que afectarán la nflacón, los errores de medcón, etc. 5 Esto se dferenca del enfoque que consste en mostrar los resgos e ncertdumbres presentes en la proyeccón por medo de escenaros o varantes al escenaro central. La característca cualtatva de este enfoque hace que las proyeccones no puedan ser sometdas a dcha evaluacón. Ver Don (000) para una defensa de este enfoque y Walls (003) para una crítca al msmo. 6 Por defncón una proyeccón central tene cero probabldad de ser gual a la realzacón. La dferenca entre la realzacón y la proyeccón central srve de nsumo en la evaluacón pero consderando el grado de ncertdumbre asocado al perodo de proyeccón. Resulta por tanto fútl medr la dscrepanca sn referenca alguna a la ncertdumbre proyectada en relacón a alguna medda de ncertdumbre verdadera nherente durante el perodo.

3 ESTUDIOS ECONÓMICOS de la ncertdumbre asocada a los factores exógenos dentro del horzonte de proyeccón tene un papel fundamental, el msmo que es reconocdo explíctamente en los reportes de nflacón. Resgo En el contexto del esquema de Meta Explícta de Inflacón, el resgo es la probabldad de que la proyeccón de nflacón se encuentre por arrba o por debajo de tres posbles valores referencales; la proyeccón central de nflacón, la meta de nflacón o, en caso exsta, del rango de nflacón meta. En el sguente documento se consdera el prmer caso. Así, se defnrá el resgo al alza (upsde rsk) como la probabldad de que la proyeccón de nflacón se ubque por arrba de la proyeccón central, mentras que el resgo a la baja (downsde rsk) se defnrá como la probabldad de que aquella se ubque por debajo. Cuando ambos resgos son guales se tene el caso de una dstrbucón smétrca de las proyeccones, de lo contraro, se tene un balance de resgos asmétrco (a la baja o al alza). Cuando el balance de resgo es asmétrco, las tres meddas de tendenca central conocdas dejan de ser guales. Estas meddas son: la moda (punto alrededor del cual se concentran los eventos más probables); la medana (medda de tendenca central que hace que los errores haca abajo o haca arrba tengan gual probabldad) y la meda (refleja el valor esperado de la nflacón en el horzonte de proyeccón). 3. La proyeccón de la funcón de densdad de la nflacón La proyeccón de la funcón de densdad es un ejercco prmordalmente heurístco dado que la econometría tradconal es nsufcente para enfrentar el problema de proyeccones condconales realzadas por la autordad monetara con ncorporacón de jucos subjetvos al momento de evaluar los resgos e ncertdumbre sobre el futuro 7. En prncpo, la funcón de densdad de la nflacón puede ser aproxmada a través de un modelo central de proyeccón. De esta manera, se aborda el problema de cómo la ncertdumbre tanto de las varables exógenas como de los parámetros del modelo se trasladan a la ncertdumbre de la nflacón. Sn embargo, exsten fuentes de ncertdumbre latentes que no pueden cuantfcarse usando sólo una determnada clase de modelo 8. Los hacedores de polítca en la práctca tenen en cuenta todas las posbles fuentes de ncertdumbre; por su naturaleza, un modelo estlzado y compacto no puede nclur todo el espectro de resgos e ncertdumbres. En el presente documento se consdera tres pasos para determnar la proyeccón de la densdad de nflacón, defnda esta como la nflacón observada en los últmos cuatro trmestres. Los pasos se descrben en relacón explícta al caso peruano: Paso 1: Evaluacón del error de predccón hstórca del BCR y varabldad de la nflacón: Una medda mperfecta de predccones del banco central hechas en la hstora recente la consttuyen los anuncos 9 de metas de nflacón hechas por el BCR desde En el Gráfco 1 se muestra la nflacón del trmestre respecto al msmo trmestre del año anteror, junto con los anuncos hechos al nco de cada año sobre la nflacón del cuarto trmestre de cada año. La comparacón relevante es en los últmos trmestres de cada año, donde se puede ver cuán lejos estaba el anunco respecto a la nflacón realzada. Se puede calcular que el valor absoluto del error medo de predccón a un año se ubca en alrededor de 0,9 puntos. 7 Con la nformacón dsponble, un econometrsta puede realzar una proyeccón ncondconal de la nflacón porque sabe que las accones que tome éste no afectan la proyeccón que hace. La autordad monetara por el contraro tene que tomar en cuenta, además de la nformacón dsponble, la accón que ésta tome para afectar aquello que quere proyectar. 8 Por ejemplo, los cclos polítcos traen como consecuenca un aumento de la ncertdumbre, los msmos que deben ser consderados por la autordad monetara. 9 Sn embargo, estos anuncos no son proyeccones propamente dchas.

