MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

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1 Capítulo MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS INTRODUCCIÓN La solucón analítca exacta de las ecuacones que gobernan el comportamento de cuerpos deformables es de sumo nterés en nnumerables crcunstancas para el ngenero, pero la posbldad de acceder a la msma está seramente lmtada por la compledad de los problemas de nterés práctco. En efecto, la geometría del cuerpo, las condcones de borde o apoyo, los estados de carga y los aspectos relaconados al comportamento mecánco de los materales hacen que con frecuenca las solucones exactas sean naccesbles. Esta sera lmtacón, reconocda por físcos y matemátcos de todos los tempos, llevó al desarrollo de técncas o teorías aproxmadas destnadas a la resolucón de problemas específcos de la mecánca de sóldos elástcos. sí, surgó la teoría de vgas, con la hpótess de que las seccones planas permanecen planas y normales al ee deformado, las teorías de placas planas en flexón, como una generalzacón de la teoría de vgas a dos dmensones y luego las teorías de lámnas o cáscaras curvas, entre otras. Estas teorías fueron posterormente modfcadas o ampladas para cubrr un mayor número de casos de nterés práctco, pero a pesar de ello subssten muchísmos problemas que no pueden ser resueltos satsfactoramente con ellas. Tanto estas teorías especales como la teoría general de la elastcdad dan orgen a sstemas de ecuacones dferencales acopladas, donde nteresa obtener su solucón para condcones de carga, geometría y contorno más o menos arbtraros con el mayor grado de generaldad posble. Como respuesta a este problema surgeron los métodos de aproxmacón basados en consderacones energétcas, pudendo ctarse los métodos de Raylegh-Rtz y Galern entre otros. Estos métodos son procedmentos analítcos que proponen reemplazar la respuesta del sstema (campo de desplazamentos desconocdo) por funcones de aproxmacón que sean relatvamente smples (polnomales o armóncas), que deben cumplr certas condcones de contnudad y además satsfacer las condcones de borde establecdas para el problema. sí es que se transforma el sstema de ecuacones dferencales ordnaras o parcales que gobernan el fenómeno en un sstema de ecuacones algebracas, cuyas ncógntas representan los parámetros característcos de las funcones de aproxmacón adoptadas. unque por ese camno se pueden resolver muchos problemas nteresantes, se comprueba que en los casos de estructuras compleas, ya sea por su geometría, condcones de apoyo y/o condcones de carga, no es posble la determnacón de una funcón de aproxmacón que conduzca a la solucón a través de un procedmento sstemátco que ofrezca certa generaldad. El últmo párrafo merece un comentaro aparte. Debe notarse que la msón del ngenero es resolver problemas y para ello es necesaro dsponer de herramentas de aplcabldad general, que no requeran de un tratamento específco y partcular para cada caso que se presente. Esta es una de las prncpales causas por las que fue abandonado el Método de las Dferencas Fntas, donde en las ecuacones dferencales que representan un problema se reemplazan las dervadas por expresones ncrementales, lo que conduce a un sstema de ecuacones algebracas. Las Dferencas Fntas permten resolver problemas estaconaros y transtoros con muy buena aproxmacón, para lo cual debe tenerse la precaucón de utlzar ncrementos de las varables ndependentes de un tamaño apropado. Sn embargo, como contrapartda, se requere un tratamento específco para cada caso partcular, con muy pocas posbldades de generalzacón, por lo que resulta muy costoso ntroducr cambos en los modelos o recclar solucones de problemas smlares. Es en este contexto que hace su aparcón el Método de los Elementos Fntos (MEF), favorecdo por el vertgnoso desarrollo de la computacón y destnado a provocar un trascendental mpacto en el cálculo estructural y posterormente en todos los campos de estudo de los medos contnuos. Puede afrmarse, sn temor a exagerar, que muchas de las estructuras concebdas en los últmos cuarenta años hubesen sdo mpractcables de no contarse con una herramenta de cálculo como lo es el Método de los Elementos Fntos. Para brndar un eemplo, las estructuras de los avones de fuselae ancho solo fueron posbles al poder determnarse los campos de tensones con gran detalle, lo que conduo a estructuras más confables y lvanas. Como ntroduccón general, puede decrse que el método de los elementos fntos permte obtener la solucón de un problema medante la descomposcón del obeto estudado en un gran 0

2 número de consttuyentes báscos o elementos, los que se nterconectan a través de puntos denomnados nodos. Esto se basa en el hecho de que es posble de determnar numércamente el comportamento físco de cada uno de estos elementos, a partr de las ecuacones propas del problema tratado y de las condcones de contorno adyacentes. Luego, una vez determnadas las propedades de cada elemento, éstas son combnadas para posbltar la representacón de la estructura completa y evaluar su comportamento. La solucón del problema provee los desplazamentos de estos nodos, y a partr de ellos, las deformacones y las tensones del sstema estudado. Nótese que esto ya fue realzado en un curso anteror al ensamblarse estructuras de elementos prsmátcos a través de una formulacón matrcal con el Método de la Rgdez, por lo que puede decrse que el método de los elementos fntos es una evolucón o generalzacón del Cálculo Matrcal de Estructuras, e hstórcamente de hecho lo fue. Inversamente, y desde una óptca general, podría reconocerse a las barras prsmátcas como elementos fntos de una sola dmensón. sí ambos, el Método de los Elementos Fntos y el Cálculo Matrcal de Estructuras exhben la cualdad de la que carecía el método de las Dferencas Fntas: su aplcabldad sstemátca. título de eemplos se muestran dos modelos de elementos fntos. En la Fgura se representan dos pezas deslzantes y en la Fgura el modelo de una bela de un motor de combustón nterna. Superfce de contacto Fgura : Dos pezas deslzantes con superfce de contacto clíndrca Fgura : Modelo de una bela de un motor de combustón nterna Para estudar las pezas deslzantes de la Fgura puede asumrse que la profunddad es muy grande y basta con representar un corte en un plano transversal de las msmas, por tratarse de lo que es denomnado estado plano de tensón. Para ello se utlzan elementos fntos de dos dmensones, tales como los trángulos y cuadrláteros, en lugar de tener que representar la totaldad del sóldo, lo que mplca una enorme reduccón en la compledad del modelo. Por el contraro, la bela de la Fgura esta sometda a condcones de trabao que oblgan a desarrollar un modelo espacal con elementos 3D que represente felmente los aloamentos del perno de pstón y conete de bancada, reproduzca las rregulardades geométrcas que seguramente dan lugar a concentracón de tensones y permta aplcar las condcones de carga dstrbudas sobre superfces de contacto. BREVE RESEÑ HISTÓRIC En realdad, esta forma de abordar un problema físco fue propuesta hace ya varos sglos, pero su efectva puesta en práctca debó esperar hasta la dsponbldad de las prmeras computadoras. Las elevadas exgencas de cálculo nherentes a este enfoque, en especal cuando se trabaa con modelos trdmensonales, restrngían su aplcacón manual a casos muy smples. No es por lo tanto una concdenca que el Método de los Elementos Fntos haya comenzado a utlzarse tan pronto se dspuso de computadoras y de lenguaes superores de programacón (Bacus et al., 956). partr de allí, la ncesante evolucón de la tecnología ofrecendo procesadores más rápdos, mayores capacdades de memora y compladores más efcentes favorecó la ampla dfusón del método de los elementos fntos y la posbldad de tratar modelos de dmensones asombrosas. esto debe sumarse la contrbucón de la evolucón expermentada en otros campos, como son el análss numérco y la computacón gráfca. Mucho más recentemente, el procesamento paralelo suma un nuevo recurso que tendrá un fuerte mpacto, hoy nsospechado, en el cálculo estructural y procesos de smulacón de los próxmos años. 0

