Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés CONJUNTOS

Transcripción

1 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés CONJUNTOS Conjunto.- Un onjunto es un oleión de ojetos elementos ien definid, es deir que no eist dud si un elemento ulquier pertenee o no diho onjunto o ien es un oleión de números u ojetos que stisfen un ondiión dd. Métodos pr desriir onjuntos: Método de etensión.- Consiste en enumerr dentro de orhetes todos los elementos del onjunto desriir V {, e, i, o, u} D {,,,,,,,,9,0 } P {,,, } S { lunes,mrtes,mieroles,jueves, viernes,sdo,domingo} I {9,,,, }. Método de omprensión.- Utili un frse que desrie los elementos del onjunto demás de l epresión : que se lee tl que se entiende d elemento del onjunto es, ejemplo: V { / es un vol} D { / es un dígito} C { / es un número rel} E { / es un lumno de l U de O} L { / es un letr del eedrio } P { / es un número pr positivo menor que die } S { / es un dí de l semn } Perteneni.- Si el elemento pertenee o form prte del onjunto V se denot de l siguiente form: V, tmién se us l no perteneni : V P D V L, estos dos últimos sos es porque l perteneni es de un elemento on respeto un onjunto no entre onjuntos. Suonjunto.- Pr que un onjunto A se suonjunto de otro onjunto B A B, es neesrio que todos los elementos del primer onjunto A estén o pertenen l segundo onjunto B. se : V { / es un vol} L { / es un letr del eedrio } D { / es un dígito} N { / es un número entero}, entones: V L V V L L L V V D D L D N N D N m L, estos dos últimos sos es porque" m" no son onjuntos. Conjunto Universo.- Es el onjunto que se form on l menos todos los elementos de los onjuntos que intervienen en un situión o prolem ddo. Se utili l letr U pr representrlo. Conjunto vío.- Es un onjunto que ree de elementos. Se utili l letr grieg ejemplo : D { / D es { / es un meino on ms de 00 ños de edd} egoernd or de Sinlo on 0 ños de edd }. pr representrlo. Págin

2 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Conjunto omplemento.- Si se tiene un onjunto A, su onjunto omplemento A es quel que se form on los elementos que fltn l onjunto A pr ompletr el onjunto universo. Ejemplo : si A V { / es un vol } entones A V { / es un onsonnte } Unión de dos onjuntos.- L unión de dos onjuntos form otro onjunto uos elementos perteneen uno o otro o mos onjuntos A C { A o C o mos}. Interseión de dos onjuntos.- L interseión de dos onjuntos form otro onjunto uos elementos son los que perteneen o están en los dos onjuntos A C { A C, mos}. Ejeriios.- Desri por el método de omprensión los siguientes onjuntos:.- P {,,,, 0}.- C {,,, d, e}.- Q {,0,, 0, } d.- E {,, 9,,, } Desri por el método de etensión los siguientes onjuntos:.- P {los números enteros positivos menores de die}.- C {ls letrs onsonntes de l plr "mteri" }.- D {los udrdos de los digitos } Ddos : A {,,, f, h,i }, B {, e, i}, C {, g, h }, D {,, h, i}, U {,,, d, e, f,g, h, i} Indique si l severión que se present es verdder o fls: B.- B D B d.- B D e D B f.- B U g C U h.- D A i A B j.- D A k i C l.- A U Oteng todos los onjuntos que sen suonjuntos de onjunto C {,,, } Soluión: Número de suonjuntos de un onjunto on n elementos : n n = = suonjuntos Págin

3 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés {,,, }{,, }{,, }{,, }{,, }{, }{, } {, }{, }{, }{,}{}{}{}{} Ddos : A {,,, h,i }, B {, e, i}, C {, d, f,g, j}, D {,d, g, i}, U {,,, d, e, f, g, h, i, j} Relie ls operiones de onjuntos que se indin:.- C.- B D.- C A d.- D A e.- A C f.- B D g.- C B D h.- B D A Ddos : A {,,,,, 9}, B {,, }, C {,,, }, D {,,,9 }, U {,,,,,,,, 9, 0} Relie ls operiones de onjuntos que se indin:.- C A.- D' B.- C B D d.- D C A f.- C B D f.- B D A Uique el áre delimitds en los digrms de Venn que orresponde l epresión de onjunto que se indi :.- A B.- B A.- A U d.- B A e.- A B f.- B A A B g.- A B h.- A B i.- A B Uique el áre delimitd en los digrms de Venn que orresponde l epresión de onjunto que se indi :.- d.- A B C.- B A C.- A B C A B C e.- A C B f.- B A C Págin

4 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés U A B C En un enuest heh 00 persons se otuvieron los siguientes resultdos : 00 persons tomn refreso de ol, 0 tomn de sor 00 persons tomn de sor de ol. Determine unts persons.- tomn refreso de sor?,.- tomn solo refreso de ol?,.- tomn l menos uno de los dos?, d.- no tomn refreso de ol?, e.- no tomn refreso. use los digrms de Venn? Soluión.- ol sor Págin

5 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Un esuel de idioms tiene 0 estudintes se se que 0 estudin frnés, 0 estudin espñol 0 estudin frnés espñol. Determine untos estudintes:.- estudin frnés o espñol pero no mos,.- No estudin ni frnés ni espñol, C.-estudin solo frnés. Soluión.- Frnés Espñol Se relió un enuest 00 persons de un iudd sore el medio de omuniión que emple pr enterrse de ls notiis, el resultdo fue el siguiente: 0 por rdio 00 por televisión 0 por periódio 0 por rdio televisión 0 por rdio periódio 00 por televisión periódio 0 persons emplen los tres medios rdio, televisión periódio. Determine..- uánts persons solmente se entern de ls notiis por l rdio?.- uánts persons solmente se entern de ls notiis por l televisión?.- uánts solmente se entern de ls notiis por solo uno de estos medios? d.- uánts persons no se entern de ls notiis por ninguno de los tres medios? d.- uánts persons solmente se entern de ls notiis solo por dos medios? En iert esuel se tienen que ursr l menos uno de los tres idioms siguientes : Inglés, frnés ruso. Si tiene 00 estudintes se se que 00 ursn Ingles, 00 frnés 0 el ruso demás 0 ursn inglés ruso, 90 ursn inglés frnés 0 ursn frnés ruso. Cuntos estudintes ursn los tres idioms? Págin