4 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Gráfco 1 Anuncos de nflacón y rangos de nflacón versus nflacón observada De otro lado, el cómputo de la desvacón estándar hstórca de la nflacón es un ndcador ncondconal del tamaño de ncertdumbre lgada a esta varable. En el Gráfco se dbuja la desvacón estándar de la nflacón junto con el coefcente de varacón de la nflacón. Estas son calculadas sobre la base de muestras móvles que abarcan 16 trmestres haca atrás. El hecho saltante es que tanto la desvacón estándar como el coefcente de varacón han tendo una tendenca decrecente. Se puede notar que la desvacón estándar calculada al fnal de la muestra hstórca alcanza un valor cercano a 1,6. Esta medda usualmente srve de referenca para tener una dea aproxmada del grado de ncertdumbre ncondconal de la nflacón haca el futuro. Gráfco Desvacón estándar y coefcente de varacón de la nflacón observada en los últmos 4 años (16 trmestres) Desvacón Estándar Coefcente de varacón Paso : Realzacón de smulacones Monte-Carlo usando un modelo central: Permten vncular la ncertdumbre en las varables exógenas durante el horzonte de proyeccón con posbles realzacones de varables endógenas para dcho horzonte. En las proyeccones, las varables exógenas además de tener un escenaro central, tenen una medda de ncertdumbre asocada. El personal técnco del BCR elabora meddas de ncertdumbre asocada al escenaro central de las exógenas utlzando modelos estadístcos unvarados, multvarados o nformacón del mercado 10. Dada la nformacón sobre la ncertdumbre y el valor central de las exógenas; se parametrzan las funcones de dstrbucón a partr de las cuales se puedan generar datos aleatoros. Para stuacones de smetría, se usa la dstrbucón Normal; para stuacones asmétrcas se puede usar la dstrbucón Beta, 10 Por ejemplo, para la nflacón externa se toma la dspersón del Consensus Forecast como una medda de ncertdumbre.

5 ESTUDIOS ECONÓMICOS o la Normal en Dos Partes 11. Esta últma es la que se ha utlzado desde su ntroduccón a la proyeccón de densdad de nflacón tanto en el Banco de Inglaterra ver Brtton, Fsher y Whtley (1998) - como en el Banco Central de Sueca ver Blx y Selln (1998). Cabe notar que las proyeccones se realzan tomando en cuenta que el nstrumento de polítca se mantene nalterable durante el horzonte de proyeccón. Esto hace que la posbldad de una desvacón fuerte de alguna varable que afecte la proyeccón de nflacón en el futuro no produzca una respuesta de la autordad monetara, hacendo que la proyeccón de nflacón sea más susceptble a desvíos y por tanto aumente la ncertdumbre asocada. Paso 3: Inclusón del punto de vsta de los decsores de polítca: Dado que el modelo que se utlza en el paso nevtablemente es parcal y agregado, la nclusón de factores de ncertdumbre no drectamente lgados al modelo es necesara. Para ello, la vsón de los decsores de polítca es nsumo fundamental. Los factores que se pueden tomar en cuenta son por ejemplo; los cambos en la estructura económca, las varacones de la nstrumentacón del esquema de Metas Explíctas de Inflacón, la mejora en los procesos nternos de proyeccón, etc 1. Muchos de estos factores son subjetvos por naturaleza. Por ello, los bancos centrales en general combnan 13 jucos razonados (balances de resgo) con elementos técncos 14. El método usual de proyeccón de densdad de nflacón consste en parametrzar una funcón explícta de densdad, utlzando como parámetros la proyeccón central (la moda), una medda del grado de ncertdumbre y una medda de asmetría. Estos parámetros pueden ser calculados a través de los tres pasos descrtos. La funcón de dstrbucón que tene las característcas más apropadas para la parametrzacón es la Normal en Dos Partes 15 NS(m, s, s d ). La msma que es construda combnando la mtad de la zquerda de una funcón de dstrbucón Normal N(m, s ) con la mtad de la derecha de otra funcón de dstrbucón Normal N(m, s d ). A x m ϕ σ d σ d Para x > m f(x) = 1 Donde: ϕ ( z) exp( z ) = π B x m ϕ σ σ Para x = m...(1) En el anexo 1 se muestra cómo deben ser los parámetros A, B, s d y s para que la funcón de dstrbucón f(x) pueda ser utlzada en el análss que sgue. Se muestra asmsmo que la funcón de dstrbucón NS puede ser 11 La funcón de dstrbucón Normal en Dos Partes, es conocda en nglés como Two-pece Normal, Pecewse Normal o Splt Normal y es convenente porque permte parametrzar la asmetría de manera flexble. La dstrbucón Beta resulta útl para generar varables aleatoras restrngdas en un rango. 1 Al respecto, Svensson (1997) muestra que s en la funcón de pérdda del banco central la ponderacón de los desvíos cuadrátcos del producto respecto al producto potencal tende a ser mayor, entonces el banco central puede tolerar una banda de ncertdumbre mayor para la proyeccón de nflacón. 13 En Vega (003), se desarrolla un modelo de proceso de proyeccón de un banco central donde la combnacón de la proyeccón estadístca de un modelo se combna óptmamente con la vsón a pror de la autordad monetara utlzando explíctamente un enfoque bayesano. 14 En un recente estudo, Schmdt-Hebbel y Tapa (00), se muestra respuestas a cuestonaros realzados a vente bancos centrales que tenen Metas Explíctas de Inflacón. De ellas se colge que en la mayoría de bancos centrales, las proyeccones publcadas son una muestra combnada de proyeccones técncas y jucos de las autordades de polítca. 15 Según Larsson y Vllan (003), esta dstrbucón fue ntroducda por prmera vez para hacer nferenca estadístca en un trabajo de físca aplcada en 1973 y se ntrodujo a la comundad académca estadístca por John (198). Se usó por prmera vez para hacer proyeccones de densdad de nflacón por el Banco de Inglaterra en 1998 ver Brtton, Fsher y Whtley (1998).