3 Volvendo a la hstora del MEF, se reconoce como precursores a Duncan y Collar, quenes en 930 presentaron una formulacón matrcal destnada a resolver problemas aeroelástcos. Ellos msmos fueron luego autores de los prmeros dos artículos sobre el tema (Duncan y Collar, 934 y 935) y presentaron untamente con Frazer un lbro que ntroduo la termnología que es aún hoy utlzada (Frazer, Duncan y Collar, 938). Llegaron luego los aportes de McHenry (943) y la publcacón de una sere de artículos en la que rgyrs presentó un enfoque matrcal de los métodos de las fuerzas y rgdez que se apoyó en los teoremas energétcos. rgyrs tambén nsnuó que su enfoque matrcal podría ser extenddo mas allá de las barras prsmátcas, para consderar elementos estructurales de dos y tres dmensones (rgyrs y Kelsey, 955). los pocos años Turner (959) trabaó en un modelo aeroelástco de un ala delta en el que empleó barras y elementos trangulares para repre-sentar su recubrmento, lo que consttuyó una de las prmeras aplcacones práctcas del método para la resolucón de problemas reales. demás, propuso al método de los desplazamentos como el camno más apropado para una mplementacón sstemátca y efcente del nuevo procedmento de cálculo. Hasta ese momento, la mplementacón del análss matrcal de estructuras prmero y del método de los elementos fntos después daba lugar a dos enfoques posbles según el orden en que se formulaba el problema matemátco y en consecuenca cuales eran las ncógntas prncpales resultantes: desplazamentos o fuerzas. Fnalmente, el Método de la Rgdez con los desplazamentos como ncógntas prncpales demostró ser el más apropado para su mplementacón en computadora, tal como lo comprobó Turner, y quedo de hecho establecdo. Sn embargo, hubo prestgosos autores que nssteron por mucho tempo con las bondades del Método de las Fuerzas (Robnson, 973) y tambén quenes propuseron una combnacón de desplazamentos y fuerzas como ncógntas prncpales, reundas en lo que fue llamado vector de estado. Este últmo método de ncógntas combnadas, denomnado de Matrces de Transferenca, estaba nsprado en la técnca propuesta por Holzer (9) para el análss dnámco de cgüeñales, fue extenddo por Mylestad (944) al estudo de vgas en flexo torsón y posterormente planteado matrcalmente por Pestel y Lece (963). S ben se trata de un método conceptualmente muy nteresante, es muy dfícl de sstematzar para tratar estructuras de geometría complea, por lo que fue práctcamente abandonado. El Método de los Elementos Fntos se desarrolló entonces en base a los desplazamentos como ncógntas prncpales y su nombre elementos fntos fue empleado por prmera vez por Clough en 960. Posterormente, los lbros presentados por Przemenec (968) y Zenewcz (967 y 994) contrbuyeron enormemente a la dfusón del método en los ámbtos unverstaros e ndustrales. El msmo Zenewcz unto a otros autores (Cheung y Taylor) presentó una nterpretacón ampla del método de los elementos fntos en la que extende su aplcacón a dversos problemas de campos. Naturalmente, se ha hecho de una reseña hstórca muy breve que omte a numerosísmos nvestgadores que hceron sustancales aportes para que el Método de los Elementos Fntos cubra en la actualdad todo el espectro de problemas de la mecánca del contnuo, y lo haga efcazmente, convrténdose en una herramenta esencal para la ngenería moderna. Sn embargo, no sería usto termnar esta reseña sn menconar a los prestgosos profesores Edgard Wlson y Klaus Bathe, de la Unversdad de Calforna, Bereley. Wlson desarrolló uno de los prmeros sstemas ntegrales para la aplcacón práctca del Método de los Elementos Fntos, denomnado SP -Structural nalyss Program, (Wlson, 970). Posterormente se ncorporó Bathe al grupo de trabao y con su aporte se completó el proyecto en 97, denomnado SP IV. mbos, Bathe y Wlson, desarrollaron luego un nuevo sstema de cálculo denomnado NONSP (Bathe, Wlson,Idng, 974) que contemplaba materales no lneales, grandes deformacones y grandes desplazamentos. Tambén cabe destacar que ambos fueron autores de un lbro ttulado Numercal Methods n Fnte Element nalyss (976) en el que sntetzan sus experencas y que se convrtó rápdamente en un clásco. El mérto de Bathe y Wlson estuvo tanto en la caldad de sus trabaos como en su dstrbucón gratuta en todo el mundo, ncluyendo los programas fuentes, posbltando que el Método de los Elementos Fntos salga de los ámbtos académcos y se ncorpore como herramenta práctca de uso habtual en las ofcnas de proyecto de ngenería. 03