6 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés De 00 persons soliitntes un puesto en un empres, 0 uentn on eperieni lorl, 0 tienen título universitrio, 0 tienen título eperieni lor. unts persons soliitntes:.- tienen eperieni lorl o título o mos,.- tienen solo eperieni lorl?.- no tienen ni título ni eperieni lorl? En un esuel h 00 lumnos, de los ules 00 prtin fútol, 0 prtin éisol 0 prtin mos deportes, uántos lumnos:.- prtin los dos deportes l ve.- prtin fútol pero no-éisol.- prtin l menos uno de los deportes d.- No prtin deporte. En un determind polión, el 0% son fiiondos l fútol, el 0% l tenis el % l lonesto. El % lo son l fútol l tenis, el 0% l tenis l lonesto el 0% l futol l lonesto, mientrs que el 0% lo son los tres deportes. Cuánts persons de est polión no son fiiondos ninguno de los tres deportes? Un distriuidor utomotri tiene rros, de los ules: tienen trión delnter 9 son omptos 0 tienen trnsmisión utomáti son omptos on trión delnter son omptos on trnsmisión utomáti 0 tienen trión delnter trnsmisión utomáti son omptos on trión delnter trnsmisión utomáti. Cuntos rros.- son ompto on trión trser trnsmisión utomáti.- No son omptos no tienen trión delnter tmpoo trnsmisión utomáti.- son omptos on trión trser no tienen trnsmisión utomáti d.- No son omptos tienen trión trser no tienen trnsmisión utomáti. El gerente de personl de un plnt industril, segur que en el ño de 99 entre un totl de 00 empledos, otuvieron un senso, inrementron sus prestiones de juilión, logrron mos enefiios ningún enefiio. Eplique por qué puede ser ojetd est firmión Definiiones, utilindo el onepto de onjunto Cirunfereni.- Es el onjunto de todos los puntos, que están l mism distni llmd rdio de otro punto fijo h, k llmdo entro. Práol.- Es el onjunto de todos los puntos,, tles que l difereni de sus distnis dos puntos fijos llmdos foos es un onstnte positiv. Hipérol.- Es el onjunto de todos los puntos,, us distnis un punto foo un ret diretri fijos son igules. Págin

7 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ls propieddes, se umplen si A, B, C... son suonjuntos de un onjunto universo U:. A B = B A. A B = B A. A B C = A B C,que utori l esritur A B C.. A B C = A B C,que utori l esritur A B C.. A = A esel onjunto vío. A =. A U = U. A U = A 9. A B C = A B A C 0. A B C = A B A C. A A' = U. A A' =. A B' = A' B' Lees de Morgn. A B' = A' B' Lees de Morgn. A A = A A = A. A'' = A. A - B = A B'. A - B - C = A - B C 9. Si A B =, entones A B - B = A 0. A - B C = A - B A - C Un pr ordendo es un ojeto formdo por dos elementos on un orden determindo que notremos por,. A los elementos se les denomin primer segund omponente del pr,. Dos pres ordendos son igules si sólo si ls omponentes orrespondientes son igules. Ddos X e Y onjuntos, llmremos produto rtesino de X e Y, l onjunto formdo on todos los pres ordendos que pueden formrse on elementos de X e Y: X Y = {, / X Y}. Por ejemplo, si A = {, } B = {,, }, entones A B = {,,,,,,,,,,, }. Y B A = {,,,,,,,,,,, }. En este so, A B B A, pues l ser pres ordendos, el pr, es distinto del pr,. De igul form se puede definir el produto rtesino de tres onjuntos: A B C = {,, / A, B C} Ejeriios resolver Desri por el método de etensión los siguientes onjuntos: B = { / es un número positivo menor que } D = { / es un onsonnte de l plr mteri} E = { / es un onsonnte } G = {/ es un pís de Améri} Desri por el método de omprensión los siguientes onjuntos Págin

8 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés M = {Merurio,Venus, Mrte,,Neptuno Plutón} H = {, e, i, o, u} J = {,,,, 9} K = { f, e, l, i, } L = {,,,d,e,...,,,} Sen A ={,,,} B ={,,,} C ={,,,} U={,,,,,,,,9,0} Hllr:.- e.- i.- A B.- A C.- B C d.- B B A B f.- A C g.- B C h.- B B A B j.- A C k.- B C l.- B B Ddo el onjunto A = {,,,,} enontrr todos los suonjuntos de A que se puedn onstruir on sus elementos, es deir el onjunto poteni. Cuál es onjunto formdo por l interseión de los onjuntos: {e,, i, t, o} {t, r, i, u, n, f, o}? Represent l unión de los onjuntos {e,, i, t, o} {t, r, i, u, n, f, o} Cuál es l interseión de los siguientes onjuntos: A= {l, u, n, } B= {t, r, i, u, n, f, o} Un grupo de 0 persons v l supermerdo omprr rrs de hoolte. Cd person ompr omo mínimo un rr. El supermerdo vende dos tipos de rrs de hoolte: on relleno sin relleno. Si persons omprn de los dos tipos de rrs, omprn omo mínimo un rr on relleno d uno, uánts persons omprron únimente rrs de hoolte sin relleno? Un grupo de 00 etrterrestres lleg en l nve Estrell 000 pr invdir su plnet. Estos etrterrestres se distinguen por dos rterístis: sus ojos sus ols. Algunos de ellos tienen ojos, pero no tienen ol, otros tienen ol pero no tienen ojos, otros tienen ojos ol. Si h etrterrestres que tienen ojos 0 que tienen ojos ol, uántos de ellos tienen ojos pero no tienen ol? Cuántos tienen solmente ol? Un grupo de 0 estudintes deide ir de pseo l oológio. H dos ehiiiones priniples ierts pr visits: l pjrer l uev del león. Oho estudintes visitn l pjrer, de los ules seis visitn tmién l uev del león. Cuántos estudintes visitn únimente l uev del león? Cuántos estudintes visitn únimente l pjrer? H 0 niños en l iudd de Crtgen, todos se vn vestir en form espeil pr ir un fiest. H dos tividdes pr l nohe de l fiest: un ile un onurso de disfr. Si 0 niños fueron tnto l ile omo l onurso de disfr, solmente niños fueron únimente l ile, uántos niños en totl prtiipron en el onurso de disfr? Cuántos fueron únimente l onurso de disfr? Págin