6 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ reparametrzada de una manera más convenente por tres parámetros (m, s,?) que descrben la moda de la nflacón, la ncertdumbre y el grado de asmetría de la dstrbucón respectvamente. ( 1 γ + 1+ γ ) exp ( ) ( x m) σ ( γ ) σ π 1+ Para x > m f(x) = σ π ( 1 γ + 1+ γ ) exp ( ) ( x m) σ ( γ ) 1 Para x = m...() En (), el parámetro? puede tener valores en el rango [-1,1]. En partcular, s el valor de este parámetro es cero, entonces la funcón de dstrbucón f(x) se converte en una normal N(m, s ). Dada esta forma de la dstrbucón y con ayuda del Anexo 1, se muestra que la probabldad de que la proyeccón de nflacón sea menor a su valor central m es: 1 γ PD =...(3) 1 γ + 1+ γ Mentas que la dferenca entre la meda (µ) y la moda (m) de la proyeccón está dada por 16 : σ [ 1+ γ 1 γ ] = π Asmet...(4) En la práctca, un prmer factor que determna? es el ajuste obtendo en la smulacón de Monte-Carlo descrto en el Paso. Asmsmo, el balance de resgos de la autordad monetara muchas veces es preponderante en la determnacón de la cuantía de? debdo a que puede ser resumda medante la probabldad de que la proyeccón de nflacón este por debajo del escenaro central (PD). Por ejemplo, en el Reporte de Inflacón publcado por el BCR en enero de 003 se tuvo un balance de resgos haca arrba dervado del resgo percbdo de que los precos de los combustbles podrían subr más de lo prevsto en el contexto del escenaro geopolítco preponderante en ese entonces (Ver el gráfco 8 del Anexo 3). Una vez determnada la probabldad PD, el parámetro? queda defndo en la ecuacón (3). Con los parámetros? y s calculados, la asmetría, defnda como la dstanca entre la meda y la moda puede ser calculada medante la ecuacón (4). Hasta ahora, se ha establecdo la dstrbucón de probabldad de la proyeccón de nflacón para un perodo cualquera. Generalmente, el cálculo de los parámetros relevantes y el balance de resgos se hace para el horzonte de proyeccón relevante (dos años o fn de año calendaro). Se puede completar este cálculo de parámetros para todos los perodos dentro del horzonte de proyeccón medante una nterpolacón lneal como sugeren Brtton, Fsher y Whtley (1998) y Blx y Selln (1998). El resultado fnal de la estmacón es una sere de funcones de dstrbucón NS para cada perodo dentro del horzonte de proyeccón. 4. Formas de comuncar la proyeccón de densdad Como se puede aprecar, podría resultar complcado comuncar la proyeccón de una funcón de densdad al públco en general puesto que es un objeto trdmensonal (tempo, proyeccón de nflacón, probabldad). Una manera más smple de comuncar la funcón de densdad referda es medante fan charts en dos dmensones (tempo y rangos de proyeccón de nflacón). La dea de presentar los resgos usando fan charts fue ntroducda por prmera vez por el Banco de Inglaterra, dea que fue mpulsada por Mervn Kng. Al respecto, Goodhart (1999) dce 17 : 16 La asmetría descrta en la ecuacón (4) mde cuán desguales son ambas tendencas centrales. La asmetría medda por? lustra cuan dferente es la forma de la funcón de dstrbucón de probabldad NS respecto a la Normal N. 17 Traduccón del autor del texto en Goodhart (1999), págnas :

7 ESTUDIOS ECONÓMICOS Kng tuvo la oportundad de ntroducr algunas mejoras al proceso de proyeccón, prncpalmente puso énfass en el rango de ncertdumbre y resgos potencales de la proyeccón (en vez del énfass prevo pero exagerado en la proyeccón puntual). Esto se logró al publcar el fan chart de la potencal nflacón futura, en escalas relatvas a su probabldad esperada. Dado que el espectro de escalas es hecho en tonos de rojo, las escalas empezaron a apodarse como ríos de sangre, quzás porque se parecían al delta de un río. Es más, cual un delta, los posbles resultados no tenían que ser smétrcos. Los resgos podían estar más en un lado que en el otro. Desde entonces, el fan chart representa la forma estándar de cómo la evaluacón subjetva de los resgos hecha por las autordades monetaras se comunca al públco. Un número mportante de bancos centrales que han adoptado el esquema de Metas Explíctas de Inflacón publca regularmente este tpo de gráfco 18. Sn embargo, esta práctca presenta un problema al momento de construr las escalas a las que se refere Goodhart (1999). Las bandas que se muestran en un fan chart típco, pueden ser confunddas por los lectores con ntervalos de predccón central cuando no lo son necesaramente. Esto ocurre porque exsten dos formas de construr las bandas de predccón y que resultan en fan charts dferentes s es que la dstrbucón en cuestón es asmétrca. Para el caso smétrco, las dos metodologías son equvalentes Metodología del Banco de Inglaterra (BoE): Las bandas de predccón asocadas a cada probabldad son las de menor tamaño posble (Ver panel A del Gráfco 3 donde se dbujan bandas de 10 y 50 por cento de probabldad). Por defncón, estas bandas contenen a la moda de la dstrbucón aunque no necesaramente como su centro 19. Ventajas y desventajas: a. La construccón de este tpo de bandas podría llevar a confusón porque el públco sempre tende a creer que la probabldad por encma de la banda es gual a las probabldades de eventos por debajo de la banda. Esto no es certo en este caso. b. Una segunda fuente de problema al presentar este tpo de fan chart es que al centrar los tonos más oscuros alrededor de la moda se exageran las asmetrías respecto al valor esperado de la proyeccón de nflacón (la meda). c. Sn embargo la gran ventaja es en la comuncacón dentro de la evaluacón del balance de resgos en la proyeccón de nflacón. En dcha evaluacón se hace una ponderacón subjetva de las probabldades de desvíos por debajo o por arrba en torno al resultado más probable. Entonces, tene sentdo que las bandas más oscuras estén en torno a este resultado más probable (la moda). 4.. Metodología de ntervalos de predccón central: Las bandas se referen a ntervalos de predccón central, es decr aquellas bandas que suponen que las probabldades de errores de predccón por arrba o debajo de la banda son guales (Ver Panel B del Gráfco 3). Por ejemplo, la banda central de 10 por cento es el área que tene el 90 por cento de probabldad error, dvddo gualmente entre un 45 por cento de probabldad de ser muy alto y 45 por cento de probabldad de ser muy bajo. Por defncón, el fan chart en este caso está centrado en la medana de la dstrbucón. Kng took the opportunty to ntroduce a number of mprovements to the forecastng process, notably the emphass on the range of uncertanty, and potental rsks, n the forecast (rather than the prevously common but undue emphass on the modal pont forecast). Ths was acheved by publshng a fan chart of potental future nflaton, scaled by expected probablty. Snce the scalng was done n red, ths became known as the rvers of blood perhaps because t looked lke a rver delta. Moreover, lke a rver delta, the prospectve outcomes need not be symmetrcal. The rsks mght be more on one sde, or the other. 18 A la fecha, 13 de 0 bancos centrales que sguen el esquema de Metas Explíctas de Inflacón publcan fan charts: Brasl, Chle, Colomba, Corea del Sur, Hungría, Islanda, Israel, Noruega, Perú, Reno Undo, Sudáfrca, Sueca y Talanda. 19 En el Anexo se detalla la forma cómo se puede encontrar dchas bandas.