4 3 MODELOS DISCRETOS El proceso de resolver un problema de ngenería a través de una computadora se presenta en el esquema de la Fgura 3. Para comenzar, el problema físco debe ser dealzado a través de un modelo conceptual que debe preservar las característcas esencales de la realdad y descartar toda otra característca que no tenga ncdenca sgnfcatva en el caso estudado. Estas característcas ncluyen el comportamento de la estructura (desplazamentos grandes o pequeños), tpos de cargas (estátcas o dnámcas), propedades del materal (lnealdad, elastcdad, sotropía, etc.), compledad geométrca (D, 3D, etc.), condcones de apoyo (concentradas, dstrbudas, etc.) y otras condcones de trabao que formen parte del problema (movmentos de apoyos, varacón térmca, rozamento, etc.). Idealzacón Dscretzacón Solucón Sstema Físco Modelo Conceptual Modelo Matemátco Modelo Dscreto Solucón Dscreta Errores de la Solucón Errores de la Dscretzacón y Solucón Errores de la Formulacón Matemátca, Dscretzacón y Solucón Errores de la Idealzacón, Formulacón Matemátca, Dscretzacón y Solucón Verfcacón Valdacón Fgura 3: Proceso de resolucón de un problema de ngenería La defncón correcta de esta etapa es fundamental para entender y delmtar el fenómeno estudado y puede conducr a dos stuacones extremas: ) modelos ncapaces de representar adecuadamente el problema estudado y ) modelos nnecesaramente compleos. En el prmer caso se han gnorado característcas esencales en el desarrollo del modelo y éste no será capaz de brndar resultados correctos referdos al problema planteado, con el consguente resgo que esto mplca. En el segundo caso ocurre lo contraro, es decr se han preservado característcas no relevantes y/o un nvel de detalle nnecesaro, lo que dfculta la determnacón de la solucón, la hace muy costosa o contrbuye a confundr comportamentos mportantes con otros que no lo son. Una vez dsponble el modelo conceptual se llega a la segunda etapa, en la que se propone una formulacón matemátca para resolver el problema físco, que ya ha sdo convenentemente delmtado. Para ello, y en el caso de la mecánca del sóldo contnuo, se recurre a las denomnadas ecuacones fundamentales de la elastcdad: ecuacones de equlbro, relacones cnemátcas y ecuacones consttutvas, las que normalmente conducen a una formulacón matemátca del problema a través de un sstema de ecuacones dferencales. Con el fn de poder alcanzar este modelo matemátco es muchas veces necesaro smplfcar aún más el modelo conceptual y/o defnr con clardad su alcance dentro del rango de las varables ndependentes del problema estudado. 04

5 Tal como ya fue comentado con anterordad, el modelo matemátco no puede ser planteado en forma ntegral para domnos de nterés práctco, quedando esta posbldad reservada solo a casos muy smples. Para superar esta dfcultad se transforma al modelo matemátco en un modelo dscreto, ya sea a través de dferencas fntas o a través de método de los elementos fntos. En el prmer caso, como ya fue antcpado, la formulacón dferencal es convertda en un sstema de ecuacones algebracas al ntroducr fórmulas de dervacón numérca. En el segundo el sóldo elástco es descompuesto en elementos smples y es aquí muy mportante selecconar los tpos de elementos apropados para representar el comportamento del obeto estudado. Luego es necesaro dsponer los elementos formando mallas de elementos, establecer sus condcones de apoyo y defnr las cargas actuantes, todas las cuales deben ser dscretzadas en concordanca con los tpos de elementos utlzados. Fnalmente, la últma etapa corresponde a la obtencón de la solucón, que normalmente ncluye la resolucón de grandes sstemas de ecuacones algebracas que conducen a la determnacón de desplazamentos, que son las ncógntas prmaras del problema. Posterormente se obtenen las ncógntas secundaras, representadas por las solctacones, reaccones de apoyos, deformacones y tensones. En el caso del estudo de la respuesta de estructuras en el domno del tempo la solucón ncluye el cálculo de frecuencas y modos de vbracón (autovalores y autovectores) y la ntegracón numérca de sus ecuacones dnámcas. Nótese que cada una de las etapas tene característcas muy partculares y son por s msmas fuentes de errores, todos los cuales contrbuyen a desvacones de los resultados respecto de los que corresponden al problema real. Como se puede comprobar, los errores tenen orígenes dversos y para dentfcarlos es necesaro tener en claro los conceptos de valdacón y verfcacón. La verfcacón se refere a la comprobacón de que el problema ha sdo correctamente resuelto, tenendo esencalmente que ver con su formulacón matemátca, dscretzacón y resolucón numérca. La valdacón, por el contraro, tene que ver con que el problema resuelto sea el correcto. Es decr, asegurar que no se haya resuelto correctamente un problema que en realdad no es el problema planteado. El proceso de valdacón se refere a la comprobacón de que el modelo conceptual estudado responde al problema físco, es decr que el modelo rescata de la realdad todas sus característcas esencales. En resumen, la comprobacón de que se estudó el problema correcto es el obetvo de la valdacón y de que se alcanzaron las solucones correctas es el obetvo de la verfcacón. Esto últmo podría ser consecuenca de una formulacón matemátca errónea, una mala dscretzacón, el uso de un algortmo napropado, un error de programacón, un problema numérco que conduo a una excesva propagacón de errores, etc. Una vez planteado el proceso tendente a la obtencón de la solucón de un problema, la comprobacón de su correcttud y la dentfcacón de las causas de errores, es oportuno reconocer otro concepto muy vnculado a los problemas y es el de su compledad. El concepto de compledad admte dferentes nterpretacones según el punto de vsta consderado. Estas son: ) Compledad del problema, que es nherente al obeto estudado, ) Compledad cogntva, que se refere al esfuerzo requerdo para entender el problema, ) Compledad matemátca, que es la naturaleza de la formulacón nvolucrada, v) Compledad algorítmca, que reflea la dfcultad que ofrece el proceso adoptado para alcanzar la solucón, v) Compledad estructural, que es la composcón del software usado para mplementar los algortmos y v) Compledad operatva, que es una medda del esfuerzo que demanda alcanzar la solucón del problema. Desde un punto de vsta nformátco, ntutvamente se asoca la compledad operatva con los recursos de cómputo requerdos para resolver un problema, es decr espaco de memora y tempo de proceso. Como se comprueba, cualquera sea la nterpretacón de compledad, se trata de un ndcador dfíclmente cuantfcable salvo en el caso de la compledad operatva, motvo por el cual esta ha sdo ntensamente estudada y ha dado lugar a una dscplna denomnada Teoría de la Compledad Computaconal. partr de sus ndcadores, y bao certas precaucones que aseguren que sus valores puedan ser comparables, se los utlza para evaluar otras nterpretacones de la compledad, como la matemátca y la algorítmca. Los ndcadores de compledad operatva, el espaco de memora y tempo de proceso, son los factores que mpderon la utlzacón de los elementos fntos hasta que se dspuso de medos automátcos de cálculo con capacdades acordes a los requermentos de los problemas de nterés práctco. 05