9 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Atulmente se están ehiiendo dos pelíuls en un tetro de l iudd: Fiión Inreíle Ls mtemátis en ls estrells. Un totl de persons sistieron l tetro. Si persons vieron Ls mtemátis en ls estrells, 0 vieron tnto Fiión Inreíle omo Ls mtemátis en ls estrells, uánts persons vieron únimente Fiión Inreíle? Cuántos olets se vendieron en totl en el tetro? Se notron órdenes de eids en un resturnte, donde se ofreen dos tipos de eids: jugo de nrnj lehe. Si 9 persons tomron jugo de nrnj tomron lehe, uánts persons tomron tnto lehe omo jugo de nrnj? H 00 tlets tres estiones diferentes en que se presentn deportes: fútol en el otoño, sketll en el invierno sell en l primver. Algunos de los tlets juegn solmente un deporte, otros dos otros tres. Curent persons juegn fútol. Si juegn los tres deportes, juegn sketll fútol, pero no sell, 0 juegn solmente fútol, uánts persons juegn tnto sell omo fútol? H 9 persons que tienen msots. persons tienen únimente perros, 0 tienen únimente gtos, persons tienen perro gto tienen gto, perro serpientes. Cuánts serpientes h? Tres juegos populres de omputdor son: L invsión de los etrterrestres, Ls rrers de rros Fútol de lujo. Cinuent persons de su rrio tienen juegos de omputdor. tienen los tres juegos, tienen Ls rrers de rros, tienen Fútol de lujo, 9 tienen únimente L invsión de los etrterrestres. En totl uántos juegos de omputdor h en su veindrio? Págin 9

10 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Números nturles.- NÚMEROS Son los números que usmos pr ontr, por lo que solo involur los enteros positivos. N {0,,,,,,,,, 9,0,,,,,...,..,} Números enteros.- Este onjunto de números se form on los números nturles sus negtivos. E {,,,,,,,, 9,,...,,,,,,,,, 9,..., } Pr relir ls operiones de sum, rest multipliión pr los números enteros se siguen ls siguientes regls : *Si se sumn dos números enteros del mismo signo, se sumn sus mgnitudes l resultdo se le sign el signo de mos *Si se sumn dos números enteros de diferente signo, se restn sus mgnitudes l resultdo se le sign el signo del mor: Al multiplir dos números enteros del mismo signo el resultdo es positivo: Al multiplir dos números enteros de diferente signo el resultdo es negtivo: Ejeriios: 0 { } { } { } { } Números rionles.- Son quellos que pueden epresrse omo el oiente de dos números enteros Un rterísti de estos números es que l relir l división sus deimles son periódios Págin 0

11 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Produto entre friones.- Se reli multiplindo los numerdores denomindores respetivmente, ls regls de los signos pr los enteros tmién se plin pr los rionles. 0 0 Ejeriios.- División entre friones.- Se reli multiplindo el numerdor de l primer frión por el denomindor de l segund frión qued omo numerdor de l frión resultnte el denomindor de l primer por el numerdor de l segund qued omo denomindor de l frión resultnte, ls regls de los signos pr los enteros tmién se plin pr los rionles Ejeriios.- Págin

12 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Sum rest de friones.- Se otiene un omún divisor, es un número que se puede dividir de mner et entre los denomindores tods ls friones sumr se sum l división de este omún divisor entre d uno de los denomindores multiplido por el numerdor orrespondiente. Ejeriios.- Números irrionles.- Son quellos que no pueden epresrse omo el oiente de dos números enteros. Tods ls ríes que no son ets son irrionles, demás de lgunos prámetros omo π.... e Números reles.- Es el onjunto de los números rionles e irrionles lo que inlue los números nturles los números enteros. Propieddes de mpo de los números reles: Sen, números reles: Eiste un elemento identidd en l sum multipliión pr d número 0 Págin

13 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Eiste un inverso multiplitivo ditivo pr d número eepto el ero en l multipliión 0 soitiv onmuttiv distriutiv es un número rel es un número rel de errdur Sen dos números se umple : ó reles, solo un ó de ests ondiione s triotomí Propieddes de l iguldd.- Refleiv Simétri si entones Trnsitiv si entones Aditiv si entones Multiplitiv si entones #- Hiendo uso de ls propieddes de l iguldd despeje l inógnit que se indi en d so:. - de : despeje Soluión Págin

14 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés. - de : despeje Soluión. - de: despeje Soluión d. - de despeje Soluión e. - de: despeje Soluión f. - de: despeje Soluión Lo que se puede deduir de ls operiones nteriores es que pr psr de un ldo del signo igul l otro ldo un letr o número deerá psr on operión ontrri l que tiene en su lugr originl.. - de : despeje.- de: despeje,.- de: despeje, d.- de: despeje, e.- de: despeje, Págin

15 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés f. - de: despeje, g.- de: despeje, h. - de: despeje, i. - de: despeje, Tmién se puede utilir el mismo riterio pr otro tipo de operiones: h. - de : despeje, j. - de : despeje, k. - de : despeje, l. - de : despeje, Ejeriios Págin

16 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Págin

17 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ejeriios.- Despeje l vrile que se indi en d euión: de : I Ci t, despeje C despeje t despeje i de : M C i t, despeje C despeje t despeje i de : M C i n, despeje C despeje i despeje n de : M C i t, despeje C despeje t despeje i de : S C n d, despeje C despeje d despeje n de : Z μ, σ despeje despeje μ despeje σ de : D C S, n despeje C despejes despeje n de : M A n i i, despeje A despeje n de : C A i i n, despeje A despeje n Págin

18 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Págin

19 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés OPERACIONES ALGEBRAICAS Un epresión lgeri est formd por uno o más términos lgerios. Un término lgerio est formdo por un signo un oefiiente un o más letrs o literles ésts on lgún eponente que indi l poteni l que est elevd l literl. Ejemplo : donde es el oefiiente, " " e " " son ls literles, son los eponentes de " " e " " respetivmente el signo es positivo +, el ul se soreentiende si no es negtivo. Otros ejemplos : Un epresión on un solo término se le llm monomio en so que teng dos términos se les llm inomio, si tiene tres términos trinomio, on utro será tetrnomio, et. En generl si tiene dos o más términos se le llm polinomio. ejemplos: Binomios : Trinomios 9 Sum de epresiones lgeris.- En l sum epresiones lgeris, solo se pueden sumr los términos que sen semejntes, esto es que tengn l mism prte literl se proede sumr los oefiientes, dejndo inlterd l prte literl de los términos sumdos. Ejemplos: Ejeriios.- Págin 9

20 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Rest de epresiones lgeris.- En l rest epresiones lgeris, solo se pueden restr los términos que sen semejntes, esto es que tengn l mism prte literl se proede restr los oefiientes, dejndo inlterd l prte literl de los términos sumdos. Pr emper deerán multiplirse los signos de los términos dentro del préntesis l ul le nteede el signo negtivo. Ejemplo: Ejeriios.- Págin 0