8 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Ventajas y desventajas: a. La ventaja de esta metodología es que las bandas sí se pueden nterpretar como los ntervalos de confanza que se acostumbran usar en nferenca estadístca. Los errores de predccón por arrba o debajo de estas bandas tenen gual probabldad. b. Asmsmo, este fan chart daría una mejor magen de las asmetrías exstentes porque está centrado en la medana, medda que se encuentra más cerca de la meda. c. El gran problema con este fan chart es que representa un dvorco con la medda que se usa para hacer la evaluacón del balance de resgos, el cuál parte de los resultados más probables. Gráfco 3 5. Un ejemplo mnmalsta A manera de lustracón, se presenta un ejemplo smple de proyeccón basado en un modelo. Usando mínmos cuadrados ordnaros se estma un modelo sencllo un-ecuaconal para la nflacón acumulada en los últmos cuatro trmestres ( t). Se utlza como regresores al crecmento del PBI (y t ) durante los últmos cuatro trmestres, el promedo trmestral de las tasas de nterés nterbancara ( t ), la deprecacón nomnal acumulada en los últmos cuatro trmestres (?e t ), el promedo trmestral de la tasa lbor a tres meses ( * t ), el crecmento de los térmnos de ntercambo durante los pasados cuatro trmestres (? TI) y el crecmento de la economía norteamercana (y usa t ). * usa π t = 0.79π t et yt 0.16t + 0.4t 0.16 TI yt...(5) La estmacón se hace con datos desde el prmer trmestre de 1994 hasta el prmer trmestre de 003. En la ecuacón (5), todo lo que está al lado derecho se trata como exógeno 0, por ello, para empezar a proyectar la nflacón se tene que construr un escenaro central para las varables exógenas (y t, t,?e t, t *,? TI, y t usa ). Escenaro Central 0 En la práctca, los modelos que se usan para proyectar en los bancos centrales son sem-estructurales o estructurales. Estos modelos ncorporan un conjunto de varables endógenas como los tpos de cambo, varables de actvdad, y tasas de nterés real y nomnal.

9 ESTUDIOS ECONÓMICOS En el Gráfco 4 se muestra los valores hstórcos y las proyeccones centrales de las varables exógenas a partr de los cuales se puede obtener la proyeccón puntual de la nflacón mostrada en el Cuadro1. Gráfco 4 Para hallar el escenaro central, además se tene que asumr una poscón de polítca monetara. En este caso se asume que la tasa de nterés tene un valor constante a 3 por cento para los ocho trmestres de proyeccón. Cuadro 1 Escenaro central de nflacón (Proyeccón al prmer trmestre del 003) Perodo t+1 t+ t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 Proyeccón Parametrzacón de la densdad de proyeccón En este ejemplo, se consderan los pasos señalados en la tercera seccón. Paso 1 : Para tener una dea sobre los valores de la ncertdumbre para dferentes horzontes de proyeccón, se puede calcular la desvacón estándar de los errores de predccón dentro de muestra. Para realzar este ejercco se gnora la ncertdumbre exstente sobre las varables exógenas y se asume, para cada ejercco de proyeccón en el pasado, que las varables exógenas asumdas son las verdaderamente observadas. La línea contnua dbujada en el Gráfco 5 lustra el comportamento de la desvacón estándar para dstntos horzontes de proyeccón s se asume plena certdumbre de las varables exógenas. Se observa que la desvacón estándar de los errores en el horzonte de predccón de ocho trmestres es de aproxmadamente 0,6. S se ncluyera la ncertdumbre sobre las varables exógenas, el tamaño de los errores de predccón se ncrementaría. Para tener una dea de hasta cuanto se podría ncrementar, observamos que de acuerdo a la seccón 3, la desvacón estándar ncondconal de la nflacón se ubca en alrededor de 1,6. Por ello, parece razonable pensar en un rango [0,6, 1,6] para el parámetro de ncertdumbre s. Paso : En esta etapa se utlza la nformacón desde una óptca prospectva de las varables exógenas. Se toma en cuenta que además del escenaro central asumdo para las varables exógenas, exste un escenaro de ncertdumbres y resgos para cada perodo del horzonte de proyeccón. En este caso, dado el escenaro central