6 4 PUNTOS DE VIST EN EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Como ya fue menconado, la dea general del método de los elementos fntos es la dvsón de un domno contnuo en un conunto de pequeños elementos nterconectados por una sere de puntos llamados nodos, donde las ecuacones que gobernan el comportamento del domno completo gobernarán tambén el de cada uno de los elementos. Este proceso de dscretzacón permte pasar de un sstema contnuo de nfntos grados de lbertad, que es regdo por una ecuacón dferencal o un sstema de ecuacones dferencales, a un sstema dscreto con un número de grados de lbertad fnto y cuyo comportamento se representa por un sstema de ecuacones algebracas, que pueden ser lneales o no. partr de esta descrpcón general se adverte que el estudo del método de los Elementos Fntos puede ser abordado con dferentes obetvos desde tres dferentes puntos de vsta que se descrben a contnuacón. 4. Utlzacón de sstemas en la resolucón de problemas de ngenería Exsten sstemas de cálculo generales que son aptos para abordar los más dversos tpos de problemas y hay tambén otros más específcos, destnados a resolver problemas partculares. Los sstemas generales prevén el análss estátco y dnámco de estructuras, la determnacón de desplazamentos, solctacones y tensones. Es decr se trata de sstemas destnados al análss de estructuras. Por el contraro, los sstemas específcos ncluyen tambén opcones de dseño estructural según las prevsones de normas e ncluyen verfcacón del cumplmento de las msmas. demás, dsponen de elementos específcos, facldades para las defncones de las condcones de carga y la emsón de los correspondentes dagnóstcos. Pueden ctarse como eemplos los sstemas de análss y dseño de torres metálcas y los de cañerías. Los sstemas de Elementos Fntos, ya sean generales o específcos, se han convertdo en una herramenta nsusttuble para el ngenero y su utlzacón exge un profundo conocmento de las facldades de cálculo dsponbles, sus alcances y lmtacones. En efecto, es necesaro poder selecconar los elementos más apropados para cada caso, establecer los apoyos, defnr las condcones de carga y fnalmente nterpretar los resultados. Para esto últmo se dspone normalmente de facldades para su representacón gráfca. 4. Desarrollo de sstemas de cálculo pesar de la gran oferta de sstemas de análss estructural de varado alcance, no debe descartarse la posbldad de tener que desarrollar un sstema específco para estudar problemas partculares. En estos casos se restrnge la generaldad del sstema con el fn de abordar en análss y dseño de estructuras especales que deben responder a normas partculares. quí debe tenerse en cuenta que el desarrollo de sstemas requere un profundo conocmento de tres dscplnas báscas; que son: ) el cálculo estructural, ) el análss numérco y ) la programacón de computadoras. ún a pesar de la ya menconada dsponbldad de varados sstemas de análss y dseño estructural, el desarrollo de nuevos sstemas, en muchos casos de dmensones reducdas, tambén se ustfca amplamente en ámbtos unverstaros y de nvestgacón por brndar la oportundad de conocer el problema en profunddad y desarrollar apttudes para la obtencón de meores rendmentos a través del meor aprovechamento de los recursos tecnológcos dsponbles. El aprovechamento efectvo del procesamento paralelo srve de eemplo en este sentdo. 4.3 Desarrollo de nuevos elementos Un domno es dscretzado a través de elementos que deben ser selecconados según las característcas y propedades que se desea preservar en el modelo. Para ello debe dsponerse de una ampla varedad de elementos y su desarrollo consttuyó un actvo campo de nvestgacón durante muchos años. En la actualdad se busca desarrollar nuevos elementos que meoren el comportamento de elementos exstentes, ya sea porque conducen a la obtencón de resultados smlares con modelos más smples o porque permten meorar la caldad de los msmos. Tambén se trabaa en el desarrollo de elementos para tratar problemas muy especales, como son el caso de la propagacón de gretas, representacón de materales compuestos, análss plástco, no lneal, etc. 06

7 5 CONCEPTOS GENERLES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) En las seccones anterores se ha descrpto la dea general de dvdr un domno contnúo en un conunto dscreto de subdomnos nterconectados. Eso es eemplfcado en la Fgura 4 para el caso de una planchuela plana cargada en su msmo plano y que se aprovecha para defnr la termnología de uso habtual en el tratamento de este tema: Elementos: subdomnos elementales contnuos que son tratados medante las ecuacones de la elastcdad y utlzados para representar el obeto de estudo. Nodos: Puntos característcos en funcón de los cuales se defnen las propedades elástcas de los elementos y permten vncular dferentes elementos entre sí. Mallas: Ensamble de elementos destnados a reproducr un certo medo contnuo a través de un modelo dscreto. Grados de Lbertad de un nodo: Número mínmo de parámetros necesaros para defnr completamente la poscón de un nodo. Grados de Lbertad de un elemento: Cantdad de parámetros a través de los cuales se expresan las propedades elástcas de un elemento, lo que sgnfca que es el orden de su matrz de rgdez. Grados de Lbertad de un modelo dscreto: Total de grados de lbertad de los nodos de una malla de elementos menos los grados de lbertad que están restrngdos por condcones de apoyo, ya sean fos o de movmentos predefndos. Representa el orden de la matrz de rgdez de la estructura. Condcón de carga: Conunto de accones aplcadas sobre el obeto estudado. título de eemplo, la planchuela de la Fgura 4 da lugar a un estado plano de tensón, por lo que cada nodo tene dos grados de lbertad (desplazamentos en dos dreccones ortogonales) y los elementos trángulo empleados en el modelo tenen ses grados de lbertad cada uno. El modelo tene un total de 3 nodos y 56 grados de lbertad (3 x 3 x = 56), con una malla formada por 43 elementos del msmo tpo. Nótese que los elementos han sdo dspuestos de manera de reproducr el contorno del domno de la meor manera posble, lo que obvamente depende de la cantdad de elementos utlzados. El meor modelo será el más smple que permta obtener resultados correctos, con errores máxmos acordes a los obetvos planteados para el análss. Dscretzacón Obeto estudado Modelo dscreto Fgura 4: Domno plano y su modelo dscreto 5. Funcones de aproxmacón Un térmno adconal que debe ser ntroducdo es el de funcón de desplazamento o de aproxmacón, que se refere a la funcón adoptada para representar el comportamento de los desplazamentos dentro de cada tpo de elemento. Su mportanca resde en que el MEF es mplementado a través del método de la rgdez, con los desplazamentos de los nodos como ncógntas prncpales, y las dstrbucones de desplazamentos, deformacones y tensones en el nteror de los elementos dependerá de los valores resultantes en los desplazamentos de los nodos y de la funcón de aproxmacón adoptada en la formulacón del método. Por tal motvo, es necesaro dsponer de una expresón que permta conocer los desplazamentos de cualquer punto del elemento a partr de su poscón y de los desplazamentos de sus nodos que lo defnen. 07