21 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés EXPONENTES.- Eponente.- Es un número o epresión que se loli delnte enim de un número o epresión llmd se que indi el número de vees que se dee de tomr omo ftor l se número o epresión. Lees de los eponentes.- Se un número rel, m n enteros positivos, entones : m n m n m m n n, 0 m n mn m m m m m m 0 n n n Todo número distinto de ero elevdo un eponente ero es igul l unidd 0 Se n, on 0si n es pr, entones n n siempre undo n se diferente de ero. n Además : n m m n ó m n n m / / Ejeriios.- / / / / / / Págin

22 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés / Y / / Multipliión de epresiones lgeris.- Monomios por monomios.- Se multiplin los oefiientes onsiderndo sus signos en l prte literl se sumn los eponentes de l mism vrile. Ejemplos: Ejeriios.- / / / / / / / / / / / / Monomios por polinomios.- Ejemplo: 0 Ejeriios.- / / Y Págin

23 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Polinomios por polinomios.- División de epresiones lgeris.- Monomios entre monomios Ejemplo : Ejeriios / / Polinomios entre monomios Ejemplo : Ejeriios / / / / / - Polinomios entre polinomios.- Pr dividir dos polinomios entre si siguen los siguientes psos: Ordenr ls epresiones en orden desendente tomndo en uent el eponente de l literl prinipl dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor multiplir el resultdo por los términos del divisor restr el produto l dividendo determinr si el grdo del primer término del residuo es menor l grdo del primer término del divisor, si lo es, se termin el proeso, si no lo es, se repite del pso en delnte. Dividir : Págin

24 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ejeriios.- Sum rest de epresiones lgeris.- Págin

25 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Págin Multipliión de epresiones lgeris / / 0 División de epresiones lgeris / / 0 / / / 0 /

26 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés 9 / Págin

27 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés PRODUCTOS NOTABLES Se les onoe omo produtos notles, iertos produtos entre epresiones lgeris que se pueden resolver utilindo l regl orrespondiente ese so esto permite, pr esos sos, no tener que relir el proeso de l multipliión de l mner trdiionl, demás de filitr l ftoriión de epresiones lgeris. Binomios l udrdo.- REGLA: El udrdo de un inomio, es igul l udrdo del primer término, más el dole del produto del primer término por el segundo, más el udrdo del segundo termino, el resultdo se onoe omo trinomio udrdo perfeto Epresión generl: Ejemplos : 9 0 Ejeriios.- m n Págin

28 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Binomios l uo.- REGLA: El uo de un inomio, es igul l uo del primer término, más el triple del produto del udrdo del primer término por el segundo, más el triple del produto del primer término por udrdo del segundo, más el uo del segundo término. Epresión generl: Ejemplo: 9 Ejeriios.- / m n Págin

29 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Binomios onjugdos.- REGLA: El produto de dos inomios onjugdos es igul udrdo del término igul menos el udrdo del término onjugdo,l resultdo se le onoe omo diferenis de udrdos. Epresión generl: Ejemplo : 9 9 Ejeriios.- / / / / m n m n m n m n Págin 9

30 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Binomios on un término omún.- REGLA: El produto de dos inomios on un término omún es igul udrdo del término omún más l sum de los no omunes por el omún ms el produto de los términos no omunes. Epresión generl: Ejemplos : Ejeriios: Págin 0

31 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Binomios on un término semejnte: REGLA: El produto de dos inomios on un término semejnte es igul l produto de los términos semejntes ms l sum del produto del término semejnte del primer inomio por el no semejnte del segundo inomio del produto del término semejnte del segundo inomio por el no semejnte del primer inomio ms el produto de los términos no omunes. Epresión generl: Ejemplo : Ejeriios: d d d Trinomios l udrdo : REGLA: El udrdo de un trinomio, es igul l sum de los udrdos de d uno de los términos, más el dole del produto de tods ls ominiones de los tres términos, el resultdo es: Epresión generl: Ejemplo : Ejeriios.- 9 Págin

32 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Binomios por Trinomios de l form: REGLA: El produto de un inomio un trinomio de l form udrdo de un trinomio, es igul l sum de los uos de d uno de los términos, más el dole del produto de tods ls ominiones Ejemplo : 9 Ejeriios Binomio de Newton Est fórmul permite desrrollr un inomio un poteni positiv, su form es l siguiente:.. n nn n n n n k! n nn n! k n k k.. nn n n! n.. L operión k! se le onoe omo el ftoril de un número, se lul: k! kk k k ejemplo! Al desrrollr el inomio usndo l fórmul del inomio de Newton se otiene:!!! Ejeriios ! Págin

33 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés más ejeriios de produtos notles Págin

34 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés n n / / Págin

35 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA Ftorir un epresión lgeri, es otener los ftores que multiplidos entre si nos drín l epresión lgeri onsiderd. No tods ls epresiones se pueden ftorir. Ftoriión de inomios : Cso :, Esto es l difereni de dos términos que tienen rí udrd et mos términos, se onoe omo difereni de udrdos su ftoriión es el produto de dos inomios de l form :, onoido omo produto de inomios onjugdos, es deir : Epresión generl: Ejemplos: Ejeriios / Págin

36 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Cso : Esto es l difereni o sum de dos términos que tienen rí úi et mos términos, se onoe omo difereni o sum de uos su ftoriión es el produto de un inomio de l form: ó, por un trinomio de l form ó según se difereni o sum de uos. Epresión generl: ó Ejemplos: 9 Ejeriios / 000 Págin

37 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Cso : Esto es l difereni o sum de dos términos que tienen un término omún, su ftoriión es el produto del término omún por el inomio que result de dividir l epresión ftorir por el término omún. Epresión generl: ó Ejemplos: 0 Ejeriios Págin

38 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ftoriión de trinomios.- Cso : Este trinomio es onoido omo trinomio udrdo perfeto, se rteri en que dos de sus términos tienen rí udrd et el otro es el dole produto de ess ríes su ftoriión es un inomio formdo por ls ríes menionds elevdo l udrdo. Epresión generl: Ejemplos: 9 0 Ejeriios # Págin

39 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés - Cso :, Este trinomio es onoido omo trinomio produto de dos inomios on un término omún, tiene l form : su ftoriión es el produto de dos inomios donde el término omún de mos inomios es l rí udrd de uno de los términos del trinomio los términos no omunes deen umplir que su sum se el oefiiente del término omún su produto se el terer término. Epresión generl: Ejemplos: 0 9 Ejeriios Págin 9