10 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ para cada varable exógena, se necesta parametrzar funcones de dstrbucón de probabldad para cada perodo. En el Banco de Inglaterra por ejemplo, este ejercco se realza para el prmer y segundo años medante la funcón de dstrbucón NS, a partr del cual, se trasladan las asmetrías y la ncertdumbre a la dstrbucón de nflacón por medo de los multplcadores del modelo. En este ejemplo, se asume que las varables exógenas se generan de acuerdo a tres posbles famlas de dstrbucones. La eleccón de qué dstrbucón usar depende de s la varable en cuestón es acotada o no, por ejemplo, las tasas de nterés nomnales tenen el cero como límte nferor. Asmsmo, la eleccón depende de s se asume asmetría o no. En el Cuadro se descrbe las opcones sugerdas: Cuadro Eleccón de la dstrbucón de probabldad para las exógenas Tpo de varable Funcón de Dstrbucón Smétrca No Smétrca Acotada Beta Beta No Acotada Normal Normal en Dos Partes Una vez parametrzadas las funcones de dstrbucón de las varables exógenas, se realzan las smulacones y se obtenen las muestras smuladas de proyeccón de nflacón para cada uno de los ocho trmestres de proyeccón. Con los datos smulados, se estman funcones de dstrbucón NS(m,s,?) para cada perodo (ver Anexo 4 para un resumen gráfco). En el Gráfco 5, las líneas dscontnuas representan el parámetro s a lo largo de los ocho trmestres 1. Para el trmestre ocho se encuentra que s es aproxmadamente gual a 0,86, mentras que el parámetro? para dcho perodo es gual a cero. Esto quere decr que el parámetro de ncertdumbre s de la proyeccón del modelo condconal al patrón de ncertdumbre de las varables exógenas es de 0,86. Esta varable es un ndcatvo del ancho total del espectro de bandas a dbujar en los fan charts. Resulta nteresante que para el patrón de ncertdumbre y resgo asumdo para las varables exógenas, el valor de s = 0,86 es aproxmadamente gual al error medo de los anuncos de nflacón referdos en la seccón Gráfco 5 Comparacón de desvacones estándar para dstntos horzontes Con certdumbre total sobre exógenas Con ncertdumbre en exógenas consderada en smulacón Sn embargo, no se debe confundr s con la varanza de las dstrbucones NS encontradas. Aquel es gual a la varanza sólo cuando? es gual a cero (el caso smétrco).

11 ESTUDIOS ECONÓMICOS Paso 3 : Dado que el valor de? para el trmestre ocho es cercano a cero (ver Gráfco 10 del Anexo 4), la dstrbucón de la proyeccón de nflacón para dcho perodo es práctcamente smétrca. S se asume que exsten elementos no ncorporados al modelo que hacen que el balance de resgos sea a la baja, entonces es necesaro ajustar el parámetro? consstentemente. Por ejemplo, se puede suponer que el resgo a la baja de la proyeccón de nflacón es de 75 por cento, compatble con un valor de? gual a 0,8. Es necesaro ajustar la asmetría ponderándola por la secuenca de valores de s. Los fan charts Metodología del Banco de Inglaterra (BoE): Como se observa, los tonos más oscuros están agrupados alrededor de la moda. La medana se dbuja como una línea clara. El aparente mensaje de este fan chart es que la proyeccón más probable se acerca al límte superor del rango de toleranca. Gráfco 6 Metodología de las bandas de predccón central:. Esta vez, los tonos más oscuros están agrupados alrededor de la medana. La moda se dbuja como una línea clara. El mensaje de este fan chart es que la proyeccón central (la medana en este caso) se ubca más cerca del objetvo puntual de nflacón (,5 por cento). El balance de resgos aquí se exagera por fnes expostvos.