8 Para estas funcones de aproxmacón se utlzan normalmente polnomos, que ofrecen dos ventaas mportantes: ) son fácles de manpular matemátcamente; evaluar, dervar, ntegrar, etc. y ) a medda que aumenta el grado del polnomo la solucón debería converger asntótcamente a la del medo contnuo representado, lo que mplca que un polnomo de grado nfnto permtrá obtener una solucón exacta. Las funcones de aproxmacón polnomal de grado n para el problema de dos dmensones del eemplo de la Fgura 4 responden a las sguentes expresones: u ( x, x ) = α + α x + α x + α xx + α x + α x α x + α x n n m m u ( x, x ) = α + α x+ α x + α xx + α x + α x α x + α x m m n n () Las consderacones realzadas conducen a pensar en la convenenca de adoptar polnomos de grado elevado. Sn embargo, al aumentar el grado n de los polnomos aumenta tambén la cantdad de constantes α ( =,..; = 0,..,m) que son necesaras para su defncón, y estas constantes deben obtenerse a partr de las ncógntas prncpales del problema, es decr los desplazamentos de los nodos ncludos en el elemento. Esto sgnfca que los elementos deben contener una cantdad de nodos acorde al grado de la funcón de aproxmacón, de manera de hacer posble la determnacón de esos coefcentes. En conclusón, aumentar el grado de la funcón de aproxmacón meora la caldad de la solucón y a la vez aumenta los nodos y grados de lbertad de los elementos, lo que conduce a modelos más compleos, por lo que es necesaro encontrar una solucón de compromso. Para lustrar el tema se presenta a contnuacón un eemplo con un caso muy smple. Eemplo Se adopta una funcón de aproxmacón lneal para un elemento trángulo plano smlar a los utlzados en el modelo de la Fgura 5 y se desea expresar los desplazamentos de cualquer punto del domno en funcón de los desplazamentos de los nodos. x p(x, x ) u ( x, x ) = α + α x + α x p p p 0 u ( x, x ) = α + α x + α x p p p 0 () x Fgura 5: Elemento trángulo plano y sus funcones de aproxmacón lneal Nótese que en la defncón de los símbolos que representan las poscones y desplazamentos de los nodos el subíndce defne la dreccón y el supraíndce defne el punto consderado. Las expresones () son aplcables en todos los puntos del domno y por lo tanto pueden aplcarse a los vértces del trángulo, cuyos desplazamentos son conocdos. Se obtene así el sguente sstema de ecuacones lneales: u ( x, x ) = α + α x + α x u ( x, x ) = α + α x + α x 0 0 u ( x, x ) = α + α x + α x u ( x, x ) = α + α x + α x 0 0 (3) u ( x, x ) = α + α x + α x u ( x, x ) = α + α x + α x 0 0 Estas ecuacones son expresadas en forma matrcal y reordenada en (4), de manera de expresar a las ncógntas en funcón de los desplazamentos de los nodos y sus poscones. Las ncógntas del problema son los coefcentes α que defnen las funcones de aproxmacón (). 08

9 0 x x u x x u x x u = x x u x x u x x u α α α α α α (4) que en forma resumda puede presentarse como { α } = [ ] { } X u (5) donde la matrz X esta compuesta por las poscones de los vértces del trángulo. Tal como fue planteado, la determnacón de los coefcentes α nvolucra la nversón de X, cuyo orden es gual a la cantdad de grados de lbertad del elemento, y estos coefcentes permten conocer los desplazamentos de cualquer punto del domno según lo expresa (). 5. Funcones de aproxmacón en coordenadas trangulares La necesdad de nvertr la matrz X, una operacón matrcal que normalmente se desea evtar, llevó a explorar alternatvas para defnr las funcones de aproxmacón de manera más drecta. lgunas de ellas son muy ngenosas, y para el caso de elementos trangulares se propuso hacerlo a través de coordenadas trangulares, que se defnen a contnuacón. x a ( ) ( ) p () a Fgura 6: Elemento trángulo plano. Smbología utlzada en coordenadas trangulares Los nodos del trángulo son dentfcados como,,, ordenados en un certo sentdo, en este caso anthoraro. su vez, se asgna la msma denomnacón a los lados opuestos de los nodos, mostrados en la Fgura 6 entre paréntess. Por ultmo, las componentes horzontal y vertcal de cada uno de los lados del trángulo son dentfcados con la letra a, donde el subíndce corresponde a la dreccón y el supraíndce al cateto correspondente. sí, todos los lados del trángulo quedan defndos por las sguentes componentes: a = x x ; a = x x a x x a x x a x x a x x = ; = = ; = Nótese que todo punto arbtraro p pertenecente al domno defne sobre el trángulo tres zonas, cuyas áreas son dentfcadas como, y, sendo + + = el área total del trángulo. partr de los valores de estas áreas se defnen las llamadas coordenadas trangulares, que son las sguentes: ζ ( x, x) =, ζ ( x, x) =, ζ ( x, x) = (7) y de acuerdo a como están defndas, no se trata de tres coordenadas ndependentes ya que x (6) 09

10 ζ ( x, x ) + ζ ( x, x ) + ζ ( x, x ) = (8) Dsponendo de estas coordenadas trangulares, se las puede emplear para defnr funcones de aproxmacón destnadas a expresar los desplazamentos de cualquer punto del domno a partr de los desplazamentos de sus vértces (nodos). u ( x, x ) = u ζ ( x, x ) + u ζ ( x, x ) + u ζ ( x, x ) u ( x, x ) = u ζ ( x, x ) + u ζ ( x, x ) + u ζ ( x, x ) Es decr que, en lugar de quedar los desplazamentos defndos en funcón de los coefcentes α de la expresón () y (4), se lo hace con las expresones (9) y para ello se deben determnar las coordenadas ζ. Estas se obtenen a través del algebra vectoral, tal como se muestra a contnuacón: t t t3 (, ) ( ) 0 x x = p = a a = ( x x) a ( x x) a x x x x 0 t t t ( x, x ) ( p) a a 0 ( x x ) a ( x x ) a 3 = = = x x x x 0 t t t ( x, x ) ( p) a a 0 ( x x ) a ( x x ) a 3 = = = x x x x 0 Reemplazando (0) en (7) se obtenen las expresones específcas para las coordenadas trangulares que permten defnr las funcones de aproxmacón (9). (9) (0) ( x x) a ( x x) a ζ ( x, x) = = ( x x ) a ( x x ) a ζ ( x, x) = = ( x x ) a ( x x ) a ζ ( x, x) = = () Eemplo Se propone expresar en coordenadas trangulares las poscones de los puntos, B, C y D mostrados en el trángulo representado en la Fgura 7. x B C D x P(ζ, ζ, ζ ) (⅓,⅓,⅓) B(0,½,½) C(½,0,½) D(½,½,0) Fgura 7: Identfcacón de poscones de puntos usando coordenadas trangulares Tal como fue expresado en la ecuacón (8), no se trata de coordenadas ndependentes ya que defnen las poscones de puntos en el plano a través de tres parámetros. 0