40 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Cso : d d, Este trinomio es onoido omo trinomio produto de dos inomios on un término semejnte, tiene l form : d d su ftoriión es el produto de dos inomios donde el término semejnte se otiene de ftorir el término del trinomio on mor eponente pr otener los términos no semejntes de los dos inomios se usn dos números que multiplidos se el término independiente del trinomio que l sum de los produtos de uno de los no semejnte por el oefiiente del semejnte del otro inomio on el produto del otro no semejnte por el oefiiente del semejnte del otro inomio se igul l oefiiente del término on menor eponente. Epresión generl: d d d Ejemplos: Ejeriios Págin 0

41 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Cso :, Esto es l difereni o sum de tres términos que tienen un término omún, su ftoriión es el produto del término omún por el trinomio que result de dividir l epresión ftorir por el término omún. Epresión generl: Ejemplos: 0 Ejeriios Págin

42 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ftoriión de tetrnomios.- Cso :, Este tetrnomio es produto de un inomio l uo, se rteri en que dos de sus términos tienen rí úi et generlmente los de los etremos formn el inomio l uo, pero se tiene que umplir que los otros dos términos del tetrnomio sen el triple produto del udrdo de un de ess ríes por l otr su ftoriión es el inomio formdo por ls ríes úis menionds elevdo l uo. Epresión generl: Ejemplos: 9 9 Ejeriios Cso :, Este tetrnomio es produto de dos inomios se puede ftorir grupndo ftorindo de dos en dos los términos del tetrnomio dihos términos quedn on un ftor omún que permiten de nuevo ftorirlos de es mner se otiene l ftoriión del tetrnomio. Epresión generl: Ejeriios Págin

43 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Cso : d, Esto es l difereni o sum de utro términos que tienen un término omún, su ftoriión es el produto del término omún por el tetrnomio que result de dividir el término omún por l epresión ftorir. Epresión generl: Ejemplos: d d 0 Ejeriios Págin

44 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplifiión de friones.- Pr simplifir un frión lgeri se primero se ftorin ls epresiones del numerdor del denomindor se eliminn términos igules que estén en ms prtes. Ejemplos: Ejeriios Págin

45 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Multipliión de friones.- Al igul que en ritméti se multipli numerdor por numerdor denomindor por denomindor se dejn indidos los produtos, posteriormente se ftorin ls epresiones se eliminn ftores que sen igules en numerdor denomindor. Ejemplos: Ejeriios Págin

46 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés División de friones.- Al igul que en ritméti se multipli el numerdor de l primer frión por el denomindor de l segund frión qued omo numerdor el denomindor de l primer frión por el numerdor de l segund frión qued omo denomindor, se dejn indidos los produtos, posteriormente se ftorin ls epresiones se eliminn ftores que sen igules en numerdor denomindor. Ejemplos: Ejeriios Págin

47 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Sum de friones.- Al igul que en ritméti se tiene que otener el mínimo omún divisor, pr esto se requiere ftorir los denomindores de ls friones que se vn sumr, el omún divisor se form on los ftores neesrios pr que éste se puede dividir entre d uno de los denomindores de ls friones sumr el resultdo de l división se multipli por el numerdor orrespondiente. Ejemplos: Ejeriios Págin

48 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ejeriios vrios: Simplifique, si es posile, d un de ls siguientes friones rionles Relie ls operiones indids en d un de ls siguientes epresiones esri l frión rionl resultnte en su form más simple: Págin

49 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Págin 9

50 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés RADICALES Cundo un término lgerio involur un rí de ulquier orden, se onoe omo rdil. Prtes de un rdil.- Cundo se tiene un término que involur un rí de ulquier orden, se onoe omo rdil. oefiient e índie surdil o rdindo Ejemplos : Simplifiión de rdiles.- Pr simplifir un rdil se deerán relir ls operiones que sen neesris pr que l epresión que quede dentro del rdil el surdil o rdindo se mínim, pr esto se desompone en ftores el surdil usndo que l menos uno de estos tengn l rí que orresponde l rdil. Ejemplos: 9 9 Ejeriios.- Simplifique los rdiles siguientes, Págin 0

51 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Sum de rdiles.- Pr sumr dos rdiles es neesrio que tengn el mismo índie surdil si ese es el so se sumn ls prtes que quedn fuer del rdil, en muhs osiones ntes de sumr h que simplifir el rdil. Ejemplos: Ejeriios.- 0 Multipliión de rdiles.- Pr poder multiplir rdiles es neesrio que tengn el mismo índie, se proede multiplir los elementos de los rdiles posteriormente se simplifi Págin

52 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ejeriios.- División de rdiles.- Pr poder dividir rdiles es neesrio que tengn el mismo índie, se proede dividir los elementos de los rdiles posteriormente se simplifi. Ejemplo: 9 Ejeriios Rionliión del denomindor.- Págin

53 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Este proeso tiene omo finlidd, eliminr rdiles del denomindor de un término lgerio o ien l frión en un surdil. Ejeriios.- rionlir el denomindor: -? -? 0 0 o ien : -? ? 9 -? -? 9 Págin

54 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés -? Ejeriios.- Págin

55 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés ECUACIONES Euión es un iguldd que involur inógnits representds por letrs que es iert solo pr lgún o lgunos vlores de ls inógnits onst de dos miemros seprdos por el signo igul. L iguldd no se lter si los dos miemros de l euión se le pli etmente l mism operión: sumr, restr, multiplir o dividir por el mismo número mos miemros. Si después de quitr préntesis denomindores un inógnit tiene omo eponente l unidd se die que l euión es linel o de primer grdo si después de quitr préntesis denomindores un inógnit tiene omo eponente el dos se die que l euión es udráti o de segundo grdo si después de quitr préntesis denomindores un inógnit tiene omo eponente el tres se die que l euión es úi o de terer grdo, sí suesivmente. Ls euiones nos permiten representr situiones o prolems que nos interes resolver o ser de lgún omportmiento de l nturle o de ls tividdes que desrroll el homre. Un iguldd se ompone de dos epresiones unids por el signo igul. Un identidd es un iguldd que es iert pr ulquier vlor de ls literles Un euión es un iguldd que se umple pr lgunos vlores de ls literles. En generl pr resolver un euión de primer grdo se siguen los siguientes psos: º Quitr préntesis. º Quitr denomindores. º Agrupr los términos on l inógnit en un miemro los términos independientes en el otro. º Reduir los términos semejntes. º Despejr l inógnit. Euiones de primer grdo on un inógnit.- Ejemplos: Págin