12 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Gráfco 7 Es prmordal tener en cuanta que la dstrbucón que subyace a estos fan charts es la msma. Por tanto, la probabldad de que la proyeccón de nflacón se ubque en el rango [1,5, 3,5] es de 0,76 (Ver Cuadro 3 del Anexo 5). 6. Comentaros fnales En el documento se han mostrado las formas de extraer los parámetros de la funcón de dstrbucón de la proyeccón de nflacón sobre la base de un modelo de proyeccón, la nformacón hstórca y la vsón nformada de los que toman las decsones de polítca monetara. Los parámetros de ncertdumbre y resgo estmados defnen la proyeccón de la dstrbucón. Sn embargo, la autordad monetara tene que comuncar dcha proyeccón de la manera más clara posble. La comuncacón de la proyeccón de densdad se realza medante un fan chart. Pero qué tpo de fan chart?. Al analzar las ventajas y desventajas de las dos metodologías de construccón del fan chart se ve que aquella que usa el Banco de Inglaterra está más lgada al proceso de evaluacón de los resgos y por ende a la construccón msma de la funcón de dstrbucón. En pocas palabras, se obtene una proyeccón modal y se construyen las asmetrías a partr de ella. Es mportante sn embargo explcar al públco que las bandas resultantes no pueden ser nterpretadas como ntervalos de confanza comunes en la estadístca para no confundr a los lectores de la proyeccón. La construccón de los fan charts publcados por el BCR ha segudo esta metodología. Una metodología alternatva de construccón es aquella que se basa en bandas de predccón central, las cuales sí pueden ser nterpretadas como ntervalos de confanza, sn embargo este fan chart se centra en la medana de la dstrbucón y no en la proyeccón central ncalmente asumda para construr el balance de resgos de nflacón. S se quere que el fan chart muestre una medda de los resgos haca arrba o haca abajo a partr de la proyeccón central tomada como la moda, la metodología del BoE es la más convenente. Pero s se quere que el fan chart muestre ntervalos de confanza de predccón, entonces la metodología alternatva es la que convene. Fnalmente, la probabldad de que la proyeccón de nflacón se ubque dentro del rango de toleranca es nnata a la dstrbucón de probabldades estmada y obvamente, resulta ndependente de las dos formas en la que se puede reportar el fan chart.

13 ESTUDIOS ECONÓMICOS 7. Bblografía A la mode, The Economst, 0-6 Marzo, 1999, p.80 Blx, M. y Selln, P., Uncertanty bands for nflaton forecasts, Workng Paper No. 65, Sverges Rksbank, Stockholm (1998). Brtton, E., Fsher, P. y Whtley, J., The Inflaton Report Projectons: Understandng the Fan chart, Bank of England Quarterly Bulletn, 38, 30-37, (1998). Debold, F.; Hahn, J. y Tay, A., Real-Tme Multvarate Densty Forecast and Calbraton: Montorng the Rsk of Hgh-Frequency Returns on Foregn Exchange, Wharton Fnancal Insttutons Center Workng Paper 95-05, Agosto, (1998). Don, F.J.H., Forecastng n macroeconomcs: a practtoners vew, CPB Netherlands Bureau for Economc Polcy Analyss, Research Memorandum No. 16, (000). Goodhart, C.A.E., The Inflaton Forecast, Natonal Insttute Economc Revew No. 175, (001). Larsson, R. y Vllan, M., Some Propertes of the Multvarate Splt Normal Dstrbuton, Research Report 003:06, Department of Statstcs, The Unversty of Stockholm (003). Mood, A., Graybll, F. y Boes, D., Introducton to the Theory of Statstcs, McGraw-Hll, Inc., Tercera Edcón, (1974). Schmdt-Hebbel, K. y Tapa, M., Monetary Polcy Implementaton and Results n Twenty Inflaton-Targetng countres, Central Bank of Chle Workng Paper 166, (00). Svensson, L., Inflaton Forecast Targetng: Implementng and Montorng Inflaton Targets, European Economc Revew, Vol. 41, (1997). Svensson, L., Inflaton Targetng as a Monetary Polcy Rule, Journal of Monetary Economcs, 43, , (1999). Tay, A. y Walls, K., Densty forecastng: a survey, Journal of Forecastng, 19, 35-54, (000) Vega, M., Polcy Makers Prors and Inflaton Densty Forecasts, Mmeo, Setembre, (003). Walls, K., Asymmetrc densty forecasts of nflaton and the Bank of England s Fan Chart, Natonal Insttute Economc Revew No. 167, (1999). Walls, K., Ch-squared tests of nterval and densty forecasts, and the Bank of England s Fan Charts, Internatonal Journal of Forecastng 19, , (003a). Walls, K., Forecast uncertanty, ts representaton and evaluaton, Boletín Inflacón y Análss Macroeconómco, Unversdad Carlos III de Madrd, No. 100, Enero, (003b). John, S., The three-parameter two-pece normal famly of dstrbutons and ts fttng, Communcatons n Statstcs - Theory and Methods, No. 11, (198). Reportes de Inflacón publcados en págnas web de los bancos centrales que sguen el esquema de Metas de Inflacón: Australa, Brasl, Canadá, Chle, Colomba, Corea del Sur, Hungría, Islanda, Israel, Méxco, Noruega, Nueva Zelanda, Perú, Polona, Repúblca Checa, Reno Undo, Sudáfrca, Sueca, Suza y Talanda.