11 5.3 Funcones de aproxmacón y condcones de convergenca Se ha demostrado que las propedades de rgdez de una estructura obtendas a través del MEF son mayores que las que corresponden a la solucón exacta, lo que equvale a decr que los verdaderos desplazamentos representan un límte superor para los que puedan obtenerse a través de dferentes modelos dscretos. En estas condcones, es de esperarse que los desplazamentos brndados por los dferentes modelos se aproxmen asntótcamente, y en forma crecente, a los valores reales a medda que la cantdad de elementos (y grados de lbertad) crecen. Sn embargo, para asegurar esta tendenca asntótca se deben cumplr tres condcones báscas: ) Las funcones de aproxmacón de los desplazamentos deben ser contnuas dentro del domno y los desplazamentos de elementos adyacentes deben ser compatbles en los bordes. ) Las funcones de aproxmacón deben nclur el movmento del sóldo como un cuerpo rígdo, condcón en que todas las deformacones deben ser nulas. ) Las funcones de aproxmacón deben permtr la representacón de condcones de deformacón constante. Las formulacones de las funcones de aproxmacón que cumplen la condcón ) se dce que son compatbles y las que satsfacen las condcones ) y ) se dce que son completas. Sn embargo, a pesar de que las tres condcones son sufcentes para asegurar convergenca, se ha comprobado que con solo cumplr la tercera condcón se pueden obtener resultados práctcos aceptables. Mas específcamente, muchos elementos que no cumplen con el prmer crtero, es decr que sus funcones de aproxmacón son completas pero no compatbles, han sdo amplamente utlzados con éxto. Los problemas que presentan los elementos no compatbles son esencalmente dos: a) no se puede asegurar que su rgdez se encontrará sempre por encma de los valores atrbudos a la solucón exacta y b) el proceso de convergenca haca la solucón exacta puede no exstr o ser muy lento. 5.4 Consderacones energétcas Como es sabdo, la energía potencal total Π de un sóldo elástco es la suma de su energía nterna de deformacón W y la energía potencal de las fuerzas exterores U: Π= W + U () donde la energía nterna de deformacón W se obtene ntegrando la densdad de energía de deformacón en todo el volumen y el potencal U ncluye la accón de fuerzas máscas y fuerzas de superfce. Se obtene así: Π= ω dv Fu dv f u ds (3) V V S El teorema de la Mínma Potencal Total establece que, de todos los campos de desplazamentos que cumplen con las condcones geométrcas de contorno, aquel que hace estaconaro a Π corresponde a un estado de equlbro. Más aun, puede ser demostrado que en una condcón de equlbro estable la energía potencal total de un sóldo elástco no solo es estaconara sno que es mínma. Luego, se asegura el equlbro de un sóldo elástco a partr de mponer las condcones de que las dervadas de Π con respecto a los desplazamentos de los nodos debe ser nula: Π = 0 u (4) quí cabe reconocer que, s la condcón de equlbro requere un mínmo absoluto de la energía potencal total, un modelo dscreto con funcones de desplazamentos aproxmadas sempre tendrá un valor de Π que será superor al del sóldo contnuo. Podría esperarse que este valor tenda al mínmo absoluto a medda que la cantdad de grados de lbertad del modelo crece, pero para ello es necesaro que las funcones de aproxmacón de los desplazamentos cumplan con las condcones de convergenca ya establecdas en el punto anteror. De lo contraro, la condcón de energía potencal total mínma nunca podrá ser alcanzada.

12 6 DESRROLLO DE UN ELEMENTO BÁSICO DE DOS DIMENSIONES Para mostrar la forma en que se defne un elemento fnto para obtener la expresón de su matrz de rgdez se estudará un trángulo destnado a representar un estado plano de tensón. Para ello se comenza adoptando la funcón de aproxmacón de los desplazamentos, y en este caso se opta por la forma más smple: una funcón lneal, tal como la que fue estudada a través de las coordenadas trangulares y fue expresada en (9). El elemento selecconado tene un espesor h, su área es, esta sometdo a la accón de fuerzas máscas constantes en el nteror del domno y no tene cargas de superfce. Se recuerdan ahora las ecuacones fundamentales para el estudo del comportamento de sóldos elástcos: ) equlbro, ) consttutvas y ) cnemátcas. Estas ecuacones son presentadas a contnuacón para el caso en que las tensones normales al plano del elemento son nulas, lo que corresponde a un estado plano de tensón: ) Ecuacones de Equlbro: σ x σ x σ + + F = 0 x σ + + F = 0 x (5) ) Ecuacones Consttutvas: ) Ecuacones Cnemátcas: ν 0 σ ε E ν 0 σ = ε ( ν ) ν σ 0 0 γ ε u u ; + ; u u x ε x ε = = = x x (6) (7) 6. Deformacones en funcón de la dstrbucón de desplazamentos Como ya fue menconado, para la defncón del elemento trángulo se han propuesto funcones de aproxmacón lneal expresadas en coordenadas trangulares defndas en (9). Para comenzar es necesaro expresar las deformacones (7) en funcón de las expresones de desplazamentos propuesta. u u ζ u ζ u ζ ε = = + + x ζ x ζ x ζ x ε u u ζ u ζ u ζ = = + + x ζ x ζ x ζ x (8) u u u ζ u ζ u ζ u ζ u ζ u ζ ε = + = x x ζ x ζ x ζ x ζ x ζ x ζ x Dervando los desplazamentos u dados en (9) con respecto a las varables ζ y dervando las coordenadas ζ dadas en () con respecto a las coordenadas cartesanas x se obtene (en notacón ndcal): u a ε = ua u a u a + + = m m ε u a = ua ua ua + + = m m (9) ε = u a u a 4 m m m m