56 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés -. Ejeriios por el euión número multiplir l ejemplo : resolver Se trt de que result : esto sued es neesrio que l inognit eliminr oefiient e pero on signo ontrrio lo que se logr multiplindo un o ls dos euiones propido. multiplir l segund euión qued : Por sustituión.- ejemplo. - resolver euión 0, qued por un segund : hor reduión de ls euión dos inognits por por lo que por sustituión : en el primer : l primer euión por 0 por lo que, qued es : se elimine en ms euiones tengn el mismo : despeje l sustituir 0, hor l sumr Se trt de despejr un de ls inognits de un de ls euiones euión. Despejndo "" de l primer euión :, reduiendo ms el vlor otenido euiones en el sistem l sumrl sustituirl l sustituir de en l l sumrl en l pr que originl l primer otr segund result : por lo que : Págin

57 eje Y Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Por igulión.- ejemplo :resolver por igulión onsiste en despejr l mism inógnit en ms euiones e igulr dihos despejes Despejr "" de l primer euión : despejr "" de l segund euión : primer despeje sustituir igulr los dos despejes : el vlor otenido de 0 result 0 hor en el Método gráfio.- Este método onsiste en grfir en un sistem de ejes rtesinos ms euiones que por ser linel o de primer grdo sus gráfis son línes rets ls oordends del punto donde se intereptn ls dos rets nos dn los vlores de ls inógnits del sistem. Ejeriio: Al grfir d un de ls dos euiones del sistem qued: gráfi de ls dos euiones eje X Soluiones del sistem.- Págin

58 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Del gráfio se puede ver que ls oordends donde se intereptn ls dos rets son: Sistems de euiones on tres inógnits Método de reduión.- Eliminr por reduión l mism inógnit de ls tres euiones, tomndo de dos en dos euiones en este so se seleionó l se tomn l ª l ªeuión se multipli l ª por : se sumn result l euión: hor del sistem: se tomn l ª l ª euión se multipli l ª por: se sumn result l euión : se resuelve por reduión omo on sumrls se elimin l " ",eso se hrá result: sustituendo en:, result: 9, sustituendo en l ª euión:, los vlores otenidos de " " "" result:, Finlmente Ejeriios.- Oteng los vlores de ls inógnits en d sistem de euiones : Págin

59 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Resuelve los siguientes sistems de euiones: Págin 9

60 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Euiones de segundo grdo on un inógnit. L epresión generl de un euión de segundo grdo on un inógnit es : 0, 0 donde :" ", es el término de segundo es el término independie nte. Pueden fltr el término de primer grdo o el independie nte euión sigue siendo de segundo grdo. grdo " "es el término de primer grdo, "" 0, 0 0, 0 Métodos de soluión.- Completndo el trinomio udrdo perfeto.- Ejemplo: oefiient e otro miemro entre 0 de : en este so entre "" de l º igulr iguldd ero ordenr l 0 º º dividir el oefiient trsldr el término dos elevrlo l udrdo sumárselo los dos miemros de l euión : euión º dividir to d l euión entre 9 l el independie nte e del término de primer grdo 9 º ftorir el ldo iquierdo de l euión lo que result un inomio l udrdo reduir el ldo dereho : se tiene dos soluiones: pso º despejr l inognit "" : Si plimos este proedimiento l euión generl + + = 0, result lo que se onoe omo fórmul generl pr euiones de segundo grdo o udrátis: pr 0 En el ejemplo nterior : 0, esto serí,, sustituendo en qued : Págin 0

61 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés En so de que l euión de º grdo no teng el término de primer grdo serí de l form: + = 0, se puede utilir l fórmul generl, solo que en este so = 0 l fórmul quedrí: otr mner de resolver este tipo de euión serí despejndo de : 0 result:. En so de que l euión de º grdo no teng el término independiente serí de l form: + = 0, se puede utilir l fórmul generl, solo que en este so = 0 l fórmul quedrí : tmién se puede resolver ftorindo despejndo, de : 0 result: 0 ddo que el produto es igul ero, los ftores sepueden igulr ero,entones: 0 0 Ejeriios Cundo l euión udráti es de l form + + = 0, en muhos sos se puede resolver ftorindo el trinomio e igulndo ero d uno de los ftores de ests igulddes otener los vlores de. Resolver : el º 0 ftor iguldo 0 ftorindo : ero : 0 0 igulndo finlmente ero el º ftor : 0 Págin

62 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés 9 Resuelve ls siguientes euiones udrátis: Resolver los siguientes sistems udrátios: 0 0 Págin

63 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Epres en lenguje lgerio d uno de los siguientes enunidos:.-el 0% de un número.-el áre de un retángulo de se m ltur desonoid.-el perímetro de un retángulo de se m ltur desonoid d.-el dole del resultdo de sumrle un número entero su siguiente. Trdue l lenguje lgerio ls siguientes epresiones:.- El triple del resultdo de sumr un número on su inverso.- El dole de l edd que tendré dentro de ino ños..- El quíntuplo del áre de un udrdo de ldo d.- El áre de un triángulo del que se se que su se es l mitd de su ltur. Epres en lenguje lgerio:.- L mitd del resultdo de sumrle un número.-l terer prte del áre de un retángulo en el que l se mide el dole que l ltur.- El udrdo de l sum de dos números enteros onseutivos d.-l medi de un número su uádruplo. Trdue l lenguje lgerio d uno de estos enunidos:.- L urt prte de un número entero más el udrdo de su siguiente..- El perímetro de un triángulo isóseles del que semos que su ldo desigul mide m menos que d uno de los dos ldos igules.-l digonl de un udrdo de ldo d.- El dole de l edd que tení he ños. Trdue l lenguje lgerio:.- L sum de un número on el dole de otro.-el preio de un mis rejdo en un 0%.-El áre de un írulo de rdio d.- L sum de tres números enteros onseutivos. Págin

64 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés TRIGONOMETRÍA Estudi l reliones que tienen los ldos los ángulos de un ulquier tipo de triángulo. Los triángulos retángulos son quellos que tiene un ángulo reto es deir de 90º, el ldo opuesto l ángulo reto se onoe omo hipotenus los ldos que formn el ángulo reto se onoen omo tetos. Si onsidermos el tringulo retángulo siguiente : El ldo es l hipotenus El ldo es el teto opuesto del ángulo El ldo es el teto dente del ángulo El ldo es el teto opuesto del ángulo El ldo es el teto dente del ángulo L relión : teto opuesto de un hipotenus ángulo se onoe omo seno del ángulo pr el tringulo mostrdo: teto opuesto α teto opuesto β sen α sen β hipotenus hipotenus L relión : teto dente de un hipotenus ángulo se onoe omo oseno del ángulo pr el tringulo mostrdo: teto dente α os α hipotenus os β teto dente hipotenus β Se puede ver que el seno es igul l oseno de que el seno es igul l oseno de L relión : teto opuesto de un ángulo teto dente de un ángulo se onoe omo tngente del ángulo pr el tringulo mostrdo tn α teto opuesto α teto dente α tn β teto opuesto β teto dente β Ls reliones inverss de ests son onoids omo: osente, sente otngente : Págin