14 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Anexo 1 Trabajando con la funcón Normal en Dos Partes En el texto prncpal, la funcón de densdad asmétrca de la proyeccón de nflacón está dada por la combnacón de dos funcones que se las puede representar como proporconales a funcones de dstrbucón normal estandarzadas. A x m ϕ σ d σ d Para x > m f(x) =...(A.1) B x m ϕ σ σ Para x = m La funcón normal estandarzada se defne por f (.) con su correspondente funcón acumulatva F(.): 1 ( z) = exp( z ) ϕ π Para mantener la smplcdad se tene en cuenta los sguentes puntos: Defncón 1: Funcón de densdad de probabldad: Cualquer funcón f(.) con domno real y rango [0, 8) es una funcón de densdad de probabldad s y solo s: () f(x) =0 para todo x () f ( x) dx = 1 Propedad 1: Contnudad de la funcón de densdad: Para que una funcón sea contnua, se debe cumplr que el valor límte de la funcón cuando x se aproxma por la derecha o zquerda de un número sea el msmo: lm f ( x) = x a( ) x a( + lm f ( x) ) Aplcando la defncón 1 a la funcón en (A.1) se tene: B m 1 x m ϕ + A σ σ 1 x m ϕ dx = 1 σ d σ m d...(a.) Pero se sabe que las ntegrales defndas representan las probabldades de estar a la derecha y a la zquerda de la meda de las dstrbucones normales separadas defndas en (A.1). Por tanto: A + B = 1...(A.3) De aquí, los térmnos B/ y A/ tenen una nterpretacón nteresante. Es fácl ver que ellas representan respectvamente, la probabldad de que la nflacón sea menor o gual que la moda (x = m) y que aquella sea mayor a la moda (x > m). Vale decr, ellas representan las probabldades de resgos haca abajo y haca arrba respectvamente. Estas probabldades se denotan por PD y PU respectvamente. Por otro lado, para que se cumpla la Propedad 1, se requere: Probabldad de resgo haca abajo = PD = B/ Probabldad de resgo haca arrba = PU = 1 - PD = A/ A B σ = σ...(a.4) Usando las ecuacones (A.3) y (A.4) se obtene A y B en térmnos de los parámetros s y s d : d

15 ESTUDIOS ECONÓMICOS σ d A = σ + σ σ B = σ + σ d d...(a.5) Cálculo de la asmetría: Resulta ntutvo suponer que el grado de asmetría de una funcón de dstrbucón está en relacón drecta a la dstanca entre la moda y la meda. John (198) demuestra que la asmetría (skewness) de una funcón de dstrbucón Normal en Dos Partes esta dada por: Donde k = π E[ 3 ( x E[ x] ) ] = k( σ σ )[ ( k 1)( σ σ ) + σ σ ] d d d...(a.6) Se puede ver que el térmno entre corchetes es sempre postvo por lo que la asmetría es proporconal a (s d -s ): Para ello, se calcula la meda de f(x): µ m Bx x m Ax x m = σ ϕ( ) dx ( σ + σ ϕ d σ d m ) dx...(a.7) Hacendo los cambos de varable respectvos se tene: 0 ( σ v + m) ϕ( v) dv + A ( σ w + m) ( w) dw µ = B ϕ 0...(A.8) Usando la propedad, wϕ( w) dw= ϕ ( w) se observa: De aquí: m m [( σ ϕ( 0) + )] + A[ ( σ (0 )] µ = B ϕ + d )...(A.9) Reemplazando todo A y B de (A.5): A B σ d A σ B µ = m( + ) + π µ = m + [ σ σ ] d π...(a.10)...(a.11) Se tene que la dferenca entre la meda y la moda encontrada en (A.11) es proporconal a la asmetría encontrada en (A6), por ello se defne a la asmetría de la sguente manera: Asmet µ m = [ σ σ ] d π...(a.1) La asmetría entonces está defnda en térmnos de las dos desvacones estándar normales en juego. La dstrbucón NS es asmétrca a la derecha s s d > s en cuyo caso µ > m (esto correspondería a un balance de resgos haca arrba). Es convenente defnr la asmetría en térmnos de una varanza que resultaría en un caso neutral (s ). Para ello se usará el parámetro? de la sguente manera: σ σ d ( 1+ γ ) y σ σ ( 1 γ ) Entonces: Valores del parámetro Poscón relatva de s d y s Balance de resgos asocado? = 0 s d = s Neutral? = ( 0, 1) s d > s Haca arrba? = (-1, 0] s d = s Haca abajo

16 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Reemplazando esta nueva parametrzacón en la defncón de asmetría, los parámetros A, B y por tanto en las probabldades de los resgos haca arrba y haca abajo se tene: σ [ 1+ γ 1 γ ] Asmet = π...(a.13) B PD = 1 γ 1 γ + 1+ γ...(a.14)

17 ESTUDIOS ECONÓMICOS Anexo Cálculo de las Bandas a la BoE Partendo de la funcón de densdad NS en (A.1), la funcón acumulada se puede representar por: x m BΦ σ Para x = m F(x) = B x m 1 + A Φ σ d Para x > m...(b.1) Para lustrar el procedmento de hallado de las bandas de predccón según la metodología BoE se grafca una funcón de dstrbucón con resgos haca arrba de 80 por cento, esto quere decr que PD = 0,, que en el gráfco sguente se lustra por el área sombreada. El problema de las bandas consste prmero en defnr las probabldades que cubren las bandas de predccón, a estas probabldades las denotaremos por C que típcamente puede tomar valores en el conjunto {0,1, 0,,, 0,9}. Es decr, la banda más delgada puede cubrr el 10 por cento (la más oscura), la banda sguente cubre el 0 por cento, y así hasta cubrr un 90 por cento de probabldad. Los fan charts publcados por el BCR sguen exactamente esta secuenca. Para una banda determnada con probabldad C, se requere encontrar los valores extremos nferor (X l ) y superor (X u ) de modo que por defncón se cumpla: Pr( X [ X, X ]) C l u...(b.) Se puede deducr fáclmente que exste un número nfnto de rangos que tengan la probabldad de ocurrenca gual a 100C por cento. S entre todas las posbldades se busca aquella banda que sea la más angosta posble para dcha probabldad, entonces dcha banda necesaramente ha de contener a la moda puesto que ésta, por defncón, tene más masa de probabldad. Usando la defncón de probabldades, (B.) se puede expresar como: F( X ) F( X ) u l = C...(B.3)