13 Es mportante observar que los valores de las deformacones obtendas (9) son ndependentes de las coordenadas del punto consderado, es decr que las deformacones tenen un valor constante en todo el nteror del elemento. Esto es consecuenca del tpo de funcón de aproxmacón usada, en este caso lneal. demás, de acuerdo a las ecuacones consttutvas (6) tambén serán constantes las tensones en el nteror del domno. S se fan valores arbtraros a las deformacones ε, ε y ε debería ser posble despear de las ecuacones (9) los valores de los desplazamentos que producen tales deformacones. Pero, por ser tres las deformacones y ses los desplazamentos exsten nfntos uegos de desplazamentos capaces de cumplr tales condcones. La ndetermnacón de los desplazamentos es de grado tres y para ser superada deben farse las componentes del desplazamento del cuerpo rígdo en el plano. Tambén es mportante observar que las funcones de aproxmacón propuesta para los desplazamentos son contnuas en los límtes entre elementos vecnos para cualquer conunto de valores de desplazamentos nodales. Por el contraro, las deformacones son constantes en cada elemento y presentarán una dscontnudad en los límtes entre ellos. 6. Energía de deformacón La energía nterna de deformacón para el caso de un soldó lnealmente elástco resulta: W = σ ε dv (0) V que expresa en notacón ndcal una suma de nueve térmnos, que se reduce a tres para el caso en que una de las tensones es nula. Se ntegra sobre el área por tratarse de un elemento de espesor h constante: W n = ( σ ε + σ ε + σε ) h d () Reemplazando las tensones por las deformacones con las ecuacones consttutvas (6): E Wn = ε + ε + νεε + ( ν ) ε h d ( ν ) () e ntegrando sobre toda el área del trángulo se obtene una expresón aproxmada para la energía potencal. Como ya fue menconado, y a raíz del tpo de funcón de aproxmacón utlzada para expresar los desplazamentos, las deformacones (9) son constantes para todo el domno. he Wn = ( ε + ε + νεε + ( ν ) ε ) (3) ( ν ) 6.3 Potencal de las cargas exterores El potencal de las cargas exterores se compone de un térmno que provene de las fuerzas máscas por undad de volumen (en este caso por undad de área) y de otro que corresponde a las fuerzas de contorno por undad de superfce (en este caso por undad del perímetro). Se tene entonces: n ( ) ( ) (4) U = F u + F u d + f u + f u ds S Consderando que son constantes a las fuerzas máscas en el nteror del trángulo y que son nulas las fuerzas de superfce sobre su contorno, resulta: ( ζ ζ ζ ) ( ζ ζ ζ ) (5) U = F u + u + u d F u + u + u d n Puede además demostrarse que: ζd = ζd = ζ3d = (6) 3 3

14 Con lo que, una vez ntegrada la expresón (5) se obtene: 6.4 Mínma energía potencal total F F = ( + + ) ( + + ) (7) 3 3 Un u u u u u u Cuando un domno contnuo es representado por un modelo dscreto compuesto por certo número de elementos, su potencal total resulta de sumar las contrbucones de las energías nternas de deformacón y los potencales de cargas exterores de cada uno de ellos. n n (8) = = Π= W + U = W + U Consderando en partcular la contrbucón de un dado elemento a la energía potencal total y aplcando el teorema que establece que esta energía será mínma cuando el sstema este en equlbro, se pueden establecer ecuacones de equlbro para cada uno de los grados de lbertad: Π Π Π = 0 ; = 0 ; = 0 u u u Π Π Π = 0 ; = 0 ; = 0 u u u lgunas de estas ecuacones, por eemplo las que corresponden al nudo en las dreccones x y x se desarrollan de la sguente manera: (9) Π he ε ε ε ε ε U = ( ) ε + ε + νε + νε + ν ε + u ( ν ) u u u u u u Π he ε ε ε ε ε U = ε + ε + νε + νε + ( ν ) ε + u u u u u u u ( ν ) (30a) (30b) partr de las ecuacones (9) se deduce que: ε a ε ε a u u u =, = 0, = 4 (3) y reemplazando en las ecuacones (30) y luego en las (9) se tene: Π Eh m m m m ν m m m m F = a u ( a) + ν a u ( a) + ( a u au ) a = 0 u 4 ( ν ) 3 Π Eh m m ν m m m ν m F = u ( aa) + aa) u( ν aa + aa) = 0 u 4 ( ν ) 3 (3) y de la msma forma se obtenen las expresones que corresponden a los restantes nodos y, totalzando las ses ecuacones de equlbro. Los factores que multplcan a los desplazamentos nodales en estas ecuacones de equlbro pueden ser nterpretados como coefcentes de rgdez del elemento trangular --, con un sentdo smlar al de los coefcentes de rgdez de los elementos prsmátcos (barras), que establecen una relacón entre los desplazamentos de los nodos y las fuerzas sobre los msmos. 6.5 Matrz de rgdez del elemento trángulo grupando los factores de los desplazamentos de los nodos y expresando las ecuacones de equlbro en forma matrcal se tene: 4

15 u F u F u F = u 3 F u F u F (33) donde queda defnda la matrz de rgdez de un elemento trangular de espesor constante y cuyos desplazamentos en el nteror del domno son proporconales a los desplazamentos de los nodos. l gual que en el caso de barras prsmátcas, la matrz de rgdez es smétrca. demás, para un conunto de elementos trangulares la matrz de rgdez global del domno se ensambla en forma smlar a la de un sstema de barras prsmátcas, solo que consderando que ahora cada elemento vncula entre sí tres nodos en lugar de dos. Los elementos de la matrz de rgdez responden a las ecuacones: Eh m ν m Eh m ν m m = + = ν + 4 ( ν ) a a a a m 4 ( ν ) a a a a Eh m ν m Eh m ν m m = ν + = + 4 ( ν ) a a a a m 4 ( ν ) a a a a donde E y ν representan propedades del materal, h y propedades geométrcas del elemento y los coefcentes a son las componentes cartesanas de los lados del trángulo defndas en (6). Eemplo 3 Se determnan los coefcentes de la partcón 4-4 de la matrz de rgdez del trángulo de tensón constante que es representado en la Fgura 8. (34) x Fgura 8: Elemento trángulo x K = Eh 4 4 ν = + = α ( ) + β( ) = α ( 80) + ( 60) β 4 ( ν ) aa aa x x x x Eh 4 4 ν = ν + = α ν + β 4 ( ν ) aa aa [( 60)( 80) ( 80)( 60) ] Eh 4 4 ν = ν + = α ( 4 ( ν ) aa aa [ 80)( 60 ν + ( 60)( 80) β] Eh 4 4 ν = + = α ( ) + β( ) = α ( 60) + ( 80) β 4 ( ν ) aa aa x x x x Eh ν donde α =, β = 4 ( ν ) 5