65 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Cosente seno Sente oseno Cotngente tngente Los seno osenos tngentes de ulquier ángulo fueron determindos por lo tnto son vlores onoidos. A est reliones se les onoen omo funiones trigonométris, se omplementn on el teorem de Pitágors, que estlee que en un triángulo retángulo el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos hipotenus teto teto Pr el triángulo empledo esto serí: o ien : Además l sum de los ángulos interiores de ulquier triángulo es igul 0 0 Ejemplos:. Si onsidermos el triángulo retángulo siguiente : Si : = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes. os teto dente hipotenus 0 os 0 os 0º 9. tn teto opuesto teto dente 0 tn 0 tn 0º. 90º 90 90º 0º 0º Determine ls dimensiones ángulos fltntes.. 0º, = 0. º, =. =, = 0 Págin

66 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Le de senos le de osenos.- Cundo el tringulo resolver no es retángulo se utilin : L le de senos /o l Le de osenos, ls ules estleen : Le de senos: β α L longitud de uno de los ldos entre el seno del ángulo opuesto es igul otro de los ldos entre el seno de su ángulo opuesto., o ien sen sen sen sen, o ien sen sen Le de osenos: β α El udrdo de l longitud de uno de los ldos es igul l sum de lo udrdos de los otros dos ldos menos el dole produto de estos dos ldos por el oseno del ángulo que se form entre ellos. osα os β os Ddo. º, = 0, = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes Págin

67 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ddo º, = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes Ddo: º, = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes Ddo: =, = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes Ddo: 0º, = 0, = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes Págin

68 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Ddo: º, = 0, = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes Ddo: 9º, = 0, = 0, determine ls dimensiones ángulos fltntes Ddo: º, = 0, =, determine ls dimensiones ángulos fltntes Si onsidermos un triángulo retángulo on hipotenus igul l unidd, se tendrí : sen α teto opuesto α hipotenus teto opuesto del ángulo teto opuesto l ángulo os α teto dente hipotenus α teto dente l ángulo teto dente l ángulo Como: hipotenus teto opuesto teto dente Entones se puede esriir sen os o ien sen os de donde sen os os sen Págin

69 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Trnsformr el ángulo en grdos rdines:.- º.- º.- 0º d.- 0º e.- 00º f.- 90º g.- 0º h.- º Trnsformr el ángulo en rdines grdos: π π π. rd. - rd. - π rd d. - rd 0 Si, os, enuentr el vlor de ls otrs funiones. Si osθ 0,, enuentr ls otrs funiones. Si tn 9, enuentr ls otrs funiones. Prolems resolver El ángulo on el que se ve el etremo de un himene, desde un punto del suelo situdo m. del pie de l himene, es de. Clul l ltur de l himene. El ángulo on el que se ve el etremo de un mástil de un nder olod en l im de un olin, medido desde un punto del suelo horiontl es de ' minndo m. hi l nder, el ángulo de elevión ree '. Hllr l ltur l que se enuentr el etremo del mástil. Un vión vuel horiontlmente hi el Este. En un ierto momento un oservdor situdo l Sur del prto mide l elevión de éste, que result ser de '. Poo después l elevión es de '. Si el vión h voldo km en ese lpso de tiempo, qué ltur vuel? Desde un vión situdo m del suelo, el ángulo de depresión on el que se ve otro. vión, que está m de ltur, es de 9 '. A qué distni se enuentrn mos prtos? Págin 9

70 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés En un terreno horiontl se ve un torre jo un ángulo de ' 0". Si se proim hi l torre ' m, en direión ret hi l torre, el ángulo on el que se ve dih torre es hor de '. Clul l ltur de dih torre. L se de un triángulo isóseles mide m los ángulos de l se, d uno de ellos '. Clulr los ldos igules, l ltur el áre del triángulo. Desde un vión que vuel.00 m de ltur se ven dos puelos, que están en l mism direión en l que se vuel el vión, on ángulos de depresión de ' de '. Cuál es l distni que h entre los dos puelos? Un péndulo de m. de longitud, en su posiión etrem, form un ángulo de ' on l vertil. Clul los entímetros los que se elev el etremo inferior del péndulo respeto l posiión de reposo. Un ro nveg 0 nudos en direión Noroeste. Qué distni h reorrido en un hor hi el norte? Y hi el Oeste? Ls ses de un trpeio miden m 0 m uno de sus ldos m. El ángulo que formn ls rets sore ls que se enuentrn los ldos no prlelos del trpeio es de. Clul lo que mide el otro ldo el áre del trpeio. Un esttu de, m está olod sore un pedestl. Desde un punto del suelo se ve el pedestl jo un ángulo de l esttu jo un ángulo de 0. Clulr l ltur del pedestl. Desde un fro F se oserv l ro A jo un ángulo de on respeto l líne de l ost, l ro B jo un ángulo de. El ro A está mills de l ost el ro B mills. Cuál es l distni entre los ros? De un triángulo retángulo se se que su áre es de m que un teto mide m. Clul los ángulos del triángulo. Si queremos que un int trnsportdor de m de longitud eleve un rg hst m de ltur, qué ángulo se deerá inlinr l int? Desde l torre de ontrol de un eropuerto se estlee omuniión on un vión que v terrir. En ese momento el vión se enuentr un ltur de.00 m el ángulo de oservión desde el eropuerto es de. A qué distni está el vión del pie de l torre, si est mide 0 m de ltur? Págin 0

71 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Clul l ltur de l lu de un fro sore un ntildo u se es inesile, si desde un ro se tomn ls siguientes medids: El ángulo que form l visul hi l lu on el horionte es de. Nos lejmos 00 m el ángulo que form hor dih visul es de 0. Enuentre el ángulo de elevión del sol si un homre de, m. de esttur, produe un somr de 0. m. de longitud en el suelo. Desde un punto que está m. del suelo, un oservdor otiene un mediión de grdos pr el ángulo de depresión de un ojeto que se enuentr en el suelo. Aproimdmente qué tn lejos está el ojeto del punto en el suelo que está diretmente jo el oservdor? El ordel de un omet se enuentr tenso form un ángulo de grdos on l horiontl. Enuentre l ltur del omet on respeto l suelo, si el ordel mide m. el etremo de l uerd se sostiene, m. del suelo. Un vión vuel un ltitud de 0000 metros ps diretmente sore un ojeto fijo en tierr. Un minuto más trde, el ángulo de depresión del ojeto es grdos. Determine l veloidd proimd del vión. Clule el nho de un lle, si un oservdor situdo sore un edifiio, ve el otro ldo de l mism jo un ángulo de 0 grdos on respeto l horiontl. Un person se enuentr en l ventn de su prtmento que está situd m. del suelo oserv el edifiio de enfrente. L prte superior on un ángulo de 0 grdos l prte inferior on un ángulo de depresión de grdos. Determine l ltur del edifiio señldo. Un río tiene ls dos orills prlels. Desde los puntos P Q de un orill, se oserv un punto R de l orill opuest. Si ls visules formn on l direión de l orill ángulos de 0 grdos 0 grdos, respetivmente, l distni entre los puntos P Q es 0 metros, determine el nho del río. Un udro lolido sore un pred es tl que su orde inferior está un distni de 0 m. sore el nivel del ojo de un oservdor situdo metros de l pred. Si el Págin