18 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Usando la defncón de F(.) dada en (B.1) se tene: B X u m X l m A 1 + Φ BΦ = C σ d σ...(b.4) Para escrbr el problema en térmnos de la probabldad PD, se puede usar las relacones B/ = PD y A = (1-PD), por lo cual, (B.4) se converte en: PD + X m 1 σ d X m σ u l ( 1 PD) Φ PDΦ = C...(B.5) Se puede defnr cuán angosta es la banda por medo de la dstanca defnda por Dst: Dst = X u X l...(b.6) Por lo cual, la ecuacón (B.5) puede ser expresada solamente en térmnos de Dst y X l, para C, m, s, s d y PD conocdos. PD + Dst + X m 1 σ d X m σ l l ( 1 PD) Φ PDΦ = C...(B.7) De donde podemos despejar Dst: Dst( X ) = m X l l + σ d Φ 1 ( 1+ C PD) PD X ( ) ( ) l m + Φ 1 PD 1 PD σ d...(b.8) Es decr, se tene una funcón que representa el tamaño de la banda que depende del extremo nferor de la banda. Lo únco que se tene que hacer es proceder a mnmzar (B.8) respecto a X l, calcular la dstanca Dst(X l ) y luego calcular el extremo superor de la banda: X u = Dst(X l ) + X l. Obvamente, se tenen que verfcar condcones báscas, dado que Dst(X l ) no tene un únco mínmo y por tanto se debe buscar X l en una zona lo sufcentemente adecuada (además observar que el argumento de F -1 en (B.8) tene que ser sempre postvo). Por ello es convenente acotar la zona de búsqueda de X l al ntervalo [X l(-), X l(+) ], el cual se defne a contnuacón: S C<PD, cuan a la zquerda puede estar X l? El límte es aquel valor consstente con que X u sea gual a la moda m. Es decr: Pr( X < X ) l ( ) + C = PD...(B.9) Lo cual es equvalente a: X l( ) m PDΦ( ) + C = PD σ...(b.10) Por lo que: X l( ) m PD C Φ = < σ PD 1...(B.11) De donde se puede despejar X l(-) : X l( ) = m + σ Φ 1 PD C PD...(B.1)

19 ESTUDIOS ECONÓMICOS Por otro lado, cuando PD<C la cota nferor X l(-) no puede defnrse de esa manera. En este caso, por fnes práctcos se puede defnr la cota nferor como: X l( ) = m σ...(b.13)

20 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Anexo 3 Fan charts publcados por el BCR desde mayo 00 hasta agosto del 003 MAYO 00 (Varacón Acumulada del IPC a 1 meses) Gráfco 8 SETIEMBRE 00 (Varacón Acumulada del IPC a 1 meses) % % 4.0.5% 1.5%.0.5% 1.5% mar-01 jun-01 sep-01 dc-01 mar-0 jun-0 sep-0 dc-0 mar-03 jun-03 sep-03 dc-03 mar-01 jun-01 sep-01 dc-01 mar-0 jun-0 sep-0 dc-0 mar-03 jun-03 sep-03 dc-03 Balance de Resgos: Neutral Proyeccón hasta: Dcembre 003 ENERO 003 (varacón acumulada del IPC a 1 meses) Balance de Resgos: Neutral Proyeccón hasta: Dcembre 003 MAYO 003 (Varacón acumulada del IPC a 1 meses) % % 4.0.5% 1.5%.0.5% 1.5% Mar-01 Jun-01 Sep-01 Dc-01 Mar-0 Jun-0 Balance de Resgos: Haca arrba Proyeccón hasta: Dcembre 003 Sep-0 Dc-0 Mar-03 AGOSTO 003 (Varacón Acumulada del IPC a 1 meses) Jun-03 Sep-03 Dc mar-01 jun-01 sep-01 dc-01 mar-0 jun-0 sep-0 dc-0 Balance de Resgos: Neutral Proyeccón hasta: Dcembre 004 mar-03 jun-03 sep-03 dc-03 mar-04 jun-04 sep-04 dc %.5% 1.5% mar-01 jun-01 sep-01 dc-01 mar-0 jun-0 sep-0 dc-0 mar-03 jun-03 sep-03 dc-03 mar-04 jun-04 sep-04 dc-04 Balance de Resgos: Neutral Proyeccón hasta: Dcembre 004

21 ESTUDIOS ECONÓMICOS Anexo 4 Resumen gráfco de smulacón Monte-Carlo Gráfco m =.75 σ = 0.06 γ = Gráfco 10 Densdad de las proyeccones de nflacon para dferentes horzontes 1 trmestres haca adelante trmestres haca adelante m =.77 σ = 0.13 γ = trmestres haca adelante m =.11 σ = 0.3 γ = trmestres haca adelante m = 1.85 σ = 0.49 γ = trmestres haca adelante trmestres haca adelante m = 1.90 σ = 0.36 γ = trmestres haca adelante m =.5 σ = 0.63 γ = trmestres haca adelante m =.73 σ = 0.75 γ = m = 3.15 σ = 0.86 γ =

22 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ Anexo 5 Tabla de ndcadores de la proyeccón de densdad de nflacón realzada en la seccón 5 del texto prncpal. Horzonte de proyeccón Moda (m) Medana Meda (µ) Incertdumbre (s) Cuadro 3 Asmetría (?) Resgo a la baja (PD) Resgo al alza Probabldad de la proyeccón gual al rango meta