16 7 OTROS ELEMENTOS DE USO CORRIENTE 7. Estados planos de tensón y deformacón El Trángulo de Tensón Constante desarrollado en detalle en el punto anteror es de gran utldad práctca y su mplementacón en programas de cálculo es relatvamente senclla. Sn embargo, en muchos casos y para obtener un grado aceptable de aproxmacón deben emplearse mallas muy densas, compuestas por un elevado número de elementos. Como alternatva pueden emplearse menor número de elementos trángulo, desarrollados a partr de funcones de aproxmacón de grado más elevado, como cuadrátcas o cúbcas, y tambén elementos cuadrláteros con estas msmas funcones. 7.. Trángulos de Tensón Lneal y Cuadrátca Como meora del Trángulo de Tensón Constante (TTC) aparece el Trángulo de Tensón Lneal, en el que se ntroducen polnomos de segundo grado para expresar los desplazamentos en las dos dreccones ortogonales, u y u, tales como: u = a + a x + a x + a x + a x + a x x u = a + a x + a x + a x + a x + a x x (35) Con el fn de satsfacer contnudad de los desplazamentos en los límtes entre elementos se debe ntroducr un nudo ntermedo en cada lado del trángulo, que por smplcdad es ubcado en los puntos medos como muestra la Fgura 9-a. Tal como ocurró en el caso del Trángulo de Tensón Constante, se puede facltar su desarrollo empleando coordenadas trangulares para expresar las funcones de aproxmacón de desplazamentos. En este caso se tene: u ( x, x ) = u ζ (ζ ) + u ζ (ζ ) + u ζ (ζ ) + 4uζζ + 4u ζ ζ + 4u ζ ζ l m n u ( x, x ) = u ζ (ζ ) + u ζ (ζ ) + u ζ (ζ ) + 4u ζζ + 4u ζ ζ + 4u ζ ζ l m n (36) Por un procedmento enteramente smlar al segudo en el punto anteror se plantean las ecuacones de equlbro y se obtene la matrz de rgdez asocada a un Trángulo de Tensón Lneal, dentfcado como TTL. a) b) m p n q l o m l Fgura 9: Trángulos de tensón lneal y cuadrátca n Una nueva meora en el elemento trángulo puede ntroducrse adoptando funcones de aproxmacón cúbcas, lo que conduce a que las funcones de deformacón y tensón sean cuadrátcas. Para satsfacer la contnudad de los desplazamentos en los bordes de los elementos aquí es necesaro defnr dos puntos ntermedos sobre cada lado del trángulo, tal como muestra la Fgura 9-b. Se observa que al aumentar el grado de la funcón de aproxmacón se hace necesaro aumentar el número de nudos necesaros para defnr un elemento, y consecuentemente aumentan sus grados de lbertad, lo que queda refleado en la Tabla que se presenta a contnuacón. En ella se muestra para las funcones de aproxmacón lneal, cuadrátca y cúbca: ) el grado de la funcón de deformacón que corresponde a cada una, ) la cantdad de nodos necesaros para defnr el elemento y ) la cantdad de grados de lbertad. 6

17 Tabla : Grado de las funcones, cantdad de nudos y de grados de lbertad en elementos trángulo Funcón de aproxmacón Grado de la funcón de deformacón Cantdad de Nodos Grados de lbertad Lneal Constante 3 6 Cuadrátca Lneal 6 Cúbca Cuadrátca 9 8 El uso de elementos más sofstcados, en este caso con una meor funcón de aproxmacón, reduce la cantdad de elementos necesaros para defnr un certo modelo, pero como se desprende de la tabla anteror no necesaramente reduce la cantdad total de grados de lbertad nvolucrados o por lo menos no lo hace en la msma proporcón. En efecto, el uso de elementos más sofstcados, y por lo tanto la reduccón de la cantdad de elementos, no tene normalmente por fnaldad dsmnur los grados de lbertad del modelo sno más ben facltar la defncón de los datos, meorar la caldad de la solucón y facltar la nterpretacón de los resultados. Puede tambén darse el caso de que estos meores elementos sean ndspensables para una adecuada representacón del fenómeno físco estudado. 7.. Cuadrláteros Los elementos cuadrlátero son de gran utldad práctca. Su forma arbtrara les permte adaptarse a domnos de forma rregular y presentan la ventaa sobre los trángulos de que el número de elementos del modelo se reduce sgnfcatvamente, lo que smplfca la tarea de preparacón de los datos. l gual que lo ya vsto para el caso de los trángulos, pueden generarse para el cuadrlátero nnumerables funcones de aproxmacón, desde algunas muy sencllas hasta otras muy sofstcadas. La forma más smple de formar un cuadrlátero es aduntando dos trángulos de tensón constante (Fgura 0-a y 0-b) y para ello basta con superponer las correspondentes matrces de rgdez. Otra forma de generar el cuadrlátero es componer cuatro trángulos (Fgura 0-c) y elmnar el nodo central común a todos ellos a través de condensacón matrcal. Esta elmnacón debe hacerse para expresar la rgdez de cada cuadrlátero sólo en funcón de los cuatro vértces, antes de combnar la matrz global del sstema. l l l a b c Fgura 0: Cuadrláteros formados por dos y cuatro trángulos 7. Estados trdmensonales de tensón La generalzacón para estados elástcos trdmensonales del método desarrollado en los puntos anterores para estados planos sgue los lneamentos ya presentados. El procedmento para la formulacón de las matrces de rgdez es enteramente smlar, por lo que se hará una breve descrpcón de algunos de los tpos de elementos de uso corrente. 7.. Tetraedro de tensón constante Este elemento, mostrado en la Fgura, consttuye una nmedata generalzacón del trángulo de tensón constante, adoptándose un tetraedro de forma arbtrara y desarrollándose sus propedades a partr de coordenadas admensonales que relaconan volúmenes, de la msma forma que en el estado plano de tensón se relaconaron áreas. 7

18 ξ = V V K x 3 m x x Fgura : Elemento tetraedro de tensón constante 7.. Prsma rectangular El elemento prsma rectangular, mostrado en la Fgura, puede ser obtendo dando una tercera dmensón a un cuadrlátero regular, proponendo las correspondentes funcones de aproxmacón y sguendo un procedmento smlar al ya vsto para el caso del trángulo con el fn de plantear las ecuacones de equlbro y desarrollar la matrz de rgdez del elemento. o p l m n Fgura : Elemento prsma rectangular 7.3 Elementos sopermétrcos Se han vsto hasta ahora dversos elementos de varada compledad en las funcones de aproxmacón, pero todos ellos de formas geométrcas smples y lados rectos. Tambén pudo comprobarse que al meorar la funcón de aproxmacón del elemento era necesaro ntroducr nodos adconales y por lo tanto nuevos grados de lbertad. Un método alternatvo para meorar elementos exstentes, que no mplca ntroducr mayor cantdad de grados de lbertad, consste en la generalzacón de su forma geométrca. Esto es, desarrollar elementos con lados curvos. Se llega así a un elemento que, además de dsponer de la capacdad de representar el comportamento elástco de un sóldo, se adapta con facldad a un contorno rregular sn hacer necesaro un refnamento excesvo de la malla. La nnovacón ntroducda por los elementos soparamétrcos consste en adoptar para la forma de los bordes una funcón del msmo tpo que la empleada para la funcón de aproxmacón de los desplazamentos, y de aquí provene su denomnacón. En la Fgura 3 se muestran elementos soparamétrcos de dferente confguracón, planos y espacales. Fgura 3: Elementos sopermétrcos en dos y tres dmensones Cuando se usa para la geometría una funcón de grado nferor a la utlzada para los desplazamentos el elemento es defndo como subparamétrco y s ocurre lo contraro, es decr que la funcón adoptada para representar la geometría es de mayor grado a la de los desplazamentos, el elemento es defndo superparamétrco. 8