72 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés ángulo que formn ls visules on los ordes inferior superior, respetivmente, mide 0 grdos, uál es l ltur del udro? Un esler de m. de longitud desns sore un pred vertil de tl mner que el pie de l esler qued, m. de l se de l pred. Cuál es el ángulo que l esler form on l pred hst qué ltur de l pred lleg l esler? Ls longitudes de ls somrs de dos postes vertiles son m. m. respetivmente. El primer poste es, m. más lto que el segundo. Enuentre el ángulo de elevión del sol l longitud de d poste. Un árol de m. de ltur qued un ldo de un rroo. El ángulo de elevión del árol, desde un punto situdo 0 m. es de grdos. Determine si el rroo qued por enim o por dejo del nivel del señldo punto lule l difereni de nivel. Cuál es l ltur de un olin, si su ángulo de elevión, tomdo desde su se, es grdos, tomdo desde un distni de m. es de grdos.? Sore un rreife h un fro u ltur es de, m. Desde un punto situdo en l pl se oserv que los ángulos de elevión l prte superior l prte inferior del fro son grdos grdos. Clule l ltur del rreife. Sore un plno horiontl, un mástil está sujeto por dos les, de modo que los tirntes quedn ldos opuestos. Los ángulos que formn estos tirntes on respeto l suelo son grdos grdos. Si l distni entr ls uñs es de 0 m. uánto le se h gstdo?, uál es l ltur l ul están sujetos los les? Desde lo lto de un torre de 00 m. sore el nivel del mr, los ángulos de depresión de dos otes son de grdos grdos respetivmente. Determine l distni que sepr dihos otes. Un topógrfo situdo en C, loli dos puntos A B en los ldos opuestos de un lgo. Si C está.000 m. de A.00 m. de B el ángulo ACB mide grdos. Cuál es el nho del lgo? Págin

73 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés Desde un punto A en l orill de un río, u nhur es de 0m., se ve un árol justo enfrente. Cuánto tendremos que minr río jo, por l orill ret del río, hst llegr un punto B desde el que se ve el pino formndo un ángulo de 0º on nuestr orill? Un person se enuentr en l ventn de su prtmento que está situd m. del suelo oserv el edifiio de enfrente. L prte superior on un ángulo de 0 grdos l prte inferior on un ángulo de depresión de grdos. Determine l ltur del edifiio señldo. Desde l úspide de un fro de 0 m. de ltur, se oservn hi el oeste dos ros según ángulos de depresión de 0º 0º. Clule l distni que sepr los ros. Un st de nder está enlvd en lo lto de un edifiio. Desde un punto situdo en el suelo, m. Del edifiio, se oserv el teho del edifiio según un ángulo de elevión de 0º l punt del st según un ángulo de elevión de 0º. Clule l ltur del edifiio l longitud del st. Desde un punto A situdo en el suelo se oserv hi el norte el mpnrio de un iglesi según un ángulo de elevión de 0º desde un punto B, situdo en el suelo se oserv el mpnrio hi el oeste según un ángulo de elevión de 0º. Si AB = 00 m., lule l ltur del mpnrio. Un ro, pide soorro reiiéndose l señl en dos estiones A B que distn entre sí Km. Desde d estión se miden los ángulos BAC = º ABC = º. A qué distni se enuentr el ro de d estión? Tres puntos A, B C están unidos por rreters rets llns. L distni AB es de Km, l de BC es de 9 Km, el ángulo que formn AB BC es de 0º. Cuál es l distni de A C?. Clulr los otros dos ángulos. Desde dos puntos situdos en l mism orill de un río seprdos entre si 0 m se oserv un árol situdo en l otr orill. L distni del primer punto l pie del árol es de m el ángulo que form l visul del segundo punto on respeto l árol es de Págin

74 Álger Universidd de Oidente Rodolfo Rui Cortés º. Clulr l distni del segundo punto l árol el ángulo que form l visul del primer punto. Dos migos prten de un mismo punto en direión dos iuddes situds Km, respetivmente, del punto de prtid. El ángulo que formn dihs rreters es de 0º.En sus ohes llevn un teléfono móvil que tiene un rdio de lne de 0 Km. Podrán ponerse en ontto undo lleguen su destino?. Clulr los otros dos ángulos. Dos sistentes un onfereni se sitún en ls dos uts etrems de un fil. Cd uno desde su posiión, mide el ángulo que determinn el onfereninte el otro sistente oteniéndose resultdos de º º. A qué distni está d uno de ellos del onfereninte?. A qué distni se enuentrn mos del esenrio?. Desde un ut l otr h un distni de 0 m. Un nten de telefoní móvil está sujet l suelo on dos les desde su punto más lto, uno de los les tiene dole longitud que el otro. Los puntos de sujeión de los les l suelo están linedos on el pie de l nten, l distni entre dihos nljes es de 0 metros el ángulo formdo por los les es de 0º. Clul l longitud de d uno de los les l ltur de l nten de telefoní. De un triángulo ABC semos que: = m, = m A + B = 0º Cuánto vlen A B? En un mp de rreters oservmos los puelos A, B, C D omo se indi en l figur. Por un error no pree l distni entre los puelos A D, pero si ls distnis ángulos que formn ls rreters que los unen. Clul l distni entre los puelos A D. En un irunfereni de rdio 0 m trmos l uerd AB de m. Si O es el entro de l irunfereni, hll el ángulo AOB. Desde un rreter se ve el punto más lto de un montñ, l visul de diho punto form un ángulo de 0º on l horiontl. L rreter vn hi l montñ en líne ret, después de vnr Km, vemos que l visul on el pio l horiontl form un ángulo de º. Qué ltur tiene l montñ? Págin